南京市中考数学一模试卷
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷【答案版】
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．√36的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．362．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×1073．下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5xC．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝24．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．̂的中点，则OC长为（）5．将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后ABA．2B．√3C．1D．√26．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD 的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置） 7．计算：|﹣2|＝ ；（﹣2）0＝ ． 8．若式子1x−2有意义，则x 的取值范围是 ．9．计算√2×√6的结果是 ．10．已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为 ． 11．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根，则1x 1+1x 2的值为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2），AC 交x 轴于点D ，则OD 的长为 ．13．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，AE ＝2ED ，射线BE 交CD 的延长线于点F ，若S △DEF ＝1，则S△BCF的值为 ．14．如图，点I 是△ABC 的内心．若∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，则∠ICA 的度数是 °．15．某同学的眼睛到黑板的距离是6m ，课本上的文字大小为0.4cm ×0.35cm ．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．16．要使反比例函数y =6x的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 （只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y ＝3轴对称；④先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组{4(x −1)＞3x −22x −3≤5，并写出该不等式组的整数解．18．计算：(x +2−5x−2)÷x+3x−2．19．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？20．如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于点E ，F ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝12，求菱形AFCE 的面积．21．4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张． （1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于12的是 （填写正确说法的序号）．①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．22．某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？23．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．24．为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）25．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k0，b0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y＝kx﹣b；②y＝2kx+2b；③y＝﹣kx+2b．26．过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．27．已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．√36的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．36解：√36=6．故选：A．2．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×107解：22000000＝2.2×107．故选：D．3．下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5xC．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝2解：A、aaa＝a3，故本选项错误；B、5和x不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、y+y+y+y＝4y，故本选项正确；D、2x﹣x＝x，故本选项错误．故选：C．4．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．解：观察图形可知，用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是．故选：D ．5．将半径为5的⊙O 如图折叠，折痕AB 长为8，C 为折叠后AB̂的中点，则OC 长为（ ）A ．2B ．√3C ．1D ．√2解：延长OC 交⊙O 于D 点，交AB 于E 点，连接OA 、OB 、AC 、BC ，如图， ∵C 为折叠后AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴CA ＝CB ， ∵OA ＝OB ， ∴OC 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE =12AB ＝4，在Rt △AOE 中，OE =√OA 2−AE 2=√52−42=3， ∴DE ＝OD ﹣OE ＝5﹣3＝2，∵ADB̂沿AB 折叠得到ACB ̂，CD 垂直AB ， ∴C 点和D 点关于AB 对称， ∴CE ＝DE ＝2，∴OC ＝OE ﹣CE ＝3﹣2＝1． 故选：C ．6．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD 的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．计算：|﹣2|＝2；（﹣2）0＝1．解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．故答案为：2，1．8．若式子1x−2有意义，则x的取值范围是x≠2．解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．9．计算√2×√6的结果是 2√3 ．解：√2×√6=√2×√2×√3 =(√2)2×√3 ＝2√3． 故答案为：2√3．10．已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为 2π ． 解：扇形面积=12lR =12×π×4＝2π． 故答案为：2π．11．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根，则1x 1+1x 2的值为54．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝5，x 1•x 2＝4， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=54．故答案为：54．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2），AC 交x 轴于点D ，则OD 的长为 3 ．解：∵A （1，2），B （﹣1，﹣2）， ∴OA ＝OB ，∵B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2）， ∴BC ∥x 轴， ∴OD BC =OA AB ，∴OD 6=12，∴OD ＝3． 故答案为：3．13．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，AE ＝2ED ，射线BE 交CD 的延长线于点F ，若S △DEF ＝1，则S△BCF的值为 9 ．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FDE ＝∠BAE ，∠DFE ＝∠ABE ，∠FDE ＝∠C ，∠FED ＝∠FBC ，∴△DEF ∽△AEB ，△DEF ∽△CBF ，∴DE AE =FE BE ，S △DEFS △CBF =(FE FB )2，∵AE ＝2ED ，∴FE BE =12， ∴FE FB =13， ∵S △DEF ＝1，∴1S △CBF =(13)2， 解得：S △CBF ＝9．故答案为：9．14．如图，点I 是△ABC 的内心．若∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，则∠ICA 的度数是 20 °．解：∵点I 是△ABC 的内心．∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，∴∠ABC ＝2∠IBC ＝2×36°＝72°，∠BAC ＝2∠IAB ＝2×34°＝68°，∴∠ACB ＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA =12∠ACB =12×40°=20°．故答案为：20．15．某同学的眼睛到黑板的距离是6m ，课本上的文字大小为0.4cm ×0.35cm ．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 8cm ×7cm （答案请按同一形式书写）．解：设老师在黑板上写的文字大小应约为a cm ×b cm ，由题意可得：60030=a 0.4=b 0.35，解得a ＝8，b ＝7，即老师在黑板上写的文字大小应约为8cm ×7cm ，故答案为：8cm ×7cm ．16．要使反比例函数y =6x的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 ②③ （只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；③沿直线y ＝3轴对称；④先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．解：①反比例函数y =6x 的图象向上平移3个单位长度得到y =6x +3，∵x ＝3时，则y =63+3=5，∴方案①不可行；②反比例函数y =6x 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y =6x−2−2， ∵x ＝3时，y =63−2−2＝4， ∴方案②可行；③把x ＝3代入y =6x 得，y ＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线y ＝3的对应点为（3，4），∴反比例函数y =6x 的图象沿直线y ＝3轴对称得到的图象经过点（3，4），∴方案③可行；④把x ＝3代入y =6x得，y ＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线x ＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x ＝2代入y =6x 得y ＝3，∴反比例函数y =6x 的图象先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4），∴方案④不可行；故答案为：②③．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组{4(x −1)＞3x −22x −3≤5，并写出该不等式组的整数解． 解：{4(x −1)＞3x −2①2x −3≤5②， 解①得x ＞2，解②得x ≤4．则不等式组的解集是：2＜x ≤4．则整数解是：3，4．18．计算：(x +2−5x−2)÷x+3x−2．解：(x +2−5x−2)÷x+3x−2=(x+2)(x−2)−5x−2•x−2x+3 =x 2−4−5x+3 =(x+3)(x−3)x+3 ＝x ﹣3． 19．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？解：设车间技术革新前每小时加工x 个零件，则技术革新后每小时加工2.5x 个零件，由题意得：1500x −15002.5x =18，解得：x ＝50，经检验：x ＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．20．如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝12，求菱形AFCE 的面积．（1）证明：∵点O 是AC 的中点，EF ⊥AC ，∴EF 是AC 的垂直平分线，∴F A ＝FC ，EA ＝EC ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠ECO ．在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；∴AE ＝CF ，∴AE ＝CE ＝CF ＝AF ，∴四边形AECF 为菱形．（2）解：设AE ＝CE ＝x ，则BF ＝12﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°．在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB 2+BE 2＝AE 2，即62+（12﹣x ）2＝x 2，解得，x ＝7.5，即AE ＝7.5，∴DE ＝BF ＝4.5，∴菱形AFCE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣△ABF 的面积﹣△CDE 的面积＝6×12﹣2×12×6×4.5=45．21．4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张．（1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于12的是 ③ （填写正确说法的序号）． ①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片的数字都是正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取两张卡片的数字都是正数的概率为612=12． （2）∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，4），（4，﹣3），共6种，∴抽取的两个数乘积为负数的概率为612=12， 故①不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取的两个数乘积为正数的概率为612=12， 故②不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），共4种，∴抽取的两个数之和为负数的概率为412=13， 故③符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（﹣3，4），（4，1），（4，2），（4，﹣3），共8种，∴抽取的两个数之和为正数的概率为812=23，故④不符合题意．故答案为：③．22．某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？解：（1）120×（40+42+44+45+46+48+52+52+53+54+55+56+57+58+59+61+63+64+65+66）×30=120×1080×30＝1620（kg），答：估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量约1620kg；（2）∵20×75%＝15，样本中的数从小到大排列，排在第15个数是59，∴苹果的日进货量应为59千克．23．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），∴4+2（a﹣2）+3＝3，解得a＝0，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为2，当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，∴0＜x ＜3时，y 的取值范围为2≤y ＜6，故答案为：2≤y ＜6；（3）∵点P （m ﹣1，y 1），点Q （m ，y 2）且y 1＞y 2，对称轴为直线x ＝1，∴m−1+m 2＜1， 解得m ＜32，∴m 的取值范围为m ＜32．24．为测量建筑物DE 的高度，小明从建筑物AB 的A 处测得E 处的仰角为37°，C 处的俯角为22°，从C 处测得E 处的仰角为58°．已知B ，C ，D 在同一直线上，AB 高为6.8m ．求建筑物DE 的高度． （参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）解：过点A 作AF ⊥ED ，垂足为F ，由题意得：ED ⊥BD ，AB ＝FD ＝6.8m ，AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴∠F AC ＝∠ACB ＝22°，在Rt △ABC 中，BC =AB tan22°≈6.825=17（m ）， 设CD ＝x m ， ∴AF ＝BD ＝BC +CD ＝（x +17）m ，在Rt △ECD 中，∠ECD ＝58°，∴ED ＝CD •tan58°≈85x （m ），在Rt △EAF 中，∠EAF ＝37°，∴EF ＝AF •tan37°≈34（x +17）m ，∵EF +DF ＝ED ，∴34（x +17）+6.8=85x ， 解得：x ＝23，∴DE =85x ＝36.8（m ），∴建筑物DE 的高度约为36.8m ．25．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k ＞ 0，b ＜ 0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y ＝kx ﹣b ；②y ＝2kx +2b ；③y ＝﹣kx +2b ．解：（1）由函数图象可知，k ＞0，b ＜0，故答案为：＞，＜；（2）①在y 轴正半轴上截取OC ＝OB ，过点C 作直线l ∥AB ，则直线l 即为所求，如图所示：②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求，如图所示：③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求，如图所示：26．过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．（1）解：如图，直线AD 为所作；（2）证明：在△ABC 和△ABD 中， {AC =ADAB =AB BC =BD，∴△ABC ≌△ABD （SSS ），∴∠BAC ＝∠BAD ，∴AB 平分∠CAD ；（2）证明：连接OB 交AC 于E 点，如图， ∵AC 为⊙O 和⊙B 的公共弦，∴OB 垂直平分AC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠ABE +∠BAE ＝90°，∵OB ＝OA ，∴∠ABE ＝∠BAO ，而∠BAE ＝∠BAD ，∴∠BAO +∠BAD ＝90°，即∠OAD ＝90°，∴OA ⊥AD ，∵OA 为⊙O 的半径，第21页（共21页） ∴AD 为⊙O 的切线．27．已知函数y ＝ax 3+bx 2+cx （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y ＝ax 3+bx 2+cx 的图象如图⑤所示，指出常数a ，b ，c 的正负．（2）你同意“函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac ＜0，直接写出关于x 的不等式ax 3+x 2+cx ＞0的解集（用含a ，c 的式子表示）．解：（1）通过观察图象可得，y ＝ax 3+bx 2+cx 的图象如图⑤，则a ＜0，b ＞0，c ＞0；（2）不同意“函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：对任意实数m （m ＞0），当x ＝1+m 时，y 1＝﹣（1+m ）3+2（1+m ）2＝﹣m 3﹣m 2+m +1，当x ＝1﹣m 时，y 2＝﹣（1﹣m ）3+2（1﹣m ）2＝m 3﹣m 2﹣m +1，∴y 1+y 2＝﹣2m 2+2，若函数y ＝﹣x 3+2x 2图象的对称中心的横坐标为1，则y 1+y 2的值与m 无关，而﹣2m 2+2的值与m 有关，∴函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标不是1；（3）令ax 3+x 2+cx ＝0，则x （ax 2+x +c ）＝0，∴x ＝0或ax 2+x +c ＝0，∵ac ＜0，∴ax 2+x +c ＝0的解为x 1=−1−√1−4ac 2a ，x 2=−1+√1−4ac 2a， ∴y ＝ax 3+x 2+cx 与x 轴交点横坐标分别是−1−√1−4ac 2a ，0和−1+√1−4ac 2a ，当a ＞0时，ax 3+x 2+cx ＞0（即y ＞0）的解集为−1−√1−4ac 2a ＜x ＜0或x ＞−1+√1−4ac 2a ； 当a ＜0时，ax 3+x 2+cx ＞0（即y ＞0）的解集为0＜x ＜−1−√1−4ac 2a 或x ＜−1+√1−4ac 2a．。
2024年江苏省南京市联合体中考一模数学试卷及答案
2024年南京市联合体中考一模试卷数 学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1.2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人．140967用科学记数法可表示为（）A.60.14096710⨯ B.61.4096710⨯ C.51.4096710⨯ D.41. 4096710⨯2.整数aa <<a 的值为（）A.3 B.4 C.5D.63.已知10a ->，则下列结论正确的是（）A.11a a -<-<<B.11a a-<-<<C.11a a -<-<< D.11a a-<-<<4.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（）A.60︒ B.54︒ C.48︒D.36︒5.若k 为任意整数，则22(23)4k k +-的值总能（）A .被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除6.如图，在ABC 中，90302B A BC ∠=︒∠=︒=，，，D 为AB 的中点．若点E 在边AC 上，且AD DE AB BC=，则AE 的长为（）A.1 B.2 C.1D.1或2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）2024 年7.计算：|=2|-__________________．8.若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．9.计算(－a )3÷(－a 2)的结果是_________．10.方程220x mx m -+=的两个根为12,x x ．若12·4x x =-，则12x x +=____________．11.分解因式a 3-4a 的结果是______________．12.若正比例函数y kx =与函数1y x=的图像没有交点，则k 的取值范围是_________．13.若一组数据2，3，4，5，x 的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则x 可以为__．（例举一个满足条件的值）14.如图，直线y kx b =+经过点(1,2)-，则关于x 的不等式(2)0k x b ++>的解集是_______．15.如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF 的长度为_______16.如图，在⊙O 中，点C 在优弧 ACB 上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O ，AB ＝4，则BC 的长是_____．三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17.化简：21(111x x x ÷--+18.解不等式组20132x x -<⎧⎪⎨+<⎪⎩，并写出不等式组的整数解．19.如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角钱，E ，F 分别为边AB AD ，的中点，连接EF ，交AC 于点G．（1）求证EF AC ⊥；（2）若30DAC ∠=︒，2AB =，则EF 的长为________．20.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm ），数据整理如下：a .16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m ，n 的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生。
2024年江苏省南京市模拟中考数学试卷
2024年江苏省南京市模拟中考数学试卷试卷结构-共24个小题，分为选择题、填空题、解答题、几何题、应用题、综合题等，总分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（共12题，每题4分，共48分）1. 解不等式组：(x + 2 geq 5) 和(2x - 3 < 7)。
其解集可能是（）。
A. (x geq 3)B. (x < 5)C. (x > 3)D. (x leq 5)2. 已知二次方程的根是3和-3，则这个二次方程的表达式可能是（）。
A. (x^2 - 9 = 0)B. (x^2 + 6x - 9 = 0)C. (x^2 + 9 = 0)D. (x^2 - 6x + 9 = 0)3. 若一条直线的斜率是2，且通过点(1, 3)，则这条直线的表达式可能是（）。
A. (y = 2x + 1)B. (y = 2x + 2)C. (y = 2x - 1)D. (y = 2x - 2)4. 若两个数的和是10，积是21，则这两个数可能是（）。
A. 3和7B. 4和6C. 2和8D. 1和95. 若抛物线的顶点坐标是(2, -1)，则抛物线的表达式可能是（）。
A. (y = (x - 2)^2 - 1)B. (y = (x + 2)^2 - 1)C. (y = (x - 2)^2 + 1)D. (y = (x + 2)^2 + 1)6. 若一个矩形的长是10，宽是5，那么这个矩形的对角线长度是（）。
A. ( sqrt{125} )B. ( sqrt{150} )C. ( sqrt{125} times 5 )D. ( sqrt{100} times 5 )7. 若某立方体的体积是64立方厘米，那么它的边长可能是（）。
A. 4B. 6C. 8D. 108. 若某正方体的体积是125立方厘米，那么它的对角线长度可能是（）。
A. 10B. 15C. 12D. 189. 若两个互为倒数的数的积是1，则这两个数的和可能是（）。
2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（）A．0.161×107B．1.61×107C．1.61×106D．16.1×1052．（2分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．2a4•a5＝2a9C．（2a4）5＝32a9D．a8÷a2＝a43．（2分）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣34．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a+b+c＞0B．b﹣a＞c﹣b C．ab＞ac D．5．（2分）已知某函数图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1）和C（m+1，4），则其大致图象可能是（）A．B．C．D．6．（2分）小丽在半径为100m的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程AB+BC的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2+1，则m＝．11．（2分）方程的解是．12．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为．13．（2分）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为m．14．（2分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为．15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为°．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD•PF，则AP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（7分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，G是BD的中点，连接EG并延长，与CB的延长线交于点F，且BF＝AE．求证CA＝CB．20．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定．（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分．（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议．21．（7分）如表，从A市到B市的飞机航班中，每天有三趟去程航班，两趟返程航班．甲、乙两人计划从A市出发，分别随机选择航班，同一天往返A、B两市．（1）在去程航班中，求甲、乙两人恰好选择相同航班的概率；（2）在往返航班中，若甲已选定往返航班，则乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．航线航班号起落时间A市→B市MU28117：50﹣9：45 CA86028：00﹣10：00 CA18208：45﹣10：40B市→A市MU283218：05﹣20：20 CA860120：10﹣22：0022．（8分）在▱ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是．23．（7分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB 为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．25．（9分）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以80km/h的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量Q （kw•h）与时间t（h）的函数关系如图①所示．（1）该电动汽车每小时的充电量为kw•h；（2）求线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式；（3）在图②中，画出小美离家的距离S（km）与t的函数图象．26．（8分）在△ABC中，BA＝BC，D是BC边上的动点，经过点A的⊙O与BC边相切于点D，与AB，AC边分别交于点E，F，连接AD．（1）如图①，连接DF，求证△CDA∽△CFD；（2）如图②，AD是⊙O的直径，连接EF，若，AC＝2，求EF的长．27．（11分）在△ABC中，∠C＝2∠B．（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：c2﹣ab﹣b2＝0．小明的思路如图①，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD．小红的思路如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与AB，BC分别交于点D，E，连接CD．在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．（2）如图③，已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且AB＝m，AC＝n．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）（3）若△ABC有一条边的长度为4，设，△ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1610000＝1.61×106，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、2a4•a5＝2a9，故B符合题意；C、（2a4）5＝32a20，故C不符合题意；D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】由20.25＜21＜25，可知4＜＜5然后作答即可．【解答】解：∵16＜21＜25，∴＜＜，即4＜＜5，∵4.52＝20.25，∴﹣5＜﹣＜﹣4.5∴与﹣最接近的整数为﹣5，故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．4．【分析】由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，由此判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，A、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴a+b+c＞0，故选项A不符合题意；B、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴b﹣a＞c﹣b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴ab＞ac，故选项C不符合题意；D、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，从数轴上获取已知条件是解题的关键．5．【分析】先根图象过点A（m﹣1，1）、B（m，1）可求出其对称轴为x＝，故可排除A、B，再由C（m+1，4）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，得出抛物线开口向上，由此可得出结论．【解答】解：∵图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1），∴图象关于x＝对称，∴可排除A、B．∵m+1＞m，4＞1，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴D错误，C正确．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出抛物线的对称轴及增减性是解答此题的关键．6．【分析】根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处，则∠ABC＝90°，AC是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为a+c，进而求解即可．【解答】解：根据题意图形如下：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵AB+BC＞AC，∴此时当AC最大时，AB+BC才能取得最大值，AC为直径时，AC＝200，AB2+BC2＝AC2，∵（a﹣c）2≥0，∴a2﹣2ab+c2≥0，∴a2+c2≥2ac，即2ac≤2002，∴2ac+2002≤2002+2002，即：2ac+2002≤2×2002，∴（a+c）2≤2×2002，∵a，c为正数，∴a+c≤200，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，x﹣2≠0时式子有意义，即x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．8．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．故答案为：x（x﹣2y）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．【分析】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式＝3﹣＝3﹣2＝；故答案为：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．10．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再代入所给的条件运算即可．【解答】解：由题意得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，∵x1+x2＝x1x2+1，∴﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．11．【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），2x+2+x2﹣1＝x2﹣x，2x+x2﹣x2+x＝﹣2+1，3x＝﹣1，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣．故答案为：x＝﹣．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知S△AOB＝2，S△AOD＝＝1，据此可计算＝2+1＝3，继而可得k值．出S△BOD【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA，∵平行四边形ACOB的面积是4，＝2，∴S△AOB∵A在反比例函数y＝的图象上，＝＝1，∴S△AOD＝2+1＝3，∴S△BOD＝2×3＝6．∴k＝2S△BOD故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．13．【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝0.5m，然后在Rt△AOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），∴OC＝（2.5﹣r）m，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，0.52+（2.5﹣r）2＝r2，解得：r＝1.3，即该门洞的半径为1.3m，故答案为：1.3．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．14．【分析】根据菱形的性质证明cos∠EAD＝cos∠CEF，列式得AD＝3DE，然后根据勾股定理求出DE，即可解决问题．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣∠C＝∠CEF，∴cos∠EAD＝cos∠CEF，∴＝，∴＝，∵AD＝CD，∴AD＝3DE，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2﹣DE2＝AE2，∴（3DE）2﹣DE2＝32，∴DE＝，∴AD＝3DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是得到AD＝3DE．15．【分析】连接FG、OG、OH，根据切线的性质求出∠OGB，∠OHC，再求出∠O＝60°，再在圆内接四边形EFGM中，求出∠FGM＝60°，再根据内角和定理解答即可．【解答】解：连接FG、OG、OH，如图，∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，∴OG⊥AB，OH⊥CD，∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°，∵∠B＝∠C＝120°，∵五边形OGBCH的内角和为540°，∴∠O＝120°，在圆内接四边形EFGM中，∵∠E＝120°，∴∠FGM＝60°，∴∠GNF＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．16．【分析】当AP⊥BC时，AP取得最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得AE，利用已知条件得到PD＝PE，设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，利用相似三角形的判定与性质剪刀剪开得出结论．【解答】解：当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图，∵AB＝AC＝5，AP⊥BC，∴BE＝EC＝BC＝3，∠BAE＝∠CAE，∴AE＝＝4．∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PF，∵PE2＝PD•PF，∴PE2＝PD2，∴PD＝PE．设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，∵∠ADP＝∠AEB＝90°，∠DAP＝∠EAB，∴△ADP∽△AEB，∴，∴，∴x＝．∴AP＝4﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再把分子，分母分解因式约分．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式相关运算的法则．18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得x≥﹣2；由②得x＜4，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．19．【分析】由AAS可证△DEG≌△BFG，可得BF＝DE＝AE，由等腰三角形三角形的性质和平行线的性质可得∠A＝∠ABC，即可求解．【解答】证明：∵G是BD的中点，∴DG＝BG，∵DE∥BC，∴∠DEG＝∠BFG，∠ADE＝∠ABC，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴BF＝DE，又∵AE＝BF，∴DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∴∠A＝∠ABC，∴CA＝CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．【分析】（1）根据统计图数据判断即可；（2）根据加权平均数公式计算即可；（3）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确；②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确；所以正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④；（2）＝84.7（分），答：B款汽车的平均得分为84.7分；（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价速销（答案不唯一）．【点评】本题考查了中位数，扇形统计图，折线统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键．21．【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人恰好选择相同航班的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据题意列出乙选择的往返航班的所有结果，由题意知乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将去程航班的三个航班分别记为a，b，c，列表如下：a b ca（a，a）（a，b）（a，c）b（b，a）（b，b）（b，c）c（c，a）（c，b）（c，c）共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择相同航班的结果有3种，∴甲、乙两人恰好选择相同航班的概率为＝．（2）将返程航班的两个航班分别记为d，e，乙选择的往返航班的所有情况列表如下：d ea（a，d）（a，e）b（b，d）（b，e）c（c，d）（c，e）共有6种等可能的结果．∵甲已选定往返航班，∴乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，∴乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；（2）根据矩形的性质得出AC＝MN，进而利用BD＝2MN＝2AC解答即可．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN，同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）解：连接AC，∵四边形AMCN是矩形，∴AC＝MN，∵BD＝3MN，∴BD＝3AC，故答案为：BD＝3AC．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法．23．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，根据题意可得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，再设DG＝BF＝x m，则AB＝（28.5+x）m，最后分别在Rt△DCG和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出CG和CB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），∴DF＝BG＝9m，设DG＝BF＝x m，∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，∵CG+BG＝CB，∴1.6x+9＝28.5+x，解得：x＝32.5，∴BC＝1.6x+9＝61（m），∴建筑物BC的高度约为61m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论；（2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，而8（m﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），∵﹣1＜m＜1，∴m2﹣1＜0，∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．25．【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为100kw•h；（2）求出汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），可知到达景点时汽车剩余电量为70（kw•h），再用待定系数法可得线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）求出S与t的函数图象过（0，0），（1，80），（1.5，80），（3，200），（4，200），（6.5，0），再描点画出图象即可．【解答】解：（1）∵＝100（kw•h），∴电动汽车每小时的充电量为100kw•h；故答案为：100；（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同，∴汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），∴到达景点时汽车剩余电量为100﹣20×（3﹣1.5）＝70（kw•h），设线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝kt+b，则，解得，∴线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）根据题意，小美在景区游玩了6.5﹣2[1+（3﹣1.5）]﹣（1.5﹣1）＝1（小时），∴当t＝4时，小美游玩结束开始返回，∴当0≤t≤1时，S＝80t，图象过（0，0），（1，80），当1＜t≤1.5时，S＝80，图象过（1.5，80），当1.5＜t≤3时，S＝80+80（t﹣1.5）＝80t﹣40，图象过（3，200），当3＜t≤4时，S＝200；图象过（4，200），当4＜t≤6.5时，S＝200﹣80（t﹣4）＝﹣80t+520，图象过（6.5，0），画出图象如下：【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．26．【分析】（1）连接DF、OD、OF，则∠ODF＝∠OFD＝90°﹣∠DOF，由切线的性质得∠ODC＝90°，则∠FDC＝90°﹣∠ODF＝∠DOF，而∠DAC＝∠DOF，所以∠DAC＝∠FDC，而∠C＝∠C，即可证明△CDA∽△CFD；（2）连接DF、EF，由AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，且AB＝BC＝，AC＝2，得（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，求得CD＝，则AD2＝AC2﹣CD2＝，再证明△DAF∽△CAD，得＝，求得AF＝，再证明∠AEF＝∠BAC，所以EF＝AF＝．【解答】（1）证明：如图①，连接DF、OD、OF，则OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝（180°﹣∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵⊙O与BC边相切于点D，∴BC⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠FDC＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（90°﹣∠DOF）＝∠DOF，∵∠DAC＝∠DOF，∴∠DAC＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CFD．（2）解：如图②，连接DF、EF，∵AB是⊙O的直径，⊙O与BC边相切于点D，∴∠AFD＝90°，BC⊥AD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，解得CD＝，∴AD2＝AC2﹣CD2＝22﹣＝，∵∠ADF＝∠C＝90°﹣∠CAD，∠DAF＝∠CAD，∴△DAF∽△CAD，∴＝，∴AF＝＝＝，∵∠AEF＝∠ADF＝∠C＝∠BAC，∴EF＝AF＝，∴EF的长是．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．27．【分析】（1）选择小明的思路：首先证得△ACD∽△BAD，推导出，即AD2＝CD•BD，代入即可得证；选择小红的思路：首先证得△ACD∽△ABC，进而得到，代入数据即可得证；（2）作CD＝n；以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．据此作图即可；（3）设AC＝x，则AB＝kx，首先推导出k＞1；依据（1）中：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，推导出AC＝，解得BC＝，l＝4k+4；②当BC＝4时，代入得（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，推导出l＝+4；③当AC＝4时，则AB＝4k，解得：BC＝4k2﹣4，推导出l＝4k2+4k．【解答】（1）证明：选择小明的思路：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠ACB＝2∠CAD＝2∠D．∵∠ACB＝2∠B，∴∠CAD＝∠D＝∠B．又∵∠D＝∠D，∴△ACD∽△BAD．∴，∴AD2＝CD•BD，∵BC＝a，CD＝AC＝b，AD＝AB＝c，∴c2＝b（a+b），即c2﹣ab﹣b2＝0；选择小红的思路：由翻折可知，∠B＝∠DCB，BD＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACB＝2∠DCB．∴∠ACD＝∠DCB＝∠B．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴，，∵AD+BD＝AB，∴，即a2﹣ab﹣b2＝0；（2）解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．①作CD＝n；②以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；③以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．（3）解：∵，设AC＝x，则AB＝kx，∵∠C＝2∠B，∴AB＞AC，即kx＞x，∴k＞1；由（1）知：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，即kx＝4，∴x＝，即AC＝，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：42﹣•BC﹣（）2＝0，解得：BC＝，∴l＝AB+AC+BC＝++4＝4k+4，∴l＞8；②当BC＝4时，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，∴l＝AB+AC+BC＝4++＝+4，∴l＞4；③当AC＝4时，则AB＝4k，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（4k）2﹣4BC﹣42＝0，解得：BC＝4k2﹣4，∴l＝AB+AC+BC＝4k+4+4k2﹣4＝4k2+4k，∴l＞8；综上，当AB＝4时，l＝4k+4，此时l＞8；当BC＝4时，l＝+4，此时l＞4；当AC＝4时，l＝4k2+4k，此时l＞8．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的周长公式的应用，利用周长公式得出结论是解答本题的关键。
最新江苏省南京市中考数学第一次联合测评试卷附解析
江苏省南京市中考数学第一次联合测评试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC ∆∽ADE ∆的是（ ） A ．AEACAD AB =B ．DEBCAD AB =C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠2．如图，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆子点 C ．D ，已知 AB = 4，CD= 2，圆心O 到AB 的距离OE=1，则大、小两圆的半径之比为（ ）A ．3：2B ．3：2C ．5：2D ．5：3 3．下列命题中正确的是（ ） A ．对角线互相平分的四边形是菱形 B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D ．对角线相等的平行四边形是矩形4．平行四边形的一边为32，则它的两条对角线长不可能是（ ） A ．20和40 B ．30和50C ．40和50D ．20和605．如图．已知AD ∥BC ，且AD=BC ，则下列四个条件中能使△ADE ≌△CBF 成立的是（ ） A ．AB ∥CDB ．AB=CDC ．AF=CED ．DE=BF6．下列各题：①（－4x 3y 3）÷（－4x 2y ）=x 2y 3； ②（－3x 2y 4）÷（－3xy 2）=x 2y 2；③2x 2y 2z÷21x 2y 2=4z ；•④15x 2y 3z 4÷（－5xyz ）2=1125yz 2．其中计算正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④7．下列生活现象中，属于相似变换的是（ ）A ．抽屉的拉开B ．荡秋千C ．汽车刮雨器的运动D ．投影片的文字经投影变换到屏幕 8．把多项式22()4()x y x y -+-分解因式，其正确的结果是（ ）A ．(22)(2)x y x y x y x y +--++-B ．(53)(53)x y y x --C ．(3)(3)x y y x --D ． (3)(2)x y y x -- 9．下列计算中，正确的是（ ）A ．9338(4)2x x x ÷=B ．23234(4)0a b a b ÷=C ．2m 2m a a a ÷=D ．2212()4c 2ab c ab ÷-=-二、填空题10． 如图，点D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，且 BD=BC ，若 CD 切⊙O 于点 C ，则∠CAB 的度教为 ．11．有 1000 张奖券中有 200 张可以中奖, 则从中任抽 1 张能中奖钓概率是 ．12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若60AOB ∠=，4AB =cm ，则AC 的长为 cm ．13．已知2(28)30x x y m ---=，若0y <，则m 的取值范围是 . 14．已知三个不相的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 . 15．若等腰三角形的顶角为34°，则它的底角的度数为. . 16．观察如下规律排列的一列数：2，4，6，8，10，…并回答下列问题. (1)排在第 5 位的数是 ； (2)排在第 n 位的数是 ； (3)排在第 100 位的数是 ．三、解答题17．如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示． 已知展开图中每个正方形的边长为1．(1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？ (2）试比较立体图中BAC ∠与平面展开图中B A C '''∠的大小关系？18．在摸奖活动中，游乐场在一只黑色的口袋里装有只颜色不同的50只小球，其中红球1只、黄球2只、绿球10只，其余为白球，搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的标准在球上（如下图）(1) 如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？ (2) 如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？19．已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2）对任意实数m ，点2()M m m -，是否在这个二次函数的图象上，请说明理由．20．如图，等腰梯形ABCD 中，上底AD=24 cm ，下底BC=28 cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1 cm ／s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3 cm ／s 的速度运动，P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．(1)t 取何值时，四边形PQCD 为平行四边形? (2)t 取何值时，四边形PQCD 为等腰梯形?21．求下列问题中两个变量的函数解析式，并写出自变量的取值范围，判断其是否为一次函数：现要利用64 m长的旧围栏建一个长方形的花圃．设花圃一边长x(m)，分别写出下列变量和x的函数解析式：(1)花圃另一边长y(m)；(2)花圃的面积S(m2)．22．已知关于x的方程31123x kx++-=(k为常数)的解大于-1且不大于3，求k的取值范围.15k-<≤23．某校八年级(1)班的一个研究性学习小组的研究课题是“杭州市某高速公路入口的汽车流量问题”．某天上午，他们在该入口处每隔相等的时间，对3分钟内通过的汽车的数量作一次统计，得到如下数据：记录的次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次3分钟内通过的汽车数量(辆)4950645853565547(1)(2)试估计这天上午(按4小时计)该入口处平均每小时通过多少辆汽车?24．如图，沿长方体表面从A到C′有如下三条路线：．(1)A→B→B′→C，′它的长度记为a；(2)A→A′→D′→C′，它的长度记为b；(3)A→P→C′，它的长度记为c．试比较a、b、c的大小关系并说明理由．25．在△ABC中，如果∠A=∠B=12∠C，试判断△ABC的形状，并说明理由．26．解方程组2345y xx y=⎧⎨-=⎩和124223x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=⎩各用什么方法解比较简便？求出它们的解.27．互为余角的两个角的差为 40°，求较小角的补角的度数.28．如图是我国城镇登记失业人数变化的统计图，从图中你能获得哪些信息(至少写出两条)？29．29x y-+|2|y-互为相反数，求y x的平方根.30．观察下面一列数，探索其规律：1，12-，13，14-，15，16-，…(1)请问第8个数是什么？第 2003 个数又是什么？(2)如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．D4．A5．C6．D7．D8．C9．D二、填空题10．30°11．1512． 813．m>1214．1，3，5或2，3，415．73°16．(1)10 (2)2n (3) 200三、解答题 17．解：（110 这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）． (2）立体图中BAC ∠为平面等腰直角三角形的一锐角，45BAC ∴∠=．在平面展开图中，连接线段B C ''，由勾股定理可得：55A B B C ''''==， 又222A B B C A C ''''''+=，由勾股定理的逆定理可得A B C '''△为直角三角形． 又A B B C ''''=，A B C '''∴△为等腰直角三角形．45B A C '''∴∠=，所以BAC ∠与B A C '''∠相等．18．（1）白球的个数37102150=---摸不到奖的概率是5037； (2）获10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球的获得10元奖品的概率是1225149251=⨯．19．解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为2(1)2y a x =++，又点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，在它的图象上，可得322a =+，解得所求为21(1)22y x =-++． 令0y =，得1213x x ==-， 画出其图象如右．(2）若点M 在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++，得2230m m -+=． 方程的判别式：41280-=-<，该方程无解．所以，所以对任意实数m ，点2()M m m -，不在这个二次函数的图象． 20．(1) t 取6 s 时，四边形PQCD 为平行四边形；（2）t 取7s 时，四边形PQCD 为等腰梯形21．(1)y=x+32(0<x<32)是一次函数；(2)232S x x =-+(O<x<32)不是一次函数22．15k -<≤23．(1)54辆(2)1080辆24．a=b>c ，理由略25．△ABC 是等腰直角基角形26．对于方程组2345y x x y =⎧⎨-=⎩，用代入法解得12x y =-⎧⎨=-⎩；对于方程组124223x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，用加减法解得5412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩27．设较小的角为x ，则这个角的余角为 90°-x .于是有90°-x =40°，∴x =25°，因此这个角的补角为 180°- 25°= 155°. 答：较小角的补角为 15528．答案不唯一，如：(1)1994~2002年间，我国城镇登记失业人数逐年增加； (2)2000~2002年失业人数增长速度最快29．|2|y -.和|2|y -均为非负数，∴290x γ-+=，20y -=∴2y =，5x =-，于是2(5)25y x =-=，5=±，∴y x 的平方根是5±.30．(1)18-；12003(2)与零越来越接近。
【3套试卷】南京市中考一模数学精选及答案
中考第一次模拟考试数学试题含答案一. 选择题1.化简 2﹣1的结果是（）A． 2B．﹣ 2C．D．2.以下计算中正确的选项是（）235B． 2（a+1）＝ 2a+1 A．a +a＝ aC．（ 2a）3＝ 8a3D．a6÷a2＝a33. 以下图的支架（一种小部件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．4.若α，β是方程 x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α +β的值是（）A． 2B．﹣ 2C． 3D．﹣ 35.如图， BC为直径，∠ ABC＝35°，则∠ D的度数为（）A． 35°B． 45°C． 55°D．65°6.已知二次函数 y＝ ax2﹣2ax﹣3a（ a≠0），对于此函数的图象及性质，以下结论中不必定建立的是（）A．该图象的极点坐标为（ 1，﹣ 4a）B．该图象与x轴的交点为（﹣ 1， 0），（ 3， 0）C．若该图象经过点（﹣ 2， 5），则必定经过点（ 4，5）D．当x＞1 时，y随x的增大而增大二. 填空题7.2018 年，我国GDP依旧获得了亮眼的成绩．贸易方而，依据中国海关总署公布的数据，以人民币计价，中国 2018 年整年外贸出入口总值达30.51 万亿元，此中数据30.51 万亿可用科学记数法表示为．8.分解因式： a3﹣ ab2＝．9.某鞋厂检查了商场一个月内不一样尺码男鞋的销量，在均匀数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是．10.《孙子算经》内容主要讲数学的用途，浅易易懂，此中有很多风趣的数学题，如“河畔洗碗”．原文：今有妇人河上荡桮．津吏问曰：“桮何以多？“妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人日：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五．不知客几何？“译文：有一名妇女在河畔洗漱一大摞碗．一个津吏问她：“怎么刷这么多碗呢？“她回答：“家里来客人了．“津吏又问：“家里来了多少客人？”妇女答道：“ 2个人给一碗饭， 3 个人给一碗汤， 4 个人给一碗肉，一共要用65 只碗，来了多少客人？”答：共有人．11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝ 105°，AB＝ 4，AC＝ 3，点D为AB的中点，点E 为 AC上一点，把△ ADE沿 DE折叠获得△ A' DE，连结 A' C．若∠ ADE＝30°，则 A' C的长为．故答案为：12.如图，在 ?ABCD中，已知AD＝ 10cm， tan B＝ 2，AE⊥BC于点E，且AE＝ 4cm，点P是BC边上一动点．若△PAD为直角三角形，则BP的长为三. 解答题13. （ 1）计算：+﹣（π﹣3）0﹣cos45°．（ 2）解不等式： 2（x+2）﹣ 3（x﹣1）＞ 114. 先化简，再求值：（ 1﹣）÷，此中a＝5．15.如图，已知 OA＝ OB， OC＝ OD，连结 AD， BC，两线订交于点 P，连结 OP．（1）图中有对全等三角形；（2）请选择此中一对全等三角形赐予证明．16.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不一样的4 个小球，此中红球 2 个，黑球 1 个，白球 1个．（ 1）从袋子中随机摸取一球，摸到红球的概率是多少？（ 2）若从袋子中随机摸取两球，这两球均是红球的概率是多少？设两红球分别为A1，A2，黑球为 B，白球为C，请用列表格或画树状图的方法进行解答．17.在以下 6× 6 的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为 1，请仅用无刻度直尺按要求绘图：（ 1）在图 1中，以为边画一个正方形；AB ABCD（ 2）在图 2中，以 AB为边画个面积为 5 的矩形ABCD．18. 如图，直线y ＝x与反比率函数y＝（＞0）的图象订交于点，点A为直线y＝x上x D一点，过点A 作⊥轴于点，交反比率函数y＝（＞0）的图象于点，连结．AC x C x B BD（ 1）若点B的坐标为（ 8， 2），则k＝，点 D的坐标为；（ 2）若AB＝ 2BC，且△OAC的面积为18，求k的值及△ABD的面积．19.“安全教育”是学校一定展开的一项重要工作．某校为了认识家长和学生参加“暑期安全知识学习” 的状况，进行了网上测试，并在本校学生中随机抽取部分学生进行检查．若把参加测试的状况分为 4 类情况：A．仅学生自己参加；B．家长和学生一同参加；C．仅家长自己参加； D．家长和学生都未参加．依据检查状况，绘制了以下不完好的统计图．请依据图中供给的信息，解答以下问题：（ 1）在此次抽样检查中，共检查了名学生；（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数；（3）依据抽样检查结果，预计该校3000 名学生中“家长和学生都未参加”的人数．20.如图，在△ ABC中， AB＝BC，以 BC为直径作⊙ O交 AC于点 E，过点 E 作 AB的垂线交 AB于点 F，交 CB的延伸线于点G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若BG＝OB，AC＝ 6，求BF的长．21. 图 1 是某浴室花洒实景图，图 2 是该花洒的侧面表示图．已知活动调理点 B 能够上下调整高度，离地面 CD的距离 BC＝160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，能够扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长＝ 30 ．假定水柱AE 垂直AB直线发射，小华在离墙面距离CDABcm＝ 120cm处淋浴．（ 1）当α＝ 30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．（ 2）假如小华要洗脚，需要调整水柱①其余条件不变，只需把活动调理点AE，使点 E 与点 D重合，调整的方式有两种：B 向下挪动即可，挪动的距离BF与小华的身高DE有什么数目关系？直接写出你的结论；②活动调理点 B 不动，只需调整α 的大小，在图 3 中，试求α 的度数．（参照数据：≈ 1.73 ， sin8.6°≈ 0.15 ， sin36.9°≈ 0.60 ，tan36.9°≈ 0.75 ）2222. 已知抛物线y＝x +（2m+1）x+m﹣ 1．（ 1）若该抛物线经过点P（1，4），试求 m的值及抛物线的极点坐标．（ 2）求此抛物线的极点坐标（用含m的代数式表示），并证明：无论m为什么值，该抛物线的极点都在同一条直线l 上．（ 3）直线l截抛物线所得的线段长能否为定值？假如，恳求出这个定值；若不是，请说明原因．23. 定义：两个相像等腰三角形，假如它们的底角有一个公共的极点，那么把这两个三角形称为“关系等腰三角形”．如图，在△ ABC与△ AED中，BA＝ BC，EA＝ ED，且△ ABC～△ AED，因此称△ ABC与△ AED为“关系等腰三角形” ，设它们的顶角为α，连结EB，DC，则称为“关系比” ．下边是小颖研究“关系比”与α 之间的关系的思想过程，请阅读后，解答以下问题：[ 特例感知 ]（ 1）当△ABC与△AED为“关系等腰三角形“，α＝ 90°时，且①在图 1 中，若点 E 落在AB上，则“关系比”＝；②在图 2 中，研究△ABE与△ ACD的关系，并求出“关系比”的值．[ 类比研究 ]（ 2）如图 3，①当△ ABC与△ AED为“关系等腰三角形“，且α＝120°时，“关系比”＝；②猜想：当△ ABC与△ AED为“关系等腰三角形” ，且 a＝ n°时，“关系比”＝（直接写出结果，用含n 的式子表示）[ 迁徙运用 ]（3）如图 4，△ABC与△AED为“关系等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝ 90°，AC＝ 4，点 P 为 AC边上一点，且 PA＝1，点 E 为 PB上一动点，求点 E 自点 B 运动至点 P时，点 D所经过的路径长．中考第一次模拟考试数学试题含答案一、选择题 (共 8小题，每题 3 分，共 24 分)，，，2）1.在数 1 2 3和4中是方程 x +x-6=0 的根的为（A.1B.2C.3 D .42.桌上倒扣着形状，大小，反面图案都同样的 10张扑克牌，此中 6 张梅花、 4 张红桃，则（）A.从中随机抽取 1 张，抽到梅花的可能性更大B.从中随机抽取 1 张，抽到梅花和红桃的可能性同样大C.从中随机抽取 6 张必有 2 张红桃D.从中随机抽取 5 张，可能都是红桃3.抛物线 y=2( x-3)2-7 的极点坐标是（）A.(3，7)B.(- 3，7)C. (3，-7)D.(-3，- 7)4.在○ O 中，，的半径为，则圆心 0到 AB 的距离为（）弦AB的长为 8 005A.4B.3C.2D.15.在平面直角坐标系中，有A(3，- 2)，B(- 3，- 2)，C(2，2)，D(- 3，2)四点.此中对于原点对称的两点为（）A.点A 和点BB.点B 和点CC.点C 和点D D .点D和点A6.方程x2-x+2=0的根的状况是（）A.两实数根的积为2B.两实数根的和为1C.没有实数根D.有两个不相等的实数根7.将抛物线y=-( x+1) 2向右平移 3 个单位，再向卫平移 2 个单位后获得的抛物线的分析式为（）A. y=-(x+4) 2+2 B .y=-( x+4) 2-2 C. y=-(x-2) 2-2 D . y=-( x-2)2 +28.如图，点 O1是OABC的外心，以AB 为直径作○O 恰巧经过点O1.若AC=2.BC =4，则 A O1的长是（）A.3B.C.2 D .2二、填空题 (共 5 个小题，每题 3 分，共 15 分 )11.掷一枚质地不均勾的骰子，做了大批的重复试验，发现“向上一面为 3 点 "出现的频次愈来愈稳固于0.3.那么，掷一次该骰子，“向上一面为3 点”的概率为 ______.12.如图 .AB 是○ O 的直径 .点 C，D 在○ O 上 .若∠ CAB=40 ° .则∠ ADC 的度数为 ______ .12 题图14 题图15 题图π13.圆心角为 125°的扇形的弧长是 12. 5 。
2022年江苏省南京市中考数学第一次模拟考试试卷附解析
2022年江苏省南京市中考数学第一次模拟考试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下面设施并不是为了扩大视野、减少盲区而建造的是（ ）A ．建筑用的塔式起重机的驾驶室建在较高地方B ．火车、汽车驾驶室要建在车头稍高处，且减少车头伸出部分C ．指引航向的灯塔建在岸边高处，且灯塔建得也比较高D ．建造高楼时首先在地下建造几层地下室2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC ，若∠ABC=45°，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ＞ABB ．AC=ABC ．AC ＜ABD ．AC=12BC 3．若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ． 内含D ．外离或内含 图，梯形护坡石坝的斜坡 AB 的坡度1:3i =，坝高 BC 为 2m ，4．如则斜坡AB 的长是（ ）A ． 25mB ．210 mC ．45 mD ．6m5．小红把班级勤工助学挣得的班费 500 元按一年期存入银行，已知年利率为 x ，一年 到期后， 银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为 y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．25y x x =+B ．2500y x =+C ．2500y x x =+D ．2500(1)y x =+6．如图，过反比例函数3y x=（x>0）图象上任意两点A 、B 分别作x 铀的垂线，垂足分别为 C ．D ，连结 QA 、OB ，设△AOC 与△BQD 的面积分别为 S 1与S 2, 比较它们的大小可得（ ）A ．S 1=S 2B ．S 1>S 2C ．S 1<S 2D ．S 1与S 2大小关系不能确定A BOC 45°7．在□ABCD 中∠A=50°，则∠A 的邻角∠D 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．不能确定 8．底面是n 边形的直棱柱棱的条数共有（ ）A ．2n +B ．2nC ．3nD ．n 9．已知AD 是△ABC 的角平分线，则下列结论正确的个数有（ ）①BD ＝CD ，②BC ＝2CD ，③AD 平分BC ，④∠BAC ＝2∠DACA ．一个B ．二个C ．三个D ． 四个10．将某图形先向左平移3个单位，再向右平移4个单位，则相当于（ ）A ．原图形向左平移l 个单位B ．把原图形向左平移7个单位C ．把原图形向右平移l 个单位D ．把原图形向右平移7个单位 11．梯形的面积为 S ，上底为 a ，下底为 b ，那么高h 等于（ ） A ．1()2S a b + B ．2S a b + C ．2S()a b + D ．2()a b S + 12．6-（+4）-（-7）+（-3）写成省略加号的和式是（ ）A ．6-4+7+3B ．6+4-7-3C ．6-4+7-3D ．6-4-7-3二、填空题13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．14．一个正方体的表面积是384cm 2，求这个正方体的棱长．设这个正方体的棱长是xcm ，根据题意列方程得_____________________，解得x ＝_______cm ．15． 一元二次方程22410x x +-=二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．16．已知一个几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积为 cm 3．17．一次函数y kx b =+的图象经过点A(0，2)，B(3，0)，则此函数的解析式为 ；若将该图象沿x 轴向左平移4个单位，则新图象对应的函数解析式是 ．18．在平面直角坐标系中，将直线21y x =-向上平移动4个单位长度后，所得直线的解析式为 ． 19．在△ABC 中，到AB ，AC 距离相等的点在 上．20． 若|21||5|0x y x y -+++-=，则x = , y = ．21．一个数是 6，另一个数比6 的相反数大 2，则这两个数的和为 ．三、解答题 22．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 为过圆心0 的割线，PA=10cm ，PB =5cm ，求⊙O 的直径.23．在摸奖活动中，游乐场在一只黑色的口袋里装有只颜色不同的50只小球，其中红球1只、黄球2只、绿球10只，其余为白球，搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的标准在球上（如下图）(1) 如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？(2) 如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？24．在如图所示的相似四边形中，求未知边 x 、y 的长度和角度α的大小.C B A25．已知关于x 的一元二次方程21(1)420mm x x ++++=．(1）求实数m 的值；(2）求此方程的解．26．如图，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求△ABC 的内角的度数．27．已知2n x =，3n y =，求3()n xy 的值.28．如图所示，已知直线l 和m ，l ⊥m ．(1)将折线ABC 先以直线l 为对称轴作镜面对称变换，然后以直线m 为轴，将所得的像作镜面对称，作出经两次变换所得的像；(2)如果要使(1)题图形变换最终的像回到原来的折线ABC ，那么应作怎样的图形变换?29．把下列各数的序号填在相应的数集内：① 1；②35；③) + 3. 2；④0；⑤13；⑥-5；⑦+ l08；⑧)- 6.5；⑨467．(1)正整数集{ }(2)正分数集{ }(3)负分数集{ }(4)有理数集{ }30．从2005年9月起，中国的鞋号已“变脸”，新的国家标准要求鞋号用毫米数标注。
2024年江苏省南京市钟英中学中考数学一模试卷(无答案)
2024年江苏省南京市秦淮区钟英中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所输出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．的值等于（）A．2B．﹣2C．±2D．162．计算（﹣a3）2•（﹣a2）3的结果是（）A．a10B．﹣a10C．a12D．﹣a123．绝对值小于的整数的个数是（）A．2B．3C．4D．54．改变数据2，4，6，8中的某1个数字的值后，新数据的中位数增加了1（）A．4B．5C．6D．a（a＞6）5．若关于x的方程a（x+1）2﹣b＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则（）A．a﹣b＞0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．ab＜06．如图，木工师父要用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，截面的形状不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上)7．某电子的直径约为0.0000000000000012米，这个数可用科学记数法表示为．8．一个数的平方是它的相反数，这个数是．9．若x＝1是一元二次方程2x2+6x﹣m＝0的一个根，则其另一个根是．10．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，为40°，则为°．11．如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动（m）与两者运动的时间t（s）之间的关系cm/s．12．某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程．13．如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，则“三叶草”的面积是．14．如图，将等边三角形ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上点A′处．若AD＝2，则△ABC的边长是．15．代数式x2+2y2+2xy+2x的最小值是．16．如图，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O的切线，切点分别为E，F，G，H，BF＝b，DH＝c.（用含a，b，c的代数式表示）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．化简：（﹣）÷．18．解不等式组．请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得．（2）解不等式③，得．（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．19．如图，在△ADE和△FDE中，∠ADE＝∠AED，AD，EF的延长线相交于点B、AE20．某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如图．（1）求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；（精确到0.1%）（2）三个小组都认为自己的组训练效果最好，请你分别写出一条支持他们三组观点的理由．21．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后，放回袋中再次搅匀后，乙再从中任意摸出2个球．（1）求甲摸到的2个球颜色相同的概率；（2）甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的概率是．22．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？本题所列的方程可以是：①；②．（1）x表示的实际意义是，y表示的实际意义是．（2）选择其中一种方程解答此题．23．如图，山顶有一塔AB，在塔的正下方沿直线CD有一条穿山隧道EF，从与F点相距50m的D处测得A 的仰角为45°．若隧道EF的长为323m，求塔AB的高．（参考数据：tan72°≈0.40，tan27°≈0.51．）24．题目：已知：如图，△ABC．求作：矩形DEFG，使顶点D，E分别在AB，顶点F，G都在BC边上（用直尺和圆规作图，写出必要的文字说明．）（1）小明对上述题目的解答如图①所示（隐去了弧），他写的文字说明是：AH是高，CM＝2AH（2）如图②，小丽只会作矩形D1E1F1G1，除了顶点E1不在AC边上外，其他都已经满足了题目的要求，她想通过图形的变换将矩形D1E1F1G1变化为要求作的矩形．请按小丽的思路完成作图，并描述从矩形D1E1F1G1到矩形DEFG的变换过程．25．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC（1）如图①，当CD与⊙O相切时，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图②，当CD与⊙O相交于点E时．（Ⅰ）若AD＝6，CE＝5，求⊙O的半径．（Ⅱ）连接BE，交AC于点F，若EF•AB＝CF2，则∠D的度数是°．26．已知函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．（2）不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．（3）在﹣2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．27．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF的焦距为f，主光轴l⊥EF，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，OB＝OD＝2f，蜡烛PQ⊥l（蜡烛可移动，且OQ＞f），光线PG∥l，其折射光线GC与另一条经过光心的光线PP′相交于点P′（P′Q′⊥1）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高（PQ）为h（P′Q′）为h′，物距（OQ），像距（OQ′）为v．（1）若f＝10cm，h＝10cm，u＝15cm cm，v＝cm．（2）求证．（3）当f一定时，画出v与u之间的函数图象（u＞f），并结合图象。
2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合1．（2分）能与﹣2相加得0的数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（2分）下列正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为（）A．5B．6C．7D．84．（2分）下列图形是三棱柱展开图的（）A．B．C．D．5．（2分）若m≠n，则下列化简一定正确的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（）A．3环以下（含3环）的人数B．4环以下（含4环）的人数C．5环以下（含5环）的人数D．6环以下（含6环）的人数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）若x+2y＝5，则3x+6y﹣1的值是．8．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）计算+的结果是．10．（2分）若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是．11．（2分）若＝a4（a为大于1的整数），则n的值是．12．（2分）一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是．13．（2分）如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为．14．（2分）如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是．15．（2分）关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m（m＞1）的两根之和是．16．（2分）如图，已知点A（1，0）、B（5，0），点C在y轴上运动．将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内17．（7分）解不等式组．18．（7分）计算．19．（8分）现有甲、乙、丙、丁四人随机分成A、B两组，每组两人，求下列事件的概率．（1）甲在A组；（2）甲、乙都在A组．20．（8分）函数y＝x+m与的图象相交于A（2，1）、B两点．（1）求m及k的值；（2）结合函数图象，直接写出的解集．21．（8分）以下是某地近年来PM2.5年均值和全年空气优良率统计表：年份项目20192020202120222023 PM2.5年均值（单位：微克/立方米）3935312928空气优良天数比例70%75%80%83%85%（1）与上一年相比，PM2.5年均值变化率最大的是（▲）A．2020B．2021C．2022D．2023（注：①空气优良天数比例＝×100%；②变化率＝×100%）（2）请在图中绘制恰当的统计图反映空气优良天数情况；（3）请结合上述图表中信息，写出一个不同于（1）的结论．22．（8分）小刚和小强分别从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇．相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚到达B地．求两人的行进速度．23．（8分）在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD．（1）如图，若AB＝CB，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝CD，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举反例．24．（8分）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC 与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：测量项目测量数据从D处测得灯杆顶部B处仰角αα＝37°从E处测得灯杆支架C处仰角ββ＝63°26'；两次测量之间的水平距离DE＝5.1m灯杆的高度AB＝8.1m求灯管支架BC的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00）25．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F．（1）求证：AC＝BC；（2）连接AO并延长交BC于点E，若AO＝5，OF＝3，求OE的长．26．（8分）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）．①若函数图象恰好经过点M，求a的值；②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．（10分）数学的思考如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．数学的眼光（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；数学的表达（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合1．【分析】根据有理数的加法法则逐项计算判断即可．【解答】解：A、2+（﹣2）＝0，故此选项符合题意；B、﹣2+（﹣2）＝﹣4，故此选项不符合题意；C、+（﹣2）＝，故此选项不符合题意；D、+（﹣2）＝，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．2．【分析】根据二次根式的性质判断即可．【解答】解：A.，错误，不符合题意；B.，正确，符合题意；C.，错误，不符合题意；D.，错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．【分析】先将3.7231×1011化成原数，再看原数中的个数即可．【解答】解：3.7231×1011＝372310000000．则原数中0的个数为7．故选：C．【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法与原数之间的换算是解题的关键．4．【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．【解答】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．5．【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【解答】解：A．当m＝2，n＝3时，＝，＝，即，故本选项不符合题意；B．当m＝2，n＝5时，＝﹣，＝，即，故本选项不符合题意；C．当m＝2，n＝3时，＝，＝，即，故本选项不符合题意；D．＝，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质（分式的分子和分母都乘或除以同一个数，分式的值不变）是解此题的关键．6．【分析】根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题．【解答】解：由题意和条形图可得，3环以下（含3环）的人数为：2+3+5＝10，故选项A不符合题意，∵射击成绩的中位数是5环，一共35人，4球以下的人数为10人，由图可知，4球的人数超过6人，∴4环以下（含4环）的人数为：2+3+5+7＝17，故选项B不符合题意，5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意，6环以下（含6环）的人数为：35﹣1＝34，故选项D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．【分析】将3x+6y﹣1转化为3（x+2y）﹣1再整体代入计算即可．【解答】解：∵x+2y＝5，∴3x+6y﹣1＝3（x+2y）﹣1＝3×5﹣1＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键．8．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．9．【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝+2＝3．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．10．【分析】直接利用圆锥的侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，＝πrl＝2×1×π＝2π，∴S侧故答案为：2π．【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算公式，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．11．【分析】根据合并同类项法则进行化简后可得a•a n＝a n+1＝a4，计算出n值即可．【解答】解：根据题意得：a•a n＝a n+1＝a4，∴n+1＝4，∴n＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项概念是关键．12．【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．【解答】解：由平均数的公式得：（x+2+3）÷3＝3，解得：x＝4，∴方差＝×[（4﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2]＝．故答案为：．【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．13．【分析】由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．设∠ABD的平分线与AD的交点为E，则∠ABE＝．结合矩形的性质可得，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADB＝24°，进而可得∠ABD＝66°，则∠ABE＝33°，根据∠1＝∠A+∠ABE可得答案．【解答】解：由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．设∠ABD的平分线与AD的交点为E，如图，则∠ABE＝．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝24°，∴∠ABD＝90°﹣24°＝66°，∴∠ABE＝＝33°，∴∠1＝∠A+∠ABE＝90°+33°＝123°．故答案为：123°．【点评】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．【分析】根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OF、OG，则OF＝OG＝4，过点G作GM⊥OF于点M，∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴∠FOG＝＝45°，在Rt△OGM中，∠GOM＝45°，OG＝4，∴OM＝GM＝OG＝2，＝OF•GM＝×4×2＝4，∴S△FOG＝8S△FOG＝32．∴S正八边形ABCDEFGH故答案为：32．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键》15．【分析】先设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x1，x2，然后把关于x的方程化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可．【解答】解：设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x1，x2，（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m，x2﹣2nx+n2+2x﹣2n+2﹣m＝0，x2+（2﹣2n）x+n2﹣2n+2﹣m＝0，x1+x2＝﹣（2﹣2n）＝2n﹣2，故答案为：2n﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于x的方程转化成一般形式．16．【分析】由“SAS“可证△CAO≌△DAH，可得∠AHD＝∠COA＝90°，则点D在过点H且垂直于AH 的直线上运动，由矩形的性质和直角三角形的性质可求解．【解答】解：以AO为边作等边三角形AOH，连接HD，∵点A（1，0）、B（5，0），∴OA＝1，AB＝4，∵△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝OH，∠OAH＝60°，∵将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，∴AD＝AC，∠CAD＝60°＝∠OAH，∴∠OAC＝∠DAH，∴△CAO≌△DAH（SAS），∴∠AHD＝∠COA＝90°，∴点D在过点H且垂直于AH的直线上运动，∴当BD⊥DH时，BD有最小值，此时，如图，过点A作AN⊥BD于N，∵∠AHD＝90°，AN⊥BD，DB⊥HD，∴四边形AHDN是矩形，∴AH＝DN＝1，∠HAN＝90°，∴∠BAN＝30°，∴BN＝AB＝2，∴BD＝DN+BN＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内17．【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．【解答】解：由2x﹣1＞x+1得：x＞2，由＜x﹣1得：x＜5，则不等式组的解集为2＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．【分析】先算括号里面的，再算加法即可．【解答】解：＝÷＝•＝．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．19．【分析】（1）由题意可得所有等可能的结果，以及甲在A组的结果，再利用概率公式可得答案．（2）由题意可得所有等可能的结果，以及甲、乙都在A组的结果，再利用概率公式可得答案．【解答】解：将甲、乙、丙、丁四人随机分成A、B两组，每组两人，所有等可能的结果有：（甲乙，丙丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙），（乙丙，甲丁），（乙丁，甲丙），（丙丁，甲乙），共6种．（1）甲在A组的结果有：（甲乙，丙丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙），共3种，∴甲在A组的概率为＝．（2）甲、乙都在A组的结果有：（甲乙，丙丁），共1种，∴甲、乙都在A组的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20．【分析】（1）将点A（2，1）坐标分别代入两个解析式求出m、k值即可；（2）先求出两个函数解析式，再求出交点坐标，最后根据图象直接写出不等式的解集即可．【解答】解：（1）将点A（2，1）坐标分别代入两个解析式得：2+m＝1，1＝，∴m＝﹣1，k＝2．（2）由（1）可知，直线解析式为：y＝x﹣1，反比例函数解析式为：y＝，联立方程组，解得：，，∴A（2，1），B（﹣1，﹣2），函数图象如下：由图象可知不等式的解集为：x＞2或﹣1＜x＜0．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．21．【分析】（1）分别求出2020年，2021年，2022年，2023年变化率，再比较即可作出选择；（2）先求出这五年的空气优良天数，再绘制折线统计图即可；（3）根据折线统计图的特点写出一个结论即可．【解答】解：（1）2020年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈10.26%，2021年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈11.43%，2022年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈6.45%，2023年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈3.45%，∵11.43%＞10.26%＞6.45%＞3.45%，∴2021年PM2.5年均值变化率最大，故选：B．（2）2019年全年空气优良天数为：365×70%≈256（天），2020年全年空气优良天数为：365×75%≈274（天），2021年全年空气优良天数为：365×80%＝292（天），2022年全年空气优良天数为：365×83%≈303（天），2023年全年空气优良天数为：365×85%≈310（天），可绘制折线统计图如下：（3）答案不唯一，比如：这五年空气优良天数逐年增加．【点评】本题考查统计表，折线统计图，理解题意，明确不同统计图的作用是解题的关键．22．【分析】设小强的行进速度为x km/h，则小刚的行进速度为（x+12）km/h，利用路程＝速度×时间，结合小强2h走过的路程和小刚0.5h骑行的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出小强的行进速度，再将其代入（x+12）中，即可求出小刚的行进速度．【解答】解：设小强的行进速度为x km/h，则小刚的行进速度为＝（x+12）km/h，根据题意得：0.5（x+12）＝2x，解得：x＝4，∴x+12＝4+12＝16（km/h）．答：小刚的行进速度为16km/h，小强的行进速度为4km/h．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．23．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，求得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定定理得到AD∥BC，等量代换得到AD＝BC，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；（2）具备这些条件的四边形可能的等腰梯形．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∵AB＝CB，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：（1）中结论不成立，如图，∵AB＝AD＝CD，BD平分∠ABC，但四边形ABCD是等腰梯形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．【分析】延长AB，EC交于F，根据三角函数的定义得到AE＝AD﹣DE＝5.7（m），BF＝AF﹣AB＝3.3（m），过C作CH⊥AF于H，根据平行线的性质得到∠FCH＝∠FEA＝β，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：延长AB，EC交于F，在Rt△ADB中，tanα＝，∴tan37°＝≈0.75，∴AD＝10.8m，∵DE＝5.1m，∴AE＝AD﹣DE＝5.7（m），在Rt△AEF中，tanβ＝，∴≈2.00，∴AF＝11.4m，∴BF＝AF﹣AB＝3.3（m），过C作CH⊥AF于H，∴∠CHF＝CHB＝90°，∴CH∥AE，∴∠FCH＝∠FEA＝β，∵∠ABC＝127°，∴∠CBH＝53°，∴∠BCH＝37，∴FH＝CH•tanβ，BH＝CH•tanα，∴BF＝BH+FH＝CH•tanβ+CH•tanα＝CH•（0.75+2）＝3.3，解得CH＝1.2m，∴BC＝＝＝1.5（m），答：灯管支架BC的长度为1.5m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．25．【分析】（1）根据垂径定理即可得出点C为弧AB的中点，再根据弧、弦、圆心角的关系定理即可证得；（2）延长AE交⊙O于点G，连接BG，先证FC∥GB，得到△COE∽△BGE，再求出OC、OG、BG 的长，即可求出OE的长．【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴AC＝BC；（2）解：延长AE交⊙O于点G，连接BG，∵AG为直径，∴∠ABG＝90°，∵CD⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠ABG＝∠AFC，∴△COE∽△BGE，∴，∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，即点F为AB的中点，∵点O为AG的中点，∴OF为△ABG的中位线，∴OF＝，∵OF＝3，∴GB＝6，∵AO＝5，∴OC＝OG＝5，∴，∴OE＝．【点评】本题考查了圆周角定理及推论，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点比较多，需熟练掌握．26．【分析】（1）先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标，根据A、B关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；（2）①根据对称轴公式求得b＝﹣4a，则y＝ax2﹣4ax﹣a，代入M（1，1﹣a）即可求得a的值；②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，∴A（0，﹣a），点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，﹣a），∴点B（4，﹣a）；∵A与B关于对称轴x＝2对称，∴抛物线对称轴x＝2；（2）①∵对称轴x＝2，∴y＝ax2﹣4ax﹣a，∵函数图象恰好经过点M（1，1﹣a），∴1﹣a＝a﹣4a﹣a，∴a＝﹣；将x＝1代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，将x＝3代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，②当a＞0时，抛物线开口向上，∴﹣3≤﹣4a，解得a≤，故0＜a，当a＜0时，抛物线开口向下，∴1﹣a≥﹣4a，解得a，故﹣≤a＜0，综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0＜a或﹣≤a＜0．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）连接BD，根据外角的性质，得到∠ADB＝∠BDP2+∠P2，即可解答．（2）设点C（a，﹣a+5），求出AC，根据AC＝PC，列出等式，即可解答．（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，证明△PDA∽△BDP，求出PO，即可解答．（4）有三种作法，方法一：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．【解答】解：（1）如图，连接BD，∴∠P1＝∠ADB∵∠ADB是△BDP2的外角，∴∠ADB＝∠BDP2+∠P2，∴∠ADB＞∠P2，∴∠P1＞∠P2；（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，∵点C在直线l上，设点C（a，﹣a+5），∴，PC＝﹣a+5．∵AC＝PC，∴，∴2a2﹣5a+4＝0，解得，（不合题意，舍去），∴P点坐标为；（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，如图，∵AE是⊙C直径，∴∠PAE＝90°，∴∠E+∠EPA＝90°，∵⊙C与x轴相切于点P，∴PC⊥x轴，∴∠APD+∠EPA＝90°，∴∠E＝∠APD，又∵∠E＝∠B，∴∠APD＝∠B，∵∠PDA＝∠BDP，∴△PDA∽△BDP，∴PD2＝DA•DB，∵A（0，2）、B（3，5），∴，，∴，即，∴，∴P点的坐标为；（4）提供三种作法如下：方法一：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在右图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了垂径定理，作图，掌握垂径定理是解题的关键。
江苏省南京市秦淮区(一中学)2024届中考数学最后一模试卷含解析
江苏省南京市秦淮区(一中学)2024年中考数学最后一模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）A ．（a+b ）元B ．（3a+2b ）元C ．（2a+3b ）元D ．5（a+b ）元2．如图，3个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A 、B 、C 都在格点上，点D 在过A 、B 、C 三点的圆弧上，若E 也在格点上，且∠AED =∠ACD ，则∠AEC 度数为 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°3．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）A ．8.23×10﹣6B ．8.23×10﹣7C ．8.23×106D ．8.23×1074．下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）． A ．16 B ．12 C ．13 D ．236．如图，BC ∥DE ，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C 等于（ ）A ．60°B ．35°C ．25°D ．20°7．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A 港和B 港相距多少千米. 设A 港和B 港相距x 千米. 根据题意，可列出的方程是（ ）. A ．32824x x =- B ．32824x x =+ C ．2232626x x +-=+ D ．2232626x x +-=-8．一个圆锥的底面半径为52，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A ．180° B ．150°C ．120°D ．90° 9．下列所给函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ）A ．y=﹣x ﹣1B ．y=2x 2（x≥0）C ．2y x= D ．y=x+1 10．用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应（ ）A ．32⨯+⨯①②B ．3-2⨯⨯①②C ．53⨯+⨯①②D ．5-3⨯⨯①②11．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣512．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x （单位：环）．下列说法中正确的是（ ） A ．若这5次成绩的中位数为8，则x ＝8B ．若这5次成绩的众数是8，则x ＝8C ．若这5次成绩的方差为8，则x ＝8D ．若这5次成绩的平均成绩是8，则x ＝8二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：（﹣12）﹣2﹣2cos60°=_____． 14．12019的相反数是_____． 15．已知a ＋b ＝1，那么a 2－b 2＋2b ＝________．16．三个小伙伴各出资a 元，共同购买了价格为b 元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为__元（用含a 、b 的代数式表示）17．如图，ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．18．在函数y ＝中，自变量x 的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是2．请你回答：（1）收回问卷最多的一天共收到问卷_________份；（2）本次活动共收回问卷共_________份；（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？20．（6分）某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．22．（8分）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)23．（8分）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示﹣，设点B 所表示的数为m ．求m 的值；求|m ﹣1|+（m+6）0的值．24．（10分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了_____名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是____°；(2)将条形统计图补充完整；(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ 进行沟通的学生有多少名？(4)甲、乙两名同学从微信，QQ ，电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．25．（10分）楼房AB 后有一假山，其坡度为i=1：3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=18米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．（注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）26．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-，且与y 轴交于点()B 0,1-，点P 为抛物线上一点．()1求抛物线的表达式；()2若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q.如果OP OQ =，求点Q 的坐标．27．（12分）我们知道ABC △中，如果3AB =，4AC =，那么当AB AC ⊥时，ABC △的面积最大为6；(1)若四边形ABCD 中，16AD BD BC ++=，且6BD =，直接写出AD BD BC ，，满足什么位置关系时四边形ABCD 面积最大？并直接写出最大面积.(2)已知四边形ABCD 中，16AD BD BC ++=，求BD 为多少时，四边形ABCD 面积最大？并求出最大面积是多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、C【解题分析】用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．【题目详解】买单价为a 元的苹果2千克用去2a 元，买单价为b 元的香蕉3千克用去3b 元，共用去：(2a +3b )元.故选C.【题目点拨】本题主要考查列代数式，总价=单价乘数量.2、B【解题分析】将圆补充完整，利用圆周角定理找出点E的位置，再根据菱形的性质即可得出△CME为等边三角形，进而即可得出∠AEC的值．【题目详解】将圆补充完整，找出点E的位置，如图所示．∵弧AD所对的圆周角为∠ACD、∠AEC，∴图中所标点E符合题意．∵四边形∠CMEN为菱形，且∠CME=60°，∴△CME为等边三角形，∴∠AEC=60°．故选B.【题目点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点E的位置是解题的关键．3、B【解题分析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．详解：0.000000823=8.23×10-1．故选B．点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4、C【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C．【题目点拨】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．5、B【解题分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算. 【题目详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=31 = 62故选B.【题目点拨】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.6、C【解题分析】先根据平行线的性质得出∠CBE=∠E=60°，再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可．【题目详解】∵BC∥DE，∴∠CBE=∠E=60°，∵∠A=35°，∠C+∠A=∠CBE，∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°，故选C．【题目点拨】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.7、A【解题分析】通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可．【题目详解】解：设A 港和B 港相距x 千米，可得方程：32824x x =- 故选：A ．【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．8、B【解题分析】 解：5622180n ππ⨯=，解得n=150°．故选B ． 考点：弧长的计算．9、A【解题分析】根据二次函数的性质、一次函数的性质及反比例函数的性质判断出函数符合y 随x 的增大而减小的选项．【题目详解】解：A ．此函数为一次函数，y 随x 的增大而减小，正确；B ．此函数为二次函数，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，错误；C ．此函数为反比例函数，在每个象限，y 随x 的增大而减小，错误；D ．此函数为一次函数，y 随x 的增大而增大，错误．故选A ．【题目点拨】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握函数的增减性是解决问题的关键．10、C【解题分析】利用加减消元法53⨯+⨯①②消去y 即可．【题目详解】用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应①×5+②×3， 故选C此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．11、B【解题分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【题目详解】∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m ，∴-2+m=−31， 解得，m=-1，故选B ．12、D【解题分析】根据中位数的定义判断A ；根据众数的定义判断B ；根据方差的定义判断C ；根据平均数的定义判断D ．【题目详解】A 、若这5次成绩的中位数为8，则x 为任意实数，故本选项错误；B 、若这5次成绩的众数是8，则x 为不是7与9的任意实数，故本选项错误；C 、如果x=8，则平均数为15（8+9+7+8+8）=8，方差为15[3×（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.4，故本选项错误； D 、若这5次成绩的平均成绩是8，则15（8+9+7+8+x ）=8，解得x=8，故本选项正确； 故选D ．【题目点拨】本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差()()()()22221232...n x x x x x x x xS n -+-+-++-=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、3【解题分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.（﹣12）﹣2﹣2cos60° =4-2×12 =3，故答案为3.【题目点拨】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 14、12019- 【解题分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【题目详解】12019的相反数是−12019. 故答案为−12019. 【题目点拨】本题考查的知识点是相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数.15、1【解题分析】解：∵a+b=1，∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b +-+=⨯-+=-+=+=故答案为1.【题目点拨】本题考查的是平方差公式的灵活运用.16、（3a ﹣b ）【解题分析】解：由题意可得，剩余金额为：（3a -b ）元，故答案为：（3a -b ）．点睛：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．17、1．【解题分析】∵ABCD 的周长为33，∴2（BC+CD ）=33，则BC+CD=2．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD=12，∴OD=OB=BD=3．又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD ．∴OE=BC ．∴△DOE 的周长="OD+OE+DE=" OD +12（BC+CD ）=3+9=1，即△DOE 的周长为1． 18、x ≥4【解题分析】试题分析：二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义．由题意得，． 考点：二次根式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、18 60分【解题分析】分析：（1）观察图形可知，第4天收到问卷最多，用矩形的高度比=频数之比即可得出结论；（2）由于组距相同，各矩形的高度比即为频数的比，可由数据总数=某组的频数÷频率计算；（3）根据概率公式计算即可；（4）分别计算第4天，第6天的获奖率后比较即可．详解：（1）由图可知：第4天收到问卷最多，设份数为x ，则：4：6=2：x ，解得：x =18；（2）2÷[4÷（2+3+4+6+4+1）]=60份；（3）4183P 6010==∴第天，抽到第4天回收问卷的概率是310； （4）第4天收回问卷获奖率105189=，第6天收回问卷获奖率23． ∵5293<， ∴第6天收回问卷获奖率高．点睛：本题考查了对频数分布直方图的掌握情况，根据图中信息，求出频率，用来估计概率．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．概率=所求情况数与总情况数之比．20、（1）购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元（2）这所学校最多可购买2个乙种足球【解题分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球．【题目详解】（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+2）元，根据题意得：20001400220x x=⨯+，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝1．答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元．（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+1×（1﹣10%）m≤2910，解得：m≤2．答：这所学校最多可购买2个乙种足球．【题目点拨】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系．21、（1）y=3x；y=x-2；（2）（0,0）或（4,0）【解题分析】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）首先求得AB与x轴的交点，设交点是C，然后根据S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．试题解析：（1）∵反比例函数y=mx（m≠0）的图象过点A（1，1），∴1=1m ∴m=1．∴反比例函数的表达式为y=3x．∵一次函数y=kx+b的图象过点A（1，1）和B（0，-2）．∴31 {2k bb＝＝+-，解得：1{2kb-＝＝，∴一次函数的表达式为y=x-2；（2）令y=0，∴x-2=0，x=2，∴一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．∵S△ABP=1，1 2PC×1+12PC×2=1．∴PC=2，∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．【题目点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据S△ABP=S△ACP+S△BCP列方程是关键．22、（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；（2）单独请乙组需要的费用少；（3）甲乙合作施工更有利于商店.【解题分析】（1）设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元，根据总费用与时间的关系建立方程组求出其解即可；（2）由甲乙单独完成需要的时间，再结合（1）求出甲、乙两组单独完成的费用进行比较就可以得出结论；（3）先比较甲、乙单独装修的时间和费用谁对商店经营有利，再比较合作装修与甲单独装修对商店的有利经营情况，从而可以得出结论．【题目详解】解：(1)设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元.由题意得：883520 6123480x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：300140 xy=⎧⎨=⎩答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元(2)单独请甲组需要的费用：300×12=3600元.单独请乙组需要的费用：24×140=3360元.答：单独请乙组需要的费用少.(3)请两组同时装修，理由：甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；乙单独做，需费用3360元，少赢利200X24=4800元，相当于损失8160元；甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；因为5120<6000<8160，所以甲乙合作损失费用最少，答：甲乙合作施工更有利于商店.【题目点拨】考查列二元一次方程组解实际问题的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，设计推理方案的运用，解答时建立方程组求出甲乙单独完成的工作时间是关键．23、（1） ；（2【解题分析】试题分析：()1 点A 表示 向右直爬2个单位到达点B ，点B 表示的数为2m =，()2把m 的值代入，对式子进行化简即可．试题解析：()1 由题意A 点和B 点的距离为2，其A 点的坐标为 因此B 点坐标 2.m =()2把m 的值代入得：()()00162126m m -++=+-， (018=+-，11=+，=24、 (1)120，54；(2)补图见解析；(3)660名；(4)13. 【解题分析】(1)用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以样本中电话人数所占比例；(2)先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ 进行沟通的学生所占的百分比即可；(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：(1)这次统计共抽查学生24÷20%＝120(人)，其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是360°×18120＝54°， 故答案为120、54；(2)喜欢使用短信的人数为120﹣18﹣24﹣66﹣2＝10(人)，条形统计图为：(3)1200×66120＝660，所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名；(4)画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率13．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．25、（39+93）米．【解题分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：3，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．【题目详解】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵13EFiCF===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=12CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（3在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（3AB=AH+HB=（3答：楼房AB 的高为（35+103）米．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题；坡度坡角问题，掌握概念正确计算是本题的解题关键．26、()1为2y x 2x 1=+-；()2点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-． 【解题分析】()1依据抛物线的对称轴方程可求得b 的值，然后将点B 的坐标代入线22y x x c =-+可求得c 的值,即可求得抛物线的表达式；()2由平移后抛物线的顶点在x 轴上可求得平移的方向和距离，故此4QP =，然后由点QO PO =，//QP y 轴可得到点Q 和P 关于x 对称，可求得点Q 的纵坐标，将点Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x 的值，则可得到点Q 的坐标．【题目详解】()1抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-， b x 12a ∴=-=-，即b 121-=-⨯，解得b 2=． 2y x 2x c ∴=++．将()B 0,1-代入得：c 1=-，∴抛物线的解析式为2y x 2x 1=+-．()2抛物线向下平移了4个单位．∴平移后抛物线的解析式为2y x 2x 5=+-，PQ 4=．OP OQ =，∴点O 在PQ 的垂直平分线上． 又QP //y 轴，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的纵坐标为2-．将y 2=-代入2y x 2x 5=+-得：2x 2x 52+-=-，解得：x 3=-或x 1=． ∴点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-．【题目点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q 与点P 关于x 轴对称，从而得到点Q 的纵坐标是解题的关键．27、 (1)当AD BD ⊥，BC BD ⊥时有最大值1；(2)当8BD =时，面积有最大值32.【解题分析】（1）由题意当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大，由此即可解决问题．（2）设BD=x ，由题意：当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【题目详解】(1) 由题意当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大， 最大面积为12×6×（16-6）=1． 故当AD BD ⊥，BC BD ⊥时有最大值1；(2)当AD BD ，BC BD ⊥时有最大值，设BD x =, 由题意：当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大，16AD BD BC ++=16AD BC x ∴+=-ABD CBD ABCD S S S ∴=+四边形1122AD BD BC BD =⋅+⋅ ()12AD BC BD =+⋅ ()1162x x =- ()21=8322x --+ 102-< ∴抛物线开口向下∴当8BD = 时，面积有最大值32.【题目点拨】本题考查三角形的面积，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．。
最新2022年江苏省南京市中考数学一模试卷(解析版)
一．选择题（共6小题）1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×1052．表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．54．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．125．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝1666．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r ＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O 的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B →E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能二．填空题（共10小题）7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：．8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算的结果是．10．解方程＝得．11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．12．一组数据2，3，2，3，5的方差是．13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是．14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝°．15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是．三．解答题（共11小题）17．计算．18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：．20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x 件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A 0.1 1100B 0.8 aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，也就是要折出DM＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…折叠方①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB 分别相交于点F、G；法和示意图②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB 被N、Q三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×105【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．【解答】解：1200000＝1.2×106．故选：C．2．表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根【分析】根据算术平方根的定义计算可得．【解答】解：表示4的的算术平方根，故选：C．3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．【解答】解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．4．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．【解答】解：∵5≤≤7，4≤≤6，∴25≤a≤49，16≤b≤36，∴41≤a+b≤85，则的整数部分可以是6，7，8，9．故选：A．5．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝166【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可．【解答】解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，且只有1位同学身高是165cm，所以该班37名同学身高的平均数a＝165，中位数b＝166，故选：D．6．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r ＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O 的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B →E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．【解答】解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：BE+EC+CD+DA；②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：BE++DA；∵EC+CD＞，∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，即①＞②．故选：A．二．填空题（共10小题）7．写出一个数，使这个数等于它的倒数： 1 ．【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．【解答】解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．故答案为：1．8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1 ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．9．计算的结果是2．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝+故答案为：2．10．解方程＝得x＝9 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣9，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解．故答案为：x＝9．11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2 ，x1x2＝﹣．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．12．一组数据2，3，2，3，5的方差是 1.2 ．【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．【解答】解：＝（2+3+3+3+5）÷5＝3，S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）故填答案为1.2．13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是2或﹣2 ．【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，即可求解．【解答】解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，故答案为2或﹣2．14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝18 °．【分析】连接OB，OC，可求出∠BOC和∠COD的度数，则∠BOD 的度数可知，因为OB＝OD，进而可求出∠BDO的度数．【解答】解：连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案为：18．15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O 于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝9.6 ．【分析】连接OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明△BDO∽△BCA，求出AC．【解答】解：连接OD、AD、ED，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∴∠ODE+∠BDE＝90°，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OD＝OE∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD，∴＝，即＝，解得，AE＝12，∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝9.6，故答案为：9.6．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是28或30 ．【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．【解答】解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．三．解答题（共11小题）17．计算．【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．【分析】（1）先去括号，再移项得到5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为1即可，再用数轴表示解集即可求解．（2）根据题意可得0＜k≤1满足条件，依此写出即可求解．【解答】解：（1）5x+2≥3（x﹣1），去括号得5x+2≥3x﹣3，移项得5x﹣3x≥﹣3﹣2，合并得2x≥﹣5，系数化为1得x≥﹣2.5，用数轴表示为：（2）∵一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解，∴0＜k≤1，∴k＝1满足条件．19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°．∵∠HGI＝HGB，∠GHI＝GHD，∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+GHD＝（∠HGB+∠GHD）＝90°．∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，∴∠I＝90°．∴GI⊥HI．（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．【分析】（1）根据近视率＝计算即可．（2）利用图2中的信息解决问题即可．（3）根据图3解决问题即可．【解答】解：（1）该区1500名学生的近视率＝＝52%．（2）①近视率随年级的增高而增高．②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大．（3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少，近视率也随之上升．21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，∴甲乙恰有一人正确的概率是+＝，故答案为：．22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）举出反例解答即可．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x 件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A 0.1 1100B 0.8 aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为y＝0.1x+1100 ．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式；（2）①根据题意列方程解答即可；②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；故答案为：y＝0.1x+1100．（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，解得a＝400；②当x＝2000时，yC≤yA且yC≤yB，即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，解得：0＜b≤0.55．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）【分析】在直角三角形SDP中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即SD＝PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形PDQ中，利用勾股定理求出所求即可．【解答】解：在Rt△SPD中，∠SPD＝45°，∴SD＝PD，在Rt△SDQ中，∠SDQ＝37°，∴tan37°＝＝0.75，∴DQ＝SD＝PD，在Rt△PDQ中，PQ＝＝SD＝1，∴SD＝．26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤5 ；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y的取值范围；②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；③利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则，解得，，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，列表如下：x …0 1 2 3 4 …y … 5 2 1 2 5 …描点、连线，（2）①由函数图象可知，当1≤x≤4时，1≤y≤5，故答案为：1≤y≤5；②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，∴对称轴为x＝2，当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m 时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；③由已知可得图象过（a ，a）点，∴a＝a2﹣4a+5，解得，a ＝，∵当m≤x≤n时，m≤y≤n ，∴可以取m＝，n＝．27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，也就是要折出DM＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…折叠①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB方法和示意图分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD 、AB于M、Q；③过M 折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB 被N、Q三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）【分析】（1）由折叠的性质可得DF＝DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB ＝AB，可得结论；（2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AF＝BF＝DE＝EC ＝CD，AN＝DM＝NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得，由平行线分线段成比例可得AN＝MC＝DM，即可证AN＝NQ ＝QB．【解答】解：（1）由折叠的性质可得，DF＝DB，四边形ADMN 是矩形，∴DM＝AN，∵CD∥AB，∴△DFM∽△BAF，∴＝，∴DM＝AB，∴AN＝AB，同理可求QB＝AB，∴AN＝NQ＝QB；（2）如图，①将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF；②连接AC，DF，交点为G，③过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E，使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN；∴点N，点Q为AB的三等分点．理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，∵AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵AB∥CD，∴，天天向上独家原创∴AN＝MC＝DM，∴AN＝DM＝CD＝AB，∴NQ＝AB，∴AN＝NQ＝QB．31 / 31。
2024年中考数学第一次模拟考试(南京卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试(南京卷)数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列运算正确的是()A ．235a b ab B ．623a a a C ． 326a a D ． 222141a a 【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算即可．【详解】解：A ．2a 与3b 不是同类项，不可以合并，故错误；B ．624a a a ，故原计算错误；C ． 326a a ，原计算正确；D ． 2221441a a a ，故原计算错误；故选：C ．2．下列各式中计算正确的是（）A 3B 3C3D 3【答案】D【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可．【详解】解：A 33 ，故该选项不符合题意；B33 ，故该选项不符合题意；C 33 ，故该选项不符合题意；D3 ，故该选项符合题意；故选：D ．3．若关于x 的一元一次不等式(2)2m x m 的解为1x ，则m 的取值范围是（）A ．2mB ．2m C ．m>2D ．2m 【答案】A【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质可知，两边同时除以2m ，不等式的符号发生改变，可知20m ，求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元一次不等式(2)2m x m 的解为1x ，20m ，2m ∴．故选：A ．4．若 11,x y ， 22,x y 这两个不同点在y 关于x 的一次函数 11y a x 图象上，当（）时，12120x x y y ．A ．0aB ．0a C ．1a D ．1a 【答案】C0k 时，判断出y 随x 的增大而减小．此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．【详解】解：∵ 11,x y ， 22,x y 是一次函数 11y a x 图象上的两个不同点，且 12120x x y y ，∴12x x 与12y y 是异号，∴该函数y 随x 的增大而减小，∴10a ，解得1a ．故选：C ．5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（）A ．减少32米B ．增加32米C ．减少53米D ．增加53米【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点O 为光源，AB 表示小明的手，CD 表示小狗手影，则AB CD ，过点O 作OE AB ，延长OE 交CD 于F ，则OF CD ，∵AB CD ，∴AOB COD ∽，则AB OECD OF，∵1EF 米，2OE 米，则3OF 米，∴23AB OE D OF C ，设2AB k ，3CD k∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，即2AB k ，6C D k ，1EF 米，AO B C O D △∽△∴13AB O E C D O F ，则2O F O E O E EF ，∴12O E米，∴光源与小明的距离变化为：13222OE O E米，6．如图，在ABC 中，,36AB AC B ．分别以点,A C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE 分别交,AC BC 于点,F G ．以G 为圆心，GC 长为半径画弧，交BC 于点H ，连结,AG AH ．则下列说法错误的是（）A ．AG CGB ．2B HAB C．CG AC D．AGB AGC S S △△【答案】C【分析】根据基本作图得到DE 垂直平分AC ，GH GC ，再根据线段垂直平分线的性质得到AF CF ，GF AC ，GC GA ，于是可对A 选项进行判断；通过证明FG 为 ACH 的中位线得到FG AH ∥，所以AH AC ，则可计算出18HAB ，则2B HAB ，于是可对B 选项进行判断；通过证明CAG CBA ∽，利用相似比得到2CA CG CB ，然后利用AB GB AC ，设BC x ，AB GB AC a ＝＝＝，得2()a x a x ，解之得x，再计算出CG ACBG CGC 、D 选项进行判断．【详解】由作法得DE 垂直平分AC ，GH GC ，AF CF ，GF AC ，GC GA ，所以A 选项正确，不符合题意；CG GH ∵，CF AF ，FG 为 ACH 的中位线，FG AH ∥，AH AC ，90CAH ，AB AC ∵，36C B ，180108BAC B C ∵，10818HAB CAH ，2B HAB ，所以B 选项正确，不符合题意；∴36C GAC ，∴72BGA C GAC ，∴18072BAG B BGA ，∴ BG BA ，∴AB GB AC ＝＝．GCA ACB ∵，CAG B ，CAG CBA ∽，::CG CA CA CB ，2CA CG CB ，设BC x ，AB GB AC a ＝＝＝，得2()a x a x ，解之得12x a （负舍），∴BC∴CG BC BG a，2CGACa故C选项不正确，符合题意；512BGCG，∴AGB AGC S BG S CG △△所以D 选项正确，不符合题意．故选：C ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．分式3121x x 有意义，则x 的取值范围是．【答案】12x【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．【详解】解：∵分式3121x x 有意义，∴210x ，解得：12x，故答案为：12x．8．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超300000000000次，将数据300000000000用科学记数法表示为．【答案】11310 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为10n a 的形式，其中110a ，n 为整数即可求解，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：11300000000000310 ，故答案为：11310 ．9．因式分解：22218x y ．【答案】233x y x y 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】解：22218x y2229x y 233x y x y ，故答案为： 233x y x y ．10．已知2220x x ，代数式 212019x．【答案】2022【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握 2222a ab b a b ，把2220x x 变形为：213x ，再代入代数式，即可．【详解】∵2220x x ，∴222x x ，∴2213x x ，∴ 213x ，∴ 212019320192022x ．故答案为：2022．11．如图，在ABCD Y 中，BF 平分ABC ，交AD 于点F ，CE 平分BCD ，交AD 于点E ，6AB ，9BC ，则EF 长为.【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出AF AB 是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等可得AD BC ∥，6DC AB ，9AD BC ；根据两直线平行，内错角相等可得AFB FBC ；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得ABF FBC ；推得ABF AFB ，根据等角对等边可得6AF AB ，6DE DC ，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，6DC AB ，9AD BC ，∵AD BC ∥，∴AFB FBC ，∵BF 平分ABC ，∴ABF FBC ，则ABF AFB ，∴6AF AB ，同理可证：6DE DC ，∵2EF AF DE AD ，即669EF ，解得：3EF ；故答案为：3．12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 都在反比例函数 0ky x x的图象上，延长AB 交y 轴于点C ，过点A 作AD y 轴于点D ，连接BD ．若2AB BC ，BCD △的面积是2，则k 的值为．【答案】4【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点B 作BE AD 于E ，设k k A a B b a b，，，，先求出23AB AC ，证明ABE ACD ∽△△，得到23AE AB AD AC ，即23a b a ，由此可得3a b ；由BCD △的面积是2，2AB BC ，得到24ABD BCD S S △△，求出23k k kBE b a b，则123423ABD k S AD BE b b△，即可得到4k ．【详解】解：如图所示，过点B 作BE AD 于E ，设k k A a B b a b，，，，∵2AB BC ，∴23AB AC ，∵AD y ，BE AD ，∴BE CD ，∴ABE ACD ∽△△，∴23AE AB AD AC ，即23a b a ，∴3a b ；∵BCD △的面积是2，2AB BC ，∴24ABD BCD S S △△，∵233k k k k kBE b a b b b，∴123423ABD k S AD BE b b△，∴4k ，故答案为：4．13．如图，四边形ABCO 是正方形，顶点B 在抛物线 20y ax a 的图象上，若正方形ABCO，且边OC 与y 轴的负半轴的夹角为15 ，则a 的值是．【答案】【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接OB ，过B 作BD y 轴于D ，则45BOC ，可得30BOD ，再由直角三角形的性质可得,OD BD 的长，进而得到点 1,B ，即可求解．【详解】解：如图，连接OB ，过B 作BD y 轴于D ，则90BDO ，由题意得：45BOC ，∵15COD ，∴451530BOD ，∵正方形OABC∴2OB ，∴在Rt OBD △中，∴112BD OB，∴OD∴点 1,B ，代入 20y ax a 中，得：a∴故答案为：14．如图，在ABC 中，9043ACB AC BC ，，，将ABC 绕点B 旋转到DBE 的位置，其中点D 与点A 对应，点E 与点C 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么CBE 的正切值是．【答案】913【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作FG BD 于点G ，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得1EF ，BF ，解得95FG ，再利用由旋转的性质求得CBE FBG ，据此求解即可．【详解】解：作FG BD 于点G ，∵9043ACB AC BC ，，，∴5AB ，由旋转的性质得，3BE ，5BD ，90BED ，由题意得11433 4.522S EF 阴影，解得1EF ，∴BF ，∵14.52BFD S S BD FG 阴影△，解得95FG，∴135BG ，由旋转的性质得，CBA EBD ，则CBE FBG ，∴CBE 的正切值995tan 13135FG FBG BG ，故答案为：913．15．如图，在平面直角坐标系中，Q 与y 轴相切于点A ，与x 轴交于点B 、C ，连接BQ 并延长交Q 于点D ，交y 轴于点E ，连接DA 并延长交x 轴于点F ，已知点D 的坐标为 1,6，则点B 的坐标为．【答案】9,0【分析】作DG OE 于点G ，连接QA ，BA ，利用切线性质推出QA OB ∥，推出DAQ DFB ∽得出AQ 为DFB △的中位线，进而推出 AAS AFO ADG ≌，得到FO DG ，AO AG ，根据D 的坐标得到1FO ，3AO ，利用圆周角定理的推论，推出AFO BAO ∽，得到AO FO BO AO，即可求出B 坐标．【详解】解：如图，作DG OE 于点G ，连接QA ，BA，Q ∵ 与y 轴相切于点A ，QA OE ，BO OE ∵，QA OB ∥，DAQ DFB ∽，DQ AQ DB FB，12DQ BQ BD ∵，12AQ FB 即12AQ FB ，AQ ∴为DFB △的中位线，DA FA ，FAO DAG ∵，90AOF AGD ，AAS AFO ADG ≌，FO DG ，AO AG ，∵点D 的坐标为 1,6，1DG ，6OG ，1FO ，3AO ，BD Q 是直径，90FAB ，FAO BAO ABO BAO ∵，AOF ABO ，90AOF AOB ∵，AFO BAO ∽，AO FO BO AO，313BO ，9BO ，B 的坐标为 9,0，故答案为： 9,0．16．如图，把Rt OAB 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为 04，，点B 的坐标为 30，，点P 是Rt OAB 内切圆的圆心．将Rt OAB 沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，…，依此规律，第2023次滚动后，Rt OAB 内切圆的圆心2023P 的坐标是．【答案】 80931，【分析】作PD OA 交OA 于D ，PF OB 交OB 于F ，PE AB 交AB 于E ，连接AP 、OP 、PB ，由A 、B 的坐标得出4OA ，3OB ，由勾股定理可得5AB ，再由内切圆的性质可得PD PE PF ，设PD PE PF r ，根据三角形的面积计算出1r ，从而得到 11P ，，根据旋转可得出2P 的坐标为： 35411 ，，即 111，，设1P 的横坐标为x ，根据切线长定理可得：331x ，即可得到2P 的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据202336741 ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作PD OA 交OA 于D ，PF OB 交OB 于F ，PE AB 交AB 于E ，连接AP 、OP 、PB ，，∵点A 的坐标为 04，，点B 的坐标为 30，，3OB ，4OA ，5AB ，∵点P 是Rt OAB 内切圆的圆心，PD OA ，PF OB ，PE AB ，PD PE PF ，设PD PE PF r ，1134622AOB S OA OB ∵，111222AOB APB AOP OPB S S S S AB PE OA PD OB PF ，1115436222r r r ，解得：1r ，11P ，，∵将Rt OAB 沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，由图可得2P 的坐标为： 35411 ，，即 111，，设1P 的横坐标为x ，根据切线长定理可得：331x ，解得：5x ，151P ，， 3P 的坐标为 35411 ，，即 131，，每滚动3次为一个循环，202336741 ∵，第2023次滚动后Rt OAB 内切圆的圆心2023P 的横坐标是： 67434558093 ，即2023P 的横坐标是8093，202380931P ，，故答案为： 80931，．三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）已知210a a ，求代数式321121a a a a a a的值．【详解】解：321121a a a a a a 211111a a a a a a a 21a a，∵210a a ，∴21a a ，∴原式111．18．（7分）已知实数x ，y 满足43617x y x y ，求x y 的值．【详解】解：43617x y x y①②，①6 ②得：24661817x y x y ，解得75x，将75x 代入①式，解得135y ，713455x y ．19．（8分）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【详解】（1）解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x 元，根据题意得33004000251.1x x解得40x ，经检验，40x 是原方程的解，也符合题意，∴40x ，答：第二批每个挂件进价是每个40元；（2）设每个挂件售价定为m 元，每周可获得利润W 元，∵每周最多能卖90个，∴604010901m ，解得55m ，根据题意得 260404010105214401m W m m，∵100 ，∴当52m 时，y 随x 的增大而减小，∵55m ，∴当55m 时，W 取最大，此时210555214401350W （）．∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．20．（8分）北京时间2023年10月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感．(1)小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）(2)小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率．【详解】（1）解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件，故答案为：不可能；（2）解：由题意可得，树状图如图所示，总共有16种情况，他们恰好选到同一本书的有4种，∴41164P ．21．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书先去实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A ．民俗文化，B ．节日文化，C ．古曲诗词，D ．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次随机调查的学生有名，在扇形统计图中“A ”部分圆心角的度数为；(2)通过计算补全条形统计图；(3)若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D ”社团的人数．【详解】（1）本次调查的总人数2440%60 （名），扇形统计图中，C 所对应的扇形的圆心角度数是63603660，故答案为：60，36 ；（2）606241812 （人）；补全条形统计图如答案图所示．（3）181********（名）．答：全校1800名学生中，参加“D ”活动小组的学生约有540名．22．（8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ，垂足为F ．(1)求证：ABE DFA △∽△；(2)若64AB BC ，，求DF 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC BAD ，∵DF AE ，∴90AFD EBA ∠∠，∴90BAE FAD FAD FDA ∠∠∠∠，∴BAE FDA ，∴ABE DFA △∽△；（2）解：∵四边形四边形ABCD 是矩形，4BC ，∴4AD BC ，∵E 是BC 的中点，∴122BE BC ，∵6AB ，∴AE ∵ABE DFA △∽△，∴AB AE DF AD ，即6DF∴DF23．（8分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角75.5BAD ，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45 时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin 75.50.97cos 75.50.25tan 75.5 3.87 ，，）【详解】解：如图所示，过点B 作BG AD 于点G ，BF CE 于点F ，则四边形DGBF 是矩形，∴BF DG BG DF ，，在Rt ABG △中，75.5904m BAD AGB AB ，∠，，∴cos 4cos75.5 1.0m AG AB BAG ，sin 4sin 75.5 3.9m BG AB BAG ∠，∴ 2.0m BF DG AD AG ，在Rt BCF 中， 2.0 2.0m tan tan 45BF CF BCF∠，∴ 3.9 2.0 1.9m CD DF CF BG CF ，∴阴影CD 的长为1.9m ．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过E 作弦CD AB ，连接AC ，AD ．(1)求证：ACD 是等边三角形；(2)若点F 是 AC 的中点，连接AF ，过点C 作CG AF ，垂足为G ，若O 的半径为2，求线段CG 的长．【详解】（1）证明：如图，连接OC 、BC ,∵AB 是O 的直径，CD AB ，∴AC AD ,∴AC AD ,∵点E 是OB 的中点，CD AB ，∴CD 是OB 的中垂线，∴OC BC ，∵OC OB ,∴OC OB BC ，∴OBC 是等边三角形，∴60ABC ，∴60ADC ABC ，∴ACD 是等边三角形；（2）解：如图，连接DF ，∵O 的半径为2，点E 是OB 的中点，∴3AE ，∵ACD 是等边三角形，CD AB ，∴1122CE CD AC ，在Rt ACE 中，3AE ，由勾股定理得：222AC CE AE ，即22192AC AC ，则AC ∵点F 是AC 的中点，∴AF CF，∴1302ADF CDF ADC ，∴30CAG CDF ，∵CG AG ，∴90G ，∴12CG AC .25．（8分）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程 m s 与时间 s t 的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为 20s kt k ；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程 m s 与时间 s t 的函数表达式为 2700s k t h k ．(1)求出启航阶段 m s 关于 s t 的函数表达式（写出自变量的取值范围），(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s ．①当90s t 时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，85.20s t 视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s 将速度从5m/s 提高到5.25m/s ，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s ）．【详解】（1）把(20,50)A 代入2s kt 得50400k ，解得18k ， 启航阶段总路程s 关于时间t 的函数表达式为21(020)8s t t ；（2）①设5s t b ，把(20,50)代入，得50520b ，解得50b ，550s t ．当90t 时，45050400s ．当90t 时，龙舟划行的总路程为400m ．②500125375 ，把375s 代入550s t ，得85t ．8585.20 ∵，该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知18k ，把(90,400)代入21(70)8s t h ，得350h ．函数表达式为21(70)3508s t ，把91t 代入21(70)3508s t ，解得405.125s ．(500405.125) 5.2518.07 ，90118.07109.07 ．答：该龙舟队完成训练所需时间为109.07s ．26．（9分）如图，在ABC 中，90BCA ，8AC ，4sin 5B ，点D 是斜边AB 的中点，点E 是边AC 的中点，连接CD ，点P 为线段CD 上一点，作点C 关于直线EP 对称点F ，连接EF PF 、，设DP 长为 0x x ．(1)AB 的长为．(2)求PF 长度（用含x 的代数式表示）．(3)当点F 落在直线CD 上时，求x 的值．(4)当直线PF 与ABC 的边BC 或AC 垂直时，直接写出x 的值．【详解】（1）解：∵在ABC 中，90BCA ，8AC ，4sin 5B ，∴8104sin 5AC AB B ，故答案为：10；（2）解：∵点D 是斜边AB 的中点，∴152CD AB ，∵DP x ，∴5CP CD DP x ，∴由轴对称的性质可得5PF CP x（3）解：如图，当点F 落在直线CD上时，∵点E 是边AC 的中点，∴142CE AC ，∵D 为AB 的中点，∴12CD AD AB ，∴A ECP ，∴4cos cos 5AC A ECP AB，由轴对称的性质可得CPE FPE ∠∠，∵180CPE FPE ∠∠，∴90CPE FPE ∠∠，∴在Rt CPE △中，4cos 5CP ECP CE，∴5445x ，解得95x ；（4）解：当PF AC 时，延长FP 交CA 于点G，在Rt ABC △中，6BC ，∴3sin 5BC A AB ，由轴对称的性质可得F PCE A PC PF ，，4EC EF ，∴43cos cos cos sin sin 55F PCG A PCG A ，，∴35PG PC ，∴ 33555PG PC x ∴ 855FG PF PG x，∵在Rt EFG △中，3cos 5FG F EF ，∴ 854545x ，解得3x ；当PF BC 时，延长FP 交BC 于点M ，则MF AC ∥，∴CEN F ACD A MPC ∠，∴sin sin MPC A ，∴Rt MPC △中，3sin 5MC MPC CP∠∴ 33555MC PC x ∵在Rt CEN △中，44cos 5CE CE CEN NE ，∴5EN ，∴3CN ，∴365495MN CM CN x NF ，，在Rt MNF △中，3sin 5MN F NF ，∴363595x ，解得1x ．综上所述，x 的值为1或3．27．（9分）如图，直线32y x 与双曲线 0k y k x交于A ，B 两点，点A 的坐标为 ,3m ，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC 并延长交x 轴于点D ，且2BC CD．(1)求k 的值并直接写出点B 的坐标；(2)点G 是y 轴上的动点，连接GB ，GC ，求GB GC 的最小值；(3)点P 是直线AB 上一个动点，是否存在点P ，使得OBC △与PBD △相似，若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）将 ,3A m 代入直线32y x中，得332m ，解得：2m ，2,3A ，6(3)2k \--´==，∴反比例函数解析式为6y x，由326y x y x ，解得23x y 或23x y ，∴点B 的坐标为 2,3；（2）如图，作BE x ⊥轴于点E ，CF x 轴于点F ，则BE CF ∥，BE CF ∵∥，DCF DBE \ ∽，DC CF DF DB BE DE\==，2BC CD ∵，13DC CF DF DB BE DE \===，∴3BE CF ，2,3B ∵，3BE ，1CF ，∵点C 在反比例函数6y x图象上， 6,1C ，作点B 关于y 轴的对称点B ，连接B C 交y 轴于点G ，则B C 即为BG GC 的最小值，()2,3B ∵¢-， 6,1C ，B C ¢\=BG GC 的最小值为（3）根据点P 是直线AB ：32y x 的上一个动点，则设点3,2P x x ，∵ 6,1C ， 2,3B ，∴OC OB CB 在（2）中有：13DC CF DF DB BE DE ===，∴3DE DF ，即2EF DE DF DF =-=， 2,3B ∵， 6,1C ，2OE ，6OF ，∴4EF OF OE ，∴2DF ，即8OD OF DF =+=，∴ 8,0D ，当OBC PBD ∽时，如图，∴BOC BPD ，∴OC PD ∥，∴2BO BC OP CD ==，∵OB∴OP ，∵3,2P x x ，结合图象有0x ，∴2OP x =-，==1x ，此时点31,2P ；当OBC DBP ∽时，如图，∴BO BC BD BP=，∵ 8,0D ， 2,3B ，∴BDBP=，∴BP ，∵3,2P x x ， 2,3B ，∴()2223232x x 骣骣琪-+-=琪桫，解得：18613x =，23413x =-，当8613x =时，点P 在点B 右侧，此时DBP 是钝角三角形，不可能与OBC △相似，故舍去；当23413x =-时，点3451,132P ；综上：满足条件的点P 的坐标为：3451,132 或者31,2 ．。
2010-2023历年江苏省南京市建邺区中考一模数学试卷(带解析)
2010-2023历年江苏省南京市建邺区中考一模数学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共20题)1.在函数中，自变量x的取值范围是▲．2.已知AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α．【小题1】如图1，α＝60°，探究线段CE与AD的数量关系，并加以证明；【小题2】如图2，α＝120°，探究线段CE与AD的数量关系，并说明理由；【小题3】如图3，结合上面的活动经验探究线段CE与AD的数量关系为_______ ___ ．（直接写出答案）．3.分解因式：= ▲．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．【小题1】判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；【小题2】当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径．5.计算(2＋)－＝▲．6.平安加气站某日的储气量为10000立方米．假设加气过程中每把加气枪均以每小时200立方米的速度为汽车加气．设加气站的储气量为y（立方米），加气总时间为x（小时）（加气期间关闭加气枪的时间忽略不计）．从7︰00开始，加气站加气枪的使用数量如下表所示：时间段7︰00—7︰30]7︰30—8︰008︰00以后加气枪使用︰数量（单位：把）356【小题1】分别求出7︰00—7︰30及8︰00之后加气站的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数关系式．【小题2】若每辆车的加气量均为20立方米，请通过计算说明前50辆车能否在当天8︰00之前加完气．7.矩形ABCD中， AD="8" cm，AB="6"cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（▲）．8.在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图1）的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图2）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．9.南京长江三桥是世界上第一座弧线形钢塔斜拉桥，全长15600m，用科学记数法表示为（▲）．A．156×102mB．15.6×103mC．0.156×104mD．1.56×104m10.如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A="63" º，那么∠B= ▲ º．11.已知反比例函数的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象位于（▲）．A．第一、三象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限12.如果a与－3互为相反数，那么a等于（▲）．A．3B．－3C．D．13.如图，某同学在大楼30m高的窗口看地面上两辆汽车B、C，测得俯角分别为60°和45°，如果汽车B、C在与该楼的垂直线上行使，求汽车C与汽车B之间的距离．（精确到0.1m，参考数据：，）14.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为▲．15.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为▲．16.如图，矩形ABCD中，A（－4，1），B（0，1），C（0，3），则D点坐标是▲．17.已知是方程的解，则a= ▲．18.计算19.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．【小题1】当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；【小题2】探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A 相外切．若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．20.从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（▲）．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2.参考答案：【小题1】见解析。
2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷【答案版】
2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．下列计算结果是正数的是（ ） A ．2+（﹣3）B ．2﹣（﹣3）C ．2×（﹣3）D ．﹣322．64的立方根是（ ） A ．±8B ．±4C ．8D ．43．某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（ ）A ．4.5B ．4.7C ．4.9D ．5.14．在三边长分别为a ，b ，c （a ＜b ＜c ）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ） A ．a +b ＞cB ．a +b ＜2cC ．√a +√b ＜√cD ．a 2+b 2＝c 25．如图，用长为21m 的栅栏围成一个面积为30m 2的矩形花圃ABCD ．为方便进出，在边AB 上留有一个宽1m 的小门EF ．设AD 的长为x m ，根据题意可得方程（ ）A ．x ⋅21−2x2=30 B ．x ⋅21−2x+12=30C ．x ⋅21−2x−12=30 D ．x ⋅21−x+12=30 6．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M 到点N 的所有路径中，最短路径的长是（ ）A．5B．√5+2√2C．2√5+1D．2+√2+√5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．“兔年报新春，金陵呈祥瑞”，2023年春节假日期间，南京市组织开展了丰富多彩的文化旅游活动，据初步统计测算，全市共接待游客6173600人次．用科学记数法表示6173600是．8．计算a3•a4÷（a2）3（a≠0）的结果是．9．不等式﹣2x+1≥5的解集是．10．计算√6×√8−√27的结果是．11．方程2x+3=1x−1的解是．12．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：若a＞b，则m n．（填“＞”“＜”或“＝”）13．如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得∠A＝90°，∠B＝76°，AB＝10cm，则原来的三角形纸片的面积是cm2．（结果精确到1cm2，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．）14．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点M，N，且经过点C，D．若⊙O的半径为2，则MN̂的长是．（结果保留π）15．如图，在四边形ABCD 中，CB ＝CD ，对角线AC 平分∠BAD ．若∠ACB ＝90°，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数是 ．16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ，连接AC ，若AB ＝6，AC ＝5，则a 的值是 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程组{x +2y =52x +y =−2．18．计算m 2−1m÷(m +2m+1m)．19．（8分）如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，交AC 于点G ．（1）求证EF ⊥AC ；（2）若∠DAC ＝30°，AB ＝2，则EF 的长为 ．20．（8分）2022年4月，教育部印发了新的《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校据此开展了“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课．甲，乙，丙三名同学分别从中随机选择一门学习．（1）求甲，乙选择的课相同的概率；（2）甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是 ．21．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？22．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（a，m为自然数，且a≠0）．（1）求证：不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为．23．（8分）截止到2022年12月，南京市已经开通了两类地铁钱——市区地铁线（1号，2号，3号，4号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．经过长期统计，其日客运量有一定规律性．如图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图．（1）在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是万人，最少的一天总人数是万人；（2）关于这13天的描述：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量；②市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的6～7倍；③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．其中正确的是；（填序号）（3）若该月20日市域地铁线客运量为21.8万人，试根据你发现的规律，估计当日市区地铁线客运量人数，并说明理由．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC＝DB．（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是．25．（8分）如图，已知线段a．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝AC，且分别满足下列条件：（1）BC＝a．（2）△ABC的周长等于a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）26．（10分）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发0.2h后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发0.4h时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象；（2）若快车出发2.2h时与慢车第2次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第2次相遇的地点距离甲地240km时，s的值为．27．（10分）如图①～⑧是课本上的折纸活动．【重温旧知】上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．（1）图③中的△ABC的形状是，图④的活动发现了定理“”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的BF的长是．【新的发现】（2）图⑧中，在第3次折后，点D落在点D′处，直接写出点D'的位置特点．【换种折法】（3）图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为MN，点D落在点D″处，FD″与CD交于点P．说明P为CD的三等分点．【继续探索】（4）如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由．2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．下列计算结果是正数的是（）A．2+（﹣3）B．2﹣（﹣3）C．2×（﹣3）D．﹣32解：A、2+（﹣3）＝﹣1，B、2﹣（﹣3）＝5，C、2×（﹣3）＝﹣6，D、﹣32＝﹣9，结果是正数的是5；故选：B．2．64的立方根是（）A．±8B．±4C．8D．43=4，∴64的立方根是4．解：∵√64故选：D．3．某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（）A．4.5B．4.7C．4.9D．5.1解：把全校学生的视力从低到高排列，排在中间的数在4.6﹣4.7，所以该校学生视力的中位数可能是4.7．故选：B．4．在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（）A．a+b＞c B．a+b＜2c C．√a+√b＜√c D．a2+b2＝c2解：A 、a +b ＞c ，正确，故A 不符合题意；B 、由a ＜c ，b ＜c ，得到a +b ＜2c ，故B 不符合题意；C 、由a +b ＞c ；a ，b ，c 是正数，得到(√a)2+(√b)2＞(√c)2，因此(√a)2+(√b)2+2√ab ＞(√c)2，所以(√a +√b)2＞(√c)2，得到√a +√b ＞√c ，故C 符合题意；D 、由勾股定理得：a 2+b 2＝c 2，故D 不符合题意． 故选：C ．5．如图，用长为21m 的栅栏围成一个面积为30m 2的矩形花圃ABCD ．为方便进出，在边AB 上留有一个宽1m 的小门EF ．设AD 的长为x m ，根据题意可得方程（ ）A ．x ⋅21−2x2=30 B ．x ⋅21−2x+12=30C ．x ⋅21−2x−12=30 D ．x ⋅21−x+12=30 解：设AD 的长为x m ，那么另一边AB 的长为21−2x+12m ，由题意得：x •21−2x+12=30．故选：B ．6．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M 到点N 的所有路径中，最短路径的长是（ ）A ．5B ．√5+2√2C ．2√5+1D ．2+√2+√5解：将第一层小正方形的顶面和正面，以及第二层小正方形的顶面和正面展开， 如图，连接MN ，则MN =√42+32=5，故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．“兔年报新春，金陵呈祥瑞”，2023年春节假日期间，南京市组织开展了丰富多彩的文化旅游活动，据初步统计测算，全市共接待游客6173600人次．用科学记数法表示6173600是 6.1736×106．解：6173600＝6.1736×106．故答案为：6.1736×106．8．计算a3•a4÷（a2）3（a≠0）的结果是a．解：a3•a4÷（a2）3（a≠0）＝a3•a4÷a6＝a7÷a6＝a．故答案为：a．9．不等式﹣2x+1≥5的解集是x≤﹣2．解：﹣2x+1≥5，移项，得：﹣2x≥5﹣1，合并同类项，得：﹣2x≥4，系数化为1，得：x≤﹣2．故答案为：x≤﹣2．10．计算√6×√8−√27的结果是√3．解：√6×√8−√27=√6×8−3√3＝4√3−3√3=√3，故答案为：√3．11．方程2x+3=1x−1的解是x＝5．解：在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去分母得，2x﹣2＝x+3，解得x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故答案为：x＝5．12．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：若a＞b，则m＞n．（填“＞”“＜”或“＝”）解：∵﹣2＜﹣1，a＞b，∴每个象限内，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴m＞n．故答案为：＞．13．如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得∠A ＝90°，∠B ＝76°，AB ＝10cm ，则原来的三角形纸片的面积是 201 cm 2．（结果精确到1cm 2，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．）解：设直角三角形的另一直角边为AC ， ∵∠A ＝90°，∠B ＝76°，AB ＝10cm ， ∴tan B =ACAB， 即tan76°=AC 10， 解得：AC ≈40.1cm ，∴原来的三角形纸片的面积是：12AC ⋅BC =12×40.1×10≈201cm 2．故答案为：201．14．如图，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，AE 分别相切于点M ，N ，且经过点C ，D ．若⊙O 的半径为2，则MN̂的长是 45π ．（结果保留π）解：∵⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∠A ＝（5﹣2）×180÷5＝108°， ∴∠AMO ＝∠ANO ＝90°， ∴∠MON ＝180°﹣∠A ＝72°， ∵⊙O 的半径为2，∴劣弧MN ̂的长度为：72π×2180=45π．15．如图，在四边形ABCD 中，CB ＝CD ，对角线AC 平分∠BAD ．若∠ACB ＝90°，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数是 65° ．解：如图，过C 作CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∵对角线AC 平分∠BAD ，∴CE ＝CF ，∠CAE ＝∠CAD ，∵∠F ＝∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝∠ACF ，在Rt △CBE 与Rt △CDF 中，{CE =CF CB =CD， ∴Rt △CBE ≌Rt △CDF （HL ），∴∠DCF ＝∠BCE ，设∠DCF ＝α，则∠BCE ＝α，∵∠ACD ＝40°，∠ACB ＝90°，∴40°+α+α＝90°，∴α＝25°，∴∠B ＝90°﹣25°＝65°．故答案为：65°．16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ，连接AC ，若AB ＝6，AC ＝5，则a 的值是 49 ．解：过C 作CD ⊥x 轴于点D ．由题意可知AD ＝DB =12AB =12×6=3， ∵AC ＝5，∴CD ＝4，设A （m ，0），则B （m +6，0），C （m +3，﹣4），方法一：抛物线解析式为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣6），把C （m +3，﹣4）代入得：﹣4＝a （m +3﹣m ）（m +3﹣m ﹣6），解得a =49；方法二：将A （m ，0），B （m +6，0），C （m +3，﹣4）代入y ＝ax 2+bx +c 得：{0=am 2+bm +c①0=a(m +6)2+b(m +6)+c②−4=a(m +3)2+b(m +3)+c③，②化简得：m 2a +12ma +36a +mb +6b +c ＝0④，③化简得：m 2a +6ma +9a +mb +3b +c ＝﹣4⑤，④﹣①得：12ma +36a +6b ＝0⑥，⑤﹣①得：6ma +9a +3b ＝﹣4⑦，⑦×2得：12ma +18a +6b ＝﹣8⑧，⑥﹣⑧得：18a ＝8，解得：a =49，故答案为：49．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程组{x +2y =52x +y =−2． 解：代入消元法求解，由①，得x ＝5﹣2y ．③将③代入②，得2（5﹣2y ）+y ＝﹣2．解这个一元一次方程，得y ＝4．将y ＝4代入③，得x ＝﹣3．所以原方程组的解是{x =−3y =4． 方法二加减消元法求解：解：①×2，得2x +4y ＝10．③③﹣②，得3y ＝12．解这个一元一次方程，得y ＝4．将y ＝4代入①，得x ＝﹣3．所以原方程组的解是{x =−3y =4． 18．计算m 2−1m ÷(m +2m+1m )． 解：m 2−1m ÷(m +2m+1m )=m 2−1m ÷(m 2m +2m+1m ) =m 2−1m ÷m 2+2m+1m =(m+1)(m−1)m •m (m+1)2=m−1m+1．19．（8分）如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，交AC 于点G ．（1）求证EF ⊥AC ；（2）若∠DAC ＝30°，AB ＝2，则EF 的长为 1 ．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ＝AB ，AB ∥DC ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠DCA ＝∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∵E 为边AB 的中点，∴AE =12AB ．同理AF =12AD ，∴AE ＝AF ，∵AE ＝AF ，∠DAC ＝∠BAC ，∴AC ⊥EF ；（2）解：连接BD ，∵∠DAC ＝30°，四边形ABCD 是菱形，∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝2，∵E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，∴EF =12BD ＝1，故答案为：1．20．（8分）2022年4月，教育部印发了新的《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校据此开展了“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课．甲，乙，丙三名同学分别从中随机选择一门学习．（1）求甲，乙选择的课相同的概率；（2）甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是 29 ．解：（1）把“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲，乙选择的课相同的结果有3种，∴甲，乙选择的课相同的概率为39=13； （2）画树状图如下：共有27种等可能的结果，其中甲，乙，丙选择的课均不相同的结果有6种，∴甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是627=29， 故答案为：29． 21．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？解：设衬衫的单价降了x 元．根据题意，得（20+2x ）（40﹣x ）＝1250，解得：x 1＝x 2＝15，答：衬衫的单价降了15元．22．（8分）已知二次函数y ＝a （x ﹣m ）2﹣a （a ，m 为自然数，且a ≠0）．（1）求证：不论a ，m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为 y ＝﹣a （x +m ）2+a ．（1）证明：方法一，令y ＝0，得方程ax 2﹣2amx +am 2﹣a ＝0，∵一元二次方程ax 2﹣2amx +am 2﹣a ＝0的根的判别式Δ＝（﹣2am ）2﹣4a （am 2﹣a ）＝4a 2，a ≠0， ∴4a 2＞0，∴方程ax 2﹣2amx +am 2﹣a ＝0有两个不相等的实数根，∴不论a ，m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；方法二，令y ＝0，得方程a （x ﹣m +1）（x ﹣m ﹣1）＝0，∵a ≠0，∴x 1＝m ﹣1，x 2＝m +1，∵m ﹣1≠m +1，∴方程a （x ﹣m +1）（x ﹣m ﹣1）＝0有两个不相等的实数根，∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；方法三，令y＝0，得方程a（x﹣m）2﹣a＝0，∵a≠0，∴原方程可化为（x﹣m）2＝1，∵1＞0，∴方程a（x﹣m）2﹣a＝0有两个不相等的实数根，∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）∵二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a的顶点坐标为（m，﹣a），∴将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣a（x+m）2+a，故答案为：y＝﹣a（x+m）2+a．23．（8分）截止到2022年12月，南京市已经开通了两类地铁钱——市区地铁线（1号，2号，3号，4号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．经过长期统计，其日客运量有一定规律性．如图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图．（1）在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是262.8万人，最少的一天总人数是165.4万人；（2）关于这13天的描述：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量；②市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的6～7倍；③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．其中正确的是①③；（填序号）（3）若该月20日市域地铁线客运量为21.8万人，试根据你发现的规律，估计当日市区地铁线客运量人数，并说明理由．解：（1）由统计图可知：在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是232.9+29.9＝262.8（万人），最少的一天总人数是143.5+21.9＝165.4（万人），故答案为：262.8；165.4；（2）关于这13天的描述：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量，正确；②市区地铁线平均日客运量不一定是市域地铁线的6﹣7倍，比如周三应当是201+25＝8倍，错误；③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大，正确．其中正确的是①③，故答案为：①③；（3）该月12日（周六）市区地铁线和市域地铁线客运量的差为171.6﹣24.2＝147.4（万人），该月19日（周六）市区地铁线和市域地铁线客运量的差为171.5﹣24.1＝147.4（万人），由此可知，周六市区地铁线和市域地铁线客运量的差基本一致．因为该月13日（周日）市区地铁线和市域地铁线客运量的差为143.5﹣21.9＝121.6（万人），推测该月20日（周日）市区地铁线客运量为21.8+121＝143.4（万人）．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC ＝DB．（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是8√55．（1）证明：设AB中点为O，连接OC，如图，∵∠ACB＝90°，∴AB是△ABC的外接圆的直径，即点O 为△ABC 的外接圆的圆心．∵直线l 与⊙O 相切于点B ，∴AB ⊥BD ，∴∠ABD ＝90°，∵DC ＝DB ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ．∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ．∴∠OCD ＝∠OCB +∠DCB ＝∠OBC +∠DBC ＝∠OBD ＝90°，即OC ⊥DC ，又∵点C 在⊙O 上，∴DC 与⊙O 相切，即DC 与△ABC 的外接圆相切；（2）解：连接OD 交BC 于E 点，如图，∵DC ＝AB ＝4，∴OB ＝2，BD ＝4，∴OD =√22+42=2√5，∵OB ＝OC ，DB ＝DC ，∴OD 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ，∵12BE •OD =12OB •BD ， ∴BE =2×42√5=4√55， ∴BC ＝2BE =8√55． 故答案为：8√55．25．（8分）如图，已知线段a．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝AC，且分别满足下列条件：（1）BC＝a．（2）△ABC的周长等于a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）如图，△ABC为所作．26．（10分）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发0.2h后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发0.4h时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象；（2）若快车出发2.2h时与慢车第2次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第2次相遇的地点距离甲地240km时，s的值为285．解：（1）y2与t之间的函数图象如图所示：（2）①设慢车速度为v1km/h，快车速度为v2km/h，根据题意，得0.6v1＝（0.6﹣0.2）v2，∴v2＝1.5v1，根据题意得y1＝v1t，∵2.2+0.2＝2.4，∴点E的坐标为（2.4，2.4v1），设CD的函数表达式为y2＝﹣1.5v1t+n，将（2.4，2.4v1）代入得：2.4v1＝﹣1.5v1×2.4+n，∴n＝6v1，∴CD的函数表达式为y2＝﹣1.5v1t+6v1，令y2＝0，得t＝4，∵4﹣0.2＝3.8（h），∴快车从出发到返回甲地所用的时间为3.8h；②由①知，两车第2次相遇后快车再行驶4﹣2.4＝1.6（h）可返回甲地，∵两车第2次相遇的地点距离甲地240km，∴快车速度v2＝240÷1.6＝150（km/h），而快车从出发到返回甲地所用的时间为3.8h，∴s＝150×3.82=285（km），故答案为：285．27．（10分）如图①～⑧是课本上的折纸活动．【重温旧知】上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．（1）图③中的△ABC的形状是等腰三角形，图④的活动发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的BF的长是254．【新的发现】（2）图⑧中，在第3次折后，点D落在点D′处，直接写出点D'的位置特点．【换种折法】（3）图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为MN，点D落在点D″处，FD″与CD交于点P．说明P为CD的三等分点．【继续探索】（4）如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由．（1）解：图③中，由矩形的性质可知，AK∥BC，∴∠CBA＝∠BAK，由折叠的性质得：∠BAK＝∠BAC，∴∠CBA＝∠BAC，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；图④中，由折叠的性质得：GM ＝GT ，GN ＝GT ，∴GT ＝GM ＝GN =12MN ，发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半“；图⑤中，同③得：∠BDE ＝∠ADB ＝∠DBC ，∴BF ＝DF ，设BF ＝x ，则DF ＝x ，CF ＝8﹣x ，在Rt △CDF 中，由勾股定理得：DF 2＝CF 2+CD 2，即x 2＝（8﹣x ）2+62，解得：x =254，∴BF =254；故答案为：等腰三角形；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；254；（2）解：点D '是BG 的中点，理由如下：如图，延长HD 交CB 的延长线于N ，由折叠的性质可得：A 'B ＝AB ＝BC ，∵A 'F 垂直平分BC ，∴A 'C ＝A 'B ，∴A 'B ＝BA ＝BC ，∴△A 'BC 是的等边三角形，∴∠A 'CB ＝60°，∴∠DCH ＝∠D 'CH ＝30°，∴∠D 'CH ＝∠D 'CN ＝30°，又∵CD '＝CD '，∠CD 'H ＝∠CD 'N ＝90°，∴△CD 'H ≌△CD 'N （ASA ），∴HD '＝ND '，∵HG ∥BC ，∴∠G＝∠NBD'，∠N＝∠GHD'，∴△D'GH≌△D'BN（AAS），∴D'G＝D'B，∴点D'是BG的中点；（3）证明：∵折叠正方形ABC，使点A与点F重合，∴AM＝MF，设BF＝CF＝a，则BC＝AB＝2a＝CD，∵MF2＝MB2+BF2，∴（2a﹣BM）2＝MB2+a2，∴BM=34 a，∵∠PFM＝90°，∴∠BFM+∠PFC＝90°＝∠PFC+∠FPC，∴∠CPF＝∠BFM，∴tan∠CPF＝tan∠BFM=BMBF=CFCP，∴CP=43 a，∴P为CD的三等分点；（4）解：如图，将正方形纸片ABCD对折3次并展开后，可得AE：EM：BM＝4：1：3，再次折叠，使得折痕为DG并且点A落在MN上，落点记为A'，A'D交EF于点K，则K为A'D（AD）的五等分点．理由如下：∵AD∥EF∥MN，∴A'K：KD＝EM：AE＝1：4，∴A'K：A'D＝1：5，∴K是A'D（AD）的五等分点．。
2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）计算（a2+a2）2的结果是（）A．4a2B．2a4C．4a4D．a82．（2分）根据《2024年南京市政府工作报告》，我市2023年全市地区生产总值增长4.7%左右，总量1.75万亿元左右，继续保持全国前十．将1.75万亿用科学记数法表示为（）A．1.75×109B．1.75×1010C．1.75×1011D．1.75×10123．（2分）如图，实数m在数轴上对应的点M到原点的距离为5．下列各数中，与m最接近的是（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣4．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，下列说法正确的是（）A．若x1＜x2，则y1＜y2B．若x1＜x2，则y1＞y2C．若x1+x2＝0，则y1+y2＝0D．若x1•x2＝1，则y1•y2＝15．（2分）有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，AB，CD分别垂直BD，垂足分别为B，D，连接AD，BC交于点E，作EF⊥BD，垂足为F ．设AB ＝a ，CD ＝b ，EF ＝c ，若﹣＝1，则下列等式：①a +c ＝b ；②b +c ＝2a ；③a 2＝b •c ，其中一定成立的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．（2分）27的立方根为．8．（2分）计算30﹣2﹣1的结果是．9．（2分）化简分式：＝．10．（2分）若m +n ﹣1＝0，则﹣2m ﹣2n +1的值是．11．（2分）若关于x 的方程（x ﹣1）（x +a ）＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．12．（2分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将AD 绕点A 顺时针旋转，使点D 落在边BC 上（记为D ′），则点D 运动的路径长是.（答案保留π）13．（2分）如图，正八边形ABCDEFGH 的对角线AF ，HD 交于点M ，则∠AMH 的度数是°．14．（2分）甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）：第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲810101012乙1410121212设甲、乙同学得分的方差分别是S 甲2，S 乙2，则S 甲2S 乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）15．（2分）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线AO在点O处斜射入某一高度为3cm，折射率为的长方体介质（其中α为入射角，β为折射角，MN过点O且垂直于介质的上表面），若α＝53°，则折射光线在该介质中传播的距离（即OB的长度）约是cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）16．（2分）二次函数y＝ax2+2x+3（a为常数，a≠0）的图象的顶点与原点O的距离的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（6分）以下是某同学解分式方程＝﹣3的部分过程：解：整理，得＝﹣3．去分母，得…（1）该同学解法中第一步的依据是；（2）将该同学的解答过程补充完整．19．（8分）新“龟兔赛跑”故事兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的50倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70min，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是_____m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为min．（2）求（1）中t的值．20．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）已知AB＝4，BC＝3．当BE的长为时，四边形AECF是菱形．21．（8分）如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下：在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在A处．（1）掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是；（2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到E处的概率．22．（8分）市场调研公司对某饮品店一个销售周期内A，B，C，D四种饮品的销售情况进行了调查，绘制了如下统计图．（1）在扇形统计图中，“B饮品”所对应的圆心角的度数是°；（2）若A，B，C，D四种饮品的单位成本分别是9元、14元、10元、15元，求该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率．（注：平均利润率＝×100%）23．（8分）已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．（1）a的值为；（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？24．（8分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，AD平分∠BAC交半圆O于点D，DE∥AB交射线AC于点E．（1）求证：DE＝AB；（2）若AB＝4，当DB＝AE时，四边形EABD的面积为．25．（8分）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上．（1）当y1＝y2时，求m的值；（2）当y1＜2时，求证y2＞y1．26．（8分）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．（1）△ABC的底边长为a，底边上的中线为b；（2）△ABC的底边长为a，腰上的中线为b．27．（12分）数学概念若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形ABCD的边AB为直径的⊙O与CD相切，切点P在边CD上，因此⊙O是四边形ABCD的径切圆．初步理解（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为1：2的矩形，其中，一定存在径切圆的是（填序号）．性质初探（2）在图①中，连接AP，BP，求证∠APD＝∠ABP．深入研究（3）如图②，⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，判断AD与BC的位置关系并说明理由．（4）在（3）中，若点O和点N恰好重合，AD＝a，BC＝b，直接写出⊙O和⊙M的半径长（用含a，b的代数式表示）．2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．【分析】根据完全平方公式，求出（a2+a2）2的结果即可．【解答】解：（a2+a2）2＝a4+2a4+a4＝4a4．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，解答此题的关键是要明确：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：1.75万亿＝1750000000000＝1.75×1012．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数﹣4，﹣3的大小，再利用数轴上两点距离的计算方法求出数轴上表示数m与数﹣4的距离，数m与数﹣3的距离，由这两个距离的大小得出结论．【解答】解：由题意可知，m＝﹣5＝﹣，∵﹣4＝﹣，﹣3＝﹣，﹣2＝﹣，∴﹣＜﹣5＜﹣＜﹣，∵|﹣+5|﹣|﹣5+|＝﹣5﹣5+＝7﹣10＝﹣＜0，∴数轴上表示数m与数﹣4的距离小于数m与数﹣3的距离，即﹣4与数m比较接近，故选：A．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解数轴表示数的方法，掌握数轴上两点距离的计算方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键．4．【分析】根据反比例函数的增减性和图象的中心对称性质逐项分析判断即可．【解答】解：A、k值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意；B、k值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意；C、反比例函数是中心对称图形，若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，符合题意；D、若x1•x2＝1则有＝1，即y1•y2＝k2，选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．5．【分析】将图形进行翻折逐一判断即可．【解答】解：将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体．故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，结合实物想象是解题的关键．6．【分析】由AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB∥EF∥CD，则△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，所以＝，＝，则+＝＝1，所以+＝1，则＝，a（b﹣c）＝bc，由﹣＝1，得＝1，所以＝1，则a+c＝b，可判断①符合题意；由a+c＝b得b+c＝a+2c，因为a+2c不一定等于2a，所以b+c与2a不一定相等，可判断②不符合题意；由a（b﹣c）＝bc，且a＝b ﹣c，得a2＝b•c，可判断③符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB＝a，CD＝b，EF＝c，∴AB∥EF∥CD，∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∴+＝+＝＝1，∴+＝1，∴＝，a（b﹣c）＝bc，∵﹣＝1，∴＝1，∴＝1，∴a+c＝b，故①符合题意；由a+c＝b得b+c＝a+2c，∵a与2c不一定相等，∴a+2c不一定等于2a，∴b+c与2a不一定相等，故②不符合题意；∵a（b﹣c）＝bc，且a＝b﹣c，∴a2＝b•c，故③符合题意，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识，证明△DEF∽△DAB 及△BEF∽△BCD是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．8．【分析】根据负整数指数幂法则和零指数幂法则进行解题即可．【解答】解：30﹣2﹣1＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．9．【分析】将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可．【解答】解：＝＝；故答案为：．【点评】本题考查了约分的知识，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．10．【分析】由已知条件得m+n＝1，将原式变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵m+n﹣1＝0，∴m+n＝1，∴﹣2m﹣2n+1＝﹣2（m+n）+1＝﹣2×1+1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．11．【分析】根据Δ＞0，构建不等式求解．【解答】解：（x﹣1）（x+a）＝0x2+（a﹣1）x﹣a＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴（a﹣1）2+4a＞0，∴（a+1）2＞0，∴a≠﹣1．故答案为：a≠﹣1．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会构建不等式解决问题．12．【分析】由旋转可得，AD'＝AD＝4，在Rt△AD'B中，根据边的数量关系可得∠AD'B＝30°，再由AD∥BC得∠DAD'＝∠AD'B＝30°，最后根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：由旋转可得，AD'＝AD＝4，∵AB＝2，∠B＝90°，∴∠AD'B＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAD'＝∠AD'B＝30°，∴点D运动的路径长是＝．故答案为：．【点评】本题主要考查轨迹，根据已知条件求出∠DAD'＝30°是解题的关键．13．【分析】先求出∠AHG＝∠HAB＝135°，再根据正八边形的性质求出∠AHD和∠MAH，最后根据三角形的内角和即可求得．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH为正八边形，∵∠AHG＝∠HAB＝180°﹣360°÷8＝135°，∵正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD，∴∠AHD＝∠AHG＝67.5°，∠FAB＝90°，∴∠MAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠AMH＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．故答案为：67.5．【点评】本题主要考查多边形内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．14．【分析】根据方差的定义列式计算即可得出答案．【解答】解：甲的平均数为×（8+10+10+10+12）＝10，方差S甲2＝×[（8﹣10）2+3×（10﹣10）2+（12﹣10）2]＝1.6，乙的平均数为×（14+10+12+12+12）＝12，方差S乙2＝×[（14﹣12）2+3×（12﹣12）2+（10﹣12）2]＝1.6，∴S甲2＝S乙2，故答案为：＝．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．15．【分析】过点O作OC⊥BC于点C，由折射率的定义得，＝，进而求出sinβ，设OB＝x cm，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可作答．【解答】解：过点O作OC⊥BC于点C，由折射率的定义得，＝，α＝53°，∴sinα＝sin53°≈0.8，∴sinβ＝0.6，设OB＝x cm，则sinβ＝，∴BC＝0.6x cm，在Rt△OBC中，根据勾股定理，OB2＝BC2+OB2，即x2＝（0.6x）2+32，解得x＝3.75，∴故答案为：3.75．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．16．【分析】利用顶点公式求得抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式可得到OP2关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【解答】解：∵y＝ax2+2x+3，∴顶点P为（﹣，），即（﹣，3﹣），∴OP2＝（﹣）2+（3﹣）2＝（）2+9﹣+（）2＝2（﹣）2+，∵2＞0，∴当＝，OP2有最小值，∴OP的最小值为：＝．【点评】本题考查二次函数的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】求出各个不等式的解，寻找解集的公共解，可得结论．【解答】解：，由①得，x＜2，由②得，3x﹣3≤4x，∴x≥﹣3，∴﹣3≤x＜2，∴不等式的整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握解不等式组的方法．18．【分析】（1）根据等式的性质得出答案即可；（2）方程的两边都乘x﹣2得出1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）根据等式的性质2：等式两边都乘x﹣2．故答案为：等式的性质2（等式的两边都乘同一个数，等式仍成立）；（2）＝﹣3，方程的两边都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），1＝﹣1+x﹣3x+6，3x﹣x＝﹣1+6﹣1，2x＝4，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即分式方程无解．【点评】本题考查了解分式方程和等式的性质，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．19．【分析】（1）由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是50x m/min，利用兔子奔跑的时间＝乌龟奔跑的时间﹣70，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间；（2）利用路程＝速度×时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为t min，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是50x m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t﹣70）min．故答案为：50x，（t﹣70）；（2）根据题意得：x•t＝50x•（t﹣70），即t＝50（t﹣70），解得：t＝．答：（1）中t的值为．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x（t）代数式表示出兔子的速度（兔子奔跑的时间）；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．20．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，可得AF＝EC，可得结论；（2）由菱形的性质可得AE＝EC，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，（2）解：若四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∵AE2＝AB2+EB2，∴（BE+3）2＝16+BE2，∴BE＝，∴当BE的长为时，四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21．【分析】（1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到D处，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及移动后该棋子恰好到E处的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到D处，∴掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是．故答案为：．（2）列表如下：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到E处的结果有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5种，∴移动后该棋子恰好到E处的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）将扇形统计图中，“B饮品”所占百分比乘以360°即可得到“B饮品”所对应的圆心角的度数；（2）根据平均利润率公式计算即可得到该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率．【解答】解：（1）30%×360°＝108°，故答案为：108；（2）设总销售量为a，则A饮品销售量为20%a，B饮品销售量为30%a，C饮品销售量为30%a，D饮品销售量为20%a，∴A饮品成本为20%a×9＝1.8a（元），B饮品成本为30%a×14＝4.2a（元），C饮品成本为30%a×10＝3a（元），D饮品成本为20%a×15＝3a（元），∴A饮品利润为1.8a×25%＝0.45a（元），B饮品利润为4.2a×20%＝0.84a（元），C饮品利润为3a×15%＝0.45a（元），D饮品利润为3a×30%＝0.9a（元），∴该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为：＝0.22＝22%，答：该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为22%．【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．23．【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值即可；与x的函数关系式，求出（2）根据（1）中a的值，用x表示出y的值，利用矩形的面积公式得出S矩形S的最大与最小值即可．【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），∴a＝2（x+y），∵当x＝12时，y＝10，∴a＝2（12+10）＝44（cm）．故答案为：44cm；（2）∵由（1）知，a＝44cm，a＝2（x+y），∴y＝22﹣x，＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），∴S矩形＝﹣112+22×11＝121（cm2）．∴当x＝﹣＝11时，S矩形最大答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．与x之间的函数关系式是解题的关键．【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形24．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥AE，从而可得四边形AODE 是平行四边形，进而可得四边形AODE是菱形，然后利用菱形的性质可得AE＝DE＝DO＝AO，从而可得AE＝DE＝AB，即可解答；（2）利用（1）的结论可得DB＝2，再根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB＝90°，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AD＝2，然后利用三角形的面积公式可得：△ABD的面积＝2，从而可得△AOD的面积＝△BOD的面积＝，再根据菱形的性质可得菱形AODE的面积＝2△AOD的面积＝2，最后根据四边形EABD的面积＝菱形AODE的面积+△DOB的面积进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠4＝∠2，∴∠1＝∠4，∴OD∥AE，∵DE∥AB，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA＝OD，∴四边形AODE是菱形，∴AE＝DE＝DO＝AO，∵AO＝AB，∴AE＝DE＝AB；（2）解：∵DB＝AE，AE＝AB，∴DB＝AB＝2，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝2，∴△ABD的面积＝AD•BD＝×2×2＝2，∵AO＝BO，∴△AOD的面积＝△BOD的面积＝△ABD的面积＝，∵四边形AODE是菱形，∴菱形AODE的面积＝2△AOD的面积＝2，∴四边形EABD的面积＝菱形AODE的面积+△DOB的面积＝2+＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）代入坐标得到y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，根据y1＝y2，列出方程解出m值即可；（2）根据y1＝1﹣m+n2＜2得到2m＞2n2﹣2，代入y2，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2即可得以证明．【解答】（1）解：∵y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，且y1＝y2，∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，∴m＝﹣1，（2）证明：∵y1＜2，∴y1＝1﹣m+n2＜2，∴﹣m+n2＜1，∴m＞n2﹣1，∴2m＞2n2﹣2，∴，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，∵n2≥0，∴2+3n2≥2，∴y2＞2+3n2≥2＞y1．∴y2＞y1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．26．【分析】（1）先作线段BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，然后在直线l上截取OA＝b，从而得到△ABC；（2）如图2，先作线段BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，接着作OB的垂直平分线m，以C点为圆心，b为半径画弧交直线m于D点，延长BD交直线l于A点，从而得到△ABC．【解答】解：（1）如图1，先在射线BP截取BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，然后在直线l上截取OA＝b，则△ABC为所作；（2）如图2，先在射线BP截取BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为O点，接着作OB的垂直平分线m，然后以C点为圆心，b为半径画弧交直线m于D点，于是延长BD交直线l于A点，连接AC，则△ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定．27．【分析】（1）利用圆的切线的判定与性质和矩形的性质以及径切圆定义解答即可；（2）连接OP，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的性质解答即可；（3）连接AP，BP，DN，CN，OP，MN，设AP与DN交于点E，MN与OP交于点G，BP与CN交于点F，利用（2）的结论，圆周角定理，三角形的内角和定理得到∠ABP＝∠APD＝∠AND＝∠DCN，则AP∥CN，ND∥BP，进而得到四边形ENFP为矩形；再利用相似三角形的判定与性质和平行线的判定定理解答即可；（4）利用（3）的结论和梯形的中位线的性质求得⊙M的半径长；利用圆的切线的性质定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质即可得出⊙O的半径长．【解答】（1）解：相邻两边长为1：2的矩形，一定存在径切圆．理由：∵矩形的相邻两边长为1：2，∴矩形的长边的中点到对边的距离等于这边的一半，∴以矩形的长边为直径的圆与对边相切，∴相邻两边长为1：2的矩形，一定存在径切圆．而①②不一定存在径切圆．故答案为：③；（2）证明：连接OP，如图，∵⊙O与CD相切，∴OP⊥CD，∴∠OPD＝90°，∴∠APO+∠APD＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠APO+∠BPO＝90°．∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠ABP，∴∠APO+∠ABP＝90°，∴∠APD＝∠ABP；（3）解：AD与BC的位置关系为：AD∥BC，理由：连接AP，BP，DN，CN，OP，MN，设AP与DN交于点E，MN与OP交于点G，BP与CN交于点F，如图，由（2）知：∠APD＝∠ABP，∠APB＝90°，设∠APD＝∠ABP＝m°，则∠AOP＝2m°．同理可得：∠AND＝∠DCN，设∠AND＝∠DCN＝n°，则∠NMD＝2n°．∵⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，∴OP⊥CD，MN⊥AB，∴∠OPM＝∠MNO＝90°，∵∠PGM＝∠NGO，∴∠AOP＝∠NMD，∴2m＝2n，∴m＝n，∴∠ABP＝∠APD＝∠AND＝∠DCN，∴AP∥CN，ND∥BP．∴四边形ENFP为平行四边形，∵∠APB＝90°，∴四边形ENFP为矩形，∴∠NEP＝∠NFP＝90°，NE＝FP，NF＝EP．∴∠AED＝∠BFC＝90°，∵∠AND＝∠APD，∠AEN＝∠DEP，∴△AEN∽△DEP，∴．同理：△NFB∽△PFC，∴，∴，∵∠AED＝∠BFC＝90°，∴△AED∽△CFB，∴∠DAE＝∠FCB．∵∠EAD+∠ADP+∠APD＝180°，∴∠FCB+∠DCN+∠ADP＝180°，∴∠ADP+∠BCP＝180°，∴AD∥BC．（4）解：点O和点N恰好重合，如图，由（3）知：AD∥BC．∵点O，M分别为AB，CD的中点，∴MO为梯形ABCD的中位线，∴OM＝（AD+BC）＝（a+b），∴⊙M的半径长＝（a+b），∵AB与⊙M相切于点N，点O和点N恰好重合，∴MO⊥AB，∵MO为梯形ABCD的中位线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAO＝∠OBC＝90°．∵CD为⊙M的直径，∴∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∵∠BOC+∠BCO＝90°，∴∠AOD＝∠BCO，∴△AOD∽△BCO，∴，∵OA＝OB，∴OA2＝AD•BC＝ab，∴OA＝．∴⊙O的半径长为．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，梯形的中位线，等腰三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键。
2022年江苏省南京市中考数学一模试卷附解析
2022年江苏省南京市中考数学一模试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．王英同学从A 地沿北偏西60方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，这时王英同学离A 地的距离是（ ）A ．150mB ．503mC ．100mD ．1003m2．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD •的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米3．下列图形中的角是圆周角的是（ ）4．估算192+的值是在（ ）A ．5和 6之间B ．6和 7之间C ．7和8之间D ．8和 9 之间 5．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．43>mB ．43≥mC ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m 6．如图,直线AE ∥CD,∠EBF=135°,∠BFD=60°,则∠D 等于（ ）A ．75°B ．45°C ．30°D ．15°7．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD ，CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个8． 已知 x ，y 满足等式11x y x -=+，则用x 的代数式表示得（ ） A ．11x y x -=+ B ． 11x y x -=+ C ．11x y x +=- D ．11x y x +=- 9．把分式方程12121=----xx x 的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（ ） A ．1-（1-x ）=1B ．1+（1-x ）=lC ．1-（1-x ）=x-2D ．l+（1-x ）=x-210．多项式21a -和2(1)a -的公因式是（ ） A ．1a + B ．1a - C ．2(1)a -D ． 21a - 11．方程345x -=的解为（ ）A ．3x =-B ．13x =C ．13x =-D ．3x =12．如果单项式m n xy z -和45n a b 都是五次单项式，那么m 、n 的值分别为（ ）A ．m=2，n=3B ．m=3，n=2C ． m=4 , n=1D ．m=3，n=113．下列说法不正确的是（ ）A ．-0.064的立方根是-0. 4B ．8 的立方根是2±C ．立方根是 5 的数是 125D ．127的立方根是13二、填空题14．已知⊙O 的半径为 4 cm ，直线l 与⊙O 相切，则圆心0到直线l 的距离为 cm ．15．已知点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，是函数2y x=-图象上的三点，且1230x x x <<<，则123y y y ，，的大小关系是 ．16．某日天气的最高气温是15℃，气温的极差为10℃，则该日的最低气温是 ℃.17．如图，在方格纸上有一个三角形ABC ，则这个三角形是________三角形．18．某校九年级一班对全班50名学生进行了“一周（按7天计算）做家务劳动所用时间（单位：小时）”的统计，其频率分布如下表：那么该班学生一周做家务劳动所用时间的平均数为 小时，中位数为 小时． 19．如果一个数的平方根是28a -和1a -，那么这个数是 ，其中算术平方根是 ．20．已知Rt △ABC 的周长是448+，斜边上的中线长是2，则ABC S ∆= ． 21．如图，从A 地到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中. 从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到 C 地有 3条陆路可供选择，走空中是从A 地不经B 地直接到C 地，则从A 地到 C 地可供选择的方案有 种.22．某班准备同时在A B ，两地开展数学活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学中恰好有两位同学抽到去B 地的概率是 ．23．足球比赛前，裁判用抛一枚硬币猜正反面的方式让甲、乙两个队长选进攻方向，猜对正面的队长先选，则队长甲先选的概率是 ．24．一只口袋里共有 3个红球，2 个黑球，1个黄球，现在小明任意模出两个球，则摸出一个红球和一个黑球的概率是 ．25．如图，AB+BC>AC ，其理由是 ．三、解答题26．如图，已知⊙O 1、⊙O 2相交于 A ，、B ，PE 切⊙O 1于 P ，PA 、PB 交⊙O 2 于 C ．D. 求证： CD ∥PE.27．如图，在□ABCD 中，BC=2AB ，E 为BC 中点，求证：AE ⊥ED ．28．盒子中有两个红球、三个白球，从中任意摸出一个球，这个球是白球，属于哪类事件？若先摸一个球，放回，再摸出一个球，这样摸到一红一白两球的可能有几种？29．解下列方程(1) 4x-2=3-x(2)215x x-=-+30．由半圆和直角三角形组成的图形如图. 阴影I 与阴影Ⅱ这两个部分，哪一个面积较大？大多少？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．A3．B4．B5．C6．D7．C8．C9．D10．B11．D12．D13．B二、填空题14．415．132y y y >> 16．517．等腰18．2.46，2.519．36，620．821．1322．83 23． 21 24． 2525． 两点之间线段最短三、解答题26．作直径 PT ，连结 AT 、AB.∴∠PAT=90°，∠T+∠TPA=90°．∵PE 切⊙O 1 于点P. ∴∠TPA+∠EPA=90°，∴∠EPA=∠T ，∵∠T=∠B ，∠B=∠C ，∴∠EPA=∠C ，∴CD ∥PE ．27．证∠BAE=∠AEB ，∠CDE=∠CED ，再证∠DAE+∠ADE=90°即可 28．随机事件，l2种29． (1)x=1 (2)53x =-30．222121(1)022S S r r r ππ-=-=-> ∴S I 较大，大(2(1)2r π-cm 2。
2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试卷(含答案)
2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）与|（﹣n）2|（n为实数）的值相等的是（ ）A．﹣n2B．n2C．（﹣n）3D．|n3|2．（2分）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）A．﹣2024B．0C．1D．20243．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC4．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）A．24°B．28°C．48°D．66°6．（2分）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）7．（2分）化简2m﹣（3m+8m）的结果是 ．8．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 ．9．（2分）如图，△AOB顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，1），将△AOB平移后，点A的对应点D的坐标是（1，2），则点B的对应点E的坐标是 ．10．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为 °．11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，当BC＝8，PB＝5时，则AB的长为 ．12．（2分）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝ ．13．（2分）已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 ．14．（2分）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，代数式2m2﹣6m+2024的值是 ．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tan A＝，则AB＝ ．16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：[3×（﹣1）+22+|﹣8|]2．18．（8分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．19．（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，统计结果如图所示：请依据统计结果回答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 位好友．（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①请补全条形图；②依据数据，谈谈你的结论；③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？20．（8分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．21．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：AF＝AB；（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长．22．（7分）已知a＞0，b＞0．试说明：a+b≥2．23．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA ，AC交BF于点P．（1）求证：AC•PC＝BC2；（2）已知BC2＝3FP•DC，的值为 ；（3）延长DC交AB的延长线于M，连接PM．当AB＝10时，随着点C的变化，PM的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．27．（10分）综合与实践问题情境数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．问题发现奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．……问题提出与解决奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD ．（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．拓展延伸小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）与|（﹣n）2|（n为实数）的值相等的是（ ）A．﹣n2B．n2C．（﹣n）3D．|n3|【解答】解：|（﹣n）2|＝|n2|＝n2，故选：B．2．（2分）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）A．﹣2024B．0C．1D．2024【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣2，b＝2，所以（a+b）2024＝02024＝0．故选：B．3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．4．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝x cm，A'P＝y cm，圆的直径为d cm，由题意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴，即，∴y＝，∴x＝，d＝，∴半径为：cm．故选：A．5．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）A．24°B．28°C．48°D．66°【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，∴∠ADE＝66°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝66°∴∠BAD＝48°，故选：C．6．（2分）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O 作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）A．B．C．D．1【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，则AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化简得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化简得ab＝1．则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）7．（2分）化简2m﹣（3m+8m）的结果是 ﹣9m ．【解答】解：原式＝2m﹣3m﹣8m＝﹣9m．故答案为：﹣9m．8．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 30o ．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．9．（2分）如图，△AOB顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，1），将△AOB平移后，点A的对应点D的坐标是（1，2），则点B的对应点E的坐标是 （3，2） ．【解答】解：由题可知A（﹣1，1）平移后得到点D（1，2）；∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度；∴点B（1，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度；∴点E（3，2）；故答案为（3，2）．10．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为 78 °．【解答】解：连接OA，OB1，OC1，∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，∴∠AOC1＝144°，∴∠AFC1＝AOC1＝72°，∵AF＝EF，∠AFE＝120°，∴∠GAF＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，故答案为：78．11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，当BC＝8，PB＝5时，则AB的长为 ．【解答】解：过点A作AF⊥PB，交PB的延长线于点F，如图，则∠APB+∠PAF＝90°，∵∠APB+2∠PAB＝90°，∴∠PAF＝2∠PAB，∴∠EAB＝∠FAB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC+2∠ABC＝180°，∵∠PBC＝∠BAC，∠PBC+∠CBF＝180°，∴∠CBF＝2∠ABC，∴∠ABE＝∠ABF，在△ABE和△ABF中，，∴△ABE≌△ABF（ASA），∴AE＝AF，BE＝BF，∠AEB＝∠AFB＝90°，∵AB＝AC，BC＝8，∴BE＝BC＝4＝BF，在Rt△PBE中，∵PB＝5∴由勾股定理，得PE＝＝＝3，PF＝PB+BF＝5+4＝9，设AF＝x，则AP＝x+3，在Rt△PAF中，由勾股定理，得PA2＝AF2+PF2，即（x+3）2＝x2+92，解得x＝12，在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝＝＝，故答案为：．12．（2分）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝ ﹣ ．【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，则a+b＝﹣5，ab＝2，∴a＜0，b＜0，则原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．13．（2分）已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 60°或108° ．【解答】解：①当∠BAC是锐角时，如图所示：∵I为△ABC的内心，∴∠ABI＝∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，∵∠BOC＝2∠BAC，∴2∠BAC＝90°+∠BAC，解得：∠BAC＝60°．②当∠BAC是钝角时，如图，∵∠BIC＝90°+∠BAC，∵∠BOC＝2∠BA′C，∴2∠BA′C＝90°+∠BAC，∵∠BAC+∠BA′C＝180°，∴2（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，解得：∠BAC＝108°．故答案为：60°或108°．14．（2分）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，代数式2m2﹣6m+2024的值是 6072+2n ．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，∴m2﹣3m﹣2024＝n．∴m2﹣3m＝2024+n．∴2m2﹣6m+2024＝2（m2﹣3m）+2024＝2（2024+n）+2024＝6072+2n．故答案为：6072+2n．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tan A＝，则AB＝ 6.5 ．【解答】解：∵CD⊥AB，∴tan∠BCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tan A＝＝，∴＝＝，∴BD＝2，AD＝4.5，∴BC＝AD+BD＝6.5．故答案为：6.5．16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝ ．【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴＝＝，设BC＝4a，由＝＝得，DM＝3a，∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，∴＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：[3×（﹣1）+22+|﹣8|]2．【解答】解：原式＝（﹣3+4+8）2＝92＝81．18．（8分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝2﹣时，原式＝＝．19．（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，统计结果如图所示：请依据统计结果回答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 30 位好友．（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①请补全条形图；②依据数据，谈谈你的结论；③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？【解答】解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%＝30（人），故答案为：30；（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据题意，得：a+6+12+5a＝30，解得：a＝2，即A类人数为10、D类人数为2，补全图形如下：②由图可知，C类人数最多；故答案为：120；③150×＝70（人），答：估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为70人．20．（8分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 事件；（可能，必然，不可能）（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．【解答】解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）树状图法即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝．21．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：AF＝AB；（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，∵E是AD的中点，∴DE＝AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴CE＝EF，∵AE∥BC，∴＝＝1，∴AF＝AB；（2）解：∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，∴AB＝AF＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6，∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，∴＝，即＝，∴GH＝1.2，∴CH＝GC﹣GH＝4.8．22．（7分）已知a＞0，b＞0．试说明：a+b≥2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴a+b﹣2＝≥0，∴a+b≥2．23．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA ，AC交BF于点P．（1）求证：AC•PC＝BC2；（2）已知BC2＝3FP•DC，的值为 ；（3）延长DC交AB的延长线于M，连接PM．当AB＝10时，随着点C的变化，PM的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵∠DAC＝∠PBC，∴∠BAC＝∠PBC，又∵∠ACB＝∠BCP，∴△ACB∽D△BCP，∴，∴AC•PC＝BC2．（2）解：作PE⊥AB于E，如图，由（1）可知AC•PC＝BC2，∵BC2＝3FP•DC，∴AC•PC＝3FP•DC，∵CD⊥DA，∴∠ADC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCP＝90°，∴∠ADC＝∠BCP，∵∠DAC＝∠CBP，∴△ACD∽△BPC，∴，∴AC•PC＝BP•DC，∴BP•DC＝3FP•DC，∴BP＝3FP，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴PF⊥AD，∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，∴PF＝PE，∵∠PEB＝∠AFB＝90°，∠ABF＝∠PBE，∴△ABF∽△PBE，＝＝．故答案为：．（3）解：如图，过O作MN⊥AB，∵AD与圆交于点F，∴0°＜∠DAB＜90°，∵AC平分∠DAB，∴0°＜∠BAC＜45°，∴点C只能在上运动，且不能与B重合，①当C在圆上从M到B的过程中，此时PM的长度逐渐减小，∵F和C越来越靠近B点，∴BF和AC交点P越来越靠近点B，且M也离B点越来越近，∴PM逐渐减小；②当C在圆上从B到N的过程中，此时PM的长度逐渐增大．∵F和C离B点，越来越远，∴BF和AC交点P同样离B点越来越远，且M也是离B的距离逐渐增大∴PM逐渐增大；综上，PM随着点C的变化，PM先减小再增大．26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k解得k＝（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2﹣k＝k2+k把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8∵y1＞y2∴k2+k＞k2﹣k+8解得k＞1（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得y＝（x﹣k+1）2+（﹣）将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为y＝（x﹣k）2+（﹣）当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k，∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝都不合题意，舍去；当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1，∴﹣k﹣1＝﹣解得k＝1；当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k+3，∴k2﹣k+3＝﹣解得k1＝3，k2＝（舍去）综上，k＝1或3．27．（10分）综合与实践问题情境数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．问题发现奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．……问题提出与解决奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD ．（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．拓展延伸小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．【解答】问题1，（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，∴∠BED＝∠A，∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠DEC＝180°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，∴∠DEC＝2∠ACB；（2）解：如图1，作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，∴∠AGD＝∠DFC＝90°，由折叠得，AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，∵点D是AC的中点，∴CD＝AD，∴DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，∴2∠ADB+∠EDC＝180°，∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，∴2∠DCE+∠EDC＝180°，∴∠ADB＝∠DCE，∴△ADG≌△DFC（AAS），∴AG＝DF，DG＝CF＝，在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG＝＝，∴BD＝BG+DG＝；问题2，解：如图2，连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，∵AB＝BD，∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∴CD∥BE，∴CD⊥AD，∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE，DF＝BE，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，∴AD＝＝，∴BF＝DE＝，在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，∴DF＝BE＝＝，∴CF＝DF﹣CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，∴BC＝＝．。
2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷．用科学记数法表示3990000是（）A．3.99×107B．0.399×106C．3.99×106D．0.399×107 2．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）A．2a B．C．a﹣1D．a+23．（2分）整数a．满足，则a的值为（）A．3B．4C．5D．64．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB ＝62°，则∠CPD等于（）A．124°B．107°C．122°D．102°5．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE．若△A′BC为等边三角形，则AE的长为（）A．B．C．D．6．（2分）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）计算的结果是．9．（2分）分解因式：2m2﹣4m+2＝．10．（2分）某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是．11．（2分）计算的结果是．12．（2分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝．13．（2分）一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜9，则k的值可以是_________（写出一个即可）．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为．15．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．若AB ＝5，BC＝12，连接DD′，则DD′的长为．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2，BD是高．若，则BC的长的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（6分）人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．（1）下列结论中，正确结论的序号是；①2023年的总人口比2017年的总人口少；②2017年我国乡村人口比上一年下降约2.79%；③2016～2023年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．（2）请结合如图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．20．（8分）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆．（1）甲从A通道进入博物馆的概率是；（2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．21．（8分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？22．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，连接BE，DF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）已知AB＝4，AD＝8，∠BAD＝120°，当AE的长为时，四边形EBFD 是菱形．23．（8分）如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，同时还测得前方某建筑物CD的顶端D的俯角为36°52′．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为5.2m，建筑物的高度CD为30.2m，大树与建筑物的距离AC为20m，求无人机在P处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00）．24．（8分）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w（万元），当销售单价为多少元时，年利润最大？最大年利润是多少？（说明：年利润＝年销售利润﹣研发费用）25．（8分）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD＝DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F，且CD是⊙O的切线．（1）连接AF，求证AF＝AB；（2）求证AB2＝AE•AC；（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4，则⊙O的半径为．26．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）．（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0；（3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．27．（11分）几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…在△ABC中，P是BC上一点，点E在直线BC的上方，连接AP，EP，EC，探究下列问题：【认识模型】（1）如图①，△APB∽△CPE．①连接BE，求证△PEB∽△PCA；②∠BEC与∠BAC满足的数量关系为；【运用模型】（2）已知∠BAC＝90°，D是AB的中点，且△APD∽△CPE．①如图②，若P是BC的中点，连接DE，求证DE∥BC；②若∠B＝30°，BC＝4，当点P在BC上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出AE的长的最小值．2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：3990000＝3.99×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，∵﹣2＜a＜﹣1，∴﹣4＜2a＜﹣2，结果为负数，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴﹣1＜＜﹣，结果为负数，∴选项B不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴﹣3＜a﹣1＜﹣2，结果为负数，∴选项C不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴0＜a+2＜1，结果为正数，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数加减乘除的运算方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．3．【分析】根据平方数进行计算，即可解答．【解答】解：∵11＜16＜21，∴＜＜，∴＜4＜，∵整数a．满足，∴a＝4，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．4．【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠BAD＝90°，由D为弧BD的中点，可得∠CAD＝∠BAC＝45°，由∠C＝∠ADB＝62°，再根据三角形外角定理得∠CPD＝∠CBD+∠C，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠CBD＝∠CAD＝45°，∵∠C＝∠ADB＝62°，∴∠CPD＝∠CBD+∠C＝45°+62°＝107°．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系进行求解是解决本题的关键．5．【分析】延长BA′交AD于点F，根据翻折的性质和等边三角形的性质求出AF，EF，进而可以解决问题．【解答】解：如图，延长BA′交AD于点F，在边长为2的正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠A＝∠ABC＝90°，由翻折可知：AB＝A′B＝2，∠A＝∠BA′E＝90°，AE＝A′E，∵△A′BC为等边三角形，∴∠A′BC＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB•tan30°＝2×＝，∴BF＝2AF＝，∴A′F＝BF﹣A′B＝﹣2，∵∠ABF＝30°，∴∠EFA′＝60°，∴EF＝2A′F＝﹣4，∴AE＝AF﹣EF＝﹣+4＝4﹣2，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．6．【分析】由点A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）在同一个函数图象上，可得B 与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点B（﹣2，m），C（2，m），∴B与C关于y轴对称，即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；∵A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】分式有意义的条件为：分母≠0，列出不等式计算即可．【解答】解：根据分式有意义的条件得：x﹣3≠0，∴x≠3，故答案为：x≠3．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．8．【分析】先算乘法，再化为最简二次根式，最后合并．【解答】解：×﹣＝﹣2＝6﹣2＝4；故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．9．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）＝2（m﹣1）2．故答案为：2（m﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．【分析】先把数据由小到大排列，再根据中位数的概念找出中位数．【解答】解：把数据由小到大排列：54，62，74，86，90，97，最中间的两个数是74，86，则中位数是＝80，故答案为：80．【点评】本题考查的是中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．11．【分析】先计算乘方，再计算乘法．【解答】解：＝2×16×＝，故答案为：．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．12．【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可．【解答】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（﹣m，﹣），∴C点坐标为（m，﹣），∴AC＝，BC＝2m，∴△ABC的面积＝AC•BC＝•2m•＝12，∴b＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．13．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），∴1＝k+b，b＝1﹣k，∴一次函数解析式为：y＝kx+1﹣k，∵当x＝2时，5＜y＜9，∴5＜2k+1﹣k＜9，∴5＜k+1＜9，∴4＜k＜8．不妨k＝6，故答案为：6（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握解不等式是解答本题的关键．14．【分析】设⊙D与y轴相切于M，作直径MN，连接BD，由切线的性质得到MN⊥OC，由A的坐标是（4，0），得到OA＝4，由正方形的性质推出∠MCB＝∠NBC＝90°，BC ＝AB＝OA＝OC＝4，判定四边形MNBC是矩形，推出MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC ＝NB，由垂径定理求出NB＝AB＝2，得到MC＝NB＝2，求出OM＝4﹣2＝2，设圆的半径是r，由勾股定理得到r2＝（4﹣r）2+22，求出r＝，得到MD＝，即可得到点D 的坐标为（，2）．【解答】解：设⊙D与y轴相切于M，作直径MN，连接BD，∴MN⊥OC，∵A的坐标是（4，0），∴OA＝4，∵四边形OABC是正方形，∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4，∴四边形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC＝NB，∴MN⊥AB，∴NB＝AB＝2，∴MC＝NB＝2，∴OM＝4﹣2＝2，设圆的半径是r，∴DB＝r，DN＝4﹣r，∵BD2＝DN2+NB2，∴r2＝（4﹣r）2+22，∴r＝，∴MD＝，∴点D的坐标为（，2）．故答案为：（，2）．【点评】本题考查正方形的性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理得到关于r的方程．15．【分析】过A点作AH⊥BD于H点，如图，先根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，AD ＝BC＝12，则利用勾股定理可计算出BD＝13，再证明△BAH∽△BDA，利用相似比可计算出BH＝，接着根据旋转的性质得到AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∠BAB′＝∠DAD′，于是根据等腰三角形的性质得到BH＝B′H＝，然后证明△ADD′∽△ABB′，从而利用相似比可求出DD′的长．【解答】解：过A点作AH⊥BD于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12，在Rt△ABD中，BD＝＝＝13，∵∠ABH＝∠DBA，∠AHB＝∠DAB，∴△BAH∽△BDA，∴BH：AB＝AB：BD，即BH：5＝5：13，解得BH＝，∵矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．∴AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∠BAB′＝∠DAD′，∴BH＝B′H＝，∵＝，∠DAD′＝∠BAB′，∴△ADD′∽△ABB′，∴DD′：BB′＝AD：AB，即DD′：＝12：5，解得DD′＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．16．【分析】取AC中点E，过E作EF⊥AC，过点A作AF⊥AB，交EF于F，连接BF，CF，可证明△BDA≌△AEF（AAS），得AB＝AF＝2，则BF＝2，EF是AC的垂直平分线，可知CF＝AF＝2，由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝2﹣2，当F、C、B三点共线时取等号，即可求得BC的最小值为2﹣2．【解答】解：取AC中点E，过E作EF⊥AC，过点A作AF⊥AB，交EF于F，则∠AEF＝∠BAF＝90°，AE＝AC，∴∠FAE+∠DAB＝∠FAE+∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BAD，∴BD＝AC，BD是△ABC的高，.∴BD＝AE，∠BDA＝∠AEF＝90°，△BDA≌△AEF（AAS），∴AB＝AF＝2，则BF＝＝2，∵E为AC中点，EF⊥AC，∵EF是AC的垂直平分线，∴CF＝AF＝2，由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝2﹣2，∴当F、C、B三点共线时取等号，即：BC的最小值为2﹣2；故答案为：2﹣2．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直平分线的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形，由三角形三边关系得BC≥BF﹣CF是解决问题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：＝•＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．【解答】解：由≥x+1得：x≤1，由3+4（x﹣1）＞﹣9得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以其整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】（1）根据统计图数据逐一判断即可；（2）根据城镇人口和乡村人口的增长和总人数等角度解答即可．【解答】解：（1）由统计图可知：2023年的总人口为：9.32+4.77＝14.09（亿人），2017年的总人口为：8.43+5.57＝14（亿人），所以2023年的总人口比2017年的总人口多，故①结论错误；2017年我国乡村人口比上一年下降约：≈2.79%，故②结论正确；2016～2023年我国城镇人口逐年增长，但增长率不相同，故③结论错误．故答案为：②；（2）由统计图可知，我国城镇人口逐年增长，乡村人口逐年减少；从2021年开始，我国人口开始出现负增长．【点评】题考查条形统计图，解题的关键是根据统计图正确获取信息．20．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙从不同通道进入博物馆的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，甲从A通道进入博物馆的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，∴甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】设乙机器人每小时检测零件x个，则甲机器人每小时检测零件（x+10）个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙机器人每小时检测零件的个数，再将其代入（x+10）中，即可求出甲机器人每小时检测零件的个数．【解答】解：设乙机器人每小时检测零件x个，则甲机器人每小时检测零件（x+10）个，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50（个）．答：甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．【分析】（1）根据平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再证明DE＝BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）过点B作BM⊥DA于点M，由含30°角的直角三角形的性质得AM＝AB＝2，进而由勾股定理得BM＝2，设AE＝x，则ME＝AM+AE＝2+x，DE＝AD﹣AE＝8﹣x，再由菱形的判定可知BE＝DE＝8﹣x，然后在Rt△BME中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）解：如图，过点B作BM⊥DA于点M，则∠BMA＝90°，∵∠BAD＝120°，∴∠BAM＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝AB＝×4＝2，∴BM＝＝＝2，设AE＝x，则ME＝AM+AE＝2+x，DE＝AD﹣AE＝8﹣x，由（1）可知，四边形EBFD是平行四边形，当BE＝DE＝8﹣x时，四边形EBFD是菱形，在Rt△BME中，由勾股定理得：（2）2+（2+x）2＝（8﹣x）2，解得：x＝2.4，即当AE的长为2.4时，四边形EBFD是菱形，故答案为：2.4．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】延长AB交PG于点F，延长CD交PG于点E，根据题意可得：AF⊥PG，CE ⊥PG，AF＝CE，AC＝EF＝20m，然后设PF＝x m，则PE＝（x+20）m，分别在Rt△BPF 和Rt△PED中，利用锐角三角函数的定义求出BF和DE的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．【解答】解：延长AB交PG于点F，延长CD交PG于点E，由题意得：AF⊥PG，CE⊥PG，AF＝CE，AC＝EF＝20m，设PF＝x m，∴PE＝PF+EF＝（x+20）m，在Rt△BPF中，∠BPF＝63°26′，∴BF＝PF•tan63°26′≈2x（m），在Rt△PED中，∠EPD＝36°52′，∴ED＝PE•tan36°52′≈0.75（x+20）m，∵AF＝CE，∴AB+BF＝CD+DE，∴5.2+2x＝30.2+0.75（x+20），解得：x＝32，∴AF＝AB+BF＝5.2+2x＝69.2（m），∴无人机在P处时离地面的高度约为69.2m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）依据待定系数法，可分段求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）分两种情况进行讨论求解即可．【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，∴y与x之间的函数关系式为y＝；当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，综上所述，y＝；（2）当4≤x≤8时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）•﹣40＝120﹣，∵当4≤x≤8时，w随着x的增大而增大，∴当x＝8时，w max＝120﹣＝40；当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣40＝﹣（x﹣16）2+104，∴当x＝16时，w max＝104；∵104＞40，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为104万元．【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，反比例函数的应用，解答中涉及待定系数法求函数解析式，理解题意，掌握相关函数的性质是解题的关键．25．【分析】（1）连接OC，OA交BF于点G，证明OA⊥BF，利用垂径定理即可得到结论；（2）连接BC，证明△ABE∽△ACB，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论；（3）连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，由△ABE﹣△ACB，对应边成比例求出CB，在Rt△BCH中，由勾股定理求出CH，进一步求出OH，在Rt△AOH中，利用勾股定理即可求出半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OA交BF于点G，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DEC＝∠AEG，∴∠OAC+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，即OA⊥BF，由垂径定理可得，OA垂直平分BF，∴AF＝AB；（2）证明：如图，连接BC，由（1）知，AF＝AB，则∠AFB＝∠ABE，又∠ACB＝∠AFB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，即：AB2＝AE•AC；（3）解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，∵AE＝2，EC＝6，则AC＝AE+EC＝8，由（2）可知，AB2＝AE•AC＝16，∴AB＝4＝BE，由（2）知△ABE∽△ACB，则，即，∴AC＝CB＝8，又：OA＝OB，∴CH垂直平分AB，∴，在Rt△BCH中，，设半径为r，则OA＝OC＝r，，在Rt△AOH中，OH2+AH2＝OA2即：，解得，故答案为：．【点评】本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键．26．【分析】（1）依据题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a，再结合a＜0，可得﹣8a＞0，又对于任意的实数b都有b2≥0，从而可以判断得解；（2）依据题意，由x1+x2＝﹣，x1•x2＝，又x2＝﹣2x1，从而求出x1＝，x2＝﹣，又x1•x2＝，进而可以﹣＝，故变形可以得解；（3）依据题意，对称轴是直线x＝＝k+2，又令x＝0，则y＝2，再由a＜0时，当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又2＜y2＜y1，从而|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|，进而分三类①k＜﹣2②﹣2≤k≤4③k＞4进行讨论，即可得解．【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a．∵a＜0，∴﹣8a＞0．又对于任意的实数b都有b2≥0，∴b2﹣8a＞0，即Δ＞0．∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）证明：由题意，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．又x2＝﹣2x1，∴x1＝，x2＝﹣．又x1•x2＝，∴﹣＝．∴﹣b2＝a．∴a+b2＝0．（3）解：由题意，对称轴是直线x＝＝k+2．又令x＝0，则y＝2．∵a＜0，∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．又2＜y2＜y1，∴|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|．∴|k+2|＞|k﹣4|＞2．①当k＜﹣2时，﹣k﹣2＞4﹣k＞2．∴无解．②当﹣2≤k≤4时，k+2＞4﹣k＞2．∴1＜k＜2．③当k＞4时，k+2＞k﹣4＞2．∴k＞6．综上，1＜k＜2或k＞6．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．27．【分析】（1）①由相似三角形的性质可知∠APB＝∠CPE，得∠BPE＝∠APC，即可证明结论；②根据相似三角形的性质可知∠BEP＝∠ACB，∠CEP＝∠ABC，再结合三角形的内角和定理即可得结论；（2）①先证△PED∽△PCA，得∠DEP＝∠ACP，由三角形中位线定理及斜边上中线等于斜边得一半可得DP∥AC，AP＝BP＝CP，则∠ADP＝∠BAC＝90°，∠B＝∠DAP，再根据相似三角形的性质可知∠ADP＝∠CEP＝∠BAC＝90°，∠ECP＝∠DAP＝∠B，进而可得∠DEP+∠CEP+∠ECP＝∠ACB+∠BAC+∠B＝180°，即可证明结论；②由含30°角的直角三角形可得AC＝2，，进而可得，由三边关系可知，AE+CE≥AC，则AE≥AC﹣CE，当A、E、C三点共线时，AE最小，此时∠ECP＝60°，由相似三角形的性质可知∠DAP＝∠ECP＝60°，则∠DAP+∠B＝90°，得AP⊥BC，由，得，可得CP＝1，由相似三角形的性质得，求得CE＝1，即可得AE的最小值为1．【解答】（1）①证明：∵△APB∽△CPE，∴∠APB＝∠CPE，，∴∠BPE+∠APE＝∠APC+∠APE，，∴∠BPE＝∠APC，∴△PEB∽△PCA；②解：∵△PEB∽△PCA，△APB∽△CPE，∴∠BEP＝∠ACB，∠CEP＝∠ABC，∵∠BEC＝∠BEP+∠CEP＝∠ACB+∠ABC，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°，故答案为：∠BAC+∠BEC＝180°；（2）①证明：∵△APD∽△CPE，∴∠APD＝∠CPE，，则∠APD+∠APE＝∠CPE+∠APE，∴∠DPE＝∠APC，∴△PED∽△PCA，∴∠DEP＝∠ACP，∵D是AB的中点，P是BC的中点，∠BAC＝90°，∴DP∥AC，AP＝BP＝CP，则∠ADP＝∠BAC＝90°，∠B＝∠DAP，∵△APD∽△CPE，∴∠ADP＝∠CEP＝BAC＝90°，∠ECP＝∠DAP＝∠B，则∠DEP+∠CEP+∠ECP＝∠ACB+∠BAC+∠B＝180°，∴DE∥BC；②解：∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，BC＝4，∴，则AB＝，∵D是AB的中点，∴，由三边关系可知，AE+CE≥AC，则AE≥AC﹣CE，当A、E、C三点共线时，AE最小，此时∠ECP＝60°，∵△APD∽△CPE，∵∴∠DAP＝∠ECP＝60°，则∠DAP+∠B＝90°∴AP⊥BC，∵，∴，在Rt△ACP中，，∵△APD∽△CPE，∴，即，∴CE＝1，则AE＝AC﹣CE＝1，即AE的最小值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键。
2022年江苏省南京市中考数学第一次联合测评试卷附解析
2022年江苏省南京市中考数学第一次联合测评试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．圆锥的底面直径是8，母线长为12，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A ． 60°B ． 120°C ． 150°D ． 180° 2．如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点G ，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ）A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是（ ）A ．相等B ．互余C ．互补D ．相等或互补5．下列命题不正确的是（ ）A ．在同一三角形中，等边对等角B ．在同一三角形中，等角对等边C ．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍D ．等腰三角形是等边三角形6．已知：如图，∠A0B 的两边 0A 、0B 均为平面反光镜，∠A0B=40．在0B 上有一点P,从P 点射出一束光线经0A 上的Q 点反射后,反射光线QR 恰好与0B 平行,则∠QPB 的度数是（ ）A ．60°B ．80°C ．100 °D ．120°7．下列运算中，正确的是（ ）A ．23467()x y x y =B ．743x x x =⋅C ．2213()()x y x y xy --÷=D ．21124-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8．在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．)(2b a a ab a -=-9．一根绳子弯曲成如图2（1）所示的形状. 当用剪刀像图 2（2）那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图2（3）那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为 9段. 若用剪刀在虚线a 、b 之间把绳子再剪（1n -）次（剪刀的方向与a 平行），这时绳子的段数是（ ）A ．41n +B ． 42n +C ．43n +D ．45n +10．如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式的各项次数（ ）A ． 都小于 5B ．都大于 5C ．都不小于 5D ．都不大于511．光年是天文学中常用的表示距离的单位，1光年是指光在一年中所走的距离，若一年为365天，光的速度为每秒300000千米，则1光年等于多少千米?（ ）二、填空题12．在阳光明媚的上午，小波上午 9：30 出去时测量了自已的影子，出去一段时间后，回来时，他发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小波出去的时间约为 小时.13．已知函数5y x =-,令 x=12、1、32、2、52、3、72、4、92、5，可得函数图象上的十个点，在这十个点中随机取两个点 P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，则 P 、Q 两点在同一个反比例函数图象上的概率是 ．14．已知圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为______．15．课堂上老师用投影仪在屏幕上投影了一蝠风景图，它和原图是 ．16．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．17．五边形的内角和等于 度.18．若11x y =⎧⎨=-⎩是方程组2421ax y b x by a +=⎧⎨-=-⎩的解，则a b += . 19．相似变换后得△DEF ，若对应边AB=3DE ，则△ABC 的周长是△DEF 的周长的 倍. 20．若219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ． 21．若x 、y 满足关系式 时分式3355x y x y --的值等于35. 22．如果=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x ，则．三、解答题23．武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44减至32，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）．(1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）(2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）24．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心0 按逆时针方向旋转的角度约为多少呢(假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14，结果精确到1°)？25．如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点 E是AD上一点，若∠BCD= 35°，求∠AEC 的度数.26．如图所示，已知点0是□ABCD的对称中心，MN经过点0，求证：OM=ON．27．某班 34 个同学去春游，共收款 80 元，由小军去买点心，要求每人1 包．已知有 3元一包和 2 元一包两种点心，试问 3 元一包的点心最多能买几包？28．已知△ABC 的三边长分别是 a，b，c，试利用因式分解说明式子222-+-的符号.b a ac c229．请任意画一个角，设法将它平均分成四个相等的角，并说出你是如何做的．30．读句画图，并回答问题．(1)画三角形ABC，取AB的中点M；(2)过点M画直线MN∥BC，交AC于点N；(3)过点M画直线MP∥AC，交BC于点P；(4)测量AN与NC，BP与PC是否相等?(5)测量MN与BC，MP与AC之间的关系?(6)再重新任意画一个三角形，重复以上的画图步骤，观察(5)的关系是否仍然成立?【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．D3．C4．D5．D6．B7．B8．A9．D10．D11．9. 4608×1O12千米二、填空题12．513． 44514．π18 15．相似形16．817．54018．419．320．521．y x ≠22．0,14三、解答题23．解：（1）如图，在Rt ABC △中，sin 445sin 44 3.473AC AB ==≈．在Rt ACD △中，3.4736.554sin 32sin 32ACAD ==≈，6.5545 1.55AD AB ∴-=-≈．即改善后的台阶会加长1.55米．(2）如图，在Rt ABC △中，cos 445cos 44 3.597BC AB ==≈．在Rt ACD △中， 3.473 5.558tan 32tan 32AC CD ==≈， 5.558 3.597 1.96BD CD BC ∴=-=-≈． 即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面．24．旋转的角度约为：018010573.1410⨯≈⨯ 25．∵∠BCD=35°, ⌒BD = 2×35°=70°,∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，∴⌒BC =⌒BD =70° ∴⌒AC =⌒ACB -⌒BC =180°- 70°=110°,∴∠AEC=12×110°=55°. 26．连结AC ，则AC 必过点0．证明△AOM ≌△CON(ASA)，可得OM=0N 27．12包28．正号29．略30．(1)(2)(3)略 (4)AN=NC ，BP=PC ；(5)MN=12BC ，MP=12AC ；(6)仍然成立．。
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南京市中考数学一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） -2的相反数是（）
A . 2
B . -2
C .
D .
2. （2分） (2017七上·临海期末) 据阿里巴巴官方数据显示，2016年中国“双11”淘宝天猫交易额为120 700 000 000元，将120 700 000 000元用科学记数法表示为（）元.
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2017·山东模拟) 如图是由5个底面直径与高度相等的大小相同的圆柱搭成的几何体，其左视图是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2020·新都模拟) 如图，是某市一周内最高气温的折线统计图，关于这7天的日气温的说法，错误的是（）
A . 最高气温是30℃
B . 最低气温是20℃
C . 众数是28℃
D . 平均数是26℃
5. （2分）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB= ，则图中阴影部分的面积为（）
A . 1
B .
C .
D .
6. （2分）(2017·安顺模拟) 已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A . m＜﹣1
B . m＞1
C . m＜1且m≠0
D . m＞﹣1且m≠0
7. （2分）下列说法正确的是（）
A . 彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定会中奖
B . 一组数据的中位数就是这组数据正中间的数
C . 鞋店老板进货时最关心的是鞋码的众数
D . 甲每次考试成绩都比乙好，则方差S甲2＜S乙2
8. （2分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分）如图，平行四边形ABCD中，△AOD可以看作是由下列哪个三角形旋转而得到的（）
A . △AOB
B . △DOC
C . △BOC
D . △BCD
10. （2分） (2019九上·海淀期中) 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P 为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）
A .
B .
C .
D . 2
二、填空题 (共5题；共9分)
11. （1分）(2020·合肥模拟) 计算： ________．
12. （5分）如图1，MA1∥NA2 ，则∠A1+∠A2=________度．
如图2，MA1∥NA3 ，则∠A1+∠A2+∠A3=________度．
如图3，MA1∥NA4 ，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=________度．
如图4，MA1∥NA5 ，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=________度．从上述结论中你发现了什么规律？
如图5，MA1∥NAn ，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=________度．
13. （1分）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是________.
14. （1分）(2018·荆州) 如图，正方形ABCD的对称中心在坐标原点，AB∥x轴，AD、BC分别与x轴交于E、F，连接BE、DF，若正方形ABCD有两个顶点在双曲线y= 上，实数a满足a3﹣a=1，则四边形DEBF的面积是________．
15. （1分） (2019八下·邵东期末) 如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，则BD=________．
三、解答题 (共8题；共84分)
16. （5分）再求代数式的值．，其中tan45°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
17. （14分）(2017·江北模拟) 某校以“我最想去的社会实践地”为课题，开展了一次调查，从全校同学中随机抽取了部分同学进行调查，每位同学从“荪湖花海”、“保国寺”、“慈城古镇”、“绿色学校”中选取一项最想去的社会实践地，并将调查结果绘制成如下的统计图（部分信息未给出）．
请根据统计图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为________，a=________%，b=________%，“荪湖花海”所对应扇形的圆心角度数为________度．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校最想去“绿色学校”的学生共有多少名？
18. （15分）(2016·甘孜) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长．
19. （5分）(2017·洛宁模拟) “蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
21. （10分）(2020·郑州模拟) 学校拟购进一批手动喷淋消毒设备，已知1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元.
（1）问一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元?
（2）学校决定购进两种型号的喷雾器共60个，并且要求B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由.
22. （10分）(2020·丹东) 已知：菱形和菱形，，起始位置点在边上，点在所在直线上，点在点的右侧，点在点的右侧，连接和，将菱形以为旋转中心逆时针旋转角（）.
（1）如图1，若点与重合，且，求证：；
（2）若点与不重合，是上一点，当时，连接和，和所在直线相交于点；
①如图2，当时，请猜想线段和线段的数量关系及的度数；
②如图3，当时，请求出线段和线段的数量关系及的度数；
③在②的条件下，若点与的中点重合，，，在整个旋转过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长.
23. （15分）(2020·深圳模拟) 如图，已知二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，其中 .
（1）求点的坐标，并用含的式子表示；
（2）连接，，当为锐角时，求的取值范围；
（3）若为轴上一个动点，连接，当点的坐标为时，直接写出的最小值．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共9分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共8题；共84分)
16-1、17-1、
17-2、17-3、
18-1、18-2、
18-3、
19-1、21-1、
21-2、22-1、
23-1、23-2、23-3、。