2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积分层演练直击高考文

2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积分层演练直击高考文1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________． [解析] S 底＝6×34×42＝243，S 侧＝6×4×6＝144，所以S 全＝S 侧＋2S 底＝144＋483＝48(3＋3)．[答案] 48(3＋3)2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________． [解析] 当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.[答案] 32π2＋8π或32π2＋32π3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． [解析] 由题意知，球的半径R ＝a2.所以S 球＝4πR 2＝πa 2.[答案] πa 2 4．以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为________．[解析] 命题①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题②对．命题③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．[答案] 15．(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．[解析] 设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，则圆锥的母线长为2r ，高为3r .由题意可知πr ×2r ＝4πR 2，即r ＝2R .所以V 圆锥V 球＝13πr 2×3r 43πR 3＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3＝34×(2)3＝62.[答案]626．(xx·苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝3，PA ＝4，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E ­PAB 的体积为________．[解析] 因为V E ­PAB ＝V P ­ABE ＝13S △ABE ×PA ＝13×12AB ×AD ×PA ＝13×12×2×3×4＝4.[答案] 47．(xx·江苏省高考名校联考(四))如图，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，上、下底面为平行四边形，E 为棱CD 的中点，设四棱锥E ­ADD 1A 1的体积为V 1，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．解析：由题意，将侧面ADD 1A 1作为四棱柱的底面，设顶点C 到平面ADD 1A 1的距离为2h ，因为E 为棱CD 的中点，所以E 到平面ADD 1A 1的距离为h ，所以V 1∶V 2＝VE ­ADD 1A 1∶VBCC 1B 1­ADD 1A 1＝13S 四边形ADD 1A 1h ∶S 四边形ADD 1A 1(2h )＝1∶6. 答案：1∶68.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．[解析] 如图，四棱锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以V ＝13Sh ＝13×1×22＝26.[答案]269．在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________．[解析] 易知AC ＝10.设底面△ABC 的内切圆的半径为r ，则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2，因为2r ＝4＞3，所以最大球的直径2R ＝3，即R ＝32.此时球的体积V ＝43πR 3＝9π2.[答案] 9π210．(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是________．[解析] 如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连结PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.[答案] 12011．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm 、18 cm ，侧棱长是13 cm ，求它的全面积． [解] 上底面周长为c ′＝3×8＝24 cm ， 下底面周长c ＝3×18＝54 cm ， 斜高h ′＝132－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－822＝12 cm ， 所以S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′＝12×(24＋54)×12＝468 cm 2，S 上底面＝34×82＝16 3 cm 2，S 下底面＝34×182＝81 3 cm 2，所以正三棱台的全面积为S ＝468＋163＋813＝(468＋973) cm 2.12.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1­B 1EDF 的体积．[解] 法一：连结A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连结B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H . 因为EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ， 所以A 1C 1∥平面B 1EDF .所以C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离．因为平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ， 所以O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高． 因为△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， 所以O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a . 所以VC 1­B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H ＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 法二：连结EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1­B 1EDF ＝VB 1­C 1EF ＋VD ­C 1EF ＝13S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3.1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为________．[解析] 如图，在正三角形SAB 中，AB ＝2，SO ＝3，OB ＝1，O 1O ＝32， 圆台的体积为V ＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)＝13π×32⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12×1＋1＝73π24. [答案] 73π242．(xx·江苏省高考命题研究专家原创卷(五))《九章算术》第五章《商功》记载：今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？此处圆堡瑽即圆柱体，其意思是：有一个圆柱体的底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π的值取3，估算该圆堡瑽的体积为________立方尺．(注：一丈等于十尺)解析：设该圆柱体底面圆的半径为r 尺，则由题意得2πr ＝48，所以r ≈8，又圆柱体的高为11尺，故该圆堡瑽的体积V ＝πr 2h ≈2 112立方尺．答案：2 1123．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．解析：如图，设球的半径为R ，因为 ∠AOB ＝90°，所以S△AOB ＝12R 2.因为 V O ­ ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，所以当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ­ ABC 最大，所以当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ­ ABC 最大为13×12R 2×R ＝36， 所以R ＝6，所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π. 答案：144π4．已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都等于2，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则三棱柱的侧面积为________．[解析] 如图所示，设点D 为BC 的中点，则A 1D ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以A 1D ⊥BC ，因为△ABC 为等边三角形， 所以AD ⊥BC ，又AD ∩A 1D ＝D ，AD ⊂平面A 1AD ，A 1D ⊂平面A 1AD ， 所以BC ⊥平面A 1AD ， 因为A 1A ⊂平面A 1AD ， 所以BC ⊥A 1A .又因为A 1A ∥B 1B ，所以BC ⊥B 1B .又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2， 所以四边形BB 1C 1C 是正方形，其面积为4. 作DE ⊥AB 于E ，连结A 1E ，则AB ⊥A 1E ， 又因为AD ＝22－12＝3，DE ＝AD ·BD AB ＝32， 所以AE ＝AD 2－DE 2＝32，所以A 1E ＝AA 21－AE 2＝72， 所以S 四边形ABB 1A 1＝S 四边形AA 1C 1C ＝7， 所以S 三棱柱侧＝27＋4. [答案] 27＋45．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a . (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积．[解] (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连结BP 、EP 、CP ，得到AD ⊥平面BPC ，所以V A ­BCD ＝V A ­BPC ＋V D ­BPC ＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC ·AD ＝13·12·a ·a 2－x 24－a 24·x＝a 12（3a 2－x 2）x 2≤a12·3a 22＝18a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝62a 时取等号.所以该四面体的体积的最大值为18a 3.(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ， 所以S 表＝2×34a 2＋2×12×62a ×a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24＝23＋154a 2. 6．把边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？[解] 由题图可知，箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x 2(0<x <a )， 箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h ＝18ax 2－18x 3(0<x <a )．由V ′(x )＝14ax －38x 2＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )<0， 所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值，这个极大值就是函数V (x )的最大值： V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3＝154a 3.所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.。