质量分析与质量改进

为 u ～ N（0，1）。其随机变量记为u，概率密度函
数记为
（ u ）
标准正态曲线只有一条（唯一），因而可制成表绘成
图，可以根据u的大小在表中查得对应的概率。
标准正态概率密度和标准正态概率分布表起同样的
作用 （ u ） =1e u 2 /2 ,（ u ） =1 ue u 2 /2 d u
正态分布： ①概率密度函数
1
e
(
x )2 2 2
2
a、根据函数可知图形以 值构成纵向对称，
呈钟形曲线；
b、 为正态分布均值，是分布中心位置， 2
是正态分布的方差，表明分散性。 2 决定了正态
分布曲线的形状，故正态曲线用
x N(,2)
表示；
c、曲线围绕横轴的总面积等于1；
质量分析与质量改进 培训内容2
一、随机变量分布技术
1、质量改进用的随机变量分布 连续随机变量的概率分布问题。
采用概率密度的概念，即是随机变量（连 续）单位长度上的概率p（x）
概率密度函数是概率密度与随机变量（自 变量）的变化关系，显然p（x）≥0，它与x 轴所夹的面积恰好为1。其在区间（a，b） 上取值的概率P（a≤x ≤ b）为概率密度曲线 下，区间（a，b）上的面积。
算。1、允许有 1.5 的偏移；2、偏移只在一个方向上，
不能上下同时发生。
(1)当规格限为M3时，距上规格限1.5，距下规格 限4.5，则PU P(x 1.5) 1(1.5) 10.9332
66800pLeabharlann Baidum
PL P(x 4.5) (4.5) 1(4.5) 3.4ppm (2)当规格限为M6时，距上规格限4.5，距下规格 限7.5时。PL 0 PU P(x 4.5) 1(4.5)＝3.4ppm
根据对称性知：
u0.25u0.75, u0.750.675
故 u0.25＝ － 0.675 例2：求 0.95 的分位数
因为正态分布表中不能直接查0.95 ，只有
u 0 .9 4 9 5 1 .6 4 ,u 0 .9 5 0 5 1 .6 5 由于0.95 刚介于0.9495与0.9505中间，故
d、固定 ，不同的 ，则曲线形状不变，只
是在横轴上的位置改变；
e、固定 ，改变 2 ，则曲线位置不变，只
是改变了形状。
正态概率分布函数
m
P(xm)
1
(x)2
e 22 dx
2
有二条渐近线P() 0，P() 1
是递增函数
②标准正态分布
当 ＝0，＝ 1 的正态分布，称标准正态分布，记
0.9505－0.9495 ＝ 0.95－0.9495
1.65－1.64
x
0.001 0.0005
0.01
x
x 0.005
u0.95 1.64 0.005 1.645
④正态分布的计算
任一正态变量x经过标准化变换(xu)/ 后 都可以变 换成标准正态变量u。 例： x~N(10,22)经 标 准 化 变 换 u=x-10~N(0,1)
2、产品规格限，包括上规格限 U S L 和下规格限 L S L ，它 们是依据文件中的规定，顾客要求，公认的标准，企业 下达的任务书等来决定的。
PPLPU,PL:低 于 下 限 的 概 率 ， PU： 高 于 上 限 的 概 率
PUP(xUSL)1(USL )
PLP(xLSL)(USL )
规格限
1 2 3 4 5 6
合格品率（％）
68.27 95.45 99.73 99.9937 99.999943 99.9999998
不合格品率
（ppm）1 0 6 317300 45500
2700 63 0.57
0.002
问题二：分布中心与规格中心不重合时。不合格品率的计
问题一：分布中心与规格中心
LSL
USL 2
M重合时，产
品的质量特性x超出规格限 3及 6 的不合格
品率。
P3 P [ x ( 3 )] (3) 1 (3) 1 0.99865 1350 ppm
P3 P [ x ( 3 )] 1 (3) 0.00135 1350 ppm


式中 ( ) 为标准正态分布函数，可以直接查表。
举例1：电阻器的规格限为 804k，服从正态分布，
均值80.80k，1.3k则其低于 Lsl 76k 的概率和超过
Usl pL

76k p(x
的概率分别为 Lsl ) p(x 76)


(
76
80.80 1.3
z
y~N(2,0.32)经 u=y-z~N(0,1) 0.3
因此以下正态分布的概率计算可方便的利用标准变换。
设x ~ N(, 2)，则对任意实数a,b有
a)P(x b) (b ), P(x a) 1(a )


b)P(x a) 1(a )
c)P(a x b) (b ) (a )
2
2
根据定义及图形可获得如下的计算公式：
Ⅰ P(u a) (a),P(u a) 1(a) Ⅱ P(a) 1(a) Ⅲ P(a u b) (b)(a)
Ⅳ P(u a) P[a u a](a)(a)
(a) [1(a)] 2(a) 1
)
(3.7) 0.0001
pU

p(x
U sl )

p(x
84)
1(x )
1 (84 80.80 ) 1 (2.46) 0.0069
1.3 不合格品率p=0.0001+0.0069=0.0070
举例2：
已知：1、受控情况下，产品质量特性的分布 x N(,2)
③标准正态分布的分位数
N（0，1）的 分位数是一个在分位数左侧面积为 ， 右侧面积恰好为1 的分界线，即 分位数是满足
下列等式的实数
P(uua)a u a 就是分位数，可根据概率 的大小在标准正态
表中查到。尾数可用内插法决定。
例1：求0.25的分位数
因为表中 都大于0.5，不能直接查表，故需变换，