树形数位动态规划_黄哲威
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划方案学习速成攻略与实践案例
动态规划方案学习速成攻略与实践案例一、前言大家好，今天我来给大家分享一份关于动态规划的学习攻略和实践案例。
动态规划是算法领域的一种重要技术，广泛应用于各种场景，如最长公共子序列、背包问题、最长递增子序列等。
掌握动态规划，不仅可以提高解决问题的效率，还可以提升自己的编程能力。
我们就一起走进动态规划的世界，探寻其中的奥秘。
二、动态规划学习攻略1.理解动态规划的基本概念动态规划是一种分阶段决策的过程，它将一个问题分解为若干个子问题，并通过解决子问题来求解原问题。
动态规划的核心思想是保存子问题的解，避免重复计算。
2.掌握动态规划的解题步骤（1）明确状态：将问题分解为若干个子问题，并定义状态变量，这些状态变量可以用来描述子问题的解。
（2）建立状态转移方程：根据子问题之间的关系，找出状态之间的转移规律，建立状态转移方程。
（3）确定边界条件：为了解决边界问题，需要为状态转移方程设定合适的边界条件。
（4）计算最优解：根据状态转移方程和边界条件，计算出问题的最优解。
3.学习动态规划的常用技巧（1）画出状态转移图：通过画出状态转移图，可以更清晰地理解状态之间的转移关系。
（2）使用表格法：将状态和状态转移方程写成表格形式，便于分析和计算。
（3）利用代码实现：通过编写代码，将动态规划的思想转化为程序，验证自己的思路。
三、动态规划实践案例1.最长公共子序列最长公共子序列（LongestCommonSubsequence，LCS）问题是动态规划的经典问题之一。
给定两个序列X和Y，求它们的最长公共子序列。
案例分析：我们可以用一个二维数组dp来表示X和Y的最长公共子序列。
dp[i][j]表示X的前i个字符与Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。
状态转移方程为：dp[i][j]={dp[i-1][j-1]+1,ifX[i]==Y[j]max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),otherwise}代码实现：defLCS(X,Y):m,n=len(X),len(Y)dp=[[0](n+1)for_inrange(m+1)]foriinrange(1,m+1):forjinrange(1,n+1):ifX[i-1]==Y[j-1]:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1else:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])returndp[m][n]2.0-1背包问题0-1背包问题是动态规划的另一个经典问题。
动态规划的基本思想
动态规划的基本思想动态规划是一种常见的解决问题的算法思想，它通过将复杂的问题分解成一个个子问题，逐步求解并记录下每个子问题的解，最终得到原问题的解。
这种思想在很多领域都有广泛的应用，例如计算机科学、经济学、物理学等。
一、动态规划的定义与特点动态规划是一种分治法的改进方法，它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的基本思想可以概括为“记住中间结果，以便在需要的时候直接使用”。
动态规划算法的特点包括：1. 问题可以分解为若干个重叠的子问题；2. 子问题的解可以通过已知的子问题解来求解，且子问题的解可以重复使用；3. 需要使用一个数据结构（通常是一个矩阵）来存储子问题的解，以便在需要时直接取出。
二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常可以分为以下几个基本步骤：1. 确定问题的状态：将原问题转化为一个或多个子问题，并定义清楚每个子问题的状态是什么。
2. 定义问题的状态转移方程：找出子问题之间的关系，即如何通过已知的子问题解来解决当前问题。
3. 设置边界条件：确定最简单的子问题的解，即边界条件。
4. 计算子问题的解并记录：按顺序计算子问题的解，并将每个子问题的解记录下来，以便在需要时直接使用。
5. 由子问题的解得到原问题的解：根据子问题的解和状态转移方程，计算得到原问题的解。
三、动态规划的实例分析为了更好地理解动态规划的基本思想，我们以求解斐波那契数列为例进行分析。
问题描述：斐波那契数列是一个经典的数学问题，它由以下递推关系定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
解决思路：根据递推关系，可以将问题分解为求解F(n-1)和F(n-2)两个子问题，并将子问题的解累加得到原问题的解。
根据以上思路，可以得到以下的动态规划算法实现：1. 确定问题的状态：将第n个斐波那契数定义为一个状态，记为F(n)。
2. 定义问题的状态转移方程：由递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)可得，F(n)的值等于前两个斐波那契数之和。
生成树和拓扑排序_黄哲威
假设前 k−1 步 P 选择的边都在 T 中，令此时的树为 P′
第k步选择的e=(u,v)不不在T中，假设u在P′ 中，而而v不不在
T 中必有一一条 u → v 的路路径，路路径上必有一一条边 e′ = (x,y) 满足足此 时 x 在 P′ 中而而y不不在
若 w(e′) > w(e) 则在 T 中用用 e 换掉 e′ 可得到一一个更更小小的生生成树， 矛矛盾 若 w(e′) < w(e) 则第 k 步时选的是 e′ 而而不不是 e，矛矛盾 若 w(e′) = w(e)，在 T 中用用 e 换掉 e′, 则 P 前 k 步中选择边都在 T 中 有限步后可把 T 变为 P 且权值不不变，因此 P 就是最小小生生成树
拓拓扑排序
现在来考虑一一个问题：现在有一一个工工程，这个工工程被分成了了很 多部分。有一一些部分要求前面面某些部分完成后才可以开始进 行行行。有些部分则可以同时进行行行。
我们可以把每个部分看作一一个结点，这些限制看成是有向边。
比比如说这张图就可以看成是这样一一个限制。这样的图没有环!
因此这样的图也被成为有向无无环图 (DAG)。
• 1 <= n <= 5 * 10^5，部分数据只有 Add，部分数据没有 Return 操作。
• 每次操作以后，求全图的最小小生生成树边权和，若不不存在输出 0。
UOJ14. DZY Loves Graph
• 只有加边的情况，那么当图连通后第一一次有了了最小小生生成树。
• 因为加的边权是单调递增的，最小小生生成树保持不不变直到最后。
生生成树和拓拓扑排序
2020年年1月月20日日
⻩黄哲威 hzwer
北北京大大学16级计算机科学
课程安排 2
动态规划法
动态规划法动态规划法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划法通过把问题分解为更小的子问题，并将子问题的解存储起来，以避免重复计算，从而提高了算法的效率。
动态规划法有两个核心概念：状态和状态转移方程。
在动态规划过程中，我们需要定义状态，即问题的子问题解，以及状态之间的关系，即状态转移方程。
动态规划法的一般步骤如下：1. 定义问题的子问题：将问题划分为更小的子问题，并明确子问题的解是什么。
2. 定义状态：将问题的子问题解抽象为状态，即用一个变量或者数组表示子问题的解。
3. 定义状态转移方程：根据子问题的关系，定义状态之间的转移方程，即如何根据已知的子问题解计算出更大的问题的解。
4. 缓存子问题解：为了避免重复计算，我们需要将已经计算过的子问题解存储起来，以便后续使用。
5. 递推计算：通过状态转移方程和缓存的子问题解，逐步计算出更大的问题的解，直到计算出最终的问题解。
动态规划法的关键在于找到正确的状态转移方程和合理的存储子问题解的方式。
有些问题的状态转移方程比较容易找到，比如斐波那契数列，每个数都是前两个数的和；而有些问题的状态转移方程可能比较复杂，需要通过观察问题的特点和具体分析来确定。
动态规划法的时间复杂度通常为O(n)，其中n 表示问题规模。
由于利用了子问题的解，避免了重复计算，因此动态规划法相对于暴力求解法能够大大提高算法的效率。
但是，动态规划法的空间复杂度通常较高，需要存储大量的子问题解，因此在实际应用中需要权衡时间和空间的消耗。
总的来说，动态规划法是一种非常灵活且强大的算法思想，能够解决许多复杂的问题，特别适用于具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
通过正确定义状态和状态转移方程，并结合缓存子问题解和递推计算，我们可以高效地求解这类问题，提高算法的效率。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
树形动态规划
树形动态规划动态规划： 问题可以分解成若⼲相互联系的阶段，在每⼀个阶段都要做出决策，全部过程的决策是⼀个决策序列。
要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
动态规划就是解决多阶段决策最优化问题的⼀种思想⽅法。
阶段： 将所给问题的过程，按时间或空间（树归中是空间，即层数）特征分解成若⼲相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。
状态： 各阶段开始时的客观条件叫做状态。
决策： 当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从⽽确定下⼀阶段的状态，这种决定称为决策。
（即孩⼦节点和⽗亲节点的关系）策略： 由开始到终点的全过程中，由每段决策组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。
状态转移⽅程： 前⼀阶段的终点就是后⼀阶段的起点，前⼀阶段的决策选择导出了后⼀阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段（在树中是孩⼦节点和⽗亲节点）状态的演变规律，称为状态转移⽅程。
⽬标函数与最优化概念： ⽬标函数是衡量多阶段决策过程优劣的准则。
最优化概念是在⼀定条件下找到⼀个途径，经过按题⽬具体性质所确定的运算以后，使全过程的总效益达到最优。
树的特点与性质：1、有n个点，n-1条边的⽆向图，任意两顶点间可达2、⽆向图中任意两个点间有且只有⼀条路3、⼀个点⾄多有⼀个前趋，但可以有多个后继4、⽆向图中没有环；拿到⼀道树规题，我们有以下3个步骤需要执⾏：1. 判断是否是⼀道树规题：即判断数据结构是否是⼀棵树，然后是否符合动态规划的要求。
如果是，那么执⾏以下步骤，如果不是，那么换台。
2. 建树：通过数据量和题⽬要求，选择合适的树的存储⽅式。
如果节点数⼩于5000，那么我们可以⽤邻接矩阵存储，如果更⼤可以⽤邻接表来存储(注意边要开到2*n，因为是双向的。
这是⾎与泪的教训)。
如果是⼆叉树或者是需要多叉转⼆叉，那么我们可以⽤两个⼀维数组brother[]，child[]来存储（这⼀点下⾯会仔细数的）。
3. 写出树规⽅程：通过观察孩⼦和⽗亲之间的关系建⽴⽅程。
《动态规划》课件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
动态规划的基本思想
动态规划的基本思想动态规划是一种常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的算法思想。
它将问题分解成一系列子问题，并通过解决子问题构建出整个问题的最优解。
动态规划的基本思想是将原始问题转化成一个或多个相似的子问题，然后通过解决这些子问题获得原始问题的解。
这种思想在很多实际问题中都能够得到应用。
动态规划的基本流程一般包括以下几个步骤：1. 将原始问题分解为子问题：首先需要将原问题划分为多个子问题，并且确保这些子问题之间有重叠的部分。
2. 定义状态：确定每个子问题需要求解的状态，也即问题需要达成的目标。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定子问题之间的状态转移方程，即如何将子问题的解转移到原问题的解。
4. 解决首个子问题：解决最基本的子问题，获得初始状态下的解。
5. 填充状态表格：根据状态转移方程，依次求解其他子问题，并且填充状态表格。
6. 求解原问题：通过填充状态表格，在保证状态转移方程的基础上求解原问题的最优解。
动态规划的关键在于将原问题转化为子问题，通过递归或者迭代的方式求解子问题，最终获得原问题的最优解。
在这个过程中，重叠子问题的求解是动态规划的特点之一。
由于问题的子问题存在重叠，所以在求解的过程中我们可以保存已经求解过的子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。
动态规划还要求问题具有最优子结构特征，即问题的最优解可以通过子问题的最优解构建出来。
通过利用已解决的子问题的最优解，可以有效地解决原问题。
动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。
它可以用于解决很多经典的问题，如最长公共子序列、0-1背包问题、最大子数组和等。
动态规划算法可以有效地解决这些问题，使得它们的时间复杂度得到了有效的降低。
总结来说，动态规划的基本思想是将原始问题转化为子问题，并通过解决子问题构建整个问题的最优解。
动态规划算法通过保存已经解决的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法在实际应用中具有广泛的应用，是解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的常用算法思想。
信息学奥赛——树型动态规划的实例分析
信息学奥赛——树型动态规划的实例分析树型动态规划（Tree Dynamic Programming）是信息学奥赛中常用的一种算法思想，在解决一些与树相关的问题时非常有效。
本文将通过一个具体的实例对树型动态规划进行详细分析。
假设有一棵有根树，每个节点上都有一个非负整数权值，并且每个节点下都可能有若干个子节点。
现在要求选择一些节点，使得选中的节点的权值之和尽可能大，但是不能选择相邻的节点。
我们需要设计一个算法来解决这个问题。
首先，我们可以观察到如果一个节点被选中，那么它的子节点就不能被选中。
于是，我们可以定义一个动态规划的状态dp[i]表示以节点i为根的子树中选择节点的最大权值之和。
对于根节点，我们有两种情况：1. 根节点i被选择，那么它的子节点就不能被选择。
所以dp[i] = sum(dp[j])，其中j表示i的所有子节点。
2. 根节点i不被选择，那么它的所有子节点都可以被选择。
所以dp[i] = sum(max(dp[j], dp[k]))，其中j和k分别表示i的所有孩子节点的子节点。
通过对根节点的两种状态的分析，我们可以得到一个递推关系：dp[i] = max(sum(dp[j]), sum(max(dp[k], dp[l])))，其中j表示i的所有子节点，k和l分别表示i的所有孩子节点的子节点。
接下来，我们需要设计一个合适的递归算法来计算dp[i]。
我们可以使用深度优先（DFS）的方式来处理每个节点，实现递归的过程。
具体的伪代码如下：```DFS(i):visit[i] = truefor j in i的所有子节点：if visit[j] == false:DFS(j)dp[i] += dp[j]for k in i的所有孩子节点：for l in k的所有子节点：dp[i] += max(dp[k], dp[l])```最后，我们只需要调用DFS函数以根节点为参数，可以得到整棵树的最优解。
动态规划习题精讲
信息学竞赛中的动态规划专题哈尔滨工业大学周谷越【关键字】动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法【摘要】本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。
通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。
并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。
纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。
【目录】1.动态规划的动机和基本思想1.1.解决重复子问题1.2.解决复杂贪心问题2.动态规划状态的划分方法2.1.一维状态划分2.2.二维状态划分2.3.树型状态划分3.动态规划的辅助与优化方法3.1.常见辅助方法3.2.常见优化方法4.近年来Noi动态规划题目分析4.1 Noi2005瑰丽华尔兹4.2 Noi2005聪聪与可可4.3 Noi2006网络收费4.4 Noi2006千年虫附录参考书籍与相关材料1.动态规划的动机和基本思想首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。
1.1 解决重复子问题对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。
这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。
很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。
而考虑下面这个问题：USACO 1.4.3 Number Triangleshttp://122.139.62.222/problem.php?id=1417【题目描述】考虑在下面被显示的数字金字塔。
写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。
每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。
73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 1在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。
动态规划求解方法
动态规划求解方法动态规划(Dynamic Programming)是一种常见的求解优化问题的方法，它通过将问题分解成更小的子问题，并保存子问题的解来降低时间复杂度。
动态规划通常使用一个表格来记录子问题的解，然后根据递推关系计算出更大问题的解。
动态规划的求解方法一般包含以下几个步骤：1.定义问题：首先，需要明确要解决的问题是什么。
动态规划通常适用于求解具有最优子结构性质的问题，即原问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解得到。
2.确定状态：接下来，需要确定动态规划的状态。
状态是问题中会变化的量，它包含了问题的关键信息。
在动态规划中，状态可以是一个或多个变量。
3.建立转移方程：然后，需要建立问题的转移方程。
转移方程描述了问题状态之间的关系，用来计算子问题的最优解。
转移方程可以通过观察问题的特点或者使用递推关系得到。
4.确定初始条件：接下来，需要确定边界条件或初始条件。
边界条件是问题中的一些特殊情况，它们通常是一些最小子问题的解。
初始条件是指将边界条件中的解赋值给表格中对应的位置。
5.使用递推关系计算：最后，使用递推关系将表格中的其他位置的解计算出来。
通常，可以使用自底向上的方法，从表格的第一个位置开始计算，依次填充整个表格。
动态规划的优点在于它可以将一个复杂的问题分解成多个子问题，然后通过记录子问题的解来减少重复计算。
这样，可以大大提高求解问题的效率。
动态规划通常适用于求解满足最优化原理和无后效性条件的问题。
最优化原理是指问题的最优解具有递归的结构，即解可以通过子问题的最优解得到。
无后效性条件是指问题的当前状态决定了未来的决策，与过去的决策无关。
动态规划在算法设计和实现中有很多经典的应用，例如最长公共子序列问题、0/1背包问题、最短路径问题等。
下面简要介绍其中的两个经典应用。
1.最长公共子序列问题：给定两个字符串s1和s2，求它们的最长公共子序列。
最长公共子序列是指在两个字符串中以相同的顺序出现的最长的子序列。
《动态规划》课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
《动态规划》课件
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
《动态规划算法》课件
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
noip动态规划讲解课件
用f[x,i,j]表示走到第x步时，第1条路线走到横坐标为i的地方，第2条路线走到了横坐标为j的地方。这样，我们只要枚举x，i，j，就能递推出来了。
For x:=3 To m+n Do For i:=1 To Min(x,n) Do For j:=1 To Min(x,n) Do Begin f[x,i,j]:=Max(f[x-1,i,j],f[x-1,i-1,j],f[x-1,i,j-1],f[x-1,i-1,j-1]); If i=j Then Inc(f[x,i,j],a[i,x-i]) Else Begin Inc(f[x,i,j],a[x-i,i]); Inc(f[x,i,j],a[x-j,j]); End; End;
动态规划实质：
枚举
+
递推
状态
状态转移方程
Sample Problem1
1
3
5
9
1
从树的根到树的叶节点，最多能取多少数？
贪心：答案错误
暴力搜索：如果数据大会超时
我们先将NOIp里的动态规划分分类：
最长不降子序列 背包 方格取数 石子归并 状态压缩 数学递推 顺序递推
合唱队形（NOIp2004） 【问题描述】 N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。 你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。 【输入文件】 输入文件第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高。 【输出文件】 输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
动态规划的基本理论以及优化
动态规划的基本理论及其优化
Function Cal(i,j:longint):longint; Var t1,t2:longint; Begin if v[i,j] then exit(f[i,j]); {直接返回算过的状态的解} if i=1 then exit(a[1,1]); {直接返回边界的解} if j<i then t1:=Cal(i-1,j) else t1:=-maxlongint; {决策 1} t2:=Cal(i-1,j-1); {决策 2} if t1>t2 then {取最优值} f[i,j]:=t1+a[i,j] else f[i,j]:=t2+a[i,j]; v[i,j]:=true; {记忆化} exit(f[i,j]); {返回当前状态的解} End. 比较一下两种实现方法，会发现各有各的好处。循环实现由于没有用递归， 相对于调用系统栈的递归会快一些，并且不会出现栈溢出。而记忆化搜索可以避 免计算根本不会用到的状态，对于某些问题这是有明显的体现的。
动态规划的基本理论及其优化
一、动态规划的基本理论
引例——数塔问题
动态规划(Dynamic Programming)是在上世纪 50 年代，为了解决一类阶段性 决策问题而诞生的高效算法。 提到动态规划，最先想到的应该是数塔问题。 数塔问题是说有如下一个 n 行的数塔： 10 53 67 40 30 50 26 35 57 93 23 14 43 78 98 然后要你从第一行的第一个数开始，每次向左或向右走到下一行，直到走到 最后一行，然后计算经过的所有数的和，问你这个和最大为多少。 对于这种问题，最朴素的算法就是搜索（实际上就是一个穷举） 。从第一行 开始，每次决定是向左走还是向右走，最后再统计一下和，取出最小值。但是这 样的算法时间复杂度高达 O(2^n)，n 稍微一大就会超时。所以我们要考虑更高效 的算法。 先看以有很多方案，这些方案中有一个最优 的方案。然后 57 再向下走有 2 种方案，如果要使最后的方案最优，那么到 57 这个数的方案也要最优。再来看看我们搜索的过程，对于到 57 这个数的每种方 案，我们可能搜索了很多很多遍，在这个例子中至少搜索了 2 遍，这就是一种时 间上的浪费。 所以，我们用数组记录下到数塔中每个数的最优方案，就可以避免这种重复 的无用劳动。这就是动态规划算法。
最小树最短路以及动态规划思想.
3
v0
10
v1
21
11
5
19
n -3
v5 33 14 6
v2 6
v4
18
v3
100
10 0
5
6
19
1211
5 6
0 6
6 0
18
14
1291
11
18 14
0 33
303
Hu Junfeng
27
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {1,5,11} , {3,4,18}}
18
14
1291
11
18 14
0 33
303
26
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} } mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} }
v0
10
v1
21
11
5
v5
19 33 14 6
v2
6
v4
18
v3
Hu Junfeng
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 21
11
18 14
0 33
33 0
24
① n=6，只有顶点v0在最小生成树中。 mst[5]={{0,1,10}, {0,2,∞}, {0,3,∞}, {0,4,19}, {0,5,21} }
图 第二讲
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花神的数论题
» 用用sum(i)表示数i二二进制表示下1的个数。 » 问sum(1)~sum(n)这n个数的乘积对
1000000007取模的结果。 » n<=10^15
» 这使得NOIp中看似没有单独讨论数位DP的必 要。
» 但事实上这种方方法还是有或多或少的细节，所以 大大家还是把数位DP看成一一类特殊的DP。初学者 一一般比比较难以一一次写对，但好好对拍就没事了了。
WINDY数
» windy定义了了一一种windy数。不不含前导零且相 邻两个数字之差至至少为2的正整数被称为 windy数。 windy想知道，在A和B之间，包括 A和B，总共有多少个windy数？将答案对 1000000007取模。
树形与数位动态规划
2019年年1月月26日日
⻩黄哲威 hzwer
北北京大大学16级计算机科学
第三节目目标
• 一一些树形dp补充
• 数位dp介绍
• 数位dp练习
NOIP2014 联合权值
» 无无向连通图 G 有 n 个点，n-1 条边。点从 1 到 n 依次编 号，编号为 i 的点的权值为 Wi，每条边的⻓长度均为 1。
» 但是这题数据范围有10^9，(sqrt(B))，这里里里取60000左右。然后预处理理出所有 F[k*S], k=1,2,...
» 这样读入入询问后，找到离B最近的一一个k*S，从F[k*S]开始暴暴力力力计算F[B]。 例例如B=60111，那么因为已经算出了了F[60000]，暴暴力力力for i=60001 ... 60111 判断每个i是否是windy数即可。
• 在n个点的点权树上选两条不不相交的路路径，使
路路径上的点权和最大大
• n <= 100000
BZOJ1369.Gem
• 给出一一棵树，要求你为树上的结点标上权值，权值可以是任意
的正整数，唯一一的限制条件是相邻的两个结点不不能标上相同的 权值，要求一一种方方案，使得整棵树的总价值最小小。
• N <= 10000
最终一一定存在点，使得最优解的一一条链 a 经过它，另一一条链 b 在它的 一一个儿儿子子的子子树内且链 a 不不经过这个儿儿子子
枚举这个儿儿子子y，答案就是best[y]加上链 a
链 a 有若干干种情况，记录down的前后缀最大大/次大大值讨论一一下即可
BZOJ1040. 骑士士
• 有N个骑士士，每个人人有一一个战斗斗力力力，每个人人有一一个他讨厌的骑
BZOJ1040. 骑士士
• 有N个骑士士，每个人人有一一个战斗斗力力力，每个人人有一一个他讨厌的骑
士士，求一一个骑士士军团，使得军团战斗斗力力力的和最大大且不不包含有矛矛 盾的两人人。
• 1 <= N <= 10^6
• 整个图实际上是一一个无无向环套树森林林。
• 对于每一一棵环套树，先dfs找环，找到环以后断环为链并将断
» A,B<=2*10^9
WINDY数
» 按照上题的方方法转化为没有限制的形式，于是只需 要统计⻓长度为n的序列列，有多少个满足足相邻两个数 差至至少为2（这个序列列的第一一个元素确定）。
» 这用用形如dp[i][c]的dp来记确定了了前i位，最后一一位的 数值是c，总共的方方案数。来进行行行处理理非非常简单。
» 现给定一一个数n，问S生生成的数中有多少个<=n。 答案对10^9+7取模。
» n<=10^50
计数
» 设n是m位的。往S中补0直到|S|=m。 » 问题就转化为将S中的数重新排列列，有多少小小
于等于n。 » 枚举公共前缀搞一一发之后直接变成，给定一一个
可重集S’，问S’中的元素组成的不不同的排列列个 数。 » 设数i有ai个，那么答案就是(sum ai)!/(prod ai!)
1][0/1]的时候记一一下确定了了前i位，当前有没有分出大大小小，前缀是否 都是零之类的限制。然后枚举下一一位是什什么进行行行转移。 » 如果考虑不不清楚这个状态的设计转移以及各种边界情况，可以换一一 个方方法：注意到任何一一个<=b的数x，一一定和b有一一个k位公共前缀。 这k位他们相同，第k+1位x<b。 » 枚举公共前缀的⻓长度k，枚举第k+1位上x的值，之后转化为没有任何 限制的情况。 » 对于k=0，变为枚举最高高位的位置及数值，同样转化为没有限制的情 况。
开的两个点强制其中一一个点为根且不不选做一一次树形DP，对另一一 个点做同样操作。
BZOJ2427. 软件安装
• 现在我们的手手头有N个软件，对于一一个软件i，它要占用用Wi的磁
盘空间，它的价值为Vi。我们希望从中选择一一些软件安装到一一 台磁盘容量量为M计算机上，使得这些软件的价值尽可能大大（即 Vi的和最大大）。
枚举这个儿儿子子y，答案就是best[y]加上链 a
链 a 有若干干种情况，记录down的前后缀最大大/次大大值讨论一一下即可
Codefest 16.The Chocolate Spree
best[x]表示x子子树内的最⻓长链
down[x]表示子子树内从x出发的最⻓长链
up[x]表示从x出发，终点在x子子树外的最⻓长链
士士，求一一个骑士士军团，使得军团战斗斗力力力的和最大大且不不包含有矛矛 盾的两人人。
• 1 <= N <= 10^6
• 整个图实际上是一一个无无向环套树森林林。
• 对于每一一棵环套树，先dfs找环，找到环以后断环为链并将断
开的两个点强制其中一一个点为根且不不选做一一次树形DP，对另一一 个点做同样操作。
f(i,j)表示对i及其子子树花费j代价产生生的最大大价值
BZOJ2427. 软件安装
显然图是一一些环和树
若有环必须选整个环，或者直接舍弃
将环缩点完之后变成一一堆点和森林林，建立立虚点向所有无无入入度的点 连边
缩点用用闭包传递或者tarjan，剩下的就是个树形dp问题
f(i,j)表示对i及其子子树花费j代价产生生的最大大价值
有部分数据M=0，部分数据M=1
小小奇的仓库
对于M=1的情况，树形DP到一一个点时记录有多少个0，多少个 1，然后每当一一条路路径到2，那部分就再记录一一个值。
小小奇的仓库
对于M=1的情况，树形DP到一一个点时记录有多少个0，多少个 1，然后每当一一条路路径到2，那部分就再记录一一个值。
M<=15，只要把“0”、“1”、大大于等于2变成0~16
• 每个软件可能依赖零个或者一一个软件
• 0<=N<=100, 0<=M<=500
BZOJ2427. 软件安装
显然图是一一些环和树
若有环必须选整个环，或者直接舍弃
将环缩点完之后变成一一堆点和森林林，建立立虚点向所有无无入入度的点 连边
缩点用用闭包传递或者tarjan，剩下的就是个树形dp问题
数位DP
» 数位DP就是处理理和具体的数有关的DP。 » 大大多数的题目目形式类似于：统计[L,R]之间有多少整数满足足xx
性质。这个xx性质往往是数位之间的性质。L、R一一般很大大， 如10^100000，算法复杂度往往和数的位数相关。 » 不不过NOIp范围内，数据范围可能并不不会真的给到 10^100000。出题人人通常只想确保你写的不不是完全的暴暴力力力， 因此可能数据范围只给到10^9。这就给其他一一些骗分算法诸 如分段打表留留下了了发挥的空间。 » 数位DP主要麻烦的地方方在于前导零的处理理、<=R之类限制的 处理理。撇开这些通常就是一一个普通的序列列DP。
数字计数
» 给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整 数中，每个数字(digit, i.e. 0~9)各出现了了多少 次。
» a,b<=10^12
数字计数
» 常用用转化：统计[0,a-1]和[0,b]的答案，相减就是[a,b]的答案。 » 许多写过数位dp的同学，对于<=b这个限制的处理理往往都是dp[i][0/
» 图上两点 (u, v) 的距离定义为 u 点到 v 点的最短距离。 » 对于图 G 上的点对 (u, v)，若它们的距离为 2，则它们
之间会产生生 Wu×Wv 的联合权值。 » 请问图 G 上所有可产生生联合权值的有序点对中，联合权
值最大大的是多少? 所有联合权值之和是多少? » 其中 0 ≤ n ≤ 10^5
» 这样至至多只需要暴暴力力力O(S)步，算法的复杂度是O(sqrt B)的。
计数
» 给你一一堆非非零的数字可重集S（一一个数字可能出 现多次）。你可以随意排列列，然后在里里里面面插入入 任意多个0，这样就能得到无无穷多个数。
» 比比如说给定{1,2}，那么可以生生成数字 12,21,102,120,201,210,1002,1020,等等。
数位DP
» 数位DP就是处理理和具体的数有关的DP。 » 大大多数的题目目形式类似于：统计[L,R]之间有多少整数满足足xx
性质。这个xx性质往往是数位之间的性质。L、R一一般很大大， 如10^100000，算法复杂度往往和数的位数相关。 » 不不过NOIp范围内，数据范围可能并不不会真的给到 10^100000。出题人人通常只想确保你写的不不是完全的暴暴力力力， 因此可能数据范围只给到10^9。这就给其他一一些骗分算法诸 如分段打表留留下了了发挥的空间。 » 数位DP主要麻烦的地方方在于前导零的处理理、<=R之类限制的 处理理。撇开这些通常就是一一个普通的序列列DP。
NOIP2014 联合权值
树形 dp : 一一个结点距离相差 2 的点要不不然是儿儿 子子的儿儿子子，不不然是兄弟 考虑第二二部分 如果枚举一一个结点的儿儿子子两两计算的话，会被 箭形图卡成 n^2 只要再用用前缀和/最大大值维护一一 下即可
Codefest 16.The Chocolate Spree