一元二次函数的定义
一元二次函数知识点汇总
姓名 二次函数总复习（知识点）1。
定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ,那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.（2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3。
二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向:当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大,抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线,记作h x =。
特别地,y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值（0>a 时)］，坐标为(h ，k ).6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2）配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为（h ,k ),对称轴是h x =。
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7。
一元二次函数
x1， x2 ；这个时候我们设： y=a(x-x 1 )(x-x2)
解答：设 y=a(x-1)(x+3)
因为函数经过点（ 4,2），
所以： 21=a(4-1)(4+3)
解得： a=1
所以： y=(x-1)(x+3) 即： y=x 2+2x-3
一元二次函数
一、一元二次函数的定义 形如 y=ax2+bx+c( 其中 a≠0)的函数称之为一元二次函数。
二、一元二次函数的图像及性质： y=ax 2+bx+c
(a≠ 0)
a>0
y
a<0 y
P
图像
x
y = f(x)
O
x
y = f(x)
O
P
对称轴 顶点坐标
最值 单调性
b
x=
2a
b 4ac b2
P(
,
)
么？ 解答： y=(x-1) 2+2 根据“左加右减”的原则，向左移动一个单位，则有：
根据“上加下减”的原则，向上移动两个单位，则有 所以，最终的结果是： y=x 2+4
y=(x-1+1) 2+2 y=(x-1+1) 2+2+2
题型二：已知三点求函数的解析式——方法：待定系数法 【例题 2】已知一元二次方程 y=ax2+bx+c 经过点 A(1 ，3),B(2 ，4),C(3 ，11),求函数的解析式。 解答：根据题意有：
abc3 4a 2b c 4 9a 3b c 11
解上面的方程组，得：
a3 b8
c8
所以： y=3x 2-8x+8
【例题 3】 已知函数
一元二次函数的解法
一元二次函数的解法函数定义了一个点集中的每个点的坐标关系，其中一元二次函数是最常用的函数之一，它可以描述许多实际中出现的应用。
一元二次函数的定义是：函数y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c是实数，称为一元二次函数。
一元二次函数的特点是它可以根据函数图像分析出它的特征，例如，对于一元二次函数图像，可以分析出它的顶点坐标、凹凸性和函数一阶导数的符号以及二阶导数的符号等。
一元二次函数的求解方法也有多种，例如，可以采用直接法、差商法和因式分解法等。
1、直接法直接法是指通过求解方程，直接求解函数的值。
例如，一元二次函数y=ax2+bx+c，将其化为一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用两个不等式相减或方程根定理求解该一元二次方程。
2、差商法差商法是通过求解指定的函数的差商来求解的。
例如，一元二次函数y=ax2+bx+c，可以求解两个不同点（x1，y1）、（x2，y2）处的三阶差商和四阶差商，从而求解出该函数的系数a、b、c的值。
3、因式分解法因式分解法是通过求解一元二次函数的因式展开式，求解出该函数系数a、b、c的值。
例如，一元二次函数y=ax2+bx+c，可以将它分解成（x+α）（x+β）＝0的形式，然后给出α，β的值，从而求得该函数的系数a、b、c。
4、特例求解法特例求解法是指利用某些特殊的情况来直接求解一元二次函数的，例如当一元二次函数的b=0时，可以直接求解出它的系数a、b、c的值。
以上就是一元二次函数的求解方法和分析，一元二次函数的研究和分析有着重要的实际意义，它可以应用于工程设计、投资管理、金融预测等等。
有了对一元二次函数的准确掌握，就可实现精准的计算。
总之，一元二次函数是一种非常常用的函数，它可以应用于各种实际工程领域的计算和分析，掌握其一元二次函数的求解方法既有利于开展理论研究，又有利于实际工程中的应用。
一元二次函数归纳
一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次方程定义
一元二次方程定义一元二次方程是一种形如 $ax^2+bx+c=0$ 的代数式，其中 $a,b,c$ 都是实数且 $a \e 0$。
在数学中，一元二次方程是一类基本的二次函数，它在数学上的应用广泛，尤其在物理学、工程学、计算机科学等领域中，有着重要的作用。
一元二次方程的参数$a,b,c$ 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
在解一元二次方程时，我们的主要任务就是求解方程的根。
通常来说，有三种常见的解法，即因式分解法、求根公式法和配方法。
不过，这三种方法并不一定适用于所有的一元二次方程。
在接下来中，我们将具体介绍这三种解法以及它们的应用场景。
1. 因式分解法因式分解法是最为直观的解法之一。
对于形如 $ax^2+bx+c=0$ 的一元二次方程，如果其二次项系数 $a$ 不为零并且其方程左边的多项式是可因式分解的，那么我们就可以使用因式分解法来解方程。
具体步骤如下：（1）观察方程左边的多项式，尝试将其因式分解为两个一次多项式的乘积，即 $ax^2+bx+c=(mx+p)(nx+q)$。
（2）将因式分解后的乘积式展开并合并同类项，得到一个新的二次方程，即 $mnx^2+(mq+np)x+pq=0$。
（3）将新的二次方程与原方程进行比较，即可得到各个系数的关系，从而求出方程的根。
需要注意的是，因式分解法并不适用于所有的一元二次方程。
具体来说，它只适用于一元二次方程的方程左边的多项式可以被分解为两个一次多项式的乘积的情况。
如果方程左边的多项式是一个完全平方式，则我们可以直接使用求根公式法来求解。
2. 求根公式法求根公式法是解一元二次方程时最为常见的一种方法。
它基于一种著名的求根公式，即 $x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
这个公式也被称为一元二次方程的通项公式。
在使用求根公式法时，我们需要依次求出二次项系数 $a$、一次项系数$b$ 和常数项 $c$ 的值，并将其代入求根公式中即可求解方程的根。
一元二次方程概念
3
因数分解法
适用于形如ax²+ bx + c = 0，其中a = 1或a不等于1，可以通过因式分解法去解。
一元二次方程的图像
一次函数的图像
二次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，斜率代表了直线的倾 斜程度和函数的增长速度。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线， 顶点处为极值点。
一元二次方程的性质
1 判别式
判别式D = b²-4ac常用于判断一元二次方程的解的情况。
2 轨迹离散
当二次项系数a的值越小或越大时，抛物线的轨迹越趋向于x轴或y轴。
3 图像对称
抛物线关于顶点对称。
一元二次方程的应用
物理应用
抛物线的底部宽度可以应用于建 筑设计、设计跃高运动场地等需 要计算物体的轨迹的场合。
商业应用
二次函数的相关参数可以用于广 告投入和销售额的关系，以及生 产成本和产量的关系等商务领域 的计算。
我们为什么要学习一元二次方程？
研究一元二次方程有助于我们更深入地了解二次函数的基本概念
一元二次方程的一般形式
标准形式
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知 常数，x是未知变量。
无解情况
当b²-4ac小于0时，一元二次方程 没有实数根，称为无解情况。
解的总数
一元二次方程的应用？ຫໍສະໝຸດ 物理、商务和科学领域广泛 使用了一元二次方程的相关 数学概念。
一元二次方程有0、1或2个解。 具体解的数量取决于求方程的解 时一次项系数的符号和二次项系 数与常数项之间的关系。
一元二次方程的解的求法
1
配方法
适用于ax²+ bx + c = 0，通过配方将一元二次方程变为完全平方。
一元二次函数及应用
一元二次函数及应用
思考：小张家在农村，他建一个矩形养猪 场，现已备足可以砌20m长砖墙的材料， 如何设计，才能使得猪场的面积最大呢？ 这些实际生活中的问题就需要数学 知识来加以解决，在解决此问题前我们 首先学习一元二次函数的性质。 。
一、一元二次函数的性质
给定a、b、c⋲R,且a≠0,把函数 y=ax²+bx+c叫做一元二次函数，它的 定义域是实数集R，图像是一条抛物 线。 一元二次函数y=ax²+bx+c具有如下的性 质： b （1）图像具有对称轴x= − 2a b ，4ac−b2 （2）图像的顶点坐标（− ） 2a 4a
下面我们来帮助小张解决猪圈的设计 方案. 设矩形的长为xm，则宽为0.5（20-2x） (m),得矩形的面积为 S=x（10-x）=-x²+10x （0<x<10） 因为a=-1<0，因此函数有最大值。将 a=-1,b=10，c=0代入公式，得到矩 形的边长等于5m的正方形时，其面 积最大达到25㎡.
课堂巩固
解下列一元二次不等式： 解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6≥0； （2）-x²+4x-4>0; （3）x²+6x-7<0; （4）x²-x-12≥0.
三、区间
设a、b是两个实数，而且a<b: （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 闭 区间，表示为[a、b]； 区间 （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 开区 间，表示为（a、b）； （3）满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做半 半 开半闭区间，表示为（a、b]； 开半闭区间 （4）满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做半 半 闭半开区间，表示为[a、b)。 闭半开区间 这里的实数a与b叫做相应区间的端点 相应区间的端点。 相应区间的端点
一元二次函数定点式-解释说明
一元二次函数定点式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型之一，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数常数且a 不等于零。
一元二次函数的图像呈现出特定的形状，通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
在本文中，我们将重点研究一元二次函数的定点式及其含义。
定点式是一种表示函数图像上顶点坐标的方式，它提供了关于函数最高或最低点的关键信息。
通过研究函数的定点式，我们可以更深入地理解一元二次函数的性质和变化规律。
本文旨在通过对一元二次函数定点式的探讨，让读者对这一函数类型有更全面的了解，并认识到定点式在函数分析和解题过程中的重要性。
同时，我们还将展望定点式的应用领域，探索更多与一元二次函数定点式相关的实际问题，并寻找使用定点式解决这些问题的可能性。
在下一节中，我们将首先介绍一元二次函数的定义，为后续讨论奠定基础。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织结构和框架，它决定了文章内容的组织方式和展示顺序。
一个良好的文章结构能够帮助读者更好地理解文章主题，并且使文章更加连贯和有条理。
下面将介绍关于一元二次函数定点式的文章结构打算。
在本文中，文章的结构主要分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分（Chapter 1）是文章的开篇，目的是引导读者进入主题，并介绍文章的背景和意义。
具体包括以下几个方面的内容：1.1 概述：介绍一元二次函数的基本概念和定义，简要说明一元二次函数在数学中的重要性。
1.2 文章结构：详细说明本文的组织结构和框架，引导读者了解文章的整体布局和内容安排。
1.3 目的：明确本文的写作目的和研究问题，阐述对一元二次函数定点式的探索和分析。
1.4 总结：对引言部分进行总结，承接下文，为读者带来连贯的阅读体验。
正文部分（Chapter 2）是文章的核心部分，通过对一元二次函数定点式的定义、图像特点和含义进行详细解析，以展现该主题的全面性和深度。
具体包括以下几个方面的内容：2.1 一元二次函数的定义：介绍一元二次函数的基本形式和表达式，解释其在数学中的重要性和应用。
初中数学知识归纳一元二次函数的基本概念与性质
初中数学知识归纳一元二次函数的基本概念与性质一、基本概念一元二次函数是指可以用一元二次方程y=ax²+bx+c表示的函数。
其中，a、b、c是常数且a≠0。
该函数通常以y=f(x)形式表示，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数关系。
二、函数图像1. 抛物线形态一元二次函数的图像是抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
开口的方向由二次系数a的正负决定。
2. 对称轴对称轴是与抛物线关于y轴对称的一条直线。
它的方程可以通过求解x轴对称情况下的特殊点来得到。
3. 顶点顶点是抛物线的最高点或最低点。
当抛物线开口朝上时，顶点为最低点，坐标为(-b/2a, -Δ/4a)；当抛物线开口朝下时，顶点为最高点，坐标为(-b/2a, Δ/4a)。
其中，Δ为二次方程ax²+bx+c=0的判别式。
三、性质1. 零点一元二次方程的零点就是函数与x轴交点的横坐标。
由于一元二次方程为ax²+bx+c=0，可以通过求解方程来得到零点的值。
2. 特殊点特殊点包括顶点、最值点等。
可以通过求解一元二次方程求得函数中的特殊点。
3. 函数的增减性一元二次函数可根据系数a的正负判断其增减性。
当a>0时，在顶点两侧函数递增；当a<0时，在顶点两侧函数递减。
4. 函数的最值一元二次函数的最值可以通过求解特殊点得到。
当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
四、实例分析举例说明一元二次函数的基本概念与性质。
例1：考虑函数y=2x²-4x+3。
该函数的二次系数a为2，大于0，因此抛物线开口朝上。
根据顶点坐标公式，顶点的横坐标为-(-4)/(2*2)=1，纵坐标为2*(1)²-4*(1)+3=1。
因此，该函数的顶点为(1, 1)。
根据对称性质，对称轴的方程为x=1。
通过求解一元二次方程2x²-4x+3=0，可得到该函数的两个零点。
一元二次函数知识点
一元二次函数知识点一元二次函数是数学中的重要概念，能够描述很多实际问题，并被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍一元二次函数的基本定义、图像特征、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
首先，我们来看一元二次函数的定义。
一元二次函数是指形如y =ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不为0。
其中，x为自变量，y为因变量，a、b、c是函数的系数。
一元二次函数的图像呈现出抛物线的形状，称为抛物线函数。
接下来，我们来探讨一元二次函数的图像特征。
对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c而言，首先我们可以根据a的正负来确定抛物线的开口方向。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
此外，通过对x的取值范围的分析，可以确定抛物线的轴对称线在y轴左（右）侧，进而确定抛物线的对称中心。
对称中心的横坐标为-x轴系数b/2a。
图像的顶点就是抛物线的最高（最低）点，其纵坐标为函数的值，在对称中心对应的自变量下代入函数表达式即可求得。
一元二次函数还有一些重要的性质。
首先是零点的性质。
一元二次函数的零点是指函数的值为0的自变量取值。
对于一元二次函数y =ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/2a来求解。
其中，b^2-4ac被称为判别式，根据判别式的值可以判断一元二次函数的零点情况。
当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数零点；当判别式等于0时，函数有一个重根零点；当判别式小于0时，函数没有实数零点。
除了零点，一元二次函数还有极值的性质。
当抛物线开口朝上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口朝下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
通过求导数，可以求得函数的导函数，进而求得函数的最值点和最值。
最后，我们来了解一元二次函数的应用。
一元二次函数广泛应用于许多实际问题的建模过程中。
例如，在物理领域中，一元二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹、飞行物体的抛体运动等；在经济领域中，一元二次函数可以用来分析成本、利润、收益等与输出量的关系；在工程领域中，一元二次函数可以用来研究材料的强度、力学结构等。
一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
二次函数与一元二次方程的根与系数关系
二次函数与一元二次方程的根与系数关系二次函数和一元二次方程在数学中都是重要的概念，并且它们之间存在着密切的联系。
在本文中，我们将探讨二次函数与一元二次方程的根与系数之间的关系，并研究它们之间的一些特性。
一、二次函数的定义与一元二次方程的定义首先，我们先来了解二次函数和一元二次方程的定义。
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a≠ 0。
二、二次函数的图像与一元二次方程的根的关系二次函数的图像是抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
一元二次方程的根就是方程的解，也就是使得方程等式成立的x 值。
根据二次函数的图像性质，我们可以得出以下结论：1. 当二次函数的抛物线与 x 轴相交时，方程有两个实根；2. 当二次函数的抛物线与 x 轴相切时，方程有一个实根；3. 当二次函数的抛物线与 x 轴无交点时，方程没有实根。
因此，通过观察二次函数的图像，我们可以确定一元二次方程的根的情况。
三、二次函数的系数与一元二次方程的根的关系接下来，我们来研究二次函数的系数与一元二次方程的根之间的关系。
1. 根据一元二次方程的求根公式可知，方程的根的判别式 D = b^2 - 4ac。
判别式 D 的值能够决定方程的根的性质。
具体来说：a) 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；b) 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；c) 当 D < 0 时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
2. 通过对比二次函数和一元二次方程的一般形式可知，二次函数的系数与一元二次方程的根之间存在着如下关系：a) 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；b) 一元二次方程的根与顶点坐标的关系为 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
一元二次函数知识点
二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。
一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这个公式被称为“二次根公式”。
为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。
根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。
因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。
二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。
具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。
一元二次函数知识点(详细)
一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数 对称轴-定义说明解析
一元二次函数对称轴-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：一元二次函数是高中数学中的重要概念之一，也是函数的一种常见形式。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
一元二次函数以抛物线的形式展示出来，可以描述很多自然界和社会现象，例如自由落体运动、汽车行驶的距离与时间的关系等。
在研究一元二次函数时，对称轴是一个重要的概念。
所谓对称轴，指的是一元二次函数的图像上存在一个与y轴平行的直线，使得抛物线关于该直线对称。
对称轴的特点是，若有一点P(x,y)在抛物线上，则此点关于对称轴上的点P'(x',y')也在抛物线上，并且点P和点P'关于对称轴对称。
对称轴的确定是研究一元二次函数性质的重要基础。
在解决与一元二次函数相关的问题时，对称轴的位置和性质提供了重要的线索。
了解对称轴的概念及其特点，有助于我们更深入地理解一元二次函数的形态、求解过程和图像特征。
本文将从一元二次函数的定义入手，详细介绍对称轴的概念、性质以及其在一元二次函数中的应用。
通过对这一重要概念的深入剖析，旨在帮助读者更好地理解并应用一元二次函数中的对称轴概念，提升数学解题和分析问题的能力。
在接下来的章节中，我们将首先介绍一元二次函数的定义，然后深入探讨对称轴的概念和性质。
最后，我们将探讨对称轴在一元二次函数中的应用，并强调对称轴在研究一元二次函数时的重要性。
通过本文的学习，读者将对一元二次函数的对称轴有更全面的了解，并能够更灵活地运用这一概念解决数学问题。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指文章的整体框架和布局。
在本文中，我们将采用以下结构来组织论述。
首先，我们将在引言部分给出本文的概述，在1.1节中对一元二次函数和对称轴进行简要介绍，为读者提供一个整体的了解。
接下来，在1.2节中，我们将详细描述文章的结构和组织方式。
我们将介绍每个章节的主题和目标，以及它们在整个文章中的作用和重要性。
二次函数与一元二次不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式是一元二次函数的不同形式，其中函数值是一个不等式，而不是一个等式。
研究一元二次不等式可以深入了解函数的特性，以及不等式的表示。
下面就介绍一元二次函数与一元二次不等式的关系。
一、一元二次函数的定义一元二次函数是两个参数的函数，函数的形式为 f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，x是变量。
如果a≠0，则称f (x) 为一元二次函数；如果a=0，则称f (x) 为一元一次函数。
求一元二次函数的根，可以利用二次公式已知一元二次函数的系数a、b、c，可以求出该函数的根。
二、一元二次不等式的定义一元二次不等式也是一种不等式，不过它的右边指示符是一个不等式而不是等式，其形式为f(x)≠ax²+bx+c，其中的a、b、c也是一元二次函数的系数，x是变量。
三、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系1、求解一元二次不等式的方法和求解一元二次函数的方法有很大不同，但它们都可以用二次公式来求解，可以解出满足一元二次不等式的x 的值。
2、还有一种重要的解法是利用分类讨论法，根据a、b、c的系数分情况讨论，最后得到一元二次不等式的根。
3、一元二次函数和一元二次不等式都可以画出函数图像，数学解法的求解有些相似，但通过函数图像可以直观的看出满足一元二次不等式的解的区间。
四、总结从以上分析可知，以上是一元二次函数与一元二次不等式的关系。
一元二次函数和一元二次不等式都可以用二次公式结合分类讨论法来求解，也可以画出函数图像进行可视化。
另外，一元二次不等式的求解还可以使用区间法，不过有些和一元二次函数的求解有所不同。
一元二次方程和二次函数的区别
一元二次方程和二次函数的区别一元二次方程与二次函数有着许多相似的地方，但同时它们也有着两者唯一的不同之处。
因此，在本文中，我们将介绍一元二次方程和二次函数的基本概念以及它们之间的显著差异。
什么是一元二次方程？一元二次方程是一种数学方程，它只有一个自变量，但具有二次项。
它的系数必须是实数，并且可以由常见的形式aX + bX + c = 0表示，其中，a≠0，b，c均为实数。
根据一元二次方程的系数a，b和c的取值，可以将一元二次方程分为三种类型：完全平方式、一元二次方程式和非完全平方式。
什么是二次函数？二次函数是一种具有两个自变量的函数，其标准形式可写为f (x) = ax + bx + c，其中a 0，b，c均为实数。
其曲线图也可以表示为y = ax + bx + c，它是一条以原点为中心的椭圆形，经历着上斜率、下斜率及无斜率三种状态。
一元二次方程与二次函数之间的区别是什么？一元二次方程和二次函数之间最显著的区别是它们所涉及的自变量：一元二次方程仅具有一个自变量，而二次函数具有两个自变量。
此外，一元二次方程的结果只有两个可能的根，而二次函数的结果可以是多个解，或者没有解。
此外，二次函数可以有正弦、余弦等多种形式，但一元二次方程只能采用统一的形式表示。
广义而言，一元二次方程是一种特殊的二次函数，它可以用正弦、余弦等形式表示出来，尽管它们之间存在显著的差异，但它们的基本概念是完全相同的。
因此，当讨论一元二次方程和二次函数时，可以灵活运用它们之间的联系。
综上所述，一元二次方程和二次函数之间的区别可归纳为以下几点：一、它们具有不同的自变量；二、一元二次方程只有两个根，而二次函数可能有多个解；三、一元二次方程只能采用一种统一标准形式，而二次函数可以有正弦、余弦等多种形式。
因此，本文详细讨论了一元二次方程和二次函数之间的区别。
鉴于它们在数学上之间的关系，当讨论它们时必须特别注意它们之间的各种区别，以便成功地解决数学问题。
一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
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星火教育讲义
教学步骤：
一、新授内容
1.二次函数的概念及图象
定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的
二次函数.
图像：在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a 24ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a 24ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.
2.理解二次函数的性质
二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：a b ac a b x a y 44222
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的形式， 其中对称轴是直线，a b x 2-= 顶点坐标为（- a
b 2，a b a
c 442-） 抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大
而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a
时,y 最小值=4a 24ac-b ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b 2a
时y 最大值=4a 24ac-b . 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法
一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式 教师姓名
李俊方 学生姓名 周龙 上课时间 2012-10-04 年级
初三 学科 数学 课时计划 第（ 5 ）课 教学内容
一元二次函数的定义及性质 教学重难点
二次函数的定义 教学目标
理解二次函数的概念和定义，掌握二次函数的表达式 审核 校区主任： 时间：
为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解.
【例1】 函数y=（m ＋2）x 22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ．
【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x
＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．
1、已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间
的表达式．
2、已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．
【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式．
【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
【例6】如图2-1-1，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC 于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．
【例7】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z 与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
【例8】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
二、课堂训练
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函
数．
2．当m 时，y=（m －2）x 22-m 是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．
5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运
动速度v 之间的关系是E=2
1mv 2（m 为定值）． （1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值： v
1 2 3 4 5 6 7 8 E
（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？
6．下列不是二次函数的是（ ）
A ．y=3x 2
＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）
A ．m 、n 为常数，且m ≠0
B ．m 、n 为常数，且m ≠n
C ．m 、n 为常数，且n ≠0
D ．m 、n 可以为任何常数 8．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为
（ ） A ．S=2π（x ＋3）2 B ．S=9π＋x C ．S=4πx 2＋12x ＋9 D ．S=4πx 2＋12x ＋9π
9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ）
A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．
10．下列函数中，二次函数是（ ）
A ．y=6x 2
＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋1 11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．
12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．
三、课后作业
13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提
高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y 元，请你写出y与x之间的函数表达式？
14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a （m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？
15．⑴已知：如图菱形ABCD中，∠A=60°，边长为a，求其面积S与边长a的函数表达式．
⑵菱形ABCD，若两对角线长a：b=1：3，请你用含a的代数式表示其面积S．
⑶菱形ABCD，∠A=60°，对角线BD=a，求其面积S与a的函数表达式．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A
开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B
开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达
B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD
的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点
D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四
边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．。