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2020年浙江省“金兰教育合作组织”高一下学期期中联考数学试题(附带详细解析)

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浙江省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

浙江省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
4.已知函数
，为了获得函数
的图象，只需将
的图象
（
）
A.
向左平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】
【剖析】
由题意联合函数的分析式可得函数图像的平移变换方法
.
【详解】注意到
，
故获得函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.
应选：D.
【点睛】此题主要考察三角函数的平移变换，属于基础题.
角用已知角配凑成β=（α+β）﹣α，是解题的重点，属于较难题．
17.若两个非零向量，知足，则向量与的夹角余弦值为_______.
- 8 -
【答案】
【分析】
【剖析】
由题意联合平行四边形的性质和向量的夹角公式整理计算可得两向量夹角的余弦值.
【详解】不如设，则，，
由平行四边形的性质有：，
即：.
据此可得：，
余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
-12-
sinα、cos（α+β）
值，再利用两角和差
正弦公式求
得β＝
[（α+β）﹣α]的值．
【详解】∵α、β
为锐角，cosα
，∴sinα
，
sin（α+β）
sinα，∴α+β为钝角，
【
，
∴cos（α+β）
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
?
?
．
故答案为.

浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷

浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷

2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。

2019-2020学年浙江省金兰组织高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年浙江省金兰组织高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年浙江省金兰组织高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b 2+c 2−a 2=bc ，则sin(B +C)=( ) A. −B.C. −D.2. 已知△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对三边分别为a ，b ，c ，sin(A −π4)=√210，若△ABC 的面积S =24，b =10，则a 的值是( )A. 5B. 6C. 7D. 83. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3=S 7，a 2=7，则a 5=( )A. 5B. 3C. 1D. −14. 已知数列{a n }满足a n =1，a n+1−a n ≥2(n ∈N +)，且{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a n ≥2n +1B. S n ≥n 2C. a n ≥2n−1D. S n ≥2n−15. 已知tan α=，则sin2 α−2cos 2 α−1=( )A.B.C.D. −26. 已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f(32+x)=f(−x)，f(1)=−3，数列{a n }满足a 1=−1，且S n =2a n +n(n ∈N ∗)，(其中S n 为{a n }的前n 项和).则f(a 5)+f(a 6)=( )A. −3B. −2C. 3D. 27. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB =12,sinC =√32，则a ：b ：c 为( )A. 1：√3：2B. 1：1：√3C. 1：2：√3D. 2：1：√3或1：1：√38. 4.设，则等于A.B.C.D.9. 在等比数列{a n }中，a 1=1，q =12，a n =132，则n =( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 函数y =sin(2x +π6)+cos(2x −π3)的最小正周期和振幅分别是A. π，√2B. π，2C. 2π，1D. 2π，√2二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 海中有一小岛，周围n mile 内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6n mile 以后，望见这岛在北偏东30°.如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile 后海轮会触礁．12. 已知sinα=35，且α为第一象限角，则tan2α的值为______． 13. 已知数列{a n }满足a n+1a n=n+2n(n ∈N +)，且a 1=1，则a n =________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 函数f(x)=sin 2x +sinxcosx +1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 15. 设数列{a n }满足a 1=1,a 2=180,a n+2=a n +n +(−1)n n ，则：(1)a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019= (1) ； (2)数列{a 2n2n }中最小项对应的项数n 为 (2) ．16. 函数f(x)=sin2x +sinxcosx +1的最小正周期是 (1) ，单调递减区间是 (2) ．17. 对于n ∈N +，将n 表示n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，当i =0时，a i =1，当1≤i ≤k 时，a 1为0或1.记I(n)为上述表示中a i 为0的个数(例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I (1)=0，I(4)=2)，则(1)I(12)= (1) ；(2)∑2I(n)127n=1= (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=sin(3x +π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值．19. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ：sin B ：sinC =3：4：5．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长．20. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >1，且6S n =(a n +1)(a n +2)，n ∈N ∗．(1)求{a n }的通项公式：(2)设数列{b n }满足b n ={a n ,n 是奇数2n ,n 是偶数，并记T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．21. (12分)如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为km ，∠ ADB =∠ CDB =30°，∠ ACD =60°∠ ACB =45°，求A 、B两点间的距离．22.已知数列{a n}，满足a n+1={2a n,n为偶数a n+1,n为奇数，a1=1，若b n=a2n−1+2(b n≠0)．(Ⅰ)求a4，并证明数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)令c n=n⋅a2n−1，求数列{c n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA ==，sin(B +C)=sinA =．2.答案：D解析：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及两角差的正弦公式等应用，考查化简、计算能力．属于中档题．由题意和两角差的正弦公式化简已知的式子，联立平方关系、内角的范围求出sin A 和cos A 的值，由条件和三角形的面积公式列出方程求出c ，由余弦定理求出a 的值． 解：由sin(A −π4)=√210得，√22(sinA −cosA)=√210，则sinA −cosA =15，联立sin 2A +cos 2A =1，且，解得{sinA =45cosA =35或{sinA =−35cosA =−45(舍去)，因为△ABC 的面积S =24，b =10， 所以12bcsinA =24，解得c =6， 由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =100+36−2×10×6×35=64，则a =8， 故选D ．3.答案：C解析：解：设公差为d ，由S 3=S 7，a 2=7，可得{3a 1+3d =7a 1+21d a 1+d =a 2=7，解得a 1=9，d =−2， ∴a 5=a 1+4d =8−8=1， 故选：C ．根据S3=S7，a2=7，列出方程组，求出等差数列{a n}的首项和公差，然后求出a5即可本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：由题意可得a2−a1≥2，a3−a2≥2，a4−a2≥2，…+a n−a n−1≥2，∴a n−a1≥2(n−1)，∴a n≥2n−1，∴S n=a1+a2+a3+⋯+a n≥1+3+5+⋯+(2n−1)=n(1+2n−1)2=n2，故选：B．根据累加法求出a n≥2n−1，再根据放缩法和等差数列的求和公式可得S n≥n2．本题考查了累加法和等差数列的求和公式，属于中档题．5.答案：A解析：本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数的基本关系式，∵，tanα=，∴上式=，故选A．6.答案：C解析：解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，又∵f(32+x)=f(−x)，∴f(32+x)=−f(x)，∴f(x+3)=f[32+(32+x)]=−f(32+x)=f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∵数列{a n}满足a1=−1，且S n=2a n+n(n∈N∗)，∴当n≥2时，S n−1=2a n−1+n−1，则a n =2a n −2a n−1+1，即a n =2a n−1−1， ∴a n −1=2(a n−1−1)(n ≥2)，又∵a 1−1=−2， ∴数列{a n −1}是首相为−2，公比为2的等比数列， ∴a n −1=−2×2n−1=−2n ， ∴a n =1−2n ，此式对n =1也成立， ∴数列{a n }的通项公式为a n =1−2n ， ∴a 5=−31，a 6=−63，∴f(a 5)+f(a 6)=f(−31)+f(−63)=f(2)+f(0)=f(2)=−f(−2)=−f(1)=3， 故选：C ．先求出函数的周期，再求出数列的通项，即可算出结果． 本题主要考查了函数的周期性，以及数列求通项，是中档题．7.答案：D解析：解：由sinB =12，sinC =√32得：B =π6或5π6，C =π3或2π3，当B =π6，C =π3时，求出A =π2，根据正弦定理得：a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =1：12：√32=2：1：√3；当B =π6，C =2π3时，求出A =π6， 根据正弦定理得：a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =12：12：√32=1：1：√3；当B =5π6，C =π3或2π3时，与三角形的内角和定理矛盾，舍去， 综上，a ：b ：c =2：：1：√3或1：1：√3． 故选：D ．先根据特殊角的三角函数值，求出B 与C 的度数，然后分情况讨论B 的度数与C 的度数，利用三角形的内角和定理求出A 的度数，根据正弦定理得到三边之比等于三个角正弦值之比，根据求出的三角形的三内角分别求出三内角的正弦值，即可得到三边之比．此题考查了正弦定理，及特殊角的三角函数值．根据sin B 和sin C 的值，得到B 与C 的度数，进而利用分类讨论的思想及三角形的内角和定理求出A 的度数是解本题的关键．学生做题时注意舍去不合题意的情况．8.答案：B解析：试题分析：，故选B．考点：两角和与差的三角函数，倍角公式．9.答案：B解析：解：a n=132=1×(12)n−1，解得n=6．故选：B．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和振幅，求得该函数的最小正周期和振幅．本题主要考查三角恒等变换、余弦函数的周期性和振幅，属于基础题．解：由已知可得：y=sin(2x+π6)+cos(2x−π3)=sin2x⋅√3+cos2x⋅1+cos2x⋅1+sin2x⋅√3=cos2x+√3sin2x=2cos(2x−π3 )所以函数的最小正周期为2π2=π，它的振幅是2，故选B．11.答案：解析：试题分析：由题意可知，该海轮在A 处望见岛C 在北偏东60°，航行6 n mile 到达B 处，望见岛在北偏东30°，所以，所以BC =6，如果继续航行到达D 处触角，则在中，，根据余弦定理可以求出，所以经过n mile 后海轮会触礁．考点：本小题主要考查解三角形在实际应用题中的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力． 点评：解决实际应用题的关键是准确将实际问题转化为熟悉的数学问题，用数学知识解决问题．12.答案：247解析：解：∵已知sinα=35，α为第一象限角， ∴cosα=√1−sin 2α=45，则tanα=sinαcosα=34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−916=247．故答案为：247．利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可求解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．13.答案：n(n+1)2解析：本题考查数列的求通项公式，由已知结合累乘法即可求解．解：由已知得a nan−1=n+1n−1，所以n ≥2时，a n =a na n−1×a n−1a n−2×⋯×a 2a 1×a 1=n+1n−1×n n−2×⋯×21×1=n(n+1)2，又a 1=1也符合上式，所以a n=n(n+1)2．故答案为n(n+1)2．14.答案：π[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)解析：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．由三角函数公式化简可得f(x)=√22sin(2x−π4)+32，易得最小正周期，解不等式2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)可得函数的单调递减区间．解：化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=12(1−cos2x)+12sin2x+1=√22sin(2x−π4)+32，∴原函数的最小正周期为T=2π2=π，由2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)可得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)故答案为π；[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)15.答案：10109或10解析：解：(1)数列{a n}满足a1=1,a2=180,a n+2=a n+n+(−1)n n，则：a3=a1+1+(−1)1⋅1=1，a5=a3+3+(−1)3⋅3=1，……，a2019=a2017+2017+(−1)2017⋅2017=1，所以a1+a3+a5+⋯+a2019=20202=1010．故答案为：1010．(2)由题意知：a2=180,a n+2=a n+n+(−1)n n，因为n为偶数，所以a n+2=a n+2n，整理得a n+2−a n=2n，a n−a n−2=2(n−2)，……，a6−a4=2×4，a4−a2=2×2，累加得：a n+2−a2=2(2+4+⋯+n)，整理得：a n+2=12n2+n+180，所以：a n=12n2−n+180(n为偶数)，从而得到a nn =n2+180n−1(n为偶数)，由于n2+180n≥6√10,当且仅当n2=180n即n=6√10时取等号，又因为n∈N∗且n为偶数，所以当n=18或20时，a nn的值最小．所以数列{a2n2n}中最小项对应的项数n为9或10．故答案为：9或10．(1)当n为奇数时，可得奇数项的值都为1，从而求出前2020项奇数项的和为1010．(2)当n为偶数时，a n+2−a n=2n，属于累加法的题型，运用累加法求出a n，从而求出a nn，再结合均值不定式求出最小项，注意n的取值．考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合到一起考查最值问题．16.答案：π[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z解析：本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论． 解：函数f(x)=sin2x +sinxcosx +1=32sin2x +1的最小正周期为2π2=π， 令2kπ+π2≤2x ≤2kπ+3π2，求得kπ+π4≤x ≤kπ+3π4，可得函数的单调减区间为[kπ+π4,kπ+3π4]，k ∈Z ，故答案为：π；[kπ+π4,kπ+3π4]，k ∈Z ．17.答案：21093解析：解：(1)根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I(12)=2； (2)127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20， 设64≤n ≤126，且n 为整数；则n =1×26+a 1×25+a 2×24+a 3×23+a 4×22+a 5×21+a 6×20， a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C 60种情况，即有C 60个I(n)=6； 其中有一个为1时，有C 61种情况，即有C 61个I(n)=5； 其中有2个为1时，有C 62种情况，即有C 62个I(n)=4；…∑2I(n)127n=64=C 6026+C 61×25+C 62×24+C 63×23+C 64×22+C 65×2+1=(2+1)n =36， 同理可得：∑2I(n)63n=32=35， …∑2I(n)3n=2=31， 2I(1)=1；则 ∑2I(n)127n=1=1+3+32+⋯+36=37−13−1=1093；故答案为：(1)2；(2)1093．(1)根据题意，分析可得，将n 表示n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×20，由I(n)的意义，可得答案；(2)将n 分为n =127，64≤n ≤126，32≤n ≤63，…n =1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I(n)的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．解本题关键在于分析题意，透彻理解I(n)的含义 ∑2I(n)127n=1的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n 项和公式进行计算．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=sin(3x +π4)，令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，求得2kπ3−π4≤x ≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k ∈Z ．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α， ∴sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，即sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos 2α−sin 2α)，∴sinαcosπ4+cosαsin π4=45(cosαcos π4−sinαsin π4)(cosα−sinα)(cosα+sinα) 即(sinα+cosα)=45⋅(cosα−sinα)2(cosα+sinα)， 又∵α是第二象限角，∴cosα−sinα<0，当sinα+cosα=0时，tanα=−1，sinα=√22，cosα=−√22，此时cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，此时cosα−sinα=−√52．综上所述：cosα−sinα=−√2或−√52．解析：(1)令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈z ，求得x 的范围，可得函数的增区间．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，可得sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，化简可得(cosα−sinα)2=54.再由α是第二象限角，cosα−sinα<0，从而求得cosα−sinα的值．本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.答案：(本题满分为12分)解：(1)∵sinA ：sin B ：sinC =3：4：5．∴由正弦定理可得：a：b：c=3：4：5．∴a2+b2=(3c5)2+(4c5)2=c2，∴C为直角，即C=π2…6分(2)由题意及(1)可得：12ab=32，即ab=3c5×4c5=3，结合c=52，解得：a=32，b=2，可得△ABC的周长为a+b+c=6…12分解析：(1)由已知及正弦定理可得：a：b：c=3：4：5，从而可求a2+b2=(3c5)2+(4c5)2=c2，利用勾股定理可得C为直角，即可得解．(2)由题意及(1)可得：12ab=32，结合c=52，解得a，b的值，即可得解．本题主要考查了正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.答案：解：(1)由a1=S1=16(a1+1)(a1+2)，整理可得：a12−3a1+2=0，结合a1=S1>1，解得a1=2由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得(a n+1+a n)(a n+1−a n−3)=0，又a n>0，得a n+1−a n=3从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=3n−1．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)=n(2+6n−4)2+4(1−4n)1−4=4n+1−43+3n2−n．解析：(1)由令递推式中n=1得a1=2，由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得a n+1−a n=3，从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，即可求解．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)，分别求和即可．本题考查了等差、等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．21.答案：河对岸A、B两点间距离为km．解析：在△BCD中，∠CBD=180°—30°—105°=45°，由正弦定理，得=，则BC==(km)．在△ACD中，∠CAD=180°—60°—60°=60°，∴△ACD为正三角形．∴AC=CD=(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2—2AC·BC cos45°=+—2×××=，∴AB=(km)．∴河对岸A、B两点间距离为km．22.答案：解：(Ⅰ)∵a 1=1，a n+1={2a n ,n 为偶数a n +1,n 为奇数，∴a 2=1+1=2， ∴a 3=4， ∴a 4=4+1=5； ∵b n+1b n=a 2n+1+2a 2n−1+2=2a 2n +2a 2n −1+2=2，故数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(Ⅱ)由(I)知：b n =3⋅2n−1，且c n =n ⋅a 2n−1=3n ⋅2n−1−2n ， 令S n =1+2⋅21+⋯+n ⋅2n−1，① 2S n =2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，②①−②得：−S n =1+21+22+⋯+2n−1−n ⋅2n =(1−n)⋅2n−1， ∴S n =(n −1)2n−1+1．故T n =3S n −(2+4+6+⋯+2n)=(3n −3)⋅2n−1+3−n 2−n ．解析：(Ⅰ)由于a 1=1，a n+1={2a n ,n 为偶数a n +1,n 为奇数，分别令n =1，2，3即可得出．由于b n+1b n =a 2n+1+2a2n−1+2=2a 2n +2a 2n −1+2=2，即可证明数列{b n }是等比数列．(Ⅱ)由(I)知：b n =3⋅2n−1，且c n =n ⋅a 2n−1=3n ⋅2n−1−2n ，利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了分段数列的性质、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(七)

2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(七)

范文2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(七)1/ 52020 年高一数学第二学期期中试卷及答案（七）时间：120 分钟分值：150 分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. sin15°cos15°=（） A. 1 B. 1 2 4 2. sin160°cos10°+cos20°sin10°=（ C. 3 2 ） D. 3 4 A. 1 B. ?1 C. 3 D. ? 32 2 2 2 3. 在矩形 ABCD 中，点 E 为CD 的中点， AB ? r a ， AD ? r b ，则 BE =（） A. ?1 r a? r b2 B. 1 r a? r b 2 C. ? 1 r a ? r b 2D. 1 r a? r b 2 4. 已知等差数列?an?的前 n 项和为 Sn ，若 a4 ? aa ? 18 ，则 S8 等于（） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 5. 设向量 a ? ?1,0? ， b ? ?? 1 , 1 ?? ，则下列结论正确的是（） ?2 2? A. a ? b B. a ? b ? 2 2 ? ? C. a ?b ? b D.a //b 6. 数列 ?xn ?中，若 x1 ?1， xn?1 ? 1 x1 ? 1 ?1 ，则 x2014 =（） A. 1 B. -1 C. 12 D. ? 1 2 7. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现在一月（按 30 天计），共织 390 尺布”，则从第 2 天起每天比前一天多织（）尺布。

A. 1B. 8C. 16 2 15 31D. 16 29 8. 已知0 ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? 0 ， cos?? ? ? ? ? ? 3 ，sin? ? 4 ，则 sin ? =（） 22 5 5 A. 7 25 B. ? 7 25 C. 24 25 D. ?24 25 9.若 a ? 3 ， b ? 1且 ?? 3 r a? r b ?? ? rb ? ?2 ，则c os ? r a ， r b ?? （） ? ? A. ?6 3 B. ? 1 3 C. ? 3 3 D. 6 3 10.设 ?ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 cos2 B ? a ? c ，则 ?ABC的形状为 2 2c （） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C .钝角三角形 D. 不确定 11. 在 ?ABC中， AB ? AC ? AB ? AC ， AB ? 3， AC ? 4 ，则 CB 在CA 方向上的投影是（） A. 4 B. 3 C. -4 D. 5 12. 在 ?ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，已知a ? 2 3 ，c ? 2 2 ，1? tan A ? 2c 。

2020年最新高一下册期中联考试题数学word版有答案

2020年最新高一下册期中联考试题数学word版有答案

高中 一 年 数学 期中试卷完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）1．已知角α终边过点)4,3(-P ，则)sin(απ+的值为（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-2．设l 为直线，βα,是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（ ） A ．若α//l ，β//l ，则βα// B ．若α⊥l ，β⊥l ，则βα// C ．若α⊥l ，β//l ，则βα// D ．若βα⊥，α//l ，则β⊥l3．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08 B．02 C ．43D ．244．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩如甲表、乙表所示，则（ ） 甲表： 乙表： A ．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数5．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得1551=∑=i i x ，5.1751=∑=i i y ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．5.92ˆ+-=x yB ．5.22ˆ-=x yC ．3.24.0ˆ-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 6．将一枚硬币抛掷三次，则下列为互斥且不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一次正面和至多有一次正面B ．至少有一次正面和至多有两次正面C ．至多有一次正面和至少有两次正面D ．至多有一次正面和恰有两次正面7．设4sin5a π=，cos 10b π=，5tan 12c π=，则（ ） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>8．袋中有大小相同的黑球，白球，蓝球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则98是下列哪个事件的概率（ ）A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π816+B ．π88+C ．π168+D ．π1616+10．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被4sin3xy π=(44)x -≤≤的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．361 B ．181 C ．121 D ．81 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481环数 4 5 6 7 8 频数1 1 1 1 1环数 5 6 9 频数 3 1 1 学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值是（ ）A ．2B ．3-C ．31D ．21-12．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（） A ．254 B ．258 C ．2516 D ．2524二、填空题（每题5分，共20分）13．)625(tan log 3π= ．14．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧»CD、弧»DE 、弧»EF 的圆心依次是A 、B 、C ， 如果AB=3，那么曲线CDEF 的长是 ．15．在区间] 0[π，上随机取一个数x ，则事件“1)2sin(2≥+πx ”发生的概率为 ．16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD //BC ，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．给出下列四个命题：①PD ⊥平面PBC ；②异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55； ③直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55；④三棱锥P-ADC 的体积是332.其中正确命题的序号是 ．三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．某赛季，甲、乙两校篮球队进行了10场训练赛，比赛得分情况记录如下表：训练赛序号（i ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲校队得分（x i ） 55 81 84 61 54 74 82 83 69 57 乙校队得分（y i ）588486715773838568 63第10题图第11题图第9题图(1)根据得分记录表，画出茎叶图．(2)设甲校队10场比赛得分平均值为x ，将该队10场 比赛得分i x 依次输入程序框图（图1）进行运算， 求输出S 的大小，并说明S 的统计意义．18．已知2sin ()cos(2)tan()()tan(3)cos()2f παπαπααπαπα-+-+=-++．(1)若0cos 3sin =-αα，求)(αf 的值．(2)若81)(=αf ，且24παπ<<，求cos sin αα-的值．19．如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1//AA 1，AB=AC ，点E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1)求证：EF //平面A 1B 1BA ．(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1． 20．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图．(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．(3)在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率． 21．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日的每天昼夜温差x （°C）与实验室每天每100颗种子中的发芽数y （颗），得到如下资料：(1)请根据12．．月．2．日至．．12．．月．5．日．的数据，求出y 关于x 的线性回归方程．(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据（选取的检验数据是12．．月．1．日与．．12．．月．6．日．的两组数据）的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠．空气质量指数（μg/m 3） 0﹣50 51﹣100 101﹣150 151﹣200 201﹣250空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染天数 20 40 m 10 5日期12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 12月6日 温差x 10 11 13 12 8 6 发芽数y22 25 29 26 16 12Y图1N Y附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nxay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑.22．已知函数22()44f x x ax b =-+，{|13}A x x =≤≤，{|14}B x x =≤≤．（注意:若是古典概型请列出所有基本事件）(1)若a ，b 都是从集合A 中任取的整数，求函数()y f x =有零点的概率． (2)若a ，b 都是从集合B 中任取的实数，①求函数()y f x =在区间[2，4]上为单调函数的概率．②在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>-”恒成立的概率．2高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分）二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 12- 14. 12π 15. 1316. ①②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）茎叶图……………………………………….….…4分（2）558184615474828369577010x +++++++++==……………….6分2221[(5570)(8170)...(5770)]137.810s =-+-++-=……………….8分S 表示甲队10场比赛得分的方差（或10场比赛得分的离散程度）……....…..10分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 C B C A B D C B A D DC18．解：(1) 2sin cos tan ()sin cos tan (sin )f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-…………………...…3分 sin 3cos 0αα-=Q sin tan 3cos ααα∴==………………………….………...…4分 222sin cos tan 3()sin cos tan 110f ααααααα⋅∴===++……….………………………..….7分 (2) 由1()sin cos 8f ααα=⋅=．可知：22213(cos sin )cos 2sin cos sin 12sin cos 1284αααααααα-=-+=-=-⨯=……….………………………..…...9分 又因为42ππα<<，所以cos sin αα<，即cos sin 0αα-<．…………....11分所以3cos sin 2αα-=-．……………………………………………………12分19.证明：（1）连结A 1B ，在△A 1BC 中，∵点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点，∴EF ∥A 1B ，………………………...……..…3分 又∵EF ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ，∴EF ∥平面A 1B 1BA ．……………………..…5分 （2）∵AB=AC ，E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． ……….………………………....…6分 ∵A 1A ⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，∴B 1B ⊥平面ABC ，………………………………....…7分 ∵AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ． ……………………………….......…8分 又∵B 1B ⊂平面B 1BC ，BC ⊂平面B 1BC ，B 1B ∩BC=B ，∴AE ⊥平面B 1BC ，………………………………....…10分 ∵AE ⊂平面AEA 1，∴平面AEA 1⊥平面BCB 1． ………..…..…………..…12分20. 解：解：（1）200.00450n⨯=Q ，100n ∴=…………………………...…1分 2040105100m ++++=Q ， 25m ∴=………………………………..…..…2分40251050.008;0.005;0.002;0.001.10050100501005010050∴====⨯⨯⨯⨯ 由此完成频率分布直方图，如下图：………………………………....…4分 （2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：250.00450750.008501250.005501750.002502250.0015095x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………………..............…6分∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4 ∴中位数为： 0.50.2505087.50.4-+⨯= ………………….………..…8分 （3）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为151﹣200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ）， （c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）共10种， ……………………….……10分 其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ）共6种， 所以事件A“两天都为良”发生的概率是63()105p A ==. …………………….…12分 21. 解法1：（1）由数据求得1113128114x +++==，25292616244y +++== …………………..…1分521125132912268161092i ii x y=⨯+⨯+⨯+⨯==∑22222521113128498ii x=+++==∑ ……………...………..…3分由公式1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑求得187b =， ……………………..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分 ∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- …………………..…8分 解法2:1113128114x +++==，25292616244y +++== ………………..…1分521111)(2524)((1311)(2924)(1211)(2624)(811)(1624))()(36iii x x y y =-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯--==-∑22522221111)(1311)(1211)(811))(14(ii x x =-+-+-+-==-∑………………..…3分由公式52522()()()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑求得187b =， ………….…..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分 ∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- ……………………..…8分（2）当x=10时，1507y =，当x=6时，787y =， …………………………..…10分 150422277-=<Q ，78612277-=< ∴该小组所得线性回归方程是理想的． ……………….……………12分22. 解：（1）设函数()f x 有零点为事件A ，由于a ,b 都是从集合{1，2，3}中任取的数字， 依题意得所有的基本事件： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3） 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为9N =． 若函数22()44f x x ax b =-+有零点，则2216160a b ∆=-≥，化简可得a b ≥． 故事件A 所含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3） 共计6个基本事件，则62()93p A ==.……………………………………….……….4分 （2）解法一：①设a ,b 都是从区间[1，4]中任取的数字，设函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为单调函数为事件B ， 依题意得，所有的基本事件构成的区域{}14(,)14a ab b ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，故所有基本事件构成的区域面积为9S Ω=．若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数，其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的区域9136B S =-⨯=，如图（阴影部分表示事件B 的对立事件）．则62()93p B ==…………………………………………………………………………..8分 解法二：设a 是从区间[1，4]中任取的数字，依题意得，所有的基本事件构成的长度为4-1=3记函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数为事件B ，若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数， 其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的长度为2-1=1，1()3p B ∴=，12()133p B ∴=-=……………..8分②设在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，记事件C: “222()x y a b +>-恒成立”，则事件C 等价于“229x y +>”，若 (,)x y 可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域{}(,)04,04,,x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈而事件C 所构成的区域为{}22(,)9,(,)B x y x y x y =+>∈Ω，如图（阴影部分表示事件C ）4416S Ω=⨯=，9164C S π=-， 91694()11664C S p C S ππΩ-∴===-……………12分。

2019-2020学年浙江省金华市山河联盟高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省金华市山河联盟高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知等差数列{a n }的首项为1，公差为2，则a 9的值等于（ ） A ．15B ．16C ．17D ．182．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，则该三角形的最大内角度数是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．不等式x 2+ax +b ＜0的解集为（﹣1，2），则a +b ＝（ ） A ．﹣3B ．1C ．﹣1D ．34．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3a 4a 5＝29，则a 3＝（ ） A ．16B ．8C ．4D ．25．已知0＜a ＜1＜b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a 2＞1a ＞1ab B ．1a 2＞1ab ＞1aC ．1a＞1a＞1abD ．1a＞1ab ＞1a6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinAk=sinB 3=sinC 4（k 为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A ．当k ＝5时，△ABC 是直角三角形 B ．当k ＝3时，△ABC 是锐角三角形 C ．当k ＝2时，△ABC 是钝角三角形 D ．当k ＝1时，△ABC 是钝角三角形 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且a 6a 5=911，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知向量a →=(3cosθ，3sinθ)，b →=(0，−3)，θ∈(π2，π)，则向量a →、b →的夹角为（ ） A ．3π2−θB ．θ−π2C ．π2+θD ．θ9．已知实数x ，y 满足xy ﹣2＝x +y ，且x ＞1，则y （x +11）的最小值为（ ） A ．21B ．24C ．25D ．2710．若不等式（|x ﹣2a |﹣b ）×cos （πx −π3）≤0在x ∈[−16，56]上恒成立，则2a +b 的最小值为（ ）A．1B．56C．23D．2二、填空题（本大题7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共，36分）11．已知平面向量a→=（2，﹣3），b→=（1，x），若a→∥b→，则x＝；若a→⊥b→，则x ＝．12．若x，y满足{x≤2y≥−14x−3y+1≥0，则2y﹣x的最小值为，最大值为．13．已知正数a、b满足a+b＝1，则ba+1b的最小值等于，此时a＝．14．在△ABC中，AB＞AC，BC＝2√3，A＝60°，△ABC的面积等于2√3，则sin B＝，BC边上中线AM的长为．15．若a1＝2，a n+1＝a n+n+1，则通项公式a n＝．16．若关于x的不等式|2020﹣x|﹣|2019﹣x|≤d有解，则实数d的取值范围．17．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→=λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为．（结果用λ表示）三、解答题（本大题5小题，共74分）18．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n．设b n=a n n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求{a n}的通项公式．19．已知函数f（x）＝﹣4x2+13x﹣3．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f(x)x的最大值，以及y取得最大值时x的值．20．已知|a→|＝4，|b→|＝3，（2a→−3b→）•（2a→+b→）＝61．（1）求a→与b→的夹角θ；（2）求|a→+2b→|；（3）若AB→=a→+2b→，BC→=b→，求△ABC的面积．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc．（1）求角C；（2）求a+b的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n2＝4S n﹣2a n﹣1（n∈N*）．数列{b n}满足b n= 1a n⋅a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）1．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，则a9的值等于（）A．15B．16C．17D．18【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．解：由题意可得，a9＝1+2×8＝17．故选：C．2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则该三角形的最大内角度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】直接利用余弦定理求解即可．解：∵a＝7，b＝3，c＝5，则该三角形的最大内角为A；∴cos A=b 2+c2−a22bc=32+52−722×3×5=−12；∵A∈（0°，180°），∴A＝120°；故选：C．3．不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），则a+b＝（）A．﹣3B．1C．﹣1D．3【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求a+b的值．解：不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，∴方程x2+ax+b＝0的实数根是﹣1和2，由根与系数的关系知，a＝﹣（﹣1+2）＝﹣1，b＝﹣1×2＝﹣2；∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：A．4．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（）A．16B．8C．4D．2【分析】由各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3a 4a 5＝29，列出方程组，求出a 1＝1，q ＝2，由此能求出a 3的值．解：∵各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3a 4a 5＝29， ∴{a 1q =2a 1q 2a 1q 3a 1q 4=29q ＞0，解得a 1＝1，q ＝2， ∴a 3＝1×22＝4． 故选：C ．5．已知0＜a ＜1＜b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a 2＞1a ＞1ab B ．1a 2＞1ab ＞1aC ．1a＞1a2＞1abD ．1a＞1ab＞1a 2【分析】直接根据不等式的性质即可求出． 解：∵0＜a ＜1＜b ， ∴0＜a 2＜a ＜ab ， ∴1a2＞1a＞1ab，故选：A ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinA k=sinB 3=sinC 4（k 为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A ．当k ＝5时，△ABC 是直角三角形 B ．当k ＝3时，△ABC 是锐角三角形 C ．当k ＝2时，△ABC 是钝角三角形 D ．当k ＝1时，△ABC 是钝角三角形【分析】由正弦定理化简已知可得a ：b ：c ＝k ：3：4，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 解：∵sinA k=sinB 3=sinC 4（k 为非零实数），可得：sin A ：sin B ：sin C ＝k ：3：4，∴由正弦定理asinA=bsinB=c sinC=2R ，可得：a ：b ：c ＝k ：3：4，对于A ，k ＝5时，可得：a ：b ：c ＝5：3：4，可得a 2＝b 2+c 2，即A 为直角，可得△ABC 是直角三角形，故正确；对于B，k＝3时，可得：a：b：c＝3：3：4，可得C为最大角，由余弦定理可得cos C=a2+b2−c22ab=19＞0，可得△ABC是锐角三角形，故正确；对于C，k＝2时，可得：a：b：c＝2：3：4，可得C为最大角，由余弦定理可得cos C=a2+b2−c22ab=−14＜0，可得△ABC是钝角三角形，故正确；对于D，k＝1时，可得：a：b：c＝1：3：4，可得a+b＝c，这样的三角形不存在，故错误．故选：D．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且a6a5=911，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．12【分析】由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝﹣2t，其中t＞0，因此a10＝t，a11＝﹣t，即可得出．解：由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝﹣2t，其中t＞0，因此a10＝t，a11＝﹣t，即当n＝10时，S n取得最大值．故选：B．8．已知向量a→=(3cosθ，3sinθ)，b→=(0，−3)，θ∈(π2，π)，则向量a→、b→的夹角为（）A．3π2−θB．θ−π2C．π2+θD．θ【分析】根据向量a→和b→的坐标，分别求出两个向量的数量积，模长和夹角，代入向量的夹角公式，且保证θ与夹角α的范围一致，结合选项得出正确答案．解：∵a→=（3cosθ，3sinθ），b→=（0，﹣3），∴|a→|＝3，|b→|＝3，a→•b→=3cosθ×0+3sinθ×（﹣3）＝﹣9sinθ，设向量a→与b→夹角为α，则cosα=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−sinθ＝cos（3π2−θ），又∵θ∈（π2，π），3π2−θ∈（π2，π），且α∈[0，π]，∴α=3π2−θ，故选：A．9．已知实数x，y满足xy﹣2＝x+y，且x＞1，则y（x+11）的最小值为（）A．21B．24C．25D．27【分析】根据题意，将xy﹣2＝x+y变形可得y=x+2x−1，据此可得y（x+11）=(x+2)(x+11)x−1（x＞1），设t＝x﹣1，则有y（x+11）＝t+36t+15，（t＞0），结合基本不等式性质分析可得答案．解：根据题意，实数x，y满足xy﹣2＝x+y，变形可得y（x﹣1）＝x+2，则有y=x+2 x−1，则y（x+11）=x+2x−1（x+11）=(x+2)(x+11)x−1（x＞1），设t＝x﹣1，则有y（x+11）=(t+3)(t+12)t =t2+15t+36t=t+36t+15，（t＞0），又由t+36t≥2√t×36t=12，则有y（x+11）≥12+25＝27，即y（x+11）的最小值为27，此时t＝6，即x＝7；故选：D．10．若不等式（|x﹣2a|﹣b）×cos（πx−π3）≤0在x∈[−16，56]上恒成立，则2a+b的最小值为（）A．1B．56C．23D．2【分析】x∈[−16，56]时，结合余弦函数的图象和性质可得cos（πx−π3）∈[0，1]，由题意可得|x﹣2a|﹣b≤0在x∈[−16，56]上恒成立，讨论b的正负，结合绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想，可得a，b的不等式，即可得到所求最小值．解：x∈[−16，56]时，πx−π3∈[−π2，π2]，可得cos（πx−π3）∈[0，1]，由不等式（|x﹣2a|﹣b）×cos（πx−π3）≤0在x∈[−16，56]上恒成立，可得|x﹣2a|﹣b≤0在x∈[−16，56]上恒成立，若b≤0，则|x﹣2a|﹣b≤0显然不成立；若b＞0时，可得|x﹣2a|﹣b≤0的解集为[2a﹣b，2a+b]，由题意可得[−16，56]⊆[2a﹣b，2a+b]，即为2a ﹣b ≤−16且2a +b ≥56， 则2a +b 的最小值为56．故选：B ．二、填空题（本大题7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共，36分） 11．已知平面向量a →=（2，﹣3），b →=（1，x ），若a →∥b →，则x ＝ −32 ；若a →⊥b →，则x＝23．【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x 的值． 解：平面向量a →=（2，﹣3），b →=（1，x ），若a →∥b →， 则12=x−3，∴x =−32．若a →⊥b →，则a →⋅b →=2﹣3x ＝0，x =23，故答案为：−32；23．12．若x ，y 满足{x ≤2y ≥−14x −3y +1≥0，则2y ﹣x 的最小值为 ﹣4 ，最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z ＝2y ﹣x 的最优解，代入坐标求得z ＝2y ﹣x 的最值．解：由x ，y 满足{x ≤2y ≥−14x −3y +1≥0作可行域如图，由图可知，可行域中点C 的坐标是使目标函数z ＝2y ﹣x 取得最大值的最优解{x =24x −3y +1=0．解得C （2，3） ∴点C 的坐标为（2，3）．则z ＝2y ﹣x 的最大值是2×3﹣2＝4．可行域中点B 的坐标是使目标函数z ＝2y ﹣x 取得最小值的最优解．{x =2y =−1解得B （2，﹣1）∴点B 的坐标为（2，﹣1）．则z ＝2y ﹣x 的最小值是﹣2×1﹣2＝﹣4． 故答案为：﹣4；4．13．已知正数a、b满足a+b＝1，则ba+1b的最小值等于3，此时a＝12．【分析】根据题意，分析可得ba+1b=ba+a+bb=ba+ab+1，由基本不等式的性质可得b a +ab+1≥2√ba×a b+1＝3，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．解：根据题意，正数a、b满足a+b＝1，则ba +1b=ba+a+bb=ba+ab+1≥2√ba×a b+1＝3，当且仅当a＝b=12时，等号成立，故ba +1b的最小值为3，此时a=12；故答案为：3，1 2．14．在△ABC中，AB＞AC，BC＝2√3，A＝60°，△ABC的面积等于2√3，则sin B＝12，BC边上中线AM的长为√7．【分析】（1）利用余弦定理和面积构造方程组，求出b，c，然后利用余弦定理求出B；（2）利用∠AMB+∠AMC＝π，则cos∠AMB+cos∠AMC＝0，求出AM．解：①由题可知：S△ABC=12bcsinA=2√3则bc＝8，由余弦定理可得：cosA=b 2+c2−a22bc，即b2+c2﹣12＝bc，所以（b+c）2＝3bc+12＝36；又AB＞AC故c＝4，b＝2．所以cosB=a2+c2−b 22ac =√32，则sinB=12；②由题可知：BM=MC=√3，且∠AMB+∠AMC＝π，则cos∠AMB+cos∠AMC＝0，即AM 2+BM 2−AB 22AM⋅BM+AM 2+CM 2−AC 22AM⋅CM=0所以，AM 2+3﹣16+AM 2+3﹣4＝0 则AM =√7． 故答案为：12；√7．15．若a 1＝2，a n +1＝a n +n +1，则通项公式a n ＝n 2+n+22．【分析】利用累加法转化求解数列的通项公式即可． 解：a 1＝2，a n +1＝a n +n +1， 可得a 2＝a 1+2， a 3＝a 2+3， a 4＝a 3+4， …a n ＝a n ﹣1+n ，累加可得：a n ＝a 1+（2+3+4+…+n ）＝2+(n+2)(n−1)2=n 2+n+22．故答案为：n 2+n+22．16．若关于x 的不等式|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≤d 有解，则实数d 的取值范围 [﹣1，+∞） ． 【分析】利用绝对值三角不等式，求出表达式的最小值，然后由不等式|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≤d 有解求出d 的取值范围．解：∵|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≥﹣|（2020﹣x ）﹣（2019﹣x ）|＝﹣1， 当且仅当x ≥2020时取等号，∴关于x 的不等式|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≤d 有解时，∴d ≥﹣1， ∴d 的取值范围为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）．17．已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP →=λAB →，则△ABC 与△APQ 的面积之比为3λ−1λ2．（结果用λ表示）【分析】先运用三角形的面积公式可求两面积之比，然后结合向量线性表示及共线定理即可求解． 解：设AQ →=m AC →，∵AP →=λAB →，∴S △APQS △ABC =12AP⋅AQsinA 12AB⋅ACsinA =AP⋅AQ AB⋅AC =λm ，∵G 为△ABC 的重心，∴AG →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)=13（AP →λ+AQ →m）=13λAP →+13m AQ →， 因为P ，G ，Q 三点共线，故13λ+13m =1， 故m =λ3λ−1， ∴λm =λ23λ−1，则△ABC 与△APQ 的面积之比3λ−1λ2． 故答案为：3λ−1λ．一、选择题18．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ．设b n =an n ． （1）证明：数列{b n }为等比数列；（2）求{a n }的通项公式．【分析】（1）利用数列的递推关系式．推出{a n n }是等比数列即可．（2）通过等比数列，求出{b n }的通项公式，然后求解{a n }的通项公式．解：（1）由条件数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ．可得a n+1n+1=2a n n ，又b n =an n ． 可得b n +1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得b n ＝2n ﹣1，b n =an n =2n ﹣1，所以a n ＝n •2n ﹣1． 19．已知函数f （x ）＝﹣4x 2+13x ﹣3．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f(x)x的最大值，以及y取得最大值时x的值．【分析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．解：（1）由题意得﹣4x2+13x﹣3＞0，因为方程﹣4x2+13x﹣3＝0有两个不等实根x1=14，x2＝3，又二次函数f（x）＝﹣4x2+13x﹣3的图象开口向下，所以不等式f（x）＞0的解集为{x|14＜x＜3}；（2）由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x＞0，所以y=−4x−3x+13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．已知|a→|＝4，|b→|＝3，（2a→−3b→）•（2a→+b→）＝61．（1）求a→与b→的夹角θ；（2）求|a→+2b→|；（3）若AB→=a→+2b→，BC→=b→，求△ABC的面积．【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可．（2）利用向量的模的运算法则化简求解即可．（3）通过向量的数量积求出夹角的余弦函数值，然后求解正弦函数值，然后求解三角形的面积．解：（1）|a→|＝4，|b→|＝3，∵（2a→−3b→）•（2a→+b→）＝61，∴4|a→|2﹣4a→•b→−3|b→|2＝61．又|a→|＝4，|b→|＝3，∴64﹣4a→•b→−27＝61，∴a →•b →=−6．∴cos θ=a →⋅b →|a →||b →|=−64×3=−12． 又0≤θ≤π，∴θ=2π3． （2）|a →+2b →|2＝（a →+2b →）2＝|a →|2+4a →•b →+4|b →|2＝42+4×（﹣6）+4×32＝28，∴|a →+2b |＝2√7．（3）因为：∴|a →+2b |＝2√7，|b →|＝3，a →•b →=−6所以，BA →与BC →的夹角B 满足cos B =BA →⋅BC →|BA →||BC →|=−2b →2−a →⋅b →27×3=−18+667=−27， ∴sinB =√37，|AB →|=2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC =12|AB →||•BC →|sin B =12×2√7×3√3√7=3√3． 21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A +sin 2B +sin A sin B ＝2c sin C ，△ABC 的面积S ＝abc ．（1）求角C ；（2）求a +b 的取值范围．【分析】（1）由已知结合三角形的面积公式可得2c ＝sin C ，然后结合正弦定理及余弦定理可求cos C ，进而可求C ；（2）由已知结合余弦定理及基本不等式及三角形的两边之和大于第三边即可求解． 【解答】解 （1）由S ＝abc =12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A +sin 2B +sin A sin B ＝sin 2C ．由正弦定理得a 2+b 2+ab ＝c 2． 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab =−12， ∴C ∈（0，π），∴C =2π3． （2）由余弦定理可得，c 2＝a 2+b 2+ab ＝（a +b ）2﹣ab ≥(a +b)2−(a+b)24， ∴316≥3(a+b)24，解可得a+b≤1 2，因为a+b＞c=√34．故a+b的范围（√34，12]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n2＝4S n﹣2a n﹣1（n∈N*）．数列{b n}满足b n= 1a n⋅a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围；【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．（3）利用函数的恒成立问题的应用和关系式的变换的应用求出参数的取值范围．解：（1）正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n2＝4S n﹣2a n﹣1（n∈N*）．当n＝1时，a1＝1．当n≥2时，由于a n＞0，所以a n−12=4S n−1−2a n−1−1，两式相减得：a n2−a n−12=4a n−2a n+2a n−1，整理得a n﹣a n﹣1＝2（常数），所以数列{a n}的是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝2n﹣1．（2）由题意和（1）得，数列{b n}满足b n=1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=n2n+1．（3）①当n为偶数时，要使不等式λT n＜n+8(−1)n恒成立，即需不等式λ＜2n+8n+17恒成立，由于2n+8n≥8，当n＝2时等号成立，此时λ＜25．②当n为奇数时，要使不等式λT n＜n+8(−1)n恒成立，即需不等式λ＜2n−8n−15恒成立．由于2n−8n是随n的增大而增大，所以当n＝1时，2n−8n取得最小值﹣6．此时λ需满足λ＜﹣21．由①②得：λ＜﹣21．。

2022-2023学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z ＝4+3i ，则|z |＝（ ） A ．√7B ．1C ．5D ．√52．设{e 1→，e 2→}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．e 1→和e 1→+e 2→C ．e 1→+3e 2→和e 2→+3e 1→D ．3e 1→−2e 2→和4e 2→−6e 1→3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥4．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，3)，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为（ ） A ．(85，65)B ．(8√55，6√55)C ．(2√55，4√55)D ．(8√5，6√5)5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且cos ∠CAB =−√24，则此建筑物的高度为（ ）A ．45mB ．60mC ．45√2mD ．60√3m6．已知△ABC 改为测画法下的直观图是边长为2的正三角形A 'B 'C '（如图所示），则AC ＝（ ）A ．√28−2√3B ．√10−2√3C ．3√3D ．47．已知平面向量a →，b →，c →均为单位向量，且2a →+4b →=3c →，则a →⋅c →=（ ） A ．−14B ．14C ．12D ．−128．已知△ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足BP →=16BA →+12BC →，则S △BPD S △BPE 的值为（ ）A ．43B ．52C ．53D ．109二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9．下列结论中正确的是（ ） A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面10．已知两个单位向量e 1→、e 2→的夹角为θ(θ≠π2)，若c →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量c →的斜坐标，若a →=(x 1，y 1)，b →=(x 2，y 2)，则（ ） A ．a →−b →=(x 1−x 2，y 1−y 2) B ．|a →|=√x 12+y 12C ．λa →=(λx 1，λy 1)D ．a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 211．下列命题中错误的命题是（ ） A ．若复数z 满足z +z ∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2=z 2，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2=z 2z 1，则|z 1|＝|z 2|D ．若复数z 1，z 2满足z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，则|z 1|＝|z 2|12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A ．若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则△ABC 一定是钝角三角形 C ．若a ﹣b ＝c （cos B ﹣cos A ），则△ABC 一定是等腰三角形 D ．若a +b =a tanA +btanB ，则△ABC 一定是直角三角形 三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点C 1的最短距离是 ．14．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣2i |（i 是虚数单位）的最大值是 ．15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长AB ＝1，则AC →⋅AD →= ．16．已知△ABC 中，∠A =π3，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD ＝DC ，∠BAE ＝∠CAE ，AD =√192，AE =6√35，则BC ＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z ＝x +yi （x ＞0，y ＞0）满足|z |＝2，且z ﹣1为纯虚数． （1）求z 1−i；（2）若z 2+b •z +c ＝0，（b ，c ∈R ），求实数b ，c 的值．18．（12分）已知平面直角坐标系内存在三点：A （1，5），B （7，8），C （5，2）． （1）求cos ∠BAC 的值；（2）若平面上一点P 满足：AP ∥CB ，CP ⊥AB ，求点P 的坐标．19．（12分）如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：BC ＝1，AC =√3，若将图中阴影部分绕直线AB 旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且2a cos B +√3b ＝2c ，a ＝2． （1）若c ＝2√3，求△ABC 的面积；（2）求△ABC 周长的最大值．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ＝2，DC ＝CB ＝3，AB →=2DC →，点E 、F 是线段DC 上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点． （1）求AB →⋅AD →的值； （2）求|FH →|的值；（3）直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN的值．22．（12分）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3．（1）证明：△O 1O 2O 3为等边三角形； （2）若S △O 1O 2O 3=mS △ABC ，求m 的最小值．2022-2023学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z ＝4+3i ，则|z |＝（ ） A ．√7B ．1C ．5D ．√5解：z ＝4+3i ，则|z |=√42+32=5． 故选：C ．2．设{e 1→，e 2→}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．e 1→和e 1→+e 2→C ．e 1→+3e 2→和e 2→+3e 1→D ．3e 1→−2e 2→和4e 2→−6e 1→解：A ，∵不存在λ∈R ，使得e 1→+e 2→=λ（e 1→−e 2→），∴e 1→+e 2→与e 1→−e 2→不共线，∴能作为平面向量的基底，B ，∵不存在λ∈R ，使得e 1→=λ（e 1→+e 2→），∴e 1→与e 1→+e 2→不共线，∴能作为平面向量的基底，C ，∵不存在λ∈R ，使得e 1→+3e 2→=λ（e 2→+3e 1→），∴e 1→+3e 2→与e 2→+3e 1→不共线，∴能作为平面向量的基底， D ，∵3e 1→−2e 2→=−12（4e 2→−6e 1→），∴3e 1→−2e 2→与4e 2→−6e 1→共线，∴不能作为平面向量的基底． 故选：D ．3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥解：因为正六边形的顶点到中心的距离等于边长， 所以正六棱锥的棱长必定大于底面边长，故若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是六棱锥． 故选：D ．4．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，3)，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为（ ） A ．(85，65)B ．(8√55，6√55)C ．(2√55，4√55)D ．(8√5，6√5)解：∵a →=(1，2)，b →=(4，3)， ∴a →•b →=4+6＝10，|b →|=√42+32=5，∴向量a →在向量b →方向上的投影向量为a →⋅b→|b →|2•b →=1025（4，3）＝（85，65）．故选：A ．5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且cos ∠CAB =−√24，则此建筑物的高度为（ ）A ．45mB ．60mC ．45√2mD ．60√3m解：设OC ＝h ，由于在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°， 所以：AC =√2ℎ，BC ＝2h ，在△ABC 中，利用余弦定理：CB 2＝BA 2+AC 2﹣2•BA •AC •cos ∠CAB ， 整理得：h 2﹣30h ﹣1800＝0，解得h ＝﹣30或60，（负值舍去）． 故h ＝60m ． 故选：B ．6．已知△ABC 改为测画法下的直观图是边长为2的正三角形A 'B 'C '（如图所示），则AC ＝（ ）A ．√28−2√3B ．√10−2√3C ．3√3D ．4解：如图，过C ′作x ′轴的平行线，交y ′轴于E ′，过C ′作y ′轴的平行线，交x ′轴于G ， 过E ′作x ′轴的垂线，交x ′轴于F ′，过C ′作x ′轴的垂线，垂足为D ′， ∵△A 'B 'C '是边长为2的正三角形，∴|C ′D ′|=√3，则|E ′F ′|=√3，∴|A ′E ′|=|C ′G|=√6，则|CG|=2√6，|A ′G|=|C ′E ′|=|D ′F ′|=|A ′F ′|−|A ′D ′|=√3−1，∴|AC |＝|A ′C |=√(2√6)2+(√3−1)2=√28−2√3． 故选：A ．7．已知平面向量a →，b →，c →均为单位向量，且2a →+4b →=3c →，则a →⋅c →=（ ） A ．−14B ．14C ．12D ．−12解：∵2a →+4b →=3c →，∴4b →=3c →−2a →，∴16b →2=9c →2+4a →2−12a →⋅c →，又a →，b →，c →均为单位向量， ∴16＝9+4﹣12a →⋅c →， ∴a →⋅c →=−14． 故选：A ．8．已知△ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足BP →=16BA →+12BC →，则S △BPD S △BPE 的值为（ ）A ．43B ．52C ．53D ．109解：如图，设BD →=kBA →，BE →=tBC →，且D ，P ，C 三点共线，A ，P ，E 三点共线，∴BP →=λBD →+(1−λ)BC →=kλBA →+(1−λ)BC →，BP →=μBA →+(1−μ)BE →=μBA →+t(1−μ)BC →，且BP →=16BA →+12BC →， ∴{kλ=161−λ=12，{μ=16t(1−μ)=12，解得k =13，t =35，∴BE =35BC ，BD =13BA ，∴S △ABE =35S △ABC ，S △BCD =13S △ABC ，设S △BPD ＝x ，S △BPE ＝y ，S △ABC ＝z ，则S △ADP =2x ，S △CEP =23y ， ∴{2x +x +y =35z 23y +y +x =13z ，解得{x =16zy =110z， ∴S △BPD S △BPE=x y=16z 110z =53．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9．下列结论中正确的是（ ） A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面解：正四面体一定是正三棱锥，A 正确；正四棱柱的底面是正方形，棱长与底面垂直，所以正四棱柱一定是长方体，所以B 正确； 棱柱的侧面一定是平行四边形，满足棱柱的定义，所以C 正确；如果棱柱的底面是正六边形，可知棱柱的侧面中，对面平行，不可能是棱柱的底面，所以D 不正确； 故选：ABC ．10．已知两个单位向量e 1→、e 2→的夹角为θ(θ≠π2)，若c →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量c →的斜坐标，若a →=(x 1，y 1)，b →=(x 2，y 2)，则（ ） A ．a →−b →=(x 1−x 2，y 1−y 2) B ．|a →|=√x 12+y 12C ．λa →=(λx 1，λy 1)D ．a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2 解：根据题意，a →=(x 1，y 1)=x 1e 1→+y 1e 2→，b→=(x 2，y 2)=x 2e 1→+y 2e 2→，依次分析选项：对于A ，a →−b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）﹣（x 2e 1→+y 2e 2→）＝（x 1﹣x 2）e 1→+（y 1﹣y 2）e 2→，A 正确；对于B ，a →=x x 1e 1→+x y 1e 2→，则|a →|2＝（x 1e 1→）2+（y 1e 2→）2+2x 1y 1e 1→•e 2→=x 12+y 12+ 2x 1y 1cos θ，则有|a →|=√x 12+y 12+2x 1y 1cosθ，B 错误；对于C ，a →=x 1e 1→+y 1e 2→，则λa →=λx 1e 1→+λy 1e 2→，则有λa →=（λx 1，λy 1e 2→），C 正确；对于D ，a →=x 1e 1→+y 1e 2→，b →=x 2e 1→+y 2e 2→，则a →•b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）•（x 2e 1→+y 2e 2→）＝x 1x 2+y 1y 2+（x 1y 2+x 2y 1）e 1→•e 2→，D 错误； 故选：AC ．11．下列命题中错误的命题是（ ） A ．若复数z 满足z +z ∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2=z 2，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2=z 2z 1，则|z 1|＝|z 2|D ．若复数z 1，z 2满足z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，则|z 1|＝|z 2|解：当复数z ＝1+i 时，有z =1−i ，满足z +z =2∈R ，但z ∉R ，A 选项错误； 当复数z ＝i 时，有z =−i ，满足z 2=z 2，但z ∉R ，B 选项错误；设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，a ，b ，c ，d 是实数，则z 1=a −bi ，z 2=c −di ，由z 1z 2=z 2z 1，得a 2+b 2＝c 2+d 2，即|z 1|＝|z 2|，C 选项正确；设z 1＝1+2i ，z 2＝2+4i ，满足z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，但||z 1|≠|z 2|，D 选项错误． 故选：ABD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A ．若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则△ABC 一定是钝角三角形 C ．若a ﹣b ＝c （cos B ﹣cos A ），则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a +b =a tanA +btanB ，则△ABC 一定是直角三角形解：对于A ：由于b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，整理得a 2+c 2﹣2ac ＝（a ﹣c ）2＝0，所以a ＝c ，由于B ＝60°，所以：a ＝b ＝c ，故ΔABC 为等边三角形，故A 正确；对于B ：由于cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，整理得1﹣sin 2A +1﹣sin 2B ﹣（1﹣sin 2C ）＞1，故sin 2C ﹣sin 2A ﹣sin 2B ＞0，利用正弦定理：c 2﹣a 2﹣b 2＞0，故cosC =a 2+b 2−c 22ab＜0，由于C ∈（0，π），故C ∈(π2，π)，故该三角形△ABC 一定是钝角三角形，故B 正确；对于C ：由于a ﹣b ＝c （cos B ﹣cos A ），利用余弦定理a −b =c ⋅(a 2+c 2−b 22ac −b 2+c 2−a 22bc)， 整理得ab （a ﹣b ）+c 2（a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝0， 化简得：（a ﹣b ）（c 2﹣a 2﹣b 2）＝0，即a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故△ABC 为等腰三角形和直角三角形，故C 错误． 对于D ：由于a +b =atanA +btanB ，利用正弦定理sinA +sinB =sinAsinAcosA+sinBsinB cosB=cos A +cos B ，所以sin A﹣cos A ＝cos B ﹣sin B ，化简得：√2sin(A −π4)=√2cos(B +π4)=√2sin(π2+B +π4)，由于A 、B ∈（0，π），整理得A +B =π2，故C =π2，故△ABC 一定是直角三角形，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点C 1的最短距离是 √5 ．解：根据题意，作出正方体展开图的一部分，沿着正方体的表面从点A 爬到点C 1的最短距离即线段AC 1的长度， 则要求最短距离d =√1+4=√5． 故答案为：√5．14．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣2i |（i 是虚数单位）的最大值是 3 ． 解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），∵|z |＝1，∴√a 2+b 2=1，即a 2+b 2＝1，表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，∵|z ﹣2i |=√a 2+(b −2)2，表示圆上的点到点（0，2）之间的距离， ∴|z ﹣2i |（i 是虚数单位）的最大值是√02+(0−2)2+1=3． 故答案为：3．15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长AB ＝1，则AC →⋅AD →=32√2+2．解：如图所示，连接AC ，AD ，由ABCDEFGH 为正八边形可知∠AOB =∠BOC =π4，且OD ∥AC ， 则∠AOC =π2，所以|OA →+OC →|=√2|OA →|=√2|OB →|，即OB →=√22(OA →+OC →)AC →=OC →−OA →， 且OD →=√22AC →=√22(OC →−OA →)，所以AD →=OD →−OA →=√22OC →−(√22+1)OA →，则AC →⋅AD →=（OC →−OA →）•[√22OC →−(√22+1)OA →]=√22|OC →|2−√22OA →⋅OC →−（√22+1）OA →⋅OC →+（√22+1）|OA →|2＝（√2+1）|OA →|2，在△AOB 中，由余弦定理cos ∠AOB =|OA →|2+|OB →|2−|AB →|22|OA →||OB →|=2|OA →|2−12|OA →|2=√22，解得|OA →|2=2+√22，所以AC →⋅AD →=(√2+1)|OA →|2=3√22+2'， 故答案为：32√2+2．16．已知△ABC 中，∠A =π3，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD ＝DC ，∠BAE ＝∠CAE ，AD =√192，AE =6√35，则BC ＝ √7 ． 解：∵12×c ×6√35sin π6+12b •6√35•sin π6=12bc sin π3， ∴3√310（b +c ）=√34bc ，又AD →=12（AB →+AC →），∴AD →2=14（AB →2+2AB →•AC →+AC →2）=14（b 2+c 2+bc ）=14（b +c ）2−14bc =14×2536（bc ）2−14bc ，∴bc ＝6，∴b +c ＝5，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3=b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝25﹣18＝7，∴BC ＝a =√7．故答案为：√7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z ＝x +yi （x ＞0，y ＞0）满足|z |＝2，且z ﹣1为纯虚数． （1）求z 1−i；（2）若z 2+b •z +c ＝0，（b ，c ∈R ），求实数b ，c 的值． 解：（1）z ＝x +yi ，即x ﹣1+yi 为纯虚数， 则x ﹣1＝0，解得x ＝1， |z |＝2，则x 2+y 2＝1，解得y =√3（负值舍去）， z ＝1+√3i ， 故z 1−i=1+√3i 1−i =(1+√3i)(1+i)(1+i)(1−i)=1−√32+√3+12i ； （2）z 2+b •z +c ＝0，则(1+√3i)2+b(1+√3i)+c =−2+2√3i +b +√3bi +c =0，故{2√3+√3b =0−2+b +c =0，解得{b =−2c =4．18．（12分）已知平面直角坐标系内存在三点：A （1，5），B （7，8），C （5，2）． （1）求cos ∠BAC 的值；（2）若平面上一点P 满足：AP ∥CB ，CP ⊥AB ，求点P 的坐标．解：（1）A （1，5），B （7，8），C （5，2），则AB →=(6，3)，AC →=(4，−3)， 故AB →⋅AC →=24−3×3=15，|AB →|=√62+32=3√5，|AC →|=√42+(−3)2=5，故cos ∠BAC =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=153√5×5=√55； （2）CB →=(2，6)，∵AP →∥CB →， ∴可设AP →=tCB →=（2t ，6t ）（t ∈R ）， ∴CP →=AP →−AC →=（2t ﹣4，6t +3）， ∵CP ⊥AB ，∴CP →⋅AB →=6（2t ﹣4）+3（6t +3）＝0，解得t =12， ∴CP →=(−3，6)， 设P （x ，y ），则CP →=(x −5，y −2)，即{x −5=−3y −2=6，解得{x =2y =8，故P （2，8）．19．（12分）如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：BC ＝1，AC =√3，若将图中阴影部分绕直线AB 旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积．解：（1）Rt △ABC 中，BC ＝1，AC =√3，所以AB ＝2，将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个半球，去掉两个半圆锥的组合体；所以该几何体的体积为V=12（V球﹣V圆锥组合体）=12×[4π3×13−13π×(√32)2×2]=5π12；（2）Rt△AO1C以直线AB为轴旋转得一个半圆锥，侧面积为S1=12×π×√32×√3=3π4，Rt△BO1C以AB为轴旋转得一个半圆锥，侧面积为S2=12×π×√32×1=√34π，半圆弧以AB为轴旋转得一个半球，表面积为S3=12×4π×12＝2π，正面为一个圆，去掉两个三角形，面积为S4＝π×12﹣2×12×1×√3=π−√3，所以阴影部分形成的几何体的表面积为S＝S1+S2+S3+S4=3π4+√3π4+2π+π−√3=15+√34π−√3．20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2a cos B+√3b＝2c，a＝2．（1）若c＝2√3，求△ABC的面积；（2）求△ABC周长的最大值．解：（1）因为2a cos B+√3b＝2c，所以由正弦定理可得2sin A cos B+√3sin B＝2sin C，又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以√3sin B＝2cos A sin B，又因为B为三角形内角，sin B≠0，所以√3sin B＝2cos A sin B，可得cos A=√32，sin A=√1−cos2A=12，因为a＝2，c＝2√3，由余弦定理可得22＝b2+（2√3）2﹣2×b×2√3×√32，整理可得b2﹣6b+8＝0，解得b＝4或2，所以△ABC的面积S=12bc sin A＝2√3或√3；（2）由（1）可得cos A =√32，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，又a ＝2，即4＝b 2+c 2−√3bc ＝（b +c ）2﹣（2+√3）bc ≥（b +c ）2﹣（2+√3）×（b+c 2）2=2−√34（b +c ）2，解得b +c ≤4√2+√3=2（√6+√2），当且仅当b ＝c 时取等号， 所以a +b +c ≤2+2（√6+√2），当且仅当b ＝c 时取等号， 所以△ABC 周长的最大值为2+2（√6+√2）．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ＝2，DC ＝CB ＝3，AB →=2DC →，点E 、F 是线段DC 上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点． （1）求AB →⋅AD →的值； （2）求|FH →|的值；（3）直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN的值．解：（1）设AB →=a →，AD →=b →，∵CB →=CD →+DA →+AB →=−12a →−b →+a →=12a →−b →，∴CB →2=14a →2−a →⋅b →+b →2=13−a →⋅b →=9，即AB →⋅AD →=a →⋅b →=4； （2）AF →=AD →+23DC →=b →+23×12a →=13a →+b →，FH →=AH →−AF →=13a →−b →，|FH →|=√(13a →−b →)2=√19a →2−23a →⋅b →+b →2=43√3；（3）设AN →=xAF →+yAH →，即x(AF →−AN →)+y(AE →−AN →)=AN →−(x +y)AN →，xNF →+yNH →=(1−x −y)AN →，因为N 在FH 上，所以1﹣x ﹣y ＝0，即y ＝1﹣x ，∴AN →=xAF →+(1−x)AH →=x(13a →+b →)+(1−x)⋅23a →=(23−13x)a →+xb →，即AN →=(23−13x)AB →+xAD →，即(23−13x)(AB →−AN →)+x(AD →−AN →)=AN →−(23−13x)AN →−xAN →=(1−23−23x)AN →， 即(23−13x)NB →+xND →=(1−23−23x)AN →，由于D ，N ，B 三点共线，所以1−23−23x =0， ∴x =12，AN →=12a →+12b →，设AM →=λAE →+μAG →，则λ(AE →−AM →)+μ(AG →−AM →)=(1−λ−μ)AM →， 即λME →+μMG →=(1−λ−μ)AM →，又M 在EG 上，则1﹣λ﹣μ＝0，即μ＝1﹣λ，AM →=λAE →+(1−λ)AE →=λAD →+λ⋅13⋅12AB →+(1−λ)⋅13AB →=(13−16λ)AB →+λAD → 由于A ，M ，N 三点共线，所以13−16λλ=1212=1，即λ=27，所以AM →=27b →+27a →=47AN →，AM AN =47． 22．（12分）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3．（1）证明：△O 1O 2O 3为等边三角形； （2）若S △O 1O 2O 3=mS △ABC ，求m 的最小值．解：（1）证明：如图，连接AO 1，AO 3，则|AO 1|=√33c ，|AO 3|=√33b ，∠O 1AO 3＝A +π3， 在△O 1AO 3中，由余弦定理可求出|O 1O 3|2＝|AO 1|2+|AO 3|2﹣2|AO 1|•|AO 3|cos ∠O 1AO 3=b 2+c 2−2bccos(A+π3)3=b 2+c 2−bccosA+√3bcsinA 3=b 2+c 2−bc⋅b 2+c 2−a22bc +√3bcsinA 3=a 2+b 2+c 26+√33bcsinA ， 同理可得|O 1O 2|2=a 2+b 2+c 26+√33ac sin B ， 由正弦定理可得a sin B ＝b cos A ，即|O 1O 2|＝|O 1O 3|， 同理可证|O 1O 2|＝|O 2O 3|， 故△O 1O 2O 3为等边三角形； （2）∵S △O 1O 2O 3=mS △ABC ，∴√34|O 1O 3|2=√34•b 2+c 2−bccosA+√3bcsinA 3=m 2bcsinA ，则b c +c b =√3(2m −1)sinA +cosA =√3(2m −1)2+1sin （A +φ），∵bc+c b≥2，[√3(2m −1)2+1sin （A +φ）]max ＝，√3(2m −1)2+1，∴√3(2m −1)2+1≥2，解得m ≥1，当且仅当b ＝c ，A =π3时，m 取得最小值，m 的最小值为1．。

浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷

浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷

2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。

2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(共五套)

2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(共五套)

2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。

2023年浙江省金兰教育合作组织数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析

2023年浙江省金兰教育合作组织数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π2．已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A ．B ．CD 3．函数y=tan （π4–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π4，k ∈Z}D ．{x|x≠kπ+π4，k ∈Z}4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．13B ．26C ．13D ．265．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3566．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数列，数列2{}n a 是递减数列，又12a a >，则100a = A ．5050-B ．5050C ．4950-D ．49507．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．928．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为8:5，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ） A ．32B ．437C ．5314D ．879．已知21tan1cos1sin1,22cos 22.52,1tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．b a c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

浙江省浙南联盟2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题含解析

浙江省浙南联盟2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题含解析

浙江省浙南联盟2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x ++=的倾斜角为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的点斜式即可得出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】解：设直线的倾斜角为α．直线的点斜式方程是1)y x =+，∴直线的斜率tan k α==．[0α∈，)π，∴56πα=． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线的点斜式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2.设数列{}n a 的前n 项和23nn S =+，则5a 的值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】利用数列的前n 项的和与第n 项的关系可得554a S S =-，运算求得结果．【详解】解：数列{}n a 的前n 项和23n n S =+，则()45554232316a S S =-=+-+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查根据数列的前n 项的和求数列的通项公式，利用了数列的前n 项的和与第n 项的关系1n n n a s s -=-，属于基础题．3.有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m +1，m +2，则实数m 的值为（ ） A. 1 B.32C. 2D.52【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得2230m m --=，解方程可得m 的值.【详解】在三角形中，由余弦定理得：()()()22212cos12021m m m m m ︒++-+=+，化简可得：2230m m --=，解得32m =或1m =-（舍）. 故选：B.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题. 4.设,a b ∈R ，若0a b +<，则下列不等式中正确的是（ ） A. 0a b -> B. 330a b +> C. 220a b -< D. 0a b +<【答案】D 【解析】 【分析】根据b b ≥及已知条件即可判断.【详解】因为b b ≥，所以0a b +<可化为b b a ≤<-，即b a <-，可得0a b +<. 故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质及绝对值的概念，属基础题. 5.已知a ，b ，c 是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1a =，b =2A+C =B ，则sin C =（ ） A. 1 B.12【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合三角形内角和可得3B π=，再由正弦定理可得1sin 2A =，求出A 、C 后即可得解. 【详解】由题意3A B C B π++==即3B π=，2sin sin sin 3a b A B ===，∴1sin 22a A ==， 由20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6A π=，∴2C A B ππ=--=， ∴sin sin12C π==.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6.下列关于等差数列和等比数列的叙述正确的是（ ） A. 若非常数列{}n a 为等差数列，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也可能是等差数列 B. 若非常数列{}n a 为等比数列，则{}2na 不可能是等差数列C. 若数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-()a R ∈，则数列{}n a 可能是等差数列D. 若等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则公差d 可能大于零 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的定义可判断A ；举出反例可判断B ；举出例子可判断C ；设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由等差数列前n 项和的函数特性可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，设数列{}n a 的公差为(),0d d ≠，则111111n n n n n n n na a d a a a a a a ++++--==-⋅⋅，由0d ≠、1n n a a +⋅不为定值可知111n na a +-不为定值，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列，故A 错误； 对于B ，若()1nn a =-，则21n a =，此时{}2na 为等差数列，故B 错误；对于C ，若1a =，则110n S =-=，此时0n a =，数列{}n a 是等差数列，故C 正确； 对于D ，设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则()2111222n n n d d a n d a S n n -⎛⎫=+⋅=⋅+- ⎪⎝⎭，若0d >，结合二次函数的图象与性质可知n S 无最大值，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的判断，考查了等差数列前n 项和的函数特性，合理举例、牢记知识点是解题关键，属于中档题.7.已知过点()2,1P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当PA PB ⋅最小时，直线l 的方程为（ ） A. 24x y +=B. 3x y +=C. 25x y +=D.35x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合三角函数的知识可得1sin PA θ=，2cos PB θ=，结合正弦的二倍角公式可得4sin 2PA PB θ⋅=，求出θ后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】设()090BAO θθ∠=<<，如图：则1sin PA θ=，2cos PB θ=， 所以124sin cos sin 2PA PB θθθ⋅=⋅=， 所以当290θ=即45θ=时，PA PB ⋅最小， 此时，直线的倾斜角为135，斜率tan1351k ==-， 所以直线l 的方程为()12y x -=--即3x y +=. 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.8.已知ABC 的面积等于1，且1BC =，则ABC 的外接圆的半径R 的最小值为（ ） A.1617B.1716C.178D.817【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合二倍角公式、基本不等式、对钩函数的单调性可以求出BC 对的角的正弦值的取值范围，最后利用正弦定理进行求解即可.【详解】设ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，所以1a =， 由余弦定理可知：2222cos 1a b c bc A =+-⋅=，而222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），所以有12cos 2(1)bc A bc +⋅≥，又因为ABC的面积等于1，所以有1sin 1(2)2bc A ⋅=， 因此由(1)(2)得到：22sin 1cos 11cos 1112tan sin sin 4sin 44242sin cos 22A A A A A A A A A --≤⇒≤⇒≤⇒≤，因为(0,)A π∈，所以(0,)22A π∈，因此10tan 24A <≤，由正弦定理可知：222sin cos tan 11111112222(tan )sin 2sin 22422sin cos 2tan tan 2222A A A a A R R A A A AA A ++=⇒=⋅=⋅=⋅=+， 令1tan ,024A x x =<≤因为函数1()f x x x=+在(0,1)上单调递减，所以当1(0,]4x ∈时，也单调递减，故函数1()f x x x=+的最小值为：11117()14444f =+=，所以R 的最小值为117174416⨯=. 故选：B【点睛】本题考查了求三角形外接圆半径的最小值，考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了对钩函数单调性的应用，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.9.已知不等式2301x k kx k -+>-+对任意的正整数k 成立，则实数x 的取值范围为（ ）A. ()(),22,3-∞-⋃B. ()9,2,34⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. ()(),23,4-∞-D. ()9;3,44⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意转化条件得231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231x k kx k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，在同一直角坐标系内作出函数()231y x x x =-≥与()11y x x =-≥的图象，并标出x 取正整数的点，数形结合即可得解.【详解】不等式2301x k kx k -+>-+对任意的正整数k 成立，∴23010x k k x k ⎧-+>⎨-+>⎩或23010x k k x k ⎧-+<⎨-+<⎩对任意的正整数k 成立， 即231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231x k k x k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，在同一直角坐标系内作出函数()231y x x x =-≥与()11y x x =-≥的图象，并标出x 取正整数的点，如图：数形结合可知，若要使231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231x k k x k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，则()(),22,3x -∞-∈.故选：A.【点睛】本题考查了分式不等式求解及二次函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.10.已知数列{}n a 满足122n n a a ++≥()*n N ∈，则①数列{}na 单调递增；②()1122n n a a -≥-；③对于给定的实数()1,2r ∈，若n n a r ≤对任意的*n N ∈成立，必有2n a ≤．上述三个结论中正确个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个【答案】A 【解析】 【分析】①利用递增数列定义说明；②将不等式转化为()12n n a a λλ++≥+的形式，利用不等式的基本性质，可得结果；③还将不等式转化为()12n n a a λλ++≥+的形式，分类讨论n a 的取值范围，利用累乘法进行推导，可得结果. 【详解】①∵122n n a a ++≥， ∴12n n n a a a +-≥-，若数列{}n a 单调递增，则10n n a a +->，那么必有20n a ->，即恒有2n a >， ∴①错误；②∵122n n a a ++≥， ∴()1222n n a a +≥--，()1222n n a a -≥--， ()12222n n a a ---≥-，…()12222a a ≥--，∴()()2122222n n a a ---≥-，()()12322222n n a a --≥--，…()()22112222n n a a --≥--，∴()11222n n a a -≥--()()111122222n n n a a a --≥+≥--∴②正确；③∵122n n a a ++≥， ∴()1222n n a a +≥--，(ⅰ)若2n a >，则()1222n n a a +≥--，即1222n n a a +--≥， ∴1222n n a a --≥-， 12222n n a a ----≥，…21222a a --≥， ∴连续相乘得11222n n a a ---≥， ∴()11222n n a a --≥+，对于给定的实数()1,2r ∈，nn a r ≤对任意的*n N ∈不一定成立；(ⅱ)若2n a <，则()1222n n a a +≥--，即1222n n a a +--≤， ∴10222n n a a ---<≤，122202n n a a ----<≤，…210222a a --<≤， ∴连续相乘得11222n n a a ---≤， ∴()11222n n a a --≤+，对于给定的实数()1,2r ∈，nn a r ≤对任意的*n N ∈成立；(ⅲ) 若2n a =，当1n =时，对于给定的实数()1,2r ∈，12a r =>；综上所述对于给定的实数()1,2r ∈，若nn a r ≤对任意的*n N ∈成立，则有2n a <.∴③错误.【点睛】本题考查数列增减性的判断，数列不等式恒成立问题，构造不等式的能力，考查理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，36S =，则公差d =________；5S =________．【答案】 (1). 1- (2). 5 【解析】 【分析】由已知条件列方程组求出公差和首项，进而可求出5S . 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为31a =，36S =，所以112132362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=-⎩， 所以515454515(1)522S a d ⨯⨯=+=+⨯-=， 故答案为：1-；5【点睛】此题考查等差数列中的基本量的计算，属于基础题.12.已知直线l ：23y x =+，则点()1,0M 到直线l 的距离等于________；直线l 关于点M 对称的直线方程为________．【答案】270x y --= 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求点()1,0M 到直线l 的距离；设00(,)x y 为对称直线上任一点，根据它关于点M 的对称点为00(2,)x y --在直线l 上，可得00=2(2)3y x --+，从而可得所求直线方程.【详解】解：点()1,0M 到直线l==， 设00(,)x y 为对称直线上任一点，则其关于点M 的对称点为00(2,)x y --，因为该点在直线l 上，所以00=2(2)3y x --+，化简得00270x y --=， 所以所求的直线方程为270x y --=，270x y --=【点睛】此题考查了点到直线的距离公式，考查了直线关于点对称的直线方程的求法，属于基础题.13.已知实数x ，y 满足31333x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________，1x yz x +=+的最小值为________.【答案】 (1). 6 (2). 1- 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域.空一：平行移动直线2y x =-，在平面区域内，找到一点使得直线2y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可；空二：对目标函数进行变形为斜率模型，利用斜率的几何意义进行求解即可. 【详解】在平面直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域如下图所示.空一：在平面区域内，平行移动直线2y x =-，当直线2y x z =-+经过点A 时，该直线在纵轴上的截距最大，点A 的坐标就是直线330x y --=与横轴交点的坐标，即(3,0)， 所以2z x y =+的最大值为：2306⨯+=； 空二：1111111x y x y y z x x x +++--===++++，其中11y k x -=+，要想求z 的最小值，就是求k 的最小值，k 的几何意义就是平面区域内一点与点(1,1)P -的斜率，显然平面区域由点(0,1)B -与点(1,1)P -的斜率最小，最小值为：min 11201k --==-+， 所以min 1(2)1z =+-=-. 故答案为：6；1-【点睛】本题考查了利用数形结合思想求目标函数的最值问题，考查了代数式的几何意义，考查了斜率的公式的应用，考查了数学运算能力.14.如图，在ABC 中，D 为边BC 上的一点，若3AB =，32AC =3cos 4BAD ∠=，2cos 4BAC ∠=，则sin CAD ∠=________，AD =________.【答案】 (1). 148(2). 2 【解析】 【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得sin BAD ∠、sin BAC ∠，再由差角的正弦公式即可得sin CAD ∠；再利用三角形面积公式结合等面积法即可得AD ；即可得解. 【详解】3cos 4BAD ∠=，2cos 4BAC ∠=，()0,BAD π∠∈，()0,BAC π∠∈， ∴27sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=，214sin 1cos BAC BAC ∠=-∠=， ∴()sin sin sin cos cos sin CAD BAC BAD BAC BAD BAC BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠14327414=-=又3AB =，322AC =， ∴ABC 的面积11322321497sin 248ABC AB AC BA S C ⋅⋅∠⨯===⨯△，∴11sin si 22n ABC ABD ADC AB AD S S S A BAD AD C CAD ⋅⋅∠+⋅⋅=+=∠△△△ 71497974816113232282AD AD AD ⨯⨯⨯=+⋅==， ∴2AD =.故答案为：148；2. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、差角正弦公式的应用，考查了三角形面积公式及等面积法的应用，属于中档题. 15.已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b++的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】 根据21a b +=，利用“1”的代换，将41a b b++转化为()414145b a b a b b a b b a b b a b b+⎛⎫+=+++=++ ⎪+++⎝⎭，利用基本不等式求解. 【详解】因为21a b +=， 所以1a b b ++=，所以()41414559b a b a b b a b b a b b a b b +⎛⎫+=+++=++≥+= ⎪+++⎝⎭， 当且仅当4b a b a b b +=+，即11,33a b ==时，取等号. 所以41a b b++的最小值为9. 故答案为：9【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16.已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________． 【答案】()2,1 【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1.【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m =可得，2d b =-，令1m =可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =-，由31a a -=-可得，2a =，即有1b =或3b =．当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+，符合题意； 当定点A 为()2,3时，22131m d m -==+，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为()2,1．故答案为：()2,1．【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．17.若对任意02x ≤≤，恒有2x ax b c ++≤成立，则当c 取最小值时，函数()24f x x a x b x c =-+-+-的最小值为________．【答案】198【解析】 【分析】由题意结合二次函数的图象与性质可得当c 可取最小值时，2a =-、12==b c ，再由零点分段法可得分段函数()f x 的解析式，即可得解.【详解】令()2h x x ax b =++，由题意知当()()()021h h h ==-时，c 可取最小值，此时()421b a b b a b =++⎧⎨=-++⎩，解得212a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()102c h ==，所以()112422422f x x a x b x c x x x =-+-+-=++-+- 171,41132,84153,2871,2x x x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪⎪--≤-⎩， 所以()f x 的最小值为15193888f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭. 故答案为：198. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与应用，考查了零点分段法的应用及分段函数最值的求解，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos c a B =． （1）判断ABC 的形状； （2）若1c =，6C π=，求ABC 的面积．【答案】（1）等腰三角形；（2. 【解析】 【分析】（1）由题意结合余弦定理可转化条件为22a b =，即可得解；（2）由题意结合余弦定理可得22a =.【详解】（1）∵2cos c a B =，∴22222a c b c a ac+-=⋅，∴2222a c b c +-=即22a b =， ∴a b =，ABC 为等腰三角形； （2）由（1）知a b =，∴2222221cos 22a b c a C ab a +--===，解得22a =∴2112sin sin 224ABC S ab C a C ===△． 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 19.记数列n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+. （1）求数列n a 的通项公式； （2）求数列n na 的前n 项n T ． 【答案】（1）()1*2n n a n N -=∈；（2）()121nnT n =-+.【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出；（2）由（1）可知，12n n n b na n -==⋅，根据错位相减法即可求出．【详解】（1）由11n n a S +=+……①，可得11n n a S -=+……②（2n ≥） ①－②得12n n a a +=（2n ≥），而11a =， ∴21111122a S a =+=+==，即有()*12n na n N a +=∈ 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为1*2nna nN ．（2）由题得12n n n b na n -==⋅，令0121121222322n n n T b b b n -=+++=⋅+⋅+⋅++⋅，有12321222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，所以()1211212222212112nn nn n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=---，从而()121n n T n =-+．【点睛】本题主要考查利用n a 与n S 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，以及错位相减法的应用，属于基础题．20.已知直线l 的方程为()1210a x y a -+-+=（a R ∈）． （1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 正半轴、射线2y x =（0x ≥）分别交于P ，Q 两点，当a 为何值时，OPQ △的面积最小？【答案】（1）20x y -=或30x y +-=；（2）2a =. 【解析】 【分析】 （1）当12a =时，符合题意，当12a ≠时，将直线方程化为截距式，根据截距相等得到方程，解得即可；（2）依题意可得()(),11,a ∈-∞-+∞，联立两直线方程求出交点坐标，由()2221121OPQQ P a S y x a -==-△，令21t a =-，将上述式子化为222441411321OPQt S t t t ==+-⎛⎫-+⋅+ ⎪⎝⎭△根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）当12a =时，原直线方程即为20x y -=，符合题意． 当12a ≠时，原直线方程可化为截距式方程121211x ya a a +=---，此时，只需满足21211a a a -=--，即2a =．此时直线方程为30x y +-= 综上所述，直线l 的方程为20x y -=或30x y +-=．（2）∵直线l 与x 轴正半轴、射线2y x =（0x ≥）交于两点P ，Q ，有()(),11,a ∈-∞-+∞．由()12102a x y a y x⎧-+-+=⎨=⎩，解得()211Q a y a -=+，令0y =，可得211P a x a -=- 从而()222111214222111OPQQ P a a a S y x a a a ---==⋅=-+-△， 令21t a =-，有()22224344414111132133OPQ t S t t t t ===+-⎛⎫⎛⎫-+⋅+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△因为211334433t ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，所以243113343OPQ S t =≤⎛⎫--+ ⎪⎝⎭△ 当3t =即2a =时取等号，此时直线l 的方程为30x y +-=．【点睛】本题考查了直线的截距式、二次函数的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于中档题． 21.已知函数()21f x x ax a =-+-．（1）求不等式()0f x <的解集；（2）当[]0,x t ∈时，不等式()()121f x x a ≤+-对任意的0a >恒成立，求实数t 的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）由于方程()210f x x ax a =-+-=的两个根分别为1,1x x a ==-，所以分情况讨论求不等式()0f x <的解集；（2）()()121f x x a ≤+-等价于()2211210x a a x a a -+-+---≤，所以只需当0a >时，()21210211210a a t a a t a a ⎧---≤⎪⎨-+-+---≤⎪⎩成立即，所以构造函数()()221121h a t a a t a a =-+-+---分情况讨论即；或直接去绝对值求解.【详解】（1）∵()()21110x ax a x x a -+-=--+<，当2a >时，解集为()1,1-a ； 当2a <时，解集为()1,1a -； 当2a =时，解集为∅．（2）解法1：原不等式等价于()2211210x a a x a a -+-+---≤，只需()21210211210a a t a a t a a ⎧---≤⎪⎨-+-+---≤⎪⎩对任意的0a >成立， 而1210a a ---≤显然成立，记()()221121h a t a a t a a =-+-+---当12a ≥时， ()()2310h a t a t t =--++≤，只需310102t h --≤⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01t ≤≤；当102a <<时，()()2320h a t a t t =++--≤，只需()00102h h ⎧≤⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01t ≤≤； 故t 的最大值为1． 解法2：直接去绝对值 当12a =时，原不等式等价于211022x x --≤，解得01x ≤≤； 当12a >时，即231x x a x +≥+恒成立，只需21231x x x +≥+，解得01x ≤≤；当12a <时，即223x x a x +-<+恒成立，只需21223x x x +-≤+，解得01x ≤≤；故t 的最大值为1.【点睛】此题考查了解一元二次不等式，绝对值不等式，及不等式恒成立问题，属于中档题. 22.已知等差数列{}n a 与数列{}n b 满足1133a b ==，222a b =，且()123n n n n nb nb a ++=-⋅()*n N ∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和分别为n S ，n T ，证明：2277n n n T S S +<. 【答案】（1）()()*314n n n b n N --=∈；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）令1n =，可由()123nn n n nb nb a ++=-⋅求出2b ，进而求出2a ，得到等差数列{}n a 的通项公式，于是有13n n n b b ++=，构造数列11113333n n n n b b +++⋅=，设3n n n b c =，可变形得到1111434n n c c +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，求出n c ，即可得数列{}n b 的通项公式．其它解法参考解析； （2）要证2277n n n T S S +<，即证2277n n n T S S <-，根据2n n S S -的表达式可知其关于n 单调递增，即证274n T <，再通过放缩法即可证出，多种放缩方式见解析． 【详解】（1）令1n =有()211323b b a +=-=，所以22b =，即24a =，所以2n a n =+，即13n n n b b ++=．由13n n n b b ++=得11113333n n n n b b +++⋅=， 设3n n n b c =，则11133n n c c ++=，可得1111434n n c c +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又113c =，故11114123n n c -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，则()()*314n n n b n N --=∈． 解法2：由13n n n b b ++=，有113n n n b b --+=，（2n ≥），相减得11123n n n b b -+--=⨯，（2n ≥），则13123b b -=⨯，35323b b -=⨯，……，23212323n n n b b ----=⨯，相加得()12113914n n b b ----=，则2121314n n b --+=，（2n ≥），当1n =时上式也成立．又212213n n n b b --+=得22314n n b -=，故()()*314nn n b n N --=∈．解法3：由13n n n b b ++=构造等比11113344nn n n b b ++⎛⎫-⋅=--⋅ ⎪⎝⎭也可以．（2）只需证2277n n n T S S <-．由（1）有2n a n =+，所以21113422n n S S n n n -=++++++，记为n C ，而1111023243n n C C n n n +-=+->+++，所以n C 单调递增，有114n C C ≥=只需证()22244473131431n n n T =++<+---．证法1：∵()()()212212212212433114431313131n n n n n n n n b b ----++=+=+-+-()212212212433443333n n n n n n---+<=+⋅ 故3421212212111114444123333n n n n b b b b --++++<++++++223213231626371293291836364n -⎛⎫=+-<+==<= ⎪⎝⎭． 证法2：13211321111444313131n n b b b --+++=++++++352122444117111333636n n --⎛⎫<++++=+-< ⎪⎝⎭又2249(2)3123n nn <≥-⋅ 则242242111444313131n n b b b +++=+++--- 4219972232312n <++⋯⋯+<⋅⋅ 所以1221211117776124n n b b b b -++++<+=． 证法3：∵()21411(2)2331n n n n n b -=<⋅≥--， ∴2212212111111111122323n n n b b b b --++++<++⋅+⋅ 2111137231114413n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+<+=-． 【点睛】本题主要考查利用数列递推式和构造法求数列的通项公式，以及放缩法证明数列不等式的恒成立问题，涉及等差数列的通项公式，等比数列的定义和通项公式，前n 项和公式的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，综合性强，属于较难题．。

浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量()1,2a =r ，(),1b x x =-r ，若a b ∥r r ，则x =（ ）A ．2B ．13C ．3D ．232．下列四个命题中正确的是（ ）A ．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B ．所有棱长都相等的四棱柱是正方体C ．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱D ．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥3．已知复数()()12i 1i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．14．已知a r ，b r 为非零向量，且满足()0b a b ⋅-=r r r ，则2a b -r r在b r 上的投影向量为（ ）A ．b rB ．b -rC ．2b rD ．2b -r5．已知ABC V 的三条边长分别为a ，b ，c ，且()()()::12:13:15a b b c a c +++=，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ） A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π66．已知平面直角坐标系下，ABC V 的三个顶点坐标为：()1,1A ，()1,2B -，()3,5C ，若ABC V 斜二侧画法下的直观图是A B C '''V ，则A B C '''V 的面积为（ ）A B C ．D ．7．如图所示，在ABCD Y 中，点E 为线段AD 上的中点，点F 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，BE ，BF 分别与AC 交于R ，T 两点．则（ ）A ．1164FT AB AD =-u u u r u u u r u u u rB ．3455BD BE BF =+u u u r u u u r u u u rC ．34AB BR DT =+u u u r u u u r u u u rD ．34AD AB ER =-u u u r u u u r u u u r8．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，边BC 上的中线、高线、角平分线长分别是a m ，a h ，a l ，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．a m B ．2cos 2a A bc l b c=+C．a h =D ．ABCS=△二、多选题9．已知复数1z ，2z 均不为0，复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．1212z z z z -=- B ．1212z z z z +=+ C ．1212z z z z ⋅=⋅D ．1212z z z z ⋅=⋅10．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若cos a cB =，则ABC V 是直角三角形 B ．若2220a b c +->，则ABC V 是锐角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰三角形D ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC V 是等边三角形 11．已知a r ，b r为非零向量，且满足2a =r ，1a b -=r r ，则（ ）A ．a r ，b r 夹角的取位范围是π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．b r的取值范围是[]1,3C ．a b ⋅r r的取值范围是[]2,4D ．a b +r r的取值范围是[]3,5三、填空题12．已知1i z =+（i 是虚数单位），则4z =13．已知球O 的体积为36π，则球O 的表面积为，球O 的内接正四面体的体积为． 14．勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形ABC 边长为2，点P 为圆弧»AB上的一点，且满足：ABP S =△，则PA ⋅PB +PB ⋅PC +PC⋅PA 的值为．四、解答题15．已知复数112i z =+(1)若复数1z 是方程20z a z b +⋅+=的一个复数根，求实数a ，b 的值； (2)若复数2z 满足12111z z z =-，求2z ． 16．如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为1，1BC CC ⊥，点P 为线段11B C 上的动点．(1)若点P 恰为线段11B C 上靠近点1C 的三等分点，求三棱锥P −A 1BC 和三棱柱111ABC A B C -的体积之比；(2)求1PA PC +的最小值及此时1B P 的值．17．设向量a r ，b r满足1a =r ，2b =r ，33a b -=r r ．(1)求23a b +r r的值；(2)已知23a b +r r 与32a b λ-r r ，求λ的值．18．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2b =sin cos C b C a +=．(1)求B ；(2)若D ，E 为线段BC 上的两个动点，且满足60DAE ∠=︒，ABC S =V ADE S V 的取值范围．19．对于平面向量()(),1,2,k k k a x y k ==⋅⋅⋅u u r，定义“F θ变换”：()()1cos sin ,sin cos k k k k k k a F a x y x y θθθθθ+==-+uuu r u u r，()0πθ<<(1)若向量()12,1a =u u r ，π3θ=，求2a u u r ；(2)已知()11,OA x y u u u r =，()22,OB x y u u u r =，且OA u u u r 与OB u u ur 不平行，()OA F OA θ'=u u u r u u u r ，()OB F OB θ'=u u u u r u u u r ，证明：OAB OA B S S ''=V V ；(3)若向量41a a =u u r u r，求θ．。

浙江省2020年高一下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

浙江省2020年高一下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

浙江省 2020 年高一下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2019 高一上·南昌月考) 若角 的终边落在直线 的值等于（ ）A.0 B . -2 C.2 D . -2 或 2上，则2. （2 分） 若，则 2sin2θ﹣cos2θ=（ ）A.B.C.D.3. （2 分） 已知向量 =(-1,2), =(3,m),, ,则“m=-6”是“ A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件”的（ ）第 1 页 共 11 页4. （ 2 分 ） (2017 高 三 上 · 太 原 月 考 ) 定 义 在 上 的 ，则下列说法正确的是（ ）满足：对任意，总有A.是奇函数B.是奇函数C.是奇函数D.是奇函数5. （2 分） (2020·平顶山模拟) 在中，D、P 分别为 、 的中点，且，则（）A.B.C.D.6. （2 分） (2018·齐齐哈尔模拟) 已知函数象向右平移 个单位后得函数的图象，则函数的最小正周期为 ，将其图 的图象（ ）A . 关于直线对称B . 关于直线对称C . 关于点对称D . 关于点对称7. （2 分） (2018·银川模拟) 若是非零向量,则“第 2 页 共 11 页”是“”的（ ）A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件8. （2 分） (2019 高三上·东城月考) 已知函数高点为，在原点右侧与 轴的第一个交点为A.1B.，则的图像在 轴右侧的第一个最 的值为（ ）C.D. 9. （2 分） (2019 高三上·上高月考) 函数 A.B.C.D.10. （2 分） 为了得到函数的图像,可以将函数A . 向右平移 个单位长度B . 向右平移 个单位长度C . 向左平移 个单位长度第 3 页 共 11 页的单调递减区间是（ ） 的图象（ ）D . 向左平移 个单位长度 11. （2 分） (2016 高二上·临漳期中) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 c2=（a﹣b） 2+6，C= ，则△ABC 的面积（ ） A.3 B.C. D.12. （2 分） (2017·怀化模拟) 已知 ω＞0，设 x1 ， x2 是方程 sin（ωx+ ）= 根，且|x2﹣x1|的最小值为 2，则 ω 等于（ ）的两个不同的实数A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 若 α∈（0，π），且，则 tan2α=________．14. （1 分） (2017 高一下·郑州期末) 已知向量 上的投影为________．=（2，3），=（﹣4，1），则向量在向量方向15. （1 分） (2019·普陀模拟) 已知，，则________．16. （1 分） 设 ω∈N*且 ω≤15，则使函数 y=sinωx 在区间[ ， ]上不单调的 ω 的个数是________．三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)第 4 页 共 11 页17. （10 分） 已知|tanx|=2，x∈（ ，π）． （1） 求 tan2x 的值；（2） 求 sin（x+ ）的值． 18. （10 分） (2018 高一下·张家界期末)中，内角所对的边分别为，若（1） 求边 的值；（2） 求的值.19. （5 分） (2017·鞍山模拟) 已知函数 f（x）=（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）． （Ⅰ）若 f（x）在（0，+∞）上单调递减，求 a 的取值范围；（Ⅱ）若 f（x）有两个极值点 x1 ， x2 ， 求证：x1+x2＞ ． 20. （15 分） 已知 a 为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）， （1） 求导数 f'（x）； （2） 若 x=﹣1 是函数 f（x）的极值点，求 f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值； （3） 若 f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上都是递增的，求 a 的取值范围． 21. （5 分） (2017 高二下·钦州港期末) 已知函数 f（x）=k（x﹣1）ex+x2 ．（Ⅰ）当时 k=﹣ ，求函数 f（x）在点（1，1）处的切线方程； （Ⅱ）若在 y 轴的左侧，函数 g（x）=x2+（k+2）x 的图象恒在 f（x）的导函数 f′（x）图象的上方，求 k 的 取值范围； （Ⅲ）当 k≤﹣l 时，求函数 f（x）在[k，1]上的最小值 m．第 5 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 6 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17-1、 17-2、 18-1、 18-2、第 7 页 共 11 页19-1、 20-1、20-2、第 8 页 共 11 页20-3、第 9 页 共 11 页21-1、第 10 页 共 11 页第11 页共11 页。

2020年浙江省浙南名校联盟高一下学期期中数学试题(附带详细解析)

2020年浙江省浙南名校联盟高一下学期期中数学试题(附带详细解析)

○…………○…………绝密★启用前2020年浙江省浙南名校联盟高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,4,5}A =，集合{2,4,6}B =，则()CuA B ⋂=（ ） A ．{4}B ．{2,6}C ．{2,4,6}D ．{2,3,6}2．已知等比数列{}n a ，若52a =，932a =，则410a a ⋅=（ ） A ．16±B ．16C ．64±D ．643．已知函数25,0(),0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则((-3))f f =（ ） A ．8-B ．9C ．81D ．44．已知0a b >>，且0c >，且1c ≠，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log log c c a b >B ．a b c c >C ．ac bc >D ．c c a b> 5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A ︒=，a =c =则C =（ ） A ．30︒B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒6．已知函数()y f x =的部分图象如图，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()()x xf x x e e-=-B ．()()ln x xf x e e-=+C ．21()x xx f x e e-+=+ D ．()ln ||1f x x =+7．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到()g x 的图象，下列是()g x 的其中一个单调递增区间的是（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．57,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||b =r 且|(12)|()xa x b x R +-∈r r 则||()a yb y R +∈r r的最小值为（ ）A B ．1 C ．2 D ．1或29．设函数2()x f x e ax bx c =+++（,,a b c 为非零实数），且()af a e =，()b f b e =，若1a <-，则b 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．若函数22()(2)(2)2f x x m x x m x =+-+-++的最小值为0，则m 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．[2,1]-C ．(2]-∞ D ．[2]-第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．计算：66log 92log 2+=________ ；1068e =________． 12．函数1y =______；值域为______.13．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且2n S n n =+，则n a =______，数列}n的14．已知ABC ∆中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则最小角的正弦值为______；若最大角是最小角的两倍，则最大边的长为______. 15．若,a b 均为正实数，且满足21a b +=，则1a b ab++的最小值为______. 16．在ABC ∆中，||2BC =，点P 为ABC ∆所在平面内一个动点，则()()PA PB PA PC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为______.17．设非零实数a b 、满足221a b +=.若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=______. 三、解答题18．已知集合{|()(3)0}A x R x a x =∈+-<，集合1|11B x R x ⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭. （1）若1a =，求A B I ；（2）若A B =∅I ，求a 的取值范围. 19．已知函数22()sin sin 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）若5()13f α=且,123ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值； 20．已知函数2()1f x ax x a =+++.（1）若函数()y f x x =+有唯一的零点，求a 的值；（2）设0a >，若对任意的[1,2]x ∈，不等式2()x f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 21．设ABC V 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b =-且c =.（1）求角C 的大小；（2）若角C 的平分线交AB 于点D ，求线段CD 长度的取值范围.22．知数列{}n a 满足：13a =，21224n n n a a a +=-+.（1）求证：1n n a a +>；（2）求证：()*123111112133nn n N a a a a ⎛⎫≤++++≤-∈ ⎪⎝⎭L参考答案1．B 【解析】 【分析】直接由交集与补集的定义，即可得到本题答案. 【详解】由题，得{2,3,6}U C A =，所以(){2,6}U C A B ⋂=. 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的运算，属基础题. 2．D 【解析】 【分析】直接利用等比数列的性质，即可得到本题答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，且592,32a a ==， 由等比数列的性质得，4105923264a a a a ⋅=⋅=⨯=.故选：D 【点睛】本题主要考查利用等比数列的性质求值，属基础题. 3．D 【解析】 【分析】由(3)9,(9)4f f -==，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2(3)(3)9f -=-=， 所以((3))(9)954f f f -==-=.故选：D 【点睛】本题主要考查利用分段函数求函数值，属基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性以及不等式的基本性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】当01c <<时，log c y x =在(0,)+∞单调递减，由0a b >>，得log log c c a b <，当1c >时，log c y x =在(0,)+∞单调递增，由0a b >>，得log log c c a b >，故A 不正确； 当01c <<时，xy c =在(,)-∞+∞单调递减，由0a b >>，得a b c c <，当1c >时，xy c =在(,)-∞+∞单调递增，由0a b >>，得a b c c >，故B 不正确； 根据不等式的基本性质，由0a b >>，0c >，得ac bc >，故C 正确； 由0a b >>，得110b a >>，又0c >，根据不等式的基本的性质，有c c b a>，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性以及不等式的基本性质比较大小. 5．A 【解析】 【分析】直接根据正弦定理即可得到本题答案，别漏了“大边对大角”对结果的限制. 【详解】解：在ABC ∆中，60A ︒=Q ，a =c =∴由正弦定理，得sin sin a c A C=sin 2C =， ∴解得1sin 2C =， 又a c >，A C ∴>，30C ︒=，故选：A 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求角. 6．B 【解析】 【分析】由(0)0f >及当x →+∞时，()f x →+∞，逐项排除，即可得到本题答案. 【详解】由图，可得(0)0f >，对于选项A ，(0)0f =，故排除A ；对于选项D ，()f x 的定义域为0x ≠，故排除D ；由图，可得()f x 在(0,)+∞上函数单调递增，当x →+∞时，()f x →+∞， 对于选项C ，当x →+∞时，()0f x →，故排除C . 故选：B 【点睛】本题主要考查根据函数的图象判断函数的解析式，结合函数的单调性和奇偶性，利用特殊值法，逐项排除，是解决此类问题的常用方法. 7．B 【解析】 【分析】由题，得()cos2g x x =，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可求得()cos2g x x =的增区间，再令1k =，即可得到本题答案. 【详解】由题，得()si n 2sin 2cos 2842g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，即函数()cos2g x x =的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当1k =时，单调递增区间为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因为57,,882ππππ⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以57,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()cos2g x x =的一个单调递增区间. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移以及求三角函数的单调区间. 8．D 【解析】 【分析】设2()|(12)|f x xa x b =+-r r，a b t ⋅=rr ，则2()(164)(212)3f x t x t x =-+-+，由()f x 的最小值为34，得24(164)3(212)34(164)4t t t ⨯-⨯--=⨯-，且1640t ->，解得0t =或3t =，然后分2种情况考虑||()a yb y R +∈r r的最小值，即可得到本题答案. 【详解】设2()|(12)|f x xa x b =+-r r ，a b t ⋅=rr ，则2222()2(12)(12)f x a x x x a b x b =⋅+-⋅+-r r r r ()2242(12)3144x x x t x x =+-+-+2(164)(212)3t x t x =-+-+因为|(12)|()xa x b x R +-∈r r 的最小值2，所以()f x 的最小值为34， 则24(164)3(212)34(164)4t t t ⨯-⨯--=⨯-，且1640t ->， 解得0t =或3t =，当0t =，即0a b ⋅=r r时，||2a yb +==≥r r，所以||()a yb y R +∈r r的最小值为2；当3t =，即3a b ⋅=r r时，||1a yb +===≥r r，所以||()a yb y R +∈r r的最小值为1， 综上，||()a yb y R +∈r r的最小值为1或2.故选：D 【点睛】本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算能力. 9．D 【解析】 【分析】根据()af a e =，()bf b e =，得到,a b 的关系式，即可得到b 的最小值.【详解】由()af a e =，()bf b e =，得322a ab be a ab c e e ab b c e⎧+++=⎨+++=⎩ 两式相减得，()()()0a a b a b b a b +-+-=， 所以2()()0a b a ab b -++=，① 当a b =时，由()a f a e =，()bf b e =，得0a b ==，与1a <-矛盾，所以不符合题意； ②当20a ab b ++=时，212(1)11a b a a a =-=--+++，由10a +<，得(1)0a -+>，所以212(1)2411a b a a a =-=--+≥+=++，当且仅当2(1)1a +=，即2a =-时，b 取得最小值. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，由函数()f x 得到,a b 的关系式是解决问题的关键. 10．A 【解析】 【分析】讨论0m =，求得1x =时，取得最小值0；去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】解：当0m =时，22222()222(1)1(1)12(1)f x x x x x x x x =-+-+=--+-+=-， 当1x =时，()f x 取得最小值0；当1x =时，(1)12|122|1|1|f m m m m =+-+--+=-+-， 当1m £时，可得(1)110f m m =-+-=， 当1m >时，(1)2(1)0f m =->，22()(1)1(1)1f x x mx x mx =--++-+-，当2(1)1x mx -≥-时，2()2(1)0f x x =-≥，当1x =时，取得最小值0，此时1m £；当2(1)1x mx -<-时，()2(1)f x mx =-，由题意可得2(1)0mx -≥恒成立. 故选：A 【点睛】本题主要考查二次函数与绝对值的综合问题，涉及到分类讨论思想的运用，考查学生的推理分析能力以及计算化简能力. 11．2 0 【解析】 【分析】根据对数的运算公式和实数指数幂的运算公式，化简、求值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据对数的运算可得6666log 92log 2log 94log 362+=⨯==；由实数指数幂的运算可得1162811)20e =+-=．【点睛】本题主要考查了对数运算和实数指数幂的运算、化简求值，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．[0,)+∞ (,1]-∞ 【解析】 【分析】要使已知函数有意义，则需满足0x ≥0≥即可求出函数的值域. 【详解】因为要使函数1y =-0x ≥，所以函数1y =[0,)+∞；0≥，所以11，所以函数1y =(,1]-∞.故答案为：[0,);(,1]+∞-∞【点睛】本题主要考查函数的定义域及值域，属基础题. 13．2n 122n +- 【解析】 【分析】由题，得1n =时，112a S ==，2n ≥时，由1n n n a S S -=-，可得所求的通项公式；由数列}n即为{}2n，利用等比数列的求和公式计算，即可得到本题答案.【详解】因为数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且2n S n n =+， 所以，当1n =时，112a S ==；2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，上式对1n =也成立，可得2n a n =，*n N ∈；数列}n即为{}2n，为首项和公比均等于2的等比数列，可得()12122212n n nT +-==--.故答案为：12;22n n +-【点睛】本题主要考查由n S 的表达式求数列的通项公式，以及利用等比数列的前n 项和公式求和. 14．356 【解析】 【分析】由题，得ABC ∆是直角三角形，且三边为3，4，5，由此即可得到本题答案； 设三边长分别为1,,1n n n -+,对应的角为,,A B C ，则2C A =，由正弦定理得，1cos 2(1)n A n +=-，又由余弦定理得，4cos 2(1)n A n +=+，综合以上，即可求得本题答案.【详解】解：ABC ∆中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则其余两边为4，5， 则ABC ∆为直角三角形，故最小角的正弦值为35； 设三边长分别为1,,1n n n -+,对应的角为,,A B C ， 由题意知2C A =， 由正弦定理得11sin 2sin cos n n A A A-+=， 即有1cos 2(1)n A n +=-，又222(1)(1)4cos 2(1)2(1)n n n n A n n n ++--+==++，所以142(1)2(1)n n n n ++=-+，化简得250n n -=，解得5n =， 所以三边分别为4，5，6， 故最大边的长为6. 故答案为：35；6 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查学生的计算能力和求解能力.15．7 【解析】 【分析】 由题，得1232323(2)a b a b a b ab ab b a b a +++⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】因为21a b +=，所以122323a b a b a b a b ab ab ab b a++++++===+，所以2362(2)4377b a a b b a a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当62b a a b =，即a 时取等号， 所以 1a b ab++的最小值为7.故答案为：7 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“1”是解决本题的关键. 16．1- 【解析】 【分析】以DE 所在直线为x 轴，线段DE 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则1,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)P x y ，由此求()()PA PB PA PC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值，可通过求2212(2)44PD PE x y ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r 的最小值得到.【详解】解：取AB 中点为D ，AC 中点为E ， 由||2BC =，得||1DE =，以DE 所在直线为x 轴，线段DE 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则1,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)P x y ， 则()22221()()2(2)44114PA PB PA PC PD PE x y x y ⎛⎫+⋅+=⋅=+-=+-≥- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()()PA PB PA PC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为1-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的相关问题，主要体现了数形结合及转化和化归思想的应用. 17．1 【解析】 【分析】函数y 化为20yx ax y b -+-=，由题意可得24()0a y y b ∆=--≥，结合条件，解不等式可得,m M ，作差可得所求值. 【详解】 解：21ax b y x +=+化为20yx ax y b -+-=， 由题意可得24()0a y y b ∆=--≥， 即为22440y yb a --≤， 由221a b +=，可得244(1)(1)0y yb b b ---+≤，解得1122b by -++≤≤， 即12b M +=，12bm -+=，则1M m -=. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查利用判别式法求函数最值的问题，考查学生的分析能力与计算能力.18．（1）(1,2)A B ⋂= （2）2a ≤- 【解析】 【分析】（1）分别求出一元二次不等式及分式不等式的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案；（2）分3a =-，3a <-和3a >-三种情况考虑，即可确定a 的取值范围. 【详解】解：根据题意，集合1|1(1,2)1B x R x ⎧⎫=∈>=⎨⎬-⎩⎭， （1）若1a =，则集合{|(1)(3)0}(1,3)A x R x x =∈+-<=-， 所以(1,2)A B ⋂=；（2）集合{|()(3)0}A x R x a x =∈+-<， 若3a =-，则A =∅，满足题意；若3a <-，则(3,)A a =-，显然A B =∅I ；若3a >-，则(,3)A a =-，当2-≥a 时，A B =∅I ，此时32a -<≤-； 综上所述：2a ≤-. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，以及根据集合的关系确定参数a 的取值范围.19．（1）T π=，[,]36ππk πk π-++()k ∈Z ；（2【解析】 【分析】（1）由诱导公式及二倍角公式恒等变形，得()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2T πω=可求得()f x 的最小正周期，令2223k x k ππππ-+≤-≤，可求得()f x 的增区间；（2）由题，先确定23πα-的取值范围，然后求出sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，最后根据sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得到本题答案.【详解】（1）2222()sin sin cos sin cos 236663f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 令2223k x k ππππ-+≤-≤，()k ∈Z得36k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z所以()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）,123ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭Q ，2,323πππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，51()cos 23132f παα⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭Q ，2,323πππα⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，12sin 2313πα⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭ ，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-⋅+-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用以及利用和差公式求三角函数值，其中涉及到利用诱导公式和二倍角公式恒等变形.20．（1）0a =或12a -±=； （2）15a ≥【解析】 【分析】（1）若函数()y f x x =+有唯一的零点，等价于2210ax x a +++=有唯一实根，对a 进行讨论，结合二次方程的根的存在条件即可求解；（2）2()x f x ≤等价于210ax x a -++≥，设2()1g x ax x a =-++，分112a≤，1122a <<和122a≥三种情况，考虑()g x 的最小值即可得到本题答案. 【详解】解：（1）若函数()y f x x =+有唯一的零点，等价于2210ax x a +++=有唯一实根； 若0a =，则方程为210x +=，方程根为12-，满足题意；若0a ≠，则2224(1)4440a a a a ∆=-⋅⋅+=--+=，得12a -=；综上，0a =或a =； （2）设0a >，若对任意的[1,2]x ∈，不等式2()x f x ≤恒成立等价于210ax x a -++≥恒成立，设2()1g x ax x a =-++，若112a≤，即12a ≥，则()g x 在[1,2]上递增，所以1()min (1)202g x g a a ==≥⇒≥； 若1122a <<，即1142a <<，则()g x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以min 111()0242g x g a a ⎛⎫=≥⇒<< ⎪⎝⎭； 若122a ≥，即14a ≤，则()g x 在[1,2]上递减， 所以min 11()(2)51054g x g a a ==-≥⇒≤≤； 综上所述：15a ≥. 【点睛】本题主要考查由函数的零点个数确定参数取值范围的问题以及求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论思想的应用. 21．（1）3C π= （2）3(0,]2【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角转换以及和差公式的应用，即可得到本题答案；（2）由题意根据三角形的面积公式可得||CD a b=+，由余弦定理得223a b ab +=+，结合基本不等式可求得03ab <≤，从而a b +∈，所以可求得13||0,32a bCD a b a b +⎫⎛⎤==-∈⎪ ⎥++⎭⎝⎦. 【详解】（1）由正弦定理得，1sin cos sin sin 2C B A B =-， 所以1sin cos sin()sin 2C B B C B =+-， 所以1sin cos sin cos cos sin sin 2C B B C B C B =+-， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=；（2）由题意得11||||444ABC ACD BCD S S S b CD a CD ∆∆∆==+=⋅+⋅，所以||CD =， 根据余弦定理，可得223a b ab +=+， 所以2232a b ab ab +=+≥， 所以03ab <≤，由223a b ab +=+，得2()13a b ab +=-，且a b +∈所以13||0,32a bCD a b +⎫⎛⎤==-∈⎪ ⎥+⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理的边角转换求角，以及综合余弦定理，三角形面积公式和基本不等式求边长的取值范围，考查学生的计算能力及转化和化归思想的运用. 22．（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可根据递推式的特点选择作差法来判断1n a +与n a 的大小关系；（2）首先对递推式进行整理重新组合，化成1n a +与n a 的倒数关系式，这可以根据求证的不等式进行思考，然后可采用相消法使式子变得更简单，这样便能证出不等式成立. 【详解】证明：（1）由题意，可知：()221224420n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，1n n a a +∴≥，∴数列{}n a 是单调递增数列. 又13a =Q ，1n n a a +∴≥≥，…130a ≥=>，()()2212210n a a ∴-≥≥-=>L .1n n a a +∴>.（2）由题意，可知：21224n n n a a a +=-+Q ， 21242n n n a a a +∴-=-，即()()1222n n n a a a +-=-，()()11111122222n n n n n a a a a a +⎛⎫⇒==- ⎪---⎝⎭答案第17页，总17页 111122n n n a a a +⇒=---. 123122311111111111222222n n n a a a a a a a a a a +∴++++=-+-++-------L L 1111111222n n a a a ++=-=----. *n N ∈Q ，又由（Ⅰ），知：1272n a a +≥=， 1231111111123n n a a a a a +∴++++=-≥-L ； 又由()()1222n n n a a a +-=-，得：11121212122232323n n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=⋅≤⋅≤≤⋅= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭L ， 12311111121123n n n a a a a a +⎛⎫∴+++⋯+=-≤- ⎪-⎝⎭. ()*123111112133n n n N a a a a ⎛⎫∴≤++++≤-∈ ⎪⎝⎭L .命题得证. 【点睛】本题主要考查利用作差法来判断数列的大小以及不等式与数列的综合应用问题，体现了转化和化归的数学思想.。

2020年浙江省金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷

2020年浙江省金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知数列的前五项分别为，，，，，则该数列的一个通项公式为（）A. B. C. D.2.若a＞b，则下列正确的是( )．A. a2＞b2B. ac＞bcC. ac2＞bc2D. a－c＞b-c3.已知数列{a n}中，，且对任意的n∈N*，都有成立，则a2019=（）A. 1B.C.D.4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，，则{a n}的前8项和等于（）A. -6（1-3-8）B.C. 3（1-3-8）D. 3（1+3-8）5.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定6.在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x-b）＞0的解集是（2，3），则a+b的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 87.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（）A. b=7，c=3，C=30°B. a=6，，B=60°C. b=5，，B=45°D. a=20，b=30，A=30°8.等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d＞0，（S8-S5）（S9-S5）＜0，则（）A. |a7|＞|a8|B. |a7|＜|a8|C. |a7|=|a8|D. |a7|=09.已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. （-4，2）B. （-∞，-4]∪[2，+∞）C. （-2，4）D. （-∞，-2]∪[4，+∞）10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c2sin A cosA+a2sin C cosC=4sin B，，已知D是AC上一点，且，则等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共34.0分）11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，，，则c=______；12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=10，S4=50，则公差d=______；当n=______时，S n取到最大值．13.已知函数f（x）=|2x-1|，g（x）=|2x+a|（a∈R），则不等式f（x）≤3的解集为______；若不等式f（x）+g（x）≥6对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围为______．14.已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2+n，b n=（-1）n（a n-2）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为______；数列{b n}的前50项和为______．15.已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为3km，则B到C的距离为______km．16.关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是______．17.已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n=a n2+3a n，n∈N*，b n=，若任意n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）18.已知不等式x2-（a+1）x+a≤0的解集为A，不等式的解集为B．（1）当a=3时，求A∩B；（2）若不等式的解集A⊆B，求实数a的取值范围．19.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sinθ与b的值．20.已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C+c cos A=．（1）若4sin A=3sin B，求的值；（2）若C=，且c-a=8，求△ABC的面积．22.设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）-ma n（m为常数，且m＞0）．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设数列{a n}的公比q=f（m），数列{b n}满足b1=2a1，b n=f（b n-1）（n≥2，n∈N*），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b n2}的前n项和．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，数列的前五项分别为，，，，，即，，，，，其通项公式可以为；故选：D．根据题意，数列的前5项可以变形为，，，，，据此分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，涉及数列的通项公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：A选项不正确，因为若a=0，b=-1，则不成立；B选项不正确，若c=0时就不成立；C选项不正确，同B，c=0时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．故选：D．由不等式的运算性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，结合特值法排除错误选项．本题考查不等关系与不等式，求解本题的关键是熟练掌握不等式的运算性质，能够根据这些运算性质作出正确判断．3.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，，且对任意的n∈N*，都有成立，所以：，，，所以该数列的周期为2．则：．故选：C．直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的周期，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的前8项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．推导出{a n}是以-为公比以4为首项的等比数列，由此能求出{a n}的前8项和．【解答】解：∵数列{a n}满足3a n+1+a n=0，∴=-，∴{a n}是以-为公比的等比数列，∵，∴a1==4，∴{a n}的前8项和：=3（1-3-8）．故选C．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵b cos C+c cos B=a sin A，∴sin B cos C+sin C cos B=sin（B+C）=sin A=sin2A，∵sin A≠0，∴sin A=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．6.【答案】C【解析】解：∵x⊗y=x（1-y），∴（x-a）⊗（x-b）＞0得（x-a）[1-（x-b）]＞0，即（x-a）（x-b-1）＜0，∵不等式（x-a）⊗（x-b）＞0的解集是（2，3），∴x=2，和x=3是方程（x-a）（x-b-1）=0的根，即x1=a或x2=1+b，∴x1+x2=a+b+1=2+3，∴a+b=4，故选：C．根据定义，利用一元二次不等式的解法求不等式的解集．本题主要考查一元二次不等式的解法，利用新定义列出不等式是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：在A中，由正弦定理得，，则，无解；在B中，由正弦定理得，，则，只有一解；在C中，由正弦定理得，，则，有两解；在D中，由正弦定理得，，则，有两解．故选：B．由四个选项中的已知条件，分别利用正弦定理求解判断即可．本题考查利用正弦定理判断三角形解得情况，属于基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，关键是由（S8-S5）（S9-S5）＜0，分析得到a7、a8之间的关系．根据题意，由（S8-S5）（S9-S5）＜0，结合等差数列的性质可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0⇔a7×（a7+a8）＜0，又由{a n}的公差d＞0，分析可得a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|；即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，有（S8-S5）（S9-S5）＜0，即（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0，又由{a n}为等差数列，则有（a6+a7+a8）=3a7，（a6+a7+a8+a9）=2（a7+a8），（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0⇔a7×（a7+a8）＜0，a7与（a7+a8）异号，又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|.故选B．9.【答案】A【解析】解：由x＞0，y＞0，且，可得x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当x=2y=4时，上式取得等号，即x+2y的最小值为8，若x+2y＞m2+2m恒成立，可得m2+2m＜8，解得-4＜m＜2，故选：A．由题意可得（x+2y）min＞m2+2m，运用乘1法和基本不等式，可得x+2y的最小值，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查基本不等式的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵c2sin A cosA+a2sin C cosC=4sin B，∴ac2•+ca2•=4b，∴解得：ac=4，cos B=，可得：sin B==，∴S△ABC=ac sin B=，∵==，∴=．故选：B．由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求ac=4，由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，进而利用三角形面积公式可求S△ABC，进而利用比例的性质即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，比例的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：由正弦定理可得：c===2．故答案为：2．利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】-5 5【解析】解：由a3=10，S4=50，可得，解方程可得，d=-5，a1=20，故a n=25-5n，则当n≤5时，a n≥0，当n≥6时，a n＜0，故当n=5时，S n取到最大值．故答案为：-5，5由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解，a1，d，然后结合和的性质可求．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用及和的性质的应用，属于基础试题．13.【答案】[-1，2] （-∞，-7]∪[5，+∞）【解析】解：（1）∵f（x）=|2x-1|，由f（x）≤3得：-3≤2x-1≤3，解得：-1≤x≤2，∴f（x）≤3的解集为[-1，2]．（2）∵对任意x∈R，不等式f（x）+g（x）≥6恒成立，即不等式|2x-1|+|2x+a|≥6对任意x∈R恒成立，∵|2x-1|+|2x+a|≥|（2x-1）-（2x+a）|=|a+1|（当且仅当（2x-1）（2x+a）≤0时取“=”），∴|a+1|≥6，解得：a≥5或a≤-7．故答案为：[-1，2]；（-∞，-7]∪[5，+∞）（1）由f（x）≤3得到|2x-1|≤3，求出x的范围即可；（2）利用双绝对值不等式|2x-1|+|2x+a|≥|（2x-1）-（2x+a）|=|a+1|≥6，解之即可求出a的范围．本题主要考查绝对值不等式解法、考查运算能力和书写表达能力，属于中档题．14.【答案】a n=2n，n∈N*．50【解析】解：由题意，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．当n=1时，a1=S1=12+1=2，符合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N*．∴b n=（-1）n（a n-2）=（-1）n（2n-2），设数列{b n}的前n项和为T n，则T50=b1+b2+b3+b4+b5+b6+…+b49+b50=0+2-4+6-8+10-…-96+98=2+（-4+6）+（-8+10）+…+（-96+98）=2+2×24=50．故答案为：a n=2n，n∈N*；50．本题应用公式a n=即可计算出数列{a n}的通项公式；然后计算出数列{b n}的通项公式，再运用分组求和法计算出数列{b n}的前50项和．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前n项和．考查了转化思想，分类讨论思想的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．15.【答案】【解析】解：由题意可知|AC|=2，|AB|=3，∠ACB=120°在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC||BC|cos∠ACB∴9=4+∴|BC|=-1-（舍）或|BC|=故答案为．先确定|AC|、|AB|和∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|BC|的值．本题主要考查余弦定理的应用，考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力．16.【答案】（，1]【解析】解：设函数f（x）=（a2-1）x2-（a-1）x-1．由题设条件关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R．可得对任意的x属于R．都有f（x）＜0．又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点．故满足故解得＜a＜1．当a=1时．f（x）=-1．成立．综上，a的取值范围为（，1]；故答案为：（，1]首先题目由不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围，考虑转化为函数f（x）=（a2-1）x2-（a-1）x-1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．此题主要考查二次不等式与二次函数的性质问题，对于二次不等式恒成立问题一般结合二次函数解答．17.【答案】【解析】解：由于且a n＞0，6S n=a n2+3a n，①，当n=1时，解得a1=3．所以②，①-②得：，故a n-a n-1=3（常数）．所以a n=3+3（n-1）=3n．故b n===．所以，由于，k≥T n恒成立，所以k的最小值为．故答案为：．首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，最后求出最值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：不等式的解集为B=[-0.5，3），（1）当a=3时，已知不等式x2-（a+1）x+a≤0的解集为A=[1，3]，A∩B=[1，3）；（2）不等式的解集A⊆B，当a＞1时，A=[1，a]，根据题意，a＜3，故1＜a＜3，当a=1时，A={1}，显然成立；当a＜1时，A=[a，1]，根据题意，a≥-0.5，故-0.5≤a＜1，综上，-0.5≤a＜3．【解析】（1）求出集合A，B，计算即可；（2）根据a对集合A进行讨论，分别求出即可．考查集合与集合的关系，集合的运算，含参问题的讨论，中档题．19.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，∴可得：，∵sin C＞0，∴=tan B=，∵0＜B＜π，∴B=…4分（Ⅱ）在△BCD中，∵=，∴=，∴sinθ=，…8分∵θ为钝角，∴∠ADC为锐角，∴cos∠ADC=cos（π-θ）==，∴在△ADC中，由余弦定理，可得：b===…12分【解析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan B=，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理可得=，解得sinθ=，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cos∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n-1）×3=3n．设等比数列{b n-a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n-a n=（b1-a1）q n-1=2n-1，∴b n=3n+2n-1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n-1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n-1．【解析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．21.【答案】解：（1）由a cos C+c cos A=．可得：sin A cos C+sin C cos A=（sin A+sin C）．∴sin（A+C）=sin B=（sin A+sin C）．∴2b=a+c．∵4sin A=3sin B，∴4a=3b，∴=．（2）若C=，且c-a=8，又2b=a+c，c2=a2+b2-2ab cos．∴a=6，b=10．∴△ABC的面积S=10×sin=15．【解析】（1）由a cos C+c cos A=．利用正弦定理、和差公式可得2b=a+c．由4sin A=3sin B，利用正弦定理可得4a=3b，即可得出结论．（2）若C=，且c-a=8，又2b=a+c，c2=a2+b2-2ab cos．联立解出即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）-ma1，解得a1=1．当n≥2时，a n=S n-S n-1=ma n-1-ma n．即（1+m）a n=ma n-1．∵m为常数，且m＞0，∴（n≥2）∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）解：由（1）得，q=f（m）=，b1=2a1=2．∵，∴，即（n≥2）．∴是首项为，公差为1的等差数列．∴，即（n∈N*）．（3）证明：由（2）知，则．所以T n=b12+b22+b32++b n2=，当n≥2时，，所以=．【解析】（1）当n≥2时根据a n=S n-S n-1化简整理得，根据等比数列的定义即可判断数列{a n}为等比数列．（2）由（1）可求得q和a1，进而求得b1，根据b n=f（b n-1）整理得即进而判断数列为等差数列，根据首项和公差，进而可得数列的通项公式．（3）根据（2）先可得出数列{b n2}的通项公式再根据，通过裂项法求和即可证明原式．本题主要考查了等比关系和等差关系的确定，及数列求和问题．裂项法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．。

2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=(1,2)，b=(x,1−x)，若a//b，则x=( )A. 2B. 13C. 3 D. 232.下列四个命题中正确的是( )A. 每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥3.已知复数z=(1−2i)(1+i)，其中i是虚数单位，则z的虚部是( )A. iB. −iC. −1D. 14.已知a，b为非零向量，且满足b⋅(a−b)=0，则a−2b在b上的投影向量为( )A. bB. −bC. 2bD. −2b5.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且(a+b)：(b+c)：(a+c)=12：13：15，则此三角形的最大角与最小角之和为( )A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π66.已知平面直角坐标系下，△ABC的三个顶点坐标为：A(1,1)，B(−1,2)，C(3,5)，若△ABC斜二测画法下的直观图是△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )A. 524B. 522C. 52D. 1027.如图所示，在▱ABCD中，点E为线段AD上的中点，点F为线段CD上靠近点C的三等分点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.则( )A. FT=16AB−14AD B. BD=35BE+45BFC. AB=3BR+4DTD. AD=3AB−4ER8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC上的中线、高线、角平分线长分别是m a，ℎa，l a，则下列结论中错误的是( )A. m a =12 2(b 2+c 2)−a 2B. l a =2bccos A 2b +c C. ℎa = (b +c )2−a 2⋅ a 2−(b−c )22aD. S △ABC = 2(a 2+b 2)c 2+(a 2−b 2)2−c 44二、多选题：本题共3小题，共18分。

浙江高一高中数学期中考试带答案解析

浙江高一高中数学期中考试带答案解析

浙江高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有（）（1）所有的正方体（2）温州市区内的所有大超市（3）所有的数学难题（4）出名的舞蹈家（5）某工厂2012年生产的所有产品（6）直角坐标平面坐标轴上所有的点A．(1)(3) (5)B．(1)(2)(4)C．(1)(5)(6)D．(2)(4)(6)2.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个3.设，则（）A．B．C．D．4.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．5.如图所示，函数的图像大致为（）6.若函数y=a x+b-1(a>0且a≠1 )的图象经过一、三、四象限，则下列结论中正确的是( )A．a>1且b<1B．0<a<1 且b<0C．0<a<1 且b>0D．a>1 且b<07.若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知函数的值域为，则（）A．B．C．D．9.若定义运算，则函数的最小值（）A．0B．1C．-1D．不存在10.定义域为R的函数满足条件:①；②；③.则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题1.2.函数则的值为3.老师在2012年初用4800元买了一台笔记本。

由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每过一年计算机的价格降低四分之一。

则2015年初老师这台笔记本还值元.4.已知,则。

（指出范围）5.若在区间上是增函数，则的取值范围是。

三、解答题1.（本题满分12分）已知函数的定义域为集合，.（1）若，求的取值范围；（2）若全集，，求及.2.（10分）知函数是定义在上的奇函数，且当时，+1．（1）计算，；（2）当时，求的解析式．3.(12分)已知是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足 ,（1）求证：＝1 (2) 求不等式的解集.4.（12分）函数＝（1）若集合中元素只有一个，求出此时的值。

2020-2021学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数i(2−i)的虚部为( )A. −2iB. 2iC. −2D. 22. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(4,2)，那么向量a ⃗ −b ⃗ 与a⃗ 的位置关系是( ) A. 平行 B. 垂直 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角3. 下列说法中正确的个数是( )①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； ②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面；③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台．A. 0B. 1C. 2D. 34. 设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=3+i ，则z 1z 2=( )A. 10B. −10C. −9+iD. −9−i5. 在△ABC 中，若3b =2√3asinB ，cosA =cosC ，则△ABC 形状为( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为( )A. 14B. 13C. 12D. 347. 已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 3B. 32 C. √3D. √328. 设G 是△ABC 的重心，且满足等式√7sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3√7sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则B 等于( ) A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′//y′轴，B′C′//x′轴，那么在原平面图形△ABC中()A. AB与AC相等B. AD的长度大于AC的长度C. AB的长度大于AD的长度D. BC的长度大于AD的长度10.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−2,4)，则()A. a⃗//b⃗B. (a⃗+b⃗ )⋅a⃗=−5C. 2|a⃗|=|b⃗ |D. b⃗ ⊥(a⃗−b⃗ )11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A. 若A>B，则sinA>sinBB. 若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形C. 若a=8，c=10，B=600，则符合条件的△ABC有两个D. 若acosB=√3，bsinA=3，则角B的大小为π312.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为V，A，B是底面圆周上的两个动点，则()A. 圆锥的侧面积为4πB. 圆锥的母线长为2C. △VAB可能为等腰直角三角形D. △VAB面积的最大值为√3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1.若(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则实数λ=．14.圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为______ ．15.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，z1+z2=√32+12i，则|z1−z2|=______ ．16.如图，三个全等的三角形△ABF、△BCD、△CAE拼成一个等边三角形ABC，且△DEF为等边三角形，若EF=2AE，则tan∠ACE的值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知m∈C，关于x的方程x2+mx+3+4i=0有实根，求复数m的模的最小值．18. 已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，(2a ⃗ −3b ⃗ )(2a ⃗ +b ⃗ )=61，(1)求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ； (2)求|a ⃗ +b ⃗ |；(3)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，求△ABC 的面积．19. 在△ABC 中，满足：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点． (Ⅰ)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值； (Ⅱ)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB|=|AC|=√2，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．20. 如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长1260米，经测量，cosA =1213，cosC =35．(1)求索道AB的长；(2)问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)求该最短路线的长及A1M的值；AM(3)三棱锥C1−ABM体积．22.已知△ABC中，AB=14，点M在线段BC上，∠AMC=π，BM=2√7．3(1)求AM的值；(2)若MC=√7，∠ACM=θ，求cos2θ的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数i(2−i)=1+2i的虚部为2，故选：D．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：a⃗−b⃗ =(−2,1)，∵−2×3−1×2≠0，∴a⃗−b⃗ 与a⃗不平行，又(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=−4+3=−1<0，∴a⃗−b⃗ 与a⃗的夹角是钝角．故选：D．可先求出a⃗−b⃗ =(−2,1)，从而可判断出a⃗−b⃗ 与a⃗不平行，然后可求出(a⃗−b⃗ )⋅a⃗<0，从而可得出a⃗−b⃗ 与a⃗的位置关系．本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；反例如图多面体，不是棱柱．所以①不正确；②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面；满足旋转体的定义，所以②正确；③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台．不正确，如果旋转轴是梯形的斜边，则旋转体不是圆台，所以③不正确；正确命题的个数是1个．故选：B．反例判断①；定义判断②；反例判断③．本题考查命题的真假的判断，空间几何体的应用，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+i，∴z2=−3+i，则z1z2=(3+i)(−3+i)=−10．故选：B．由已知条件看求出z2，然后代入z1z2计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为3b=2√3asinB，由正弦定理得3sinB=2√3sinAsinB，因为sinB>0，所以sinA=√3，2又cosA=cosC，所以A=C=π，3则△ABC形状为等边三角形．故选：A．由已知结合正弦定理进行化简即可直接求解．本题主要考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为2l，×2πr×2l=2πrl，则该圆锥的侧面积为S侧=12r，母线长为l，截得的小圆锥的底面半径为12其侧面积为S′侧=12×πr ×l =12πrl ，从而圆台的侧面积为S 圆台侧=S 侧−S′侧=2πrl −12πrl =32πrl ， 所以两者的面积之比为S′侧S 圆台侧=12πrl 32πrl =13． 故选：B ．设圆锥的底面半径为r ，母线长为2l ，计算该圆锥的侧面积以及截得的小圆锥的侧面积，求出圆台的侧面积，从而求出对应侧面积的比值．本题考查了圆锥侧面积的计算问题，也考查了空间想象能力和运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：设AP =x ，则PB =PC =2−x ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 在△APB 中由余弦定理可得cosA =1+x 2−(2−x)22x=2−32x，又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x2(4−2cosA)=2x −x(2−32x)=32． 故选：B ．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出结论． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：∵√7sinA GA⃗⃗⃗⃗⃗ +3sinB GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3√7sinC GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 设三角形的边长顺次为a ，b ，c ，根据正弦定理得：√7a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3√7c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 由点G 为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，3GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入上式得：√7a(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3b(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3√7c(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 又CA⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，上式可化为：√7a(2BA ⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3b(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3√7c(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 即(2√7a −3b −3√7c)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(−√7a −3b +6√7c)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 则有{2√7a −3b −3√7c =0①−√7a −3b +6√7c =0②，①−②得：3√7a =9√7c ，即a ：c =3：1， 设a =3k ，c =k ，代入①得到b =√7k ， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=9k 2+k 2−7k 22×3k×k=12，则B =π3=60°． 故选：B ．已知等式利用正弦定理化简，再根据G 为三角形重心，利用中线的性质及向量法则变形，求出a ，b ，c ，利用余弦定理表示出cos B ，即可确定出B 的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，在原图形中，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，则AB 与AC 相等，故A 正确；AB =AC >AD ，故B 错误，C 正确； BC 与AD 的大小不确定，故D 错误． 故选：AC ．由斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，数形结合得结论． 本题考查斜二测画法，熟记斜二测画法的步骤是关键，是基础题．10.【答案】ABC【解析】解：根据题意，向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−2,4)，依次分析选项：对于A，向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−2,4)，则b⃗ =−2a⃗，必有a⃗//b⃗ ，A正确；对于B，a⃗+b⃗ =(−1,2)，则(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=−1−4=−5，B正确；对于C，由A的结论可得b⃗ =−2a⃗，必有2|a⃗|=|b⃗ |，C正确；对于D，a⃗−b⃗ =(3,−6)，b⃗ ⋅(a⃗−b⃗ )=−6−24=−30，b⃗ 与(a⃗−b⃗ )不垂直，D错误；故选：ABC．根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于A：当A>B时，所以a>b，根据正弦定理2RsinA>2RsinB，整理得sinA>sinB，故正确；<0，对于B：若sin2A+sin2B<sin2C，则由正弦定理可得a2+b2<c2，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab可得C为钝角，则△ABC是钝角三角形，故正确；对于C：由于a=8，c=10，B=60°，利用余弦定理：b2=a2+c2−2accosB=64+100−2×8×10×1=84，解得b=2√21，可得△ABC有一解，故错误；2，对于D：由正弦定理可知bsinA=asinB=3，acosB=√3，可得tanB=√3，由于0<B<π，可得B=π3故正确．故选：ABD．直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理、余弦定理的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：设O为底面圆的圆心，则VO为圆锥的高，如图所示：设圆锥的母线为L，由底面半径为r=1，所以底面圆的周长为2πr=2π．其侧面展开图是一个半圆，则此半圆的半径为L，半圆弧长为πL=2π，解得L=2，选项B正确；π⋅L2=2π，选项A错误．所以侧面展开图的面积为：12由圆锥的轴截面是等腰△BVC，且顶角∠BVC=60°，所以△VAB不可能为等腰直角三角形，选项C错误；×2×2×sin60°=√3，所以选项D正确．当△VAB是轴截面时，面积取得最大值为12故选：BD．根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的母线长和侧面展开图的面积，以及圆锥的轴截面面积，即可得出结论．本题考查圆锥的结构特征，直线与平面所成角，侧面积以及截面面积的最值问题，是中档题．13.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则与向量垂直的关系，可列出关于λ的方程，解之即可．本题考查平面向量数量积的运算与向量垂直的关系，考查学生的运算能力，属于基础题．【解答】解：∵(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(λa⃗−b⃗ )⋅b⃗ =λa⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，即λ−1=0，解得λ=1．故答案为：1．14.【答案】3π4【解析】解：如图，∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32， ∴该圆柱的体积：V =Sℎ=π×(√32)2×1=3π4．故答案为：3π4．由已知推导出该圆柱底面半径r ，再由圆柱体积公式求解．本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是基础题．15.【答案】√3【解析】解：∵复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1+z 2=√32+12i ， ∴|z 1+z 2|=√(√32)2+(12)2=1， ∴|z 1−z 2|2=2(|z 1|2+|z 2|2)−|z 1+z 2|2=3，∴|z 1−z 2|=√3，故答案为：√3．根据要求复数的和的模长，对所求的结果平方，根据平方后|z 1|与|z 2|与|z 1−z 2|与|z 1+z 2|四者之间的关系，把要求的结果，变化为已知条件，求出结果．本题考查复数的模长的运算，属于基础题．16.【答案】√37【解析】解：如图，设∠ACE =α，EF =2AE =2x ，因为△ABF≌△BCD≌△CAE ，且△ABC 与△DEF 均为等边三角形，所以∠ACE =∠BAF ，所以∠ACE +∠CAE =∠CAE +∠BAF =60°，所以∠CAE =60°−α．结合EF =2AE =2x 可得CD =AE =x ，DE =EF =2x ，所以CE =3x ，在△ACE 中，由正弦定理得AE sin∠ACE =CE sin∠CAE ，即x sinα=3xsin(60∘−α)，即sin(60°−α)=3sinα，即√32cosα−12sinα=3sinα，所以√32cosα=72sinα，解得tanα=√37． 故答案为：√37． 如果设AE =x ，根据题意可知CD =AE =x ，EF =DE =2x ，且∠CAE +∠ACE =60°，由此在△ACE 中借助于正弦定理，构造出∠ACE 的方程，问题可解．本题考查正余弦定理的应用，以及学生运用方程思想解题的能力和运算能力．属于中档题．17.【答案】解：∵m ∈C ，∴设m =a +bi(a,b ∈R)，且x ∈R ，原方程整理得：(x 2+ax +3)+(bx +4)i =0，∴{x 2+ax +3=0bx +4=0，解得：a =−x −3x ，b =−4x ， ∴|m|=√a 2+b 2=√(−x −3x )2+(−4x )2=√x 2+25x 2+6≥4，当且仅当x =±√5时“=”成立，∴|m|的最小值是4．【解析】设m =a +bi ，根据对应关系分别表示出a ，b ，再结合基本不等式的性质求出|m|的最小值即可． 本题考查了复数的运算，考查基本不等式的性质以及对应思想，是中档题．18.【答案】解：(1)∵(2a ⃗ −3b ⃗ )(2a ⃗ +b ⃗ )=61，∴4|a ⃗ |2−4a ⃗ ⋅b ⃗ −3|b ⃗ |2=61，又|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，∴64−4a ⃗ ⋅b ⃗ −27=61，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−6，∴cosθ=a ⋅b |a||b|=−64×3=−12又0≤θ≤π，∴θ=2π3 (2)|a +b|=√(a +b)2=√|a|2+2a ⋅b +|b|2=√13(3)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ=2π3，∴∠ABC =π−2π3=π3又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=4，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3∴S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠ABC =12×4×3×√32=3√3【解析】(1)根据两个向量的数量积的值，把这两个向量展开写出有关向量的模长和数量积的表示式，得到两个向量的数量积，代入求夹角的公式得到夹角的余弦值，求出夹角．(2)利用模长公式做出求模长，这是一个公式的应用．(3)做出两个向量的夹角，做出三角形的内角，用正弦定理写出三角形的面积的表示形式，代入模长和夹角得到结果．本题考查向量的夹角模长和正弦定理的应用，本题解题的关键是对于所给的表示式的整理，得到要用的数量积．19.【答案】解：(I)设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴cosθ=(AB+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴cosθ=22√5a √5a =45； (II)∵|AB|=|AC|=√2，∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−x ，而OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosπ=−2x(1−x)=2x 2−2x =2(x −12)2−12，当且仅当x =12时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是−12．【解析】(I)利用向量的数量积公式变形，设向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，得到cosθ的值； (II)通过解三角形求出AM 的长，设OA 的长度为x ，得到OM =1−x ，利用向量的平行四边形法则得到OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量的数量积公式将OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示为x 的函数求最值．本题考查了利用向量的数量积公式解决向量的夹角问题以及数量积的坐标运算．20.【答案】(本题满分为10分)解：(1)∵在△ABC 中,cosA =1213,cosC =35，∴sinA =513,sinC =45，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosCsinA =6365，∴由正弦定理ABsinC =ACsinB,AB=ACsinCsinB=1040米，∴索道AB的长为1040m.…(5分)(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2=(130t)2+2500(t+2)2−2⋅130t⋅50(t+2)12 13=200(37t2−70t+50)=200[37(t−3537)2+62537},t∈[0,8],故当t=3537分时,甲乙的距离最短.…(10分)【解析】(1)根据正弦定理即可确定出AB的长；(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型，属于中档题．21.【答案】解：(1)正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为√62+22=2√10；(2)如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为√DC2+CC12=√42+22=2√5，∵△DMA≌△C1MA1，∴AM=A1M，故A1MAM=1；(3)由(2)知，M为AA1的中点，则AM=12AA1=1，∴S△ABM=12×2×1=1，C1到平面ABM的距离为C1到A1B1的距离等于√22−12=√3．∴三棱锥C1−ABM体积为13×1×√3=√33．【解析】(1)正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，直接可以求出对角线长；(2)将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，求出DC1和A1MAM的值即可；(3)由(2)求得AM，再求出三角形ABM的面积，求出C1到平面ABM的距离，代入棱锥体积公式得答案．本题考查棱柱的结构特征，考查多面体侧面展开图中的最值问题，训练了多面体体积的求法，是中档题．22.【答案】解：(1)知△ABC中，AB=14，点M在线段BC上，∠AMC=π3，BM=2√7．在△ABM中，利用余弦定理：cos∠AMB=2√7)222⋅AM⋅2√7=−12，解得AM=4√7，(2)在△AMC中，由余弦定理cos∠AMC=√7)2√7)222×4√7×√7=12，解得AC=√91，由正弦定理得：ACsin60∘=AMsinθ，解得sinθ=√1213，故cos2θ=1−2sin2θ=−1113．【解析】(1)直接利用余弦定理的应用求出AM的长；(2)利用余弦定理的应用求出AC的长，在利用正弦定理的应用和倍角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．。

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绝密★启用前2020年浙江省“金兰教育合作组织”高一下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知数列的前五项分别为13，12，35，23，57，则该数列的一个通项公式为（ ） A ．231nn - B ．2n n - C ．221nn - D ．2n n +2．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc >D ．a c b c ->-3．已知数列{}n a 中，112a =，且对任意的*n N ∈，都有111n n na a a +-=+成立，则2019a =（ ） A ．1B ．13C ．12D ．234．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，349a =，则{}n a 的前8项和等于（ ） A ．86(13)--- B ．81(13)9--C ．83(13)--D ．83(13)-+5．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．在上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若关于x 的不等式()()0x a x b -⊗->的解…………集为(2)3，，则a b+=（）A．1 B．2 C．4 D．57．在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是（）A．b=7，c=3，C=300B．b=5，c=，B=450C．a=6，b=B=600D．a=20，b=30，A=3008．等差数列{}n a的前n项和为n S，若公差0d>，()()8595S S S S--<，则（）A．78a a>B．78a a<C．78a a=D．7a=9．已知：0x>，0y>，且211x y+=，若222x y m m+>+恒成立，则实数m的取值范围是（）A．()4,2-B．(][),42,-∞-+∞C．()2,4-D．(][),24,-∞-⋃+∞10．在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sin cos sin cos4sinc A A a C C B+=，cos B=，已知D是AC上一点，且23BCDS∆=，则ADAC等于（）A．49B．59C．13D．23第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则c=______；12．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若310a=，450S=，则公差d=______；当n=______时，n S取到最大值.13．已知函数()21f x x=-，()()2g x x a a R=+∈，则不等式()3f x≤的解集为……外………………内…………______.14．已知数列{}n a 的前n 项的和为21n S n n =++，*(1)(2)()n n n b a n N =--∈，则数列{}n a 的通项公式为______；数列{}n b 的前50项和为______.15．已知A 船在灯塔C 北偏东80︒处，且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40︒处，且A ，B 两船的距离为3km ，则B 到C 的距离为______km .16．若对任意x ∈R ，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.17．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n N ∈，()()122121nnn a n a a b +=--，若任意*n N ∈，n k T >恒成立，则k 的最小值为______.三、解答题18．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A ，不等式2103x x +≤-的解集为B . （1） 当3a =时，求AB ；（2）若不等式的解集A B ⊆，求实数a 的取值范围.19．如图所示，ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cb=.（1）求角B 的大小；（2）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,5CD AD a ===，求sin θ与b 的值.20．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（2）求数列{}n b 的前n 项和.21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1cos cos ()2a C c A a c +=+. （1）若4sin 3sin A B =，求ca的值； （2）若23C π=，且8c a -=，求ABC ∆的面积. 22．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，都有()1n n S m ma =+-(m 为常数，且0)m >．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f m =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -==(2n ≥，*n N ∈)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2nb 的前n 项和8918nT<．参考答案1．D 【解析】 【分析】分析可得数列的前五项可为13,24,35,46,57,分别观察分子、分母的数的规律,进而求解即可. 【详解】通过观察,整理数列的前五项为13,24,35,46,57, 则分母为由3开始,每次递增1的连续的自然数；分母为由1开始,每次递增1的连续的自然数,所以该数列的一个通项公式为2nn +, 故选:D 【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式,属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除． 【详解】A 选项不正确，因为若0a =，1b =-，则不成立；B 选项不正确，若0c时就不成立；C 选项不正确，同B ，0c时就不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D ． 【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质． 3．C【解析】 【分析】 整理111n n n a a a +-=+为1211n n a a +=-++,即1211n na a ++=+,设1n nb a =+,易得数列{}n b 是周期为2的数列,即可求得2019b ,进而求解即可. 【详解】 由题,因为111n n n a a a +-=+,所以1211n n a a +=-++,即1211n na a ++=+, 设1n nb a =+,所以12n nb b +=,即12n n b b +=, 则212n n b b ++=,所以2n n b b +=,即数列{}n b 是周期为2的数列, 因为2019210091÷=,所以201911312b b a ==+=,即20192019312b a =+=,所以201912a =, 故选:C 【点睛】本题考查数列的周期性的应用,属于基础题. 4．C 【解析】试题分析：111303n n n n a a a a +++=∴=-，，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列．349a =，14a ∴=，由等比数列的求和公式可得，{}n a 的前8项和883(13)S -=-，故选C ．考点：1.数列的递推关系；2.等比数列. 5．B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 6．C 【解析】 【分析】根据定义，利用一元二次不等式的解法求不等式的解集． 【详解】∵x ⊗y ＝x （1﹣y ）， ∴（x ﹣a ）⊗（x ﹣b ）＞0得 （x ﹣a ）[1﹣（x ﹣b ）]＞0， 即（x ﹣a ）（x ﹣b ﹣1）＜0，∵不等式（x ﹣a ）⊗（x ﹣b ）＞0的解集是（2，3）， ∴x ＝2，和x ＝3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ﹣1）＝0的根， 即x 1＝a 或x 2＝1+b ， ∴x 1+x 2＝a +b +1＝2+3， ∴a +b ＝4， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用新定义列出不等式是解决本题的关键． 7．C 【解析】三角形ABC 中已知a b A ，，（A 为锐角），若 a b ≥ 或a bsinA = 则三角形有一个解.A 选项已知c b C ，，，,c b < 且sin c b c ≠；B 选项已知b c B ，，， ,b c <且sin b c B ≠；C 选项已知b a B ，，，,b a >所以有一个解；D 选项已知a b A ，，，,a b <且sin a b A ≠；故选C. 【点睛】已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论．可按如下步骤和方法进行： 例如已知a b A ，， ，（一）若A 为钝角或直角，当b a ≥ 时，则无解；当a b ≥ 时，有只有一个解； （二）若A 为锐角，结合下图理解. ①若a b ≥ 或a bsinA = ，则只有一个解. ②若bsinA a b ＜＜ ，则有两解. ③若a bsinA ＜ ，则无解.a bsinA ＜无解 a bsinA =一解 bsinA ab ＜＜两解 a b ≥一解也可根据a b ， 的关系及sin sin b AB a= 与1 的大小关系来确定. 8．B 【解析】 【分析】由题整理可得()()67867890a a a a a a a +++++<,利用等差数列的性质可得()7780a a a +<,再分别讨论70a >和70a <的情况即可.【详解】由题,因为()()85950S S S S --<,则()()67867890a a a a a a a +++++<,所以()778320a a a ⋅+<,即()7780a a a +<,因为0d >,当70a >时,80a >,则()7780a a a +>,不符合题意；当70a <时,因为()7780a a a +<,所以780a a +>,所以870a a >->,即87a a >, 故选:B 【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的单调性的应用,考查数列的前n 项和的定义. 9．A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题. 10．B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得22222222422b c a a b c c a a c b bc ab+-+-⋅⋅+⋅⋅=,整理可得4ac =,则32ABCS =,由于BCD ABCS CD AC S =,进而求解即可.【详解】由题,因为22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=,所以22222222422b c a a b c c a a c b bc ab+-+-⋅⋅+⋅⋅=,整理可得4ac =,则1133sin 42242ABCSac B =⋅=⨯⨯=, 因为23BCD S ∆=,所以451199BCD ABCS AD AC S =-=-=, 故选:B 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理化角为边,考查运算能力. 11．【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由题,根据正弦定理可得sin sin b cBC=,即212可得c =故答案为:【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,属于基础题. 12．5- 4或5 【解析】【分析】利用等差数列可得3141210434502a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩,即可求得1a 和d ,则n S 是关于n 的二次函数,进而求解即可,需注意n *∈N . 【详解】由题,因为等差数列{}n a ,所以3141210434502a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得1205a d =⎧⎨=-⎩, 所以()()()21115452052222n n n n n S na d n n n --=+=+⨯-=-+, 当92n =时取得最大值,因为n *∈N , 所以当4n =或5时,n S 取得最大值, 故答案为:5-；4或5 【点睛】本题考查等差数列的基本量,考查等差数列的前n 项和的最大值的满足条件. 13．[]1,2- 7a ≤-或5a ≥ 【解析】 【分析】解不等式()3f x ≤,即解213x -≤,即3213x -≤-≤,求解即可；由()()6f x g x +≥在R 上恒成立,则2126x x a -++≥,利用绝对值的几何意义,即21x -为点()2,0x 到点()1,0的距离；2x a +为点()2,0x 到点(),0a -的距离,则212x x a -++为点()2,0x 到点()1,0与到点(),0a -的距离之和,进而求解即可.【详解】由题,因为()3f x ≤,即213x -≤,则3213x -≤-≤,解得12x -≤≤,故解集为[]1,2-； 又()()6f x g x +≥在R 上恒成立,即2126x x a -++≥,由绝对值的几何意义可知2121x x a a -++≥+, 所以16a +≥,则16a +≥或16a +≤-, 解得5a ≥或7a ≤-,故答案为:[]1,2-；7a ≤-或5a ≥ 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查绝对值的几何性质的应用,考查不等式恒成立问题.14．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩49【解析】 【分析】当2n ≥,12n n n a S S n -=-=,验证1n =时是否符合条件,即可得到{}n a 的通项公式,代入n b 中,进而求解即可.【详解】由题,当2n ≥时,()()22111112n n n a S S n n n n n -=-=++-----=, 当1n =时,21111132a S ==++=≠,所以不符合,所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩,则()()1,1121,2nn n b n n -=⎧⎪=⎨--≥⎪⎩, 所以数列{}n b 的前50项和为()12122232424912123449122549-+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯=-+⨯-+-++=-+⨯=,故答案为:3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩；49【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查数列的和,考查运算能力.151 【解析】 【分析】由题作出图形,再利用余弦定理求解即可. 【详解】 由题,如图所示,则120BCA ∠=︒,2AC =,3AB =,所以根据余弦定理可得222222231cos 2222BC AC AB BC BCA BC AC BC +-+-∠===-⋅⨯,解得1BC =或1（舍）,故答案为1 【点睛】本题考查余弦定理在实际中的应用,考查作图能力,考查运算能力. 16．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，分别验证1a =或1-时，是否能保证该不等式满足对任意的实数x 都成立；2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，结合二次函数的性质，可解得此时a 值范围. 【详解】由题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，当1a =时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：10-<， 满足对任意的实数x 都成立，则1a =满足题意，当1a =-时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：20x -<， 不满足对任意的实数x 都成立，则1a =-满足题意，2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，要保证22(1)(1)10a x a x ----<实数x 都成立，必须有()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩可解得315a -<<， 综上可得3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 17．149【解析】 【分析】当2n ≥时,211163n n n S a a ---=+,与条件作差可得13n n a a --=,即可得到数列{}n a 是首项为3,公差为3的等差数列,即3n a n =,则()()313332111781812121n n n n n n b ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,再由裂项相消法求数列的和,进而求解即可. 【详解】由题,当2n ≥时,211163n n n S a a ---=+,则221116633n n n n n n S S a a a a ----=-+-,即2211633n n n n n a a a a a --=-+-,所以()()1130n n n n a a a a --+--=,因为0n a >,所以130n n a a ---=,即13n n a a --=,当1n =时,21111663S a a a ==+,所以13a =,所以数列{}n a 是首项为3,公差为3的等差数列,则()3313n a n n =+-=, 所以()()()()13333133322111111721217818121212121nnn a n n n n n n n n a a b ++++⎛⎫⎛⎫===⋅-=- ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭,所以1223111111117818181818181n n n T +⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭1111178181n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭111114978149n +=-⋅<-, 因为对任意*n N ∈,n k T >恒成立,所以k 的最小值为149, 故答案为:149【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查运算能力. 18．（1）{}|13A B x x ⋂=≤<（2）132a -≤< 【解析】 【分析】先求解不等式,可得1|32B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭, （1）当3a =时,{}|13A x x =≤≤,再由交集的定义求解即可； （2）由A B ⊆,判断a 与集合B 的端点的位置即可. 【详解】由题,因为()210x a x a -++≤,则()()10x a x --≤,因为2103x x +≤-,即()()213030x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩,所以132x -≤<,即集合1|32B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭,（1）当3a =时,()()310x x --≤,解得13x ≤≤,即{}|13A x x =≤≤, 所以{}|13A B x x ⋂=≤<（2）由题,当1a <时,{}|1A x a x =≤≤；当1a ≥时,{}|1A x x a =≤≤, 因为A B ⊆,所以132a -≤< 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查已知集合的包含关系求参数问题,考查解一元二次不等式和分式不等式.19．（1）30°；（2【解析】试题分析：(1)由题意求得tan 3B =，则30B =；(2)由题意可得sin θ=， 在ACD ∆中， cos 5ADC ∠=， 在ACD ∆中，由余弦定理b =试题解析：解：（1）由正弦定理可得sin cos sin C C B B=,所以tan B =,故30B =（2）在BCD ∆中，sin sin CB CD B θ=,所以sin θ=在ACD ∆中，由sin θ=,2πθπ<<,所以cos ADC ∠= 在ACD ∆中，由余弦定理的2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠即22222AC =+-所以b =20．（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212nn n ++-【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．21．（1）53（2）【解析】 【分析】先对1cos cos ()2a C c A a c +=+利用正弦定理可得()12b ac =+, （1）由正弦定理可得43a b =,即可求解；（2）由8c a -=可得48b ac a =+⎧⎨=+⎩,利用余弦定理可得a ,进而求解即可.【详解】因为1cos cos ()2a C c A a c +=+, 由正弦定理可得()1sin cos sin cos sin sin 2A C C A A C +=+, 即()()1sin sin sin 2A C A C +=+,所以()1sin sin sin 2B AC =+,即()12b a c =+, （1）因为4sin 3sin A B =,所以43a b =,由()1243b a c a b ⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得53a c =,即53c a = （2）由()128b ac c a ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得48b a c a =+⎧⎨=+⎩, 所以由余弦定理可得()()()222222481cos 2242a a a abc C ab a a ++-++-===-+,则6a =或4a =-（舍）,所以410b a =+=,sin 2C =,所以11sin 61022ABCSab C ==⨯⨯=【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化,考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用. 22．（1）证明过程见详解；（2）221n b n =-（*n N ∈）；（3）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）先由题意求出11a =；再由11n n n n n a S S ma ma --=-=-，即可证明数列是等比数列；（2）由（1）的结果得到，()1==+mq f m m，1122b a ==． 再由()1111n n n n b b f b b ---==+，得到1111n n b b -=+进而可求出结果； （3）先由（2）知221n b n =-，则22(241)=-n b n ,根据放缩法，与裂项相消，即可证明结论成立. 【详解】（1）证明：当1n =时，()1111a S m ma ==+-，解得11a =． 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-． 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥． ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列． （2）解：由（1）得，()1==+mq f m m，1122b a ==．∵()1111n n n n b b f b b ---==+，∴1111n n b b -=+，即1111n n b b --=()2n ≥． ∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列． ∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n N ∈）． （3）证明：由（2）知221n b n =-，则22(241)=-n b n ,所以2222123n n T b b b b =++++()2444492521n =++++-，当2n ≥时，()()24411222121n n n n n <=----，所以()2444492521nT n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4011899218n =+-<． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，以及裂项相消法求数列的和，属于常考题型.。

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