幂法和反幂法的matlab实现

幂法和反幂法的matlab实现幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。

实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。

称模最大的特征根为主特征值。

幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。

用java来编写算法。

这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。

其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。

关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, alot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part isthe exponentiation function block. The fourth part is the page design and eventprocessing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法......................................................... . (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计........................................................ (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程........................................... . (3)2.3运行环境........................................... (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理..........................................................................4运行过程及结果................................................ (6)4.1 运行过程....................................... ..................………………………………………. .64.2 运行结果................................................ .. (6)4.3 结果分析.......................................... (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵nn ijaA ⨯=)(有一个完备的特征向量组，其特征值为n λλλ ,,21，相应的特征向量为nx x x ,,21。

已知A 的主特征值是实根，且满足条件nλλλλ≥≥≥> 321。

1.1幂法的基本理论和推导[1]幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量v ，由矩阵A 构造一向量序列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====++011021201v A Av v v A Av v Av v k k k 称为迭代向量。

由假设，0v 可表示为nn x x x vααα+++= 22110（设01≠α）（1-1） 于是nkn n k k k k kx x x v A Av vλαλαλα+++===- 22211101)(11121111k k i n i kii k x x x εαλλλααλ+≡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=（1-2）其中ini ki i k x ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21λλαε。

由假设),,2,1(1/1n i i=<λλ，故lim 0k k ε→∞=,从而111lim kk k vx αλ→∞=。

这说明序列1kk vλ越来越接近A的对应于1λ的特征向量，或者说当k 充分大时111k k v x αλ≈，即迭代向量kv 为1λ的特征值的近似向量。

下面再考虑主特征值1λ的计算，用()k iv 表示kv 的第i 个分量，则()()()()()()1111111k k i i i k i k i i v x v x αελαε++⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，故()()11lim k i k k i v v λ+→∞=。

也就是说两相邻的迭代向量分量的比值收敛到主特征值。

通过以上推论可以得出结论，设nn R A ⨯∈有n 个线性无关的特征向量（即非亏损的），主特征值1λ满足nλλλλ≥≥≥> 321，则对任何非零初始向量v ()01≠α，构造的向量序列{}0v A vk k=收敛到主特征向量1x ；()()ik ik v v 1+收敛到主特征值1λ。

（定理一）幂法只能对非亏损矩阵求实的主特征值，且常用于实对称矩阵。

1.2幂法算法的迭代向量规范化[2][3]应用幂法计算A 的主特征值1λ及对应的特征向量时，如果11>λ（或11<λ），迭代向量kv 的各个不等于零的分量将随∞→k 而趋向于无穷（或趋向于零），这样在计算机实现时就可能“溢出”。

为了克服这个缺点，就需要将迭代向量加以规范化。

设有一向量0≠v ，将其规范化得到向量{}v v u max =，其中{}v max 表示向量v 的绝对值最大的分量，即如果有i n i i v v ≤≤=1max 0，则{}0max i v v =，且0i 为所有绝对值最大的分量中的最小下标。

任取一初始向量()001≠≠αv ，构造向量序列{}v max ：{}{}{}{}{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==========-0001002022220021200111001max max max max max max max v A v A u v A v A v v A v A v v u Av v A Au v Av Av v v u Av Au v k k k k k k 由（3.1）式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∑∑==n i i k i i k i n i k i i k x x x v A 2111110λλααλλα， {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∑∑==n i i k i i k n i i k i i k k k k x x x x v A v A u 211112111100max max λλααλλλααλ{}121112111max max x x x x x x i n i i k i i n i i k i i →⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑==λλααλλαα()∞→k（2-1） 同理，可得到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=--=n i i k i i k n i i k i i k k x x x x v 211111121111max λλααλλλααλ {}12111121111max max max λλλααλλααλ→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=-=n i i k i i n i i k i i k x x x x v ()∞→k（2-2）结论：设nn R A ⨯∈有n 个线性无关的特征向量，主特征值1λ满足n λλλλ≥≥≥> 321，则对任意非零初始向量()0100≠=αu v ，按下述方法构造的向量序列{}k u ，{}k v ： {}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===≠=-k k k kk k k v u v Au v u v μμmax 0100 ,2,1=k则有(){}11max lim 1x x u k k ∞→；（2-3）()1lim 2λμ=∞→k k 。