人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法(教师版)

证明不等式的基本方法

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法； 教学难点： 理解放缩法的解题及应用。

1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a

b

<”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。

2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。

3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤： 1） 假定命题的结论不成立；

2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； 3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； 4） 肯定原来命题的结论是正确的。

5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强，必须恰到好处， 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。 类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式 例1. 求证：x 2 + 3 > 3x

解析：∵(x 2 + 3) - 3x = 04

3

)23(3)23()23

(32222>+

-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 答案：见解析

练习1. 已知a ， b ， m 都是正数，并且a < b ，求证：

b

a

m b m a >++

答案：

)

()

()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ，b ，m 都是正数，并且a 0 ， b - a > 0 ∴

0)()(>+-m b b a b m 即：b

a

m b m a >++

练习2. 已知a ， b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )

= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)

∵a ， b 都是正数，∴a + b ， a 2 + ab + b 2 > 0

又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2

例2. 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： 解析：∵22c b +≥2bc ，a ＞0，

∴)(2

2

c b a +≥2abc ①

同理 )(2

2

a c

b +≥2ab

c ②

)(22b a c +≥2abc ③

因为a ，b ，c 不全相等，所以22c b +≥2bc ， 22a c +≥2ca ， 22b a +≥2ab 三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=答案：见解析。

练习3. 已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2

2

2

2

)(c b a c b a +->++ 答案：左－右=2（ab +bc －ac ）

∵a ，b ，c 成等比数列，∴ac b =2 又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =<0≤

c a c

a +<+2

例3. 求证5273<+

解析：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+

展开得 2021210<+ 即 2521,10212<<

因为2521<成立，所以

22)52()73(<+成立

即证明了5273<+ 答案：见解析

练习4. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 答案：(1)当0ac bd +≤(2)当0ac bd +>时，欲证原不等式成立， 只需证()(

)()2

2

2

2

2ac bd a b

c

d +≤++即证

2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++≤+++即证22222abcd b c a d ≤+

即证()2

0bc ad ≤-

因为,,,a b c d ∈R ，所以上式恒成立， 综合(1)、(2)可知:类型二： 反证法和放缩法证明不等式 例4. 若a ， b ， c ， d ∈R +，求证： 解析：（用放缩法）记m =

c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a +++

++++++++ ∵a ， b ， c ， d ∈R + ∴1

练习5. 当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 答案：（用放缩法）∵n >2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n

∴n > 2时， 1)1(log )1(log <+-n n n n

例5. 设0

1

解析：（用反证法）设(1 - a )b >

41，(1 -b )c >41，(1 -c )a >4

1， 则三式相乘：(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >64

1

①

又∵0

=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-≤-