数列中的奇偶项分类讨论问题20170313
数列中的奇偶项分类讨论问题20170313
数列中的奇偶项分类讨论问题20170313数列中的奇偶项分类讨论问题20170313例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为nS ，且248,40a S ==．数列{}nb 的前n 项和为n T ，且230n nT b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}na ,{}nb 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n nn ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44na a nd =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)nn bb n -=≥数列{}nb 为等比数列，132n nb-∴=⋅．（Ⅱ）14 32nn nn cn -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ．当n为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--．当n为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()nn n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数例2.数列{}na 中，()1221,4,23n n a a a a n -===+≥，nS 为数列{}na 的前n 项和，求nS 。
{}na练习、（12宁波一模）已知数列{}na 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21nn ba -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n bb +=+（2）①证明：数列{}2nb +等比数列；②若22122,,9kk k aa a +++成等比数列，2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+⎧∴⎨⎩--=解：当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数，n 为偶数为奇数,S 222232(n 1);21+)3;2232,23,2n n n n n n n n nn n n n n n n n +-+-+=+=+=⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩（为偶数,S 为奇数,S 为偶数.求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b aa a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n ba a ab b ++-==+=+=+（2）①因为111122(2)1,20,2,22n nnnb b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2nb +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2nb +可得，1121322,322n n nn ba ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9kk k aa a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)kk k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. ……………14分2. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n ，则这个数列的前2m 项的和是________．解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m －1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.4．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.5、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为 （C ） （A ）4（B ）6 （C ）8 （D ）10 6、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.7、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
q n1 q
)
,
q
1 .
na1
,q 1
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
当n为奇数时，Sn a1 a3 an a2 a4 an1
n 1 2 (a1
an )
n 1 2 (a2
an1 )
n2
3n 2
2
2
2
当n为偶数时，Sn a1 a3 an1 a2 a4 an
n 2
(a1
an1 )
n 2
(a
2
an )
n2
3n .
2
2
2
综上，S n
n2
n
2
3n ， n偶数 2 3n 2，n奇数
2
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
变式1、已知在数列an 中，a1 1，an an1 2n 2，求an及 数列an 的前n项和Sn .
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
电白一中 邱展民
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
知识回顾：
等差数列：an a1 (n 1)d
等比数列：an a1 q n1
Sn
n(a1 2
an )
a1n
n(n 1)d 2
Sn
a1
(1 1
解： a1 1, an an1 2n 2 , a2 3, 当n 2时，an-1 an 2(n 1) 2, 则an1 an1 2 (n 2).
数列奇偶项分类讨论
数列奇偶项分类讨论
稿子一：
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊数列奇偶项分类讨论这个有趣的话题。
你说数列奇偶项分类讨论，是不是有点让人头疼？其实呀，没那么可怕！比如说，有些数列它的奇数项和偶数项就像两个性格不同的小伙伴。
有时候奇数项乖乖地按照一种规律变化，偶数项呢又有自己独特的小脾气。
就像一群小朋友排队，男生一排，女生一排，各自有着不同的身高增长规律。
举个例子呗，假如有个数列，奇数项每次都加 2，偶数项每次都乘 3。
那咱们就得把它们分开来看，不能混为一谈。
而且哦，在做题的时候，咱们得睁大双眼，看清楚题目给的条件是关于奇数项还是偶数项的。
可别马虎啦，不然就容易出错哟。
还有还有，当咱们搞清楚了奇偶项的规律，解题就会变得轻松好多呢。
就像找到了打开宝箱的钥匙，那种感觉超棒的！
怎么样，是不是觉得数列奇偶项分类讨论也没那么难啦？
稿子二：
嗨嗨，小伙伴们！今天咱们要一起攻克数列奇偶项分类讨论这个小难关啦！
你想想，数列就像一群调皮的小精灵在排队玩耍。
有的时候奇数项的小精灵们一组，偶数项的小精灵们又一组。
比如说，一个数列奇数项是等差数列，偶数项是等比数列。
这时候咱们就得细心观察，把它们分开照顾。
为啥要分类讨论呢？这就好比我们分男生女生比赛，规则不一样，得分方式也不同呀。
做题的时候，咱们可不能一视同仁，得给奇偶项不同的“待遇”。
比如说，先把奇数项的规律找出来，写下来，再去研究偶数项。
有时候，奇偶项的规律可能会相互影响，这就更需要我们聪明的小脑袋瓜好好思考啦。
高中数学数列中的奇偶项问题(经典题型归纳)
数列中的奇偶项问题题型一、等差等比奇偶项问题(1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列公差为________(2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______(3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为_________；项数为_____________题型二、数列中连续两项和或积的问题（()1n n a a f n ++=或()1n n a a f n +⋅=）1．定义“等和数列”：在一个数列中，如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为___________________2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________4．已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记n S 为{}n a 的前n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S .5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足()*143n n a a n n N ++=-∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （2）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；6．（2015江苏无锡高三上学期期末，19）在数列{}n a ，{}n b 中，已知10a =,21a =,11b =,212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.题型三、含有()1n-类型1．已知()1123456..........1n n S n -=-+-+-+-，则173350S S S ++=_____________2．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则的前60项和为________3．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，22a =，()211nn n a a +-=+-，*n ∈N ，则100S =______ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112nn n n S a =--，*n N ∈，则123100..........S S S S +++=____5．已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；题型四、含有{}2n a 、{}21n a-类型1．(2017.5盐城三模11)．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ．2．（镇江市2017届高三上学期期末）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-． （1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．3．【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；4．（苏州市2018届高三第一学期期中质检，20）已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，{}221n n a pa ++成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．题型五、已知条件明确奇偶项问题1．（无锡市2018届高三第一学期期中质检，19）已知数列{}n a 满足1133,1,1,n n n a n n a a a n n ++ ⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*2,n n b a n =∈N . （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存正整数n ，使得212n n n S b S +＞＞成立？说明理由.2．已知数列{}n a 中，11a =，))1n a +=，设232n n b a -=（1）证明数列{}n b 是等比数列（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求2n S （3）探求满足0n S >的所有正整数n3．(2015江苏省连云港、徐州、宿迁三模19)．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+，*n N ∈n ∈N *．正项等比数列{}n b 满足：22b a =，46b a =，（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*,21,2n n na n k cb n k k N =-⎧⎪=⎨=∈⎪⎩，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求所有正整数m 的值，使得221nn T T -恰好为数列{}n c 中的项．。
数列的奇偶项问题教学
数列的奇偶项问题教学同学们，今天咱们来唠唠数列里一个特别有趣的事儿——奇偶项问题。
这就好比数列这个大家族里，突然分成了两个小帮派，一个是奇数项组成的帮派，一个是偶数项组成的帮派。
一、为啥要研究奇偶项呢？你们想啊，数列有时候就像一个调皮的小怪兽，它的规律不是那么一目了然的。
有时候整个数列看起来乱乱的，但是当我们把它的奇数项和偶数项单独拎出来看的时候，哇塞，就像给这个小怪兽打了一针镇定剂，规律一下子就清晰了。
比如说，有些数列的奇数项可能是一个等差数列，而偶数项可能是一个等比数列呢。
这就像是这个数列在玩一种特别的游戏，奇数项和偶数项有各自的玩法。
二、怎么识别奇偶项问题呢？这就像是侦探找线索一样。
当你看到数列的通项公式或者递推公式里，有那种和项数的奇偶性有关的东西，那你就得小心喽，这很可能就是奇偶项问题在向你招手呢。
比如说，递推公式里有类似“当n为奇数时，an + 1 = f(an)”，“当n为偶数时，an + 1 = g(an)”这样的描述，或者通项公式里有根据n是奇数还是偶数而有不同表达式的情况，这就像是数列在给你发送信号：“我这里有奇偶项的秘密哦！”三、具体例子来一波1. 通项公式的奇偶项咱们来看个例子哈，an = {n, n为奇数；2n, n为偶数}。
这个数列就很直白地告诉我们它的奇偶项规律了。
奇数项就是n，那就是1、3、5、7……这样的数；偶数项呢，就是2n，那就是2×2 = 4，2×4 = 8，2×6 = 12……这样的数。
你看，奇数项和偶数项就像两条不同轨道上的小火车，各自按照自己的速度和方向行驶。
2. 递推公式的奇偶项再看这个递推公式：当n为奇数时，an + 1 = an + 2；当n为偶数时，an + 1 = 2an。
咱们从第一项a1 = 1开始。
因为1是奇数，所以a2 = a1 + 2 = 1+ 2 = 3。
现在2是偶数了，那么a3 = 2a2 = 2×3 = 6。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、〔12一模〕数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. 〔1〕求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+〔2〕①证明：数列{}2n b +等比数列；②假设22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：〔1〕2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+〔2〕①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，那么12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、〔14二模〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．〔I 〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；〔II 〕设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ，求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：〔Ⅰ〕由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分〔Ⅱ〕14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分 当n 为奇数时，〔法一〕1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++- ……………13分点评:根据结论1退而求之.〔法二〕132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分 点评：分清项数，根据奇偶进展分组求和。
数列中的奇、偶项问题
数列中的奇、偶项问题类型一、数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))；例1-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝4n .(1)求数列{a n }的前100项和S 100；(2)求数列{a n }的通项公式.练．设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，且2a ，61a -，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差d ；（2）{}n b 满足1n n n b b a ++=，且111b a +=，求{}n b 的通项公式．练．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（）A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．40412022例1-2.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n .练．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++= .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N ∈，122n c c c +++< .类型二、含有(－1)n 的类型；例2-1.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n ，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前100项和S 100；(2)若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式.例2-2.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *.(1)求a 3；(2)求S 1＋S 2＋…＋S 100.练.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于()A.200B.－200C.400D.－400练.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .类型三、含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；例3-1.已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝na n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .练．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123nn n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（）A ．100332005-B ．201632017-C ．100832017-D ．100932018-练．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）．A ．4950-B ．4851-C ．4851D ．4950类型四、已知条件明确的奇偶项问题.例4-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1n ＋n －1，n 为奇数，－2n ，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，求证：数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式.练.已知数列{a n }满足a n a n ＋12＋12，n 为正奇数，a n 2＋n2，n 为正偶数.(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2){a 2n }的通项公式.练．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若nS 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.练．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（）A．B ．4C ．D ．2018练．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（）A ．32B ．43C ．34D ．35练．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2nn n n S a n =--∈，则12100S S S +++= （）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦练．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n nS S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．。
数列的奇偶项3类问题说课讲解
数列的奇偶项3类问题数列的奇偶项问题问题一：有部分数列的通项公式根据脚标为奇数、偶数而有所不同，称为数列的奇偶项问题.解题过程中，通常要采用奇偶分析法，即对脚标的奇偶分类讨论.看2014年全国高考卷的一道数列题.分析：题中给出的是通项与前n项和的关系.童鞋们对这种题型训练的较多，基本的办法就是利用二者的关系，把前n项和消去，得到相邻两项或相邻多项的关系.从（1）问的结论中，我们能判断数列为等差吗？显然不能，因为等差数列要求后项减去前项是同一个常数，而上式中两项的脚标相差2.当然，我们可以这样来看：第一项，第三项，第五项，...，即奇数项可看作等差数列；第二项，第四项，第六项，...即偶数项可看作等差数列.但是，我们不能认为整个数列为等差数列.第（2）为探索题.对于探索题的解法，通常我们先假设存在，用特殊项，比如利用前3项成等差，求出参数的值（这个过程利用的是条件的必要性）；然后再验证该参数的值的确使得该数列为等差数列（这个过程是证明条件的充分性）.这种先用特殊法求值，再一般验证的办法，有利于减少探索时间，这在高考时间紧迫的情况下尤其显得重要.当然，解到这一步不算完，还要验证.若入=4时数列不是等差数列，则不存在符合题意的入.如何进行一般化的验证呢？证明数列为等差的途径有以下几个.其中，1是定义法，4是中项法，我们在证明复杂数列为等差或等比数列的方法，中项法证明等差数列中分别谈到过.2和3是定义法的拓展和延伸，2称为通项判断法，3称为前n项和判断法.2和3分别试图从通项和前n项和的形式上描述等差数列，当然方法2和3本质上依然是定义法.结合第（1）问提供的结论，我们采用通项判断法.为此需要研究数列的通项公式，为此需要采用奇偶分析法.同样的方法研究偶数项的通项公式.我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的.在采用奇偶分析法研究数列的通项时，我们采用了累加法.这个方法简单易用，属于“无脑解法”，不容易犯错.当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项和偶数项的通项公式，前提是项数不要搞错.下面，思考一个一般化的问题.看下面的简图.把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值（假设入>0）.可是，由题我们只能确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢？其实也容易，如果我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......文章的最后，留这样一道思考题.问题二数列的奇偶项问题22012年高考全国新课标理科卷第16题考到了这样一道数列题.题目非常简洁，解起来却不容易.当年得分率比较低.好多童鞋感慨：怎么第1项也不告诉我啊？在数列的奇偶项问题中，我们谈到过，遇到(-1)^n的形式，要采用奇偶分析法.若n为奇数，得到下面的结论.若n为偶数，有下面的结论.请注意，（1）式和（2）式都无法使用累加法，因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以，通过（1）（2）是无法求出通项公式的.如何处理呢？注意到，（1）（2）中有相同的项a(2k)，我们把两式相减.上式表明：数列中相邻奇数项的和为定值2.这样的话，我们就能够求出奇数项的和.解决复杂问题就是这样，既然我们求解通项公式很困难，能求什么就先求什么，能做到什么程度就先做到什么程度，急不得.如何求偶数项的和呢？偶数项的通项也未知，但是已知偶数项与奇数项的关系，我们可以利用这个关系间接求出偶数项的和.奇数项和偶数项的和都已知，相加即得到结果.下面我们换一个思考问题的角度.既然我们放弃求解通项，采用分奇偶项求和的方法，那么（2）式反映了什么？思考1分钟.你看出来了吗？（2）式表明：从第2项开始（因为k是正整数），相邻两项的和构成等差数列（奇数项脚标比偶数项脚标大）.按照这个思路，我们有了下面的解法.不幸的是，这个求和的项与所求的不一样，少了第1项，多了第61项.它们二者之间有没有关系呢？带着这个疑问，我们有必要回头再研究研究通项.依然采用迭代的方法.这个式子表达什么含义呢？奇数项是以4为周期的，即奇数项每隔四项是相等的.所以，前60项和依然等于1830.本篇强调数列问题的基本方法：1.遇符号数列，采用奇偶分析法；2.不管有没有用，迭代试一试，加减试一试；3.数列求和无定法，尤其要关注那些非常规求和的方法.问题三数列的奇偶项问题3最近，真是数列开会啊，可见这个部分难题多.第1问分析：我们平时习惯于证明肯定的结论，否定形式的命题见的比较少.大家觉得肯定类型的结论和否定类型的结论，哪一类容易证明呢？往往否定的更难证明，因为“不是”意味着多种可能性.聪明的解决办法，就是采用反证法.即假设命题成立，然后推出矛盾，以这种“曲线证明”的方法说明原命题是不成立的.同时请注意，命题中有全称量词“任意”，在反设结论时，应该把全称量词改为特称量词.第（2）问分析：证明复杂数列为等差或者等比的方法，主要为定义法，这一方法在证明复杂数列为等差或等比数列的方法中谈到过.第（3）问分析：考察两个方面的问题，一是等比数列的求和，二是恒成立问题.先写通项、求和.题目要求Sn>-12恒成立，属于含参数的恒成立问题.为减少干扰，我们尽可能采用分离参数的方法.我们又一次遇到了数列的奇偶项问题，和数列的奇偶项问题2，数列的奇偶项问题一样，采用奇偶分析法.根据恒成立的原理，求出入的范围.本题复习到的方法：1.用反证法证明否定形式的命题；2.用定义法证明复杂数列为等差或等比数列；3.奇偶分析法处理奇偶项问题.。
数列中的奇偶分析法问题研究
数列中的奇偶分析法问题数列奇偶求通项公式：【典例1】数列满足祇-1 +己=4n — 3（n €』厂），当记=2时，则数列」的通项公式为 ______解析：由= 4n —3（n € % ），得= 4n + 1（n € % ）.两式相减，得 J -_I—忑=4.所以数列是首项为三，公差为4的等差数列•数列 ’」•是首项为心，公差为4的J 妣忙2£-1等差数列.由 心+*= 1 ,三=2，得心=—1.所以》=—：-■■- - - （k € Z ）.数列奇偶求前N 项和:6n 5⑴为奇数），求其前n 项和S n . 2n （n 为偶数）【解析】奇数项组成以ai 1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a 2 4为首项, 公比为4的等比数列；当 n 为奇数时， 奇数项有n 1 项， 偶数项有项，•••22n 1n 1(1 6n 5)S n 丄4(1 4) (n 1)(3n 2) 4(2 n1 1)当n 为偶数时，奇数项21 423和偶数项分别有n 项，A•- S n 26n 5) 4(1 n4芳 n (3 n 2) 4(2n 1)，所以,221 4 23(n 1)(3n 2) 4(2n 1 1)2 3 n(3n 2) 4(2n 1)2 32n 1 n 为奇数练习1：已知a n2n ,n 为偶数，，则数列可的前n 项和一【典例2】已知数列｛a n ｝的通项a n（n 为奇数）【解析】①设n 2mm N ,则m n,b 1 ；m 2，则a1 1 4，a2 4 4 D 2m，则b m T ；m为奇数时，则2n m 1，则酩（m为奇数）b mm（m为偶数）m为偶数时，则S m b1 b2 L b mm为奇数时，则S m b1 b2 L b m1 “2 L m)12m m-(1；22 2 4(m22Sm 1b m 11)m 1 m 1S2m 2 22L n 2m+1 m N 22m m 2 22m2 m,故此时 &,n= 2m^ i(m€ N)，贝V mn-1S2m+1 S2 m a2m 1 2m2 2 2m 12 m 2S n S n2n12扌•②设2 22m 13 m,故此时2n1 2 n为偶数22n 1 n 5, n为奇数22.（扬州市2015 —2016学年度第一学期期末检测试题・20）若数列a n中不超过f （m）的*项数恰为b m（m N ），则称数列b m是数列a n的生成数列，称相应的函数f （m）是数列a n生成b m的控制函数•(1)已知a n 2 2n，且f （m） m，写出b1、b2、b3；(2)已知a n2n，且f (m) m，求bm的前m项和S m ；【解析】（1）m 1，则a11 1m 3，则a11 9，a2 4 9 a39 9 b3 3（2）m为偶数时，则2n2442 1m ----- (m为奇数)4S m 4m4 （m为偶数）3. （2017 •镇江一模・19）已知n N，数列a n的各项均为正数，前n项和为S n,且a1 1, a2 2，设b n a2n 1 a2n -(1)若数列b n是公比为3的等比数列，求S2n ；(2)若对任意n N,Sn2a n n—恒成立，求数列2a n的通项公式;(3)若S2n 3(2n1），数列an a n 1也为等比数列, 求数列的a n通项公式.S2n (ala2) (a3a4)L ( a2n 1 a2 n)bi b2L b n3(1 3n) 3(3n1)2(2)当n > 2 时，由2S n 2a n n ,2S n 1则2a n 2S n 2S h1 ann 1) 2a n a n 121,(a n 1)2a 120, (a n an 1 1)(anan 1 1)故a n a n 1 1，或a n a n 1 1. (*)F面证明a n a n 1 1对任意的n N*恒不成立.事实上，因a1 a2 3，则a n外1 1不恒成立;若存在n N*,使a n a n 1 1,设n o是满足上式最小的正整数, an0a n。
数列奇偶项解题方法和技巧
数列奇偶项解题方法和技巧
数列是数学中的一个重要概念，常用于各种数学问题的解答中。
在数列中，奇偶项是指数列中的元素按照奇数和偶数进行分类。
解决数列中奇偶项问题的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和解
答数学问题。
下面是一些常见的方法和技巧：
1. 观察数列的规律：观察数列中奇数和偶数项的变化规律。
可以通过列举数列的前几项来发现规律，或者根据已知条件进行推导。
例如，可以观察奇数项和偶数项之间的关系，判断它们是否有相同的增长模式或者差异。
2. 利用数列的性质：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质来解决问题。
例如，对于递推数列，可以利用递推关系式来求解奇偶项。
对于等差数列，可以利用等差关系式来求解奇偶项。
3. 使用数学工具和技巧：数学中有一些常用的工具和技巧可以帮助我们解决奇偶项问题。
例如，可以使用等差数列的求和公式来求解奇数项或偶数项的和。
可以使用数列的通项公式来计算奇数项或偶数项的值。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，可以将数列中的奇偶项进行分
类讨论。
例如，可以分别讨论奇数项和偶数项的性质，然后将它们的结果进行合并或比较。
需要注意的是，解决数列中奇偶项问题的方法和技巧并不是唯一的，具体的解题方法应根据问题的具体情况进行选择。
在解题过程中，需要灵活运用数学知识和技巧，进行分析和推导，以找到解题的思路和方法。
总之，数列奇偶项问题的解题方法和技巧可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，提高解题的效率和准确性。
通过不断练习和积累经验，我们可以更好地运用这些方法和技巧来解答各种数列问题。
数列中奇偶分论讨论策略
数列中奇偶分论讨论策略有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用．因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．一、【温故·习新】1．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3（n ∈N *）． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ．【解析】（1） 若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋（n －1）d ，a n ＋1＝a 1＋nd ．由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得（a 1＋nd ）＋[a 1＋（n －1）d ]＝2nd ＋2a 1－d ＝4n －3， 所以2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得，d ＝2，a 1＝－12．（2）由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1（n ∈N *）．两式相减，得a n ＋2－a n ＝4． 所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1．所以a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 522解法1：①当n 为偶数时，S n ＝（a 1＋a 3＋…＋a n －1）＋（a 2＋a 4＋…＋a n ）＝2＋2(n －1)2·n 2＋－1＋(2n －5)2·n 2＝2n 2－3n2．②当n 为奇数时，S n ＝2(n －1)2－3(n －1)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数.解法2：①当n 为偶数时，S n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a n －1＋a n ）＝1＋9＋…＋（4n －7）＝2n 2－3n2；②当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a n －2＋a n －1）＋a n ＝1＋9＋…＋（4n －11）＋2n ＝2n 2－3n ＋52．所以S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数.二、【释疑·拓展】例1 设函数f （x ）＝2x ＋33x （x >0），数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1（n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋（－1）n －1a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）a n ＝2n ＋13；（2）⎝⎛⎦⎤－∞，－59． 【解析】（1）因为a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1＝2＋3a n －1a n －13×1a n －1＝a n －1＋23，（n ∈N *，且n ≥2），所以a n －a n －1＝23． 因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13．（2）①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋（－1）2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2（a 1－a 3）＋a 4（a 3－a 5）＋…＋a 2m （a 2m －1－a 2m ＋1） ＝－43（a 2＋a 4＋…＋a 2m ）＝－43×a 2＋a 2m2×m＝－19（8m 2＋12m ）＝－19（2n 2＋6n ）．②当n ＝2m －1，m ∈N *时， T n ＝T 2m －1＝T 2m －（－1）2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝－19（8m 2＋12m ）＋19（16m 2＋16m ＋3）＝19（8m 2＋4m ＋3）＝19（2n 2＋6n ＋7）． 所以T n＝⎩⎨⎧－19(2n 2＋6n )，n 为偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为奇数.要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19（2n 2＋6n ）≥tn 2，（n 为偶数）恒成立，只要使－19⎝⎛⎭⎫2＋6n ≥t ，对n 为偶数恒成立．故实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－59． 跟踪训练1：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）设T n ＝1(1)ni ii a =-∑，若对一切正整数n ，不等式λT n<[an ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）S n ＝n 2；（2）（－4，2）．【解析】（1） 设数列{a n }的公差为d ．因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2．解法1：（2） ①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝（a 2－a 1）＋（a 4－a 3）＋…＋（a 2k－a 2k －1）＝2k ．代入不等式λT n <[a n ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k．设f （k ）＝4k 2k ，则f （k ＋1）－f （k ）＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1)．因为k ∈N *，所以f （k ＋1）－f （k ）>0，所以f （k ）是递增的，所以f （k ）min ＝2，所以λ<2． ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －（－1）2k a 2k ＝2k －（4k －1）＝1－2k ．代入不等式λT n <[a n ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n －1，得λ·（1－2k ）<（2k －1）4k ， 从而λ>－4k ．因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4． 综上，λ的取值范围为（－4，2）．解法2：当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝（a 2＋a 4＋…＋a 2k ）－（a 1＋a 3＋…＋a 2k －1）＝2k ，下同解法1 例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，满足S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，且a 1＝1，并且正项数列{b n }满足b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n （n ∈N *），其前7项和为42． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ＝b n a n ＋a nb n，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数，都有T n ≥2n ＋a ，求实数a 的取值范围；（3）将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和P n ．【答案】 （1）a n ＝n ，b n ＝n ＋2；（2）⎝⎛⎦⎤－∞，43【解析】（1）∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，∴S n n ＝1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n (n ＋1)2（n ∈N *）， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1（n ∈N *），又a 1＝1，∴a n ＝n （n ∈N *）．∵b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n ，∴（b n ＋1＋b n ）（b n ＋1－b n －1）＝0，又b n >0，∴b n ＋1－b n ＝1， ∴数列{b n }是等差数列，且公差为d ＝1，设{b n }的前项和为B n ，∵B 7＝7b 1＋7×62×1＝42，∴b 1＝3，∴b n ＝3＋（n －1）＝n ＋2（n ∈N *）．（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，∴T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，设R n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，则R n ＋1－R n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3＝4(n ＋1)(n ＋3)>0，∴数列{R n }为递增数列，∴（R n ）min ＝R 1＝43，∵对任意正整数n ，都有T n －2n ≥a恒成立，∴a ≤43，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43． （3）数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }的前n 项和B n ＝n (n ＋5)2，①当n ＝2k （k ∈N *）时，P n ＝S k ＋B k ＝k (k ＋1)2＋k (k ＋5)2＝k 2＋3k ＝⎝⎛⎭⎫n 22＋3×n 2＝14n 2＋32n ； ②当n ＝4k －3（k ∈N *）时，Pn ＝S 2k －1＋B 2k －2＝(2k －1)·2k 2＋(2k －2)(2k ＋3)2＝4k 2－3＝n 2＋6n －34， 特别地，当n ＝1时，P 1＝1也符合上式； ③当n ＝4k －1（k ∈N *）时，Pn ＝S 2k －1＋B 2k ＝(2k －1)2k 2＋2k (2k ＋5)2＝4k 2＋4k ＝n 2＋6n ＋54．跟踪训练2：（2020·徐州模拟）在数列{}a n 中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为d k ．（1）若d 1＝2，求a 2，a 3的值；（2）若d k ＝2k ，证明a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列（k ∈N *）；（3）若对任意k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，其公比为q k ，设q 1≠1，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1q k－1是等差数列．【答案】 （1）a 2＝2，a 3＝4．（2）略；（3）略．【解析】 （1）因为对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，所以当k ＝1时，a 1，a 2，a 3成等差数列且公差为2，故d 1＝a 2－a 1＝a 3－a 2，故a 2＝a 1＋d 1＝2，a 3＝a 2＋d 1＝4．（2）由题设，可得a 2k ＋1－a 2k －1＝4k ，（k ∈N *）．所以a 2k ＋1－a 1＝()a 2k ＋1－a 2k －1＋()a 2k －1－a 2k －3＋…＋()a 3－a 1＝4k ＋4()k －1＋…＋4×1＝2k ()k ＋1，由a 1＝0得，a 2k ＋1＝2k （k ＋1），从而a 2k ＝a 2k ＋1－2k ＝2k 2，所以a 2k ＋2＝2（k ＋1）2．于是a 2k ＋1a 2k ＝a 2k ＋2a 2k ＋1＝k ＋1k，所以当d k ＝2k 时，对任意的k ∈N *，a 2k ，a 2k＋1，a 2k ＋2成等比数列．（3）证明：由a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，及a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，可得2a 2k ＝a 2k －1＋a 2k ＋1，所以2＝a 2k －1a 2k ＋a 2k ＋1a 2k ＝1q k －1＋q k ，当q 1≠1时，可知q k ≠1，k ∈N *，从而1q k －1＝12－1q k －1－1＝1q k －1－1＋1，即1q k －1－1q k －1－1＝1（k ≥2），所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1q k －1是公差为1的等差数列．三、【反馈·提炼】1、已知首项为32的等比数列{n a}的前n 项和为S n （n ∈N *），且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．若S n ＋1S n≤m （n ∈N *）恒成立，则的m 的最小值是 ．证明：由（1）知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n，S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n （2n－1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136．当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512．故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136．2、已知等比数列{n a }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n．若A≤S n－1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．5972【解析】∵ S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n，∴ T n ＝S n －1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n－11－⎝⎛⎭⎫－13n．当n 为奇数时，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫13n －11＋⎝⎛⎭⎫13n递减，则0<T n <T 1＝712； 当n 为偶数时，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n －11－⎝⎛⎭⎫13n递增，则－1772＝T 2<T n <0．故－1772≤T n ≤712，∴ A max ＝－1772，B min ＝712， 故 （B －A ）min ＝B min －A max ＝5972．3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝（－1）n a n －12n，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 2020＝________． 13⎝⎛⎭⎫12100－1 【解析】法一：n=1时，S 1＝－a 1－12，a 1＝－41n ≥2时，S n ＝（－1）n a n －12n ，S n-1＝（－1）n-1a n-1－1-21n ∴a n ＝（－1）n a n －（－1）n-1a n-1＋12n当n 为偶数时，a n-1＝－12n ，从而，a n ＝－12n ＋1（n 为奇数），∴a 3＝－116当n 为奇数时，a n-1＝1-21n ，从而，a n ＝12n （n 为偶数）对S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，①当n 为偶数时，S n ＝0；②当n 为奇数时，S n ＝a n ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝13⎝⎛⎭⎫12100－1法二：①当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，所以S n ＋1＝a n ＋1－12n ＋1，S n ＋1－a n ＋1＝－12n ＋1，即S n ＝－12n ＋1，又S n ＝－a n －12n ，所以S n ＝a n ＝－12n ＋1，②当n 为偶数时S n ＋1＝－a n ＋1－12n ＋1，S n ＋1＋a n ＋1＝－12n ＋1，S n ＋2a n ＋1＝－12n ＋1，S n ＝－2a n ＋1－12n ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫－12n ＋2－12n ＋1＝0，所以a 3＝－116，S 1＋S 2＋…＋S 100＝－⎝⎛⎭⎫122＋124＋…＋12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1． 4．已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn ．（1）若12k =，且20202020S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若1,2n k S =-求．【解析】⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-，1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．5． 对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”．（1）若*2,32,nn n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”，并说明理由； （2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()nn n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求nS 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”．【解析】（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，…………………2分 12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”．…………………4分．（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”．…………7分 因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+， 所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++， 当0q =时，是“M 类数列”；…………………9分 当0q ≠时，不是“M 类数列”；…………………10分 （3）当n 为偶数时，2+113(222)22n n n S -=+++=-，当n 为奇数时，24+111+3(222)23n n n S -=+++=-，所以112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，）．…………………12分当n 为偶数时，+1122(23)21n n n n n n a S S -=-=---=+，当n 为奇数时，+1123(22)213)n n n n n n a S S n -=-=---=-≥（，…………………14分所以21(2,)21(21,nn nn k k Z a n k k Z ⎧+=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩，，） 假设{}n a 是“M 类数列”， 当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-， 当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”．…………………16分 6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.（1） 否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（2） 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n ． 【解析】（1） 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ．若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q （常数），即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋（q －1）λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．（2） 由（1）得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ， 即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32．由a 2n ＝13a 2n －1＋（2n －1），得a 2n －1＝3a 2n －3（2n －1）＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a 2n －1＋a 2n ） ＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n－6（1＋2＋…＋n ）＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3（n －1）2＋2．显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0， 所以当n≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0． 综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2．7．已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）． （1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）由条件知13n n b b +-=，即23n n a a +-=， …… 2分 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3．由1a a =，322a a =+，所以3123a a a -=+=，即1a =， 所以11a =，22a =． 所以22(1)(1)323322n n n n n S n n n --⎡⎤⎡⎤=+⨯++⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （2）① 由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥）， 由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， 所以121n n a a n ++=-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---，所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-， 因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． ② 不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥， 由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥． 当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤．当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+， 由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤．。
如何分奇偶项求解两类数列问题
有些数列奇数项和偶数项的通项公式不同，此时数列的通项公式以及前n 项和都需分段表示.那么在求数列的通项公式和前n 项和时，需对数列的奇数项和偶数项进行分类讨论，主要讨论n 分别为奇数和偶数时的情况.这就给我们解题带来了很多的麻烦和障碍，同学们需灵活运用分类讨论思想来辅助解题.一、求数列的通项公式若数列的奇数项和偶数项不同，则数列的奇数项和偶数项的通项公式也不同.在求数列的通项公式时，需分别研究当n 为1，3，5，⋯，2k -1时以及n 为2，4，6，⋯，2k 时各项之间的规律，并采用一些手段，如将前后项作差、作商、添加（去掉）一个常数、在分子（分母）上减去一个常数等，以确定前后项之间的递推关系，进而求得数列的通项公式.最后需将数列的通项公式，用分段式表示出来.例1.已知数列{}a n 满足a n +1+a n =n ，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：因为a n +1+a n =n ，所以a n +2+a n +1=n +1，将上述两式相减可得a n +2-a n =1，则a 1,a 3,∙∙∙,a 2k -1,∙∙∙是以a 1=1为首项，1为公差的等差数列；a 2,a 4,∙∙∙,a 2k ,∙∙∙是以a 2=0为首项，1为公差的等差数列，所以a 2k -1=1+(k -1)×1=k ，a 2k =0+(k -1)×1=k -1.令n =2k -1，则a n =n +12；令n =2k ，则a n =n -22.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïïn +12,n 为奇数,n -22,n 为偶数.由递推关系a n +1+a n =n 可推导出数列{}a n 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列.再分别根据等差数列的定义求得数列的首项和公差，即可求得数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式，最后用分段式表示即可.例2.已知数列{}a n 满足a n +1∙a n =2n，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：因为a n +1∙a n =2n ，所以a n +2∙a n +1=2n +1，将上述两式相除可得a n +2a n=2，则a 1,a 3,∙∙∙,a 2k -1,∙∙∙是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列；a 2,a 4,∙∙∙,a 2k ,∙∙∙是以a 2=2为首项，2为公比的等比数列，所以a 2k -1=1×2k -1=2k -1，a 2k =2×2k -1=2k .令n =2k -1，则a n =2n -12；令n =2k ，则a n =2n2.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïï2n -12,n 为奇数,2n2,n 为偶数.将a n +1∙a n =2n 与a n +2∙a n +1=2n +1两项作商，即可确定a n +2、a n 之间的递推关系，进而根据等比数列的定义判定数列{}a n 的奇数项、偶数项都成等比数列.再分别根据等比数列的通项公式求得数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足，[2-(-1)n ]⋅a n +[2+(-1)n ]⋅a n +1=1+(-1)n ×3n ，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：当n =2k -1(k ≥1)时，有a 2k +3a 2k -1=4-6k ；当n =2k (k ≥1)时，有a 2k +3a 2k +1=1+6k .将上述两式相减得a 2k +1-a 2k -1=4k -1，故a 2k -1=a 1+(a 3-a 1)+∙∙∙+(a 2k -1-a 2k -3)解题宝典37=1+3+7+∙∙∙+(4k -5)=1+(k -1)(3+4k -5)2=2k 2-3k +2，又因为a 2k +3a 2k -1=4-6k ，所以a 2k =4-6k -3a 2k -1=-6k 2+3k -2.令n =2k -1，则a n =12n 2-12n +1；令n =2k ，则a n =-32n 2+32n -2.所以数列{}a n 的通项公式为：a n =ìíîïï12n 2-12n +1,n 为奇数,-32n 2+32n -2,n 为偶数.由于数列的递推关系式含有(-1)n，所以需分n =2k -1和n =2k 两种情况进行讨论.先由[2-(-1)n ]⋅a n +[2+(-1)n ]∙a n +1=1+(-1)n ×3n 可推导出递推关系a 2k +1-a 2k -1=4k -1，求得a 2k -1的表达式；再根据a 2k +3a 2k -1=4-6k 求得a 2k 的表达式；最后将数列{}a n 的通项公式写成分段式即可.例4.已知数列{}a n 满足a n +1+(-1)n∙a n =2n -1，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：当n =2k -1(k ≥1)时，a 2k -a 2k -1=4k -3；当n =2k (k ≥1)时，a 2k +1+a 2k =4k -1.将上述两式相减可得a 2k +1+a 2k -1=2，①又a 2k +3+a 2k +1=2，②，将②-①得a 2k +3-a 2k -1=0，则a 1,a 5,a 9,∙∙∙,a 4k -3,∙∙∙是以a 1=1为首项，0为公差的等差数列；a 3,a 7,a 11,∙∙∙,a 4k -1,∙∙∙是以a 3=1为首项，0为公差的等差数列，所以a 4k -3=a 1+(k -1)×0=1，a 4k -1=a 3+(k -1)×0=1，又因为a 2k -a 2k -1=4k -3，所以a 4k -a 4k -1=8k -3，a 4k -2-a 4k -3=8k -7，即a 4k =8k -2，a 4k -2=8k -6.因为{n |n =2k -1,k ∈N +}={n |n =4k -1,k ∈N +}⋃{n |n =4k -3,k ∈N +}，{n |n =2k ,k ∈N +}={n |n =4k ,k ∈N +}⋃{n |n =4k -2,k ∈N +}，所以数列{}a n 的通项公式为：a n ={1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数.由a n +1+(-1)n∙a n =2n -1可推导出递推关系a 2k +3-a 2k -1=0，进而求得a 4k -1和a 4k -3的表达式，再分n 为奇数、偶数两种情况，由a 2k -a 2k -1=4k -3求得a 4k 和a 4k -2的表达式，即可得到数列{}a n 的通项公式.例5.数列{}a n 中，a 1=2，a n +1=ìíîïï12a n ,n 为偶数，a n +1,n 为奇数，则数列{}a n 的通项公式为.解：由题意得a 2k +1=12a 2k =12(a 2k -1+1)，则a 2k +1-1=12(a 2k -1-1)，即数列{a 2k -1-1}是以a 1-1=1为首项，12为公比的等比数列.则a 2k -1-1=1×(12)k -1=(12)k -1，即a 2k -1=(12)k -1+1，而a 2k =a 2k -1+1=(12)k -1+2.令n =2k -1，则a n =(12)n -12+1；令n =2k ，则a n =(12)n -22+2.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïïïï(12)n -12+1,n 为奇数,(12)n -22+2,n 为偶数.题目中给出的递推关系为分段式，可由该递推关系式推导出a 2k +1=12a 2k =12(a 2k -1+1)，进而得出数列{a 2k -1-1}为等比数列，求得{}a 2k -1的通项公式，再根据a 2k =a 2k -1+1求得a 2k 的表达式.从这几个例题中可看出，求数列{}a n 的通项公式，需运用分类讨论思想，先分n =2k -1和n =2k 两种情况进行讨论，分别运用等差、等比数列的通项公式，累加法、累乘法、待定系数法等方法求出数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式；再用分段式表示数列{}a n 的通项公式.二、求数列的和当数列奇数项和偶数项的通项公式不同时，我们需要分n 为奇数和偶数两种情况来讨论数列的前n 项和.通常需先根据所有奇数项以及偶数项的规律确定数列的通项公式；然后运用等差、等比数列的前n 项和公式，错位相减法、裂项相消法、分组求和法等求得奇数项以及偶数项数列的和；最后将所得的结果相加.解题宝典38例6.设S n 为数列{}a n 的前n 项和，S n =(-1)n a n -12n,n ∈N +，则S 1+S 2+∙∙∙+S 100=.解：因为a n =S n -S n -1(n ≥2)，所以S n =(-1)n (S n -S n -1)-12n ,n ≥2.则当n =2k -1时，S 2k -1=-(S 2k -1-S 2k -2)-122k -1，即2S 2k -1=S 2k -2-122k -1；当n =2k 时，S 2k =S 2k -S 2k -1-122k，即S 2k -1=-122k ，又因为2S 2k -1=S 2k -2-122k -1，所以S 2k -2=2S 2k -1+122k -1=0.所以S 1+S 2+∙∙∙+S 100=S 1+S 3+S 5+∙∙∙+S 99=-(122+124+∙∙∙+12198)=-14(1-12100)1-14=13(12100-1).由a n =S n -S n -1(n ≥2)可推导出S 2k -1=-122k 和S 2k -2=0，即可根据等比数列的前n 项和公式求得数列中各奇数项的和，进而求得S 1+S 2+∙∙∙+S 100的值.例7.已知数列{}a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n -1，则数列{}a n 的前n 项和S n =.解：S 2k -1=a 1+(a 2+a 3)+∙∙∙+(a 2k -2+a 2k -1)=1+3+∙∙∙+(4k -5)=1+(k -1)(4k -2)2=2k 2-3k +2；S 2k =(a 1+a 2)+∙∙∙+(a 2k -1+a 2k )=1+5+∙∙∙+(4k -3)=k (4k -2)2=2k 2-k .令n =2k -1，则S n =2×(n +12)2-3(n +12)+2=12n 2-12n +1；当n =2k 时，S n =2×(n 2)2-n 2=12n 2-12n .所以数列{}a n 的前n 项和S n =ìíîïï12n 2-12n +1,n 为奇数,12n 2-12n ,n 为偶数.已知递推关系式为数列前后两项之和，于是分别讨论n =2k -1和n =2k 时每两项的和，再根据等差数列的前n 项公式进行求和即可.例8.已知S n 为正项数列{}a n 的前n 项和，且a n ,2S n ,a n +1依次成等比数列.（I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设b n =ìíîïïa n,n 为奇数，2n 2,n 为偶数，求数列{b n b n +1}的前n 项和T n .解：（I ）易得a n =n ；（过程略）（II ）因为b n =ìíîïïn ,n 为奇数，2n 2,n 为偶数，设c n =b n b n +1，则c 2k -1+c 2k =b 2k -1b 2k +b 2k b 2k +1=b 2k (b 2k -1+b 2k +1)=4k ∙2k ，所以T 2n =c 1+c 2+∙∙∙+c 2n =(c 1+c 2)+∙∙∙+(c 2n -1+c 2n )=4(1×21+2×22+∙∙∙+n ×2n )，令R n =1×21+2×22+∙∙∙+n ×2n ，则2R n =1×22+2×23+∙∙∙+n ×2n +1，将上述两式相减可得-R n =21+22+∙∙∙+2n -n ×2n +1=2(1-2n )1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2，故R n =(n -1)×2n +1+2，则T 2n =4R n =(n -1)×2n +3+8.又T 2n -1=T 2n -c 2n =(n -1)×2n +3+8-(2n +1)×2n=(6n -9)×2n +8.所以数列{b n b n +1}的前n 项和为：T n =ìíî(6n -9)×2n +8,n 为奇数，(n -1)×2n +3+8,n 为偶数.解答本题的关键是构造数列c n =b n b n +1，得到c 2k -1+c 2k =4k ∙2k ，进而分别求出S 2n -1和S 2n ，得到S n的表达式.一般地，若数列{}a n 的奇数项和偶数项的通项公式不同，则要求前n 项和S n ，往往需要运用分类讨论思想，分别求得奇数项的和S 2k -1和偶数项的和S 2k .虽然数列中奇偶项的通项公式不同问题较为复杂，但是我们只要抓住解题的关键：（1）要认真分析数列的通项公式或者递推关系式的结构特点，找到问题的突破口；（2）灵活运用分类讨论思想，将n 分为奇数和偶数两种情况进行讨论，就能顺利解题.（作者单位：福建省武平县第二中学）解题宝典39。
高中数学：数列通项的奇偶项问题
高中数学：数列通项的奇偶项问题
在日常学习考试中，我们经常会遇到数列求和问题，通常的做法是先求出数列通项解析式，判断数列性质，再根据公式求和，这是大多数同学都能掌握并熟练运用的。
但也经常会遇到根据给出的条件，按照正常解题思路无法准确求出解析式的情况，这时，我们必须要学会巧用奇偶分析法求出通项解析式，或者选择放弃求通项解析式，采用分类讨论法研究，一定会收到意想不到的效果。
同样的方法研究偶数项的通项公式：
我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的。
在采用奇偶分析法研究数列的通项时，我们采用了累加法.这个方法简单易用，不容易犯错。
当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项和偶数项的通项
公式，
前提是项数不要搞错。
下面，思考一个一般化的问题：
请思考2分钟，再往下看。
看下面的简图：
把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值(假设入>0)。
可是，由题我们只
能
确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢?
其实也容易，如果我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离
也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......。
奇、偶项为不同数列型问题的探究
(3 诺 ! ( 15时 ， S „取 得 最 小 值 ， 求 %的 值 .
二 、求 和 问 题
奇数项与偶数项为不同类型的数列求和问题， 应对 奇数项与偶数项分别求和， 再 相 加 .求 解 中 注 意 对 奇 数
一、 通项问题
第 ( 1 )问 ， 较为简洁， 直接利用赋值法即可求解. 因 为 2$„=a „〇 !+1， 所 以 2$1(%1〇2,即 2 a 1(a 1〇 2,因 为 ％1(%" 0,所以〇2(2. 第 (2)问 ， 给 出 与 前 ! 项 和 S „有 关 的 关 系 式 ， 通常利 用 公 式 ^ # ’ 求 解 .本 题 也 不 例 外 .
[#+^+1 - 1 ) ; !-1 2
I !-1
偶
数
项
共
项
， , 偶&
2
-1 (. 2 =!-1+-
-1 2
I !-1
2 !+1 !-1 [a +-1 ) + ! -1 +
所 以 ,!&,)+,, ■ !-1
!+1
■ (! + 1 )(! + a - 1 ).
当 !为 偶 数 时 ， 奇数项共1 项 ， 由等差数列求和公式 2 i 得， 奇 &~2.#+ .([-1).2 2 &~2.a +L & - 1 j ;偶 数
教学 参谋
解法探 究
2017年 1 2 月
奇、 偶项为不同数列型问题的探究
! 江 苏 省 徐 州 市 第 三 中 学 赵 勇
在处理奇数项与偶数项为不同类型的数列求通项 公 式 或 前 !项 和 中 ， 由于学生在进行奇、 偶讨论时经常会 错 把 !当 成 了 奇 数 项 数 列 、 偶数项数列的项数， 从而产生 错 解 .下 面 通 过 举 例 ， 对此类问题进行详细探究， 以期对 学生解答此类问题有所有助， 从而有效避错. 题 目 已 知 由 整 数 组 成 的 数 列 U „ 丨 各 项均不为〇,其 前 !项 和 为 (1) (2) 且 a &=a ,2 $ „ = % a „+1. 求〇2的值; 求 |%„丨 的 通 项 公 式 ； $+#-1， ！ 为奇数, 综 上 所 得 a „& i n ,!为 偶 数 . 同理， 当！ 为偶数时， 如取！ &10,得 #， 2， #+2,4， #+ 4,6， #+6,8， #+8， 10， 则 偶 数 项 为 2,4,6,8， 10， 共 5项 ， 项 数 为 5 & 1 0 <所 以 当 ! 为 偶 数 时 ， #„&2+2 1 )&!.
一类与奇、偶项讨论相关的数列问题探讨
律． 有 一类 与数 列奇 、 偶 项 有 关 的问 题 ， 特 别 受 到各 种 调研 考试 命 题 人 的青 睐 ， 被呈现在广大学 子的面前．
因此 有必要 对 这类 问题 进 行 梳 理 ， 觅得 其 中 的规 律 ，
以简 化计算 ．
通过上 述分 析 ， 可 以归 纳 奇 、 偶 讨 论 类 型 问题 的
项 讨论 时 ， 先 以 为偶 数 求 解 结 论 表达 式 ， 在 讨 论 为奇 数时 ， 以 ， ｚ 一１ 代 替上 述 表 达式 中 的 ｎ， 再 加 上第 项， 可减 少计 算量 ．
取偶数时 ， “ 为 负． 因此 可 以断定 本 题 应 对 ｎ的取
值 为 奇或偶 进行 讨论 ， 结论 写 分段形 式 ．
．
— —
Ｑ 孵 析 表 面 看 本 题的 结 论 应 当 是 一 个 关于 的 表
达式 ， 但 问题 是 当 取 不 同 的值 时 最后 一 项
呈 现 出 的正 、 负不 同． 再仔细审题 ， 可 以发 现 表 达式 中 各 项 实则 为 对应 自然 数 的平 方 ， 而其 系 数 呈 现 出正 、
整数 为 变量 的离散 型 函数 时 ， 可 以考虑 以数 列 的 方 法来处 理这 类 问题． 其次， 正 如数 列 的定 义所 言 ： 数列 是 一 种特殊 的 函数 ， 其 函数 表 达 式 （ 数列 中被 称 为通 项 公 式） 是 表现 整列数 字 规律 的一 个 窗 口， 因此 ， 确定 数列 的通项 公 式是 挖 掘一 列 数 内在规 律 的重 要 手 段． 而需 要进行 奇 、 偶讨论 的问题 中数列 的通项 公 式 常 常
一
以帮 助学 生理 清这类 问题 的本 质 ．
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数列中的奇偶项分类讨论问题20170313例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅．（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． 当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数 例2.数列{}n a 中，()1221,4,23n n a a a a n -===+≥，n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S 。
{}n a 2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+⎧∴⎨⎩--=解：当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数，n 为偶数为奇数,S 222232(n 1);21+)3;2232,23,2n n n n n n n n nn n n n n n n n +-+-+=+=+=⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩（为偶数,S 为奇数,S 为偶数.练习、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =.……………14分2. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n ，则这个数列的前2m 项的和是________．解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.4．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.5、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为 （C ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）106、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.7、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2 B ．4 C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。
对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.10、(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n(2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.变式：(2013·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解析：①设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. ②由①有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。