教材 (Text Book)数值计算方法 郑慧娆等 编著 (武汉大学...汇总课件.ppt
数值计算方法第1章
y
n
1
yn
k1 k
2
hf hf
(
t (
n
t
,
n
1 6 yn
(k1
) h, 2
yn
2k
2 k1 ) 2
2k3
k4
)
k3
hf
(tn
h 2
,
yn
k2 2
)
k 4 hf ( t n h , y n k 3 ))
这里 , f ( x , y ) y 2 x ； h 为步长。 y
行数值求解有 I2 0.746855379 。
例1.1.3 求解初值问题
dy y 2 x
dx
y
y(0) 1
解 该方程是 Bernoulli 方程，令 u y 2解得
解析解 y 2 x 1。本题数值方法很多， 如 我们选择经典的四阶 R K方法 :
20 截断误差： sin
由Taglor 展式：sin [ 3 5 ...]
3! 5! 30 观察误差： g 9.8米 / 秒2 , l长度
40 舍入误差 .：,,*, /,开方
误差的分类
模型误差 从实际问题建立的数学模型往 往都忽略了许多次要的因素,因此产生的 误差称为模型误差.
有的方法在理论上虽不够严格，但通过 实际计算，对比分析等手段，被证明是 行之有效的方法，也可以采用。因此， 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密 科学性的特点，又有应用的广泛性与实 验的高度技术性特点，是一门与使用计 算机密切结合的实用性很强的数学课程。
第一章 数值计算方法 绪论.ppt
|
En
|
|
In
I
n
|
|
(1
nIn1 )
(1
nI
n1
)
|
n
|E n1|
n
!|
E0
|
初始的小扰动| E0 | 0.5108迅速积累，误差快速递增。
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： In 1 n In1
I 10
0.03059200
I 12
1
12
I 11
0.63289600
I 13
1
13
I 12
7.2276480
I 14
1
14
I 13
94.959424
I 15
1
15
I 14
1423.3914
What happened
?!
考察第n步的误差 En
（科学出版社，2001年）
• 提问：数值计算方法是做什么用的？
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自
变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy
2x
dx
y(0) 1
求函数解析表达式 y y(x)
求函数y y(x)在某些点
的
能够控制误差
设
计
便于编程实现：逻辑复杂度要小
数值计算方法--绪论
有：
* * ¶f ( x1* , x2 , ⋯, x n ) e( y ) » df ( x , x ,⋯, x ) = å × e ( xi* ) ¶xi i=1
�
�
Mathematic，
Maple Lindo
�
交互式数学系统：MathCAD，Calcwin
作业：书后练习 弄清楚几个基本概念
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差与有效数字 概念及计算 数值运算中误差传播规律 数值运算中应注意的原则 （5个）
谢谢大家！
数值运算中误差传播规律
乘法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
除法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的绝对误差限：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的相对绝对误差限：
数值运算中应注意的原则
� 选用数值稳定性好的算法 � 相近两数应避免相减 � 绝对值相对太小的数不宜作除数 � 要防止大数“吃掉”小数的危害 � 使用计算复杂性好的算法
数值计算方法
� 主讲：唐旭清
� Email:
txq5139@ txq5139@
� 教材：1)《数值计算方法
》, 北理工出版社 ,丁丽娟; 2) 《数值计算方法 》,江南大 学，蔡日增
�
用数学方法解决实际问题的过程：实际问题 →建立数学模型→确定数值计算方法 →编程 并计算近似解
绝对误差、相对误差与有效数字
�
�
若近似值 x 的绝对误差限不超过小数点后第n * n 位数字的半个单位，即 ε = 1 × 10 − 。则 x 称 精确到小数点后第n位。 2 * 若近似值 x 的绝对误差限不超过某一位数字的 * 半个单位，而从该位数字到 x (从左边起)的第 一个非零数字共有n位，则称 x * 具有n位有效 数字。
数值计算方法
14
误差与有效数字
例 用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x⋆ = 84mm。 因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有
|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.
15
14
误差与有效数字
定义 : 绝对误差与绝对误差限 设某个量的精确值为 x，其近似值为 x⋆，则称
E(x) = x − x⋆ 为近似值 x⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得
|E(x)| = |x − x⋆| ⩽ η 则称 η 为近似值 x⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η 越小，表示近似值 x⋆ 的精度越高。
5
研究数值方法的必要性
而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算： 定理 : Laplace 展开定理 |A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式
6
研究数值方法的必要性
实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则
所以，
|E⋆r (x)|
=
|x − x⋆| |x⋆|
⩽
1 2
×
10m−n
α1 × 10m−1
=
1 2α1
× 10−(n−1)
反之，由
|x
−
x⋆|
=
|x⋆|
·
|E⋆r (x)|
⩽
(α1
+
1)
数值计算方法教学大纲(本)
数值计算方法教学大纲(本)本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。
一、课程计划课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method课程定位：数学基础课开课单位：理学院课程类型：专业选修课开设学期：第七学期讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生教学方式：讲授（多媒体为主）+上机考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10%学分：3学分与其它课程的联系预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。
后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。
二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。
数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。
通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。
武汉大学 计算方法Chapter1_1
定理2:若近似值的相对误差限为 则x至少有n位有效数字.
Er ( x)
1 10 n1 2(a1 1)
证明:由于
x* x x x x x x Er ( x) x
*
(a1 1) 10
（武汉大学出版社）
科普读物
石钟慈院士著 《第三种科学方法：计算机时代的科学计算》 北京 : 清华大学出版社 广州 : 暨南大学出版社, 2000
参考书目 (References)
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L
48 0
1 ( f ( x)) dx
' 2
48
0
1 (cos x) 2 dx
上述积分为第二类椭圆积分,它不能用普通 方法来计算.
本课程第六章的内容：数值积分
Axb
本课程第三章、第四章的内容： 线性方程组的数值方法！
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
数值分析(浙江大学)全套课件
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
数值计算方法,第一章
设y = x1 x2 − x3，
ε ( y * ) ≤ | f ′( x * ) | ε ( x * )
若y = f ( x1，x2 )，
= =
ff * * * * * * ∂ ∂∂ ∂f f ** ** ** * * ∂ f ∂f * * ( ( x1 ) xx ,, xx ,, xx )dx )e(2x x**,,x x**,)x dx )e( x * ) ++ ( ( + (x x1 ,, x x2 ,, x x3 ))e dx 11 22 33 2 ) + ( x1(,x xx ∂ ∂x3∂x3 12 23 3 3 3 ∂x x11 1 2 3 1 ∂∂ 22
有两位有效数字
∂f ∂f * * ( x * , x * )e ( x1 )+ ( x * , x * )e ( x 2 ) ∂ x1 1 2 ∂x2 1 2 ∂f ∂f * * * * * * ε( y* ) ≤| ( x1 , x2 ) | ε ( x1 )+ | ( x1 , x2 ) | ε( x2 ) ∂ x1 ∂x2
x − x∗ ≤
1 × 10 m −−nn 2
它 们 分 别 是 2, 3, 7
17 18
绝对误差限 ⇔ 有效数字
定理 1 . 1 : x * = ± 0 .a 1 a 2 ...... a n ... × 10 m ( a 1 ≠ 0 )
x * 有 n 位有效数字
1 ε = × 10n 2
∗
⇒ ε r ( x* ) =
9 10
四舍五入的原则： 1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位 2. 舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位 凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数 0.714, 0.776, 0.733
《数值计算方法》课程教学大纲.
《数值计算方法》课程教学大纲.第一篇：《数值计算方法》课程教学大纲.《数值计算方法》课程教学大纲课程名称：数值计算方法/Mathods of Numerical Calculation 课程代码：0806004066 开课学期：4 学时/学分：56学时/3.5学分（课内教学 40 学时，实验上机 16 学时，课外 0 学时）先修课程：《高等代数》、《数学分析》、《常微分方程》、《C语言程序设计》适用专业：信息与计算科学开课院（系）：数学与计算机科学学院一、课程的性质与任务数值计算方法是数学与应用数学专业的核心课程之一。
它是对一个数学问题通过计算机实现数值运算得到数值解答的方法及其理论的一门学科。
本课程的任务是架设数学理论与计算机程序设计之间的桥梁，建立解决数学问题的有效算法，讨论其收敛性和数值稳定性并寻找误差估计式，培养学生数值计算的能力。
二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）误差分析2学时了解数值计算方法的主要研究内容。
2 理解误差的概念和误差的分析方法。
熟悉在数值计算中应遵循的一些基本原则。
重点：数值计算中应遵循的基本原则。
难点：数值算法的稳定性。
（二）非线性方程组的求根8学时理解方程求根的逐步搜索法的含义和思路掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法及简化牛顿法、非线性方程组求根的牛顿法3 熟悉各种求根方法的算法步骤，并能编程上机调试和运行或能利用数学软件求非线性方程的近似根。
重点：迭代方法的收敛性、牛顿迭代方法。
难点：迭代方法收敛的阶。
（三）线性方程组的解法10学时熟练掌握高斯消去法熟练地实现矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。
3 掌握线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。
4能熟练地求向量和矩阵的1-范数、2-范数、 -范数和条件数。
5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收敛的基本定理。
数值计算方法教学大纲
数值计算方法教学大纲《数值计算方法》教学大纲课程编号:04002007 学时:54学分:3学分开课对象:数学与应用数学专业、信息与计算科学专业四年制本科生课程类别:专业必修课英文译名:Numerical Mothod 一、课程的任务与目的数值方法是研究用计算机解决数学问题的数值计算方法及理论，是一门实用性很强的数学课程，它以数学分析、高等代数、微分方程等课程内容为基础。
通过这门课程的学习，使学生掌握近代用计算机解决数学问题(误差估计、函数的插值逼近、拟合、数值求积、求解线性或线性方程组、常微分方程数值解等)的方法。
二、课程的基本内容、基本要求及课时分配第一章数值计算中的误差一、基本内容引言，误差的种类与来源，绝对误差与相对误差，有效数字及其与误差的关系，误差的传播与估计，算法的数值稳定性二、基本要求1( 了解误差的种类来源2( 理解绝对误差与相对误差的概念3( 理解有效数字及其与误差的关系4( 了解误差对计算的影响5( 理解稳定性概念三、建议课时安排:3学时第二章插值法一、基本内容Lagrange插值，Newton插值，分段低阶多项式插值，三次样条插值，数值微分二、基本要求1( 掌握Lagrange插值多项式的构造与截断误差的估计2( 掌握Newton插值多项式的构造与差商、差分的性质3( 掌握分段低阶插值多项式的构造及特点4( 掌握三次样条插值多项式的构造及特点5( 理解数值微分的思想，掌握几个低阶的插值型求导公式三、建议课时安排:9学时1( Lagrange插值 2学时2( Newton插值 2学时3( 分段低阶插值 1学时4( 三次样条插值 2学时5( 数值微分 2学时第三章曲线拟合的最小二乘法一、基本内容最小二乘法、最小二乘解的求法、加权最小二乘法、利用正交函数作最小二乘拟合二、基本要求1( 掌握最小二乘法、最小二乘解的求法2( 掌握加权最小二乘法3( 掌握利用正交函数作最小二乘拟合三、建议课时安排:6学时1( 最小二乘法、最小二乘解的求法 3学时2( 加权最小二乘法 1学时3( 利用正交函数作最小二乘拟合 2学时第四章数值积分一、基本内容插值型求积公式，复化求积法与Romberg积分，Gauss公式，数值微分二、基本要求1( 理解数值求积的基本思想，掌握代数精度的概念，掌握插值型求积公式及余项表示2( 掌握牛顿—柯特斯公式及几个低阶的复化求积公式，了解Romberg算法思想3( 理解Gauss型求积公式的思想，掌握Gauss型求积公式的构造三、建议课时安排:8学时1( 插值型求积公式 2学时2( 复化求积法与Romberg积分 3学时3( Gauss公式 3学时第五章非线性方程组的数值解法一、基本内容根的搜索，二分法，迭代法，Newton法，正弦法与抛物线法，迭代法的收敛阶和Aitken加速方法二、基本要求1( 掌握二分法2( 掌握一般迭代法的构造和收敛性条件3( 掌握Newton法的构造和收敛性特点4( 掌握正弦法与抛物线法迭代公式的构造5( 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法三、建议课时安排:8学时1( 根的搜索 1学时2( 迭代法 2学时3( Newton法 2学时4( 正弦法与抛物线法 2学时5( 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法 1学时第六章方程组的数值解法一、基本内容Gauss消去法，选主元素的Gauss消去法，矩阵的三角分解，解三对角线方程组的追赶法，解对称正定矩阵方程组的平方根法，向量与矩阵的范数，解线性方程组的迭代法，解非线性方程组的迭代法，病态方程组和迭代改善法二、基本要求1( 掌握Gauss消去法2( 掌握选主元素的Gauss消去法3( 掌握矩阵的三角分解4( 掌握解三对角线方程组的追赶法和解对称正定矩阵方程组的平方根法5( 掌握向量、矩阵范数的定义和矩阵条件数的概念6( 掌握解线性方程组的迭代法，掌握Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法，掌握迭代法的收敛条件，理解超松弛迭代法的思想7( 了解解非线性方程组的迭代法8( 掌握病态方程组和迭代改善法三、建议课时安排:12学时1( Gauss消去法 2学时2( 选主元素的Gauss消去法 1学时3( 矩阵的三角分解 2学时4( 解三对角线方程组的追赶法和解对称正定矩阵方程组的平方根法 2学时5( 向量、矩阵范数的定义和矩阵条件数的概念 1学时6( 解线性方程组的迭代法，掌握Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法，掌握迭代法的收敛条件，理解超松弛迭代法的思想 3学时7( 解非线性方程组的迭代法和病态方程组和迭代改善法 1学时第七章常微分方程的数值解法一、基本内容Euler方法，Runge-Kutta法，阿达姆斯方法，算法的稳定性和收敛性，方程组及高阶方程的数值解法，边值问题的数值解法二、基本要求1( 掌握Euler方法2( 掌握Runge-Kutta法3( 掌握阿达姆斯方法4( 理解和掌握算法的收敛性和稳定性概念5( 掌握方程组及高阶方程的数值解法6( 了解边值问题的数值解法三、建议课时安排:8学时1( Euler方法 2学时2( Runge-Kutta法 2学时3( 阿达姆斯方法 2学时4( 算法的收敛性和稳定性概念 1学时5( 方程组及高阶方程的数值解法和边值问题的数值解法 1学时总复习、考试 2学时。
《数值计算方法》课程教学大纲
A：《数值计算方法》课程教学大纲授课专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学学时数：64+16学分数：5一、课程的性质和目的数值计算方法是综合性大学信息与计算科学专业的一门主要专业基础课程，同时也是许多理工科本科的专业课。
“数值计算方法”，它是以各类数学问题的数值解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供算法，它是平行于理论分析和科学实验的重要科学研究手段。
本课程的教学目的在于通过教与学，使学生系统掌握数值计算方法的基本概念和分析问题的基本方法，并通过上机实习为数值计算方法的进一步学习和解决科学与工程中的实际问题打好基础，使学生具备基本的算法分析、算法设计的能力和较强的编程能力。
二、课程教学的基本要求本课程的教学环节包括课堂讲授，实验（包括上机实验），习题课，答疑和期末考试。
通过上述基本教学步骤，要求学生理解并掌握数值计算中误差的概念、函数的数值逼近（多项式插值问题与函数的最佳逼近）、数值积分与数值微分、数值线性代数问题（线性方程组的数值解、数值求解矩阵的特征值与特征向量）、非线性方程的数值解法以及常微分方程（初、边值问题）的数值解法。
并通过上机实习，深入理解和掌握各类数学问题数值算法及了解数值计算中应注意的问题，为后续课程的学习奠定良好的基础。
本课程以课堂讲授为主（总共授课64学时），每章后配有一定数量的习题，巩固课堂所学的知识。
每一类算法应选做一定数量的实习题（全部安排16学时上机实习），以便深入理解数值算法的内容。
考核方式为闭巻考试。
三、课程教学内容第一章引论（3学时）要求理解与熟练掌握的内容有：数值计算中误差的基本概念；算法的数值稳定性问题。
一般理解与掌握的内容有：计算机中数的浮点表示。
难点：算法的数值稳定性。
第二章函数基本逼近（一）----插值逼近（10学时）要求理解与熟练掌握的内容有：代数多项式插值；差商；牛顿插值多项式；埃尔米特插值。
要求一般理解与掌握的内容有：样条函数插值；要求了解的内容有：B-样条及其性质。
tjm2010第1章数值计算概念
(1 . 000002 ) 1 . 000004 0
2
3）
( 本应（ 1 . 000002 ） 1 . 000004
2
1 . 0000040000 0 . 0000000000
16
x x
* *
来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。
18
tjm
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有
x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有 x-x*=0.0000074… 0.000008=0.810-5 例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3 绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好
6
tjm
数值计算方法这门学科有如下特点： 1.面向计算机 2.有可靠的理论分析 3.要有好的计算复杂性 4.要有数值实验 5.要对算法进行误差分析 本课程主要内容：非线性方程求根，解线性方程组 的直接方法，插值法，曲线拟合，数值微分， 数值 积分，解线性方程组的迭代法，计算矩阵特征值和 特征向量，常微分方程的数值解法。
e
* r
e x
* *
x x x
*
*
x
* *
r (x )
*
则称
r (x )
*
r (x )
*
浅谈数值分析在数学建模中的应用
浅谈数值分析在数学建模中的应用韩玉桃1 白洋2 田露2 刘徳铮2(1天津商业大学理学院，天津 300134 2天津商业大学理学院，天津，300134) 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。
数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。
研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。
关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程1. 引言数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。
随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。
数学建模是数值分析联系实际的桥梁。
在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。
2. 数值分析在模型建立中的应用在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。
例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。
有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。
例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。
另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。
将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=∆+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=∆∆=∆++1222)(为k x 的二阶差分。
高等学校教材：数值计算方法
高等学校教材：数值计算方法
《数值计算方法》是高等学校教材，主要涵盖数值计算的重要技术，如数值分析、积分与差分运算、计算机科学、最优化技术、偏微分方程与高阶方程等。
本书还介绍了数值计算方法在各种应用问题中的实际应用，其中包括几何、力学、（经典）电磁学等科学问题，以及航空航天动力学、水动力学、传热学等工程应用。
让学生更好地理解数学和计算机应用，本书提供了大量有趣的练习和训练题目，旨在帮助读者掌握数值计算方法，应用其解决实际问题。
此外，本书中还提供了基于编程的实现方法，以帮助读者更好地掌握数值计算方法的基本原理和步骤，并利用其设计出有效解决问题的算法。
为了使读者能够更轻松地学习概念，本书还提供了丰富的图表和图形，以帮助读者更好地理解数值计算方法中的概念。
最后，本书还提供了一些关于出版物及工具的相关信息，可作为读者进一步了解数值计算方法的资源。
因此，《数值计算方法》是一本理想的高等学校教材，可以帮助学生更好地掌握数值计算方法的核心知识，改善其在研究和实际运用数值计算方法的能力。
它涵盖了概念、理论以及应用程序，而且具有可操作性和实用性。
它还提供了大量的有趣的练习和例题，可以帮助学生更好地理解数值计算方法，并应用其解决实际问题。
数值分析第1,2章
为近似值 x 的绝对误差, 简称误差. e( x )又简记 e . 误差是有量纲的，可正可负。 误差是无法计算的 (因为准确值 x 不知道), 但可以 x x ( x ) ,称 ( x ) 估计出它的一个上界。即 是近似值 x 的绝对误差限, 简称误差限.
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2. 相对误差和相对误差限 称
n n
于是误差限
f f (y ) i 1 xi i 1 xi
n n
相对误差限
r ( y )
i 1
n
f ( x ) f x | y | x i 1 i i
1 1 ( n) 2 Pn ( x ) f (0) f (0) x f (0) x f (0) x n 2! n!
近似代替时，有误差
1 ( n1) n1 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) f ( ) x ( n 1)!
其中 在 0 与 x 之间。这种误差就是截断误差。
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er ( x ) 的平方项级, 故当 er ( x ) 较小时, 常取 是
e( x ) x x er ( x ) x x
相对误差是无量纲的, 也可正可负, 它的绝对值的上 界称为该近似值的相对误差限, 记作 r ( x ) 简记为 r
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三、有效数字
x * x 0.002 0.005
所以 x* = 3.14 作为π的近似值,有3位有效数字；
而取x*=3.1416 时,
所以 x* = 3.1416 作为 π 的近似值,有5位有效数字。
数值计算方法的书
数值计算方法的书
以下是一些数值计算方法的书籍：
《数值计算方法》（作者：徐萃薇、孙绳武）：这本书是数值计算方法的
经典教材，详细介绍了数值计算的基本概念和方法，包括插值、数值积分、非线性方程的求解、数值微分等。
《数值分析》（作者：李庆扬、王能超、易大义）：这本书是数值分析的
经典教材，详细介绍了各种数值计算算法和技术，包括线性方程组、矩阵特征值、插值和逼近、数值积分等。
《实用数值分析》（作者：苏煜城、吴勃英）：这本书是一本实用的数值
分析教材，主要面向工程技术人员，介绍了各种数值计算方法的应用和实现。
此外，还有《数值分析基础》、《计算物理基础教程》等书可供选择。
可以根据自己的需求和兴趣选择合适的书籍进行学习。
教材 (Text Book)数值计算方法 郑慧娆等 编著 (武汉大学...1048汇总1477
其中 x*为精确值，x为x*的近似值。 * | e | 的上限记为 ε* , 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
* * x x ε 工程上常记为
e xx
*
*
例如：
ε x 的相对误差上限 定义为 ε | x| fhfgh
* r
* e * e 相对误差 ( relative error ) r * x *
1
0
e
x2
dx 0.743 0.006
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有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10 (其中 a1 0） * mn 若 | x x | 0.5 10 （即 a n 的截取按四舍五入规 mn x 10 则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。
fhfgh 17
1 10 1 10 1 10 1
原点附近
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
fhfgh 13
1 10 n 1 10 n 1 10 1 n 10 0 10 2 1 10 0 1 10 1 10 0
4.做一定量的习题
5.注意与实际问题相联系
fhfgh 4
考试方法
1.闭卷考试占70%
2.平时作业及课堂回答问题占30%
fhfgh
5
学习和了解科学计算能够做什么？
fhfgh 7
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法1教材
1 mn 设x 10 0.a1a2 a3 ...an ...,若 10 则 2 an为有效数字，且 a1 , a2 ...an 1均为有效数。
m
在计算机中表示为：
m
f
a1
a2
……
an
设近似数x 有规格化形式 x * 10m 0.a1a2 a3 ...an ... 其中m和ai (i 1,2,...,n,...)是整数且 a1 0,0 ai 9。如果x 的绝对误差满足
因此绝对误差和相对误差常常是无
法计算的，但有可能给出估计。误
差限就是用于误差估计的。
误差估计
设x*是精确数x的一个近似数 , 若有正数和 r 满足 : | ( x) || x x* | | x x* | | r ( x) | | x| 则称和 r为近似数x*的绝对误差限和相对误 差限。
2 1 1 1 1 1 20 ln 2 (1 2 ... ( ) ) 4 3 3 53 21 3 其截断误差为 2 1 1 1 1 T ( 11 12 ...) 3 23 9 25 9 2 1 1 1 1 1 1 11 10 1012 1 12 23 9 3 23 9 1 9 两种算法，同样计算 ln 2，计算精度及速度 差距很大。
2.存储量。 大型问题有必要考虑。
3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差是积
累还是能控制,这与算法有关。
秦九韶算法
选定合适的算法是整个数值计算中非常 重要的一环
对于多项式
5 4 3 2 P x x x x x x 1
秦九韶算法
将多项式改写为
Px x 1x 1x 1x 1x 1
教材 (Text Book)数值计算方法 郑慧娆等 编著 (武汉大学...1048汇总1477
fhfgh 2
fhfgh
3
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理
2.注意各种方法的构造手法
3.重.注意与实际问题相联系
fhfgh 4
考试方法
1.闭卷考试占70%
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
fhfgh
14
1.2 误差
( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction )
1. 来源与分类 ( Source & Classification )
模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出
introductionfhfgh研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法近似方法对求得的解的精度进行评估以及如何在计算机上实现求解等fhfgh计算机解决实际问题的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算fhfgh举例1
fhfgh
1
教材 (Text Book) 数值计算方法
郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
原点附近
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
fhfgh 13
1 10 n 1 10 n 1 10 1 n 10 0 10 2 1 10 0 1 10 1 10 0
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m
例： 3.1415926535 897932 ; * 3.1415 * 有几位有效数字？请证明你的结论。 问：
10计算方法的一般概念
* r1
x2* y*
f x2
*
* r2
* r
(
y
*
)
E( y* )
f x1
*
E1
f x2
*
E2
f x1
*
1
f x2
*
2
Er* ( y* )
x1* y*
f x1
*
Er*1
x2* y*
f x2
*
Er*2
绝对误差 增长因子
相对误差 增长因子
x1* y*
f x1
*
* r1
x2* y*
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
E1 , E2分别为x1* , x2*的绝对误差
1 , 2分别为x1* , x2*的绝对误差限
Er*1 , Er*2分别为x1* , x2*的相对误差
* r1
,
r*2分别为
x1*
,
x2*的相对误差限
考察y*的误差与 x1* , x2*的误差的关系
函数f ( x1, x2 )在点( x1*, x2*)处的Taylor展开式为
Er* ( y * )
E( y* ) y*
f x1
*
E1 y*
f x2
*
E2 y*
x1* y*
f x1
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考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
精选
学习和了解科学计算的桥梁
精选
Introduction
数值分析 能够做什么？
精选
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
精选
计算机解决实际问题的步骤
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
精选
( relative error )
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
精选
εr*பைடு நூலகம்
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10m(其中 a1 0）
若 | x x* | 0.510mn （即 a n 的截取按四舍五入规
精选
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
精选
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
精选
精选
举例
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
精选
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε* , 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
精选
精选
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
精选
1 10 1 10
10n1 10n1
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
精选
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出 数学模型
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
精选
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
则），则称 x 为有n 位有效数字，精确到 10mn。
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014