考点19 等比数列(讲解)(解析版)

S10 10 ，所以 S10 S5 6 ， S15 S10 9 ，故 S15 10 9 19 .
2．已知等比数列 an 的前项和为 Sn ， S4 1 ， S8 3 ，则 a9 a10 a11 a12
。
【答案】4
【解析】因为 S4、S8 S4、S12 S8 成等比数列，所以 S8 S4 2 S4 S12 S8
a 1
9 4
，
当且仅当 a 1 22b 1 ，即 a 5 ， b 1 时取等号，
3
6
即4
1
9
的最小值为 ，
a 1 2b 1
4
9 ． 已 知 －9，a1，a2，－1 四 个 实 数 成 等 差 数 列 ， －9，b1，b2，b3，－1 五 个 实 数 成 等 比 数 列 ， 则
b2 (a2－a1)＝
所以an 1 为首项是 2，公比是 2 的等比数列，故 an 1 2n ， an 2n 1 n N * .
3．已知数列an 中，其前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an 2(n N*) ．求证：数列an 为等比数列，并求an 的
通项公式；
【答案】证明详见解析， an 2n ； 【解析】当 n 1 时， a1 S1 2a1 2 ，可得 a1 2 ；
则 S 奇=341,S
偶=682,所以 q
S偶 S奇
2
，∴ S奇
a1 1 q2n 1 q2
341 ，解得 n=5，
这个等比数列的项数为 10，
8．已知正项等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 S8 2S4 5 ，则 a9 a10 a11 a12 的最小值为 。
【答案】20
【答案】8
【解析】因为 a2a6 4 ，且等比数列 an 各项均为正数，所以 a42 4, a4 2
公比 q
a4 a3
2, 首项 a1
1 4
所以
Sn
a1(1 qn ) 1 q
2n 1 4
，通项 an
a1q n1
2n1 4
所以
(Sn
9)2 4
2an
2n 4
16 2n
4
2
2n 4
16 2n
当 x 3 时， a2 (1) 3 3 ，显然不存在这样的实数 a ，故 x 3 ，因此本题选 C.
2．已知数列an 是等比数列，函数 y = x2 5x 3 的两个零点是 a1、a5 ，则 a3
。
【答案】 3
【解析】由韦达定理可知 a1 a5 5 ， a1 a5 3 ，则 a1 0 ， a5 0 ，从而 a3 0 ，且 a32 a1 a5 3a3 3 ，
，
故 cos A b2 c2 a2 bc 1 ，所以 sin A 1 cos2 A 1 1 3 ，
2bc
2bc 2
42
c b sin B 1 1 2 3 所以 bsin B a sin B sin Asin B sin A 3 3 .
2
sin A cos A tan C 11．若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 成等比数列，则 sin B cos B tan C 的取值范围是 。
1
的 2 ， m 天后剩下的线段长度不超过 0.001 尺，则 m 的最小值为
a
a
又
a
b
c
，则
a
b
b2 a
化简可得：
b a
2
b a
1
0
即
t2
t
1
0
，所以
5 1 t 2
5 1 2
考法三：前 n 项和的性质
1.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S5 4 ， S10 10 ，则 S15
。
【答案】19
【解析】因为等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，所以 S5 ， S10 S5 ， S15 S10 成等比数列，因为 S5 4 ，
代入数值所以 S12 7 ，则 a9 a10 a11 a12 S12 S8 7 3 4 .
3．设等比数列 an 的前 n 项和记为 Sn ,若 S10 : S5 1: 2 ,则 S15 : S5
。
3
【答案】
4
【解析】∵数列 an 为等比数列，且其前 n 项和记为 Sn ，∴ S5 , S10 S5 , S15 S10 成等比数列．
【答案】 ( 5 1 , 5 1) 22
【解析】
sin sin
A cos A tan C B cos B tan C
sin sin
A cos B cos
A sin C cos C
B sin C
cos C
sin
可得：
A cos
A tan C
sin
Acos C
cos
Asin C
sin B cos B tan C sin B cos C cos B sin C
an
中， a1010
1 10
，则 lg a1
lg a2
lg a3
lg a2019
_______.
【答案】 2019
【解析】由正项等比数列的 an 的性质以及等比中项公式可得:
a1a2019
a2 a2018
a3a2017
a a 1009 1011
a2 1010
1 100
,
则: lg a1 lg a2 lg a3 lg a2019 lg a1a2a3 a2018a2019 lg a1010 2019
4
8
当且仅当
2n 4
16 2n
,
n
3
所以当 n
3 时，
S
n
9 4
2
的最小值为
8
2an
6．设正项等比数列
an
的首项
a1
1 2
，前
n
项和为
Sn
，且
210
S30
210 1 S20 S10 0 ，则公比 q的值
为
。
1
【答案】
2
【解析】 210 S30
210 1
S20
S10
0 化简得
S30 S20
25 S4
S4
10
2
25 S4
S4
10
20
（当且仅当 S4 5 时取等号）
所以 a9 a10 a11 a12 的最小值为 20
考点四：实际运用
1．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，
今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有1尺长的线段，每天取走它
sin
即
sin
A cos A tan C B cos B tan C
sin A C sin B C
sin sin
B A
由 a b ，所以 sin A cos A tan C b
sin A sin B
sin B cos B tan C a
因为 a、b、c 成等比数列，所以 b2 ac 即 c = b2 ，令 t b
【思维导图】
考点 19 等比数列
【常见考法】 考法一：定义的运用
1.已知数列{an} ， a1 1， n N ， an1 2an 1 .求证：{an 1} 是等比数列；
【解析】依题意， n N ， an1 1 2an 2 2an 1 a1 1 2 0 所以，an 1 是首项为 2、公比为 2 的等比数列.
S20 S10
1 210
因为
an
为等比数列， Sn 为其前 n 项和，所以
S30 S20 S20 S10
q10 所以 q= 1 2
7．已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 341，偶数项之和为 682，则这个数列的项数
为
。
【答案】10
【解析】设等比数列项数为 2n 项,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶，
∵ S10 : S5
1: 2 ，即 S10
1 2
S5
，∴等比数列
S5 , S10
S5 ,
S15
S10
的公比为
S10 S5
S5
1， 2
∴ S15
S10
1 2
S10 S5
1 4
S5
，∴
S15
1 4
S5
S10
3 4
S5
，∴ S15
:
S5
3 4
．
S3n
4．若等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn 2 ， S2n 6 ，则 Sn
∴ 2a 4b 4 ，∴ a 2b 2 ，即 a 1 2b 1 4 ，
结合 ab 0 可得 a 1 0 ， 2b 1 0 ，
∴
a
4 1
1 2b 1
1 4
4 a 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 2b
1
a
1
2b
1
1 4
5
a 1 2b 1
4
2b 1
a 1
1 4
5
2
a 1 2b 1
4
2b 1
。
【答案】7
【解析】依题意，显然数列 an 的公比 q 1 ，所以 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 也成等比数列，
且公比为
S2n Sn Sn
4 2
2 ，所以 S3n
S2n
2 22
8 ，所以 S3n
8 6 14 ，所以
S3n Sn
14 2
7，
(Sn
9 4
)2
5．各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和 Sn ，若 a2a6 4 ， a3 1，则 2an 的最小值为。
6．实数数列1, a, 4, b2 为等比数列，则 a 。
【答案】2
【解析】由题意 a2 1 4 4 ， a 2 ，又 a 与 b2 同号，∴ a 2 ．
a2 a16
7．在等比数列{an}中， a2 ， a16是方程 x2 6x 2 0 的两个根，则 a9 的值为
。
【答案】 2 或 2
2．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 1， an1 Sn n 1 n N * .求证： an 1 为等比数列，并
求an 的通项公式；
【答案】（1） an 2n 1 n N *
【解析】由 an1 Sn n 1得： an Sn1 n n 2 ，两式相减得： an1 an an 1n 2 ，即 an1 2an 1 ，∴ an1 1 2an 1n 2 ， 由 an1 Sn n 1，令 n 1 得 a2 3 ，而 a1 1，故 a2 1 2a1 1 ，
c b
sin sin
C A
，则
c b sin
B
。
【答案】 2 3 3
b2 【解析】由 a，b，c 成等比数列，可得 ac b2 ，则 c a b ，
bsin B bsin B a sin B
又
ac cb
sin C sin A
，利用正弦定理可得，
ac cb
c a
，则
a2
c2
ac
bc
c2
b2
bc
当 n 1 时， an Sn Sn1 2an 2 2an1 2 ，即有 an 2an1 ， 则数列 an 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，可得 an 2n ，
考法二：中项性质
1．已知实数 1, a, x, b, 9 依次成等比数列，则实数 x 的值为
。
【答案】-3
【解析】因为实数 1, a, x, b, 9 依次成等比数列，所以有 x2 (1) (9) x 3
lg102019 2019 .故答案为:-2019.
5．己知数列{an} 为正项等比数列，且 a1a3 2a3a5 a5a7 4 ，则 a2 a6
。
【答案】2
【解析】∵数列{an} 为等比数列，且 a1a3 2a3a5 a5a7 4 ∴ a22 2a2a6 a62 4 ，
即 (a2 a6 )2 4 ，又 an 0 ，∴ a2 a6 2 ．
【解析】等比数列{an}中， a2 ， a16是方程 x2 6x 2 0 的两个根 a2 a16 2 a2 a16 a92 2 a9 2
4 1
8．已知 ab 0 ，若 2 是 2a 与 4b 等比中项，则 a 1 2b 1 的最小值为
。
9
【答案】
4 【解析】∵2 是 2a 与 4b 的等比中项，
3．在等比数列 an 中， a4 ， a6 是方程 x2 5x 1 0 的两根，则 a5
。
【答案】
【解析】在等比数列 an 中，由题意知： a4 a6 5 ， a4 a6 1 ，
所以 a4 0 ， a6 0 ，所以 a52 a4 a6 1，即 a5 1 .
4．在正项等比数列
【解析】因为{an}是等比数列， S8 2S4 5 所以 S8 S4 5 S4 ，且 S4 , S8 S4 , S12 S8 也是等比数列，
S12 S8 a9 a10 a11 a12 所以 S8 S4 2 S4 S12 S8
整理有 S12
S8
S4 52
S4
。
【答案】-8
【解析】先由等差数列和等比数列的性质，得 a2
a1
d
1 9
4 1
8 3
，b22
1 9
9 ；再利用
等比数列中的第三项和第一项同号，得 b2
3 ；所以 b2 (a2－a1)＝ 3
8 3
=
8
.故选
B.
10．在
ABC
中，角
A，B，C
对应的边分别为
a，b，c，若
a，b，c
成等比数列且
a c