实验8 反幂法
python 反 幂运算 -回复
python 反幂运算-回复Python中的幂运算是计算一个数的指数次幂。
python提供了内置函数pow()和操作符来实现幂运算。
但是,本文将讨论如何进行反幂运算,即计算一个数的n次方根。
反幂运算是幂运算的逆过程,可以用来解决一些数学计算问题和科学工程问题。
在本文中,我们将一步一步地解释如何在Python中实现反幂运算。
步骤1:理解反幂运算的概念反幂运算是指找到一个数的n次方根的过程。
可以将其理解为通过给定一个数字n,计算一个数x,使得x的n次方等于给定的数字。
例如,对于给定的数字8和幂2,我们需要找到一个数x,使得x的平方等于8。
在这种情况下,x等于2,因为2的平方等于8。
步骤2:使用循环逼近方法一种常见的方法是使用循环逼近来计算反幂运算。
该方法基于一个简单的思想:从一个初始的猜测值开始,通过多次迭代来逼近最接近的数值。
在这种情况下,我们可以使用二分法来逼近。
步骤3:实现二分法逼近算法首先,我们需要定义一个函数来计算给定数字的反平方根。
在这个函数中,我们使用二分法来逼近最接近的数值。
def reverse_power(base, n, epsilon):low = 0.0high = baseguess = (low + high) / 2.0while abs(guessn - base) >= epsilon:if guessn > base:high = guesselse:low = guessguess = (low + high) / 2.0return guess在上面的代码中,我们定义了一个reverse_power()函数,该函数接受三个参数:base(基数)、n(次方)、epsilon(误差容限)。
在函数内部,我们初始化一个循环,直到我们的猜测结果接近给定的数字为止。
如果猜测的结果大于给定的数字,我们将高值更新为当前猜测结果;如果猜测的结果小于给定的数字,我们将低值更新为当前猜测结果。
幂法和反幂法的matlab实现
幂法和反幂法的matlab实现幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法,在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题,所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。
实际问题中,有时需要的并不是所有的特征根,而是最大最小的实特征根。
称模最大的特征根为主特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法,它最大的优点是方法简单,特别适用于大型稀疏矩阵,但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了四个大部分:第一部分为将矩阵转化为线性方程组;第二部分为求特征向量的极大值;第三部分为求幂法函数块;第四部分为页面设计及事件处理。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法,再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键字:主特征值;特征向量;线性方程组;幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, alot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part isthe exponentiation function block. The fourth part is the page design and eventprocessing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法......................................................... . (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计........................................................ (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程........................................... . (3)2.3运行环境........................................... (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理..........................................................................4运行过程及结果................................................ (6)4.1 运行过程....................................... ..................………………………………………. .64.2 运行结果................................................ .. (6)4.3 结果分析.......................................... (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵nn ijaA ⨯=)(有一个完备的特征向量组,其特征值为n λλλ ,,21,相应的特征向量为nx x x ,,21。
数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例
数值分析之幂法及反幂法C 语言程序实例1、算法设计方案:①求1λ、501λ和s λ的值:s λ:s λ表示矩阵的按模最小特征值,为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。
1λ、501λ:已知矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<<,要求1λ、及501λ时,可按如下方法求解: a . 对矩阵A 用幂法,求得按模最大的特征值1m λ。
b . 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m BA I λ=+,对矩阵B 用反幂法求得B 的按模最小特征值2m λ。
c . 321m m m λλλ=-则:113min(,)m m λλλ=,13max(,)n m m λλλ=即为所求。
②求和A 的与数5011140k k λλμλ-=+最接近的特征值ik λ(k=0,1,…39):求矩阵A 的特征值中与k μ最接近的特征值的大小,采用原点平移的方法:先求矩阵 B=A-k μI 对应的按模最小特征值k β,则k β+k μ即为矩阵A 与k μ最接近的特征值。
重复以上过程39次即可求得ik λ(k=0,1,…39)的值。
③求A 的(谱范数)条件数2cond()A 和行列式det A :在(1)中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时,要用到Doolittle 分解方法,在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ,则A 的行列式可由U 阵求出,即:det(A)=det(U)。
求得det(A)不为0,因此A 为非奇异的实对称矩阵,则: max 2()scond A λλ=,max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。
2、程序源代码:#include<stdio.h>#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 501 //列#define M 5 //行#define R 2 //下带宽#define S 2 //上带宽#define K 39#define e 1.0e-12 //误差限float A[M][N]; //初始矩阵float u[N]; //初始向量float y[N],yy[N];float maximum,value1,value2,value_1,value_N,value_s,value_abs_max;const float b=0.16f,c=-0.064f;int max_sign,max_position;void Init_matrix_A() //初始化矩阵A{int i;for(i=2;i<N;i++){A[0][i]= c;}for(i=1;i<N;i++){A[1][i]= b;}for(i=0;i<N;i++){A[2][i]= (1.64-0.024*(i+1))*sin(0.2*(i+1))-0.64*exp(0.1/(i+1));}for(i=0;i<N-1;i++){A[3][i]= b;}for(i=0;i<N-2;i++){A[4][i]= c;}}void Init_u() //初始化迭代向量{int i;for(i=0;i<N;i++)u[i]=1.0;}void Get_max() //获得绝对值最大的数值的模{int i;max_position=0;maximum=fabs(u[0]);for(i=1;i<N;i++){if(maximum<fabs(u[i])){max_position=i;maximum=fabs(u[i]);}}if(u[max_position]<0)max_sign=-1;else max_sign=1;}void Get_y() //单位化迭代向量{int i;for(i=0;i<N;i++)y[i]=u[i]/maximum;}void Get_u() //获得新迭代向量{int i;u[0]=A[2][0]*y[0]+A[1][1]*y[1]+A[0][2]*y[2];u[1]=A[3][0]*y[0]+A[2][1]*y[1]+A[1][2]*y[2]+A[0][3]*y[3];u[N-2]=A[4][N-4]*y[N-4]+A[3][N-3]*y[N-3]+A[2][N-2]*y[N-2]+A[1][N-1]*y[N-1];u[N-1]=A[4][N-3]*y[N-3]+A[3][N-2]*y[N-2]+A[2][N-1]*y[N-1];for(i=2;i<N-2;i++)u[i]=A[4][i-2]*y[i-2]+A[3][i-1]*y[i-1]+A[2][i]*y[i]+A[1][i+1]*y[i+1]+A[0][i+2]*y[i+2]; }void Get_value() //获得迭代后特征值{value2=value1;value1=max_sign*u[max_position];}void Check_value() //幂法第二迭代格迭代{Init_u();Get_max();Get_y();Get_u();Get_value();while(1){Get_max();Get_y();Get_u();Get_value();if(fabs((value2-value1)/value1)<e)break;}}void The_value() //获取绝对值最大的特征值λ_501 {Check_value();value_abs_max=value1;}void The_Other_value() //获取特征值λ_1{int i;float value_temp=value1;for(i=0;i<N;i++){A[2][i]-=value_temp;}Check_value();value1+=value_temp;if(value1<value_temp){value_1=value1;value_N=value_temp;}else{value_N=value1;value_1=value_temp;}}int min(int a,int b) //两值中取最小{if(a<b)return a;elsereturn b;}int max(int a,int b) //两值中取最大{if(a<b)return b;elsereturn a;}void Resolve_LU(){int k,i,j,t;float temp;for(k=1;k<=N;k++){for(j=k;j<=min(k+S,N);j++){temp=0;for(t=max(max(1,k-R),j-S);t<=k-1;t++)temp+=A[k-t+S][t-1]*A[t-j+S][j-1];A[k-j+S][j-1]=A[k-j+S][j-1]-temp;}for(i=k+1;i<=min(k+R,N);i++){temp=0;for(t=max(max(1,i-R),k-S);t<=k-1;t++)temp+=A[i-t+S][t-1]*A[t-k+S][k-1];A[i-k+S][k-1]=(A[i-k+S][k-1]-temp)/A[S][k-1];}}}void Back_substitution()//方程组回代过程{int i,t;float temp=0;for(i=2;i<N+1;i++){for(t=max(1,i-R);t<i;t++)y[i-1]-=A[i-t+S][t-1]*y[t-1];}u[N-1]=y[N-1]/A[S][N-1];for(i=N-1;i>0;i--){temp=0;for(t=i+1;t<=min(i+S,N);t++)temp+=A[i-t+S][t-1]*u[t-1];u[i-1]=(y[i-1]-temp)/A[S][i-1];}}double Det_matrix() //求矩阵行列式值{int i;double det=1;Init_matrix_A();Resolve_LU();for(i=0;i<N;i++)det=det*A[2][i];return det;}float Get_norm() //获得迭代向量模{int i;float normal=0;for(i=0;i<N;i++)normal+=u[i]*u[i];normal=sqrt(normal);return normal;}void Get_yy(float normal) //迭代向量单位化{int i;for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/normal;yy[i]=y[i];}}void Get_value_s() //获得绝对值最小的特征值{int i;value2=value1;value1=0;for(i=0;i<N;i++)value1+=yy[i]*u[i];value1=1/value1;}void Value_min() //反幂法求绝对值最小的特征值{float norm=0;int count=0;value1=0,value2=0;Init_u();norm=Get_norm();Get_yy(norm);Back_substitution();Get_value_s();while(count<10000){count++;norm=Get_norm();Get_yy(norm);Back_substitution();Get_value_s();if(fabs((value2-value1)/value1)<e)break;}value_s=value1;}float Get_cond_A() //求矩阵条件数{float cond1;cond1=fabs(value_abs_max/value_s);return cond1;}void Value_translation_min() //偏移条件下反幂法求特征值{int i,k;float tr;for(k=1;k<K+1;k++){tr=value_1+k*(value_N-value_1)/40;Init_matrix_A();for(i=0;i<N;i++)A[2][i]-=tr;Resolve_LU();Value_min();value_s+=tr;printf("k=%d =>>>λi%d=%.13e\n",k,k,value_s);}}void main(){float cond;double value_det;printf("Contactme:****************\n");Init_matrix_A(); //初始化矩阵AThe_value(); //获取绝对值最大的特征值λ_501 The_Other_value(); //获取特征值λ_1printf("λ1=%.13e\n",value_1);printf("λ501=%.13e\n",value_N);value_det=Det_matrix(); //求矩阵行列式值Value_min(); //反幂法求绝对值最小的特征值printf("λs=%.13e\n",value_s);cond=Get_cond_A(); //求矩阵条件数Value_translation_min();//偏移条件下反幂法求特征值printf("cond_A=%.13e\n",cond);printf("value_det=%.13e\n",value_det);}3、程序运行结果:4、迭代初始向量的选取对计算结果的影响:本次计算实习求矩阵A的具有某些特征的特征值,主要用到的方法是幂法和反幂法,这两种方法从原理上看都是迭代法,因此迭代初始向量的选择对计算结果会产生一定影响,主要表现在收敛速度上。
数值幂法及反幂法分析方法
xn组成规范化正交组,即(x, x j) ij ),则
1。n
Ax, x x, x
1
对于任意非零向量x Rn
2。1
max
xRn ,x0
Ax, x x, x
.
3。n
min
xRn ,x0
Ax, x x, x
证明:1。设x Rn
由于x1, x2 ,, xn为Rn的一组正交向量,有
X a1x1 a2 x2 an xn
X
2
X
,
X
1 2
a1x1 an xn , a1x1 an xn
a12 a22 ,an2 0.
n
于是
Ax, x x, x
ai 2i
i 1 n
ai 2
i 1
n
n
n ai2
n
i 1 n
ai 2
Ax, x x, xBiblioteka 1 ai 2i1 n
1
ai 2
i 1
i 1
本章主要介绍三种方法:幂法、反幂法、 正交相似变换的方法,来求A的特征值及相应 的特征向量.
w
max
2 1
p p
,
n 1
p p
min,
取2
p n
p,
p
2
p
2
p*时w最小.
这时,2 p* n p* 2 n . 1 p* 1 p* 21 2 n
2.Rayleigh商加速法
计算实对称阵A的主特征值1..
定理2 设A Rnn为实对称阵,1 2 3 n
对应的特征向量满足 xi , x j ij ,应用幂法计算1,
定理3(Gerschgorin’s圆盘定理)
幂法和反幂法
此例中比值为 2 2 . 1 3
例2:用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。
解: 取初始向量 01
2 4 A 3 9
4 16
v u 1 1 1 ,按(3.7)迭代5次得到数据T如下 表: 00
1 11
11
ukT
6 15 36
k
vkT
(规范化向量)
5 0.1859 0.4460 1 8.156 19.57 43.88
v (i) k 1 v (i) k
1?
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值?
不一定. 先讨论以下情况:
情形1: 设n n阶实矩阵A的特征值i (i 1, 2, , n) 满足 1 2 n 且与i (i 1, 2, , n)相应的特征
向量x1 , x2 , , xn 线性无关。
v (1) 2
v (1) 1
0.41 ,
v (2) 2
v (2) 1
0.41666,
v (1) 3
0.41260,
v (2) 3
0.41249,
v (1) 2
v (2) 2
v (1) 4
v (1) 3
0.41263,
v (2) 4
v (2) 3
0.41263,
问题:是否任何矩阵的幂法,当k比较大时,一定有
故按模特征值为:
1 43.88 对应的特征向量为:
u1 0.1859 0.4460 1.0000T
例3 用幂法求矩阵 的主特征值和主特征向量.
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(3.2)的计算结果如表9 1。
反幂法求特征值例题
反幂法求特征值例题反幂法(Inverse Power Method)是一种用于求解特征值和特征向量的迭代算法。
它基于幂法(Power Method)的思想,通过迭代过程逼近矩阵的特征值。
反幂法可以用于矩阵的特征值分解、奇异值分解、矩阵的谱半径估计等问题。
在本文中,我们将通过一个具体的例题,详细介绍反幂法的求解过程。
假设我们有一个矩阵A,我们的目标是求解它的最大特征值和相应的特征向量。
首先,我们需要找到一个非零向量x0作为初始近似特征向量。
一般情况下,我们可以随机选择一个初始向量或者直接使用单位向量。
接下来,我们需要进行反幂迭代过程。
具体步骤如下:1.将初始向量x0进行归一化处理,得到单位向量y0:y0=x0/,x02.求解y0对应的特征向量z0:z0=A*y0其中,*表示矩阵与向量的乘法运算。
3.计算z0的模长:z0,= sqrt(Σzi^24.归一化z0,得到y1:y1=z0/,z05.求解y1对应的特征向量z1:z1=A*y16.重复步骤3-5,直到满足停止准则,如,λ(k)-λ(k-1),<ε,其中λ(k)为第k次迭代求解的特征值。
例如,假设我们有如下矩阵A:210131014我们的目标是求解矩阵A的最大特征值和相应的特征向量。
首先,我们随机选择一个单位向量作为初始向量:x0=[1,0,0]^T归一化处理,得到y0:y0=[1,0,0]^T然后z0=A*y0=[2,1,0]^T接下来,计算z0的模长:z0, = sqrt(2^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(5归一化z0,得到y1:y1 = z0 / ,z0, = [2/sqrt(5), 1/sqrt(5), 0]^T然后,计算y1对应的特征向量z1:z1 = A * y1 = [3/sqrt(5), 7/sqrt(5), 1/sqrt(5)]^T重复上述步骤,直到满足停止准则。
假设我们设置停止准则为,λ(k)-λ(k-1),<0.001、经过多次迭代,我们可以得到最终的近似特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量
a(k) kn
a(k) k 1,n
a(k) n,k 1
a(k) nn
17
其中
ck
(ak( k)1,k
,,
a(k) nk
)T
Rnk ,
A1(1k ) 为
k 阶上海森伯
格阵,A2(2k ) R . (nk )(nk )
设 ck 0,于是可选择初等反射阵 Rk 使 Rkck ke1, 其中, Rk 计算公式为
13
(1) 设
a11 a12 a1n
A
a21
an1
a22
an 2
a2n
ann
a11 c1
A(1) 12
A(1) 22
,
其中 c1 (a21,, an1)T R n1,不妨设 c1 0, 否则这一 步不需要约化.
本节讨论两个问题 (1) 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵A 为上海森伯格阵. (2) 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A 为 对称三对角阵. 于是,求原矩阵特征值问题,就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题.
8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵
设 A (aij ) R nn . 可选择初等反射阵U1,U2 ,,Un2 使 A 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.
则
A2
U1 A1U1
a11 R1c1
A(1) 12
R1
R1
A(1) 22
R1
(3.1)
15
a11
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理,力学,工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题,例如振动问题(桥梁的振动,机械的振动,电磁振动等)、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分,本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大,按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法,它最大的优点是方法简单,对于稀疏矩阵比较合适,但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值,及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词:矩阵;特征值;特征向量;冥法;反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximumc haracteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix ;Eigenvalue ;Eigenvector ;Iteration methods;目录1引言 (1)2相关定理。
幂法和反幂法求矩阵特征值课程知识讲解
v (k ) =Au (k 1) ,m =max(v (k ) ), u (k ) = v (k ) / m
k
k
(3)若|
m= k
m k 1 |<
,则停止计算(m k 作为绝对值最大特征值 1 ,u (k) 作为
相应的特征向量)否则置 k=k+1,转(2)
2、反幂法算法
(1)取初始向量 u (0) (例如取 u (0) =(1,1,…1) T ),置精度要求 ,置 k=1.
要
2.选择合适问题求解的数值计算方法;
求
3.设计程序并进行计算;
4.对结果进行解释说明;
对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析,算 法设计和流程图,理论依据,程序及结果进行阐述该问题。
一.问题的分析:
求 n 阶方阵 A 的特征值和特征向量,是实际计算中常常碰到的问题,如:
采
机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于 n 阶矩阵 A,若存在数 和
按式(1)计算出 m 和 u (k ) 满足 k
lim
k
m
k
=
1
,
lim u (k ) = x1
k
max( x1 )
(二)反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对 幂法的修改,可以给出更快的收敛性。 1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设 A 是非奇异矩阵,则零不是特征值,并设特征值为 | 1 |≥| 2 |≥…≥| n1|>| n |
则按 A 1 的特征值绝对值的大小排序,有
| 1 |>| 1 |≥…≥| 1 |
n
n 1
1
数值分析课程设计反幂法
数值分析课程设计反幂法一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握反幂法的原理及其在数值分析中的应用。
知识目标要求学生了解反幂法的定义、性质及其在求解非线性方程中的应用;技能目标要求学生能够运用反幂法求解实际问题,并能够对结果进行分析和评价;情感态度价值观目标则是培养学生的探究精神、合作意识以及对于数学问题的兴趣。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括反幂法的原理及其在数值分析中的应用。
首先,介绍反幂法的定义和性质,通过具体的例子让学生理解反幂法的含义和作用。
然后,讲解反幂法在求解非线性方程中的应用,并通过实际问题让学生掌握反幂法的具体操作步骤。
最后,对反幂法的优缺点进行总结,并引导学生思考如何选择合适的数值方法。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标,将采用多种教学方法进行教学。
首先,运用讲授法为学生讲解反幂法的原理和性质,让学生掌握基本知识。
其次,通过讨论法让学生探讨反幂法在实际问题中的应用,培养学生的动手能力和解决问题的能力。
此外,还可以采用案例分析法和实验法,让学生在实际操作中感受反幂法的应用,并能够对其进行评价。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施,将准备以下教学资源。
首先,教材和相关参考书,为学生提供理论知识的学习;其次,多媒体资料,包括PPT、视频等,用于直观展示反幂法的原理和应用;最后,实验设备,如计算机、计算器等,让学生能够在实际操作中掌握反幂法。
通过这些教学资源的使用,丰富学生的学习体验,提高学生的学习效果。
五、教学评估本节课的教学评估将采取多元化方式进行,以确保评估的客观性和公正性,并全面反映学生的学习成果。
评估方式包括平时表现、作业、小测验和期末考试。
平时表现主要评估学生的课堂参与度和提问回答情况;作业则是对学生掌握反幂法知识的检验,要求学生独立完成相关练习题;小测验则是在课程中期进行,用以检查学生对反幂法的理解和应用能力;期末考试则是对学生整个学期学习成果的全面考核,包括理论知识的理解和实际问题的解决。
计算方法52幂法与反幂法
*
13
3. 幂法的改进
用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果
,
,迭代向量的各个不等于零的分量将随
而趋
于无穷(或趋于零),这样造成计算机中的“溢出”。为了克 服这个问题,利用向量的方向与长度无关这一性质,将迭代 向量的长度规范化(“规一化”)以改进幂法。
所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 或 ,
0.042292
0.034389
0.41260
4
0.017451
0.014190
0.41263
可取10.41263 ,v1(0.017451,0.014190)T
*
(vk)2 / (vk-1)2
0.41665 0.41267 0.41263
12
在幂法中,我们构造的序列
可以看出
因此,若序列收敛慢的话,可能造成计算的溢出或归0
计算方法52幂法与反幂 法
2020年5月17日星期日
问题的提法:
设
,其特征值为 ,对应特征向量为
即
,且
征值及对应的特征向量。
线性无关。求矩阵A的主特
幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量
,
由矩阵A的乘幂构造一向量序列
称 为迭代向量。
2 *
(1)幂法:
1.A 特征值中 为强占优,即
问题: 设 即
的特征向量。
敛可能很慢。
8 *
定理7: (1)设
有n个线性无关的特征向量;
(2)设A的特征值满足
(3)幂法:
则
*
9
2. A的主特征值为实的r重根,即
问题: 设
反幂法求特征值例题
反幂法求特征值例题在矩阵理论中,特征值是一个非常重要的概念。
特征值可以描述矩阵的许多性质,例如矩阵的稳定性、对称性等。
因此,求解特征值是矩阵理论中的一个重要问题。
在矩阵理论中,反幂法是一种求解特征值的方法。
反幂法的基本思想是,对于一个矩阵A和一个向量x,我们可以通过迭代的方式求解Ax=kx中的k,其中k就是矩阵A的特征值之一。
具体来说,反幂法的迭代公式为:x_{k+1} = frac{1}{lambda_{k}} A^{-1} x_{k}其中,x_{k}表示第k次迭代的向量,lambda_{k}表示x_{k}对应的特征值。
由于反幂法需要求解A的逆矩阵,因此在实际应用中需要注意矩阵是否可逆。
下面,我们通过一个例题来介绍反幂法的具体求解过程。
例题:给定矩阵A =begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 2end{bmatrix}求解A的特征值和对应的特征向量。
解析:根据特征值的定义,我们需要求解方程Ax=lambda x,其中x为非零向量,lambda为特征值。
由于A是一个3阶矩阵,因此我们需要求解3个特征值。
我们可以使用反幂法来求解A的特征值。
首先,我们需要选择一个初始向量x_{0},并将其归一化。
在本例中,我们选择x_{0} = [1, 1, 1]^{T}作为初始向量。
则有:x_{1} = frac{1}{lambda_{1}} A^{-1} x_{0}其中,lambda_{1}表示第一个特征值,A^{-1}表示A的逆矩阵。
由于A是一个对称矩阵,因此可以使用Cholesky分解来求解A 的逆矩阵。
Cholesky分解的具体过程不在本文的讨论范围内,读者可以自行了解。
在本例中,我们已经计算得到A的逆矩阵为:A^{-1} =begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 & 1/4 1/2 & 1 & 1/2 1/4 & 1/2 & 3/4 end{bmatrix}将x_{0}和A^{-1}代入上式,可以得到:x_{1} =begin{bmatrix} 1/2 1 1/2 end{bmatrix}接下来,我们需要计算x_{1}的模长,即:left| x_{1} right| = sqrt{sum_{i=1}^{3} x_{1i}^{2}} 其中,x_{1i}表示x_{1}的第i个分量。
幂法和反幂法的matlab实现
幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法,在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题,所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。
实际问题中,有时需要的并不是所有的特征根,而是最大最小的实特征根。
称模最大的特征根为主特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法,它最大的优点是方法简单,特别适用于大型稀疏矩阵,但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了四个大部分:第一部分为将矩阵转化为线性方程组;第二部分为求特征向量的极大值;第三部分为求幂法函数块;第四部分为页面设计及事件处理。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法,再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键字:主特征值;特征向量;线性方程组;幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, a lot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part is the exponentiation function block. The fourth part is the page design and event processing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法 (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计 (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程 (3)2.3运行环境 (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组 (4)3.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理............….....…………...…......…………………………4 运行过程及结果 (6)4.1 运行过程.........................................................………………………………………. .64.2 运行结果 (6)4.3 结果分析 (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵n n ij a A ⨯=)(有一个完备的特征向量组,其特征值为n λλλ ,,21,相应的特征向量为n x x x ,,21。
幂法及反幂法
, r 不全为零),则有 r r n k k k i k [ x [ x ( ) x ] vk Avk 1 A v0 1 i i k ] 1 i i i i 1 i 1 i 1 i r 1 n i k ( ) xi ,且 lim k 0, 其中 k i k 1 i r 1
从而
k
幂法: n n (且设 1 , 2 , 对任意的初始向量 v0 R , 且 v0 0, 有v0 i xi ,
i 1
k 1 i 1 vk 因此,当k充分大时, k 接近于与 1 对应的特征向量的某个 1 r 线性组合 i xi( 1 , 2 ,, r 不全为零) 。
(当k 时, k 0)
)k xi 0 (当k )。
(2) 对迭代向量序列: {vk } k Ak v0 1 (1 x1 k ) 1 x1 k vk 1 k 1 k 1 1 (1 x1 k 1 )) max(A v0 ) max( max( 1 x1 k 1 ) max( 1 x1 k ) max( v ) 1 当k k )) 于是, k k 1 1, (当 max( 1 x1 k 1 ) 即 vk 绝对值最大的分量当 k 时,趋向于特征根 1 。 结论: 定理 8 (1)设 A R n n 有n个线性无关的特征向量; (2)设A特征值满足 | 1 || 2 | | n |, 且 Axi i xi (i 1,, n); (3){uk } 及 {vk }由改进幂法得到的规范化向量序列及迭代向量 序列((2.7)式),则有 x1 lim k lim max( v k ) 1 . (a ) limuk ; (b) k k k max(x1 ) 2 r | | 确定。 且收敛速度由比值 1
第八章81乘幂法与反幂法.ppt
r
lim
k
u
k
i 1
i
xi
r
max( i 1
i
xi
)
,
lim
k
max(vk
)
1。
可见, uk 仍收敛于一个主特征向量。对特征值的其他情况,参看书上说明。
例 用幂法求矩阵
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
的主特征值和主特征向量.
华长生制作
8
解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(1)的计算结果如下表。
对应的特征向量仍然是
xi (i
1,2,...,
n)。如果
p是A的特征值
的一个
j
近似值,且
i p j p , i j,
即(i p)1是( A PI )1的主特征值,可用反幂法计算相应的特征值和
特征 华长向 生制量 作 ,计算公式为
15
定理
u0 v0 0, vk ( A PI)1uk1`,
lim
k
uk
xi max(
xi
)
,
lim
k
max(vk
)
i
1
。 p
由该定理可知,p [max(vk )]1是特征值i的近似值,对应的近似特征
向量为uk。迭代收敛速度由比值
max i j
(i
p) /( j
p)
来确定。
反幂法迭代公式(4)中的vk是通过解方程组
华长生制作
(A pI )vk uk 1
]
1k
(1 x1
K
),
(vk 1)l 1(1x1 k 1)l ,
(vk )l
关于幂法与反幂法的研究
东北大学秦皇岛分校数值计算课程设计报告幂法及反幂法学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号******姓名***指导教师*** ***成绩教师评语:指导教师签字:2014年07月07日1 绪论1.1 课题的背景矩阵特征值的数值算法,在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题。
例如,结构的振动波形和频率可分别由适当矩阵的特征向量和特征值来决定,结构的稳定性由特征值决定;又如机械和机件的振动问题,无线电工及光学系统第电磁振荡问题和物理学中各种临界值都牵涉到特征值计算。
所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。
求矩阵特征值的一种方法是从原始矩阵出发,求出其特征多项式及其根,即得到矩阵的特征值。
但高次多项式求根问题尚有困难,而且重根的计算精度较低。
另外,原始矩阵求特征多项式系数的过程,对舍入误差非常敏感,对最终结果影响很大。
所以,从数值计算的观点来看,这种求矩阵特征值的方法不够好。
实际问题中,有时需要的并不是所有的特征根,而是最大最小的实特征根。
称模最大的特征根为主特征值。
解决特征值计算的算法有很多种,古老的雅可比方法、兰乔斯方法以及较为常用的幂法、QR方法。
QR方法是一种变换法,可求全部的特征值;幂法和反幂法是迭代法,只求模最大与模最小的特征值及特征向量。
下面主要来研究一下幂法、反幂法,利用MATLAB解决矩阵特征值问题。
幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法,特别适用于大型稀疏矩阵。
反幂法是计算海森伯格阵或三对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。
1.2 概念的认识对于n阶矩阵A,若存在数λ和n维向量x满足:x=,则称λ为矩阵A的特征值,Axλx为相应的特征向量。
病态矩阵:求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。
例如希尔伯特矩阵就是一类著名的病态矩阵。
本次课题不对病态矩阵做深入研究。
非亏损矩阵:矩阵存在n个线性无关的特征向量,即有一个完全的特征向量组。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征值及特征向量共42页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快,这是不可能的,因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情,化为上进的力量,才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。——孔子
1、不要轻言放Байду номын сангаас,否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人,常是愿意 去做,并愿意去冒险的人。“稳妥”之船,从未能从岸边走远。-戴尔.卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡,喝起来是苦涩的,回味起来却有 久久不会退去的余香。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征值及特 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美,我宁愿选择无悔,不管来生多么美丽,我不愿失 去今生对你的记忆,我不求天长地久的美景,我只要生生世世的轮 回里有你。 征向量
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人,倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢!
42
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《数值分析》实验8
一.实验名称:反幂法
二、实验目的:
(1) 掌握求矩阵按模最小特征值及其对应的特征向量的规范化反幂法;
(2) 掌握原点移位法。
三、实验要求
(1) 按照题目要求完成实验内容
(2) 写出相应的实验原理与C 语言程序
(3) 给出实验结果,结果分析
(4) 写出相应的实验报告
四、实验题目:
用反幂法求以下矩阵的指定特征值及其特征向量(迭代终止误差为1e-3):
41411014110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
接近2的特征值及其特征向量.
程序:
#include<math.h>
#include<stdio.h>
int main(){
int n = 3, i, k, j, max_k = 1000;
double y[max_k][n], x[max_k][n], max_x[max_k], z[n], u[n][n], l[n][n], t, err = 1e-5, norm_dx = 1,tt=12;//norm_dx:dx 的一范数,tt:为了求接近tt 的特征值,
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++){
u[i][j] = 0;
(j == i) ? (l[i][j] = 1) : (l[i][j] = 0);
}
double a[][3] = { 4, 1, 4, 1, 10, 1, 4, 1, 10 };
for (i = 0; i < n; i++)
{ a[i][i]-=tt;
x[0][i] = 1;
}
for (i = 0; i < n; i++){
for (k = i; k < n; k++){
t = 0;
for (j = 0; j < i; j++)
t += l[i][j] * u[j][k];
u[i][k] = a[i][k] - t;
}
for (k = i + 1; k < n; k++){
t = 0;
for (j = 0; j < i; j++)
t += l[k][j] * u[j][i];
l[k][i] = (a[k][i] - t) / u[i][i];
}
}
for (k = 0; k<1000 && norm_dx>pow(err, 2); k++){
max_x[k] = 0;
for (i = 0; i < n; i++){
if (fabs(max_x[k]) < fabs(x[k][i]))
max_x[k] = x[k][i];
}
for (i = 0; i < n; i++)
y[k][i] = x[k][i] / max_x[k];
for (i = 0; i < n; i++){
t = 0;
for (j = 0; j < i; j++)
t += l[i][j] * z[j];
z[i] = y[k][i] - t;
}
for (i = n - 1; i >= 0; i--){
t = 0;
for (j = i + 1; j < n; j++)
t += u[i][j] * x[k + 1][j];
x[k + 1][i] = (z[i] - t) / u[i][i];
}
norm_dx = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
norm_dx += pow((x[k + 1][i] - x[k][i]), 2);
}
k--;
printf("接近%f特征值=%f\n近似特征向量=\n", tt,1 / max_x[k]+12);
for (i = 0; i < n; i++)
(i < n - 1) ? printf("%f,", y[k][i]) : printf("%f\n", y[k][i]);
}
结果:
接近12.000000特征值=12.677104
近似特征向量=
0.526706,0.570281,1.000000
Press any key to continue...。