导数及其应用1.4生活中的优化问题举例习题课
1.4 生活中的优化问题举例
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
1.4 生活中的优化问题---市级优质课课件
价为180元/天时，房间会全部住满；房间单
价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果
游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的
各种维护费用，房间定价为多少时，宾馆利 润最大？
解：设每个房间每天的定价为x元， x 180 则利润f(x)=(50)(x-20) 10 1 2 =- x 70 x 1360(180 x 680) 10 1 ' 令f ( x) x 70 0, 解得x 350. 5 当x (180,350)时，f ' ( x) 0; 当x (350, 680)时，f ' ( x) 0. 因此，x 350是函数f ( x)的极大值点，也是最大值点， 所以当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大. 答：当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大.
练习3：在边长为a的正方形铁皮的四角切去相 等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一 个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子 容积最大？
x
x
解:设箱底边长为 x,则箱高
2
3x 求导数，得V ( x) ax 2 2
ax a 2 x V ( x) Sh x ( ) x , (0 x a) 2 22 2
ax h 2 箱子容积 3
2a 即当x 时，箱子容积最大。 3 2a
3x 2a 令V ( x) ax 0，解得x 或x （舍去） 0 2 32a 2a 当x (0, )时，V ( x) 0；当x ( , a)时，V ( x) 0. 3 3 2a x 是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点。 3
新课标人教A版选修2—2第一章 导数及其应用
巩固练习
答案：D
答案：A
生活中的优化问题举例(27)
整理课件
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
整理课件
2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
整理课件
2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
整理课件
【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
整理课件
【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例(原卷版)
学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课程主题：授课时间：学习目标教学内容1.4生活中优化问题举例1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数，可以解决一些生活中的优化问题．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域在开区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的□10数学建模过程．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．()(2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．()2．做一做(1)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________．(2)某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．探究1 面积、容积的最值问题例1 用长为90 cm ，宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？拓展提升在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围．【跟踪训练1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．探究2 费用(用材最省问题)例2 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元(a ≠0)，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？拓展提升(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．【跟踪训练2】 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m 3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？探究3 利润最大(成本最低)问题例3 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？拓展提升(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(关键词：以产量或单价为自变量)(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．【跟踪训练3】 某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x (t)与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x t 产品的成本为R ＝50000＋200x .问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤解决优化问题的方法很多，如：平均不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等．不少优化问题，可以化为求函数最值问题．导数方法是解决这类问题的有效工具．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)则为最大(小)值.1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B．203C．－1 D．－82．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为()A．2033cm B．100 cm C．20 cm D．203cm3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2⎝⎛⎭⎫60－x2(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30 B．40 C．50 D．其他4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)。
高中数学第1章导数及其应用14生活中的优化问题举例课件新人教A版选修20
【解】 设容器的高为 x m，底面边长分别为 y m，(y＋0.5)m， 则 4x＋4y＋4(y＋0.5)＝14.8，
即 y＝1.6－2x. 因为 x＞0，且 y＞0，得 0＜x＜3.2. 所以容器的容积 V＝xy(y＋0.5)＝x1.6－2x2.1－2x ＝14x3－1.85x2＋3.36x(0＜x＜3.2)．
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D.9 千台
解析：设利润为 y，则 y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3 ＋18x2(x＞0)．
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)． ∵当 0＜x＜6 时 y′＞0，当 x＞6 时，y′＜0， ∴当 x＝6 时，y 取得最大值．故选 A. 答案：A
解析：由题设知 y′＝x2－39x－40， 令 y′>0，解得 x>40 或 x<－1， 故函数 y＝13x3－329x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40] 上递减． ∴当 x＝40 时，y 取得最小值． 由此为使耗电量最小，则其速度应定为 40. 答案：40
5．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣 传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求 版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两 边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积 最小？
(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sin θ 的 取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、 乙两种蔬菜的年总产值最大．
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
4 生活中的优化问题举例［课时作业]［A组基础巩固］1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位:℃)为f(x）＝13x3－x2＋8（0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A．8 B.20 3C．－1 D．－8解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x）＝x2－2x＝(x－1)2－1（0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ）A．10 B．15C．25 D．50解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点,连接OC，设∠COF＝α，则CF＝5sin α，OF＝5cos α，∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α＝25sin 2α（0<α〈π2）．∴S矩形CDEF的最大值为25。
答案:C3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( ) A．2,6 B．4，4C．3,5 D．1，7解析:设第一次购买了x件礼物,则第二次购买了8－x件,则付款额f（x）＝x3＋（8－x）3，f′(x)＝3x2－3(8－x）2＝3（16x－64），令f′(x)＝0，得x＝4，∴当x＝4时，付款额最省．答案:B4．某公司生产一种产品,固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390）的关系是R(x）＝－错误!＋400x，（0≤x≤390),则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( ）A．150 B．200C．250 D．300解析:由题意可得总利润P（x)＝－错误!＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－错误!＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′（x）〉0；当300〈x≤390时，P′（x)〈0，所以当x＝300时,P（x)最大．答案：D5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k〉0），贷款的利率为0。
生活中的优化问题举例
＝v3 －5v2＋6 000(0＜v≤100)．
48 2
(2)Q′＝ v2 － 16
5v，
令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80，
当 0＜v＜80 时，Q′＜0；
当 80＜v≤100 时，Q′＞0，
∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，
且
Qmin＝ Q(80)＝2
000(元)． 3
栏目 导引
第一章 导数及其应用
由V′＝12x2－552x＋4 320＝0，得x1＝10，x2＝36. ∵0＜x＜10时，V′＞0,10＜x＜36时，V′＜0，x＞36时， V′＞0， ∴当x＝10时，V有极大值V(10)＝19 600. 又∵0＜x＜24， ∴V(10)又是最大值． ∴当x＝10时，V有最大值V(10)＝19 600. 故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
方法归纳 注意利用导数的方法解决实际问题时，如果在定义区间内只 有一个点使f′(x)＝0，且函数在这点有极大(小)值，那么不 与端点值比较，也可以知道该点的函数值就是最大(小)值．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙 地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运 输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关系是 P＝ 1 v4－ 1 v3＋15v.
栏目 导引
用料(费用)最省问题
第一章 导数及其应用
一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方 成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元， 而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多 少时，航行1海里所需的费用总和最小？ [解] 设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元，那 么由题设的比例关系得 p＝k·v3，其中 k 为比例系数，它
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数在生活中的优化问题举例(可编辑修改word版)
1.4 第一课时生活中的优化问题举例一、课前准备1.课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用.（2）会用导数解决某些实际问题.2.基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域.(2)求函数y =f (x)的导数f '(x)，解方程f '(x)＝0,求定义域内的根，确定.(3)比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值.(4)还原到原中作答.三、学习引领1.常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．解决优化问题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导数应用）（检验作答）3.需要注意的几个问题(1)目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.(2)如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例1 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.D C60 - 2x2思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得a =2x, h ==2(30 -x),0 <x < 30.（1）由题意包装盒侧面积S = 4ah = 8x(30 -x) =-8(x - 15)2+ 1800, 所以当x = 15 时，S 取得最大值.（2）由题意知,V =a 2h = 2 2(30x 2-x3), (0 <x < 30),V '= 6 2x(20 -x) .由V '= 0 得x = 0 （舍）或x = 20 .由于当x ∈ (0,20) 时，V '> 0;当x ∈ (20,30)时V '< 0 ,所以当x = 20 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时ha1=1该盒的高与底面边2长的比值为.2规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一建.立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.变式训练1 今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？题型二费用最省问题203 c - 2r l = - 例 3 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形, 80 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为3立方米且，l ≥ 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球 形部分每平方米建造费用为 c , (c > 3) .设该容器的建造费用为 y 千元.（Ⅰ）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 r .思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.解 :（ Ⅰ） 因 为 容 器 的 体 积 为 803立 方 米 ， 所 以 4r 3 + 23 803,解 得l =80 - 4r所, 以圆柱的侧面积为 2rl = 2r ( 80 - 4r ) = 160 8r 2 ,两端两个半球的 3r 2 3 2 160 3r 2 3 2 23r 3l 表面积之和为4r ,所以 y = - 8r r + 4cr ,定义域为(0, ). 2' 160 8[(c - 2)r 3 - 20] ' （Ⅱ）因为 y = - -16r + 8cr = r 2 r 2 ,所以令 y > 0 得: r > ;令 y ' < 0得: 0 < r <,所以 r = 米时, 该容器的建造费用最小.规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 2 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离B 为 100km 处 有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）与销售价 格 x （单位：元/千克）满足关系式 y =ax - 3+10(x - 6)2 ，其中3 < x < 6 ，a 为常数,已知 销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. （I ） 求 a 的值; （II ） 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求 a 的值.问题（II ）,20 3c - 220 3c - 2310 316 3用 x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.解: （I ）因为当 x = 5 时, y = 11,代入 y =a x - 3 +10(x - 6)2 得, a + 10 = 11, a = 2 . 2 （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为 y = 2x - 3+ 10(x - 6)2 ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x ) = (x - 3)[2x - 3+ 10(x - 6)2 ] = 2 + 10(x - 3)(x - 6)2 = 2 + 10(x - 3)(x 2 - 12x + 36) , (3 < x < 6) .所以,f '(x ) = 10(x - 6)2 + 20(x - 3)(x - 6) = 30(x - 4)(x - 6) .于是,当 x 变化时, f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表:由上表可知, x = 4 是函数 f (x ) 在(3,6) 上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点所,以当 x = 4 时,函数 f (x ) 取得最大值,最大值为 42.答:当销售价格为 4 元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域所, 以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润 x （元）与年产量 t （吨）满足函数关系， x = 2000 甲方 s 元（以下称 s 为赔付价格）..若乙方每生产一吨产品必须赔付 （1） 将乙方的年利润 w （元）表示为年产量 t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2） 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为()cm.A. B. C. D. 33332. 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) .A.10B.15C.25D.50t 20 33 V32V3. 若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 () .A. 2r 2B. r 2C. 4r 2D. 1r 224. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m ，长和宽的和为 20m ，则仓库容积的最大值为 .5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升),关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为： y = 1 128000 x 3 - 3 80x + 8(0 < x ≤ 120) ，已知甲乙两地相距100 千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 六、课后作业1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B.C.2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ） a a 2 b b 2 A.B.C.D.2b2b2a2a3. 做一个无盖的圆柱形水桶， 若要使其体积是 27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .4. 去年初,某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品．若该商品零售价定为 p 元，则销售量 q (件)与零售价 p (元)有如下关系 q = 8300 - 170 p - p 2 ．那么该商品零售价为 元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)5. 现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别1 2为 x 和 y 时，得到的回报是 P = x 3 y 3 ．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6. 如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记CD = 2x ， 梯形面积为 S ． （1） 求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2） 求面积 S 的最大值．34VD. 23 V3 3 x 2 + 202 x 2 + 400 a b 最大 = 221.4 第一课时 生活中的优化问题答案及解析 一、2. 基础预探（1）数学模型；函数关系（2）极值点 （3）区间短点 （4）实际问题三、变式练习1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为 a - 2x (0 < x < a) ，高为h = x ⋅ tan 30︒ = x 2 3设：容积为 V ，则V = sh = 2 1 (a - 2x )2 sin 60︒⋅x = x 3 - ax 2 + a x .函数求导得: 2 3 4V ' = 3x 2- 2ax +a 2 ,令 V ' = 0 得 x = ,x = a （ 舍去） ,当 0 < x < a 时， V ' > 0 ； 当 4a'a6 2a 3 a 3 a 364a 3 a 3 x > 时，V 6 < 0 ,所以当 x = 时，V = - + = = . 216 36 24 216 54aa 3 答： x 为 时，盒子的容积最大为6542.解 ： 设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= ,|CD|=100 - x .如果公路运费为 a 元3a /km,那么铁路运费为5y = 3a(100 - x ) + a 5元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 为:,( 0 ≤ x ≤ 100 ).对该式求导,得:y ' = - 3a+ axa (5x - 3 =x 2 + 400) ,令 y ' = 2 2 5 5 x 2 + 4000 ,即得 25 x =9( x + 400 ),解之得x 1 =15, x 2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x 1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一极小值点,所以 x 1=15 是函数 y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距 15km 处时,运费最省.3. 解：（I ）因为赔付价格为 s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： w = 2000 - st (t ≥ 0)因为 w = 2000 - st = -s ( -1000 s 2 + 10002s1000 ， 所以当t ( )2 s时，w 取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量t = 1000 () 吨 . s（II ）设甲方净收入为v 元，则v = st - 0.002t 2，将t =1000 () 代入上式，得到甲方纯收入 v sx 2 + 400 t t t )100 - x 2 100 - x 2 = 10002 2 ⨯10003 与 赔 付 价 格 s 之 间 的 函 数 关 系 式 ：v = - ，又s s 4' 10002 8⨯10003 10002 (8000 - s 3 )v = - + = ，令v ' = 0 得 s = 20 ,当 s < 20 时， v ' > 0 ；s 2 s 5 s5当 s > 20 时， v ' < 0 .所以 s = 20 时， v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入， 应向乙方要求的赔付价格是 20 元. 四、随堂练习1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为 h ,则体积V =1(400 - h 2 )h ,(0 < h < 20) ,3V ' = -h 2 + 400 = 0 ,解得 h = 20 3 ,由导数的意义,当 h 20 3 时,V 取极大值且3 3 3唯一,故为最大值.故选 D.2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为 x ,则另一边长为 ,内接矩形的面积S = x , S 2 = x 2 (100 - x 2 ) = -x 4 + 100x 2 , (S 2 )' = -4x 3 + 200x = 0 ,解 得x = 0 (舍去), x = ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50 .3. 答 案 ： A.解 析 :设 内 接 圆 柱 的 底 面 半 径 为 x , (0 < x < r ) ， 则 圆 柱 的 侧 面 积S = 4x r 2 - x 2 ， S 2 = 162 x 2(r 2 - x 2) ，求导，判断极大值点 x =2 r ,其侧面积2最大为2r 2 .4. 答 案 :300m 3解 ： 设 长 为xm ， 则 宽 为(20 - x )m ， 仓 库 的 容 积 为 V,则V = x (20 - x ) ⋅ 3 = -3x 2 +60x .V ' = -6x + 60 ， 令 V ' = 0 得 x = 10 ,当 0 < x < 10 时，V ' > 0 ；当 x > 10 时，V ' < 0 ,∴ x = 10 时，V 最大 = 300(m 3 ) .1005. 答案:80.解析;由题意可知,以速度 x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:W = y ⋅ =x1 x2 + 800 - 15 ,W ' = x - 800 = 0 ,解得 x = 80 ,且为唯一极小值点,所以 x = 80 1280 x 4 为最小值点.640 x 26. 解:设船速度为 x (x > 0) 时，燃料费用为Q 元，则Q = kx 3，由6 = k ⨯103可得 k =3，∴500 Q = 3 500 x 3 ， ∴总 费 用 y = ( 3 500 x 3 + 96) ⋅ 1 = x 3 500 x 2 + 96， xy ' = 6 500 x - 96 ， 令x 2 503x 2 3x 23x 2 y ' = 0 得 x = 20 ，当 x ∈(0, 20) 时， y ' < 0 ，此时函数单调递减，当 x ∈(20, +∞) 时，y ' > 0 ，此时函数单调递增，∴当 x = 20 时， y 取得最小值，∴此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小． 五、课后作业1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为 x , x > 0 ,直棱柱的高为 h ,则V =⋅ h ,所以4h = 4V.表面积 S = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4V⋅ x = + 2 , S ' = x 3x - x 2 = 0 ,解得 x = , S 取极小值且唯一,即最小,故选 C.2. 答案 C. 解析： 设锅炉底面半径和高分别为 r , h ,则 V = r 2h , h = V r 2,总造价y = 2a r 2 + 2b r ⋅ V = 2a r 2 + 2bV , y ' = 4a r - 2bV = 0 ,得 2ar = V⋅ b 即r = b h 2ar 2 r r 2 时取极大值,即最大值.故选 C. r 23. 答案： 3 .解析：设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,则 27= r 2h , h = 27.无盖圆柱形水桶r 2表面积 S = r 2 + 2r ⋅ 27 = r 2 + 54, S ' = 2r - 54= 0 ,解得: r = 3 ,为唯一极小r 2 r r 2值点,即最小值点.4 .答案: 30 .解析:设毛利润 y ,则 y = p ⋅ q - 20q = q ( p - 20) = (8300 - 170 p - p 2 )( p - 20)= - p 3 - 150 p 3 + 11700 p - 166000 ,所以 y = -3 p 2 - 300 p + 11700 = 0 ,解得 p = 30或 p = -130 （舍去）. 根据导数的意义知，当 p = 30 时, y 最大.1 2 1 25. 解：由于 x + y = 10000 ，所以 P = x 3 y 3 = (10000 - y ) 3 y 3 , 0 ≤ y ≤ 10000 ．考虑 P 3 = (10000 - y ) y 2 ，由(P 3 )' = 20000 y - 3y 2= 0 得 y 1 = 0, y 2 = 20000 ，3由于当 y <20000 时， (P 3 )' > 0 ；当3 y > 20000 时， (P 3)' < 0 ， 3 所以 y 2 = 20000 是 P 3的极大值点，从而也是 P 的极大值点．故当投到产品开发的资金320000为元时，得到的回报最大.36． 解: 以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为3x 2 3x 24 3V 4 3V 3 4Vr 2 - x 2 r 2 - x 2 (r + x )2 (r 2 - x 2 ) 3 3r 2 + = r y 2 4r 2 x 2r2 1设C (x , y ) 则 y = 2 .（1） S = 1 (2x + 2r ) ⋅ 2 2= 2(r + x ) 定义域为 {x 0 < x < r }．（ 2） 由 （ 1） 知S = 2(r + x ) = 2 .设g(x) = (r+ x)2(r 2- x 2)则 g '(x) = -2(x + r )2 (2x - r ) . 由 g '(x) = 0 得 x =r 当20 < x < r2 g '(x) > 0 当 < x < r2 g '(x) < 0 ,∴当 x = r时 g(x) 取最大值,S 取最大值,2最大值为．2r 2 - x 2 r2- x 2。
1.4_生活中的优化问题举例
(0 ≤ x ≤ 100).
1答案
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x 2 400 x 2 km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元, 则公路上每吨千米的运费为5t元. B D 这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为
C
A
y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x )(0 ≤ x ≤ 100).
'
2p R r , f r mn
令
f
'
r 0
R r 2
解得
R 因此，当 r 时，磁道具有最大的存储量，最大 2
2 p R 存储量为 .
R R ' ' 当r 时，f r 0;当r 时，f r 0, 2 2
2 mn
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：
R r
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽 度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以 Rr 磁道最多可达 , 又由于每条磁道上的比特数相 m 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即
2pr .所以，磁道总存储量 每条磁道上的比特数可达到 n
R r 2pr 2pr f r r R r . m n mn
（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可 以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.
(2)为求 f x 的最大值，计算
'
f r 0,
例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解：∵每个瓶的容积为: ∴每瓶饮料的利润：
《第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件》高中数学人教a版版选修(1)_OK
又V=πR2h(定值),
则h
V
R
2
.
R
S
(
R)
2R
V
R
2
2R2
2V R
2R2.
由S ( R)
2V R2
4R 0.
解得R 3
V.
2
从而h
V
R2
23
V
2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
19
答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
解 : 设版心的高为xdm,则版心的宽为128 dm,此时四周空白面积为
S(x) (x 4)(128 2) 128
x
x
你还有其他解法
2x 512 8, x 0
吗？
x
求导数,得S ' (x) 2 512
x2
令：S '
(x)
2
512 x2
0
解得：x 16，x 1（6 舍）
于是宽为：128 128 8 x 16
本节我们运用导数，解决一些生
活中的 优化问题.
3
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的 海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2d m，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸， 才能使四周空白面积最小？
x
4
图3.4-1
f3 0,即瓶子半径是 3cm时,
饮料的利润与饮料瓶的 成本恰
23
o
r
好相等;当r 3时,利润才为正值 .
当r 0,2时,fr是减函数,你能