树形动态规划讲解

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树型动态规划(C++版)

树型动态规划(C++版)

树型动态规划补充二叉树的遍历的相关知识:在二叉树的应用中,常常要求在树中查找具有某种特征的结点,或者对全部结点逐一进行某种处理。

这就是二叉树的遍历问题。

所谓二叉树的遍历是指按一定的规律和次序访问树中的各个结点,而且每个结点仅被访问一次。

“访问”的含义很广,可以是对结点作各种处理,如输出结点的信息等。

遍历一般按照从左到右的顺序,共有3 种遍历方法,先(根)序遍历,中(根)序遍历,后(根)序遍历。

先序遍历的操作定义如下:若二叉树为空,则空操作,否则①访问根结点②先序遍历左子树③先序遍历右子树先序遍历右图结果为:124753689中序遍历的操作定义如下:若二叉树为空,则空操作,否则①中序遍历左子树②访问根结点③中序遍历右子树中序遍历右图结果为:742513869后序遍历的操作定义如下:若二叉树为空,则空操作,否则①后序遍历左子树②后序遍历右子树③访问根结点后序遍历右图结果为:745289631满二叉树:一棵深度为h且有 2^h-1个结点的二叉树。

满二叉树一定为完全二叉树,但是完全二叉树不一定为满二叉树。

若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。

满二叉树有如下性质:如果一颗树深度为h,最大层数为k,且深度与最大层数相同,即k=h;1、它的叶子数是:2^(h-1)2、第k层的结点数是:2^(k-1)3、总结点数是:2^k-1 (2的k次方减一)4、总节点数一定是奇数。

若设二叉树的深度为h,除第h 层外,其它各层(1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。

1、二叉树的序遍历题目描述Description求一棵二叉树的前序遍历,中序遍历和后序遍历输入描述Input Description第一行一个整数n,表示这棵树的节点个数。

接下来n行每行2个整数L和R。

动态规划讲解大全含例题及答案

动态规划讲解大全含例题及答案

动态规划讲解大全含例题及答案动态规划讲解大全动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版了他的名著Dynamic Programming,这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来,在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题,但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划),只要人为地引进时间因素,把它视为多阶段决策过程,也可以用动态规划方法方便地求解。

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法,而不是一种特殊算法。

不象前面所述的那些搜索或数值计算那样,具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。

动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题,由于各种问题的性质不同,确定最优解的条件也互不相同,因而动态规划的设计方法对不同的问题,有各具特色的解题方法,而不存在一种万能的动态规划算法,可以解决各类最优化问题。

因此读者在学习时,除了要对基本概念和方法正确理解外,必须具体问题具体分析处理,以丰富的想象力去建立模型,用创造性的技巧去求解。

我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论,逐渐学会并掌握这一设计方法。

基本模型多阶段决策过程的最优化问题。

在现实生活中,有一类活动的过程,由于它的特殊性,可将过程分成若干个互相联系的阶段,在它的每一阶段都需要作出决策,从而使整个过程达到最好的活动效果。

动态规划-最优二叉搜索树

动态规划-最优二叉搜索树

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要: 本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。

主要内容包括⼆叉查找树的性质,如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值,如何找出某⼀个元素的前驱和后继,如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。

在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐,⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn),从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、⼆叉查找树 ⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的,因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。

⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是:设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。

如果y是x的左⼦树中的⼀个结点,则key[y]≤key[x]。

如果y是x的右⼦树中的⼀个结点,则key[x]≤key[y]。

根据⼆叉查找树的特征可知,采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树,可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。

介绍了⼆叉树概念及其遍历。

⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰:书中给出了⼀个定理:如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根,则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。

问题:⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别?能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内,按序输出含有n个结点的树中的所有关键字?2、查询⼆叉查找树 ⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字,除了基本的查询,还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作,书中就每种查询进⾏了详细的讲解。

(1)查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似,根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征,很容易得出查找过程:⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较,如果k⼤⽐根的关键字⼤,则在根的右⼦树中查找,否则在根的左⼦树中查找,重复此过程,直到找到与遇到空结点为⽌。

例如下图所⽰的查找关键字13的过程:(查找过程每次在左右⼦树中做出选择,减少⼀半的⼯作量)书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码:1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x(2)查找最⼤关键字和最⼩关键字 根据⼆叉查找树的特征,很容易查找出最⼤和最⼩关键字。

11树型动态规划的实例分析

11树型动态规划的实例分析

• • •
••Βιβλιοθήκη ●样例求解过程:初始f(i,0)=0 f(6,1)=6, f(5,1)=max{1,6}=6, f(7,1)=2 f(4,1)=max{1,2}=2, f(1,1)=max{1,f(4,1)}=2 f(3,1)=4, f(2,1)=max{1,4}=4 f(5,2)=7 f(7,2)=max{f(5,1)+2}=8 f(4,2)=max{f(7,2),f(7,1)+1}=8 f(1,2)=max{f(4,2),f(4,1)+2}=8 f(2,2)=max{f(1,1)+1, f(3,1)+1)}=5 f(7,3)=9 f(4,3)=max{f(7,2)+1,f(7,3)}=9 f(1,3)=max{f(4,2)+1,f(4,3)}=9 f(2,3)=max{f(1,1)+f(3,1)+1,f(1,2)+1}=9 f(2,4)=max{f(1,3)+1, f(1,2)+f(3,1)+1}=max{9+1,8+4+1}=13 因此,我们设f(i,j)表示以i为根结点的二叉树分配j门课程的所获得的最大学 分,则有,
● [问题描述] ● 在大学里每个学生,为了达到一定的学分,必须从很多课 程里选择一些课程来学习,在课程里有些课程必须在某些 课程之前学习,如高等数学总是在其它课程之前学习。 ● 现在有N门功课,每门课有个学分,每门课有一门或没有 直接先修课(若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程 a,才能学习课程b)。 ● 一个学生要从这些课程里选择M门课程学习,问他能获得 的最大学分是多少?
动态规划
● 仔细理解左右孩子的意义(如右图): 左孩子:原根结点的孩子 右孩子:原根结点的兄弟 ● 也就是说,左孩子分配选课资源时, 根结点必须要选修,而与右孩子无关。

树形数位动态规划_黄哲威

树形数位动态规划_黄哲威

花神的数论题
» 用用sum(i)表示数i二二进制表示下1的个数。 » 问sum(1)~sum(n)这n个数的乘积对
1000000007取模的结果。 » n<=10^15
» 这使得NOIp中看似没有单独讨论数位DP的必 要。
» 但事实上这种方方法还是有或多或少的细节,所以 大大家还是把数位DP看成一一类特殊的DP。初学者 一一般比比较难以一一次写对,但好好对拍就没事了了。
WINDY数
» windy定义了了一一种windy数。不不含前导零且相 邻两个数字之差至至少为2的正整数被称为 windy数。 windy想知道,在A和B之间,包括 A和B,总共有多少个windy数?将答案对 1000000007取模。
树形与数位动态规划
2019年年1月月26日日
⻩黄哲威 hzwer
北北京大大学16级计算机科学
第三节目目标
• 一一些树形dp补充
• 数位dp介绍
• 数位dp练习
NOIP2014 联合权值
» 无无向连通图 G 有 n 个点,n-1 条边。点从 1 到 n 依次编 号,编号为 i 的点的权值为 Wi,每条边的⻓长度均为 1。
» 但是这题数据范围有10^9,(sqrt(B)),这里里里取60000左右。然后预处理理出所有 F[k*S], k=1,2,...
» 这样读入入询问后,找到离B最近的一一个k*S,从F[k*S]开始暴暴力力力计算F[B]。 例例如B=60111,那么因为已经算出了了F[60000],暴暴力力力for i=60001 ... 60111 判断每个i是否是windy数即可。
• 在n个点的点权树上选两条不不相交的路路径,使
路路径上的点权和最大大
• n <= 100000

树形动态规划

树形动态规划

【核心代码】
【问题描述】
建立一个古城堡,城堡中的路形成一棵树。要在这棵树的结
点上放置最少数目的士兵,使得这些士兵能瞭望到所有的路。
一个结点上的士兵时,可以瞭望到所有与该结点相连的边。
请你编一个程序,给定一棵树,计算出需要放置最少的士兵
。 【样例输入】
0
Hale Waihona Puke 40111223
1
20
30 【样例输出】
2
3
求一棵边带权的树中的点,使得此点到树中的其他结点的最 远距离最近。
解法:从任意一点i出发的最长路径的可能形态有两种: u[i]:向上,即终点不在以i为根的子树中的最长路长度; d1[i]:向下,即终点在以i为根的子树中的最长路长度;
关键:如何计算u[i]。i点向上的路径必经过(i,prt[i]), 而prt[i]又引出了两条路径:一条是u[prt[i]];另一条是prt[i] 向下的路,该路径不能途径i点,否则会产生重复计算。
当然,x=0是一个特例,因为虚拟的根节点实际上不需要被选 修,此时背包总容积应为t。我们用分组背包进行树形DP的状态转 移。
这类题目被称为背包类树形DP,又称有树形依赖的背包问题。 在状态转移时,我们要处理的实际上就是一个分组背包问题。
【核心代码】
【问题描述】
如果一个数x的约数和y(不包括它本身)比它本身小,那么
设:f(i,0):i被父亲看时,以i为根的子树所需最少士兵; f(i,1):i被儿子看时,以i为根的子树所需最少士兵; f(i,2):在i安排警卫时,以i为根的子树所需最少士兵。
【思路点拨】 针对这三种状态,设计出状态转移方程: ①f(i,0):i被父亲看到,这时i没有安排警卫,i的儿子
要么安排警卫,要么被它的后代看到,则:

动态规划算法入门,需要搞懂这5个问题

动态规划算法入门,需要搞懂这5个问题

动态规划算法入门,需要搞懂这5个问题不久前不少人留言说要介绍介绍动态规划,今天我们就来介绍介绍什么是动态规划。

动态规划算法是现实中非常的一个算法。

之前我们做过一个判断送餐的骑手能否在规定时间内送完手头的外卖,就用了这个算法。

(当然,算出来的只是一个理论的结果,但可以防止骑手一下子接太多单,最后造成用户投诉)。

后面如果有机会会介绍一下这个问题的实现。

这个问题挺有趣的。

可以抛出来给大家思考一下。

现在有一个骑手,知道他的坐标,然后有一些外卖订单,我们知道每个订单的位置还有预计送达时间。

我们能否快速判断这个骑手能否在规定时间内把这批订单送完。

相比于直接搜索,动态规划往往更加高效。

现在我们通过5个问题,来认识什么是动态规划。

第一,什么是动态规划?动态规划(英语:Dynamic programming,简称DP)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

重点在后半句,把问题分解成简单子问题进行解决。

与之类似的有另外一个算法,分治。

他俩最大的区别在于子问题之间是否相关联。

第二,动态规划的思想?动态规划的思想很简单,就是分解问题求解,然后再合并子问题的解。

第三,哪些问题可以用动态规划来解决?接下来的内容可能比较难以理解,我们通过一个经典的面试题,然后接着讲。

最长上升子序列(LIS),有一串序列,要求找出它的一串子序列,这串子序列可以不连续,但必须满足它是严格的单调递増的且为最长的。

把这个长度输出。

示例:1 7 3 5 9 48 结果为4。

1.最优子结构性质。

如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质(即满足最优化原理)。

上面的题目。

如果我们假设f[3]表示以a[3]结尾的最长上升子序列,那么转移到它的子问题一定要是最优的。

也就是从f[2]也要求是最优的。

2.无后效性。

即子问题的解一旦确定,就不再改变,不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。

树型动态规划

树型动态规划

树型动态规划树型动态规划⼀、基本概念树型动态规划,顾名思义,就是在“树”的数据结构上做动态规划,通过有限次地遍历树,记录相关信息,以求解问题。

通常,动态规划都是线性的或者建⽴在图上的,分为逆推和顺推。

①叶->根,即根的⼦节点传递有⽤的消息给根,之后由根得出最优解的过程。

这种⽅式DP的题⽬应⽤⽐较多。

②根->叶,即需要取所有点作为⼀次根节点进⾏求值,此时⽗节点得到了整棵树的信息,只需要去除这个⼉⼦的DP值的影响,然后再转移给这个⼉⼦,这样就能达到根->叶的顺序动态规划的顺序:⼀般按照后序遍历的顺序,⼏处理完⼉⼦再处理当前结点,才符合树的⼦结构的性质。

实现⽅式:树型DP是通过记忆化搜索实现的,因此采⽤的是递归⽅式,时间复杂度:树型动态规划的时间复杂度基本上是O(n);若有附加维m,则是O(n * m)⼆、经典问题1.树的重⼼对于⼀颗n个节点的⽆根树,找到⼀个点,使得把树变成以该点为根的有根树时,最⼤⼦树的节点最⼩,换句话说,删除这个点后最⼤连通块的节点数最⼩,那么这个点就是树的重⼼。

解法:任选⼀个节点作为根进⾏dfs然后根据定义动态规划寻找树的重⼼。

2.树的最长路径(最远点对)给定⼀颗n个结点的边带权树找到⼀条最长的路径,换句话说,要找到两个点,使得他们的距离最远,他们之间的路径就是树的最长路径解法:⽤d1[i],d2[i]记录以i为根的⼦树中到叶节点的最⼤值和次⼤值,j是i的⼉⼦①d1[j] + dis[i][j] > d1[i] 则d2[i] = d1[i],d1[i] = d1[j] + dis[i][j]②d1[j] + dis[i][j] > d2[i] 则d2[i] = d1[j] + dis[i][j]3.树的中⼼问题给出⼀颗带权的树,求树中的点,使得此点到树中的其他节点的最远距离最近分析:从任意⼀个点i出发的最长路径的可能形态有两种。

①从i点出发向上,即终点不在以i为根的⼦树中的最长路径长度为u[i]②从i点出发向下,即终点在以i为根的⼦树中的最长路径长度为d1[i]注意:第⼀种⾥⾯不要重复经过i点分别⽤c1[i]和c2[i]记录d1[i]和d2[i]是从哪个⼦树更新来的。

信息学奥赛——树型动态规划的实例分析

信息学奥赛——树型动态规划的实例分析

信息学奥赛——树型动态规划的实例分析树型动态规划(Tree Dynamic Programming)是信息学奥赛中常用的一种算法思想,在解决一些与树相关的问题时非常有效。

本文将通过一个具体的实例对树型动态规划进行详细分析。

假设有一棵有根树,每个节点上都有一个非负整数权值,并且每个节点下都可能有若干个子节点。

现在要求选择一些节点,使得选中的节点的权值之和尽可能大,但是不能选择相邻的节点。

我们需要设计一个算法来解决这个问题。

首先,我们可以观察到如果一个节点被选中,那么它的子节点就不能被选中。

于是,我们可以定义一个动态规划的状态dp[i]表示以节点i为根的子树中选择节点的最大权值之和。

对于根节点,我们有两种情况:1. 根节点i被选择,那么它的子节点就不能被选择。

所以dp[i] = sum(dp[j]),其中j表示i的所有子节点。

2. 根节点i不被选择,那么它的所有子节点都可以被选择。

所以dp[i] = sum(max(dp[j], dp[k])),其中j和k分别表示i的所有孩子节点的子节点。

通过对根节点的两种状态的分析,我们可以得到一个递推关系:dp[i] = max(sum(dp[j]), sum(max(dp[k], dp[l]))),其中j表示i的所有子节点,k和l分别表示i的所有孩子节点的子节点。

接下来,我们需要设计一个合适的递归算法来计算dp[i]。

我们可以使用深度优先(DFS)的方式来处理每个节点,实现递归的过程。

具体的伪代码如下:```DFS(i):visit[i] = truefor j in i的所有子节点:if visit[j] == false:DFS(j)dp[i] += dp[j]for k in i的所有孩子节点:for l in k的所有子节点:dp[i] += max(dp[k], dp[l])```最后,我们只需要调用DFS函数以根节点为参数,可以得到整棵树的最优解。

树形动态规划

树形动态规划
无向图中没有环
引例、问题描述
给定一棵树,树的每个结点有一个权值, 要求从中选出一些不相邻的点,使选出 的结点权值和最大。
引例、问题分析
首先要给这棵树选一个根,明确了父子 关系才有动规的顺序。本题没有特殊要 求,只要任意选择一个点作根就可以了。
引例、确定状态
用f[i][0]表示不选i时,以i为根子树的最 大权值;用f[i][1]表示选择i时,以i为根 子树的最大值。
本题是以前一道省选题,当时要求输出 方案,请大家课后思考如何解决。
树型动规上的背包
有的资料在讲到树归时,说要用到多叉转二叉, 个人觉得并没有必要,那样不仅造成编程复杂 度增加,也会造成增加思维复杂度。
只要多写几道题目就会发现,如果把背包部分 单独写一个过程,它们的代码基本没有区别。 所以熟练之后,以后遇到此类问题,只要分析 到背包这一步,那就基本可以写程序了。
动态规划
最优子结构:一个最优化策略的子策略 总是最优的。
无后效性:当前决策与过去状态无关。
引言
因为树可以描述比较复杂的关系,这对 选手分析问题的能力有较高的要求,在 寻找最优子结构、组织状态时往往需要 创造性思维,而且树型动态规划对数学 要求不高,不涉及单调性优化等方面, 所以竞赛中往往将它作为侧重考察选手 分析思考能力的题型出现。
例二、问题分析
求在子树中的最远的三个点,方法很简 单。在儿子已经算好的情况下,父结点 只要保留其中最远点最远的三个儿子的 最远点即可。 子树外的最远点如何求?
例二、问题分析
把这棵树再遍历一遍,进行一次BFS, 深度小的先访问,深度大的后访问,就 保证了访问到某一个结点的时候,其父 亲结点已经被访问过了。此次遍历时, 对于点a,检查其父亲结点,只需求出到 其父亲结点的最远的,且不在以a为根的 子树中的那点即可 。

树形动态规划讲解

树形动态规划讲解
输出格式
一个数,最多能留住的苹果的数量。(剪枝时,千万不要连根拔起哦)
样例输入
52 131 1 4 10 2 3 20 3 5 20
样例输出
21
思考
这道题能不能还像上道题一样用线性dp 如果用dfs呢? 还有什么方法?
应用树形动态规划的前提
整个图是一个树形结构或者可以转化为树形结 构。
Begin for i:=1 to n do if father[i]=v then begin dfs(i); dp[v] end;
End;
fun(dp[i])
分析单纯 的dfs
这种朴素的dfs很好理解,但是,在我们计算 过程中,肯定出现了大量的重复。因此,我们 要在计算的时候 “只算一次”。
输入样例: 74 22 01 04 21 71 76 22 输出样例: 13
我们用函数f(i,j)表示以第i个节点为父节点,取j 个子节点的最佳代价,则:
j jch1n jch1 ch1n) f (ch2, ch2n)

end;

maketree(1);

dfs(1,q+1);

writeln(dp[1,q+1]);

end.
本道题就是一道最基本的树形动态规划题。一 般树形动态规划题目分为两个步骤
(1) maketree,
(2) treedp
在树的存储结构上,我们一般选的都是二叉树, 因为二叉树可以用静态数组来存储,并且状态 转移也很好写。
这个方程的时间复杂度最大为n3,十分优秀了。
在具体实现这道题时,我们可以自顶而下,用 递归进行树的遍历求解

《树型动态规划》课件

《树型动态规划》课件

要点二
详细描述
通过动态规划的方式,定义状态转移方程,根据当前状态 和下一个状态的关系,逐步计算出最长公共子序列的长度 。
区间dp问题的实例分析
总结词
求解区间dp问题的最优解
详细描述
将区间dp问题转化为子区间dp问题,通过 动态规划的方式,定义状态转移方程,逐步 计算出每个子区间的最优解,最终得到整个
状态压缩
通过将多个状态合并为一个状态,减少动态规划的状态数,提高 算法效率。
自底向上计算
从叶子节点开始计算,逐步向根节点推进,直到解决问题。
02
树型动态规移方程是树型动态规划的核心,它描述了从当前状态 转移到下一状态的过程。通过状态转移方程,我们可以计算 出每个节点的最小成本或最优解。
边界条件
边界条件是指问题在某些特定情况下的限制条件。在树型 动态规划中,边界条件通常用于确定问题的起始和终止状 态。
边界条件有助于缩小问题的解空间,提高计算效率。在树 型动态规划中,我们需要根据问题的特性,合理设置边界 条件,以简化计算过程并获得正确的解。
03
树型动态规划的常见问题
区间dp问题
算法改进与优化
针对现有算法的瓶颈和缺陷,进行改进和优化, 以提高算法的效率和适用范围。
理论分析与证明
深入分析树型动态规划算法的理论基础和性质, 如时间复杂度、空间复杂度、最优解的性质等, 为算法设计和改进提供理论支持。
感谢观看
THANKS
总结词
区间dp问题是指给定一个区间,求 出该区间内所有子区间的最大值或最 小值的问题。
详细描述
区间dp问题可以通过动态规划来解决 ,将问题分解为多个子问题,并利用 状态转移方程来求解。常见的区间dp 问题包括区间求和、区间查找等。

经典树型DP状态压缩DP入门

经典树型DP状态压缩DP入门

TSP
最后的结果是: min( dp[( 1<<n ) – 1][j] ) ( 0 <= j < n ); 技巧:利用2进制,使得一个整数表示一个点 集,这样集合的操作可以用位运算来实现。 例如从集合i中去掉点j: k = i & ( ~( 1 << j ) ) 或者 k = i - ( 1 << j )
习题
树型动态规划 nkoj 1791 Party at Hali-Bula nkoj 1678 Strategic game nkoj 1794 Bribing FIPA (需要2重dp) poj 1946 Rebuilding Roads (需要2重dp) 状态压缩动态规划 nkoj 1068 Islands and Bridges poj 3229 The Best Travel Design poj 1038 Bugs Integrated, Inc.
经典入门
树型动态规划和状态压缩动态规划不能允许上传同样的,所以我在 这里改改 财富值为零,请随便下载
树型动态规划
什么是树型动态规划: 树本身就是一个递归的结构,所以在树上进 行动态规划或者递推是在合适不过的事情。 必要条件:子树之间不可以相互干扰,如果 本来是相互干扰的,那么我们必须添加变量 使得他们不相互干扰。
TSP
所以一个整数i就表示了一个点集; 整数i可以表示一个点集,也可以表示是 第i个点。 状态表示:dp[i][j]表示经过点集i中的点 恰好一次,不经过其它的点,并且以j点 为终点的路径,权值和的最小值,如果这 个状态不存在,就是无穷大。
TSP
状态转移: 单点集:状态存在dp[i][j] = 0;否则无穷 大。非单点集: 状态存在 dp[i][j] = min(dp[k][s] + w[s][j]) k表示i集合中去掉了j点的集合,s遍历集 合k中的点并且dp[k][s]状态存在, 点s到 点j有边存在,w[s][j]表示边的权值。 状态不存在 dp[i][j]为无穷大。

计算机10大经典算法

计算机10大经典算法

计算机10大经典算法1. 排序算法排序算法是计算机领域中最基础和常用的算法之一。

其目的是将一组数据按照特定的顺序进行排列。

最常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。

冒泡排序(Bubble Sort)是一种简单但效率较低的排序算法。

其基本思想是通过相邻元素的比较和交换,逐步将待排序的元素移动到正确的位置。

插入排序(Insertion Sort)的核心思想是将待排序的元素插入到已排序序列中的适当位置,从而得到一个新的有序序列。

选择排序(Selection Sort)是一种简单直观的排序算法。

其原理是每次从待排序序列中选择最小(或最大)的元素,放到已排序序列的末尾。

快速排序(Quick Sort)是一种高效的排序算法。

它采用分治法的思想,将待排序序列分割成两个子序列,并递归地进行排序。

归并排序(Merge Sort)是一种稳定的排序算法。

它的核心思想是将待排序序列划分成若干个子序列,分别进行排序,最后再合并这些有序子序列。

2. 搜索算法搜索算法用于在给定的数据集合中查找特定的元素或满足特定条件的元素。

其中最著名的搜索算法为二分查找算法。

二分查找(Binary Search)是一种高效的搜索算法,适用于有序的数据集合。

它通过将待查找区间逐步缩小,直到找到目标元素。

3. 图形算法图形算法主要用于处理具有图形结构的问题,如网络分析、路径搜索等。

其中最常用的图形算法包括广度优先搜索算法和迪杰斯特拉算法。

广度优先搜索(Breadth-First Search,BFS)是一种基于图的搜索算法。

它以广度为优先级,逐层遍历图中的节点,用于查找最短路径、连通性分析等问题。

迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)用于解决带权有向图中单源最短路径问题。

它采用贪心策略,逐步确定从起点到其他节点的最短路径。

4. 动态规划算法动态规划算法常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

树形动态规划PPT课件

树形动态规划PPT课件

例四、问题描述
学校开设了 N(N<300)门的选修课程,每 个学生可选课程的数量 M 是给定的。学生选 修了这 M 门课并考核通过就能获得相应的学 分。 在选修课程中,有些课程可以直接选修, 有些课程有一门直接的先修课。 你的任务是为自己确定一个选课方案,使得你 能得到的学分最多,并且必须满足先修课优先 的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。
引言
大多数动规都是在一维二维这种规则的 背景下的,可以解决的问题比较局限, 而树作为一种特殊的图,可以描述比较 复杂的关系,再加上树的递归定义,是 一种非常合适动规的框架,树型动态规 划就成为动规中很特殊的一种类型。

有n个点,n-1条边的无向图,任意两顶点间 可达 无向图中任意两个点间有且只有一条路 一个点至多有一个前趋,但可以有多个后继 无向图中没有环
动态规划
最优子结构:一个最优化策略的子策略 总是最优的。
无后效性:当前决策与过去状态无关。
引言
因为树可以描述比较复杂的关系,这对 选手分析问题的能力有较高的要求,在 寻找最优子结构、组织状态时往往需要 创造性思维,而且树型动态规划对数学 要求不高,不涉及单调性优化等方面, 所以竞赛中往往将它作为侧重考察选手 分析思考能力的题型出现。
树型动态规划
JSOI2010冬令营
动态规划
问题可以分解成若干相互联系的阶段, 在每一个阶段都要做出决策,全部过程 的决策是一个决策序列。要使整个活动 的总体效果达到最优的问题,称为多阶 段决策问题。动态规划就是解决多阶段 决策最优化问题的一种思想方法。
动态规划
阶段:将所给问题的过程,按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段,以便 按次序去求每阶段的解。 状态:各阶段开始时的客观条件叫做状态。 决策:当各段的状态取定以后,就可以做出不同的决定,从而确定下一阶段的状 态,这种决定称为决策。 策略:由开始到终点的全过程中,由每段决策组成的决策序列称为全过程策略, 简称策略。 状态转移方程:前一阶段的终点就是后一阶段的起点,前一阶段的决策选择导出 了后一阶段的状态,这种关系描述了由k阶段到k+1阶段状态的演变规律,称为 状态转移方程。 目标函数与最优化概念:目标函数是衡量多阶段决策过程优劣的准则。最优化概 念是在一定条件下找到一个途径,经过按题目具体性质所确定的运算以后,使全 过程的总效益达到最优。

动态规划题目选讲

动态规划题目选讲

例题二:加分二叉树
• 设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为( l,2,3,…,n),其中数字1,2,3,…,n为节点编号 。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第 i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有 一个加分,任一棵子树(也包含tree本身的分数 • 若某个子树为主,规定其加分为1,叶子的加 分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 • 试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,…,n)且 加分最高的二叉树tree。
思考
例题六
• 对于 k=0 的情况: • 我们发现遍历一棵树最后回到原点,那么对于所 有的边,我们都是走过去,再走回来。 • 答案 (n-1)*2
例题六
• 对于 k=1 的情况 • 设每条边长度为1,然后树上找最长链,然后这 条链走过去就不再一步步往回了,直接从链底连 一条边去链顶,然后链中间连的那些点,直接走 过去再走回来,它们那些边的答案是不变的。 • 答案 (n−1)*2−(最长链长度)+1 • 可以证明不能减得更多啦。
• 资源和含有工厂的星球个数都不超过4 • n≤200
想法
暴力枚举匹配方案,求最短路?
想法
暴力枚举匹配方案,求最短路? 两条路径公用边怎么办?
思考
• 特殊的星球数量很少,可以枚举状态28=256
思考
• 特殊的星球数量很少,可以枚举状态28=256 • 如何表示状态?
• 设F[i][s]表示现在路径包含第i个星球, 已经连接上的特殊星球选择方案是s的最 少代价。 • 如何转移?
• 对于s的合并操作,枚举!
void Spfa(int s,int k){ int u,v,d,t; for(int top=1;top<=bot;top++){ u=Q[top]; for(int j=E[u].size()-1;j>=0;j--){ v=E[u][j];d=D[u][j];t=s|S[v]; if(F[u][s]+d*k<F[v][t]){ F[v][t]=F[u][s]+d*k; if(t==s&&V[v][s]){ V[v][s]=false;Q[++bot]=v; } } } V[u][s]=true; } }
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Begin for i:=1 to n do if father[i]=v then begin dfs(i); dp[v] end;
End;
fun(dp[i])
分析单纯 的dfs
这种朴素的dfs很好理解,但是,在我们计算 过程中,肯定出现了大量的重复。因此,我们 要在计算的时候 “只算一次”。

end;

end;

end;
主程序

begin

readln(n,q);

for i:=1 to n do for j:=1 to n do map[i,j]:=-1;

for i:=1 to n-1 do

begin

readln(a,b,c);

map[a,b]:=c;map[b,a]:=c;
对于每个节点的状态,与且只与其所属的孩子 节点有关(一般为2个,如果不是2个,需要转 换),也就是说每个节点的状态与其父节点无 关。
状态可以用简单的数组来表示。 如果用dfs会有大量的重复计算。
二叉苹果树的解决
此问题可以转化为: 对于一个二叉树,除了根节点外,每个节点都
有相应的一个权值,在此基础上,求保留多少 个点使得其仍然满足树的性质(树的性质有什 么?)且权值最大,当然,根节点是必须保留 的。
begin

ch[v,1]:=i;

num[i]:=map[v,i];

map[v,i]:=-1;map[i,v]:=-1;

maketree(i);

break;
end;
for i:=1 to n do
if map[v,i]>=0 then
begin

ch[v,2]:=i;

num[i]:=map[v,i];
如果是多叉怎么办?
选课(如果看不清,看下一页)
在大学里每个学生,为了达到一定的学分,必须从很多课程里 选择一些课程来学习,在课程里有些课程必须在某些课程之前 学习,如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课, 每门课有个学分,每门课有一门或没有直接先修课(若课程a是 课程b的先修课即只有学完了课程a,才能学习课程b)。一个 学生要从这些课程里选择M门课程学习,问他能获得的最大学 分是多少?
树形动态规划
什么是树型动态规划
顾名思义,树型动态规划就是在“树”的数据结构上 的动态规划,平时作的动态规划都是线性的或者是建 立在图上的,线性的动态规划有二种方向既向前和向 后,相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推, 而树型动态规划是建立在树上的,所以也相应的有二 个方向: (1)根—>叶:不过这种动态规划在实际的问题 中运用的不多,也没有比较明显的例题,所以不在今 天讨论的范围之内。 (2)叶->根:既根的子节点传递有用的信息给 根,完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多, 下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。
动态规划设定
根据前边动态规划的经验,状态函数是第一要 务,那么状态应该怎么表示呢?
仿照线性的,我们设 ch[v,1] 和 ch[v,2]分别表 示 v节点的左孩子和右孩子。
f[i,j]表示 以第i个节点为根的子树保留j个节点 的最大权和。
那么转移方程就是
F[I,j]=max(f[ch[I,1],k)+f[ch[I,2],j-k-1]) (0<=k<=j-1)(想一下,为什么是 j-1)
输出格式
一个数,最多能留住的苹果的数量。(剪枝时,千万不要连根拔起哦)
样例输入
52 131 1 4 10 2 3 20 3 5 20
样例输出
21
思考
这道题能不能还像上道题一样用线性dp 如果用dfs呢? 还有什么方法?
应用树形动态规划的前提
整个图是一个树形结构或者可以转化为树形结 构。
输入样例: 74 22 01 04 21 71 76 22 输出样例: 13
我们用函数f(i,j)表示以第i个节点为父节点,取j 个子节点的最佳代价,则:
j jch1n jch1nch2n ( jch1nch2n ch(i1)n f (ch1, ch1n) f (ch2, ch2n)
如何实现
树形结构本身就是递归结构。所以,我们用的 更多的递归的形式来构造树。
而在状态转移的时候,我们一般都是叶子节点 出发,根节点为最终结果。这样,如果用记忆 化搜索的方式,动态规划的过程和构造树的方 向基本一致,有时候还可以合二为一。
先写出dfs框架
Procedure dfs(v); var i:longint;
此题是批着 树形 外观的 非树形动态规划 题。而真正的树形动态规划是在树上做动 态规划。
苹果二叉树 (apple)
题目描述
有一棵苹果树,如果树枝有分叉,一定是分2叉(就是说没有只有1个 儿子的结点)这棵树共有N个结点(叶子点或者树枝分叉点),编号 为1-N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描 述一根树枝的位置。
【输出样例】 145 31245
此题要求在求最优值的基础上把树的结构给构 造出来,所以,从本质上,此题为区间型的一 维线性动态规划。
如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成 的二叉树的最大加分,则动态方程可以表示如 下:
value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],
现在这颗树枝条太多了,需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。 给定需要保留的树枝数量,求出最多能留住多少苹果。
输入格式
第1行2个数,N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。 N表示树的结点数,Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝 的信息。 每行3个整数,前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上 苹果的数量。 每根树枝上的苹果不超过30000个。

else begin

dp[v,l]:=0;

for i:=0 to l-1 do

begin

if dp[ch[v,1],i]=0 then dfs(ch[v,1],i);

if dp[ch[v,2],l-i-1]=0 then dfs(ch[v,2],l-i-1);

dp[v,l]:=max(dp[v,l],dp[ch[v,1],i]+dp[ch[v,2],l-i-1]+num[v]);
【输入格式】 第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。 第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数 <100)。
【输出格式】 第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过 4,000,000,000)。 第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。
【输入样例】 5 5 7 1 2 10
我们用函数f(I,j)表示以第i个 节点为父节点,取j个子节点的 最佳代价,这和前一个函数表 示的意义是一致的,但方程有 了很大的改变:
f
(i,
j)

max{ff
(leftc,k ) f (rightc, j)
} (rightc, jk1)s[i]
1<=i<=m,1<=j<=n,0<=k<j
f (i, j) max

ch1n1 ch2n1 ch3n1
chin
f (chi, chin))
可是如此规划,其效率与搜索毫无差别,虽然我们 可以再次用动态规划来使它的复杂度变为平方级, 但显得过于麻烦。
转变为二叉树。如果两节点a,b 同为兄弟,则将b设为a的右节 点;如果节点b是节点a的儿子, 则将节点b设为节点a的左节点。 树改造完成后如图3。
value[k,k]+value[I,k-1]*value[k+1,j],
value[j,j]+value[i,j-1]} (i<k<j)
输出因为要输出树的结构,所以,还要在动态 规划的过程中,把每个区间的根给求出来。
设 root[I,j] 构了。
这个方程的时间复杂度最大为n3,十分优秀了。
在具体实现这道题时,我们可以自顶而下,用 递归进行树的遍历求解
程序实现
读入数据时把二叉树建好:第一个孩子作为父节点的左 子树,其它孩子作为第一个孩子的右子树。
F(x,y):表示节点x取y门课得最高学分,则 F(x,y)=max(f(x.l,k-1)+x.v+f(x.r,y-k))

map[v,i]:=-1;map[i,v]:=-1;

maketree(i);

break;
end;
end;
主要过程

procedure dfs(v,l:longint);

var

i:longint;

begin

if (l=0) then dp[v,l]:=0

else if (ch[v,1]=0)and(ch[v,2]=0) then dp[v,l]:=num[v]
k=0,1,..y f(x.l,k-1)+x.v(课程x的学分) :表示选了课程x,左孩子
选k-1门课,共k门课。 f (x.r,y-k)表示右孩子只能选y-k门课。 标程中节点-1表示空节点,0是根节点,1—n是n门
可选课程的节点
皇宫看守(guard)
太平王世子事件后,陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。皇宫 以午门为起点,直到后宫嫔妃们的寝宫,呈一棵树的形状;某些 宫殿间可以互相望见。大内保卫森严,三步一岗,五步一哨,每 个宫殿都要有人全天候看守,在不同的宫殿安排看守所需的费用 不同。可是陆小凤手上的经费不足,无论如何也没法在每个宫殿 都安置留守侍卫。编程任务:帮助陆小凤布置侍卫,在看守全部 宫殿的前提下,使得花费的经费最少。
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