人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《解析几何初步》全章复习与巩固 -基础
高中数学人教版必修2知识点总结
高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《解析几何初步》全章复习与巩固 -基础
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-；②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ为参数）．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．（1）当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；（2）当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。
2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= 。
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_直线、平面垂直的性质_基础
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
高中数学人教版必修2知识点总结
高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
高中数学必修二平面解析几何知识点梳理
平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率：（ 1 ）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角 .倾斜角[ 0,180 ) , 90 斜率不存在 .（ 2 ）直线的斜率：k y2 y1 ( x1 x2 ), k tan ．（ P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y 2 ) ）.x2 x12．直线方程的五种形式：（ 1）点斜式： y y1 k ( x x1 ) ( 直线l过点 P1 ( x1 , y1 ) ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x 0．（ 2）斜截式：y kx b ( b 为直线l在 y 轴上的截距 ).（ 3）两点式：y y 1 x x 1( y1 y2 ， x1 x2). y2 y 1 x 2 x 1注：①不能表示与 x 轴和y轴垂直的直线；②方程形式为： ( x 2 x1 )( y y1 ) ( y 2 y1 )( x x1 ) 0 时，方程可以表示任意直线．（ 4）截距式：xy 1 （ a , b 分别为x轴 y 轴上的截距，且 a 0, b 0 ）．a b注：不能表示与 x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（ 5）一般式：Ax By C 0 (其中 A、 B 不同时为 0)．一般式化为斜截式：y A CkA x ，即，直线的斜率：．B B B注：（ 1）已知直线纵截距 b ，常设其方程为y kx b 或 x 0 ．已知直线横截距x0 ，常设其方程为x m y x 0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或 y 0 ．已知直线过点 ( x0 , y 0 ) ，常设其方程为y k ( x x 0 ) y 0 或 x x0．（ 2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（ 1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1 或直线过原点．．．．．（ 2）直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点．．．．．．．．（ 3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1 或直线过原点．．．．．．．．4．两条直线的平行和垂直：（ 1）若l1: y k 1 x b1， l 2 : y k 2 x b2① l 1 // l 2 k1 k 2 , b1 b2；②l1 l 2 k1k 21.（ 2）若 l 1 : A1 x B1 y C1 0 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 ，有① l 1 // l 2 A1B2 A2B1且 A1C2 A2 C1．② l 1 l 2 A1 A2 B1B2 0 ．5．平面两点距离公式：( P1( x1, y1)、P2 ( x 2 , y 2 ) )， P1 P2 ( x1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 ． x 轴上两点间距离： ABx B x A ．x 0x 1 x 22线段 P 1 P 2 的中点是 M ( x 0 , y 0 ) ，则．y 1y 2y 026．点到直线的距离公式：点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 l ： AxBy C的距离： d Ax 0By 0C2．A 2B7．两平行直线间的距离：两条平行直线 l 1： AxByC 10， l 2： AxBy C 2 0 距离： d C 1 C 2．22AB8．直线系方程：（ 1）平行直线系方程：① 直线 ykxb 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线 l : AxByC0 平行 的直线可表示为 AxBy C 10 ．③过点P ( x 0 , y 0 ) 与直线 l : AxByC0 平行 的直线可表示为：A ( x x 0 )B ( yy 0 )0 ．（ 2）垂直直线系方程：① 与直线 l : AxByC0 垂直 的直线可表示为 BxAy C 1 0 ．② 过点 P ( x 0 , y 0 ) 与直线 l : AxBy C0 垂直 的直线可表示为： B ( xx 0 )A ( yy 0 )0 ．（ 3）定点直线系方程：① 经过定点 P ( x 0 , y 0 ) 的直线系方程为 yy 0 k ( x x ) ( 除直线 xx ), 其中 k 是待定的系数．② 经过定点 P ( x 0 , y 0 ) 的直线系方程为 A( xx 0 ) B ( y y 0 )0 , 其中 A , B 是待定的系数．（ 4）共点直线系方程： 经过两直线l 1： A 1 x B 1 y C 12 0 交点的直线系方， l 2： A 2 x B 2 y C程为 A 1 xB 1 yC 1 ( A 2 x B 2 y C 2 ) 0 ( 除 l 2 ) ，其中 λ 是待定的系数．9． 曲线 C 1 : f ( x , y )0与C 2 : g ( x, y)0 的交点坐标 方程组 f ( x , y )的解．g ( x , y ) 010．圆的方程：（ 1）圆的标准方程： ( x a ) 2( y b)2r 2（ r 0 ）．（ 2）圆的一般方程： x 2 y2Dx EyF0(D 2E 24 F0 ) ．（ 3）圆的直径式方程：若 A( x 1 , y 1 )， B ( x 2 , y 2 ) ，以线段 AB 为直径的圆的方程是： ( x x 1 )( x x 2 ) ( yy 1 )( yy 2 ) 0 ．注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是( D , E) ， r 1 D 2 E24 F ．22 2（ 2）一般方程的特点：① x 2和 y 2的系数相同且不为零；②没有 xy 项； ③D 2 E24 F 0（ 3）二元二次方程 Ax 2BxyCy 2DxEy F0 表示圆的等价条件是：①AC0；② B0；③ D 224 AF0 ．E11．圆的弦长的求法： （ 1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为 l ，弦心距为 d ，半径为 r ，则：“半弦长 2+弦心距 2=半径 2”—— ( l) 2d 2 r 2 ；2（ 2）代数法：设 l 的斜率为 k ， l 与圆交点分别为 A ( x 1 ,y 1 )， B ( x 2 ,y 2 ) ，则|AB|2x B | 11 y B | 1 k| x A2| yAk（其中 | x 1 x 2 |,| y 1 y 2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：① P 在在圆外 d② P 在在圆内 d③ P 在在圆上 d 13．直线与圆的位置关系：点 P ( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x a )2( y b ) 2 r 2 的位置关系有三种r ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ．r ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2．0 0r ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ．【 P 到圆心距离d( a x0 ) 2 ( b y0 ) 2 】0 与圆 ( x a ) 2 2 2的位置关系有三种 ( dAa Bb C直线 Ax By C ( y b ) rA 2): B 2圆心到直线距离为 d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y）后，所得一元二次方程的判别式为．d r 相离0 ； d r 相切0 ； d r 相交0 ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1, O2 ，半径分别为 r1 , r2， O1 O 2 dd r1 r2 外离 4 条公切线；d r1 r 2 内含无公切线；d r1 r2 外切 3 条公切线； d r1 r 2 内切1条公切线；r1 r 2 d r1 r 2 相交 2 条公切线．15．圆系方程：x2 y 2 Dx Ey F 0 ( D 2 E 2 4 F 0 )（ 1）过直线l：Ax By C 0与圆 C : x2 y 2 Dx Ey F 0 的交点的圆系方程：x 2 y 2 Dx Ey F ( Ax By C ) 0 , λ是待定的系数．（2）过圆C1: x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 与圆 C 2: x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 的交点的圆系方程：x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 ( x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 , λ是待定的系数．特别地，当 1 时， x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 ( x2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 就是( D 1 D 2 ) x ( E 1 E 2 ) y ( F1 F 2 ) 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（ 1）过圆x2 y 2 r 2上的点 P ( x0 , y 0 ) 的切线方程为: x0 x y 0 y r2．（ 2）过圆( x a) 2 ( y b ) 2 r 2上的点P ( x0, y0)的切线方程为: ( x a )( x 0 a ) ( y b )( y 0 b ) r2．（ 3）当点P ( x0, y0)在圆外时，可设切方程为y y 0 k ( x x 0 ) ，利用圆心到直线距离等于半径，即 d r ，求出 k ；或利用0 ，求出 k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x x0 ．17．把两圆x2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 与 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 方程相减即得相交弦所在直线方程 : ( D 1 D 2 ) x ( E 1 E 2 ) y ( F1 F 2 ) 0 ．18．对称问题：（ 1）中心对称：① 点关于点对称：点A( x1 , y1 ) 关于M ( x 0 , y 0 ) 的对称点 A ( 2 x0 x1 , 2 y 0 y1 ) ．② 直线关于点对称：法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法 2：求出一个对称点，在利用l 1 // l 2由点斜式得出直线方程．（2）轴对称：①点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．AA ⊥l kA A · 1k l ．点 A 、 A 关于直线l对称AA 中点在上A A中点坐标满足l方程l②直线关于直线对称：（设 a , b 关于 l 对称）法 1：若a , b相交，求出交点坐标，并在直线 a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．若a // l ，则 b // l ，且 a , b 与 l 的距离相等．法2：求出 a 上两个点 A , B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．（ 3）点 ( a, b) 关于 x 轴对称： ( a,- b) 、关于 y 轴对称： (- a, b) 、关于原点对称：(- a,- b) 、点( a, b) 关于直线 y=x 对称： ( b, a) 、关于 y= - x 对称： (- b,- a) 、关于 y = x + m 对称： ( b - m、 a +m) 、关于 y= - x+m 对称： (- b+m、 - a+m ) ．19．若A ( x1 )， C ( x 3 , y 3 ) ，则△ABC的重心G的坐标是x x x y y y, y1 )， B ( x2 , y 2 1 2 3 ， 1 2 3 ．3 320．各种角的范围：直线的倾斜角 0 180 两条相交直线的夹角0 90两条异面线所成的角0 90。
高中数学必修2知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高
《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ． 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =，则:当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论． 【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值． 【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-． 故使12//l l 的a 的值为0或16-． 解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-． 例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解． 【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=． 若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，， 解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去． 联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程； （3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案． 【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=， 故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---， 即4510x y -+=． 类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,)B ，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程； （2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程． 【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可． 【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+【解析】（1）AB的中点坐标3(,2，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0）， 圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)3y k x -=-，即3y kx k =+-， 则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：k=，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，， 解得11x y =⎧⎨=⎩，.∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)． (2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上． 举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程． 【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=． （2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得， 求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0． 举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程． 错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=． 错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =，∴ 直线l 的方程为34100x y -+=． ∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m my x m m =-++， 直线l 的斜率21mk m =+． 因为21||(1)2m m ≤+， 所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12． 圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2． 圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >． 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π． 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧． 类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==当a =（满足0a <<|MN|． 【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。
必修二数学知识点整理
必修二数学知识点整理一、立体几何初步。
（一）空间几何体。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。
- 性质：侧棱都平行且相等；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
- 分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱和斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。
- 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。
- 分类：按底面多边形的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等；底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥。
正棱锥的性质包括各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形等。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
- 性质：棱台的各侧棱延长后交于一点；棱台的上下底面是相似多边形；棱台的侧面积等于各个梯形面积之和。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
- 性质：圆柱的轴截面是全等的矩形；平行于底面的截面是与底面全等的圆；圆柱的侧面展开图是矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
- 性质：圆锥的轴截面是等腰三角形；平行于底面的截面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
- 性质：圆台的轴截面是等腰梯形；平行于底面的截面是圆；圆台的侧面展开图是扇环。
7. 球。
- 定义：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
(人教版)高中数学必修二_知识点、考点及典型例题解析(全)
必修二第一章 空间几何体 知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=3、球的体积公式：334 R V π=，球的表面积公式：24 R S π= 4、柱体h s V ⋅=，锥体h s V ⋅=31，锥体截面积比：222121h h S S =5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：lr S ⋅⋅=π侧面典型例题：★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB 212cm π. C 216cm π． D ．220cm π二、填空题★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
(完整版)高中数学人教版必修二知识点总结
(完整版)高中数学人教版必修二知识点总
结
高中数学人教版必修二知识点总结
本文档总结了高中数学人教版必修二的知识点，帮助学生进行复和总结。
以下是各个章节的重点内容：
第一章函数与导数
- 函数的概念和性质
- 函数的图像与奇偶性
- 导数的定义和性质
- 函数的单调性与极值
第二章三角函数
- 正弦、余弦、正切函数的定义和性质
- 三角函数的基本关系式
- 三角函数的图像和性质
- 三角恒等式的运用
第三章数列与数学归纳法- 数列的定义和性质
- 数列的通项公式和通项求和- 数学归纳法的原理和应用
第四章二次函数与其应用- 二次函数的定义和性质
- 二次函数的图像和性质
- 二次函数的最值问题
- 二次函数在实际问题中的应用
第五章平面向量
- 向量的定义和运算
- 向量共线与共面的判定
- 向量的数量积和性质
- 向量的应用
第六章概率
- 概率的基本概念和性质
- 随机事件与概率
- 条件概率和乘法定理
- 排列与组合的应用和概率计算
第七章统计与回归分析
- 统计的基本概念和性质
- 数据的收集和整理
- 统计图表的制作和分析
- 回归分析的原理和应用
以上是高中数学人教版必修二的主要知识点总结，希望对学生的复有所帮助。
详细内容以教材为准。
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-；②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ． 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =:当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论． 【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ； 直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-． 故使12//l l 的a 的值为0或16-． 解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-． 例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解． 【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=． 若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y-+=或320x+=(∵点P是第一象限点，∴不合题意，舍去)．联立方程000013202240x yx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得312xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x yx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得193718xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，.∴137918P⎛⎫⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y+-=关于直线:3410l x y+-=对称的直线b的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，即l为线段AB的垂直平分线（AB l⊥，AB的中点在l上）；（2）设(,)P x y是所求直线b上一点，则P关于l的对称点(,)P x y'''的坐标适合直线a的方程；（3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l，则////b l a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y+-=上取一点(2,0)A，设A点于l的对称点00(,)B x y，则00203410220423x yyx++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B-，由2403410x yx y+-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D-．由两点式可求得直线b的方程：211160x y++=．方法二：设(,)P x y是所求直线b上任一点；设P关于l的对称点(,)P x y'''，则有：''341022'4'3y yx xy yx x++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x yxx yy-+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y'''在直线:240a x y+-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=． 类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,3)B，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程； （2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程． 【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可． 【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+ 【解析】（1）AB的中点坐标3(,22-，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0）， 圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：3k=-，则直线l的方程为33y x=-+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或33y x=-+．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP 的斜率为211132-=-- ， 即有直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+， 即34m =-， 则直线l 的方程为2x －y －5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1，且a ∈R ．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=， 令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，. ∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立． 比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，， 解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O ，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0， 由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得， 求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=． 错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:．(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能 【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++， 直线l 的斜率21m k m =+． 因为21||(1)2m m ≤+， 所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12． 圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >． 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π． 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧． 类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 由空间两点间的距离公式，得||MN ==，当2a =（满足0a <<|MN|最小，最小值为2． 【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。
高中数学人教版必修2知识点总结
高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tank 。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当90,0时，0k ；当180,90时，0k ；当90时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k注意下面四点：(1)当21x x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y 直线斜率k ，且过点11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x （1212,x x y y ）直线两点11,y x ，22,y x ④截矩式：1x y ab其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000C yB xA （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000CyB xA （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：00x xk y y，直线过定点00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111C yB x A l ，0:2222C yB xA l 的交点的直线系方程为0222111C y B xA C yB xA （为参数），其中直线2l 不在直线系中。
必修二数学知识点归纳
必修二数学知识点归纳高中数学必修二的内容主要包括立体几何初步、平面解析几何初步。
以下是对这些知识点的详细归纳：一、立体几何初步1、空间几何体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
旋转体：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
2、棱柱、棱锥、棱台棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
3、圆柱、圆锥、圆台、球圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
球：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
4、中心投影与平行投影中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。
5、直观图斜二测画法：建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O。
画直观图时，把它们画成对应的 x'轴和 y'轴，两轴交于点 O'，且使∠x'O'y' ＝ 45°（或 135°），它们确定的平面表示水平平面。
已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x'轴或 y'轴的线段。
已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变；平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。
6、三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)高中数学必修二知识点汇总第一章：立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱：是由两个平行的多边形底面和若干个侧面组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
棱柱的侧面和对角面都是平行四边形，侧棱平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2) 棱锥：是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
棱锥的侧面和对角面都是三角形，平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3) 棱台：是由一个平行于棱锥底面的平面截取棱锥，截面和底面之间的部分组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。
棱台的上下底面是相似的平行多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆柱面组成的几何体。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥：是由一个圆形底面和一个以底面圆心为顶点的锥面组成的几何体。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆台面组成的几何体。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个弓形。
7) 球体：是由一个半圆面绕其直径旋转一周所形成的几何体。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图三视图是指正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）和俯视图（从上向下）组成的视图。
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度。
俯视图和侧视图是用来反映物体在不同方向上的位置关系的，前者反映长度和宽度，后者反映高度和宽度。
斜二测画法是一种直观的图示方法，它的特点是原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变，原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但长度为原来的一半。
人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
新人教版高中数学（必修二）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习空间几何体的结构【学习目标】1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2．认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构．【要点梳理】【空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为1111ABCD A B C D -、11111ABCDE A B C D E -、111111ABCDEF A B C D E F -；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱1A C 或棱柱1D B 等；五棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 等；六棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 、棱柱1AE 等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S ABCD ．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱/OO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台1111ABCD A B C D -；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO '；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为R 的球的一个截面圆半径为r ，球心与截面圆的圆心的距离为d ，则有d =要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【解析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定．举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）A．1 B．2个C．3个D．4个【答案】C【空间几何体的结构394899 同步练习】【变式2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2．有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 A【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面==EF=1，三条侧棱都相等，是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，DE DF但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．【答案】不正确．【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．例3．判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？【解析】三个图都不是台体．（1）AA 1，DD 1交于一点，而BB 1，CC 1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O 与⊙O 1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．举一反三：【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？【答案】 ①②③都不是台体．【解析】因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体．只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO 底面的平面截圆锥SO 而得的．类型二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14 cm ，，7 cm 和21 cm ．【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm ，延长1AA 交1OO 的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°． ∴SO ＝AO ＝3x cm ，12OO x cm =．∴ 1(62)2392x x x +⋅=，解得x ＝7，∴圆台的高114OO cm =，母线长1l cm ==，底面半径分别为7 cm 和21 cm ． 【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可．【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【解析】设圆锥的高为h，上、下底半径为,r R．则1013r hR h-==，解得15h=．类型三、简单几何体的组合体例5．指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的．【解析】分割原图，使它们的每一部分构成简单几何体．（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的；（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的．【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．举一反三：【变式1】如下图，观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出它们的主要结构特征．【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征．图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征．【变式2】如下图（1）是由图（2）中的平面图形（）旋转得到的．【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各顶点（如果是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）关于这条直线的对称点，再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来，也就得出相应的几何体，进而便可判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体．类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6．请画出下图所示的几何体的表面展开图．【解析】将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．表面展开图如下图所示．【总结升华】要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题．例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．【解析】将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示．【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系．举一反三：【变式1】（2016 广东雷州市月考）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．【思路点拨】根据折叠前、后的图形情况，结合线面垂直的判定定理，得出该多面体是直三棱锥．【答案】直三棱锥【解析】在正方形ABCD中，AB⊥BF，AD⊥DE，折叠后的图形B，C，D三点重合，∴三棱锥A—CEF中，AC⊥CE，AC⊥CF，CF∩CF=C，∴AC⊥平面CEF，三棱锥A—CEF是直三棱锥．故答案为：直三棱锥．【巩固练习】1．一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（）．A．棱锥B．四棱柱C．正四棱柱D．长方体E F G（不与顶点重合），过此三点作长方体的截面，那么2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点,,这个截面的形状是（）．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的4.下列图形不是正方体表面展开图的是（）．5．下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截嘶一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面．其中正确的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．36．一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（）A．一个圆台B．一个圆锥C．由两个圆锥组成的组合体D．由一个圆锥一个圆柱组成的组合体7．（2016春河北石家庄期末）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°8．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．9．,A B 为球面上相异两点，则通过,A B 两点可作的球大圆有 个．10．（2016春 安徽宿松县月考）一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足2b ac =，求这个长方体所有棱长之和．11．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，求过各侧棱中点的截面面积．12．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为1S 、2S ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h ，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).【答案与解析】1．【答案】B【解析】由棱柱定义可知，选B ．2．【答案】A【解析】 连结,,E F G 三点，用余弦定理证明知，这个三角形是锐角三角形．3．【答案】D【解析】两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A 错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B 不正确，C 不符合棱台的定义，所以应选D ．4．【答案】C【解析】 由展开图折回去形不成正方体可知选C ．5．【答案】C【解析】 ①②正确，③中截面也可以是一个三角形或椭圆等．6．【答案】D【解析】由圆柱和圆锥的定义可知，该图形是一个圆锥和圆柱．7．【答案】C【解析】一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC 的各边均为正方形的对角线长，△ABC 为等边三角形，∴∠ABC 的度数为60°．故选C ．8．【答案】49．【答案】一个或无穷多个10．【答案】32cm【解析】∵长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，∴abc =8，∵它的全面得32 cm 2，∴2(ab +bc +ca )=32，∵2b ac =，∴b =2，ac =4，a +c =6，∴这个长方体所有棱长之和为4(a +b +c )=32（cm ）．11．2【解析】如右图，△A ＇B ＇C ＇为所求的截面图形，由三角形中位线性质定理，得△A ＇B ＇C ＇∽△ABC ，且对应边长之比为1∶2．【答案】 ∴2''1124A B C ABC S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．又∵2ABC S a ∆=，∴22'''14A B C S a ∆==．12．，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为l ==斜高为h ==空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【空间几何体的三视图与直观图395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的。
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_平面_提高
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习平面【学习目标】1 .利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2 .重点掌握平面的基本性质.3 .能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】［空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1 .平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的.要点诠释：(1) “平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；(2) “平面”无厚薄之分；(3) “平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2 .平面的画法：通常画平行四边形表示平面.要点诠释：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45 ,横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画：3 .平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面a、平面0、平面7等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD ；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC或者平面BD ；4 .点、直线、平面的位置关系：(1)点A在直线a上，记作Awa；点A在直线a外，记作Ac a ；⑵点A在平面a上，记作Asa ；点A在平面a外，记作A氏a ；(3)直线I在平面a内，记作lua：直线I不在平面a内，记作l(za.要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1 .公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;⑵符号语言表述：AeI , B G I , Awa, Bea =>I ca ；(3)图形语言表述：要点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”2 .公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面：(2)符号语言表述：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面a ,使得Awa, Bea, Cea；(3)图形语言表述：要点诠释：公理2的作用是确定平面，是把^间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义.(4)公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面：②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3 .公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线:(2)符号语言表述：Pwa nPnanP = l且P E I；（3）图形语言表述:要点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.1 .证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）:②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及期隹论）.2 .证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；20辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面。
高中数学人教版必修2知识点总结
高中数学人教版必修2知识点总结高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x xy yk ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y yx x y yx x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0=++Cy B x A （0,B A 是不全为0的常数）的直线系：00=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()0,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
人教版数学必修二知识点总结
第一章立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-；②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ为参数）．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．（1）当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；（2）当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。
2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= 。
要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。
3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=。
要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--。
2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。
利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '。
特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-。
3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --。
要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：（1）如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.（2）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. （2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法： （1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =:当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程（组）解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；（3）定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A （-m -3，2），B （-2m -4，4），C （-m ，m ），D （3，3m+2），若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意。