中考数学压轴题全面突破(三卷)：点的存在性(含答案详解)
点的存在性问题
点的存在性问题考点分析：在中考压轴题中经常会出现寻找某个或几个点满足一定的条件的问题，此类问题往往需要分类讨论。
而解此类题的一般方法是：利用基本的性质、定理、判定结合勾股定理、相似、锐角三角函数来解决。
作图或者构建方程。
一、寻找点满足特殊三角形 典型例题：例1．(08年西城一模)已知抛物线221:221(0,1)C y ax amx am m a m =-+++的顶点为A ，抛物线2C 的对称轴是y 轴，顶点为B 点，且抛物线1C 和2C 关于P(1,3)成中心对称。
（1）用含m 的代数式表示抛物线1C 的顶点坐标； （2）求m 的值和抛物线2C 的解析式；（3）设抛物线2C 与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角 形时，求a 的值.针对性训练：1. （08年海淀二模）已知二次函数2y ax bx c =++的图像分别经过点（0，3），（3，0），（-2，-5）。
求：（1）求这个二次函数的解析式; （2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数的图像与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），且点A 是该图像的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B ，使△ACB 是等腰三角形，求出点B 坐标。
2. 已知二次函数m x x y +-=221的图象经过点A(-3,6)，并与x 轴交于B 、C 两点（点B 在C 的左边），P 为它的顶点.（1）试确定m 的值；（2）设点D 为线段OC 上的一点，且满足BAC DPC ∠=∠，求直线AD 的解析式；（3）在y 轴的正半轴上是否存在点M ，使P CM ∆为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由.3.（07年密云二模）如图，点A (4，m )在一次函数y ＝2x －4和二次函数y ＝ax 2的图象上，过点A 作直线y ＝n 的垂线，垂足为E ，点E 关于直线y ＝2x －4的对称点F 在y 轴上，点C 是直线y ＝2x －4与y 轴的交点．(1) 求二次函数的解析式； (2) 求实数n 的值；(3) 二次函数y ＝ax 2的图象上是否存在点P ，满足PA ＝PC ，若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4.（08重庆市卷）已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
2013年中考数学压轴题全面突破之三：点的存在性(含答案)
2013年中考数学压轴题全面突破之三：点的存在性(含答案)中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性题型特点存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等．点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等．解题思路解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．难点拆解点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有：①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达线段长．②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中，再借助线段间关系建等式．1.（2009湖北武汉）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．AO Bxy CAO Bxy C2. （2012江苏南通改编）如图，经过点A (0，﹣4)的抛物线与x 轴交于点B (﹣2，0)和点C ，O 为坐标原点． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线先向上平移个单位长度、再向左平移m（m >0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．（3）若点M 在y 轴上，且∠OMB ＋∠OAB =∠ACB ，求点M 的坐标．A B C O x yAB C O xy3. （2011广东深圳）如图1，抛物线（a ≠0）的顶点为C (1，4)，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，其中点B 的坐标为(3，0)． （1）求抛物线的解析式．（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使以D ，G ，F ，H 四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G ，H 两点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点M 作直线MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．图2QP FEO yxD CBA图1ABCD xyO 图3ABDxyO4. （2012浙江温州）如图，过原点的抛物线（m >0）与x 轴的另一个交点为A ．过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ．记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B ，C 不重合）．连接CB ，CP ． （1）当m =3时，求点A 的坐标及BC 的长． （2）当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？（3）过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．A O yx PCBM x y O xyO5. （2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣2，0)，点B 的坐标为(0，2)，点E 为线段AB 上的一动点（点E 不与点A ，B 重合）．以E 为顶点作∠OET =45°，射线ET 交线段OB 于点F ，C 为y 轴正半轴上一点，且OC AB ，抛物线的图象经过A ，C 两点．（1）求此抛物线的函数表达式． （2）求证：∠BEF =∠AOE ．（3）当△EOF 为等腰三角形时，求点E 的坐标．（4）在（3）的条件下，设直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1）中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（）倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．y xCETB F OAy xC E TB FOA点的存在性1.（1）抛物线的解析式为234y x x=-++．（2）点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．（3）点P的坐标为266525⎛⎫-⎪⎝⎭，．2.（1）抛物线的解析式为y=12x2-x-4．（2）符合条件的m的取值范围为0＜m＜52．（3）M(0，6)或M(0，-6)．3.（1）抛物线的解析式为y＝-(x-1)2+4．（2）存在，四边形DFHG的周长最小为225+，点G坐标为(1，1)，点H坐标为(12，0)．（3）存在，点T的坐标为(32，154)．4.（1）A(6，0)，BC=4．（2）m=32．（3）当m＞1时，当点E在x轴上，m=2，点E的坐标是(2，0)；当点E在y轴上，m=2，点E的坐标是(0，4)．当0＜m＜1时，当m=23时，点E的坐标是(43，0)．5.（1）抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22．（2）证明略．（3）E(-1，1)或E(-2，2-2)．（4）存在，P(0，22)或P(-1，22)．。
【中考复习】2021年中考压轴题专题训练二次函数综合题之点的存在性问题含试题解析
含试题解析一．解答题（共2小题）1．如图，已知抛物线y=−12x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BCM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC＝2S△BPD；（3）是否存在点P，使△P AD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．含试题解析参考答案与试题解析一．解答题（共2小题）1．如图，已知抛物线y=−12x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BCM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝0得−12x2﹣x+4＝0，∴x2+2x﹣8＝0，x＝﹣4或2，∴点A坐标为（2，0），点B坐标为（﹣4，0），令x＝0，得y＝2，∴点C坐标为（0，4）；（2）分两种情况：①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标为（﹣7，−272）或（5，−272），此时点F坐标为（﹣1，−272），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝6×272=81．②AB为平行四边形的对角线时，∵点F是其对称轴上的点，AB与EF互相平分，∴点E只能在抛物线顶点，∴E（﹣1，92）．设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=12×6×9＝27；（3）△BCM是等腰三角形时，设点M的坐标为（﹣1，y），分三种情况：①当C为等腰三角形顶角的顶点时，CM＝CB，∵B（﹣4，0），C（0，4），∴12+（y﹣4）2＝42+42，解得y＝4±√31，∴点M坐标（﹣1，4+√31）或（﹣1，4−√31）；②当M，为等腰三角形顶角的顶点时，MB＝MC，∴（﹣1+4）2+y2＝12+（y﹣4）2，解得y＝1，∴点M坐标为（﹣1，1）；③当点B为等腰三角形顶角的顶点时，BM＝BC，∴（﹣1+4）2+y2＝42+42，解得y＝±√23，∴点M坐标为（﹣1，√23）或（﹣1，−√23）．综上所述点M坐标为（﹣1，1）或（﹣1，4+√31）或（﹣1，4−√31）或（﹣1，√23）或（﹣1，−√23）．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC＝2S△BPD；（3）是否存在点P，使△P AD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵y ＝x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴B （0，﹣1）．当x ＝﹣3时，y ＝﹣4，∴A （﹣3，﹣4）．∵y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴{−1=c −4=9−3b +c， ∴{b =4c =−1， ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+4x ﹣1；（2）∵P 点横坐标是m （m ＜0），∴P （m ，m 2+4m ﹣1），D （m ，m ﹣1）如图1①，作BE ⊥PC 于E ，∴BE ＝﹣m ．CD ＝1﹣m ，OB ＝1，OC ＝﹣m ，CP ＝1﹣4m ﹣m 2，∴PD ＝1﹣4m ﹣m 2﹣1+m ＝﹣3m ﹣m 2，∴−m(1+1−m)2=2×−m(−3m−m 2)2，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，m 3=−12；如图1②，作BE ⊥PC 于E ，∴BE ＝﹣m ．PD ＝m 2+4m ﹣1+1﹣m ＝3m +m 2，∴−m(1+1−m)2=2×−m(m 2+3m)2， 解得：m ＝0（舍去）或m =−7+√654（舍去）或m =−7−√654， ∴m =−12，﹣2或−7−√654时，S 四边形OBDC ＝2S △BPD ；（3）如图2，当∠APD ＝90°时，设P （m ，m 2+4m ﹣1），则D （m ，m ﹣1）， ∴AP ＝m +3，CD ＝1﹣m ，OC ＝﹣m ，CP ＝1﹣4m ﹣m 2，∴DP ＝1﹣4m ﹣m 2﹣1+m ＝﹣3m ﹣m 2．在y ＝x ﹣1中，当y ＝0时，x ＝1，∴F （1，0），∴OF ＝1，∴CF ＝1﹣m ．AF ＝4√2．∵PC ⊥x 轴，∴∠PCF ＝90°，∴∠PCF ＝∠APD ，∴CF ∥AP ，∴△APD ∽△FCD ，AP CF =DP CD ，∴m+31−m =−3m−m 21−m ，解得：m ＝﹣1或m ＝﹣3（舍去），∴P （﹣1，﹣4）如图3，当∠P AD ＝90°时，作AE ⊥x 轴于E ，∴∠AEF ＝90°，CE ＝m +3，EF ＝4，AF ＝4√2，PD ＝m ﹣1﹣（﹣1+4m +m 2）＝﹣3m ﹣m 2．∵PC ⊥x 轴，∴∠DCF ＝90°，∴∠DCF ＝∠AEF ，∴AE ∥CD ．∴43+m =4√2AD， ∴AD =√2（3+m ）．∵△P AD ∽△FEA ，∴PD FA =AD AE ， ∴24√2=√2(3+m)4， ∴m ＝﹣2或m ＝﹣3（舍去）∴P （﹣2，﹣5）．当∠APD ＝90°时∴点A 与点P 关于对称轴对称∵A （﹣3，﹣4）∴P （﹣1，﹣4）综上，存在点P （﹣2，﹣5）或P （﹣1，﹣4）使△P AD 是直角三角形． 方法二：（1）略．（2）∵S 四边形OBDC ＝2S △BPD ，∴12OC ×（OB +CD ）＝2×12DP ×OC ， ∴OB +CD ＝2DP ，∵P （m ，m 2+4m ﹣1），D （m ，m ﹣1），B （0，1），∵CD ＝1﹣m ，OB ＝1，∴1+1﹣m ＝2|m 2+4m ﹣1﹣m +1|，①﹣2m 2﹣6m ＝2﹣m ，∴2m 2+5m +2＝0， ∴m 1=−12，m 2＝﹣2，②2m 2+6m ＝2﹣m ，∴2m 2+7m ﹣2＝0， m =−7+√654（舍）或m =−7−√654， ∵m ＜0，∴满足题意的解m 1=−12，m 2＝﹣2，m 3=−7−√654，（3）设P （m ，m 2+4m ﹣1），则D （m ，m ﹣1），A （﹣3，﹣4）， ∵△P AD 是直角三角形，∴PD ⊥P A ，PD ⊥DA ，P A ⊥DA ． ①PD ⊥P A ，∵PD ⊥x 轴，∴P A ∥x 轴，∴P Y ＝A Y ，∴m 2+4m ﹣1＝﹣4，∴m ＝﹣1，m ＝﹣3（舍），②PD ⊥DA ，∵PD ⊥x 轴，∴DA ∥x 轴，∴DY ＝AY ，∴m ﹣1＝﹣4，m ＝﹣3（舍）③P A ⊥DA ，∴K P A ×K DA ＝﹣1，∴m 2+4m−1+4m+3×m−1+4m+3=−1，∴m ＝﹣2，综上，存在点P 1（﹣1，﹣4），P 2（﹣2，﹣5）使△P AD 是直角三角形．。
2015中招压轴题讲解 点的存在性
商丘兴华学校成功导案（点的存在性5）主备人 初审人 审核人 九年级______班 姓名＿＿＿一、成功学习今天我们来学习动点中梯形问题，祝你学的愉快！1、成功目标⑴掌握解决因动点产生梯形问题的一般思路；⑵熟练解决相关问题。
2、成功自学例1、已知平面直角坐标系xOy 中， 抛物线y ＝ax 2－(a ＋1)x 与直线y ＝kx 的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积．3、成功量学：已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．二、成功展示三、成功检测已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2四、成功思学————————————————————————————。
2022年九年级数学中考压轴专题-与存在性问题有关的压轴题讲义附答案
中考压轴专题：与存在性问题有关的压轴题附答案知识点主要题型抛物线的存在性等腰、直角三角形掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题归纳1：抛物线的存在性问题基础知识归纳：抛物线的存在性问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、等腰梯形、直角梯形、线段的最值与面积的最值问题．基本方法归纳：等腰三角形要注意顶点问题的讨论、直角三角形主要讨论斜边、相似三角形的涉及对应边问题、梯形的上底和下底互相平行、平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分、线段的最值注意二次函数配方法的应用和对称问题．注意问题归纳：点的存在性问题中，关键是点的找法，点不要漏找．【例1】如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．【例2】在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），解答下列问题：（1）设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x 的值，使得QP ⊥DP ？试说明理由．练习题1．已知抛物线C ：23y x x m =-+，直线l ：y =kx （k ＞0），当k =1时，抛物线C 与直线l 只有一个公共点．（1）求m 的值；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，直线l 与直线l 1：y =﹣3x +b 交于点P ，且112OA OB OP+=，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线l 1与y 轴交于点Q ，问：是否在实数k 使S △APQ =S △BPQ ？若存在，求k 的值，若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线2y mx nx =+相交于A （1，，B （4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D ，使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △PM N 满足S △BC N =2S △PM N ，求出MN NC的值，并求出此时点M 的坐标．3．如图，顶点为M 的抛物线2(1)4y a x =+-分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由．（3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P （3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当PM AM -的最大值时点M 的坐标，并直接写出PM AM -的最大值．5．抛物线()240y x ax b a =-++>与x 轴相交于O 、A 两点（其中O 为坐标原点），过点P （2，2a ）作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （其中B 、C 不重合），连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ．（1）32a =时，求抛物线的解析式和BC 的长；（2）如图1a >时，若AP ⊥PC ，求a 的值；（3）是否存在实数a ，使12AP PN =，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线与x 轴交于A （6，0）、B （54-，0）两点，与y 轴交于点C ，过抛物线上点M （1，3）作MN ⊥x 轴于点N ，连接OM ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△OMN 沿x 轴向右平移t 个单位（0≤t ≤5）到△O ′M ′N ′的位置，MN ′、M ′O ′与直线AC 分别交于点E 、F ．①当点F 为M ′O ′的中点时，求t 的值；②如图2，若直线M ′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M ′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线23[(2)]5y x n =--+与x 轴交于点A （m ﹣2，0）和B （2m +3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ．（1）求m 、n 的值；（2）如图2，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；（3）如图3，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线213y x bx c =++经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．11．已知：如图，在矩形ABCD 中，Ab =6cm ，BC =8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，﹣3），动点P 在抛物线上．（1）b =，c =，点B 的坐标为；（直接填写结果）（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．13．如图，抛物线223y ax x =+-与x 轴交于A 、B 两点，且B （1，0）（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）如图1，点P 是直线y =x 上的动点，当直线y =x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；（3）如图2，已知直线2439y x =-分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线23y ax bx =+-（a ≠0）的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO =OC =3AO ，直线113y x =-+与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO ∽△EBC ；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线L ：2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B （3，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），已知对称轴x =1．（1）求抛物线L 的解析式；（2）将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC 的边界），求h 的取值范围；（3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x =﹣3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y =x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案【例1】（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；（3）存在，113y x =-．【例2】（1）S =21262x x -+，S 不存在最大值，当x =2时，S 有最小值，最小值为4；（2）当x =72时，QP ⊥DP ．练习题1．（1）4；（2）8；（3）不存在．2.（1）2y =+；（2）D （1，0）或（0，2）或（0，2）；（3），M （1+，+）．3.（1）223y x x =+-；（2）△BCM 是直角三角形；（3）N （2212-+，32）或N （2212--，32）或N （﹣2，﹣3）．4.（1）239344y x x =--+；（2）存在，P （5，3）；（3）M （1，0）或（﹣5，92-）时，|PM ﹣AM |的值最大，为5．5．（1）26y x x =-+，BC =2；（2）2（3）34.． 6.（1）241921515y x x =-++；（2）①1；②t =2时，EH 最大值为121995．7.（1）12y x =（0＜x ＜20）；（2）当x =10或x =16，存在点P 使△PEF 是Rt △．8.（1）21566y x x =-，直角三角形；（2）103；（3）M 1（52，202+），M 2（52，202-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）．9.（1）m =1，n =﹣9；（2）758；（3）P （95-，0）或（34，0）．10.（1）21213y x x =++；（2）P （92-，54-）；（3）Q （﹣4，1），Q （3，1）．11.（1）t 为258或5；（2）2131232S t t =-++；（3）t =92；（4）t =2.88．12.（1）b =﹣2，c =﹣3，B （﹣1，0）；（2）P （1，﹣4）或（﹣2，5）；（3）（2102+，32-）或（2102-，32-）．13.（1）223y x x =+-，A （﹣3，0）；（2）P （32，32）；（3）QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413．14.（1）223y x x =--；（2）证明见解析；（3）P （1，﹣1）或P （1P （1P（1，3-+）或P （1，3--15.（1）223y x x =-++；（2）2≤h ≤4；（3）P （1，4）或（0，3）或（32+，92）或（32-，3392-）．16.（1）22y x x =-+，C （﹣1，﹣3）；（2）证明见解析；（3）（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．。
中考数学压轴题“存在性”问题的解题策略(含解答)
数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典型例题】 例1.223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根，390cos 5a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且，3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。
解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==9035cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵ ∴，，a b c ===91215设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+()∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()=+-736312m m 由，x x c c 1222215+==有，即73631225736256022m m m m +-=+-= ∴，m m 124647==-∵不是整数，应舍去，m =-647当时，m =>40∆∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。
挑战中考数学压轴题全套含答案
2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DF AC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C 三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP 与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a ＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP ＝1()2POA y⨯-＝32-(2x2＋4x－6)＝－3x 2－6x ＋9，S △COP ＝1()2POC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++．所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED=．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB=．所以△CDA ∽△OBC ．②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC=．所以421m m =．解得2m =．此时222DA FD DC EC m ===，而323OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似．综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ． 考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++．图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y （1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1 请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O 很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP 与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD ＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD 与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD ＝23＝433，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．所以APAD APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM 1)m -．所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2) ＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6 考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论． 图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)． 将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QPA＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t ＝2(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3 （3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能： ①当BM OBBQ OP=3t =．解得94t =（如图5）．②当BM OP BQ OB =3t =．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a(,)16两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将1)16代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以PA ==214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PMPA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O重合，此时点P 的纵坐标为0．图2图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23． 此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P的纵坐标为也为423+．图4图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23． 此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6图7考点伸展 如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-+=+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C 三点，B、C坐标分别为(10, 0)和1824(,)，以OB55为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF 长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C 点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n 的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B 在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB．OA OC所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2图3（3）在△ABC 中，已知A (2, 0)，B (n , 0)，C (0, 2n )．讨论等腰三角形ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2．①当AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得43n =-（如图2）． ②当CA ＝CB 时，解方程4＋4n 2＝5n 2，得n ＝－2（如图3），或n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得51n +=4），或51n -=5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m －n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC 方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S 取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形． 思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，． 图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45．作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ． 所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10tt --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158． （2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4 （3）等腰三角形APQ 存在三种情况： ①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ． 解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =．例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ tAD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ tCP t-==-．又因为623CB CD==，所以CQ CBCP CD=．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ．在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图 2 图 3图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDSAP SAD=△△．所以S ＝S△AQP＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S△ABC＝24．因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -， 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t．如图2，由QP//BD，得QP AP=，即5t=．所以QP=．如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝6t，AH＝85t．5在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）①当PC＝PQ时，解方程8t-=，得t=≈3.4（如图5所示）．10②当QC＝QP=．整理，得2-+=．t t111283200所以(11t－40)(t－8)＝0．解得40t=≈3.6（如11图6所示），或t＝8（舍去）．③当CP＝CQ时，8t-=．整理，得2-=．5160t t解得16t=＝3.2（如图7所示），或t＝0（舍去）．5综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ 22QH PH +2268()()55t t t +-35．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ 22CQ CP +22(2)CP CP +5(8)t -．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，。
函数专题存在性问题(讲义)
中考压轴题之点的存在性技巧全攻略【例1】如图，在平面直角坐标系中，函数212y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于A B 、两点.过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点. （1）求直线AM 的函数解析式.（2）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A B M 、、、H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.【例 2】已知(1)A m -，与(233)B m +，是双曲线ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．ABCxy111-1-O【例3】如图，已知抛物线)0(2≠++=acbxaxy的顶点坐标为Q()1,2-，且与y轴交于点C()3,0，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【中考真题1】已知二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的图象经过点(10)A，，(20)B，，(02)C-，，直线x m=（2m>）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m=（2m>）上有一点E（点E在第四象限），使得E D B、、为顶点的三角形与以A O C、、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．yxO【中考真题2】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．【测试 1】已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
【2022挑战中考数学压轴】第2部分函数图象中点的存在性问题
第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2021年呼和浩特市中考第25题已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。
（1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．动感体验请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式．2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。
如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x 的增大而减小。
当m ＝－1时，抛物线y ＝x 2－3x 符合条件。
图1 图2 图3（2）①当BC ＝1时，矩形ABCD 的周长为6。
②如图2，抛物线y ＝x 2－3x 的对称轴为直线32x =，如果点A 在对称轴的左侧，那么3322D a x -=-。
解得3D x a =-。
所以AD ＝3－2a 。
当x ＝a 时，y ＝x 2－3x ＝a 2－3a 。
所以AB ＝3a －a 2。
所以L ＝矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD )＝2(3a －a 2＋3－2a )＝21132()22a --+。
压轴题学习讲义—点的存在性问题
压轴题学习讲义—点的存在性问题1.（江津市）26.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+， ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)ABC（3）答：存在。
理由如下： 设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<， ∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝ 11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，)2. （宁德市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5）∵点B （1，0）在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a 解得，a ＝59（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点M 的坐标为（4，5）抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5） 作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴EF ＝AB ＝2BH ＝6∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0） H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5）， 根据勾股定理得 PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104 PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝34①当∠PNF ＝90º时，PN 2+ NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+ NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º 综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．3. （莆田市）25．（14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1） 解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =； 当4x =时,4y =∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+当0x =时,1y = ()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =（图1）备用图（第25题图）（图1）（图2）BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=- 解得1x =()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴=在Rt DEF △中，42DE EF ==， 222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，， 5CD ∴= 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+= 90CFD ∴∠=° ∴C F D F⊥ 方法二：由 （1）知5544AF AC ===，AF AC ∴= 同理：BF BD = A C F A F C ∴∠=∠ AC EF ∥ A C F C F O∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理：BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥（3）存在.解：如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥ R t R t O P M O∴△∽△PM OM PQ OP ∴=PQ PMOP OM ∴=设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==， ①当Rt Rt QPO CFD △∽△时，12PQ CF OP DF === 21142x PM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴，图3②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === 2142x PM OM x ∴== 解得8x = ()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似. 4. 如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） ····································································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度．（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，10AB =过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ．∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=． ∴所求C 点的坐标为（14，12）．（2） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t A M M P∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当47471062()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． 此时P 的坐标为（9415，5310） ． （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等．5. （广州市）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
29中考数学压轴题之“存在性问题”
典例
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D， 与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)， (6，－8)．
(1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE? 若存在，请直接写 出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线 l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
典例
典例
③PO=PQ时，显然不可能，理由： ∵D（6，-8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1， ∴PO≠PQ
04
二次函数中的有关三角形面积的存在性问题
典例
如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N， 直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A，D两点，与抛物线交于B(1，m)，
典例
解析：
（2）因为ON的长是一定值，所以当 点P为抛物线的顶点时，△PON的面 积最大
又该抛物线的顶点坐标为（5/4,25/8),
此时 tan∠PON =y/x =25/8:5/4 =5/2
典例
S△ONP=½·|ON|·y=½×5/2×（-2x2+5x)=5/4（-2x2+5x)
感谢聆听
By：蜗牛老师王很圆
这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性， 正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．
01 二次函数中平行四边形的存在性问题 02 二次函数中的相似三角形存在性问题 03 二次函数中的等腰（直角）三角形存在性问题 04 二次函数中的有关三角形面积的存在性问题
挑战压轴题：二次函数中点的存在性问题
挑战压轴题：二次函数中点的存在性问题本来是想只推送一个英语内容，不过想想还是加上一道数学题吧，毕竟那英语语法内容少，一个字一个字地看加上记忆估计也不用5分钟时间，因此还是给同学们分享一道中考数学压轴题。
今天的题要手打了，由于书本比较厚，页面比较宽，拍照效果不好，所以题目手打，图片仍然拍照。
如图所示，抛物线y=ax²+bx经过点A（-4,0）、B（-2,2），连接OB、AB。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA'B'，写出A'B'的中点P的坐标，试判断点P是否在抛物线上；（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M的坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由。
看过题后，大家会发现其实难度不大，虽然有点的存在性问题，但是其涉及到的思维开阔性还是比较小的。
那么开始吧。
（1）解析式不用多说，两点代入求解即可；（2）求证等腰之家三角形，还是简单问题，得到AB=OB，然后∠AOB=45°，随即就能得到∠ABO是90°，所以结论成立；（3）逆时针旋转后，OB转到了y轴的负半轴上，A'在第四象限，根据OB和AB长度很容易能得到点B'和A'的坐标，所以点P的坐标也很容易得到；要判断点P是否在抛物线上，只需要将P的横坐标代入抛物线求得y值是否为P的纵坐标即可；（4）点的存在性问题，多数情况下算是二次函数压轴最难的部分之一，不过这道题还好，很明显情况比较少。
直角梯形，题中已经有了两条边，而且相邻，那么这两条边肯定有一条是底，一条是腰，所以过A作OB的平行线交抛物线于点M，此为第一种情况；过O作AB的平行线交抛物线于点M，此为第二种情况；这里有些同学会问，怎么找平行线？或者怎么求出来平行线的解析式呀？问这个问题的同学肯定是没有看过老师以前推送的一篇“二次函数中面积最大值问题”，里面为同学们提供了找平行线统一的方法----直线平移。
中考压轴题汇编点的存在性问题
2007年中考压轴题汇编---点的存在性问题1、（福建龙岩）如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-=………2分（2）(30)A -，(54)B ，(04)C ，…………5分 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-……6分 215466y x x ∴=-++…………………………………7分（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ···························································· 8分在1Rt ANP △中，1PN ====152P ⎛∴- ⎝⎭， ···················································································· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，22MP ==== ··· 10分25822P ⎛∴ ⎝⎭， ··············································································· 11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K =5CK ∴= 于是1OK = ························································ 13分3(2.51)P ∴-， ························································································ 14分注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 2、（河南）如图，对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3、（山东临沂）如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)为B 。
2018挑战中考数学压轴题全套含答案及解析
第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年市中考第28题例2 2014年市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年市中考第25题例5 2016年市中考第26题例6 2016年市中考第24题例7 2016年市崇明县中考模拟第25题例8 2016年市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年市中考第26题例10 2014年市第25题例11 2014年市中考第26题例12 2014年市中考第27题例13 2015年市中考第22题例14 2015年市中考第26题例15 2016年市中考第26题例16 2016年市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年市中考第21题例20 2015年市中考第26题例21 2016年市中考第26题例22 2016年市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年市中考第24题例25 2014年市中考第20题例26 2014年市中考第25题例27 2015年市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年市中考第26题例30 2016年市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年市中考第28题例38 2016年市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年市中考第26题例41 2016年省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年市中考第25题例47 2016年市中考第26题例48 2016年市闵行区中考模拟第24题例49 2016年市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年市中考第28题例54 2015年市中考第25题例55 2016年市中考第26题例56 2016年市中考第24题例57 2016年市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年市中考第26题例2 2014年市中考第25题例3 2014年市中考第25题例4 2015年市中考第25题例5 2015年市中考第26题例6 2015年市中考第25题例7 2015年市中考第26题例8 2016年市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年市中考第25题例2 2014年市中考第23题例3 2014年市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年市中考第27题例6 2015年市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年市中考第22题例11 2016年市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年市中考第25题例14 2016年市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年市中考第26题例16 2014年市中考第26题例17 2014年市中考第23题例18 2015年市中考第26题例19 2015年市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年市中考第23题例22 2016年市中考第25题例23 2016年市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年市中考第15题例2 2015年市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年市闵行区中考模拟第18题例8 2016年市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年市普陀区中考模拟第18题例10 2016年市中考第15题例11 2016年市中考第14题例12 2016年市中考第18题例13 2016年市中考第15题例14 2016年市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年市崇明县中考模拟第18题例17 2016年市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年市闸北区中考模拟第18题例20 2016年市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年省中考第10题例23 2016年市中考第10题例24 2016年省中考第16题例25 2016年市中考第10题例27 2016年市中考第10题例28 2016年省中考第14题例29 2016年江市中考第11题例30 2016年市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年市中考第4题例33 2016年市中考第6题例34 2016年市中考第16题例35 2016年市中考第14题例36 2016年市中考第13题例37 2016年市中考第18题例38 2016年市中考第17题例39 2016年市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年市中考第17题例42 2016年市中考第16题例43 2016年市中考第17题例45 2016年市中考第18题例46 2016年市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年市中考第17题例49 2016年市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年市中考第12题例54 2015年市中考第12题例55 2015年市中考第10题例56 2015年市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年市中考第18题例59 2016年市中考第19题例60 2016年市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年市中考第8题例64 2016年市中考第16题例65 2016年市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年市中考第13题例70 2016年市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年市中考第14题例73 2016年义乌市市中考第9题例74 2016年市中考第12题例75 2016年市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DF AC DE=两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A 、B 两点的坐标，怎样求A 、B 两点间的距离呢？我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长了．水平距离BC 的长就是A 、B 两点间的水平距离，等于A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是A 、B 两点间的竖直距离，等于A 、B 两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年省市中考第28题二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m ＝2时，点P 为第三象限抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1428”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ． 由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得2m =． 此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++． 图6例2 2014年省市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“1421”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD ＝23＝43，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以AP AD ＝23＝3．所以∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ． 综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-． 在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10． 这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE //y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF //y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF //PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论． 图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)．将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩ 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ ＝2t ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，AP ＝2AQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QPA ＝90°时，AQ ＝2AP ．解方程2t ＝2(3－t )，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE //QF ，当EF //PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以y E －y P ＝y F －y Q ．因为x P ＝t ，x Q ＝3－t ，所以y E ＝3－t ，y Q ＝t ，y F ＝－(3－t )2＋2(3－t )＋3＝－t 2＋4t ． 因为y E －y P ＝y F －y Q ，解方程3－t ＝(－t 2＋4t )－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝2． 由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 2 所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能： ①当BM OB BQ OP =23322t t=-．解得94t =（如图5）． ②当BM OP BQ OB =23322t t =-．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根． 考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB ＝5厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ＝6厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C ．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“1426”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23．此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23．此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年省市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值． 图图1 动感体验请打开几何画板文件名“1425”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)． 代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ． 由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ． 分三种情况讨论等腰三角形BPQ ： ①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例11 2014年省市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“1426”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB．OA OC所以tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB ＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC 中，已知A (2, 0)，B (n , 0)，C (0, 2n )．讨论等腰三角形ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2．①当AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得43n =-（如图2）． ②当CA ＝CB 时，解方程4＋4n 2＝5n 2，得n ＝－2（如图3），或n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得51n +=-（如图4），或51n -=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C (0, mn )，当点C 的坐标是(0,－1)，mn ＝－1．由A (m , 0)，B (n , 0)，C (0,－1)，得AB 2＝(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2＝m 2＋n 2＋2， BC 2＝n 2＋1，AC 2＝m 2＋1．所以AB 2＝BC 2＋AC 2．于是得到Rt △ABC ，∠ACB ＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于CA ＝CB 的情况，此时A 、B 两点关于y轴对称，可以直接写出B (－2, 0)，n ＝－2．例 12 2014年省市中考第27题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连结PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图2，连结PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1427”，拖动点Q 在AC 上运动，可以体验到，当点P 运动到AB 的中点时，△APQ 的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45． 作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ． 所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --． 当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ． 解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ． 解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =．图8例 13 2015年省市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“1522”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3． 如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ． 在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDS AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -，所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =，即535t =．所以35QP t =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝22QH CH +＝2268()(8)55t t +-． 分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程358t t -=，得6510t =-≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP 时，226835()(8)55t t t +-=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-．整理，得25160t t -=．解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）． 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．图4例19 2015年省市中考第21题如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．。
数学：点的存在性(三 九年级训练考试卷)
点的存在性（三）
一、解答题(共2道，每道11分)
1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM的长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-4，0)，B(-1，0)两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴左侧的抛物线上有一动点D．
①如图1，直线y=x+3与抛物线交于点Q，C两点，过点D作直线DF⊥x轴交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为:1？若
存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图2，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当□ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接下来此时S的值以及相应的D点坐标．。
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中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性
题型特点
存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等．
点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等．
解题思路
解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．
难点拆解
点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有：
①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达线
段长．
②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结合
关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．
③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中，
再借助线段间关系建等式．
1.（2009湖北武汉）如图，抛物线错误！未找到引用源。
经过A(﹣1，0)，C(0，4)
两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
A
O B
x
y C
A
O B
x
y C
2. （2012江苏南通改编）如图，经过点A (0，﹣4)的抛物线错误！未找到引用源。
与x 轴交于点B (﹣2，0)和点C ，O 为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将抛物线错误！未找到引用源。
先向上平移错误！未找到引用源。
个单位长度、再向左平移m （m >0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．
（3）若点M 在y 轴上，且∠OMB ＋∠OAB =∠ACB ，求点M 的坐标．
A B C O x y
A
B C O x
y
3. （2011广东深圳）如图1，抛物线错误！未找到引用源。
（a ≠0）的顶点为
C (1，4)，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
D ，其中点B 的坐标为(3，0)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使以D ，G ，F ，H 四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G ，H 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点M 作直线MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
Q
P F
E
O y
x
D C
B
A
图1A
B
C
D x
y
O 图3
A
B
D
x
y
O
4. （2012浙江温州）如图，过原点的抛物线错误！未找到引用源。
（m >0）与x
轴的另一个交点为A ．过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点
B ．记点B 关于抛物线对称轴的对称点为
C （B ，C 不重合）．连接CB ，CP ． （1）当m =3时，求点A 的坐标及BC 的长．
（2）当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？
（3）过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
A O y
x P
C
B
M x y O x
y
O
5.（2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣2，0)，
点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重
合）．以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC AB，抛物线错误！未找到引用源。
的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）求证：∠BEF=∠AOE．
（3）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标．
（4）在（3）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF 的面积是△EDG面积的（错误！未找到引用源。
）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
点的存在性
y
x
C
E
T
B
F
O
A
y
x
C
E
T
B
F
O
A
1.（1）抛物线的解析式为234
y x x
=-++．（2）点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．
（3）点P的坐标为
266
525
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，．
2.（1）抛物线的解析式为y=1
2
x2-x-4．
（2）符合条件的m的取值范围为0＜m＜5
2
．
（3）M(0，6)或M(0，-6)．
3.（1）抛物线的解析式为y＝-(x-1)2+4．
（2）存在，四边形DFHG的周长最小为225
+，点G坐
标为(1，1)，点H坐标为(1
2
，0)．
（3）存在，点T的坐标为(3
2，15
4
)．
4.（1）A(6，0)，BC=4．
（2）m=3
2
．
（3）当m＞1时，
当点E在x轴上，m=2，点E的坐标是(2，0)；
当点E在y轴上，m=2，点E的坐标是(0，4)．
当0＜m＜1时，
当m=2
3时，点E的坐标是(4
3
，0)．
5.（1）抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22．
（2）证明略．
（3）E(-1，1)或E(-2，2-2)．
（4）存在，P(0，22)或P(-1，22)．。