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年益阳市中考数学试题及答案

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2022年湖南省益阳市中考数学试卷(解析版)

2022年湖南省益阳市中考数学试卷(解析版)

2022年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8小题，每题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕〔2022•益阳〕四个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是〔〕A．﹣2 B．0C．﹣D．1考点：实数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．解答：解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，∴四个实数中，最大的实数是1．应选D．点评：此题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．〔4分〕〔2022•益阳〕以下式子化简后的结果为x6的是〔〕A．x3+x3B．x3•x3C．〔x3〕3D．x12÷x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的运算法那么进行计算即可．解答：解：A、原式=2x3，故本选项错误；B、原式=x6，故本选项错误；C、原式=x9，故本选项错误；D、原式=x12﹣2=x10，故本选项错误．应选B．点评：此题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法那么、合并同类项的法那么、幂的乘方与积的乘方法那么是解答此题的关键．3．〔4分〕〔2022•益阳〕小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是〔〕A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，∴她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是：=．应选C．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．〔4分〕〔2022•益阳〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．应选C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．〔4分〕〔2022•益阳〕一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，那么m应满足的条件是〔〕A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1考点：根的判别式．分析：根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解答：解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．应选D．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．6．〔4分〕〔2022•益阳〕正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第一、三象限考反比例函数与一次函数的交点问题．点：专题：计算题．分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．解答：解：解方程组得或，所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为〔1，6〕，〔﹣1，﹣6〕．应选D．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．7．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，那么添加的条件是〔〕A．A E=CF B．B E=FD C．B F=DE D．∠1=∠2考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕，故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕，故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔ASA〕，故此选项错误；应选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．8．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为〔﹣3，0〕，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，那么平移的距离为〔〕A．1B．1或5 C．3D．5考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．应选B．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上〕9．〔4分〕〔2022•益阳〕假设x2﹣9=〔x﹣3〕〔x+a〕，那么a=3．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式进行分解得出即可．解答：解：∵x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕=〔x﹣3〕〔x+a〕，∴a=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．10．〔4分〕〔2022•益阳〕分式方程=的解为x=﹣9．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．〔4分〕〔2022•益阳〕小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下〔单位：米〕：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，那么这组数据的中位数是 2.16米．考点：中位数．分析：根据中位数的概念求解．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，2.32，那么中位数为：2.16．故答案为：2.16．点评：此题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．〔4分〕〔2022•益阳〕小明放学后步行回家，他离家的路程s〔米〕与步行时间t〔分钟〕的函数图象如下列图，那么他步行回家的平均速度是80米/分钟．考点：函数的图象．分析：他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．解答：解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，那么他步行回家的平均速度是：1600÷20=80〔米/分钟〕，故答案为：80．点评：此题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．13．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC 重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，那么∠EAF的度数是60°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC 的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，那么∠EAF的度数为：60°．故答案为：60°．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕14．〔6分〕〔2022•益阳〕计算：|﹣3|+30﹣．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=3+1﹣3=1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．15．〔6分〕〔2022•益阳〕如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∴∠CAF=∠BAF=50°，∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°．点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．四、解答题〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕16．〔8分〕〔2022•益阳〕先化简，再求值：〔+2〕〔x﹣2〕+〔x﹣1〕2，其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2，当x=时，原式=3﹣2=1．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．17．〔8分〕〔2022•益阳〕某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想〞读书小组协助老师随机抽取本校的局部学生，调查他们最喜爱的图书类别〔图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类〕，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答以下问题：〔1〕求被调查的学生人数；〔2〕补全条形统计图；〔3〕该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：〔1〕利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；〔2〕利用〔1〕中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；〔3〕首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．解答：解：〔1〕被调查的学生人数为：12÷20%=60〔人〕；〔2〕喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8〔人〕，如下列图：；〔3〕全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×=480〔人〕．点评：此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．18．〔8分〕〔2022•益阳〕“中国﹣益阳〞网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，方案在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长〔精确到0.1米〕．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，那么AC=〔x+82〕米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5〔x+82〕，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，那么AC=〔x+82〕米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5〔x+82〕．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5〔x+82〕=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的长约为546.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的根本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．五、解答题〔本大题共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2022•益阳〕某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元〔进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货本钱〕〔1〕求A、B两种型号的电风扇的销售单价；〔2〕假设超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台〔3〕在〔2〕的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标假设能，请给出相应的采购方案；假设不能，请说明理由．考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：〔1〕设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B 型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；〔2〕设采购A种型号电风扇a台，那么采购B种型号电风扇〔30﹣a〕台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；〔3〕设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合〔2〕的条件，可知不能实现目标．解答：解：〔1〕设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；〔2〕设采购A种型号电风扇a台，那么采购B种型号电风扇〔30﹣a〕台．依题意得：200a+170〔30﹣a〕≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；〔3〕依题意有：〔250﹣200〕a+〔210﹣170〕〔30﹣a〕=1400，解得：a=20，∵a＞10，∴在〔2〕的条件下超市不能实现利润1400元的目标．点评：此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．20．〔10分〕〔2022•益阳〕如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a 〔x﹣2〕2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．〔1〕求a，k的值；〔2〕抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；〔3〕在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．考点：二次函数综合题．分析：〔1〕先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a〔x﹣2〕2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；〔2〕设Q点的坐标为〔2，m〕，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+〔3﹣m〕2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+〔3﹣m〕2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；〔3〕当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P〔2，﹣1〕重合，N点为点P 关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，那么四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．解答：解：〔1〕∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A〔1，0〕，B〔0，3〕．又∵抛物线抛物线y=a〔x﹣2〕2+k经过点A〔1，0〕，B〔0，3〕，∴，解得，故a，k的值分别为1，﹣1；〔2〕设Q点的坐标为〔2，m〕，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+〔3﹣m〕2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+〔3﹣m〕2，∴m=2，∴Q点的坐标为〔2，2〕；〔3〕当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．又∵对称轴x=2是AC的中垂线，∴M点与顶点P〔2，﹣1〕重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为〔2，1〕．此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四边形AMCN为正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．六、解答题〔此题总分值12分〕21．〔12分〕〔2022•益阳〕如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．〔1〕求AD的长；〔2〕点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由；〔3〕设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，假设S=S1+S2，求S的最小值．考点：相似形综合题．分析：〔1〕过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；〔2〕假设以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，那么△PCB 必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP 中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．〔3〕先求出S1=x•，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=〔x﹣1〕，在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S2=x〔x2﹣x+〕，最后根据S=S1+S2=x〔x﹣〕2+x即可得出S的最小值．解答：解：〔1〕过点C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC•sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．〔2〕存在．假设以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，那么△PCB必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由〔1〕知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．那么≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．〔3〕如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，那么S1=x•〔〕2=x•，①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．那么BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=〔10﹣x〕=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=〔x﹣1〕．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x•BM2=x〔x2﹣x+〕．②∵当0＜x≤2时，S2=x〔x2﹣x+〕也成立，∴S=S1+S2=x•+x〔x2﹣x+〕=x〔x﹣〕2+x．∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．。

湖南省益阳市中考数学试卷含答案（样卷）

湖南省益阳市中考数学试卷含答案（样卷）

湖南省益阳市中考数学试卷（样卷）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣C．D．2．（4分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣14．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形6．（4分）小为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、677．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤08．（4分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720° D．900°9．（4分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小10．（4分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C 为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共8小题，每小题4分．11．（4分）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第象限．12．（4分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．13．（4分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为．14．（4分）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=．x (2)﹣1﹣0.500.51 1.52…1.5y…20.750﹣0.250﹣0.250m2…15．（4分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y=﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标．16．（4分）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为．（结果保留π）17．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．18．（4分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是枚．三、解答题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）计算：（﹣1）3+||﹣（﹣）0×（﹣）．20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣．21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．22．（10分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15）30.15第二组（15≤x＜30）6a第三组（30≤x＜45）70.35第四组（45≤x＜60）b0.20（1）频数分布表中a=，b=，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？23．（10分）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？24．（10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．25．（12分）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．（1）计算矩形EFGH的面积；（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．湖南省益阳市中考数学试卷（样卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣C．D．【解答】解：∵﹣+=0，∴﹣的相反数是．故选：C．2．（4分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．【解答】解：A、不能化简；B、=2，此选项错误；C、=3，此选项正确；D、=6，此选项错误；故选：C．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；B、x•2y2=2xy2，正确；C、2x÷x2=，故此选项错误；D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；故选：B．4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：，由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，在数轴上表示为：．故选：A．5．（4分）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．6．（4分）小为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67【解答】解：因为68出现了3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是68．将这组数据从小到大排列得到：66，67，67，68，68，68，69，71，所以这组数据的中位数为68．故选：C．7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，∴b2﹣4ac＞0，故选：A．8．（4分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720° D．900°【解答】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°；②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，④将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°；故选：D．9．（4分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小【解答】解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．A、∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确；B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；C、∵﹣=﹣=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．故选：D．10．（4分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠P B′C=α（B′C 为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．B．C．D．【解答】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=，∴=sinα，∴x﹣1=xsinα，∴（1﹣sinα）x=1，∴x=．故选：A．二、填空题：本题共8小题，每小题4分．11．（4分）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第四象限．【解答】解：将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位后得到的一次函数的解析式为：y=2x+3，∵k=2＞0，b=3＞0，∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，即该一次函数图象不经过第四象限．故答案为：四．12．（4分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，有4种甲没在中间，所以甲没排在中间的概率是=．故答案为．13．（4分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为124°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=28°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD=28°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．14．（4分）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=0.75．x (2)﹣1﹣0.500.51 1.52…1.5y…20.750﹣0.250﹣0.250m2…【解答】解：（方法一）当x＞0时，函数y=x2﹣|x|=x2﹣x，当x=1.5时，y=1.52﹣1.5=0.75，则m=0.75．（方法二）观察表格中的数据，可知：当x=﹣1和x=1时，y值相等，∴抛物线的对称轴为y轴，∴当x=1.5和x=﹣1.5时，y值相等，∴m=0.75．故答案为：0.75．15．（4分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y=﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标（1，﹣3）．【解答】解：任意取一个整数值如x=1，将x=1代入解析式得：y=﹣=﹣3，得到点坐标为（1，﹣3），则这个点坐标的横纵坐标都为整数，是符合要求的答案，本题可有多个答案．故答案为：（1，﹣3）（答案不唯一）．16．（4分）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为24π．（结果保留π）【解答】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4•π×6=24π．故答案为：24π．17．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为115°．【解答】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．18．（4分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是13枚．【解答】解：设第n个图形有a n个旗子，观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）．当n=4时，a9=3×4+1=13．故答案为：13．三、解答题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）计算：（﹣1）3+||﹣（﹣）0×（﹣）．【解答】解：原式=﹣1+﹣1×（﹣）=﹣1++=．20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣．【解答】解：原式==．当时，原式=4．21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．22．（10分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15）30.15第二组（15≤x＜30）6a第三组（30≤x＜45）70.35第四组（45≤x＜60）b0.20（1）频数分布表中a=0.3，b=4，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？【解答】解：（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；故答案为：0.3，4；补全统计图得：（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．23．（10分）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？【解答】解：（1）设该班男生有x人，女生有y人，依题意得：，解得：．∴该班男生有27人，女生有15人．（2）设招录的男生为m名，则招录的女生为（30﹣m）名，依题意得：50m+45（30﹣m）≥1460，即5m+1350≥1460，解得：m≥22，答：工厂在该班至少要招录22名男生．24．（10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．=BC•AD=×14×12=84．∴S△ABC25．（12分）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）2+1∴a=﹣．∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．（2）令y=0，得0=﹣x2+x，∴x=0（舍），或x=2∴B点坐标为：（2，0），设直线OA的表达式为y=kx，∵A（，1）在直线OA上，∴k=1，∴k=，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x+b，∵B（2，0）在直线BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，∴直线BD的表达式为y=x﹣2．由得交点D的坐标为（﹣，﹣3），令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2），由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ．∴△C'PO∽△C'DQ．∴，∴，∴P O=，∴点P的坐标为（﹣，0）．26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．（1）计算矩形EFGH的面积；（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．【解答】解：（1）如图①，在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，又∵D是AB的中点，∴AD=1，，又∵EF是△ACD的中位线，∴，在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，∴∠ADC=60°，在△FGD中，GF=DF•sin60°=，∴矩形EFGH的面积；（2）如图②，设矩形移动的距离为x，则，当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，则，，∴．（舍去），当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，重叠部分的面积S=，∴，即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）如图③，作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则，又，．在Rt△H2QG1中，，解之得（负的舍去）．∴．21 / 21。

益阳市中考数学试题及答案

益阳市中考数学试题及答案

益阳市2020年普通初中毕业学业考试试卷数 学注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试 题 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，是无理数的为 AB ．13C ．0D ．3-2．下列运算正确的是 A ．236x x x ⋅=B ．325()=x xC ．2336()xy x y =D ．632x x x ÷=3．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是姓名 准考证号图2图 1A ．中位数是4，平均数是3.75B ．众数是4，平均数是3.75C ．中位数是4，平均数是3.8D ．众数是2，平均数是3.84．一个几何体的三视图如图1所示，则这个几何体是 A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．圆柱 D ．长方体5．如图2，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误．．的是 A ．90ABC ∠=︒ B ．AC BD =C ．OA OB =D ．OA AD =6．下列等式成立的是 A ．123aba b+=+ B ．212a b a b =++ C ．2ab aab b a b=-- D ．a aa b a b=--++ 7．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为A ．20(1+2x) =80B ．2×20(1+x) =80图 4图3C ．20(1+x 2) =80D ．20(1+x)2 =808．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第一象限，则m 的取值范围为A ．1m ＞B ．0m ＞C ．1m -＞D ．10m -＜＜二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）928= ．10．已知y 是x 的反比例函数，当x > 0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个．．满足以上条件的函数表达式 ．11．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．12．如图3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则»AB 的长为 ．13．图4是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有 根小图5图 6 棒．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）14．化简：2(1)(1)x x x +-+．15．如图5，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，165∠=︒，求2∠的度数.四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．如图6，直线l 上有一点P 1(2，1)，将点P 1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P 2，点 P 2恰好在直线l 上． （1）写出点P 2的坐标；（2）求直线l 所表示的一次函数的表达式；（3）若将点P 2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P 3．请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．17．2020年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，图7表示2020年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题：图8图7（1）2020年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ （2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整； （3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数.18．如图8，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB=∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若AB=14，7cos 8CAB ∠=，求线段OE 的长．五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）19．大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3图9-2图9-1图9-3吨，则需补充原材料以保证正常生产．（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？20．已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点，且AP<PB ．AP 绕点A 逆时针旋转角α(090)α︒<≤︒得到AP 1，BP 绕点B 顺时针也旋转角α得到BP 2，连接PP 1、PP 2．（1）如图9-1，当90α=︒时，求12PPP ∠的度数；（2）如图9-2，当点P 2在AP 1的延长线上时，求证：21P PP △∽2P PA △； （3）如图9-3，过BP 的中点E 作l 1⊥BP ，过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2，l 1与l 2交于点Q ，连接PQ ，求证：P 1P ⊥PQ ．图10-1图10-2六、解答题（本题满分15分）21．已知抛物线E 1：2y x =经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E 2经过点B(2，2)，点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点A B ''、． （1）求m 的值及抛物线E 2所表示的二次函数的表达式；（2）如图10-1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B '为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图10-2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E 2相交于点P '，求PAA '∆与P BB ''∆的面积之比．益阳市2020年普通初中毕业学业考试 数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.9．4；10．1y x =(不唯一)；11．23；12．3π；13．51n +．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）．14．解：原式=2221x x x x ++-- ·················· 6分=1x +. ······················ 8分15．解：∵AB ∥CD ，∴165ABC ∠=∠=︒，180ABD BDC ∠+∠=︒. ········· 4分 ∵BC ABD ∠平分，∴2130ABD ABC ∠=∠=︒， ················ 6分∴18050BDC ABD∠=︒-∠=︒，∴250BDC∠=∠=︒．··················8分四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．解：（1）P2(3，3)．····················3分（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为(0)y kx b k=+≠，∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上，∴2133k bk b+=⎧⎨+=⎩，，解得23kb=⎧⎨=-⎩，.∴直线l所表示的一次函数的表达式为23y x=-. ····7分（3）点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为(6，9)，∴2639⨯-=，∴点P3在直线l上．····························10分17．解:（1）237.519%1250÷=(亿元)；··············3分（2）第二产业的增加值为1250237.5462.5550--=(亿元)，画图如下：·······7分（3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为550360158.41250⨯︒=︒．10分 18．解：（1）∵CAB ACB ∠=∠，∴AB CB =，∴□ABCD 是菱形．∴AC BD ⊥． ···················· 3分（2）在Rt △AOB 中，7cos 8AO OAB AB ∠==，14AB =， ∴7491484AO =⨯=， 在Rt △ABE 中，7cos 8AB EAB AE ∠==，14AB =， ∴8167AE AB ==， ·················· 9分 ∴49151644OE AE AO =-=-=．············ 10分 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）19．解：（1）设初期购得原材料a 吨，每天所耗费的原材料为b 吨，根据题意得：6361030a b a b -=⎧⎨-=⎩，. ··············· 3分解得451.5a b =⎧⎨=⎩，．答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨． 6分（2）设再生产x 天后必须补充原材料，依题意得：4516 1.5 1.5(120%)3x -⨯-+≤， ········ 9分 解得：10x ≥.答: 最多再生产10天后必须补充原材料． ······ 12分20．解：（1）由旋转的性质得：AP = AP 1，BP = BP 2．∵90α=︒，∴12PAP PBP △和△均为等腰直角三角形, ∴1245APP BPP ∠=∠=︒，∴121218090PPP APP BPP ∠=︒-∠-∠=︒.·········· 3分 （2）由旋转的性质可知12APP BPP △和△均为顶角为α的等腰三角形，∴12902APP BPP α∠=∠=︒-，∴1212180()1802(90)2PPP APP BPP αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-=. ··· 5分 在21P PP △和2P PA △中，122PPP PAP α∠=∠=， 又212PP P AP P ∠=∠，∴21P PP △∽2P PA △． ·················· 7分（3）如图，连接QB.∵l 1，l 2分别为PB ，P 2B 的中垂线， ∴12EB BP =，212FB BP =. 又BP=BP 2，∴EB FB =． 在Rt △QBE 和Rt △QBF 中，20题解图EB FB =，QB QB =，∴Rt △QBE ≌Rt △QBF ， ∴2122QBE QBF PBP α∠=∠=∠=． ············· 9分由中垂线性质得:QP QB =， ∴2QPB QBE ∠=∠=α．由（2）知1902APP α∠=︒-,∴11180180(90)9022PPQ APP QPB ∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒αα,即 P 1P ⊥PQ ． ···················· 12分六、解答题（本题满分15分）21．解：（1）∵抛物线E 1经过点A(1，m)，∴m=12=1．∵抛物线E 2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为2y ax =(0a ≠)，又点B(2，2)在抛物线E 2上，∴222a =⨯，解得:12a =，∴抛物线E 2所对应的二次函数表达式为212y x =． ···· 3分（2）假设在第一象限内 ，抛物线E 1上存在点Q ，使得△QB B '为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B 或点Q ．①当点B 为直角顶点时，过B 作BQ B B '⊥交抛物线E 1于Q ， 则点Q 与B 的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x 2得y=4 ， ∴点Q 的坐标为(2，4)． ·············· 5分②当点Q 为直角顶点时，则有222QB QB B B ''+=，过点Q 作QG BB '⊥于G ，设点Q 的坐标为(t ，t 2)( 0t >)，则有()()()()222222222224t t t t ++-+-+-=，整理得：4230t t -=,∵0t >, ∴230t -=，解得13t =，23t =-舍去)，∴点Q 的坐标为33)，综合①②，存在符合条件的点Q 坐标为(2，4)与33)． ·· 9分（3）过点P 作PC ⊥x 轴,垂足为点C ，PC 交直线A A '于点E ，过点P '作P 'D ⊥x轴,垂足为点D ，P 'D 交直线B B '于点F ，依题意可设P(c ，c 2)、P '(d ，212d ) (c >0，1c ≠)，∵tan tan POC P OD '∠=∠，∴ 2212d c c d=，∴d=2c ． ······· 12分 又A A '=2，B B '=4，∴222211211122111422242222PAA P BB AA PE c c S S c BB P F d '∆''∆'⋅⨯⨯--====⨯-''⋅⨯⨯-． ····· 15分21题解图1 21题解图2。

湖南省益阳市中考数学试卷

湖南省益阳市中考数学试卷

湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣12．（5分）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．3．（5分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．（5分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（5分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．6．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤07．（5分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα8．（5分）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为．10．（5分）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=．11．（5分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（5分）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．13．（5分）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．14．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．16．（8分）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．17．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．18．（10分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）19．（10分）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．21．（12分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．22．（14分）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2017•益阳）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣1【分析】根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜2，故选C．【点评】本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于0小于正数．2．（5分）（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．【解答】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．故选D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．3．（5分）（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．4．（5分）（2017•益阳）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：0.000 000 04=4×10﹣8，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（5分）（2017•益阳）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．【解答】解：A、不能化简；B、=2，此选项错误；C、=3，此选项正确；D、=6，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．6．（5分）（2017•益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，∴b2﹣4ac＞0，故选A【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7．（5分）（2017•益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．（5分）（2017•益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2【分析】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12×=3cm宽10×=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．【解答】解：12×=3（cm）10×=2.5（cm）3×2.5=7.5（cm2）答：其主视图的面积是7.5cm2．故选：D．【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）（2017•益阳）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A 的度数为124°．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=28°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD=28°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（5分）（2017•益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= 6.5．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线，∴CD=6.5；故答案为：6.5．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．11．（5分）（2017•益阳）代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．12．（5分）（2017•益阳）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为48．【分析】设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解方程即可．【解答】解：设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解得x=48，经检验x=48是方程的解．故答案为48；【点评】本题考查频数与频率、记住两者的关系是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2017•益阳）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为108°．【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果．【解答】解：∵五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案是：108°．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2）•180°．14．（5分）（2017•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC 的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）（2017•益阳）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．【分析】根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．【解答】解：原式=4﹣2×+1﹣9，=﹣5．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．16．（8分）（2017•益阳）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．【分析】根据分式的运算法则先化简单，再代入求值即可．【解答】解：原式==x+1+x+1=2x+2．当x=﹣2时，原式=﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分、加减运算是解题的关键．17．（8分）（2017•益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，又∵F是CD的中点，即DF=CF，∴△ADF≌△ECF，∴AD=CE，∴BC=CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．18．（10分）（2017•益阳）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）；（2）易知（分），（分），（分），根据题意不难判断；（3）画出树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）．（2）∵（分），（分），（分），∴＞，＞∴选乙运动员更合适．（3）树状图如图所示，第三轮结束时球回到甲手中的概率是．【点评】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．19．（10分）（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？【分析】（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．【解答】解：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：，解得：，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，解之得，m≥7.4，答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．20．（10分）（2017•益阳）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB 的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，【分析】由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．21．（12分）（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k ≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（14分）（2017•益阳）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC ⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B 作BF⊥y轴于F，设、B，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．【解答】解：（1）①由已知得2x2=x+1，解得或x=1，当时，，当x=1时，y=2，∴A、B两点的坐标分别为（，），（1，2）；②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，由①及已知有A（，），B（1，2），且OM=ON=1，∴，，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；（2）∠ANM=∠BNM成立，①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM；②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设、B．如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，由题意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，∴，∵===，∴，∴Rt△AEN∽Rt△BFN，∴∠ANM=∠BNM．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角函数的定义、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）②中求得两角的正切值是解题的关键，在（2）中利用根与系数的关系，整理求得，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

(中考精品卷)湖南省益阳市中考数学真题(解析版)

(中考精品卷)湖南省益阳市中考数学真题(解析版)

2022年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.，1，2，13中，比0小的数是（ ）A.﹣ B. 1 C. 2 D.13【答案】A【解析】【分析】利用零大于一切负数来比较即可．＜0，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2. 下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）A. a3﹣aB. a+aC. a•aD. a6÷a3【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．【详解】A、∵a3﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．3. 若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）A.11xx<⎧⎨<-⎩B.11xx<⎧⎨>-⎩C.11xx>⎧⎨<-⎩D. 11x x >⎧⎨>-⎩【答案】D【解析】的【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．4. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．5. 已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ）x … ﹣1 0 1 2 …y … ﹣2 0 2 4 …A. y＝2xB. y＝x﹣1C. y＝2xD. y＝x2【答案】A【解析】【分析】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式．【详解】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍，∴y＝2x．故选：A．【点睛】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系．6. 在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（ ）A. 23B.14C.16D.124【答案】C【解析】【分析】根据抽到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．【详解】解：总共有24道题，试题A共有4道，P（抽到试题A）41 == 246，故选：C．【点睛】本题考查了概率公式，掌握到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．7. 如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，262 620a aa>-⎧⎨->⎩，解得32＜a＜3，所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集，∴a只能取2．故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．8. 1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）A. I到AB，AC边的距离相等B. CI平分∠ACBC. I是△ABC的内心D. I到A，B，C三点的距离相等【答案】D【解析】【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，D.∵I是△ABC的内心，∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．10. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝12（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝12（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11.13的绝对值是________．【答案】1 3【解析】【分析】根据绝对值的几何意义分析即可求解． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，在数轴上13-这个数到原点的距离为13， 故13-的绝对值是13， 故答案为13． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，绝对值的几何意义是指数轴上的点到原点的距离，本题属于基础题，熟练掌握绝对值的概念是解决本题的关键．12. 计算：21a a -﹣2a 1-＝_____． 【答案】2【解析】【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．根据同分母分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：21a a -﹣2a 1- ＝221a a -- ＝2(1)1a a -- ＝2．故答案为：2.【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．13. 已知m ，n 同时满足2m +n ＝3与2m ﹣n ＝1，则4m 2﹣n 2的值是 _____．【答案】3【解析】【分析】观察已知和所求可知，22422m n m n m n +=()(﹣﹣)，将代数式的值代入即可得出结论．【详解】解：∵2m +n ＝3，2m ﹣n ＝1，∴2222341m n m n m n +⨯==())=3﹣(﹣，故答案为：3．【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．14. 反比例函数y＝2kx-的图像分布情况如图所示，则k的值可以是_____（写出一个符合条件的k值即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数的图像所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．【详解】由反比例函数y＝2kx-的图像位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，∴k＜2，∴k的值可以是1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】考查了反比例函数的性质及图像，解题的关键是掌握反比例函数的性质．15. 如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34︒，公路PB的走向是南偏东56︒，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．【答案】90【解析】【分析】根据题意可得∠APC＝34︒，∠BPC＝56︒，然后进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠APC＝34︒，∠BPC＝56︒，∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90︒，故答案为：90．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．16. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A 种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A 种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A 种候鸟．【答案】800【解析】【分析】在样本中“200只A 种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【详解】解：设该湿地约有x 只A 种候鸟，则200：10＝x ：40，解得x ＝800．故答案为：800．【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则cos B ＝_____．【答案】45【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝BC AB ＝45， ∴cos B ＝BC AB ＝45．故答案为：45． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．18. 如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝13AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 _____．【答案】4【解析】【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝，则AA ′＝13AC，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【详解】解：∵正方形ABCD 边长为3，∴AC ＝，∴AA ′＝13AC， ∴A ′C ＝，由题意可得重叠部分是正方形，， ∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（﹣2022）0+6×（﹣12）．【答案】0【解析】【分析】先利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简，然后运算即可．的【详解】解：（﹣2022）0+6×（﹣12）＝1+（﹣3）13=-+22=-+＝0【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．20. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，CD ∥AB ，DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝AB ．求证：△CED ≌△ABC ．【答案】见解析【解析】【分析】由垂直的定义可知，∠DEC ＝∠B ＝90°，由平行线的性质可得，∠A ＝∠DCE ，进而由ASA 可得结论．【详解】证明：∵DE ⊥AC ，∠B ＝90°，∴∠DEC ＝∠B ＝90°，∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，DCE A CE AB DEC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CED ≌△ABC （ASA ）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．21. 如图，直线y ＝12x +1与x 轴交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，经过点A ′和y 轴上的点B （0，2）的直线设为y ＝kx +b ．（1）求点A ′的坐标；（2）确定直线A ′B 对应的函数表达式．【答案】（1）A ′（2，0）（2）y ＝﹣x +2【解析】【分析】（1）利用直线解析式求得点A 坐标，利用关于y 轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【小问1详解】解：令y ＝0，则12x +1＝0，∴x ＝﹣2，∴A （﹣2，0）．∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，∴A ′（2，0）． 小问2详解】解：设直线A ′B 的函数表达式为y ＝kx +b ，∴202k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线A ′B 对应的函数表达式为y ＝﹣x +2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y 轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．【（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；统计量平均数众数中位数方差（1）班8 8 c 1.16（2）班 a b 8 1.56（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人（2）a，b，c的值分别为8，9，8（3）（1）班成绩更均匀【解析】【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．【小问1详解】解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；【小问2详解】由题意知：a＝6105028%95022%85024%75014%650⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝8；∵9分占总体的百分比为28%是最大的，∴9分的人数是最多的，∴众数为9分，即b＝9；由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，∴c＝882＝8；答：a，b，c的值分别为8，9，8；【小问3详解】∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．23. 如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【答案】（1）见解析（2）30°（3）2π﹣【解析】【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P 的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝12AB＝2，AC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．【小问1详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；【小问2详解】由（1）知∠ACO ＝∠BCP ，∵∠ABC ＝2∠BCP ，∴∠ABC ＝2∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ，∴∠ABC ＝2∠A ，∵∠ABC +∠A ＝90°，∴∠A ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠ACO ＝∠BCP ＝30°，∴∠P ＝∠ABC ﹣∠BCP ＝60°﹣30°＝30°，答：∠P 的度数是30°；【小问3详解】由（2）知∠A ＝30°，∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝12AB ＝2，AC＝∴S △ABC ＝12BC •AC ＝12×2×∴阴影部分面积是21()22AB π⨯﹣2π﹣答：阴影部分的面积是2π﹣【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．24. 在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A 、B 两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A 、B 型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【答案】（1）甲操控A 型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B 型号收割机每小时收割6亩水稻（2）最多安排甲收割4小时【解析】的【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割100106y-小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【小问1详解】解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：66 (140%)x x-=-0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．【小问2详解】设安排甲收割y小时，则安排乙收割100106y-小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×100106y-≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P 在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a 的值；（2）将A ，B 纵坐标分别记为y A ，y B ，设s ＝y A ﹣y B ，若s 的最大值为4，则m 的值是多少？（3）Q 是x 轴的正半轴上一点，且PQ 的中点M 恰好在抛物线F 上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使∠PQG 总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a ＝2（2）m（3）存在，G （0【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P 的坐标，再代入抛物线F 可得出结论； （2）根据题意可分别表达A ，B 的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m 的值；（3）过点Q 作x 轴的垂线KN ，分别过点P ，G 作x 轴的平行线，与KN 分别交于K ，N ，则△PKQ ∽△QNG ，设出点M 的坐标，可表达点Q 和点G 的坐标，从而可得出结论．【小问1详解】解：由题意可知，抛物线22:()2(0)E y x m m m =--+<的顶点P 的坐标为2(,2)m m ， 点P 在抛物线2:F y ax =上， 222am m ∴=，2a ∴=．【小问2详解】解： 直线x t =与抛物线E ，F 分别交于点A ，B ，2222()22A y t m m t mt m ∴=--+=-++，22B y t =，A B s y y ∴=-的22222t mt m t =-++-2232t mt m =-++22143()33t m m =--+， 30-<Q ，∴当13t m =时，s 的最大值为243m ， s 的最大值为4，∴2443m =，解得m =， 0m < ，m =∴．【小问3详解】解：存在，理由如下：设点M 的坐标为n ，则2(,2)M n n ，22(2,4)Q n m n m ∴--，点Q 在x 轴正半轴上，20n m ∴->且2240n m -=，n ∴=，(M ∴，2)m ，(Q m -，0)． 如图，过点Q 作x 轴的垂线KN ，分别过点P ，G 作x 轴的平行线，与KN 分别交于K ，N ，90K N ∴∠=∠=︒，90QPK PQK ∠+∠=︒，90PQG ∠=︒ ，90PQK GQN ∴∠+∠=︒，QPK GQN ∴∠=∠，PKQ QNG ∴∆∆∽，::PK QN KQ GN ∴=，即PK GN KQ QN ⋅=⋅．2PK m m m =--=- ，22KQ m =，GN m =-，2(2)()2m m m QN ∴--=⋅解得QM(0,G ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．26. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝15，BC ＝9，E 是CD 边上一点（不与点C 重合），作AF ⊥BE 于F ，CG ⊥BE 于G ，延长CG 至点C ′，使C ′G ＝CG ，连接CF ，AC ′．（1）直接写出图中与△AFB 相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC ′是平行四边形，求CE 的长；（3）当CE 的长为多少时，以C ′，F ，B 为顶点的三角形是以C ′F 为腰的等腰三角形？【答案】（1）答案不唯一，如△AFB ∽△BCE（2）CE ＝7.5 （3）当CE 的长为长为545或3时，以C ′，F ，B 为顶点的三角形是以C ′F 为腰的等腰三角形【解析】【分析】（1）因为△AFB 是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB 相似，解答时任意写出一个即可；（2）根据△AFB ∽△BGC ，得AF AB BG BC =，即15593AF BG ==，设AF ＝5x ，BG ＝3x ，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．【小问1详解】解：（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；【小问2详解】∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴AF ABBG BC=，即15593AFBG==，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴CG CEBG BC=，即2.539x CEx=，∴CE＝7.5；【小问3详解】分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴AF BFBC CE=，即569x xCE=，∴596xx CE=，∴CE＝54 5；②当C'F＝BF时，如图3，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴15593 AB BFBC CG===，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝4a，∵tan∠CBE＝CE CG BC BG=，∴3945 CE aa a=+，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为545或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题。

湖南益阳中考真题数学试卷

湖南益阳中考真题数学试卷

湖南益阳中考真题数学试卷第一部分选择题（共20小题，每小题4分，共80分）1. 某数学家为一益阳中考真题数学试卷设计了选择题部分，共有20小题，每小题4分。

以下为试卷的选择题部分，请你根据每个题目的描述，选择正确的答案填入题前的括号内。

( ) 1. 若`a:b = 5:8`，`b:c = 2:3`，则`c:a = `A. 3 : 5B. 3 : 8C. 8 : 3D. 5 : 3( ) 2. 排列3、7、1、4能组成的最大的四位偶数是A. 7431B. 7413C. 7341D. 7314( ) 3. 化简`(-5a^2b^3)^2 x (-2ab^2)^3`的结果是A. `-20^5a^16b^15`B. `20^5a^16b^15`C. `-20^6a^16b^15`D.`20^6a^16b^15`...第二部分解答题（共5小题，每小题10分，共50分）4. 解方程组：`3x - 2y = -1``2x + 3y = 13`解：将第一个方程乘以3，得到`9x - 6y = -3`，然后将第二个方程乘以2，得到`4x + 6y = 26`。

将两个方程相加，消去y的项，得到`13x = 23`，解得x = 23/13。

将x的值代入第一个方程，得到`3(23/13) - 2y = -1`，解得y = 9/13。

所以，方程组的解为x = 23/13，y = 9/13。

...第三部分计算题（共5小题，每小题10分，共50分）5. 已知等差数列的首项为3，公差为5，求前15项的和。

解：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，n为项数，d为公差。

首项a1 = 3，公差d = 5。

前15项的和可以表示为S15 = (a1 + a15) * 15 / 2，其中a15为第15项。

根据通项公式，a15 = a1 + (15-1)d = 3 + 14 * 5 = 73。

代入公式，S15 = (3 + 73) * 15 / 2 = 1140。

2023年湖南省益阳市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省益阳市中考数学真题(解析版)

益阳市2023年初中学业水平考试数 学考生注意：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；4．本学科为闭卷考试，考试时量为120分钟，卷面满分为150分；5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试题卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 四个实数13-，0，2中，最大的数是（ ）A. 13- B. 0 C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．【详解】解：∵1023-<<<，∴最大的数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．2. 下列计算正确的是（ ）A 236x x x ×= B. ()235x x = C. ()2236x x = D. 32x x x ¸=【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法可判断A ，根据幂的乘方运算可判断B ，根据积的乘方运算可判断C ，根据同底数幂的除法运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：235x x x ×=，故A 不符合题意；()236x x =，故B 不符合题意；()2239x x =，故C 不符合题意；.32x x x ¸=，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键．3. 下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．【详解】解：由轴对称图形定义可知：A ，B ，C 不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；D 选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形， 故选：D ．【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．4. 将不等式组0,20x x >ìí-£î的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先解不等式20x -≤，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．【详解】解：020x x >ìí-£î①②，由② 得：2x £，在数轴上表示两个不等式的解集如下：，∴不等式组的解集为：02x <£；故选B【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．5. 某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A. 14510121580x y x y +=ìí+=î B. 14510121580x y x y -=ìí+=îC. 14512101580x y x y +=ìí+=î D. 14512101580x y x y -=ìí+=î【答案】A 【解析】【分析】设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据“用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．【详解】解：设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据题意得：14510121580x y x y +=ìí+=î．故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．6. 乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：测量时间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天收缩压（毫米汞柱）151148140139140136140舒张压（毫米汞柱）90928888908088对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）A. 收缩压的中位数为139B. 舒张压的众数为88C. 收缩压的平均数为142D. 舒张压的方差为887【答案】A 【解析】【分析】把数据按照大小排序后再确定中位数可判断A ，再利用所有数据的和除以数据总个数可得平均数，可判断C ，再根据出现次数最多的数据为众数可判断C ，再根据方差公式计算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151；∴排在最中间的数据是140，可得中位数为140，故A 符合题意；收缩压的平均数为：()113613914031481511427++´++=，故C 不符合题意；舒张压的数据中88出现3次，所以舒张压的数据的众数为88，故D 不符合题意；舒张压的平均数为：()190928839080887++´++=，∴舒张压的方差为：()()()()2222218829088928838888808877S éù=´-+-+´-+-=ëû；故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数，方差的含义，熟记众数，中位数，平均数与方差的求解方法是解本题的关键．7. 如图，ABCD Y 的对角线AC BD ，交于点O ，下列结论一定成立的是（ ）A. OA OB =B. OA OB ^C. OA OC =D. OBA OBCÐ=Ð【答案】C 【解析】【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．【详解】解：A 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，OB OD =，则OA OB =不一定成立，该选项不符合题意；B 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则OA OB ^不一定成立，该选项不符合题意；C 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，该选项符合题意；D 、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则OBA OBC Ð=Ð不一定成立，该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点()0,1A ，()4,1B，()5,6C ，则sin BAC Ð=（）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，由()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，证明45BAC Ð=°，可得sin sin 45BAC Ð=°=【详解】解：如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，∵()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，∴5AD =，5CD =，90ADC Ð=°，∴45BAC Ð=°，∴sin sin 45BAC Ð=°=故选C【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．9. 下列因式分解正确的是（ ）A. ()2224221a a a -+=- B. ()2a ab a a a b ++=+C. ()()22444a b a b a b -=+- D. ()233a b ab ab a b -=-【答案】A 【解析】【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A 、()()22224222121a a a a a -+=-+=-，故本选项正确，符合题意；B 、()21a ab a a a b ++=++，故本选项错误，不符合题意；C 、()()22422a b a b a b -=+-，故本选项错误，不符合题意；D 、()()()3322ab ab ab a b ab a b a b -=-=+-，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．10. 关于一次函数1y x =+，下列说法正确的是（ ）A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y 轴交于点()0,1C. 函数值y 随自变量x 的增大而减小 D. 当1x >-时，0y <【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质判断即可．【详解】解：由题意可得：0,0k b >>，∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y 随自变量x 的增大而增大，故A 、C 错；当0x =时，1y =，∴图象与y 轴交于点()0,1，故B 正确；当=1x -时，0y =，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴当1x >-时，0y >，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11. 据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27％．将1590000用科学记数法表示为______．【答案】61.5910´【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为10n a ´，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：将1590000用科学记数法表示为61.5910´．故答案为：61.5910´【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为10n a ´，其中110a £<，n 是正整数，正确确定a 的值和n 的值是解题的关键．12. _______．【答案】10【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．10==．故答案为：10．=13. 从110:这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是______．【答案】310##0.3【解析】【分析】直接利用概率公式求解即可.【详解】解：由题意可得：在110:中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是310，故答案为：310.【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.14. 分式方程422x x=-的解是______．【答案】2x =-【解析】分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -¹，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．15. 我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数2y x =的图象向上平移1个单位得到21y x =+的图象；将二次函数21y x =+的图象向左平移2个单位得到()221y x =++的图象．若将反比例函数6y x=的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______．【答案】63y x=-【解析】【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．【详解】解：将反比例函数6y x=的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x=-，故答案为：63y x=-．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．【16. 如图，正六边形ABCDEF 中，FAB Ð=______°．【答案】120°##120度【解析】【分析】由正六边形的内角和为()62180-´°，结合正六边形的所有的内角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF ，∴正六边形的所有的内角都相等；∴()621801206FAB -´°Ð==°；故答案为：120°．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，熟记正多边形的每个内角都相等是解本题的关键．17. 如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为AB 的中点，连接DE ，将DAE V 绕点D 按逆时针方向旋转90°得到DCF V ，连接EF ，则EF 的长为______．【答案】【解析】【分析】由正方形ABCD ，可得4AD DC AB ===，A ADC BCD 90Ð=Ð=Ð=°，90DCF Ð=°，证明2AE BE ==，求解2224220DE =+=，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴4AD DC AB ===，A ADC BCD 90Ð=Ð=Ð=°，∴90DCF Ð=°，∵E 为AB 的中点，∴2AE BE ==，∴2224220DE =+=，由旋转可得：90EDF Ð=°，DE DF =，∴==；故答案为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键．18. 如图，在ABCD Y 中，6AB =，4=AD ，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接DE ，分别以D E ，为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF ，交DE 于点M ，过点M 作∥MN AB 交BC 于点N ．则MN 的长为______．【答案】4【解析】【分析】由尺规作图可知，射线AF 是BAD Ð的角平分线，由于4AD AE ==，结合等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，再由∥MN AB ，根据平行线分线段成比例定理得到N 是边BC 中点，利用梯形中位线的判定与性质得到()12MN DC EB =+即可得到答案．【详解】解：由题意可知4AD AE ==，射线AF 是BAD Ð的角平分线，\由等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，Q∥MN AB ，\由平行线分线段成比例定理得到1BN EMNC MD==，即N 边BC 中点，\MN 是梯形BCDE 的中位线，\()12MN DC EB =+，在ABCD Y 中，6CD AB ==，642BE AB AE =-=-=，则4MN =，是故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共78分）19. 211123⎛⎫---´- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．211123⎛⎫---´- ⎪⎝⎭134=--+=【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键．20. 如图，AB CD ∥，直线MN 与,AB CD 分别交于点E ，F ，CD 上有一点G 且GE GF =，1122Ð=°．求2Ð的度数．【答案】64°【解析】【分析】根据AB CD ∥，可得1122DFE Ð=Ð=°，从而得到58EFG Ð=°，再由GE GF =，可得58FEG EFG Ð=Ð=°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵AB CD ∥，1122Ð=°∴1122DFE Ð=Ð=°，∴18058EFG DFE Ð=°-Ð=°，∵GE GF =，∴58FEG EFG Ð=Ð=°，∴218064FEG EFG Ð=°-Ð-Ð=°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．21. 先化简，再求值：()2112111x x x ⎛⎫-¸ ⎪-+⎝⎭-，其中1x =-．【答案】11x x -+，1-【解析】【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把1x =-代入化简后的分式中进行计算即可．【详解】解：()2112111x x x ⎛⎫-¸ ⎪-+⎝⎭-()()()()()211111112x x x x x x x éù-+-=-×êú-+-+ëû()()()212112x x x -=×+-11x x -=+；当1x =-时，原式1==．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键．22. 我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A ：非常满意；B ：满意；C ：一般；D ：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A 72B108C48D m请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生人数是多少？（2）求以上图表中m ，n 的值及扇形统计图中A 等级对应的圆心角度数；（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有多少人？【答案】（1）本次被调查的学生人数是240人；（2）12m =，45n =；图中A 等级对应的圆心角度数为108°；（3）该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【解析】【分析】（1）由C 等级的人数除以其占比可得总人数，（2）由总人数减去A ，B ，C 三个等级的人数可得m 的值，再由B 等级的人数除以总人数可得n 的值，由A 等级的占比乘以360°可得圆心角的度数；（3）由A ，B 等级的占比乘以1200，可得答案．【小问1详解】解：∵4820%240¸=，∴本次被调查的学生人数是240人；【小问2详解】由题意可得：240721084812m =---=，10845%240=，∴45n =；72360108240´°=°，∴图中A 等级对应的圆心角度数为108°；【小问3详解】∵721081200900240+´=，∴该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【点睛】本题考查的从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．23. 如图，线段AB 与O e 相切于点B ，AO 交O e 于点M ，其延长线交O e 于点C ，连接BC ，120ABC Ð=°，D 为O e 上一点且 DB的中点为M ，连接AD ，CD ．（1）求ACB Ð的度数；（2）四边形ABCD 是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（3）若6AC =，求 CD的长．【答案】（1）30°（2）是菱形，证明见解析（3） CD 的长为43p ．【解析】【分析】（1）如图，连接OB ，证明90Ð=°ABO ，而120ABC Ð=°，可得1209030OBC Ð=°-°=°，再结合等腰三角形的性质可得答案；（2）先证明30ACD ACB Ð=Ð=°，即60DCB Ð=°，而120ABC Ð=°，求解30CAB ACB Ð=°=Ð，可得BA BC =，证明 CDCB =，可得CD CB =，再证明AD AB =，可得AD AB BC CD ===，从而可得结论；（3）如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，证明DBC △为等边三角形，可得2120DOC DBC Ð=Ð=°，证明3QA QC ==，AC BD ^，求解2OC =，再利用弧长公式进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接OB ，∵线段AB 与O e 相切于点B ，∴90Ð=°ABO ，而120ABC Ð=°，∴1209030OBC Ð=°-°=°，∵OB OC =，∴30OBC OCB Ð=Ð=°；【小问2详解】四边形ABCD 是菱形，理由如下：∵ DB的中点为M ，30ACB Ð=°，∴30ACD ACB Ð=Ð=°，即60DCB Ð=°，而120ABC Ð=°，∴1801203030CAB ACB Ð=°-°-°=°=Ð，∴BA BC =，∵ DB的中点为M ，CM 为直径，∴ CDCB =，∴CD CB =，∵30ACD ACB Ð=°=Ð，AC AC =，∴ACD ACB ≌△△，∴AD AB =，∴AD AB BC CD ===，∴四边形ABCD 是菱形．【小问3详解】如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，∵CD CB =，60DCB Ð=°，∴DBC △为等边三角形，∴60DBC Ð=°，∴2120DOC DBC Ð=Ð=°，∵菱形ABCD ，6AC =，∴3QA QC ==，AC BD ^，∴903060CBQ Ð=°-°=°，∵30OBC Ð=°，∴30QBO Ð=°，∴1122OQ OB OC ==，∴132OC OC +=，2OC =，∴ CD 的长为120241803p p ´=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．24. 某企业准备对A ，B 两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，投资B 项目一年后的收益B y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：2125B y x x =-+．（1）若将10万元资金投入A 项目，一年后获得的收益是多少？（2）若对A ，B 两个项目投入相同资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，则m 的值是多少？的（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A ，B 两个项目中，当A ，B 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？【答案】（1）4万元 （2）8m =（3）当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得收益之和最大，最大值是16万元．【解析】【分析】（1）把10x =代入25A y x =可得答案；（2）当x m =时，可得221255m m m =-+，再解方程可得答案；（3）设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，A B y y y =+21864555x x =-++，而032x ££，再利用二次函数的性质可得答案．【小问1详解】解：∵投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，当10x =时，21045A y =´=（万元）；【小问2详解】∵对A ，B 两个项目投入相同的资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，∴221255m m m =-+，整理得：280m m -=，解得：18m =，20m =（不符合题意），∴m 的值为8．【小问3详解】2125B y x x =-+设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，∴A By y y =+()22132255x x x =--+的21864555x x =-++，而032x ££，∴当854125x =-=⎛⎫´- ⎪⎝⎭时，132641616555y =-´++=最大（万元）；∴当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．25. 如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC >，点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA ¢，线段DA ¢交AB 于点E ，作A F AB ¢^于点F ，与线段AC 交于点G ，连接,FC GB ．（1）求证：ADE A DG ¢≌△△；（2）求证：AF GB AG FC ×=×；（3）若8AC =，1tan 2A =，当A G ¢平分四边形DCBE 的面积时，求AD 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，再根据A F AB ¢^，可得A A ¢Ð=Ð，即可；（2）根据90BFG ACB Ð=Ð=°，可得点B ，C ，G ，F 四点共圆，从而得到CBG CFG Ð=Ð，180ABC CGF Ð+Ð=°，从而得到AGF ABC Ð=Ð，进而得到ACF ABG Ð=Ð，可证明ABG ACF ∽V V ，即可；（3）连接EG ，根据8AC =，1tan 2A =，可得4,2BC A D AD DE ¢===，2A F EF ¢=，AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x ¢==可得AE A G ¢==，A E x ¢=，83CG x =-，,EF x A F ¢==，FG x =，BF x =，再由A G ¢平分四边形DCBE 的面积，可得DEG FEG BFG BCG S S S S +=+V V V V ，从而得到关于x 的方程，即可求解．【小问1详解】证明：∵线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA ¢，∴,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，∴90A AED Ð+Ð=°，∵A F AB ¢^，即90A FE ¢Ð=°，∴90A AEF ¢Ð+Ð=°，∵AED AEF Ð=Ð，∴A A ¢Ð=Ð，在ADE V 和A DG ¢V 中，∵A A ¢Ð=Ð， ,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，∴ADE A DG ¢≌△△；【小问2详解】证明：∵90BFG ACB Ð=Ð=°，∴点B ，C ，G ，F 四点共圆，∴CBG CFG Ð=Ð，180ABC CGF Ð+Ð=°，∵180AGF CGF Ð+Ð=°，∴AGF ABC Ð=Ð，∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG Ð=Ð+ÐÐ=Ð+Ð，∴ACF ABG Ð=Ð，∵A A Ð=Ð，∴ABG ACF ∽V V ，∴AG BG AF CF=，即AF GB AG FC ×=×；【小问3详解】解：如图，连接EG ，∵ADE A DG ¢≌△△，∴DE DG =，AE A G ¢=，∵8AC =，1tan 2A =，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD A F ¢=====¢，∴4,2BC A D AD DE ¢===，2A F EF ¢=，∴AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x ¢==，∴AE A G ¢==，A E x ¢=，83CG x =-，∴,EF x A F x ¢==，∴FG x =，BF x =，∵A G ¢平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S +=+V V V V ，∴111222DE EF FG BC CG BF FG ´´=´+´，即()211114832222x x x x x ⎛⎫+=´-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：x =（负值舍去），∴2AD x ==【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y a x a =+>与x 轴交于点A ，与抛物线2:E y ax =交于B ，C 两点（B 在C 的左边）．（1）求A 点的坐标；（2）如图1，若B 点关于x 轴的对称点为B ¢点，当以点A ，B ¢，C 为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a 的值；（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如()2,1-，()2,0等均为格点．如图2，直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a 的取值范围．【答案】（1）()20-，（2）1a =或a =； （3）132023a <£或7a =．【解析】【分析】（1）对于直线():2l y a x =+，令0y =，求出x ，即可求解；（2）表示出点A ，B ¢，C 的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；（3）直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线1x =上，各为13个，分别求出a 的范围．【小问1详解】解：对于直线():2l y a x =+，当0y =时，2x =-，∴A 点的坐标为()2,0-；【小问2详解】解：联立直线:(2)l y a x =+与抛物线2:E y ax =得：2(2)y a x y ax=+ìí=î，220x x \--=，1x \=-或2x =，(1)B a \-，，(24)C a ，，B Q 点关于x 轴的对称点为B ¢点，(1)B a ¢\--，，2222(21)(0)1AB a a ¢\=-+++=+，2222(22)(40)1616AC a a =++-=+，2222(21)(4)259B C a a a ¢=+++=+，若90CAB ¢Ð=°，则222AB AC B C ¢¢+=，即22211616259a a a +++=+，所以1a =，若90AB C ¢Ð=°，则222AB B C AC ¢¢+=，即22212591616a a a +++=+，所以a =，若90ACB ¢Ð=°，则222AC B C AB ¢¢+=，即22216162591a a a +++=+，此方程无解．1a \=或a =；【小问3详解】解：如图，直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线1x =上，(02)D a Q ，，(1)E a ，，(13)F a ，，2OD EF a \==，Q 格点数恰好是26个，\落在y 轴和直线1x =上的格点数应各为13个，\落在y 轴的格点应满足13214a <£，即1372a <£，①若1372a <<，即1372E y <<，所以线段EF 上的格点应该为(1,7)，(1，8)(1¼¼，19)，19320a \<£\192033a <£\132023a <£②若7a =，7E y =，21F y =，所以线段EF 上的格点正好13个，综上，132023a <£或7a =．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在y 轴和直线1x =上，各为13个，并对点D 、F 进行定位．。

益阳市中考数学试题及答案(Word版)

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益阳市2020年普通初中毕业学业考试试卷数 学注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为120分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试 题 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．四个实数2-，0，1中，最大的实数是 A ．2-B ．0C．D ．12．下列式子化简后的结果为6x 的是 A ．33x x +B ．33x x ⋅C ．33()xD ． 122x x ÷3．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是 A ．120B ．15C ．14D ．134．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是姓名 准考证号图2ABCD5．一元二次方程220x x m -+=总有实数根，则m 应满足的条件是 A ．1m >B ．1m =C ．1m <D ．1m ≤6．正比例函数6y x =的图象与反比例函数6y x=的图象的交点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限7．如图1，平行四边形ABCD 中，,E F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使ABE ∆≌CDF ∆，则添加的条件不能．．是 A ．AE CF = B ．BE FD =2∠8．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(3,0)-，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为图11 2 ABCDE FA ．1B ．1或5C ．3D ．5二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）9．若29(3)()x x x a -=-+，则a = ． 10．分式方程2332x x=-的解为 ． 11．小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．12．小明放学后步行回家，他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图3所示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．13．如图4，将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是 ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）图4A80° EBCF图5BC AFED14．计算：0|3|3-+15．如图5，EF ∥BC ，AC 平分BAF ∠，80B ∠=︒．求C ∠的度数．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16．先化简，再求值：21(2)(2)(1)2x x x +-+--，其中x = 17．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图6），请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？图64 8类别文学科普其他最喜爱的各类图书的人数最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比18．“中国⋅益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图7，新大桥的两端位于A B 、两点，小张为了测量A B 、之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：76.1BDA ∠=︒，68.2BCA ∠=︒,82CD =米．求AB 的长（精确到0.1米）． 参考数据：sin76.10.97︒≈，cos76.10.24︒≈，tan76.1 4.0︒≈；sin68.20.93︒≈，cos68.20.37︒≈，tan68.2 2.5︒≈．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：图7第一周 3台 5台 1800元 第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） （1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．20．如图8，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2(2)y a x k=-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ． （1）求a ，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ ∆是以AB为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标． （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以,,,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．六、解答题（本题满分12分）21．如图9，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,AD ⊥AB ,60B ∠=︒,10AB =,4BC =，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP x =． （1）求AD 的长；DCBA图9P60°（2）点P 在运动过程中，是否存在以A P D 、、为顶点的三角形与以P C B 、、为顶点的三 角形相似？若存在，求出x 的值；若不存 在，请说明理由；（3）设ADP ∆与PCB ∆的外接圆的面积分别为1S 、2S ，若12S S S =+，求S 的最小值．益阳市2020年普通初中毕业学业考试试卷 数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9．3； 10．9x =-； 11．2.16； 12．80； 13．60︒． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）14.解：原式3131=+-=.…………………………………………………………………６分15.解：∵EF ∥BC ,∴180100BAF B ∠=︒-∠=︒.……………………………………………………２分∵AC 平分BAF ∠,∴1502CAF BAF ∠=∠=︒,………………………………………………………４分∵EF ∥BC ，∴50C CAF ∠=∠=︒.……………………………………………………………６分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16.解：21(2)(2)(1)2x x x +-+-- 212421x x x =+-+-+22x =-……………………………………………………………………………６分当x =22=-1=.…………………………………………………８分17.解：（1）被调查的学生人数为：1220%60÷=(人)；……………………………２分（2）如图48……………………５分（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有24120048060⨯=(人).………………８分18.解：设AD x =米，则(82)AC x =+米.在Rt ABC ∆中，tan ABBCA AC∠=，∴tan 2.5(82)AB AC BCA x =⋅∠=+.…………２分在Rt ABD ∆中，tan ABBDA AD∠=,∴tan 4AB AD BDA x =⋅∠=.……………………４分 ∴ 2.5(82)4x x+=，∴4103x =.………………………………………………………６分 ∴41044546.73AB x ==⨯≈.答：AB的长约为546.7米. …………………………………………………………８分五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19.解：(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元.依题意得:351800,4103100;x y x y +=⎧⎨+=⎩解得250,210.x y =⎧⎨=⎩ 答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.……………4分（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(30)a -台. 依题意得：200170(30)a a +-≤5400, 解得：10a ≤.答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.………7分（3）依题意有：(250200)(210170)(30)1400a a -+--=, 解得:20,a =此时，10a >.所以在（２）的条件下超市不能实现利润1400元的目标. …………………10分20. 解：(1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,3)B .又抛物线2(2)y a x k=-+经过点(1,0)A，(0,3)B，∴0,43;a ka k+=⎧⎨+=⎩解得1,1.ak=⎧⎨=-⎩即a，k的值分别为1，1-.………………………………………………3分（2）设Q点的坐标为(2,)m，对称轴2x=交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线2x=于点E.在Rt AQF∆中，22221AQ AF QF m=+=+，在Rt BQE∆中，22224(3)BQ BE EQ m=+=+-.∵AQ BQ=，∴2214(3)m m+=+-，∴2m=.∴Q点的坐标为(2,2).………………………………………………………6分（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直.所以AC应为正方形的对角线.又对称轴2x=是AC的中垂线，所以，M点与顶点(2,1)P-重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2,1).此时，1MF NF AF CF====，且AC MN⊥，∴四边形AMCN为正方形.在Rt AFN∆中，AN== (10)分六、解答题（本题满分12分）21.解：(1)过点C 作CE AB ⊥于E .在Rt BCE ∆中，60B ∠=︒，4BC =.∴sin 4CE BC B =⋅∠==∴AD CE ==. (2)分(2)存在.若以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似，则PCB∆必有一个角是直角. ……………………………………………………3分①当90PCB ∠=︒时，在Rt PCB ∆中，4,60BC B =∠=︒，8PB =， ∴2AP AB PB =-=.又由(1)知AD =Rt ADP ∆中 ,tan AD DPA AP ∠===， ∴60DPA ∠=︒，∴DPA B ∠=∠. ∴ADP∆∽CPB ∆. ………………………………………………………………5分②当90CPB ∠=︒时，在Rt PCB ∆中，60B ∠=︒，4BC =，∴2PB =，PC =8AP =. 则AD AP PC PB ≠且AD APPB PC≠，此时PCB ∆与ADP ∆不相似. ∴存在ADP∆与CPB∆相似，此时2x =.………………………………………7分（3）如图，因为Rt ADP ∆外接圆的直径为斜边PD ，∴22112()24PD x S ππ+=⋅=⋅.①当210x <<时，作BC 的垂直平分线交BC 于H ，交AB 于G ；作PB 的垂直平分线交PB 于N ，交GH 于M ，连结BM .则BM 为PCB ∆外接圆的半径.在Rt GBH ∆中，122BH BC ==，30MGB ∠=︒，∴4BG =, 又111(10)5222BN PB x x ==-=-，∴112GN BG BN x =-=-. 在Rt GMN ∆中，∴1tan (1)2MN GN MGN x =⋅∠=-. 在Rt BMN ∆中，222211676333BM MN BN x x =+=-+， ∴22211676()333S BM x x ππ=⋅=-+. ②当02x <≤时，2211676()333S x x π=-+也成立. …………………………10分∴22121211676()4333x S S S x x ππ+=+=⋅+-+2732113()1277x ππ=-+.∴当327x =时,12S S S =+取得最小值1137π. ………………………………12分DCBA第21题解图2P 60°NGMHDCBA第21题解图1P 60°E (P ) P。

益阳中考数学试题及答案

益阳中考数学试题及答案

益阳中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.5B. πC. 0.33333D. √4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长度为6，腰长为5，那么这个三角形的周长是多少？A. 16B. 17C. 18D. 19答案：A3. 已知函数y=2x+3，当x=2时，y的值是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：A4. 一个圆的直径为10cm，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 下列哪个选项是二次函数？A. y=x+1B. y=x^2+2x+1C. y=3xD. y=1/x答案：B6. 如果一个数的平方是25，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C7. 一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？A. 24B. 26C. 28D. 30答案：A8. 一个数的相反数是-3，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A9. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：A10. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：812. 如果一个角是30°的余角，那么这个角的度数是______。

答案：60°13. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。

答案：314. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第五项是______。

答案：1715. 如果一个三角形的内角和是180°，其中一个角是90°，另外两个角的度数之和是______。

益阳中考数学试题及答案

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益阳中考数学试题及答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^2 + 3x - 4$，则该函数的图像是一个（）。

A. 抛物线B. 直线C. 双曲线D. 双曲线解析式如下：2. $y = 3x + 2$ 和 $y = 4x - 1$ 的解集为（）。

A. (1, 5)B. (-3, -7)C. (1, 2)D. (-2, 3)3. 若 $a^2 + b^2 = 25$，且 $ab = 6$，则 $a - b$ 的取值范围是（）。

A. $\left[-\sqrt{61}, \sqrt{61}\right]$B. $\left[-\sqrt{31},\sqrt{31}\right]$C. $\left[-\sqrt{29}, \sqrt{29}\right]$D. $\left[-\sqrt{21},\sqrt{21}\right]$4. 曲线 $y = \sqrt{2x + 1}$ 的图像在直线 $y = 2$ 的上方的区间为（）。

A. $\left(-\infty, -\frac12 \right]$B. $\left[-\frac12, +\infty\right)$C. $\left[-\infty, -\frac12 \right)$D. $\left(-\frac12, +\infty\right]$5. $\frac{2}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{5}{\sin x \cos x}$ 的解集为（）。

A. $\left\{\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \mid k \in\mathbb Z\right\}$B. $\left\{\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{11\pi}{6} + \pi k \mid k \in\mathbb Z\right\}$C. $\left\{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb Z\right\}$D. $\left\{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{6} \mid k \in \mathbb Z\right\}$二、计算题1. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} + \frac{4}{5} -\frac{5}{6} + \frac{6}{7}$。

益阳中考数学试题(解析版)

益阳中考数学试题(解析版)

湖南省益阳市 20XX 年中考数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每题 4 分，共 32 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（ 4 分）（ 2013?益阳）据益阳市统计局在网上公布的数据，20XX 年益阳市地域生产总值（GDP ）打破千亿元大关，达到了 1020 亿元，将 102 000 000 000 用科学记数法表示正确的是（）A ． 111010111.02×10 B ． 10.2×10C ． 1.02×10D ． 1.2×10考点：科学记数法 —表示较大的数．剖析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，此中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确立 n 的值时，要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位， n 的绝对值与小数点挪动的位数同样． 当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．解答：解：将 102 000 000 000 用科学记数法表示为：1.02×1011．应选： A ．a ×10n的形式，此中 1≤|a|评论：本题考察了科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为 ＜ 10， n 为整数，表示时重点要正确确立 a 的值以及 n 的值．2．（ 4 分）（ 2013?益阳）以下运算正确的选项是（ ）3÷a=62 2 42 22 2A ． 2aB ． （ ab ） =abC ． （ a+b ）（ a ﹣ b ）=aD ． （ a+b ） =a +b﹣ b2考点：平方差公式；幂的乘方与积的乘方；完好平方公式；整式的除法．剖析：依据单项式的除法法例，以及幂的乘方， 平方差公式以及完好平方公式即可作出判断．32解答：解： A 、 2a ÷a=2a ，应选项错误；222 4，应选项错误；B 、（ab ） =a bC 、正确； 2 2 2，应选项错误．D 、（a+b ） =a +2ab+b 应选 C ．评论：本题考察了平方差公式和完好平方公式的运用，理解公式结构是重点， 需要熟 练掌握并灵巧运用．3．（ 4 分）（ 2013?益阳）分式方程的解是（）A ． x=3B ． x=﹣3C ． x=D ． x=考点：解分式方程．专题：计算题．剖析：分式方程去分母转变为整式方程，求出整式方程的解获得x 的值， 经查验即可获得分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x ﹣ 6，解得： x=﹣ 3，经查验 x=﹣ 3 是分式方程的解．应选 B．评论：本题考察认识分式方程，解分式方程的基本思想是“转变思想”，把分式方程转变为整式方程求解．解分式方程必定注意要验根．4．（ 4 分）（ 2013?益阳）实行新课改以来，某班学生常常采纳“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的状况进行了综合评分．下表是此中一周的统计数据：组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是（）A ． 88， 90B． 90，90C． 88， 95D． 90， 95考点：众数；中位数．剖析：依据众数和中位数的定义，联合表格和选项选出正确答案即可．解答：解：把这组数据按从小到大的次序摆列为：85， 88， 90，90， 90，92， 95，故中位数为：90，众数为： 90．应选 B．评论：本题考察了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的重点是娴熟掌握众数和中位数的定义．5．（ 4 分）（ 2013?益阳）一个物体由多个完好同样的小正方体构成，它的三视图以下图，那么构成这个物体的小正方体的个数为（）A ． 2 个B． 3 个C． 5 个D． 10 个考点：由三视图判断几何体．剖析：从主视图与左视图能够得出此图形只有一排，从俯视图能够考证这一点，从而确立个数．解答：解：从主视图与左视图能够得出此图形只有一排，只好得出一共有5 个小正方体，从俯视图能够考证这一点，从而确立小正方体总个数为5 个．应选； C．评论：本题主要考察了由三视图判断几何体的形状，此问题是中考取热门问题，同学们应熟练掌握．6．（ 4 分）（ 2013?益阳）如图，在平行四边形ABCD 中，以下结论中错误的选项是（）A ．∠1= ∠ 2B．∠ BAD= ∠BCDC． A B=CD D． A C⊥ BD考点：平行四边形的性质．剖析：依据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相均分别判断得出即可．解答：解：∵在平行四边形ABCD 中，∴AB ∥ CD ，∴∠ 1=∠2，故此选项正确，不合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ BAD= ∠ BCD ， AB=CD ，故 B， C 选项正确，不合题意；没法得出 AC ⊥ BD ，故此选项错误，切合题意．应选 D．评论：本题主要考察了平行四边形的性质，娴熟掌握有关的性质是解题重点．7．（ 4 分）（ 2013?益阳）抛物线 y=2 （ x﹣2）3） +1 的极点坐标是（A ．（3， 1）B．（ 3，﹣ 1）C．（﹣ 3， 1）D．（﹣ 3，﹣ 1）考点：二次函数的性质．剖析：依据极点式分析式写出极点坐标即可．解答：解：抛物线2y=2（x﹣ 3） +1 的极点坐标是（ 3， 1）．应选 A ．评论：本题考察了二次函数的性质，娴熟掌握极点式分析式是解题的重点．8．（ 4 分）（ 2013?益阳）已知一次函数数轴上表示正确的选项是（）y=x ﹣ 2，当函数值y＞ 0 时，自变量x 的取值范围在A ．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；一次函数的性质．剖析：由已知条件知x﹣ 2＞ 0，经过解不等式能够求得x＞ 2．而后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：∵一次函数y=x ﹣ 2，∴函数值y＞ 0 时， x﹣ 2＞0，解得， x＞2，表示在数轴上为：应选 B．评论：本题考察了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分红若干段，假如数轴的某一段上边表 示解集的线的条数与不等式的个数同样， 那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时 “≥”，“≤”要用实心圆点表示； “＜ ”， “＞ ”要用空心圆点表示．二、填空题（本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分．把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上）2﹣ 4x= x （y+2 ）（ y ﹣ 2）9．（ 4 分）（ 2013?益阳）因式分解： xy ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．剖析：先提取公因式 x ，再对余下的多项式利用平方差公式持续分解．解答：解： xy 2﹣4x ，=x （ y 2﹣ 4），=x （ y+2 ）（ y ﹣ 2）．评论：本题主要考察提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式， 熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．10．（ 4 分）（ 2013?益阳）化简： = 1 ． 考点 ：分式的加减法． 专题：计算题．剖析：因为两分式的分母同样， 分子不一样，故依据同分母的分式相加减的法例进行计算即可． 解答：解：原式 = =1 ．故答案为： 1．评论：本题考察的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．11．（4 分）（ 2013?益阳）有三张大小、形状及反面完好同样的卡片，卡片正面分别画有正 三角形、正方形、圆，从这三张卡片中随意抽取一 张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是．考点：概率公式；轴对称图形；中心对称图形．剖析：由正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：． 故答案为：．评论：本题考察了概率公式的应用．注意概率=所讨状况数与总状况数之比．12．（4 分）（ 2013?益阳）如图，若AB是⊙ O 的直径，AB=10cm ，∠ CAB=30 °，则BC=5cm ．考点：周角定理；含30 度角的直角三角形．剖析：依据周角定理可得出△ ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性即可得出 BC 的度．解答：解：∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90 °，又∵ AB=10cm ，∠ CAB=30 °，∴BC=AB=5cm ．故答案： 5．点：本考了周角定理及含30°角的直角三角形的性，解答本的关是依据周角定理判断出∠ACB=90 °．13．（ 4 分）（ 2013?益阳）下表中的数字是按必定律填写的，表中 a 的是 21 ．1 2 3 5 8 13 a ⋯2 3 5 8 13 21 34 ⋯考点：律型：数字的化．剖析：依据第一行第3 个数是前两个数之和，而得出答案．解答：解：依据意可得出：a=13+5=21 ．故答案： 21．点：此主要考了数字化律，依据已知得出数字的与不是解关．三、解答（本大共2 小，每小6 分，共 12 分）214．（ 6 分）（ 2013?益阳）已知：a=，b=|2|，．求代数式：a +b 4c 的．考点：代数式求．：算．剖析：将 a， b 及 c 的代入算即可求出．解答：解：当 a=，b=|2|=2， c=，2a +b 4c=3+2 2=3 ．点：此考了代数式求，波及的知有：二次根式的化，，以及有理数的混淆运算，熟掌握运算法是解本的关．15．（ 6 分）（ 2013?益阳）如，在△ ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥ AB于E．求：△ABD ∽△ CBE ．考点：相像三角形的判断．专题：证明题．剖析：依据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥ BC，而后求出∠ ADB= ∠ CEB=90 °，再根据两组角对应相等的两个三角形相像证明．解答：证明：在△ ABC 中， AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥ BC ，∵ CE⊥ AB ，∴∠ ADB= ∠CEB=90 °，又∵∠ B=∠B，∴△ ABD ∽△ CBE．评论：本题考察了相像三角形的判断，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确立出两组对应相等的角是解题的重点．四、解答题（本大题共3 小题，每题8 分，共 24 分）16．（ 8 分）（ 2013?益阳）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植一种在自然光照且温度为 18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及封闭后，大棚内温度y（℃）随时间 x（小时）变化的函数图象，此中 BC 段是双曲线的一部分．请依据图中信息解答以下问题：（1）恒温系统在这日保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？（2）求 k 的值；（3）当 x=16 时，大棚内的温度约为多少度？考点：反比率函数的应用；一次函数的应用．剖析：（ 1）依据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣ 2=10（小时）；（ 2）利用待定系数法求反比率函数分析式即可；（ 3）将 x=16 代入函数分析式求出y 的值即可．解答：解：（ 1）恒温系统在这日保持大棚温度18℃的时间为10 小时．（ 2）∵点 B （12， 18）在双曲线y= 上，∴18= ，∴解得： k=216 ．（ 3）当 x=16 时， y= =13.5 ，因此当 x=16 时，大棚内的温度约为13.5℃．评论：本题主要考察了反比率函数的应用，求出反比率函数分析式是解题重点．17．（ 8 分）（ 2013?益阳）某校八年级数学课外兴趣小组的同学踊跃参加义工活动，小庆对全体小构成员参加活动次数的状况进行统计剖析，绘制了以下不完好的统计表和统计图（图）．次数10 8 6 5人数 3 a 2 1（1）表中 a= 4 ；（2）请将条形统计图增补完好；（3）从小构成员中任选一人向学校报告义工活动状况，参加了 10 次活动的成员被选中的概率有多少？考点：条形统计图；统计表；概率公式．剖析：（ 1）依据条形统计图可知a=4；（2）依据表格数据可知 6 次的人数是 2，而后补全统计图即可；（3）依据概率公式解得即可．解答：解：（ 1）由条形统计图可知次数为8 的有 4 人，因此， a=4；（2）由表可知， 6 次的有 2 人，补全统计图如图；（ 3）∵小构成员共10 人，参加了10 次活动的成员有3 人，∴ P=，答：从小构成员中任选一人向学校报告义工活动状况，参加了10 次活动的成员被选中的概率是．评论：本题考察的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获得必需的信息是解决问题的重点．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．18．（ 8 分）（ 2013?益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖畔有一条笔挺的参观小道 AB ，现决定从小岛架一座与参观小路垂直的小桥PD，小张在小路上测得以下数据：AB=80.0 米，∠ PAB=38.5 °，∠ PBA=26.5 ．请帮助小张求出小桥 PD 的长并确立小桥在小路上的地点．（以 A ， B 为参照点，结果精准到 0.1 米）（参照数据： sin38.5 °=0.62 ， cos38.5°=0.78， tan38.5°=0.80， sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．剖析：设 PD=x 米，在 Rt△ PAD 中表示出AD ，在 Rt△ PDB 中表示出 BD ，再由 AB=80.0 米，可得出方程，解出即可得出PD 的长度，既而也可确立小桥在小路上的地点．解答：解：设 PD=x 米，∵PD⊥ AB ，∴∠ ADP= ∠ BDP=90 °，在 Rt△ PAD 中， tan∠ PAD=，∴ AD=≈=x ，在 Rt△ PBD 中， tan∠ PBD=，∴ DB=≈=2x ，又∵ AB=80.0 米，∴x+2x=80.0 ，解得： x≈24.6，即 PD≈24.6 米，∴DB=2x=49.2 ．答：小桥 PD 的长度约为 24.6 米，位于 AB 之间距 B 点约 49.2 米．评论：本题考察认识直角三角形的应用，解答本题的重点是结构直角三角形，表示出有关线段的长度，难度一般．利用三角函数五、解答题（本大题共2 小题，共22 分）19．（ 10 分）（ 2013?益阳）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大批的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为 8 吨、10 吨的卡车共 12 辆，所有车辆运输一次能运输 110 吨沙石．（1）求“益安”车队载重量为8 吨、 10 吨的卡车各有多少辆？（2）跟着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165 吨以上，为了达成任务，准备新增购这两种卡车共6 辆，车队有多少种购置方案，请你一一写出．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．剖析：（ 1）依据“‘益安’车队有载重量为8 吨、 10 吨的卡车共12 辆，所有车辆运输一次能运输 110 吨沙石”分别得出等式构成方程组，求出即可；（ 2）利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165 吨以上”得出不等式求出购置方案即可．解答：解：（ 1）设“益安”车队载重量为8 吨、 10 吨的卡车分别有x 辆、 y 辆，依据题意得：，解之得：．∴ “益安”车队载重量为8 吨的卡车有 5 辆， 10 吨的卡车有7 辆；（2）设载重量为 8 吨的卡车增添了 z 辆，依题意得： 8（ 5+z） +10 （ 7+6﹣ z）＞ 165，解之得： z＜∵ z≥0 且为整数，∴z=0， 1， 2；∴6﹣ z=6， 5， 4．∴车队共有 3 种购车方案：①载重量为8 吨的卡车不购置，10 吨的卡车购置6 辆；②载重量为8 吨的卡车购置 1 辆， 10 吨的卡车购置5 辆；③载重量为8 吨的卡车购置 2 辆， 10 吨的卡车购置4 辆．评论：本题主要考察了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，依据已知得出正确的不等式关系是解题重点．20．（ 12 分）（ 2013?益阳）如图1，在△ ABC 中，∠ A=36 °， AB=AC ，∠ ABC 的均分线 BE 交AC 于 E．（1）求证： AE=BC ；（2）如图（ 2），过点 E 作 EF∥ BC 交 AB 于 F，将△ AEF 绕点 A 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜144°）获得△AE ′F′，连接 CE′，BF ′，求证： CE′=BF ′；（3）在（ 2）的旋转过程中能否存在 CE′∥ AB ？若存在，求出相应的旋转角请说明原因．α；若不存在，考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判断．剖析：（ 1）依据等腰三角形的性质以及角均分线的性质得出对应角之间的关系从而得出答案；（ 2 ）由旋转的性质可知：∠ E′AC= ∠ F′AB ，AE ′=AF ′，依据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别依据①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，求出α即可．解答：（ 1）证明：∵ AB=BC ，∠ A=36 °，∴∠ ABC= ∠ C=72 °，又∵ BE 均分∠ ABC ，∴∠ ABE= ∠ CBE=36 °，∴∠ BEC=180 °﹣∠ C﹣∠ CBE=72 °，∴∠ ABE= ∠ A ，∠ BEC= ∠ C，∴AE=BE ， BE=BC ，∴AE=BC ．（2）证明：∵ AC=AB 且 EF∥ BC，∴ AE=AF ；由旋转的性质可知：∠ E′AC= ∠ F′AB ，AE ′=AF ′，∵在△ CAE ′和△ BAF ′中，∴△ CAE ′≌△ BAF ′，∴CE′=BF ′．（ 3）存在原因：由（CE′∥AB ，1）可知 AE=BC ，因此，在△ AE F 绕点A 逆时针旋转过程中， E 点经过的路径（圆弧）与过点C 且与 AB 平行的直线l 交于 M 、 N 两点，如图：①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠ BAM= ∠ABC=72 °，又∠ BAC=36 °，∴ α=∠ CAM=36 °．②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，由AB ∥ l 得，∠ AMN= ∠BAM=72 °，∵ AM=AN ，∴∠ ANM= ∠ AMN=72 °，∴∠MAN=180 °﹣2×72°=36 °，∴ α=∠ CAN= ∠ CAM+ ∠ MAN=72 °．因此，当旋转角为 36°或 72°时， CE′∥ AB ．评论：本题主要考察了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，依据数形联合娴熟掌握有关定理是解题重点．六、解答题（本题满分10 分）21．（ 10 分）（ 2013?益阳）阅读资料：如图1，在平面直角坐标系中， A 、B 两点的坐标分别为 A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB 中点 P 的坐标为（x p，y p）．由 x p﹣ x1=x 2﹣x p，得 x p= ，同理，因此 AB 的中点坐标为．由勾股定理得2，因此 A 、 B 两点间的距离公式为AB =．注：上述公式对A、 B 在平面直角坐标系中其余地点也建立．解答以下问题：如图 2，直线 l ：y=2x+2 与抛物线 y=2x 2交于 A 、 B 两点， P 为 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 C．（1）求 A、 B 两点的坐标及 C 点的坐标；（2）连接 AB 、 AC ，求证△ ABC 为直角三角形；（3）将直线 l 平移到 C 点时获得直线 l ′，求两直线 l 与 l ′的距离．考点：二次函数综合题．剖析：（ 1）依据 y=2x+2 与抛物线y=2x 2交于 A 、B 两点，直接联立求出交点坐标，从而得出C 点坐标即可；（2）利用两点间距离公式得出 AB 的长，从而得出 PC=PA=PB ，求出∠PAC+∠ PCB=90°，即∠ ACB=90 °即可得出答案；（3）点 C 作 CG⊥AB 于 G，过点 A 作 AH ⊥ PC 于 H，利用 A ，C 点坐标得出 H 点坐标，从而得出 CG=AH ，求出即可．解答：（ 1）解：由，解得：，．则 A ， B 两点的坐标分别为： A （， 3﹣）， B （， 3+ ），∵ P 是 A ， B 的中点，由中点坐标公式得P 点坐标为（， 3），又∵ PC⊥ x 轴交抛物线于 C 点，将 x= 代入 y=2x 2中得 y= ，∴ C 点坐标为（，）．（ 2）证明：由两点间距离公式得：AB==5， PC=|3﹣ |=，∴PC=PA=PB ，∴∠ PAC=∠ PCA，∠ PBC= ∠PCB，∴∠ PAC+∠ PCB=90 °，即∠ ACB=90 °，∴△ ABC 为直角三角形．（ 3）解：过点C 作 CG⊥AB 于 G，过点 A 作 AH ⊥ PC 于 H，则 H 点的坐标为（， 3﹣），∴S△PAC=AP ?CG=PC ?AH ，∴ CG=AH=|．﹣|=又直线l 与l ′之间的距离等于点 C 到l 的距离CG，∴直线l 与l ′之间的距离为．评论：本题主要考察了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识，依据数形联合得出 H 点坐标是解题重点．。

2022年湖南益阳中考数学试题及答案

2022年湖南益阳中考数学试题及答案

2022年湖南益阳中考数学试题及答案一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A. ﹣B. 1C. 2D.【答案】A2. 下列各式中，运算结果等于a2的是（）A. a3﹣aB. a+aC. a•aD. a6÷a3【答案】C3. 若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）A. B. C. D.【答案】D4. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】B5. 已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）A. y＝2xB. y＝x﹣1C. y＝D. y＝x2【答案】A6. 在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（）A. B. C. D.【答案】C7. 如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B8. 1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC 于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A. I到AB，AC边的距离相等B. CI平分∠ACBC. I是△ABC的内心D. I到A，B，C三点的距离相等【答案】D10. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】B二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11. 的绝对值是________．【答案】【详解】解：由绝对值的几何意义可知，在数轴上这个数到原点的距离为，故的绝对值是，故答案为．12. 计算：﹣＝_____．【答案】2【详解】解：﹣＝＝＝2．故答案为：2.13. 已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是_____．【答案】3【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴，故答案为：3．14. 反比例函数y＝的图像分布情况如图所示，则k的值可以是_____（写出一个符合条件的k值即可）．【答案】1（答案不唯一）【详解】由反比例函数y＝的图像位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，∴k＜2，∴k的值可以是1，故答案为：1（答案不唯一）．15. 如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB 的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．【答案】90【详解】解：如图：由题意得：∠APC＝34，∠BPC＝56，∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90，故答案为：90．16. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有_____只A种候鸟．【答案】800【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟，则200：10＝x：40，解得x＝800．故答案为：800．17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝_____．【答案】【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，∴cos B＝＝．故答案为：．18. 如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．【答案】4【详解】解：∵正方形ABCD边长为3，∴AC＝3，∴AA′＝AC＝，∴A′C＝2，由题意可得重叠部分是正方形，∴重叠部分的正方形的边长为，∴S重叠部分＝4．故答案为：4．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．【答案】0【分析】先利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简，然后运算即可．【详解】解：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷＝1+（﹣3）+＝0【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．20. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．【答案】见解析【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．21. 如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y 轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．（1）求点A′的坐标；（2）确定直线A′B对应的函数表达式．【答案】（1）A′（2，0）（2）y＝﹣x+2【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【小问1详解】解：令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．小问2详解】解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人（2）a，b，c的值分别为8，9，8（3）（1）班成绩更均匀【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．【小问1详解】解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；【小问2详解】由题意知：a＝＝8；∵9分占总体的百分比为28%是最大的，∴9分的人数是最多的，∴众数为9分，即b＝9；由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，∴c＝＝8；答：a，b，c的值分别为8，9，8；【小问3详解】∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．23. 如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【答案】（1）见解析（2）30°（3）2π﹣2【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO ＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．【小问1详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；【小问2详解】由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；【小问3详解】由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分面积是﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．24. 在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【答案】（1）甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻（2）最多安排甲收割4小时【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【小问1详解】解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．【小问2详解】设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＝2（2）m＝﹣（3）存在，G（0，﹣）【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论；（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值；（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论．【小问1详解】解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点在抛物线上，，．【小问2详解】解：直线与抛物线，分别交于点，，，，，，当时，的最大值为，的最大值为4，，解得，，．【小问3详解】解：存在，理由如下：设点的坐标为，则，，点在轴正半轴上，且，，，，，．如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，，，，，，，，即．，，，解得．．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．26. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE 于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？【答案】（1）答案不唯一，如△AFB∽△BCE（2）CE＝7.5（3）当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F 为腰的等腰三角形【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；（2）根据△AFB∽△BGC，得，即，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．【小问1详解】解：（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；【小问2详解】∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴，即，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴，即，∴CE＝7.5；【小问3详解】分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴，即，∴，∴CE＝；②当C'F＝BF时，如图3，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．》》》》》》考试辅导资料——2023年整理《《《《《《。

2020年湖南省益阳市中考数学试卷(含答案解析)

2020年湖南省益阳市中考数学试卷(含答案解析)

2020年湖南省益阳市中考数学试卷副标题得分1.四个实数1, 0,、 /3, 一3中，最大的数是（） A. 1 B. 0 C. y/3D. —32.将不等式组g÷2≥θ,的解集在数轴上表示，正确的是（）4. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2, 3, 4,且这组数据的平均数为45. 同时满足二元一次方程X- y=9和4x + 3y = 1的x, y 的值为（）6. 下列因式分解正确的是（）A. a(a -b)- b(a — b) = (a — b)(a + b)B. α2 - 9b 2 = (a-3b)2C. a 2 + 4ab + 4b 2 = (a + 26)2D ・ a? — ab + a = a (a — b)第3页，共21页则这组数据的中位数为（） A. 7B.4C. 3.5D. 3D.(x = 3& = 一67.一次函数y = kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.k <0B. b = —1C.y随Λ∙的增大而减小D.当x>2时，kx + b < O8.如图，UABCD的对角线AC9 BD交于点0,若4C = 6, BD=Q9则AB的长可能第16贞，共21页是（）A. 10B. 8C. 7D. 69.如图，在A∕18C中，AC的垂直平分线交AB于点D, DC平分乙ACB,若"=50。

,贝怯B的度数为（）A. 25。

10. 如图，在矩形ABCD中，E是DCt的一点，△初E是等边三角形，AC交BE于点F,则下列结论不成立的是（12. A- ^AE = 30° B.如C = 45。

C.⅛=≡我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功立点于距离地球)D竺=空AB 2D.36000千米的地球同步轨道.如图，ABIlCD.丄 4E,E13.小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角LAOB = 90。

益阳中考数学试题答案.doc

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参考答案及评分标准一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 56 7 8 答案ABADCCBC二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9. 81.210⨯ 10. 30︒ 11.23π 12. 1x =- 13. 13三．解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）14．解：原式＝２－１＋２＝３. ………………………………………………６分15．解：∵AB CD //， ∴CAB DCA ∠=∠. ……………………………………2分AD DC =Q ，∴DAC DCA ∠=∠ . (4)分 ∴DAC CAB ∠=∠ ， 即AC 是DAB ∠的角平分线. …………………6分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16．解：⑴246524251⨯-=-=-； …………………………………………………2分⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-； (5)分⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++ ………………………7分 22221n n n n =+---1=-. (8)分17．解：⑴ 该校下学期七年级班主任老师年龄的众数是40； …………………2分⑵ 大专４人，中专２人（图略）； ………………………………………4分⑶ %%高级：25，初级：33.3 ； …………………………………6分⑷班主任老师是女老师的概率是41123= . (8)分18．解：⑴在Rt ∆DBC 中，sin BDDCB CD∠=，666.512sin sin 67.413BD CD DCB ∴====∠o（m ）. ……………………………3分DF AE F ABDF ⊥作于，则四边形为矩形， …………………………4分8DF AB ∴==，6AF BD ==，6EF AE AF ∴=-=， ……………………5分22226810Rt EFD ED EF DF ∆+=+=在中,=（m ）. (7)分10 6.516.5L ∴=+=（m ） (8)分五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．解:⑴ 设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元． ………1分()()1420142914181424x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，； …………………………………………3分12.5.x y =⎧⎨=⎩，解得： 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元． (4)分⑵14x y x ≤≤=当0时，；()1414 2.5 2.521x x x >-⨯=-当时，y=14+， (6)分所求函数关系式为：()()0142.52114.x x y x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， (8)分⑶2414x =>Q ，24 2.521x y x ∴=-把=代入,得: 2.5242139y =⨯-=.答：小英家三月份应交水费39元. …………………………………………10分20．解：⑴ 设抛物线的解析式为21(0)y ax a =+≠ ， ……………………1分Q 抛物线经过()1,0A ，01,1a a ∴=+=- ，21y x ∴=-+. ……………………………………2分(),0,1P P x P 'Q 、关于轴对称且,()01P '∴点的坐标为，－ P B 'Q ∥x 轴,1B ∴-点的纵坐标为,由212x x -=-=±+1 解得， ()2,1B∴-,2P B '∴=. (3)分OA P B '//Q ，CP B '∴∆∽COA ∆， …………………………………4分1222CA OA CB P B ∴==='． …………………………………5分⑵ 设抛物线的解析式为2(0)y ax m a =+≠ ……………………6分()01A Q 抛物线经过，，0,a m a m ∴+=-＝2y mx m ∴=-+． (7)分P B 'Q ∥x 轴B m ∴-点的纵坐标为， 2y m mx m m =--+=-当时，()220m x ∴-=，0m >Q ，220x ∴-=，2x ∴=±，()2,Bm ∴-，2P B '∴=， (8)分同⑴得12.22CA OA CB P B ===' ………………………………9分22CA m CB ∴=为任意正实数时，． …………………………10分六、解答题（本题满分12分）21．⑴证明：ABC ∆Q 是等边三角形 ，AB BC ∴=，60BAC BCA ∠=∠=o ． (1)分60ACDE EAC ∠o Q 四边形是等腰梯形，＝， 60AE CD ACD CAE ∴=∠=∠=︒，，+120+BAC CAE BCA ACD ∴∠∠=︒=∠∠，BAE BCD ∠=∠即． ……………………2分在ABE BCD ∆∆和中.AB CB BAE BCD AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，ABE CBD ∴∆≅∆． (3)分⑵答案不唯一．如ABN CDN ∆∆∽．证明：60BAN DCN ∠=︒=∠Q ，ANB DNC ∠=∠，ANB CND ∴∆∆∽ ． ………………………………………5分其相似比为：221AB DC ==． (6)分⑶ 由（2）得2AN AB CN CD ==，1123CN AN AC ∴==． (8)分同理13AM AC =.AM MN NC ∴==． ………………………………………9分⑷作DF BC BC F ⊥交的延长线于，120BCD ∠=︒Q ，60DCF ∴∠=︒． ……………………………………1O 分Rt CDF ∆在中，30CDF ∴∠=︒，1122CF CD ∴==，222213122DF CD CF ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭． (11)分Rt BDF ∆在中，1532,222BF BC CF DF =+=+==，222253722BD BF DF ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………12分。

2023年湖南省益阳市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省益阳市中考数学真题(解析版)

益阳市2023年初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1.【答案】C【解析】解：∵1023-<<<，∴最大的数是2．故选：C2.【答案】D【解析】解：235x x x ×=，故A 不符合题意；()236x x =，故B 不符合题意；()2239x x =，故C 不符合题意；32x x x ÷=，故D 符合题意；故选D3.【答案】D【解析】解：由轴对称图形定义可知：A ，B ，C 不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；D 选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，故选：D ．4.【答案】B【解析】解：020x x >⎧⎨-≤⎩①②，由②得：2x ≤，在数轴上表示两个不等式的解集如下：，∴不等式组的解集为：02x <≤；故选B5.【答案】A【解析】解：设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据题意得：14510121580x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选：A6.【答案】A【解析】解：把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151；∴排在最中间的数据是140，可得中位数为140，故A 符合题意；收缩压的平均数为：()113613914031481511427++⨯++=，故C 不符合题意；舒张压的数据中88出现3次，所以舒张压的数据的众数为88，故D 不符合题意；舒张压的平均数为：()190928839080887++⨯++=，∴舒张压的方差为：()()()()2222218829088928838888808877S ⎡⎤=⨯-+-+⨯-+-=⎣⎦；故D 不符合题意；故选A7.【答案】C 【解析】解：A 选项，根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，OB OD =，则OA OB =不一定成立，该选项不符合题意；B 选项，根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则OA OB ⊥不一定成立，该选项不符合题意；C 选项，根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，该选项符合题意；D 选项，根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则OBA OBC ∠=∠不一定成立，该选项不符合题意；故选：C ．8.【答案】C【解析】解：如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，∵()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，∴5AD =，5CD =，90ADC ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴2sin sin 452BAC ∠=︒=；故选C9.【答案】A【解析】解：A 选项，()()22224222121a a a a a -+=-+=-，故本选项正确，符合题意；B 选项，()21a ab a a a b ++=++，故本选项错误，不符合题意；C 选项，()()22422a b a b a b -=+-，故本选项错误，不符合题意；D 选项，()()()3322ab ab ab a b ab a b a b -=-=+-，故本选项错误，不符合题意；故选：A 10.【答案】B【解析】解：由题意可得：0,0k b >>，∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y 随自变量x 的增大而增大，故A 、C 错；当0x =时，1y =，∴图象与y 轴交于点()0,1，故B 正确；当=1x -时，0y =，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴当1x >-时，0y >，故D 错误；故选：B ．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11.【答案】61.5910⨯【解析】解：将1590000用科学记数法表示为61.5910⨯．故答案为：61.5910⨯12.【答案】10【解析】10=．故答案为：10．13.【答案】310##0.3【解析】解：由题意可得：在110 中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是310，故答案为：310.14.【答案】2x =-【解析】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -≠，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-15.【答案】63y x=-【解析】解：将反比例函数6y x =的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x=-，故答案为：63y x =-．16.【答案】120︒##120度【解析】解：∵正六边形ABCDEF ，∴正六边形的所有的内角都相等；∴()621801206FAB -⨯︒∠==︒；故答案为：120︒．17.【答案】【解析】解：∵正方形ABCD ，∴4AD DC AB ===，A ADC BCD 90∠=∠=∠=︒，∴90DCF ∠=︒，∵E 为AB 的中点，∴2AE BE ==，∴2224220DE =+=，由旋转可得：90EDF ∠=︒，DE DF =，∴==；故答案为：．18.【答案】4【解析】解：由题意可知4AD AE ==，射线AF 是BAD ∠的角平分线，∴由等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，∥MN AB ，∴由平行线分线段成比例定理得到1BN EM NC MD ==，即N 是边BC 中点，∴MN 是梯形BCDE 的中位线，∴()12MN DC EB =+，在ABCD Y 中，6CD AB ==，642BE AB AE =-=-=，则4MN =，故答案为：4．三、解答题（本题共8个小题，共78分）19.211123⎛⎫---⨯- ⎪⎝⎭134=-+=20.【答案】64︒【解析】解：∵AB CD ∥，1122∠=︒∴1122DFE ∠=∠=︒，∴18058EFG DFE ∠=︒-∠=︒，∵GE GF =，∴58FEG EFG ∠=∠=︒，∴218064FEG EFG ∠=︒-∠-∠=︒．21.【答案】11x x -+，1-【解析】解：()2112111x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭-()()()()()211111112x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⋅⎢⎥-+-+⎣⎦()()()212112x x x -=⋅+-11x x -=+；当1x =-时，原式1==-．22.【答案】（1）本次被调查的学生人数是240人；（2）12m =，45n =；图中A 等级对应的圆心角度数为108︒；（3）该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【解析】（1）解：∵4820%240÷=，∴本次被调查的学生人数是240人；（2）由题意可得：240721084812m =---=，10845%240=，∴45n =；72360108240⨯︒=︒，∴图中A 等级对应的圆心角度数为108︒；（3）∵721081200900240+⨯=，∴该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．23.【答案】（1）30︒（2）是菱形，证明见解析（3） CD 的长为43π．【解析】（1）解：如图，连接OB ，∵线段AB 与O 相切于点B ，∴90∠=︒ABO ，而120ABC ∠=︒，∴1209030OBC ∠=︒-︒=︒，∵OB OC =，∴30OBC OCB ∠=∠=︒；（2）四边形ABCD 是菱形，理由如下：∵ DB的中点为M ，30ACB ∠=︒，∴30ACD ACB ∠=∠=︒，即60DCB ∠=︒，而120ABC ∠=︒，∴1801203030CAB ACB ∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴BA BC =，∵ DB的中点为M ，CM 为直径，∴ CDCB =，∴CD CB =，∵30ACD ACB ∠=︒=∠，AC AC =，∴ACD ACB ≌△△，∴AD AB =，∴AD AB BC CD ===，∴四边形ABCD 是菱形．（3）如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，∵CD CB =，60DCB ∠=︒，∴DBC △为等边三角形，∴60DBC ∠=︒，∴2120DOC DBC ∠=∠=︒，∵菱形ABCD ，6AC =，∴3QA QC ==，AC BD ⊥，∴903060CBQ ∠=︒-︒=︒，∵30OBC ∠=︒，∴30QBO ∠=︒，∴1122OQ OB OC ==，∴132OC OC +=，2OC =，∴ CD 的长为120241803ππ⨯=．24.【答案】（1）4万元（2）8m =（3）当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【解析】（1）解：∵投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，当10x =时，21045A y =⨯=（万元）；（2）∵对A ，B 两个项目投入相同的资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，∴221255m m m =-+，整理得：280m m -=，解得：18m =，20m =（不符合题意），∴m 的值为8．（3）2125B y x x =-+设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，∴A By y y =+()22132255x x x =--+21864555x x =-++，而032x ≤≤，∴当854125x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，132641616555y =-⨯++=最大（万元）；∴当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．25.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）13【解析】（1）证明：∵线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得到DA '，∴,90DA DA ADA GDA '''=∠=∠=︒，∴90A AED ∠+∠=︒，∵A F AB '⊥，即90A FE ¢Ð=°，∴90A AEF '∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴A A '∠=∠，在ADE V 和A DG ' 中，∵A A '∠=∠，,90DA DA ADA GDA '''=∠=∠=︒，∴ADE A DG '≌△△；（2）证明：∵90BFG ACB ∠=∠=︒，∴点B ，C ，G ，F 四点共圆，∴CBG CFG ∠=∠，180ABC CGF ∠+∠=︒，∵180AGF CGF ∠+∠=︒，∴AGF ABC ∠=∠，∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴ACF ABG ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABG ACF ∽ ，∴AG BG AF CF=，即AF GB AG FC ⋅=⋅；（3）解：如图，连接EG ，∵ADE A DG '≌△△，∴DE DG =，AE A G '=，∵8AC =，1tan 2A =，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD A F '====='，∴4,2BC A D AD DE '===，2A F EF '=，∴AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x '==，∴AE A G '==，A E x '=，83CG x =-，∴,55EF x A F x '==，∴5FG x =，5BF x =，∵A G '平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S +=+ ，∴11112222DE DG EF FG BC CG BF FG ⨯+⨯=⨯+⨯，即()2111148322552255x x x x x x ⎛⎫+⨯⨯=⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：46513x =（负值舍去），∴865213AD x ==．26.【答案】（1）()2,0-（2）a =（3）6.57a <≤【解析】（1）解：对于直线():2l y a x =+，当0y =时，2x =-，∴A 点的坐标为()2,0-；（2）解：联立得：()22y ax y a x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得：=1x -或2x =，∵B 在C 的左边，∴点()()1,,2,4B a C a -，∵B 点关于x 轴的对称点为B '点，∴点()1,B a '--，∴()2222219AB a a '=-++=+，()()2222214259CB a a a '=+++=+，()()22222241616AC a a =--+=+，∵2222229259,925926181616a a a a a a +<++++=+>+，∴90B AC '∠=︒，此时222AB AC CB ''+=，即()()22291616259a a a +++=+，解得：a =；（3）解：如图，设直线():2l y a x =+与y 轴交于点D ，直线1x =分别与直线l 与抛物线E 交于点F ，E ，对于直线():2l y a x =+，当0x =时，2y a =，∴点()0,2D a ，当1x =时，3y a =，∴点()1,3F a ，对于抛物线2:E y ax =，当1x =时，y a =，∴点()1,F a ，∴2OD EF a ==，∵直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，∴封闭图形即阴影部分（不包含边界）中在y 轴上格点数恰好是13个，∴13214a <≤，解得：6.57a <≤．。

湖南省益阳市2022年中考数学真题试题(含解析)3

湖南省益阳市2022年中考数学真题试题(含解析)3

2022年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题〔此题共10个小题，每题4分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕﹣6的倒数是〔〕A．﹣B．C．﹣6 D．62．〔4分〕以下运算正确的选项是〔〕A．＝﹣2 B．〔2〕2＝6 C．+＝D．×＝3．〔4分〕以下几何体中，其侧面展开图为扇形的是〔〕A．B．C．D．4．〔4分〕解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的选项是〔〕A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3〔2x﹣1〕D．x+2＝3〔2x﹣1〕5．〔4分〕以下函数中，y总随x的增大而减小的是〔〕A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x26．〔4分〕一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的选项是〔〕A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是87．〔4分〕M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，那么△ABC一定是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．〔4分〕南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，那么此时大桥主架顶端离水面的高CD为〔〕A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+9．〔4分〕如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，以下结论不一定成立的是〔〕A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 10．〔4分〕二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下图，以下结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的选项是〔〕A．①②B．①④C．②③D．②④二、填空题〔此题共8个小题，每题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上〕11．〔4分〕国家发改委发布信息，到 2022年12月底，高速公路电子不停车快速收费〔ETC〕用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为．12．〔4分〕假设一个多边形的内角和与外角和之和是900°，那么该多边形的边数是．13．〔4分〕不等式组的解集为．14．〔4分〕如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，假设∠1＝142°，那么∠2＝度．15．〔4分〕在如下图的方格纸〔1格长为1个单位长度〕中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，那么其旋转角的度数是．16．〔4分〕小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的概率是．17．〔4分〕反比例函数y＝的图象上有一点P〔2，n〕，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，假设点Q也在该函数的图象上，那么k＝．18．〔4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2，②5﹣2＝〔﹣〕2，③7﹣2＝〔﹣〕2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．三、解答题〔此题共8个小题，共78分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕19．〔8分〕计算：4sin60°+〔﹣ 2022〕0﹣〔〕﹣1+|﹣2|．20．〔8分〕化简：〔﹣4〕÷．21．〔8分〕，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．22．〔10分〕某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数〔含驾驶员〕进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如下图的不完整的统计图表．类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05 〔1〕求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕假设某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．23．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．〔1〕判断四边形AMCD的形状，并说明理由；〔2〕求证：ND＝NE；〔3〕假设DE＝2，EC＝3，求BC的长．24．〔10分〕为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻〞轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻〞轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元〔利润＝售价﹣本钱〕．由于开发本钱下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖本钱下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．〔1〕求去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价；〔2〕该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，假设今年的水稻种植本钱为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻〞轮作收入不少于8万元，那么稻谷的亩产量至少会到达多少千克？25．〔12分〕在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，A〔1，4〕，B〔3，0〕．〔1〕求抛物线对应的二次函数表达式；〔2〕探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M 是BE的中点，那么OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两局部？请说明理由；〔3〕应用：如图2，P〔m，n〕是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：假设点A、B的坐标分别为〔x1，y1〕、〔x2，y2〕，那么线段AB的中点坐标为〔，〕．26．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．假设不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．〔1〕当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；〔2〕设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；〔3〕当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．2022年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共10个小题，每题4分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕﹣6的倒数是〔〕A．﹣B．C．﹣6 D．6【分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣6的倒数是﹣．应选：A．【点评】此题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．〔4分〕以下运算正确的选项是〔〕A．＝﹣2 B．〔2〕2＝6 C．+＝D．×＝【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法那么计算即可．【解答】解：A：＝2，故本选项错误；B：＝12，故本选项错误；C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D：根据二次根式乘法运算的法那么知本选项正确．应选：D．【点评】此题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法那么，属于根底计算能力的考查，此题较为简单．3．〔4分〕以下几何体中，其侧面展开图为扇形的是〔〕A．B．C．D．【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误．应选：C．【点评】此题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．4．〔4分〕解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的选项是〔〕A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3〔2x﹣1〕D．x+2＝3〔2x﹣1〕【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以〔2x﹣1〕，把分式方程便可转化成一元一次方程．【解答】解：方程两边都乘以〔2x﹣1〕，得x﹣2＝3〔2x﹣1〕，应选：C．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．〔4分〕以下函数中，y总随x的增大而减小的是〔〕A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答此题．【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，应选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，应选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，应选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，应选项D 不符合题意，应选：B．【点评】此题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答此题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．6．〔4分〕一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的选项是〔〕A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．【解答】解：由平均数的公式得平均数＝〔5+8+8+9+10〕÷5＝8，方差＝[〔5﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔9﹣8〕2+〔10﹣8〕2]＝2.8，将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，应选：D．【点评】此题考查了学生对平均数，众数，中位数，方差的理解．只有熟练掌握它们的定义，做题时才能运用自如．7．〔4分〕M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，那么△ABC一定是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【解答】解：如下图，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，应选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．8．〔4分〕南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，那么此时大桥主架顶端离水面的高CD为〔〕A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝a tanα，BD＝a tanβ，得出CD ＝BC+BD＝a tanα+a tanβ即可．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；应选：C．【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．9．〔4分〕如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，以下结论不一定成立的是〔〕A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP ⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．应选：D．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．10．〔4分〕二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下图，以下结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的选项是〔〕A．①②B．①④C．②③D．②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确；②∵对称轴x＜﹣1，∴﹣＜﹣1，a＞0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确．③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误；应选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题〔此题共8个小题，每题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上〕11．〔4分〕国家发改委发布信息，到 2022年12月底，高速公路电子不停车快速收费〔ETC〕用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为 1.8×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：将180 000 000科学记数法表示为1.8×108．故答案为：1.8×108．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．〔4分〕假设一个多边形的内角和与外角和之和是900°，那么该多边形的边数是 5 ．【分析】此题需先根据条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出此题即可．13．〔4分〕不等式组的解集为x＜﹣3 ．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共局部就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜1，解②得：x＜﹣3，那么不等式组的解集是：x＜﹣3．故答案为：x＜﹣3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到〔无解〕．14．〔4分〕如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，假设∠1＝142°，那么∠2＝52 度．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，故答案为：52．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．15．〔4分〕在如下图的方格纸〔1格长为1个单位长度〕中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，那么其旋转角的度数是90°．【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故答案为90°．【点评】此题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．16．〔4分〕小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的概率是．【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的概率为；故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．17．〔4分〕反比例函数y＝的图象上有一点P〔2，n〕，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，假设点Q也在该函数的图象上，那么k＝ 6 ．【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3〔n﹣1〕，解得即可．【解答】解：∵点P的坐标为〔2，n〕，那么点Q的坐标为〔3，n﹣1〕，依题意得：k＝2n＝3〔n﹣1〕，解得：n＝3，∴k＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．18．〔4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2，②5﹣2＝〔﹣〕2，③7﹣2＝〔﹣〕2，…请你根据以上规律，写出第6个等式13﹣2＝〔﹣〕2．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n〔n+1〕，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为〔﹣〕2〔n≥1的整数〕．【解答】解：写出第6个等式为13﹣2＝〔﹣〕2．故答案为13﹣2＝〔﹣〕2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．三、解答题〔此题共8个小题，共78分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕19．〔8分〕计算：4sin60°+〔﹣ 2022〕0﹣〔〕﹣1+|﹣2|．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法那么，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2＝4﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．20．〔8分〕化简：〔﹣4〕÷．【分析】根据分式的运算法那么即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝．【点评】此题考查分式的运算法那么，解题的关键是熟练运用分式的运算法那么，此题属于根底题型．21．〔8分〕，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°又∵∠D＝110°∴∠ACB＝∠D∵AB∥DE∴∠CAB＝∠E∴在△ABC和△EAD中∴△ABC≌△EAD〔AAS〕．【点评】此题是全等三角形证明的根底题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．22．〔10分〕某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数〔含驾驶员〕进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如下图的不完整的统计图表．类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05 〔1〕求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕假设某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．【分析】〔1〕由C类别数量及其对应的频率可得总数量，再由频率＝频数÷总数量可得m、n的值；〔2〕用总数量乘以B、D对应的频率求得其人数，从而补全图形；〔3〕利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：〔1〕本次调查的小型汽车数量为32÷0.2＝160〔辆〕，m＝48÷160＝0.3，n＝1﹣〔0.3+0.35+0.20+0.05〕＝0.1；〔2〕B类小汽车的数量为160×0.35＝56，D类小汽车的数量为0.1×160＝16，补全图形如下：〔3〕估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量为5000×0.3＝1500〔辆〕．【点评】此题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比拟．也考查了用样本估计总体和频率分布表．23．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．〔1〕判断四边形AMCD的形状，并说明理由；〔2〕求证：ND＝NE；〔3〕假设DE＝2，EC＝3，求BC的长．【分析】〔1〕证明四边形AMCD的对角线互相平分，且∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；〔2〕可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，那么∠DEN＝∠CDM，结论得证；〔3〕证出△MDC∽△EDN，由比例线段可求出ND长，再求MN的长，那么BC可求出．【解答】〔1〕解：四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，∴CM＝AM，∵CM为⊙O的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，∵ND＝MN，∴四边形AMCD是菱形．〔2〕∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，∴∠CEN+∠CMN＝180°，∵∠CEN+∠DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，∴CD＝CM，∴∠CDM＝∠CMN，∴∠DEN＝∠CDM，∴ND＝NE．〔3〕∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，∴△MDC∽△EDN，∴，设DN＝x，那么MD＝2x，由此得，解得：x＝或x＝﹣〔不合题意，舍去〕，∴，∵MN为△ABC的中位线，∴BC＝2MN，∴BC＝2．【点评】此题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．〔10分〕为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻〞轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻〞轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元〔利润＝售价﹣本钱〕．由于开发本钱下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖本钱下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．〔1〕求去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价；〔2〕该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，假设今年的水稻种植本钱为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻〞轮作收入不少于8万元，那么稻谷的亩产量至少会到达多少千克？【分析】〔1〕设去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；〔2〕设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．【解答】解：〔1〕设去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价分别为8元、40元；〔2〕设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，解得：z≥640；答：稻谷的亩产量至少会到达640千克．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．25．〔12分〕在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，A〔1，4〕，B〔3，0〕．〔1〕求抛物线对应的二次函数表达式；〔2〕探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M 是BE的中点，那么OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两局部？请说明理由；〔3〕应用：如图2，P〔m，n〕是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：假设点A、B的坐标分别为〔x1，y1〕、〔x2，y2〕，那么线段AB的中点坐标为〔，〕．【分析】〔1〕函数表达式为：y＝a〔x﹣1〕2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；〔2〕利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；〔3〕由〔2〕知：点N是PQ的中点，即可求解．【解答】解：〔1〕函数表达式为：y＝a〔x﹣1〕2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a〔3﹣1〕2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；〔2〕OM将四边形OBAD分成面积相等的两局部，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；〔3〕设点P〔m，n〕，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P〔4，﹣5〕；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由〔2〕知：点N是PQ的中点，将点C〔﹣1，0〕、P〔4，﹣5〕的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D〔0，3〕，同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q〔﹣，〕，∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N〔，﹣〕．【点评】此题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中〔3〕直接利用〔2〕的结论，即点N是PQ的中点，是此题解题的突破点．26．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．假设不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．〔1〕当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；〔2〕设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；〔3〕当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【分析】〔1〕作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝＝2，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；〔2〕先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；〔3〕由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，那么此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN 得＝＝，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．【解答】解：〔1〕如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为〔2，3+2〕；〔2〕∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，那么x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3〔负值舍去〕，∴OA＝3；〔3〕OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，那么此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝＝，∴cos∠OAD＝＝．【点评】此题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．。

2023年湖南省益阳市中考数学试卷与答案

2023年湖南省益阳市中考数学试卷与答案

2023年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.只有一项是符合题目要求的）1．四个实数﹣，0，2，中，最大的数是（）A ．﹣B ．0C ．2D ．2．下列计算正确的是（）A ．x 2•x 3＝x 6B ．（x 3）2＝x 5C ．（3x ）2＝6x 2D ．x 3÷x ＝x 23．如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，那么下面列出的方程组中正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：测量时间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天收缩压（毫米汞柱）151148140139140136140舒张压（毫米汞柱）90928888908088对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（）A．收缩压的中位数为139B．舒张压的众数为88C．收缩压的平均数为142D．舒张压的方差为7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（）A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC8．如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．9．下列因式分解正确的是（）A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2B．a2+ab+a＝a（a+b）C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）210．关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（）A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点（0，1）C．函数值y随自变量x的增大而减小D．当x＞﹣1时，y＜0二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27%，将1590000用科学记数法表示为．12．计算：＝．13．从1～10这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是．14．分式方程的解是．15．我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．16．如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB＝°．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为．18．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M 作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×（﹣）．20．（8分）如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，CD 上有一点G 且GE ＝GF ，∠1＝122°，求∠2的度数．21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x ＝﹣1．22．（10分）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A ：非常满意；B ：满意；C ：一般；D ：不满意，根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A 72B 108C 48D m 请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生人数是多少？（2）求图表中m ，n 的值及扇形统计图中A 等级对应的圆心角度数；（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有多少人？23．（10分）如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点M ，其延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．24．（10分）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益y A（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：y A＝x，投资B 项目一年后的收益y B（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：y B＝﹣x2+2x．（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；（3）若AC＝8，tan A＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．（1）求A点的坐标；（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．2023年湖南省益阳市中考数学试卷答案1．【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣＜0＜＜2，∴在实数﹣，0，2，中，最大的数是2，故选：C．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．2．【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A不符合题意；B．（x3）2＝x6，故B不符合题意；C．（3x）2＝9x2，故C不符合题意；D．x3÷x＝x2，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质是解答的关键．3．【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．【解答】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形，故选：D．【点评】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．4．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：由x＝2≤0得x≤2，又x＞0，则不等式组的解集为0＜x≤2．A项代表0≤x＜2；B项代表0＜x≤2；C代表x＜0且x≥2；D代表x＞0．故选：B．【点评】本题主要考查解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，解题的关键是注意＞，≥向右画；＜，≤向左画；同时还要注意“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．【分析】利用总价＝单价×数量，结合学校用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵购进A，B两种劳动工具共145件，∴x+y＝145；∵A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．且购买这批劳动工具共花费1580元，∴10x+12y＝1580，∴根据题意可列出方程组．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6.分别根据中位数、众数、算术平均数和方差的定义解答即可．【解答】解：把7天的收缩压从小到大排列，排在中间的数是140，故中位数是140，故选项A符合题意；在7天的舒张压中，88出现的次数最多，所以舒张压的众数为88，故选项B不符合题意；收缩压的平均数为：（151+148+140+139+140+136+140）＝142，故选项C不符合题意；舒张压的平均数为（90+92+88+88+90+80+88）＝88，舒张压的平均数为[2×（90﹣88）2+（92﹣88）2+（80﹣88）2+3×（88﹣88）2＝，故选项D 不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了方差、算术平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的定义以及计算方法是解答本题的关键．7．【分析】由平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．8．【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．9．【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．【解答】解：A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意；B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意；C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意；D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．10．【分析】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．11．据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27%，将1590000用科学记数法表示为 1.59×106．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：1590000＝1.59×106，故答案为：1.59×106．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．12．计算：＝10．【分析】根据二次根式的乘法法则和性质进行运算即可．【解答】解：＝＝＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则并能利用二次根式的性质化简是解题的关键．13．从1～10这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是．【分析】直接利用概率公式求解即可．【解答】解：由题意可得：在1～10中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是．故答案为：．【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．14．分式方程的解是x＝﹣2．【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程后再求解，然后进行检验，可得结果．【解答】解：，方程两边同乘x（x﹣2），去分母得4x＝2（x﹣2），解这个整式方程得x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入x（x﹣2）≠0，∴x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．【点评】此题主要是考查了解分式方程，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意要检验．15．我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是y＝﹣3．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．【点评】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．16．如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB＝120°．【分析】根据多边形的内角和及正多边形的性质计算即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为2．【分析】先根据正方形的性质得到AD＝AB＝4，∠A＝90°，AE＝2，则利用勾股定理可计算出DE＝2，再根据旋转的性质得到DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，然后利用△DEF为等腰直角三角形得到EF＝DE．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝4，∠A＝90°，∵E为AB的中点，∴AE＝2，∴DE＝＝＝2，∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，∴DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．18．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M 作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为4．【分析】延长NM交AD于点Q，再判定四边形CDQN是平行四边形，最后根据三角形的中位线的性质求解．【解答】解：延长NM交AD于点Q，由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，∴DM＝ME，∴MN∥AB，∴DQ＝AQ，CN＝BN，∴QM＝2，在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，∴四边形CDQN是平行四边形，∴QN＝CD＝AB＝6，∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的性质和三角形的中位线的性质是解题的关键．19．【分析】先根据绝对值、乘方和有理数的乘法对原式进行化简，然后合并即可．【解答】解：原式＝﹣1﹣3+4＝．【点评】本题主要考查了实数的运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．20．【分析】由平行线的性质可得∠MFD的度数，再根据补角定义得∠GEF的的度数，最后由三角形内角和定理可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∠2＝∠AEG，∵GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．21．【分析】先将括号内通分，同时把除法变成乘法，再约分化简，把x的值代入可得结果．【解答】解：（﹣）÷＝＝．当x＝﹣1时，原式＝．【点评】此题主要是考查了分式的化简求值，二次根式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键．22．【分析】（1）首先根据C的人数和所占总数的比例，求出总人数；（2）再根据图中获取信息求出m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；（3）最后根据A，B等级的学生所占比例，可得A，B等级的学生共有多少人．【解答】解：（1）根据条形图可知：C的人数是48人，所以本次被调查的学生人数是48÷20%＝240人；（2）m＝240﹣72﹣108﹣48＝12，n＝108÷240＝45%，扇形统计图中A等级对应的圆心角度数＝＝108°；（3）∵该校共有学生1200人，∴估计满意度为A，B等级的学生共有＝900人．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．解题关键是抓住每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．23．【分析】（1）根据切线的性质及角的和差求出∠OBC＝30°，再根据等腰三角形的性质求解即可；（2）根据圆的有关性质得出∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM，根据三角形内角和定理求出∠CAB＝30°＝∠ACB＝∠DCM，进而推出AB＝BC，AB∥CD，根据圆周角定理得出∠CDM＝∠CBM＝90°，利用HL证明Rt△CDM≌Rt△CBM，根据全等三角形的性质推出CD＝AB，结合AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝BC，进而判定四边形ABCD是菱形；（3）根据菱形的性质及等腰三角形的性质推出∠DAC＝30°，∠ODC＝30°，根据三角形内角和定理及角的和差推出∠ADC＝120°，∠ADO＝90°，∠COD＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC＝2，再根据弧长计算公式求解即可．【解答】解：（1）如图，连接OB，∵线段AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，∵OB＝OC，∴∠ACB＝∠OBC＝30°；（2）四边形ABCD是菱形，理由如下；连接BM，DM，∵的中点为M，∴∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠CAB＝30°＝∠ACB＝∠DCM，∴AB＝BC，AB∥CD，∵MC为⊙O的直径，∴∠CDM＝∠CBM＝90°，在Rt△CDM和Rt△CBM中，，∴Rt△CDM≌Rt△CBM（HL），∴CD＝CB，∴CD＝AB，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（3）如图，连接OD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝30°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝120°，∴OA＝2OD＝2OC，∵AC＝OA+OC＝6，∴OC＝2，∴的长＝＝π．【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式等知识，熟练运用切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式并作出合理的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）把x ＝10代入y A ＝，从而求得结果；（2）当x ＝m 时，y A ＝y B ，，从而求得结果；（3）设投入B 项目的资金是t 万元，投入A 项目的资金（32﹣t ），一年后获利为W 万元，列出关系式W ＝＝﹣，进一步得出结果．【解答】解：（1）当x ＝10时，y A ＝（万元），答：将10万元资金投入A 项目，一年后获得的收益是4万元；（2）由题意得：当x ＝m 时，y A ＝y B ，∴∴m 1＝8，m 2＝0（舍去），∴m ＝8；（3）设投入B 项目的资金是t 万元，投入A 项目的资金（32﹣t ），一年后获利为W 万元，由题意得，W ＝＝﹣，∴当t ＝4时，W 最大＝16，32﹣t ＝28，∴投入A 项目的资金是28万元，投入B 项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式．25．【分析】（1）利用ASA 证明；（2）要证AF •GB ＝AG •FC ，也就是证明△FAC ∽△GAB ，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明△AFG ∽△ACB 即可．（3）设DE ＝DG ＝x ，利用S △ACB ＝S △ADE +2S 四边形DGFE 建立方程求解．【解答】（1）证明：∵∠A +∠AGA '＝90°，∠A '+∠AGA '＝90°，∴∠A ＝∠A '，∵AD ＝A 'D ，∠ADE ＝∠A 'DG ＝90°，∴△ADE ≌△A ′DG （ASA ）；（2）证明：∵∠AFG ＝∠ACB ＝90°，∠FAG ＝∠CAB ，∴△AFG ∽△ACB ，∴＝，∴＝，∵∠FAC ＝∠GAB ，∴△FAC ∽△GAB ，∴＝，∴AF •GB ＝AG •FC ；（3）解：∵tan A ＝＝＝，AC ＝8，∴BC ＝4，∴S △ACB ＝16，设DE ＝DG ＝x ，则AD ＝A 'D ＝2x ，AE ＝A 'G ＝x ，∴A 'E ＝A 'D ﹣DE ＝2x ﹣x ＝x ，∴S △ADE ＝S △A ′DG ＝x 2，∵△A 'FE ∽△A 'DG ，∴＝，∴S △A 'FE ：S △A 'DG ＝1：5，∴S 四边形DGFE ＝S △A 'DG ＝x 2，∵S △ACB ＝S △ADE +S 四边形DCBE ，A ′G 平分四边形DCBE 的面积，∴S △ACB ＝S △ADE +2S 四边形DGFE ，∴16＝x 2+x 2，x 2＝∴x 1＝，x 2＝﹣（舍），∴AD ＝．【点评】本题考查了三角形全等和相似，对应（3），设DE ＝DG ＝x ，利用什么等量关系建立方程是关键．26．【分析】（1）解方程a （x +2）＝0；（2）表示出点A ，B ′，C 的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；（3）直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线x ＝1上，各为13个，分别求出a的范围．【解答】解：（1）令y＝a（x+2）＝0，得x＝﹣2，A点的坐标为（﹣2，0）；（2）联立直线l：y＝a（x+2）与抛物线E：y＝ax2得：，∴x2﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣1或x＝2，∴B（﹣1，a），C（2，4a），∵B点关于x轴的对称点为B′点，∴B'（﹣1，﹣a），∴AB'2＝（﹣2+1）2+（0+a）2＝a2+1，AC2＝（2+2）2+（4a﹣0）2＝16a2+16，B'C2＝（2+1）2+（4a+a）2＝25a2+9，若∠CAB'＝90°，则AB'2+AC2＝B'C2，即a2+1+16a2+16＝25a2+9，所以a＝1，若∠AB'C＝90°，则AB'2+B'C2＝AC2，即a2+1+25a2+9＝16a2+16，所以a＝，若∠ACB'＝90°，则AC2+B'C2＝AB'2，即16a2+16+25a2+9＝a2+1，此方程无解．∴a＝1或a＝．（3）如图，直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，∵D（0，2a），E（1，a），F（1，3a），∴OD＝EF＝2a，∵格点数恰好是26个，∴落在y轴和直线x＝1上的格点数应各为13个，∴落在y轴的格点应满足13＜2a≤14，即＜a≤7，①若＜a＜7，则即＜y E＜7，所以线段EF上的格点应该为（1，7），（1，8）……（1，19），∴19＜3a≤20∴＜a≤∴＜a≤②若a＝7，y E＝7，y F＝21，所以线段EF上的格点正好13个，综上，＜a≤或a＝7．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并与直角三角形和新定义结合，关键是弄清格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，并对点D、F进行定位．。

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2015年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
B
3．（5分）（2015•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳
平均数为：=3.8
4．（5分）（2015•益阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
5．（5分）（2015•益阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）
AC OB=
．
+==
=﹣
=
=
=，错误，
7．（5分）（2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为
8．（5分）（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值
根据题意，
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
9．（5分）（2015•益阳）计算：=4．
=4
10．（5分）（2015•益阳）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式y=（x＞0），答案不唯一．
（
（
（
11．（5分）（2015•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的
概率为．
所以甲没排在中间的概率是．
故答案为
12．（5分）（2015•益阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的
长为．
×=60
的长为=．
故答案为：．
13．（5分）（2015•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成1的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有5n+1根小棒．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
14．（8分）（2015•益阳）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．
15．（8分）（2015•益阳）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16．（10分）（2015•益阳）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．
（1）写出点P2的坐标；
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．
．
17．（10分）（2015•益阳）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，如图表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题
（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？
（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；
（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．
）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为
18．（10分）（2015•益阳）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．
CAB==，
×=
=，
AB=16
=．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
19．（12分）（2015•益阳）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？
．
．
20．（12分）（2015•益阳）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP 绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、
PP2．
（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；
（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；
（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．
，
°）
EB=BP BP
QBF==
QBE=
﹣
﹣）
六、解答题（本题满分15分）
21．（15分）（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
，
a=
y=
，
，
）与（
，
=
===。

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