数列中的奇偶项分类讨论问题20170313

数列中的奇偶项分类讨论问题20170313

例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且

230n n T b -+=，n N *

∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数

n b n a c n

n n ， 求数列{}n c 的前

n 项和n P ．

解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14

,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩

．

230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，

112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥

数列{}n b 为等比数列，1

32n n b -∴=⋅．

（Ⅱ）1

4 32n n n

n c n -⎧=⎨

⋅⎩为奇数为偶数

． 当n 为偶数时，13124()()

n n n P a a a b b b -=++

++++

+ =

2

12(444)6(14)222

2

14

n

n n n n ++-⋅

-+=+--． 当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221

n n n n n n -+=+--+=++-

（法二）132241()()

n n n n P a a a a b b b --=++

++++++

1

221(44)6(14)2221

214n n n n n n -++⋅

-=

+=++-- ． 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩

为偶数，为奇数 例

2.

数

列

{}

n a 中，

()1221,4,23n n a a a a n -===+≥，n S 为数

列{}n a 的前n 项和，求n S 。

{}n a 2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+⎧∴⎨

⎩--=解：

当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数

，n 为偶数

为奇数,S 2222

32

(n 1);

2

1+)3;

22

32

,23,2

n n n n n n n n n

n n n n n n n n +-+-+=+=+=⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩（为偶数,S 为奇数,S 为偶数.

练习、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：11

1,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数

为数

*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+

（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)

1,20,

2,22

n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则1

2211321n n n a a --=+=⨯-，

因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21

(322)(32

1)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得

23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得2

43

t =或，得2k =.

……………14分

2. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨

⎪⎧

a n 2(a n 为偶数)，

a n －2n (a n 为奇数).

若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．

解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝1

2a 2＝1，a 2＝2；

当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝1

2a 1＝5，a 1＝10

或a 2＝1

2a 1＝2，a 1＝4.

综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,10

3. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝2

2n ，则这个数列的前2m 项的和是________．

解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，