22章二次函数单元备课
九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计 教案
第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。
2019年最新人教版初三数学上册第22章 二次函数 全单元教案
22．1.1 二次函数教学目标1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式．2．会利用二次函数的概念解决问题．3．列二次函数表达式解决实际问题．教学过程一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(米2)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的有关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)1x2－1是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】确定二次函数中待定字母的取值如果函数y ＝(k ＋2)xk 2－2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？解析：紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k ＋2≠0的条件． 解：根据题意知⎩⎨⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得⎩⎨⎧k ＝±2，k ≠－2，∴k ＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax 2＋bx ＋c . 【类型三】求函数值当x ＝－3时，函数y ＝2－3x －x 2的值为________．解析：把x ＝－3直接代入函数的表达式得y ＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2. 方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．【类型四】确定自变量的取值当x ＝________时，函数y ＝x 2＋5x －5的函数值为1.解析：令y ＝1，即x 2＋5x －5＝1，解这个一元二次方程得x 1＝－6，x 2＝1.即x ＝－6或1. 方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程．直接转化为关于自变量的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值．探究点二：列二次函数的解析式一个正方形的边长是12cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1)cm 的小长方形．剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数？ (2)当x 的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144，∴y是x的二次函数．(2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2.方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)，化简，注意要求出自变量x的取值范围．解：由题意，得：y＝(60－x－40)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，自变量x的取值范围为0≤x<20.方法总结：销售利润＝单位商品利润×销售数量；商品利润＝售价－进价．三、板书设计教学反思教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质教学目标1．会用描点法画出y ＝ax 2的图象，理解抛物线的概念． 2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象和性质，并会应用．教学过程一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】图象的识别已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2的图象开口向上，函数y ＝ax 图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图象开口向下，函数y ＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【类型二】实际问题中图象的识别已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为( )解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h ＝12gt 2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义． 探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质 【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小； (2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2，(2)由图象可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y ＝(m ＋3)xm 2＋3m －2是关于x 的二次函数．(1)求m 的值；(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎨⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值．(2)图象的开口向下，则m ＋3＜0； (3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎨⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎨⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值． (4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式【类型一】利用图象确定y ＝ax 2的解析式一个二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标． 解析：直线与函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎨⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1.(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32，解得a＝－13，∴抛物线的函数关系式为y＝－13x2.(2)当x＝1时，y＝－13×12＝－13.∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)．方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．三、板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．教学过程一、情境导入在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )(2014·广西河池)已知点(xA．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1 1＞y2，所以选项D是正确的．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【类型三】识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.【类型四】确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2怎样得到的？解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c ＝3.∴y ＝－5x 2＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．探究点二：二次函数y ＝ax 2＋k 的应用【类型一】y ＝ax 2＋k 的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ＜0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是________．解析：二次函数y ＝ax 2＋c 与y 轴的交点为(0，c )，因此OA ＝c ，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B (－c 2，c 2)、C (c 2，c 2)，因为C (c 2，c2)在函数y ＝ax 2＋c 的图象上，将点C 坐标代入关系式即可求出ac 的值．解：∵y ＝ax 2＋c 与y 轴的交点为(0，c )，四边形ABOC 为正方形，∴C 点坐标为(c 2，c2)．∵二次函数y ＝ax 2＋c 经过点C ，∴c 2＝a (c2)2＋c ，即ac ＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性． 【类型二】二次函数y ＝ax 2＋k 的实际应用如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m ，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解：(1)∵y ＝－15x 2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y ＝－15x 2＋72中，当y ＝3.05时，3.05＝－15x 2＋72，解得x ＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x ＝1.5.又当y ＝2.25时，2.25＝－15x 2＋72，解得x ＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x ＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．三、板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质，体会抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 之间联系与区别.第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质教学目标1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2的图象．2．掌握形如y ＝a (x －h )2的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的联系．教学过程一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质 【类型一】y ＝a (x －h )2的图象与性质的识别已知抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．解：∵抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a ＝2，∴a ＝12.方法总结：抛物线y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)，对称轴是直线x ＝h . 【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2增减性的判断对于二次函数y ＝9(x －1)2，下列结论正确的是( )A ．y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞－1时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大解析：由于a ＝9＞0，抛物线开口向上，而h ＝1，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D. 【类型三】确定y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的关系能否向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9－h )2，所以h＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h 个单位后，a 不变，括号内变“减去h ”；若向左平移h 个单位，括号内应“加上h ”，即“左加右减”．【类型四】y ＝a (x －h )2的图象与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点的坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，解方程组⎩⎨⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝8，y ＝8.∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)．∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12OC ×8－12OC ×2＝12.方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的． 三、板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．教学过程一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y ＝x 2－2x －1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y ＝x 2－2x －1化为y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的形式，就会很快求出二次函数y ＝x 2－2x －1的顶点坐标及对称轴．解：y ＝x 2－2x －1＝x 2－2x ＋1－2＝(x －1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x ＝1.当x ＝1时，y 最小值＝－2.方法总结：把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)化成y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质(2014·山东聊城)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，x ＝－1是对称轴，有下列判断：①b －2a ＝0；②4a －2b ＋c <0；③a －b ＋c ＝－9a ；④若(－3，y 1)，(32，y 2)是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解析：∵－b2a ＝－1，∴b ＝2a ，即b －2a ＝0，∴①正确；∵当x ＝－2时点在x 轴的上方，即4a－2b ＋c >0，②不正确；∵4a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－4a －2b ，∵b ＝2a ，∴a －b ＋c ＝a －b －4a －2b ＝－3a －3b ＝－9a ，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y 1)到对称轴x ＝－1的距离小于点(32，y 2)到对称轴的距离，即y 1>y 2，∴④正确．综上所述，选B. 方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴是x ＝－b2a；当x ＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式(2014·贵州铜仁)将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合(2014·吉林长春)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110 (x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学目标1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．教学过程一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a ＞0，又a ＞0，所以b ＜0；由抛物线与x 轴交点的横坐标是1，得a ＋b ＋c ＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a ＞0、b ＜0、c ＜0，可得abc ＞0；由－b 2a＜1、a ＞0，可得2a ＋b ＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a －b ＋c ＝2，又a ＋b ＋c ＝0，两式相加得2a ＋2c ＝2，所以a ＋c ＝1；由a ＋c ＝1，c ＜0，可得a ＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号．开口向上，a ＞0；开口向下，a ＜0.②根据顶点所在象限可以确定b 的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a 、b 异号；顶点在第二、三象限，－b2a ＜0，由此得a 、b 同号．再由①中a 的符号，即可确定b 的符号．【类型二】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质(2014·广西南宁)如图，已知二次函数y ＝－x 2＋2x ，当－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．－1＜a ≤1C ．a ＞0D ．－1＜a ＜2解析：抛物线的对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y 随x的增大而增大，∴a ≤1.∵－1＜x ＜a ，∴a >－1，∴－1<a ≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a ＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a ＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别(2014·贵州遵义)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )解析：∵A 图和D 图中直线y ＝ax ＋b 过一、三、四象限，∴a ＞0，b ＜0，∴抛物线y ＝ax 2＋bx的开口向上，对称轴x ＝－b2a ＞0，∴选项A 错，选项D 正确；B 图和C 图中直线y ＝ax ＋b 过二、三、四象限，∴a ＜0，b ＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x ＝－b2a＜0，∴选项B ，C 错．故选择D. 方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的平移(2014·浙江丽水)在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x －3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A ．(－3，－6)B ．(1，－4)C ．(1，－6)D ．(－3，－4)解析：二次函数y ＝2x 2＋4x －3配方得y ＝2(x 2＋2x )－3＝2(x 2＋2x ＋1－1)－3＝2(x ＋1)2－5，将抛物线y ＝2(x ＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x ＋1－2)2－5＝2(x －1)2－5，再将抛物线y ＝2(x －1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x －1)2－5－1＝2(x －1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向上平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2＋k ，向下平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2－k ；向左平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x ＋h )2；向右平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x －h )2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎨⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6.三、板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式教学目标1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．教学过程 一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k )，对称轴方程为x ＝h ，极值为当x ＝h 时，y 极值＝k 来求出相应的数．【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y ＝2x 2－4x ＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y ＝2x 2－4x ＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x 2－2x ＋1)－1＝2(x －1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y ＝2(x ＋2)2－3.即y ＝2x 2＋8x ＋5.方法总结：抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的图象向左平移m (m >0)个单位，向上平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －h ＋m )2＋k ＋n ；向右平移m (m >0)个单位，向下平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －h －m )2＋k －n .【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数y ＝2x 2－12x ＋5，求该函数图象关于x 轴对称的图象的解析式．。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
（1）完成课本第22章练习题1、2、3，要求学生熟练掌握二次函数的定义、图像性质、顶点式与标准式的转换。
（2）利用图形计算器或计算机软件，绘制几个典型二次函数的图像，观察并分析开口方向、顶点、对称轴、最值等性质。
2.实际问题应用：
（3）结合生活实际，编写一道关于二次函数的应用题，要求学生将实际问题抽象为二次函数模型，并求解。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握二次函数的定义，能够准确地识别和描述二次函数的一般形式，即f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2.使学生理解二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点、最小（大）值等，并能够利用这些性质解决相关问题。
2.教学方法：采用情境导入法，通过生活实例激发学生的兴趣，引导学生从实际问题中发现数学规律。
3.教学步骤：
a.展示生活中抛物线运动的图片或视频，让学生观察并描述其运动轨迹。
b.学生分享观察到的运动轨迹特点，教师引导总结出抛物线的一般形式。
c.提问：“这些运动轨迹都可以用一个数学模型来描述，你们知道是什么吗？”由此引出二次函数的定义。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在现实生活中的广泛应用和价值。
2.通过二次函数的学习，让学生感受到数学的对称美和秩序美，培养他们的审美情趣。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了应对考试，更重要的是为了解决实际问题，为我国的社会发展做出贡献。
3.教学步骤：
a.将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如二次函数的性质、图像特点等。
人教版九年级数学22章二次函数全章教案
第二十二章二次函数分析与教学建议（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时 ，具体安排如下：22．1节 二次函数…………………………7课时22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3实际问题与二次函数…………………3课时教学活动 小结及测试…………………3课时（三）、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。
人教版九年级上册 第22章 二次函数全章教案
3、y=ax2向左平移h个单位得到函数_____y=ax2向右平移h个单位得到函数________
三、教学指导：
探索y=a(x-h)2的图像性质
y=a(x-h)2
开口
对称轴
顶点坐标
函数y的最值
a>0
a<0
3.抛物线y=-3x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，他的解析式是什么？指出它的开口方向，顶点坐标，对称轴，极值情况？
三、教学指导：
探索y=a(x-h)2+k的图像性质
抛物线
开口
对称轴
顶点
y=a x2
a>0向上
a<0向下
Y轴
(0,0)
y=ax2+k
同上
Y轴
(0,k)
y=a(x-h)2
当a<O时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点。反映了当a<O时，函数y=ax2的性质:当x<0时，函数值y随x的增大而增大； 与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x= 0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。
C、m,n是常数,且m≠n D、m,n为任何实数
（二）中标题
5.一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
（三）爬坡题
6.y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》教案
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.4.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.【教学重点】结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.【教学难点】1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t ，第三年产量为20(1+x)(1+x)t ，得到y=20（1+x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.思考函数y=6x 2，m=12n 2-12n,y=20x 2+40x+20有哪些共同点？ 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a ≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax 2,二次项系数则仅是指a 的值；同样，一次项与一次项系数也不同.教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=21x -2x+1;(4)y=1-3x 2.2.若y=(m+1)xm 2+1-2x+3是y 关于x 的二次函数，试确定m 的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系m=162-2x ，试写出商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x （元)之间的函数关系式，y 是x 的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式（不要求写自变量n 的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x 2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x)+3x 2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵()21123m y m x x +=+-+是y 关于x 的二次函数.∴m+1≠0且m 2+1=2,∴m≠-1且m2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30)即y=-3x2+252x-4860由此可知y是x的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.3.通过画出简单的二次函数y=x2，y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.4.使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入，初步认识问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.二、思考探究，获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论叙述较好的给予肯定，对不够完整的或叙述欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3（1）在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后回答，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：（1）a 的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；（2）对于函数的增减性及最大（小）值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，则a= .2.下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的是（）A.它的图象的顶点是原点B.当a<0，在x=0时，y取得最大值C.a 越大，图象开口越小;a 越小，图象开口越大D.当a>0，在x>0时，y 随x 的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y 1=x 和y 2=-x 2的图象，结合图象，指出当x 取何值时，y 1>y 2；当x 取何值时，y 1<y 2.4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点（-1，14）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）根据图象指出，当x>0时，若x 增大，y 怎样变化？当x<0时，若x 增大，y 怎样变化？（4）当x 取何值时，y 有最大（或最小）值，其值为多少？【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步体现数形结合的思想.【答案】1.42.C 【解析】当a>0时，a 值越大，开口越小，a 值越小，开口越大；当a<0时，a 值越大，开口越大，a 值越小，开口越小.所以C 项说法不对.3.列表如下：如图所示：根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1<x<0时，y2>y1.4.解：（1）设这个二次函数解析式为y=ax2,将（-1，14）代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.四、师生互动，课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪部分没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.4.通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.5.在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.一、情境导入，初步认识问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？【教学说明】问题1既是复习旧知识，同时又为解决本节知识起到抛砖引玉的作用.学生的回答也许形式多样，教师适时诱导，并设疑，为后面的解惑作铺垫.二、思考探究，获取新知问题1在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？【教学说明】在学生自主操作时，教师应指导它们在画平面直角坐标系时的单位长度要稍大一些，如选取0.8cm或1cm为一个单位长度为好，这样学生们所画出的图形才有可能清晰些.教师应巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.问题2（教材第33页练习）在同一直角坐标中，画出下列二次函数的图象y=12x2，y=12x2+2，y=12x2-2，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=12x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y=12x2有什么关系？【教学说明】设计问题2，一方面进一步增强学生的画图能力，另一方面加深学生的感性认识，从而形成对二次函数y=ax2+k的图象及其性质的初步认识.同伴间应相互交流，教师巡视指导，然后完成课本第33页练习.【归纳结论】1.二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象通过上、下平移得到.2.y=ax2与y=ax2+k的性质如下：三、运用新知，深化理解1.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向平移得到的.2.已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.【教学说明】针对本节所学内容及学生掌握的情况，设计训练题1，2，目的是加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题.教师在这个过程中要予以诱导.【答案】略四、师生互动，课堂小结本环节师生共同回顾所学知识，如y=ax2+k的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.第2课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.4.通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.5.在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.【教学重点】1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.【教学难点】利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.一、情境导入，初步认识我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=12(x-2)2的图象是否可以由函数y=12x2的图象经过平移而得到呢？二、思考探究，获取新知问题在同一坐标系中画出二次函数y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y=-12x2, y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的关系.【教学说明】在教学过程中，学生独立思考后，合作完成.教师巡视指导，针对学生在画图、探究过程中可能出现的错误给予指正，对好的给予表扬，并展示其图象，在合作交流过程中探索出抛物线y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2与y=-12x2的联系.【归纳结论】函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象及其性质如下表：三、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节知识，设计了以下几道题，及时了解学生运用新知解决问题的能力，查漏补缺.1.抛物线y=3(x-3)2的开口方向是向，对称轴是，顶点是.2.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0），它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的，则a= ,h= .【教学说明】这两道题可采用抢答的形式来处理，可适当让学生说明其解题思路或依据.【答案】1.上x=3 (3,0)2.-2-3四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？同伴间可相互交流.2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？3.课本第35页练习.【设计及教学说明】对所给两个问题的思考，让学生亲历知识的自主建构，不断完善自己的知识结构.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.4.通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.5.进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.【教学难点】1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.一、情境导入，初步认识问题将抛物线y=-12x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？【教学说明】学生通过对前两节课所学习的上、下平移和左、右平移规律的回顾与思考，在尝试解决问题的过程中，可增强他们的学习兴趣，激发求知欲望，也为新知识的学习做好铺垫.学生们可相互交流，教师对其结论可暂不作评价.二、思考探究，获取新知问题1 画出二次函数y=-12(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-12x2，及抛物线y=-12（x+1）2，y=-12x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a ≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【教学说明】教师可给予15~20分钟的时间让学生自主探究，画出图象，并让学生们交流，获得感性认识.教师巡视，鼓励每个学生积极参与进来，针对个别同学，应适时予以点拨.如果条件允许，对学生的成果可通过多媒体展示.【归纳结论】1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k ＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k 左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.【教学说明】1.通过探究，师生共同交流，达成共识后，教师在黑板上与学生一道进行归纳，了解并掌握本课时知识.2.此时教师可对问题情境中的问题1作出评价，让学生体验成功的快乐.3.归纳结论完成后，教师引导学生做第37页练习，可让学生采取举手抢答的形式进行.三、典例精析，掌握新知例（教材第36页例4）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a(3-1)2+3,解得a=-34.因此y=-34(x-1)2+3（0≤x≤3）.当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.【教学说明】教师讲解此例时，可向学生提问：（1）坐标系的原点为什么建立在池中心点？（2）自变量的取值范围为什么是0≤x≤3？（3）设函数解析式有什么诀窍？四、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节所学知识，通过几道小题进行演练，巩固所学新知识，并依据学生的完成情况，教师可适时予以查漏补缺.1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是，当x 时，函数值y随x的增大而增大.2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物线与x轴的另一个交点是.3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是.4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-12(x+1)2+3.（1）试确定a,h,k的值；（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.5.将抛物线y=2(x-1)2+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向.【教学说明】第1，2题较为简单，可采用抢答形式来处理，第3小题应引导学生设出所求的二次函数表达式为y=a(x-h)2+k的形式，第4、5题为选做题，教师可根据教学实际选择做或不做.五、师生互动，课堂小结1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？2.如果解抛物线的顶点坐标（或对称轴或最低点等），要想确定该抛物线表达式，如何设出这个表达式更有利于求解呢？【设计及教学说明】问题1侧重于所学知识回顾，而问题2侧重于应用，为后继学习做好铺垫.教学时，教师应予以评讲.1.布置作业：教材习题22.1第5题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.4.通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.5.经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.一、情境导入，初步认识问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.问题2你知道二次函数y=12x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.。
山东省无棣县鲁北高新技术开发区实验学校九年级数学：第二十二章二次函数单元备课$872870
第二十二章二次函数单元备课课程标准单元目标①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
②会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单的实际问题。
④会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似值。
⑤知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数解析式。
单元教学目标1.知识技能①理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，知道二次函数中字母的意义，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
②会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性；理解系数a、b、c对二次函数图像的影响，并能根据二次函数的图像判断a、b、c、b2-4ac、a±b+c、4a±2b+c、9a±3b+c的符号。
③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h) 2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单的实际问题。
④会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似值。
理解二次函数与方程（组）、不等式（组）的关系。
2.过程与方法①通过用二次函数表述实际问题中的数量关系，体会模型思想，建立符号意识。
②在研究二次函数的图像与性质过程中注意体现类比、数形结合和归纳的思想，从特殊到一般，循序渐进，力图使学生不仅学到知识，而且在知识的学习过程中不断提高学习的能力。
③重视知识之间的联系。
通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，展示二次函数与方程的联系，深化对方程的认识，又可以用函数解决方程的相关问题。
3.情感态度（德育目标）通过现场观察生活实例、搜集数据信息、综合实践活动等方式让学生经历分析实际问题中的两个变量之间的关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识，提高实践能力，感悟数学来源于生活实践、服务于生产实践的理性精神。
初中九年级数学上册《第二十二章 二次函数》大单元整体课时教学设计
初中九年级数学上册《第二十二章二次函数》大单元跨学科教学课时教学设计[2022课标]一、教学目标1.会用数学的眼光观察现实世界：通过本章《第二十二章二次函数》的学习，学生能够运用二次函数的知识观察体育与物理现象中的运动轨迹和变化规律，如铅球投掷的抛物线轨迹、竖直上抛运动中小球的高度变化等，从而发现数学与现实生活及学科的紧密联系。
2.会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用二次函数的性质（如开口方向、顶点坐标、对称轴等）和解析式，分析体育和物理问题中的量化关系，如通过调整参数来优化运动效果或模拟实验现象，培养逻辑思维和问题解决能力。
3.会用数学的语言表达现实世界：学生能够将体育和物理中的问题抽象成二次函数模型，建立相应的数学表达式，并通过计算、推导和论证，用准确的数学语言描述和解释这些现象，最终得出科学结论。
二、教学内容分析本章主要探讨二次函数的定义、图象、性质以及应用，是初中数学知识体系中的重要组成部分。
从学科内部来看，二次函数的学习是在一次函数基础上的深化和拓展，通过本章的学习，学生能够理解并掌握二次函数的基本概念、图象特征以及增减性，为后续学习一元二次方程、二次不等式等内容打下坚实基础。
从跨学科角度来看，二次函数在体育、物理等领域有着广泛的应用。
在体育项目中，如投掷、跳跃等，运动员的运动轨迹往往可以抽象为二次函数图象，通过二次函数的解析式可以精确描述运动员的运动状态，为训练提供科学依据。
在物理学中，二次函数模型被广泛应用于描述抛体运动、振动等自然现象，有助于学生理解自然界中复杂运动的本质规律。
在本章的教学过程中，教师应注重引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，通过跨学科的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和实践能力。
结合体育、物理等学科的实例，让学生深刻体会到数学知识在解决实际问题中的重要作用，提升数学学习的价值和意义。
三、教学重点1.理解并掌握二次函数的定义、图像及基本性质。
人教版九年级数学上第22章二次函数22.2二次函数的图象和性质教案
举例：求解实际问题，如物体抛掷运动中的高度与时间的关系，运用二次函数性质求解最大高度。
2.教学难点
（1）理解二次函数图象的对称性，尤其是顶点的对称性质；
难点解析：学生容易混淆对称轴和图象的对称性，需要通过具体例题和图象演示，强调顶点的对称性质。
（2）理解二次函数的增减性及最值，掌握函数的最大值和最小值出现在顶点；
举例：分析函数y=-3x^2+6x-2的增减性，说明当x=1时，函数取得最大值，最大值为1。
（3）掌握二次函数图象与系数的关系，了解a、b、c对图象的影响；
举例：讨论a、b、c对函数y=ax^2+bx+c图象的影响，如a决定开口方向，b影响对称轴位置，c影响图象与y轴的交点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数图象的基本概念。二次函数图象是由二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的解集在坐标平面上的表示。它是研究物体运动、工程结构等领域的重要数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数图象在物体抛掷运动中的应用，以及如何帮助我们计算最大高度等问题。
最后，通过本次教学，我认识到在教授二次函数图象和性质这一章节时，需要注重以下几点：
1.强化基础知识，让学生熟练掌源自二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等概念；
2.突破教学难点，通过对比、举例等方法，帮助学生理解二次函数的增减性和最值；
3.注重实践应用，引入更多生活实例，提高学生学以致用的能力；
4.培养学生独立思考能力，引导他们在讨论中提出自己的观点和想法；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等概念。对于难点部分，如增减性、最值等，我会通过具体例题和图象分析来帮助大家理解。
初中数学人教版九年级上册：第22章《二次函数》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．(一)教师组织合作学习活动：1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．(1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．三、做一做1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝x2(2)y＝－1x2(3)y＝2x2－x－1(4)y＝x(1－x)(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y＝x2＋1(2)y＝3x2＋7x－12(3)y＝2x(1－x)3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第41页第1，2题.22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．难点画二次函数y＝ax2的图象．一、引入新课1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y＝3x－1(2)y＝2x2＋7(3)y＝x－2(4)y＝3(x－1)2＋12．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．二、教学活动活动1：画函数y＝－x2的图象．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．(2)提出问题：它的形状类似于什么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．不同点：开口大小不同．(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质图象(草图) 开口方向顶点对称轴最高或最低点最值a＞0当x＝____时，y有最____值，是________.a＜0当x＝____时，y有最____值，是________.活动4：达标检测(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小．(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．二次函数的图象都是抛物线．2．二次函数y＝ax2的图象性质：(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．作业布置教材第32页练习．22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．重点从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．一、复习引入二次函数y＝ax2的图象和特征：1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)．二、合作学习在同一坐标系中画出函数y＝12x2，y＝12(x＋2)2，y＝12(x－2)2的图象．(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2图象之间的关系1．结合学生所画图象，引导学生观察y ＝12(x ＋2)2与y ＝12x 2的图象位置关系，直观得出y ＝12x 2的图象――→向左平移两个单位y ＝12(x ＋2)2的图象．教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如： (0，0)――→向左平移两个单位(－2，0)； (2，2)――→向左平移两个单位(0，2)； (－2，2)――→向左平移两个单位(－4，2)．②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程． 2．用同样的方法得出y ＝12x 2的图象――→向右平移两个单位y ＝12(x －2)2的图象．3．请你总结二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象． 函数y ＝a(x －h)2的图象的顶点坐标是(h ，0)，对称轴是直线x ＝h.4．做一做 (1)(2)填空：①抛物线y ＝2x 2向________平移________个单位可得到y ＝2(x ＋1)2；②函数y ＝－5(x －4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．四、探究二次函数y ＝a(x －h)2＋k 和y ＝ax 2图象之间的关系1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．首先引导学生观察比较y ＝12(x ＋2)2与y ＝12(x ＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y ＝12(x＋2)2的图象――→向上平移3个单位y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示) 再引导学生观察刚才得到的y ＝12x 2的图象与y ＝12(x ＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y ＝12x 2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝12(x ＋2)2＋3的图象． 2．做一做：请填写下表：函数解析式 图象的对称轴图象的顶点坐标y ＝12x 2 y ＝12(x ＋2)2 y ＝12(x ＋2)2＋33.总结y ＝a(x －h)2＋k 的图象和y ＝ax 2图象的关系y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象――→当k ＞0时，向上平移k 个单位当k ＜0时，向下平移|k|个单位y ＝a(x －h)2＋k 的图象．y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标是(h ，k)． 口诀：(h ，k)正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小．4．练习：课本第37页 练习五、课堂小结1．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和函数y ＝ax 2图象之间的关系．2．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质． 六、作业布置教材第41页 第5题22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(2课时)第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．重点通过图象和配方描述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质． 难点理解二次函数一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的配方过程，发现并总结y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的内在关系．一、导入新课1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．3．二次函数y＝12x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、教学活动活动1：通过配方，确定抛物线y＝12x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？(1)组织学生分组讨论，教师巡视；(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x 的增大有什么变化规律？(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．活动5：检测反馈1．填空：(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________.2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝12；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－13，(－13，－13)；(2)开口向下，x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c＝3.三、课堂小结与作业布置课堂小结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．作业布置教材第41页第6题．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．重点二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．难点利用图象观察性质．一、复习引入1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．2．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．二、例题讲解例1根据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．例2已知函数y＝x2－2x－3，(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．例3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：系数的符号图象特征a的符号a>0 抛物线开口向____a<0 抛物线开口向____的符号－b2a－b2a>0 抛物线对称轴在y轴的____侧b＝0 抛物线对称轴是____轴－b2a<0 抛物线对称轴在y轴的____侧c的符号c>0 抛物线与y轴交于____c＝0 抛物线与y轴交于____c<0 抛物线与y轴交于____三、课堂小结本节课你学到了什么？四、作业布置教材第40页练习1，2.22.2二次函数与一元二次方程1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．3．会用计算方法估计一元二次方程的根．重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．难点二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．一、复习引入1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：(1)顶点坐标与对称轴；(2)位置与开口方向；(3)增减性与最值．当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x＝－b2a时，函数y有最小值4ac－b24a.当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－b2a时，函数y有最大值4ac－b24a.二、新课教学探索二次函数与一元二次方程：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x ＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．举例：求二次函数图象y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的交点A ，B 的坐标．结论：方程x 2－3x ＋2＝0的解就是抛物线y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1，x 2，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别是A(x 1，0)，B(x 2，0)．例1 已知函数y ＝－12x 2－7x ＋152，(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；(2)自变量x 在什么范围内时，y 随着x 的增大而增大？何时y 随着x 的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．三、巩固练习请完成课本练习：第47页1，2四、课堂小结二次函数与一元二次方程根的情况的关系． 五、作业布置教材第47页 第3，4，5，6题.22.3 实际问题与二次函数(2课时)第1课时 用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题． 难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型． 2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a ＞0时，图象开口向________，当a ＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w 最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用． 二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S 最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l 表示另一边？提问3：面积S 的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？答案：0＜x ≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．2．阅读教材第52～54页．五、课堂小结与作业布置课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题．。
新人教版数学九年级上 第二十二章 二次函数单元备课
教学设计理念
●教学设计理念
从实际问题出发将抽象的符号言语和直观的图象语言有机的结合起来。通过具有一定的思考价值的问题，激发学生的求知欲望和好奇心。课堂活动中通合作探究、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。在教学过程中努力做到师生互动，重视总结反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习研究数学的方法。
二次函数
人教版 九年级上册 第二十二章
备课环节
1.单元课标解读
2.单元教材分析
3.单元学习目标
4.单元主要情境任务设计
5.教学设计理念
6.学生学情分析
7.学习任务分析
8.本单元知识结构
9.教学策略制定
单元课标解读
●单元课标解读
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 ②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
●单元课标解读
增加的内容： （1）理解函数值的意义。 （2）知道二次函数和一元二次方程之间的关系。删除的内容： “知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”的内容。调整的内容： 将“结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例，改为”了解函数的概念和表示法。能举出函数的实例。 将“会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h)²+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题“改为“能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。知道二次函数系数与图象形状的对称轴的关系。会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题
人教版九年级上册数学22章二次函数教案
第二十二章 二次函数 22．1 二次函数的图象和性质22．1.1 二次函数1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．▲重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念． ▲难点1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系． 2．重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．◆活动1 新课导入1．一次函数的一般形式：__y ＝kx ＋b(k ≠0)__． 2．正比例函数的一般形式：__y ＝kx(k ≠0)__．3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间有什么关系呢？通过本节课的学习我们将能知道y 与x 的关系，并能用式子把它们之间的关系表达出来，下面就让我们进入本节课的学习．◆活动2 探究新知 1．教材P 28 问题1. 提出问题：(1)“n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛”，比赛的总场次是n(n －1)场，还是12n(n －1)场，为什么？(2)式子m ＝12n 2－12n ，m 是n 的函数吗？为什么？学生完成并交流展示． 2．教材P 28 问题2. 提出问题：(1)问题中前后两年的产量间存在怎样的关系？(2)原产量为20 t ，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？ (3)对式子y ＝20(1＋x)2，y 是x 的函数吗？(4)教材中的函数①，②，③有什么共同特征？它们是一次函数吗？它们应该属于几次函数？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳我们把形如y ＝__ax 2＋bx ＋c__(其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数．其中x 是自变量，a 为__二次项系数__，b 为__一次项系数__，c 为__常数项__．强调以下几个问题：(1)关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数．◆活动4例题与练习例1判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.例2已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数？(2)函数是二次函数？解：(1)当m＝－3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数；(2)当m≠±3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．例3某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5 500(0＜x≤11)．练习1．教材P29练习第1，2题．2．下列说法中，不正确的是(D)A．二次函数中，自变量的取值范围一般是全体实数B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数C．y＝13(x＋1)(2x－1)是二次函数D．在函数y＝2－3x2中，一次项系数为23．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝__－1__，一次项系数b＝__－2__，常数项c＝__1__．4．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．解：根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝－2，即m的值为－2.◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．请叙述二次函数的定义及一般形式．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0. 3．自变量x的取值范围为全体实数．1．作业布置(1)教材P41习题22.1第1，2题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线的有关概念．2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ax2的解析式．3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．▲重点1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质．2．能确定二次函数y＝ax2的解析式．▲难点1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质．2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题．◆活动1新课导入1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条经过(0，b)的直线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__过原点的直线__．2．描点法画出一次函数的步骤：分别为__列表__、__描点__、__连线__三个步骤．3．我们把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函数叫做二次函数．◆活动2探究新知1．教材P29～30.提出问题：(1)同学们回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？(2)对函数y＝x2，请完成下表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……(3)请描绘出表中各点，画出y＝x2的图象；(4)你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？学生完成并交流展示．2．教材P30例1.提出问题：(1)你能在同一直角坐标中画出函数y＝12x2与y＝2x2的图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象；x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y＝12x2……x …－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y＝2x2……(2)观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？(3)你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？学生完成并交流展示．3．教材P31探究．提出问题：(1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象吗？请同学们在草稿纸上尝试画出它们的图象；(2)你画出的图象与图22.1－5中的图象相同吗？仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？(3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c.2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__(0，0)__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，|a|越大，抛物线的开口__越小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点，|a|越大，抛物线的开口越__小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__．◆活动4例题与练习例1已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值为2或－4；(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴m＋2＞0，解得m＞－2，∴m＝2；(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，∴m＋2＜0，解得m＜－2，∴m＝－4.例2二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1，∴点P的坐标为(1，1)．将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1；(2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．练习1．教材P32练习．2．抛物线y＝3x2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；抛物线y＝－14x2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__．3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1__＜__y2.4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是__0__．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．如何画出函数y＝ax2的图象？2．函数y＝ax2具有哪些性质？1．作业布置(1)教材P41习题22.1第3，4题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．能画出二次函数y＝ax2＋k的图象．2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．3．掌握二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．▲重点1．二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．2．二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．▲难点二次函数y＝ax2＋k的性质的基本应用．◆活动1新课导入1．画函数图象利用描点法，其步骤为__列表__、__描点__、__连线__．2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛物线__，当a>0时，它的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__；当x＝__0__时，y取最__小__值．当a<0时又会有什么变化呢？◆活动2探究新知教材P32例2.提出问题：(1)观察图22.1－6，图中红色、蓝色抛物线分别是哪一个函数的图象？中间黑色虚线抛物线又是哪一个函数的图象？(2)学生们观察图象，回答：①抛物线y＝2x2＋1与y＝2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？②抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么位置关系？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：函数解析式顶点坐标对称轴开口方向增减性y＝ax2(a≠0) (0，0)y轴当a＞0时，抛物线开口向__上__；当a＜0时，抛物线开口向__下__.当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴右侧，y随x的增大而__增大__；当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴右侧，y随x的增大而__减小__.y＝ax2＋k(a≠0) (0，k)2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移__|k|__个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下__平移__－k __个单位长度得到抛物线y ＝ax 2＋k.◆活动4 例题与练习例1 指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． (1)y ＝－13x 2＋4；(2)y ＝2x 2－3.解：(1)y ＝－13x 2＋4的图象开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，4)，当x ＝0时，有最大值y ＝4；(2)y＝2x 2－3的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，－3)，当 x ＝0时，有最小值y ＝－3.例2 直接写出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2－1的函数解析式： (1)经过点(－3，2)；(2)与y ＝12x 2的开口大小相同，方向相反；(3)当x 的值由0增加到2时，函数值减少4. 解：(1)y ＝13x 2－1；(2)y ＝－12x 2－1；(3)y ＝－x 2－1.例3 能否适当地上下平移抛物线y ＝15x 2，使得到的新图象经过点(5，－2)？若能，请你求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：设平移y ＝15x 2的图象后经过点(5，－2)的图象的函数解析式为y ＝15x 2＋k ，则有－2＝15×52＋k ，解得k ＝－7，故经过点(5，－2)的函数解析式为 y ＝15x 2－7，即把抛物线y ＝15x 2向下平移7个单位长度．练习1．教材P 33 练习．2．对于二次函数y ＝－35x 2＋3，下列说法中错误的是( B )A ．最大值为3B ．图象与y 轴没有交点C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．其图象关于y 轴对称3．已知抛物线y ＝4x 2＋2上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2的大小关系是( C ) A ．y 1＜y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2 D ．无法确定4．抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位长度得到抛物线y ＝－3x 2＋2，则a ＝__－3__，c ＝__4__． ◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质．2．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象之间的关系．1．作业布置(1)教材P 41 习题22.1第5题(1)； (2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质1．能画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象．2．了解抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝a(x －h)2的联系． 3．掌握二次函数y ＝a(x －h)2的图象特征及其简单性质．▲重点1．掌握二次函数y ＝a(x －h)2的图象及性质．2．二次函数y ＝ax 2与y ＝a(x －h)2的图象之间的联系． ▲难点运用二次函数y ＝a(x －h)2的性质解决实际问题．◆活动1 新课导入1．画函数图象利用描点法，其步骤为__列表__、__描点__、__连线__．2．二次函数y ＝x 2＋3的图象是一条__抛物线__，它的开口向__上__，对称轴是__y 轴__，顶点坐标是__(0，3)__；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__增大__；当x ＝__0__时，y 取最__小__值．◆活动2 探究新知 1．教材P 33 探究． 提出问题：(1)抛物线y ＝－12(x ＋1)2与y ＝－12(x －1)2的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？两抛物线的开口大小有什么关系？(2)抛物线y ＝－12(x ＋1)2与y ＝－12(x －1)2之间有什么关系？学生完成并交流展示．2．若抛物线y ＝a(x －h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，则a ，h 的值各是多少？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．二次函数y ＝a(x －h)2(a ≠0)的图象性质：开口方向：当a>0时，开口向__上__，当a<0时，开口向__下__；顶点是__(h ，0)__，对称轴是__x ＝h__；最值：当a>0时，有__最小值y ＝0__，当a<0时，有__最大值y ＝0__；增减性：当a>0且x>h 时，y 随x 的增大而__增大__，x<h 时，y 随x 的增大而__减小__；当a<0且x>h 时，y 随x 的增大而__减小__，x<h 时，y 随x 的增大而__增大__．2．y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2的图象有如下关系： y ＝ax 2――→h>0，向右平移 h 个单位h<0，向左平移 |h| 个单位y ＝a(x －h)2.3．由抛物线y ＝ax 2的图象通过平移得到y ＝a(x －h)2的图象，左右平移的规律是(四字口诀)__左加右减__． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状__相同__，只是__开口方向__不同，且|a|越大，开口__越小__．◆活动4 例题与练习例1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝15x 2得到抛物线y ＝15(x ＋4)2和y ＝15(x －4)2.解：将抛物线y ＝15x 2向左平移4个单位长度得到抛物线y ＝15(x ＋4)2，向右平移4个单位长度得到抛物线y ＝15(x －4)2. 例2 已知二次函数y ＝a(x －h)2，当x ＝2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，－3)，求此二次函数的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而增大．解：依题意，得h ＝2，∴y ＝a(x －2)2.∵点(1，－3)在抛物线上，∴a ＝－3，∴y ＝－3(x －2)2，当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．练习1．教材P 35 练习．2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x ＝－2的是( A ) A ．y ＝(x ＋2)2 B ．y ＝2x 2－2 C ．y ＝－2x 2－2 D ．y ＝2(x －2)23．已知点A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在抛物线y ＝－13(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 3＜y 1＜y 2__．4．已知一抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求的抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3的形状相同，开口方向相反，∴其二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．2．二次函数y ＝a(x －h)2的图象和二次函数y ＝ax 2的图象之间的关系．1．作业布置(1)教材P 41 习题22.1第5题(2)； (2)《名师测控》对应课时练习． 2．教学反思第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象． 2．掌握抛物线y ＝ax 2与y ＝a(x －h)2＋k 之间的平移规律．3．依据具体问题情境建立二次函数y ＝a(x －h)2＋k 模型来解决实际问题．▲重点二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象及其性质． ▲难点1．二次函数y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的平移关系． 2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．◆活动1 新课导入 1．填空：函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y ＝2x 2 向上 y 轴或x ＝0 (0，0) 最小值0 y ＝－x 2＋2 向下 y 轴或x ＝0 (0，2) 最大值2 y ＝3x 2－5 向上 y 轴或x ＝0 (0，－5) 最小值－5 y ＝0.5(x －6)2 向上 x ＝6 (6，0) 最小值0 y ＝－8(x ＋4)2向下x ＝－4(－4，0)最大值02.把抛物线y ＝－2x 2向左平移1个单位长度得到的抛物线是( A ) A ．y ＝－2(x ＋1)2 B ．y ＝－2(x －1)2 C ．y ＝－2x 2＋1 D ．y ＝－2x 2－1 ◆活动2 探究新知 1．教材P 35 例3. 提出问题：(1)函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象与函数y ＝－12x 2的图象有什么关系？函数y ＝－12(x ＋1)2－1有哪些性质？(2)请在坐标系中画出函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象，并将它与函数y ＝－12x 2和y ＝－12x 2－1的图象作比较，抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1可以由抛物线y ＝－12x 2经过怎样的变换得到？根据图象，你能指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？(3)请依据上述问题中的发现，说说抛物线y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)通过怎样的平移而得到的？你能由此归纳出y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象的性质吗？学生完成并交流展示．2．已知点A(1，y 1)，B(－2，y 2)，C(－2，y 3)在函数y ＝a(x ＋1)2＋k(a ＞0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是什么？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状__相同__，位置__不同__．把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据__h ，k__的值决定．2．思考：(1)抛物线y ＝a(x －h)2＋k 有如下特点：①当a ＞0时，开口向__上__；当a ＜0时，开口向__下__；②对称轴是x ＝__h__；③顶点坐标是__(h ，k)__；(2)从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而__减小__，当x ＞h 时，y 随x 的增大而__增大__；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而__增大__，当x＞h时，y随x的增大而__减小__．◆活动4例题与练习例1对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个例2把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝12(x＋1)2－1的图象．(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)原二次函数的解析式为y＝12(x＋1－2)2－1－4，即y＝12(x－1)2－5，∴a＝12，h＝1，k＝－5；(2)它的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－5)．练习1．教材P37练习．2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是(B)A．m＞1B．m＞0C．m＞－1D．－1＜m＜03．已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y3＞y1＞y2__．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和二次函数y＝ax2的图象之间的关系．1．作业布置(1)教材P41习题22.1第5题(3)；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．会用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．▲重点用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质解决简单问题．▲难点通过配方将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并得到其性质．◆活动1 新课导入1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？解：开口向下，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大．当x ＝2时，有最大值1.2．函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系？解：函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象是由函数y ＝－4x 2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．◆活动2 探究新知 1．教材P 37 思考． 提出问题：(1)把二次函数y ＝12x 2－6x ＋21化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式；(2)写出二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)画出y ＝12x 2－6x ＋21的图象；(4)观察图象，回答：①抛物线y ＝12x 2如何平移得到抛物线y ＝12x 2－6x ＋21?②二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的y 随x 的增减性如何？学生完成并交流展示．2．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 提出问题：(1)你能用上面的方法讨论二次函数y ＝－x 2＋2x －3的图象和性质吗？(2)思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？(3)你能由此总结归纳出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象和性质吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．如何画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象？一般地，先用配方法求抛物线的顶点坐标：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，则抛物线的对称轴为__x ＝－b 2a __，顶点坐标为__⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a __.2．思考并完成下表：函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)开口方向 a ＞0，开口__向上__ a ＜0，开口__向下__对称轴 __x ＝－b2a __顶点坐标__⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a __最大(小)值当x ＝－b2a 时，y 最小值＝__4ac －b 24a__当x ＝－b2a 时，y 最大值＝__4ac －b 24a__增减性当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而__减小__；x ＞－b2a时，y 随x 的增大而__增大__x ＜－b2a时，y 随x 的增大而__增大__；x ＞－b2a时，y 随x 的增大而__减小__◆活动4 例题与练习例1 求二次函数y ＝－12x 2＋x －52的顶点坐标及对称轴．解：顶点坐标为(1，－2)，对称轴为x ＝1.例2 把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线y ＝－12x 2，求原来的抛物线的解析式．解：抛物线y ＝－12x 2先向上平移6个单位长度，得到抛物线y ＝－12x 2＋6，再将抛物线y ＝－12x 2＋6向左平移4个单位长度，得到抛物线y ＝－12(x ＋4)2＋6，即y ＝－12x 2－4x －2.练习1．教材P 39 练习．2．已知二次函数y ＝2x 2－mx ＋8，当x ＜－3时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时，y 的值为__22__．◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：(1)当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程； (2)当a ，b ，c 比较复杂时，可直接用公式来确定： 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴为x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a .2．解决二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的平移问题时，应先将它化为y ＝a(x －h)2＋k 形式后进行．1．作业布置(1)教材P 41 习题22.1第6，7题； (2)《名师测控》对应课时练习． 2．教学反思第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．学会用待定系数法求抛物线的解析式．2．熟练地根据二次函数的不同性质选择适当的方法求解析式．▲重点用待定系数法求二次函数的解析式． ▲难点由条件灵活选择解析式类型．◆活动1 新课导入1．正比例函数图象经过点(1，3)，该函数解析式是__y ＝3x__．2．在直角坐标系中，直线l 过(1，3)和(3，1)两点，求直线l 的函数解析式． 解：设直线l 的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．把(3，1)，(1，3)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝1，k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.∴直线l 的函数解析式为y ＝－x ＋4.3．一般地，函数解析式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数解析式．例如：我们确定正比例函数y ＝kx(k ≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式，需要几个条件呢？◆活动2 探究新知 1．教材P 39 探究．(1)回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式的关键是什么？(2)如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，同学们能仿照求一次函数的解析式的步骤求出这个二次函数的解析式吗？(3)解三元一次方程的方法是什么？ 学生完成并交流展示．2．已知抛物线的顶点坐标为(1，－1)，过原点，求抛物线的解析式． 提出问题：(1)图象顶点为(h ，k)的二次函数的解析式是什么？如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？ (2)如何设解析式？(3)如果已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤是什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．求二次函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c ，需要求出__a ，b ，c__的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于__a ，b ，c__的方程组，求出__a ，b ，c__的值，就可以写出二次函数的解析式．2．利用待定系数法求二次函数解析式时，一般可以分以下几种情况： (1)顶点在原点，可设为y ＝ax 2；(2)对称轴是y 轴(或顶点在y 轴上)，可设为y ＝ax 2＋k ； (3)顶点在x 轴上，可设为y ＝a(x －h)2； (4)抛物线过原点，可设为y ＝ax 2＋bx ；(5)已知顶点(h ，k)时，可设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ； (6)已知抛物线上三点时，可设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ；(7)已知抛物线与x 轴两交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)时，可设交点式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．◆活动4 例题与练习例1 已知二次函数经过(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝4，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－32，c ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－12x 2－32x ＋3.例2 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(0，2)，(1，0)，(2，0)三点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2. ∴二次函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2. 练习1．教材P 40 练习第1，2题．2．已知函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象顶点是(1，3)，则b ，c 的值是( B ) A ．b ＝2，c ＝－2 B ．b ＝2，c ＝2 C ．b ＝－2，c ＝2 D ．b ＝－2，c ＝－23．已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，则这个二次函数的解析式为__y ＝x 2＋2x －5__．4．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y ＝a(x －1)2－6.∵函数图象过点(2，－8)，∴a(2－1)2－6＝－8，解得a ＝－2，∴此二次函数的解析式为y ＝－2(x －1)2－6.◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．熟练掌握求二次函数解析式的基本方法． 2．灵活选择方法求解析式．1．作业布置(1)教材P 42 习题22.1第10，11题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.2二次函数与一元二次方程1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想．▲重点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．▲难点一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系．◆活动1新课导入1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是__x＝1__．2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__x＝－2__．3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．◆活动2探究新知1．教材P43问题．提出问题：(1)小球的飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m？就是要判断哪一个一元二次方程是否有解？(2)请将函数h＝20t－5t2化成顶点式，并解释小球飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m；(3)为什么小球飞行高度达到15 m有两个时间，而飞行高度达到20 m只有一个时间，请从方程和函数角度分别给出解释；(4)请结合本问题谈谈二次函数与一元二次方程的关系．学生完成并交流展示．2．教材P44思考．提出问题：(1)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2＋x－2与x轴有几个公共点？它们的横坐标分别是什么？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此得出方程x2＋x－2＝0的根为多少？(2)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有几个公共点？公共点的横坐标是多少？当x为多少时，函数值是0？由此得出方程x2－6x＋9＝0的根为多少？(3)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2－x＋1与x轴有没有公共点？由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？(4)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系吗？学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可得如下结论：(1)如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标为x 0，那么当x ＝x 0时，函数值是0，因此x ＝x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的三种情况：无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根．◆活动4 例题与练习 例1 教材P 46 例．例2 如图，已知直线y ＝－12x 与抛物线y ＝－14x 2＋6交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)－14x 2＋6＞－12x 的解集为______________；(3)－14x 2＋6＜－12x 的解集为______________．解：(1)A(6，－3)，B(－4，2)； (2)－4＜x ＜6； (3)x ＜－4或x ＞6例3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，请根据图象信息回答问题：(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集； (3)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝2.5的两根； (4)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＜2.5的解集；(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＋1－k ＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)x 1＝0，x 2＝4；(2)x ＜0或x ＞4；(3)x 1＝－1，x 2＝5；(4)－1＜x ＜5；(5)k ＞－1. 练习。
第22章 二次函数教案
单元备课一、单元名称：二次函数二、单元知识分析“二次函数”这章主要要求学生在掌握好原来的一次函数、正比例函数的基础上，进一步学习二次函数的初步知识。
本章采用由简入繁的方式对各种形式的二次函数进行了系统的学习。
尤其与旧教材不同的是，加入了函数的平移，从而对函数的图像进行了更深入的理解。
对二次函数的表达式问题中，要求了三种形式，而且对二次函数表达式的确定要求的也非常具体。
对二次函数与一元二次方程的关系中，也与旧教材有鲜明的对比。
在这一节中，一直采用探究的形式对一元二次方程的根的情况和二次函数进行对比、研究。
最后，对二次函数的应用部分，教材中大胆采用了前几年的部分中考题，让人感到紧跟中考方向。
另外，从题目的难度看，虽然比旧教材的题目减少了，但是题目的难度却有增无减，这给教师的教和同学们的学都是一个大的考验。
三、单元教学目标1.知识与技能：让学生掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。
2.过程与方法：通过学习和探究会分析简单的二次函数的有关问题。
3.情感态度价值观：要让学生认识到轴对称图形的美感，并理解二次函数的应用之广泛。
四、单元教学重点难点重点：1.掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。
2.学会分析简单的二次函数的有关问题。
难点1、二次函数与一元二次方程的关系。
2、二次函数的应用题。
五、单元课时安排(共13课时）22.1 二次函数的图象和性质 7课时22.2 二次函数与一元二次方程 1课时22.3 实际问题与二次函 2课时小结 3课时课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案。
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 全章复习 教案
第22章二次函数全章复习教案【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)20()y ax bx c a =++≠,,a b c (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题2yax bx c =++利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式例题1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即，也就是，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则，解得．∴ 抛物线的解析式为，即． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)． 把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得，∴ 抛物线的解析式为， 即．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，2(3)2y a x =--2692y ax ax a =-+-2692y ax ax a =-+-12||6x x -==29a =22(3)29y x =--22493y x x =-2(3)2y a x =--29a =22(3)29y x =--22493y x x =-把(3，-2)代入得，解得．∴ 抛物线的解析式为，即．举一反三【变式】已知抛物线（m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得，∴，∴抛物线的顶点坐标为．（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴．∵，∴是完全平方数．∵， ∴，∴取1，4，9，．当时，；当时，；当时，． ∴的值为2或或．∴抛物线的解析式为或或．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号例题2. 如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）3(36)2a ⨯⨯-=-29a =2(6)9y x x =-22493y x x =-2442y mx mx m =-+-155m <<x 0≠m 2242=--=-=mm a b x m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m )2,2(-x 02442=-+-m mx mx 2x ==±0m >2x =2m155m <<22105m <<2m2x ==±21m =2=m 24m =21=m 29m =29m =m 21296822+-=x x y x x y 2212-=22810999y x x =--A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c ，由②可知﹣c=OA ，而当x=OA 是方程的根，∴x=﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C ．类型三、数形结合例题3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数的图象上，且MO ＝MA ，二次函数的图象经过点A 、M．334y x =+32y x =2y x bx c =++(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．【答案与解析】(1)一次函数，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)，又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M的纵坐标为，又M 在上，当时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为．如图所示，．(2)将点A(0，3)，代入中，得 ∴即这个二次函数的解析式为：．(3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，，．334y x =+334y x =+3232y x =32y =31,2⎛⎫⎪⎝⎭AM ==31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2y x bx c =++3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+25(,3)2C n n n -+3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则|AB|＝3-m ，，．因为四边形ABCD 是菱形，所以．所以 解得（舍去）将n ＝2代入，得，所以点C 的坐标为（2，2）．类型四、函数与方程例题4.某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000，解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得：w=（x ﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．213||4D C DC y y n n =-=-5||4AD n =||||||AB DC AD ==2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩113,0;m n =⎧⎨=⎩221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+2C y =【答案】由题意得 把②代入①得. ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程必有两个相等的实数根， ∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1) (2). (3). (4)方法1：方程的解， 即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出， 当时，直线与抛物线有两个交点，∴． 方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， ∴ ∴ ∴ ，即， ∴. ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论例题5．若函数，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．B ．4C ．或4D ．4或【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论.【答案】D ；【解析】由题意知，当时，，∴ ．(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．类型六、与二次函数有关的动点问题例题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩228x +=x =2>x =x =【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，≤m＜0．。
人教版九年级数学上册第22章二次函数全章复习1优秀教学案例
5.教学策略灵活多样：本案例结合学科特点和学生的实际情况，采用多种教学策略，如情景创设、问题导向、小组合作等，使教学过程丰富多样，提高学生的学习兴趣和参与度。同时，教师注重个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在学习过程中都能得到有效的提升。
3.注重学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的评价标准；
4.鼓励学生自我评价和相互评价，培养他们的自我意识和团队精神；
5.定期进行课堂评价和学业评价，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些与二次函数相关的实际问题，如抛物线运动的轨迹、物体运动的最高点等，激发学生的学习兴趣；
在二次函数的复习中，我首先引导学生回顾二次函数的基本概念、性质和图象，使他们能够清晰地了解二次函数的构成和特点。接着，我通过设计一些具有代表性的例题，让学生掌握二次函数的求解方法和应用技巧。同时，我还注重培养学生的数学思维能力，引导他们从不同的角度去分析和解决问题。
在教学过程中，我充分关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在复习过程中都能得到有效的提升。对于学有余力的学生，我引导他们深入研究二次函数的拓展问题，提高他们的学科素养；对于基础薄弱的学生，我则耐心地帮助他们巩固基础知识，提高他们的学习信心。
2.通过展示二次函数图象，让学生观察和分析图象的形状、变化规律，引导他们发现二次函数的性质；
3.教授二次函数的求解方法，如配方法、公式法等，并通过例题让学生掌握求解技巧；
新人教版 数学 第22章 二次函数 整章教案
教学时间课题22.1 二次函数（2）课型新授课教学目标知识和能力使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
过程和方法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程情感态度价值观培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
教学难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
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小结 2课时
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
5.知道给定不共线三点的坐标可以确定个二次函数
单元重点、难点
教学重点：1.理解二次函数概念
2.探索二次函数y＝ax2（a≠0）和y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质
3.理解二次函数与一元二次方程的关系及求二次函数的关系式
4.通过对实际问题的情境分析，确定二次函数的表达式，以及运用二次函数的知识解决的实际问题
教学难点：1.从实际问题中列出二次函数表达式
2.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与y＝ax2（a≠0）的图象的关系及运用图象探索其性质。
单元课时计划
本章共安排三个小节教学时间约需12课时，具体分配如下：
22.1 二次函数 6课时
22.2 二次函数与一元二次方程 1课时
22.3 实际问题与二次函数 3课时
第二十二章二次函数单元备课
课题
二次函数
单元目标
1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义
2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题