四边形中考真题精选试题及答案
中考数学四边形专题训练50题含答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1.若一个多边形的内角和是720︒,则该多边形是()A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形2.下列哪个度数可能成为某个多边形的内角和()A.240°B.600°C.1980°D.21800°3.下列说法中错误..的是()A.平行四边形的对边相等B.正方形的对角线互相垂直平分且相等C.菱形的对角线互相垂直平分D.矩形的对角线互相垂直且相等4.有两张宽为3,长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起,使重叠的部分构成一个四边形,则四边形的最大面积是A.27B.12C.15D.185.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列结论错误的是()A.AO=CO B.AD∥BC C.AD=BC D.∥DAC=∥ACD6.每一个外角都等于36︒,这样的正多边形边数是()A.9B.10C.11D.127.如图,点O是ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F.下列结论成立的是( )A .OE OF =B .AE BF =C .DOC OCD ∠=∠ D .CFE DEF ∠=∠8.对角线互相平分且相等的四边形一定是( )A .等腰梯形B .矩形C .菱形D .正方形 9.如图,在平行四边形ABCD 中,∥B =70°,AE 平分∥BAD 交BC 于点E ,CF ∥AE 交AE 于点F ,则∥1=( )A .45°B .55°C .50°D .60° 10.下列说法正确的是( )A .对角线相等的四边形是矩形B .对角线互相垂直的四边形是菱形C .对角线相等的平行四边形是正方形D .对角线相等的菱形是正方形 11.如图,ABC 的周长为26,点D ,E 都在边BC 上,ABC ∠的平分线垂直于AE ,垂足为Q ,ACB ∠的平分线垂直于AD ,垂足为P ,若10BC =,则PQ 的长为( )A .32B .52C .3D .412.有一边长为2的正方形纸片ABCD ,先将正方形ABCD 对折,设折痕为EF (如图∥);再沿过点D 的折痕将角A 翻折,使得点A 落在EF 的H 上(如图∥),折痕交AE 于点G ,则EG 的长度为( )A .6 B .3 C .8﹣D .4﹣13.下列说法错误的是( )A .对角线互相垂直的平行四边形是正方形B .四条边都相等的四边形是菱形C .四个角都相等的四边形是矩形D .一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形14.已知:如图,四边形ABCD 中,90,60A B C ∠=∠=︒∠=︒,2,3CD AD AB ==.在AB 边上求作点P ,则PC PD +的最小值为( )A .4B .6C .8D .10 15.如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,602AOD AD ∠==°,,则AB 的长是( )A .2B .4C .D .16.如图,菱形ABCD 的对角线12AC =,面积为24,∥ABE 是等边三角形,若点P 在对角线AC 上移动,则PD PE +的最小值为( )A.4 B .C . D .617.如图,ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,且8AB =,17BC =,15CA =,则阴影部分(即四边形AEOF )的面积是( )A .4B .6.25C .7.5D .9 18.如图,点E 在边长为5的正方形ABCD 的边CD 上,将ADE 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF 的位置,连接EF ,过点A 作FE 的垂线,垂足为点H ,与BC 交于点.G 若2CG =,则CE 的长为( )A .54B .154C .4D .9219.如图,菱形ABCD 的对角线AC =12,面积为24,∥ABE 是等边三角形,若点P 在对角线AC 上移动,则PD +PE 的最小值为( )A .4B .C .D .6 20.如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =4.将矩形沿AC 折叠,CD ′与AB 交于点F ,则AF :BF 的值为( )A.2B.53C.54D二、填空题21.如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A,B两点的点O处,再分别取OA,OB的中点M,N,量得50mMN=,则池塘的宽度AB为______m.22.如图,已知矩形ABCD,P、R分别是BC和DC上的动点,E、F分别是P A、PR 的中点.如果DR=5,AD=12,则EF的长为_____.23.如图,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点则四边形EFGH的周长等于___cm.24.如图,已知矩形ABCD中,8AB=,5πBC=.分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧分别交对角线BD于点E,F,则图中阴影部分的面积为________(用含π的式子表示)25.如图,四边形ABCD的对角线AC BD=,E,F,G,H分别是各边的中点,则四边形是___________(平行四边形,矩形,菱形,正方形中选择一个)26.如图,在△ABC 中,4BC =,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,G ,H 分别是AD ,AE 的中点,则GH =______.27.已知O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点,24AB =,36AD =,则OBC △的周长比AOB 的周长大___________.28.平行四边形ABCD 中,∥A 比∥B 小20°,那么∥C =_____.29.如图,在ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,BC =6,AC +BD =14,那么∥BOC 的周长是_____.30.如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,分别以点A ,C 为圆心,AO 长为半径画弧,分别交AB ,CD 于点E ,F .若BD =6,∥CAB =30°,则图中阴影部分的面积为 _____.(结果保留π)31.如图,ABCD 的顶点A ,B ,C 的坐标分别是(0,1),(2,2)--,(2,2)-,则顶点D 的坐标是_________.32.判断题,对的画“√”错的画“×”(1)对角线互相垂直的四边形是菱形( )(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )(4)对角线相等的四边形是菱形( )33.如图,在菱形ABCD 中,2A B ∠=∠,2AB =,点E 和点F 分别在边AB 和边BC 上运动,且满足AE CF =,则DF CE +的最小值为_______.34.如果一个梯形的上底长为2cm ,中位线长是5cm ,那么这个梯形下底长为__________cm .35.如图,正方形ABCD 的边长是3cm ,在AD 的延长线上有一点E ,当BE 时,DE 的长是_____cm .36.如图,在菱形ABCD 中,∥BAD =110°,AB 的垂直平分线交AC 于点N ,点M 为垂足,连接DN ,则∥CDN 的大小是______.37.如图,在▱ABCD 中,BM 是∥ABC 的平分线,交CD 于点M ,且DM =2,平行四边形ABCD 的周长是16,则AB 的长等于______.38.已知:如图,正方形ABCD 中,点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上,CE =MN ,∥MCE =35°,∥ANM 的度数______.39.如图,在边长为8的正方形ABCD 中,E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点,且EF =6,M 为EF 中点,P 是边AD 上的一个动点,则CP +PM 的最小值是_____.40.如图,在ABC 中,M 是BC 边上的中点,AP 是BAC ∠的平分线,BP AP ⊥于点P ,已知16AB =,24AC =,那么PM 的长为________.三、解答题41.如图,在ABCD 中,AE CF =.求证:ABE CDF ∠=∠.42.已知,如图长方形ABCD 中,3cm AB =,9cm AD =,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,求EF 的长.43.如图,在平面直角坐标系内,ABC 的顶点坐标分别为(4,4)A -,(2,5)B -,(2,1)C -.(1)平移ABC ,使点C 移到点1(2,2)C ,画出平移后的111A B C △;(2)将ABC 绕点(0,0)旋转180︒,得到222A B C △,画出旋转后的222A B C △;(3)连接12A C ,21A C ,求四边形1221A C A C 的面积.44.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,顶点A ,C 分别在坐标轴上,顶点B 的坐标为()6,4,E 为AB 的中点,过点()8,0D 和点E 的直线分别与BC 、y 轴交于点F ,G .(1)求直线DE 的函数关系式;(2)函数2y mx =-的图象经过点F 且与x 轴交于点H ,求出点F 的坐标和m 值; (3)在(2)的条件下,求出四边形OHFG 的面积.45.如图,AMN 是边长为2的等边三角形,以AN ,AM 所在直线为边的平行四边形ABCD 交MN 于点E 、F ,且30EAF ∠=︒.(1)当F 、M 重合时,求AD 的长;(2)当NE 、FM )NE FM EF +=; (3)在(2)的条件下,求证:四边形ABCD 是菱形. 46.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,30CAB ∠=︒,线段AB 为边向外作等边ABD △,点E 是线段AB 的中点,连接CE 并延长交线段AD 于点F . (1)求证:四边形BCFD 为平行四边形;(2)若4AB =,求平行四边形BCFD 的面积.47.阅读下面材料,并回答下列问题:小明遇到这样一个问题,如图,在ABC ∆中,//DE BC 分别交AB 于点D ,交AC 于点E .已知,3,5CD BE CD BE ⊥==,求BC DE +的值. 小明发现,过点E 作//EF DC ,交BC 的延长线于点F ,构造∆BEF ,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图)请你回答:(1)证明:DE CF =;(2)求出BC DE +的值;(3)参考小明思考问题的方法,解决问题;如图,已知ABCD 和矩形,ABEF AC 与DF 交于点,G AC BF DF ==.求AGF ∠的度数.48.如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将A ,B 两点向右平移1个单位,再向上平移2个单位,分别得到点A ,B 的对应点C ,D ,连接AC ,BD ,CD .(1)求点C ,D 的坐标;(2)若点P 在直线BD 上运动,连接PC ,PO .∥若点P 在线段BD 上(不与B ,D 重合)时,求S △CDP +S △BOP 的取值范围;∥若点P 在直线BD 上运动,试探索∥CPO ,∥DCP ,∥BOP 的关系,并证明你的结论.49.Rt∥ABC 中,∥BAC =90°,(1)如图1,分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABFG 、ACPE 、BCDE ,其面积分别记为S 1,S 2,S 3,∥若AB =5,AC =12,则S 3= ;∥如图2,将正方形BCDE 沿C 折,点D 、E 的对应点分别记为M 、M ,若点从M 、N 分别在直线FG 和PH 上,且点M 是GO 中点时,求S 1∥S 2∥S 3;∥如图3,无论Rt∥ABC 三边长度如何变化,点M 必定落在直线FG 上吗? 请说明理由;(2)如图4,分别以AB ,AC ,BC 为边向外作正三角形ABD ,ACF ,BCE ,再将三角形BCE沿BC翻折,点E的对应点记为P,若AB=保持不变,随着AC的长度变化,点P也随之运动,试探究AP的值是否变化,若不变,直接写出AP的值;若改变,直接写出AP的最小值.50.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:(1)∥请直接写出图1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系;∥将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断∥中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.(2)将原题中正方形改为矩形(如图4~6),且,试判断(1)∥中得到的结论哪个成立,哪个不成立?(写出你的判断,不必证明.)(3)在图5中,连结DG、BE,且,则.参考答案:1.C【分析】根据多边形内角和定理进行求解即可.【详解】解;设这个多边形的边数为n ,由题意得;()1802720n ︒⋅-=︒,解得6n =,∥这个多边形是六边形,故选C .【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理,熟知对于n 边形其内角和为()1802n ︒⋅-是解题的关键.2.C【分析】本题可根据多边形的内角和为(n ﹣2)×180°来确定解决本题的方法,即判断哪个度数可能是多边形的内角和,就看它是否能被180°整除,从而根据这一方法解决问题.【详解】判断哪个度数可能是多边形的内角和,我们主要看它是否能被180°整除. ∥只有1980°能被180°整除.故选C .【点睛】本题考查了多边形的内角和的计算公式.熟练掌握多边形内角和公式是解答本题的关键.3.D【分析】根据平行四边形的性质,正方形的性质,菱形的性质,矩形的性质对每个选项进行分析,即可得出答案.【详解】解:∥平行四边形的对边相等,∥选项A 不符合题意;∥正方形的对角线互相垂直平分且相等,∥选项B 不符合题意;∥菱形的对角线互相垂直平分,∥选项C 不符合题意;∥矩形的对角线相等但不一定互相垂直,∥选项D 符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,正方形的性质,菱形的性质,矩形的性质,熟练掌握平行四边形的性质,正方形的性质,菱形的性质,矩形的性质是解决问题的关键.4.C【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断出四边形的形状;当两张纸条如图所示放置时,菱形面积最大,然后根据勾股定理求出菱形的边长,然后根据菱形的面积公式计算即可.【详解】解:重叠的四边形的两组对边分别平行,那么可得是平行四边形,再根据宽度相等,利用面积的不同求法可得一组邻边相等,那么重叠的四边形应为菱形;如图,此时菱形ABCD的面积最大.设AB=x,EB=9-x,AE=3,则由勾股定理得到:32+(9-x)2=x2,解得x=5,S最大=5×3=15.故选C.【点睛】本题考查菱形的判定和性质,解题的关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小,然后根据图形列方程.5.D【分析】根据平行四边形的性质解答.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,故A正确;∥,故B正确;∴AD BC∴AD=BC,故C正确;故选:D.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,熟记平行四边形的性质是解题的关键.6.B【分析】根据多边形外角和为360°,然后除以36°即可得到正多边形的边数.【详解】每一个外角都等于36︒,这样的正多边形边数为360°÷36°=10,故选B【点睛】本题考查有关于多边形外角和的计算,记住多边形的外角和是360°是解题关键. 7.A【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO∥∥CFO,从而进行分析即可.【详解】∥点O是ABCD对角线的交点,∥OA=OC,∥EAO=∥CFO,∥∥AOE=∥COF,∥△AEO∥∥CFO(ASA),∥OE=OF,A选项成立;∥AE=CF,但不一定得出BF=CF,则AE不一定等于BF,B选项不一定成立;∠=∠,则DO=DC,若DOC OCD由题意无法明确推出此结论,C选项不一定成立;由△AEO∥∥CFO得∥CFE=∥AEF,但不一定得出∥AEF=∥DEF,则∥CFE不一定等于∥DEF,D选项不一定成立;故选:A.【点睛】本题考查平行四边形的性质,理解基本性质,利用全等三角形的判定与性质是解题关键.8.B【详解】分析:对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,判断即可.详解:对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,故选B.点睛:考查矩形的判定:对角线相等的平行四边形是矩形.9.B【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义,以及平行线的性质求∥1的度数即可.【详解】:解:∥AD∥BC,∥B=70°,∥∥BAD=180°-∥B=110°.∥AE平分∥BAD∥∥DAE=12∥BAD=55°. ∥∥AEB=∥DAE=55°∥CF∥AE∥∥1=∥AEB=55°.故选B .【点睛】本题考查了平行四边形的性质,掌握平行四边形的性质是解题的关键. 10.D【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定即可判断出正确答案.【详解】A 、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形,故本选项错误;B 、对角线相互垂直的四边形有可能是等腰梯形或者是针形;故本选项错误;C 、对角线相等且垂直且相互平分的四边形是正方形,故本选项错误;D 、对角线相等的菱形是正方形,故本选项正确.故选D【点睛】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定,熟记和掌握矩形、正方形、菱形的判定是解题关键.11.C【分析】首先判断BAE 、CAD 是等腰三角形,从而得出BA BE =,CA CD =,由ABC 的周长为26,及10BC =,可得6DE =,利用中位线定理可求出PQ .【详解】解:由题意得:BQ AE ⊥,BQ 平分ABE ∠,∥ABQ EBQ ∠=∠,90AQB BQE ∠=∠=︒,又∥BQ BQ =,∥()ASA ABQ EBQ ≌,∥,AB BE AQ QE ==,∥BAE 是等腰三角形,Q 为AE 的中点,同法可得:CA CD =,CAD 是等腰三角形,P 为AD 的中点,∥ABC 的周长2026AB BC AC BE BC CD BC BC DE DE =++=++=++=+=, ∥6DE =, ∥132PQ DE ==; 故选C .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,以及三角形的中位线定理.根据已知条件,证明三角形全等,是解题的关键.12.B【分析】由于正方形纸片ABCD的边长为2,所以将正方形ABCD对折后AE=DF=1,由翻折不变性的原则可知AD=DH=2,AG=GH,在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长,进而求出EH的长,再设EG=x,在Rt△EGH中,利用勾股定理即可求解.【详解】∥正方形纸片ABCD的边长为2,∥将正方形ABCD对折后AE=DF=1,∥∥GDH是△GDA沿直线DG翻折而成,∥AD=DH=2,AG=GH,在Rt△DFH中,HF==在Rt△EGH中,设EG=x,则GH=AG=1-x,∥GH2=EH2+EG2,即(1-x)2=(2+x2,解得.故选B.【点睛】考查的是图形翻折变换的性质,解答此类题目最常用的方法是设所求线段的长为x,再根据勾股定理列方程求解.13.A【分析】根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案.【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故该选项说法错误,符合题意,B.四条边都相等的四边形是菱形,故该选项说法正确,不符合题意,C.四个角都相等的四边形是矩形,故该选项说法正确,不符合题意,D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形,故该选项说法正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定,注意正方形是特殊的菱形或者矩形.熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键.14.B【分析】作D点关于AB的对称点D',连接CD'交AB于P,根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小;再作D'E∥BC于E,则EB=D'A=AD,先根据等边对等角得出∥DCD'=∥DD'C,然后根据平行线的性质得出∥D'CE=∥DD'C,从而求得∥D'CE=∥DCD',得出∥D'CE=30°,根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB,即可求得PC+PD 的最小值.【详解】作D点关于AB的对称点D',连接CD'交AB于P,P即为所求,此时PC+PD=PC+PD'=CD',根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小.作D'E∥BC于E,则EB=D'A=AD.∥CD=2AD,∥DD'=CD,∥∥DCD'=∥DD'C.∥∥DAB=∥ABC=90°,∥四边形ABED'是矩形,∥DD'∥EC,D'E=AB=3,∥∥D'CE=∥DD'C,∥∥D'CE=∥DCD'.∥∥DCB=60°,∥∥D'CE=30°,∥D'C=2D'E=2AB=2×3=6,∥PC+PD的最小值为6.故选:B.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,轴对称的性质,矩形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,30°角的直角三角形的性质等,确定出P点是解答本题的关键.15.C【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD,然后判断出△AOD是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出OD=AD,然后求出BD,再利用勾股定理列式计算即可得解.【详解】在矩形ABCD中,OA=OC,OB=OD,AC=BD,∥OA=OB=OD,∥∥AOD=60°,∥∥AOD是等边三角形,∥OD=AD=2,∥BD=2OD=4,由勾股定理得,AB=.故选:C.【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用,熟记性质并判断出△AOD是等边三角形是解题的关键.16.C【分析】如图,连接BD交AC于O,连接PB.因为AC与BD互相垂直平分,推出PD=PB,推出PE+PD=PE+PB,因为PE+PB≥BE,推出当E、P、B共线时,PE+PD的值最小,最小值为BE的长,求出BE即可解决问题;【详解】解:如图,连接BD交AC于O,连接PB.∥S菱形ABCD=12•AC•BD,∥24=12×12×BD,∥BD=4,∥OA=12AC=6,OB=12BD=2,AC∥BD,∥AB=∥AC 与BD 互相垂直平分,∥PD =PB ,∥PE +PD =PE +PB ,∥PE +PB ≥BE ,∥当E 、P 、B 共线时,PE +PD 的值最小,最小值为BE 的长,∥∥ABE 是等边三角形,∥BE =AB∥PD +PE 的最小值为故选:C .【点睛】本题考查轴对称-最短问题,等边三角形的判定和性质、菱形的性质、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.17.D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定ABC 是直角三角形,再利用正方形的判定确定四边形OFAE 是正方形,进而利用圆的切线性质可知线段的关系,进而求出阴影部分的面积.【详解】解:∥8AB =,17BC =,15CA =,∥222AB CA BC +=,∥ABC 为直角三角形,90A ∠=︒,∥O 与AB AC ,分别相切于点F 、E ,∥OF AB ⊥ ,OE AC ⊥,OF OE =,∥四边形OFAE 是正方形,设OE r =,则AE AF r ==,∥ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,∥8BD BF r ==-,15CD CE r ==-,∥81517r r -+-=, ∥8151732r +-==, ∥阴影部分的面积是:239=,故选:D .【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等,三角形的内心到顶点的连线平分这个内角;勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点.熟练运用知识点是解决问题的关键.18.B【分析】连接EG ,根据AG 垂直平分EF ,即可得出EG FG =,设CE x =,则5DE x BF =-=,8FG EG x ==-,再根据Rt CEG △中,222CE CG EG +=,即可得到CE 的长.【详解】解:如图所示,连接EG ,由旋转可得,ADE ∥ABF △,AE AF ∴=,DE BF =,又AG EF ⊥,H ∴为EF 的中点,AG ∴垂直平分EF ,EG FG ∴=,设CE x =,则5DE x BF =-=,8FG x =-,8EG x ∴=-,90C ∠=︒,Rt CEG ∴中,222CE CG EG +=,即2222(8)x x +=-, 解得154x =, CE ∴的长为154, 故选:B . 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质,解题时注意:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.19.C【分析】如图,连接BD交AC于O,连接PB,由菱形的性质可得AC与BD互相垂直平分,可得PD=PB,于是PE+PD=PE+PB,因为PE+PB≥BE,故当E、P、B共线时,PE+PD的值最小,最小值为BE的长,所以求出BE即可解决问题,而根据菱形的面积、菱形的性质和勾股定理即可求出AB的长,再根据等边三角形的性质即得答案.【详解】解:如图,连接BD交AC于O,连接PB.∥S菱形ABCD=12•AC•BD,∥24=12×12×BD,∥BD=4,∥四边形ABCD是菱形,∥OA=12AC=6,OB=12BD=2,AC∥BD,∥AB=∥AC与BD互相垂直平分,∥PD=PB,∥PE+PD=PE+PB,∥PE+PB≥BE,∥当E、P、B共线时,PE+PD的值最小,最小值为BE的长,∥∥ABE是等边三角形,∥BE=AB=∥PD+PE的最小值为故选:C.【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、等边三角形的性质、勾股定理以及轴对称﹣最短问题,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.20.B【分析】由折叠的性质可得∥DCA=∥ACF,由平行线的性质可得∥DCA=∥CAB=∥ACF,可得FA=FC,设BF=x,在Rt∥BCF中,根据CF2=BC2+BF2,可得方程(8﹣x)2=x2+42,可求BF=3,AF=5,即可求解.【详解】解:设BF=x,∥将矩形沿AC折叠,∥∥DCA=∥ACF,∥四边形ABCD是矩形,∥CD∥AB,∥∥DCA=∥CAB=∥ACF,∥FA=FC=8﹣x,在Rt∥BCF中,∥CF2=BC2+BF2,∥(8﹣x)2=x2+42,∥x=3,∥BF=3,∥AF=5,∥AF:BF的值为53,故选:B.【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.21.100【分析】根据三角形中位线的性质定理解答即可.【详解】解:∥点M、N是OA、OB的中点,∥MN是∥ABO的中位线,∥AB=2MN.又∥MN=50m,∥AB=100m.故答案是:100.【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.22.6.5【分析】根据题意,连接AR,在直角∥ADR中,DR=5,AD=12,根据勾股定理可得AR.AR=13,又因为E、F分别是PA、PR的中点,即为∥PAR的中位线,故EF=12【详解】∥∥D=90°,DR=5,AD=12,∥AR,∥E、F分别是PA、PR的中点,AR=6.5,∥EF=12故答案为6.5.【点睛】本题考查了三角形中位线长度的求取,本题的解题关键是不要因为动点问题的包装而把题目想的复杂,根据中位线的性质解题即可.23.16.【分析】连接AC、BD,根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长,再求出四边形EFGH的周长即可.【详解】如图,连接AC、BD,∥四边形ABCD是矩形,∥AC=BD=8cm,∥E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,AC=4cm,∥HG=EF=12BD=4cm,EH=FG=12∥四边形EFGH的周长=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm,故答案为:16.【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形的中位线的应用,解题的关键是能求出四边形的各个边的长.矩形的对角线相等,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.24.4π【分析】根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解.【详解】∥S △ABD =5π×8÷2=20π;设ABD n ∠=︒,S 扇形BAE =64360n π⨯;S 扇形DFM =()9064360n π-⨯; ∥阴影面积=20π-()649064360n n ππ⨯+-⨯=20π-16π=4π.故答案为:4π▱ 【点睛】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系.25.菱形 【分析】根据三角形中位线定理可得1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥,,,,进一步可得EH FG EH FG =∥,,同理可得EF HG EF HG =∥,,又根据AC BD =即可得EF HG ==EH FG =,进一步即可得证.【详解】解:∥E ,F ,G ,H 分别是各边的中点, ∥1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥,,,, ∥EH FG EH FG =∥,,同理可证EF HG EF HG =∥,,又∥AC BD =,∥EF HG ==EH FG =,∥四边形EFGH 是菱形.故答案为:菱形.【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理,解决本题的关键是掌握三角形中位线定理.26.1【分析】利用三角形中位线定理求得GH =12DE ,DE =12BC .【详解】解:∥D ,E 分别是AB ,AC 的中点,∥DE 是△ABC 的中位线,∥DE= 12BC=12×4=2,∥G,H分别是AD,AE的中点,∥GH是△ADE的中位线,∥GH=12DE=12×2=1,故答案为:1.【点睛】本题考查了三角形的中位线,熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键.27.12【分析】根据平行四边形的性质可以得到OA=OC,BC=AD,然后根据AB=24,AD=36,即可计算出∥OBC的周长与∥AOB的周长之差.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD=BC,∵AB=24,AD=36,∴BC=36,∴C△OBC﹣C△AOB=(OB+OC+BC)﹣(OB+OA+AB)=OB+OC+BC﹣OB﹣OA﹣AB=BC﹣AB=36﹣24=12,故答案为:12.【点睛】本题考查平行四边形的性质,解答本题的关键是明确△OBC的周长与△AOB的差就是BC与AB的差.28.80°【分析】根据平行四边形的性质分别求出∥A和∥B的度数,然后根据平行四边形对角相等的性质可得∥C=∥A,即可求解.【详解】∥四边形ABCD为平行四边形,∥18020A BB A∠∠∠∠+=︒⎧⎨-=︒⎩,解得:80100AB∠∠=︒⎧⎨=︒⎩,∥∥C=∥A=80°.故答案为80°.【点睛】本题考查了平行四边形对边平行的性质,得到邻角互补的结论,这是运用定义求四边形内角度数的常用方法.29.13 【分析】先根据平行四边形的性质可得11,22OC AC OB BD ==,从而可得7OB OC +=,再根据三角形的周长公式即可得. 【详解】解:四边形ABCD 是平行四边形,11,22OC AC OB BD ∴==, 14AC BD +=,()172OB OC BD AC ∴+=+=, 又6BC =, BOC ∴的周长为7613OB OC BC ++=+=,故答案为:13.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.30.32π 【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =3,再利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解:∥矩形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,且BD =6,∥AC=BD =6,∥OA =OC =OB =OD =3, ∥22303236032AOE S S ππ⨯⨯===阴影扇形, 故答案为:32π. 【点睛】本题考查了矩形的性质,扇形的面积等知识,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.31.()41,【分析】首先根据B 、C 两点的坐标确定线段BC 的长,然后根据A 点向右平移线段BC 的长度得到D 点,即可由A 点坐标求得点D 的坐标.【详解】解:∥B ,C 的坐标分别是(−2,−2),(2,−2),∥BC=2−(−2)=2+2=4,∥四边形ABCD是平行四边形,∥AD=BC=4,∥点A的坐标为(0,1),∥点D的坐标为(4,1).故答案为:(4,1).【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识,解题的关键是求得线段BC的长,难度不大.32.××√×【分析】根据菱形的判定定理即可解答.【详解】(1)错误,对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(2)错误,对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(3)正确,对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(4)错误,对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.【点睛】本题考查菱形的判定定理,熟悉掌握是解题关键.33.4【分析】由“SAS”可证∥ABF∥∥CBE,可得AF=CE,则DF+CE=DF+AF=DF+FH,即当点F,点D,点H三点共线时,DF+CE的最小值为DH的长,由勾股定理可求解.【详解】解:连接AC,作点A关于BC的对称点H,连接AH,交BC于N,连接FH,如图所示:∥四边形ABCD为菱形,∥,∥AB=BC=CD=AD=2,AD BC∥180BAD ABC ∠+∠=︒,∥∥BAD =2∥B ,∥∥B =60°,∥∥ABC 是等边三角形,∥点A ,点H 关于BC 对称,∥AH ∥BC ,AN =NH ,∥FH =AF ,又∥∥ABC 是等边三角形,∥BN =NC =112BC =,AN ∥AH =2AN=∥AE =CF ,AB =BC ,∥BE =BF ,∥在∥ABF 和∥CBE 中AB BC B B BF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∥∥ABF ∥∥CBE (SAS ),∥AF =CE ,∥DF +CE =DF +AF =DF +FH ,∥当点F ,点D ,点H 三点共线时,DF +CE 的最小值为DH 的长,∥AH ∥BC ,∥90HNC ∠=︒,∥AD BC ∥,∥90HAD HNC ∠=∠=︒,∥4DH ==, 即DF CE +的最小值为4.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,轴对称的性质,证明三角形全等是解题的关键.34.8。
中考数学平行四边形综合经典题含答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;(2)如图2,在(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.【答案】(1)①证明见解析;②AG⊥BE.理由见解析;(2)证明见解析;(3)∠BHO=45°.【解析】试题分析:(1)①根据正方形的性质得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;②根据正方形的性质得AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,根据“SAS”证明△ABE≌△DCF,则∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判断AG⊥BE;(2)如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,证明△AON≌△BOM,可得四边形OMHN为正方形,因此HO平分∠BHG结论成立;(3)如答图2所示,与(1)同理,可以证明AG⊥BE;过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,构造全等三角形△AON≌△BOM,从而证明OMHN为正方形,所以HO 平分∠BHG,即∠BHO=45°.试题解析:(1)①∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,在△ADG和△CDG中,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG;②AG⊥BE.理由如下:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠ABE=∠DCF,∵∠DAG=∠DCG,∴∠DAG=∠ABE,∵∠DAG+∠BAG=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠AHB=90°,∴AG⊥BE;(2)由(1)可知AG⊥BE.如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,则四边形OMHN为矩形.∴∠MON=90°,又∵OA⊥OB,∴∠AON=∠BOM.∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,∴∠OAN=∠OBM.在△AON与△BOM中,∴△AON≌△BOM(AAS).∴OM=ON,∴矩形OMHN为正方形,∴HO平分∠BHG.(3)将图形补充完整,如答图2示,∠BHO=45°.与(1)同理,可以证明AG ⊥BE .过点O 作OM ⊥BE 于点M ,ON ⊥AG 于点N ,与(2)同理,可以证明△AON ≌△BOM ,可得OMHN 为正方形,所以HO 平分∠BHG ,∴∠BHO=45°.考点:1、四边形综合题;2、全等三角形的判定与性质;3、正方形的性质2.问题发现:(1)如图①,点P 为平行四边形ABCD 内一点,请过点P 画一条直线l ,使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长.问题探究:(2)如图②,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上,点B 坐标为(8,6).已知点(6,7)P 为矩形外一点,请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ,说明理由并求出直线l ,说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度.问题解决:(3)如图③,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上,DC x ∥轴,AB y ∥轴,且8OA OD ==,2AB CD ==,点(1052,1052)P --为五边形内一点.请问:是否存在过点P 的直线l ,分别与边OA 与BC 交于点E 、F ,且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在,请求出点E 和点F 的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)作图见解析;(2)25y x =-,35;(3)(0,0)E ,(5,5)F .【解析】试题分析:(1)连接AC 、BD 交于点O ,作直线PO ,直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分.(2)连接AC ,BD 交于点O ',过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分.(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.试题解析:(1)作图如下:(2)∵(6,7)P ,(4,3)O ',∴设:6PO y kx =+',67{43k b k b +=+=,2{5k b ==-, ∴25y x =-,交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.∵(1052,102)P --在直线y x =上,∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ,设:BC y kx b =+,(8,2)(2,8)B C ,82{28k b k +=+=,1{10k b =-=,∴直线:10BC y x =-+,联立10{y x y x =-+=,得55x y =⎧⎨=⎩, ∴(0,0)E ,(5,5)F .3.已知:如图,在平行四边形ABCD 中,O 为对角线BD 的中点,过点O 的直线EF 分别交AD ,BC 于E ,F 两点,连结BE ,DF .(1)求证:△DOE ≌△BOF .(2)当∠DOE 等于多少度时,四边形BFDE 为菱形?请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)当∠DOE =90°时,四边形BFED 为菱形,理由见解析.【解析】试题分析:(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF (ASA );(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形,进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ,即可得出答案.试题解析:(1)∵在▱ABCD 中,O 为对角线BD 的中点,∴BO=DO ,∠EDB=∠FBO ,在△EOD 和△FOB 中,∴△DOE ≌△BOF (ASA );(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE 为菱形,理由:∵△DOE ≌△BOF ,∴OE=OF ,又∵OB=OD ,∴四边形EBFD 是平行四边形, ∵∠EOD=90°,∴EF ⊥BD ,∴四边形BFDE 为菱形.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.4.已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上,OD 在y 轴上,点C 在第一象限,且86OB OD ==,.现将纸片折叠,折痕为EF (点E ,F 是折痕与矩形的边的交点),点P 为点D 的对应点,再将纸片还原。
四边形解答题(精选32道)-三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编【山东】(原卷版)
三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编【山东专用】专题14四边形解答题(精选32道)一.解答题(共32小题)1.(2023•日照)如图,平行四边形ABCD中,点E是对角线AC上一点,连接BE,DE,且BE=DE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=10,tan∠BAC=2,求四边形ABCD的面积.2.(2023•菏泽)如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,CF平分∠BCD,交AD于点F.求证:AE=CF.3.(2023•东营)(1)用数学的眼光观察如图①,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是DC的中点.求证:∠PMN=∠PNM.(2)用数学的思维思考如图②,延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F.求证:∠AEM=∠F.(3)用数学的语言表达如图③,在△ABC中,AC<AB,点D在AC上,AD=BC,M是AB的中点,N是DC的中点,连接MN 并延长,与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状,并进行证明.4.(2023•滨州)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上,顶点A的坐标为(2,2),点D是边OC上的动点,过点D作DE⊥OB交边OA于点E,作DF∥OB交边BC于点F,连接EF,设OD=x,△DEF的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式;(2)当x取何值时,S的值最大?请求出最大值.5.(2023•枣庄)问题情境:如图1,在△ABC中,AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上的中线.如图2,将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,F,G,H.猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由;问题解决:(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交AB,BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积.6.(2023•烟台)【问题背景】如图1,数学实践课上,学习小组进行探究活动,老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作:①分别以点B,C为圆心,以大于BC的长度为半径作弧,两弧相交于点E,F,作直线EF交BC于点O,连接AO;②将△ABO沿AO翻折,点B的对应点落在点P处,作射线AP交CD于点Q.【问题提出】在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,求线段CQ的长;【问题解决】经过小组合作、探究、展示,其中的两个方案如下:方案一:连接OQ,如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长;方案二:将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处,如图3.经过推理、计算可求出线段CQ的长.请你任选其中一种方案求线段CQ的长.7.(2022•滨州)如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.(1)求菱形ABCD的面积;(2)求证:AE=EF.8.(2022•聊城)如图,△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.(1)求证:AD=CF;(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形,证明你的结论.9.(2022•临沂)已知△ABC是等边三角形,点B,D关于直线AC对称,连接AD,CD.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)在线段AC上任取一点P(端点除外),连接PD.将线段PD绕点P逆时针旋转,使点D落在BA 延长线上的点Q处.请探究:当点P在线段AC上的位置发生变化时,∠DPQ的大小是否发生变化?说明理由.(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证明.10.(2022•济南)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF.11.(2022•东营)△ABC和△ADF均为等边三角形,点E、D分别从点A,B同时出发,以相同的速度沿AB、BC运动,运动到点B、C停止.(1)如图1,当点E、D分别与点A、B重合时,请判断:线段CD、EF的数量关系是,位置关系是;(2)如图2,当点E、D不与点A,B重合时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)当点D运动到什么位置时,四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半,请直接写出答案;此时,四边形BDEF是哪种特殊四边形?请在备用图中画出图形并给予证明.12.(2022•青岛)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,∠BAF=∠DCE=90°.(1)求证:△ABF≌△CDE;(2)连接AE,CF,已知(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边形AECF的形状,并证明你的结论.条件①:∠ABD=30°;条件②:AB=BC.(注:如果选择条件①条件②分别进行解答,按第一个解答计分)13.(2022•德州)教材呈现以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.如图,四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.概念理解(1)根据上面教材的内容,请写出“筝形”的一条性质:;(2)如图1,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称,△F AC与△DAC关于AC所在的直线对称,延长EB,FC相交于点G.请写出图中的“筝形”:;(写出一个即可)应用拓展(3)如图2,在(2)的条件下,连接EF,分别交AB,AC于点M,H,连接BH.①求证:∠BAC=∠FEG;②求证:∠AHB=90°.14.(2022•烟台)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.15.(2022•日照)如图1,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,∠C=90°,M,N分别是边AC,BC上的点,以CM,CN为邻边作矩形PMCN,交AB于E,F.设CM=a,CN=b,若ab=8.(1)判断由线段AE,EF,BF组成的三角形的形状,并说明理由;(2)①当a=b时,求∠ECF的度数;②当a≠b时,①中的结论是否成立?并说明理由.16.(2022•威海)(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图1叠放.①判断四边形AGCH的形状,并说明理由;②求四边形AGCH的面积.(2)如图2,在矩形ABCD和矩形AFCE中,AB=2,BC=7,CF=,求四边形AGCH的面积.17.(2021•烟台)有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB 和AD上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是,位置关系是;【探究证明】(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.18.(2021•日照)问题背景:如图1,在矩形ABCD中,AB=2,∠ABD=30°,点E是边AB的中点,过点E作EF⊥AB交BD于点F.实验探究:(1)在一次数学活动中,小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°,如图2所示,得到结论:①=;②直线AE与DF所夹锐角的度数为.(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转,旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由.拓展延伸:在以上探究中,当△BEF旋转至D、E、F三点共线时,则△ADE的面积为.19.(2021•青岛)如图,在▱ABCD中,E为CD边的中点,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,延长ED至点G,使DG=DE,分别连接AE,AG,FG.(1)求证:△BCE≌△FDE;(2)当BF平分∠ABC时,四边形AEFG是什么特殊四边形?请说明理由.20.(2021•泰安)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.(1)若AC=EC,如图1,求证:四边形BECD为平行四边形;(2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图2,求证:△DGF是等腰直角三角形.21.(2021•济南)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD和CD上的点,且∠ABE=∠CBF.求证:DE=DF.22.(2021•济南)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,BD=BC,将线段DB绕点D 顺时针旋转至DE,记旋转角为α,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF,连接AF.(1)如图1,当α=180°时,请直接写出线段AF与线段BE的数量关系;(2)当0°<α<180°时,①如图2,(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,当B,E,F三点共线时,连接AE,判断四边形AECF的形状,并说明理由.23.(2021•枣庄)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;(2)性质探究:如图1,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.猜想:AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系?并证明你的猜想.(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.24.(2021•德州)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,点G,H分别在边AB,BC上,且FG⊥EH,垂足为P.(1)求证:FG=EH;(2)若正方形ABCD边长为5,AE=2,tan∠AGF=,求PF的长度.25.(2021•菏泽)如图,在菱形ABCD中,点M、N分别在AB、CB上,且∠ADM=∠CDN,求证:BM=BN.26.(2021•滨州)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AOBE是菱形;(2)若∠AOB=60°,AC=4,求菱形AOBE的面积.27.(2021•聊城)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.28.(2021•临沂)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE折叠,点B落在F 处,连接BF并延长,与∠DAF的平分线相交于点H,与AE,CD分别相交于点G,M,连接HC.(1)求证:AG=GH;(2)若AB=3,BE=1,求点D到直线BH的距离;(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时,∠BHC的大小是否变化?为什么?29.(2021•菏泽)在矩形ABCD中,BC=CD,点E、F分别是边AD、BC上的动点,且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点C落在点G处,点D落在点H处.(1)如图1,当EH与线段BC交于点P时,求证:PE=PF;(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上;(3)当AB=5时,在点E由点A移动到AD中点的过程中,计算出点G运动的路线长.30.(2021•青岛)已知:如图,在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中,AB=8cm,AD=AE=6cm,∠DAE=90°.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM∥BE,交AD于点H,交DE于点M,过点Q作QN∥BC,交CD于点N.分别连接PQ,PM,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:(1)当PQ⊥BD时,求t的值;(2)设五边形PMDNQ的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式;(3)当PQ=PM时,求t的值;(4)若PM与AD相交于点W,分别连接QW和EW.在运动过程中,是否存在某一时刻t,使∠AWE =∠QWD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.31.(2021•淄博)已知:在正方形ABCD的边BC上任取一点F,连接AF,一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向,从点A开始向下平移,交边AB于点E.(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时,如图1所示.求证:AE=BF;(2)当直线l经过AF的中点时,与对角线BD交于点Q,连接FQ,如图2所示.求∠AFQ的度数;(3)直线l继续向下平移,当点P恰好落在对角线BD上时,交边CD于点G,如图3所示.设AB=2,BF=x,DG=y,求y与x之间的关系式.32.(2022•青岛)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,连接CD.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s;同时,点Q 从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s.PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题:(1)当EQ⊥AD时,求t的值;(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使PQ∥CD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.。
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容:①平行四边形的性质及其相关计算;②平行四边形的判定.2.考查形式:①根据平行四边形的性质考查结论判断;②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积;③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型:性质在选择和填空题中考查居多,判定题近年来多在解答题中考查,有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题.【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一,性质与判定常常考查,是近年命题的重点. 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 、BD 交于点O ,E 是BC 的中点,以下说法错误的是( )A . OE =12DC B . OA =OC C . ∠BOE =∠OBA D . ∠OBE =∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图,在▱ABCD 中,BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ,且MC =2,▱ABCD 的周长是14,则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠ABM =∠CMB ,∵BM 平分∠ABC ,∴∠ABM =∠CBM ,∴∠CBM =∠CMB ,∴CB =MC =2,∴AD =BC =2,∵▱ABCD 的周长是14,∴AB =CD =5,∴DM =DC -MC =3.3. 如图所示,四边形ABCD 的对角线相交于点O ,若AB ∥CD ,请添加一个条件________(写一个即可),使四边形ABCD 是平行四边形. 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图,▱ABCD 中,AC =8,BD =6,AD =a ,则a 的取值范围是________.4. 1<a <7 【解析】如解图,对角线AC ,BD 相交于点O ,则OA =12AC =4,OD =12BD =3,在△OAD中,OA -OD <AD <OA +OD ,即1<a <7.5. 如图所示,在▱ABCD 中,∠C =40°,过点D 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交CB 的延长线于点F ,则∠BEF 的度数为__________. 5. 50°6. 如图,将▱ABCD 的AD 边延长至点E ,使DE =12AD ,连接CE ,F 是BC 边的中点,连接FD.(1)求证:四边形CEDF 是平行四边形; (2)若AB =3,AD =4,∠A =60°,求CE 的长.6. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD =BC , ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点, ∴FC =12BC =12AD ,∵DE =12AD ,∴FC =DE ,∴四边形CEDF 是平行四边形. (2)解:如解图,过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形,∴DF =CE.∵四边形ABCD 是平行四边形,∠A =60°,AB =3,AD =4, ∴BC =4,CD =3,∠BCD =60°, 在Rt △DHC 中,HC =DC·cos ∠HCD =32,DH =DC ·sin ∠HCD =332,∵F 是BC 的中点, ∴FC =2,∴FH =FC -HC =2-32=12,在Rt △DFH 中,由勾股定理得DF =DH 2+FH 2=(332)2+(12)2=7,∴CE =7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式:①利用矩形性质,结合勾股定理求线段长或面积;②矩形的判定,一般在解答题中考查,也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题;③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6:图形折叠的相关计算).【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查,是全国命题趋势之一. 7. 如图,在矩形ABCD 中(AD >AB),点E 是BC 上一点,且DE =DA ,AF ⊥DE ,垂足为点F.在下列结论中,不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF =12AD C . AB =AF D . BE =AD -DF7. B 【解析】逐项分析如下表:选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形,AF ⊥DE ,∴∠C =90°=∠AFD ,AD ∥BC ,∴∠ADF =∠CED ,∵AD =DE ,∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF =30°时,才有AF =12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知,AF =DC ,∵矩形ABCD 中,AB =DC ,∴AB =AF√D∵△AFD ≌△DCE ,∴DF =CE ,∴BE =BC -CE =AD -DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ,若AO =1,那么BD =________. 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图,矩形ABCD 的面积是15,边AB 的长比AD 的长大2,则AD 的长是________.9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD =x ,由题知,AB =x +2,又∵矩形ABCD 的面积为15,则x(x +2)=15,得到x 2+2x -15=0,解得,x 1=-5(舍) , x 2=3,∴AD =3. 10. 如图所示,△ABC 中,D 是BC 边上一点,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ,且AF =BD ,连接BF. (1)求证:D 是BC 的中点;(2)若AB =AC ,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论.10. (1)证明:∵点E 是AD 的中点, ∴AE =DE. ∵AF ∥BC ,∴∠AFE =∠DCE ,∠FAE =∠CDE , ∴△EAF ≌△EDC(AAS ), ∴AF =DC. ∵AF =BD , ∴BD =DC ,即D 是BC 的中点.(2)解:四边形AFBD 是矩形.证明如下: ∵AF ∥BD ,AF =BD ,∴四边形AFBD 是平行四边形.∵AB =AC ,又由(1)可知D 是BC 的中点, ∴AD ⊥BC ,∴四边形AFBD 是矩形.11. 如图,点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上,且不与点A ,C 重合,过点P 分别作边AB ,AD 的平行线,交两组对边于点E ,F 和点G ,H. (1)求证:△PHC≌△CFP;(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.11. (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴DC ∥AB ,AD ∥BC ,∠DCB =90°.∵EF ∥AB ,GH ∥AD ,∴EF ∥CD ,GH ∥BC , ∴四边形PFCH 是矩形, ∴∠PHC =∠PFC =90°,PH =CF ,HC =PF , ∴△PHC ≌△CFP(SAS ).(2)证明:由(1)知AB ∥EF ∥CD , AD ∥GH ∥BC ,∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠D =∠B =90°,∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形, ∴S 矩形PEDH =S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式:①根据菱形性质判断结论正误;②菱形的判定;③根据菱形的性质求角度、周长和面积;④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现.【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容,是中考常考知识,对菱形的性质与判定应做到牢固掌握.12. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件,使▱ABCD 成为菱形,下列给出的条件不正确...的是( ) A . AB =AD B . AC ⊥BD C . AC =BD D . ∠BAC =∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形,所以A 正确;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以B 正确;对角线相等的平行四边形是矩形,所以C 错误;由∠BAC =∠DAC 可得对角线是角平分线,所以D 正确.第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB =45,点P 是对角线OB 上的一个动点,D(0,1),当CP +DP 最短时,点P 的坐标为( )A . (0,0)B . (1,12) C . (65,35) D . (107,57)13. D 【解析】如解图,连接CA 、AD ,CA 与OB 相交于点E ,过点E 作EF ⊥OA ,交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ,AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质,菱形的对角线互相垂直且平分两组对角,可知△COE ∽△EOF ,∴CO EO =EO OF ,∵OC =OA =5,OE =OB 2=25,∴OF =OE 2CO =(25)25=4,根据勾股定理可得EF =OE 2-OF 2=(25)2-42=2,点E 的坐标为(4,2),易得直线OE 的函数解析式为y =12x ,直线AD 的函数解析式是y =-15x +1,联立得:⎩⎨⎧y =12x y =-15x +1,解得⎩⎨⎧x =107y =57,∴点P 的坐标为(107,57).14. 如图,在菱形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BD 的中点,若EF =2,则菱形ABCD 的周长为________. 14. 16 【解析】∵E ,F 分别是AD ,BD 的中点,∴AB =2EF =4,∴菱形ABCD 周长是4AB =16.第14题图 第15题图15. 如图,在菱形ABCD 中,AB =5,AC =8,则菱形的面积是________.15. 24 【解析】如解图,连接BD 交AC 于点O ,∵四边形ABCD 是菱形,AB =5,AC =8,且菱形的对角线互相垂直平分,∴OA =4,在Rt △AOB 中,由勾股定理得OB =3,∴BD =6,∴S 菱形ABCD =12AC ·BD=12×8×6=24. 16. 在菱形ABCD 中,∠A =30°,在同一平面内,以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ,则∠EBC 的度数为________.16. 105°或45° 【解析】如解图,∵四边形ABCD 是菱形,∠A =30°,∴∠ABC =150°,∠ABD =∠DBC =75°,且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况:(1)当点E 在△ABD 内时,∠E 1BC =∠E 1BD +∠DBC =30°+75°=105°;(2)当点E 在△DBC 内时,∠E 2BC =∠DBC -∠E 2BD =75°-30°=45°.综上所述,∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,点E 是AC 的中点,AC =2AB ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,作AF∥BC,连接DE 并延长交AF 于点F ,连接FC. 求证:四边形ADCF 是菱形.17. 证明:∵∠B =90°,AC =2AB , ∴sin ∠ACB =12,∴∠ACB =30°, ∴∠CAB =60°, ∵AD 平分∠CAB ,∴∠CAD =12∠CAB =30°,∠CAD =∠ACD ,∴AD =CD , ∵AF ∥CD ,∴∠DCE =∠FAE ,∠AFE =∠CDE , 又∵AE =CE ,∴△AFE ≌△CDE(AAS ), ∴AF =CD , 又AF ∥CD ,∴四边形ADCF 是平行四边形, 又AD =CD ,∴四边形ADCF 是菱形.命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合,难度较大,常在选择或填空的压轴题位置出现,考查知识点综合性强,涉及到正方形面积、边长和周长的计算.【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质,因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性,倍受命题人青睐,考生应加以关注.18. 如图,正方形ABCD 的面积为1,则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2+1D . 22+118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1,∴BC =CD =1,∵E 、F 是边的中点,∴CE =CF =12,∴EF=(12)2+(12)2=22,则正方形EFGH 的周长为4×22=2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC⊥BD,请添加一个条件:________,使得▱ABCD 为正方形. 19. ∠BAD =90°(答案不唯一)20. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,N ,P ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,点M ,F ,Q 都在对角线BD 上,且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形,则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________.20. 89【解析】设BD =3a ,∠CDB =∠CBD =45°,且四边形PQMN 为正方形,∴DQ =PQ =QM =NM=MB ,∴正方形MNPQ 的边长为a ,正方形AEFG 的对角线AF =12BD =32a ,∵正方形对角线互相垂直,∴S 正方形AEFG =12×32a ×32a =98a 2,∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG =a 298a 2=89.第20题图 第21题图21. 如图,正方形ABCD 的边长为22,对角线AC ,BD 相交于点O ,E 是OC 的中点,连接BE ,过点A 作AM⊥BE 于点M ,交BD 于点F ,则FM 的长为________. 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形,∴AO =BO ,∠AOF =∠BOE =90°,∵AM ⊥BE ,∠AFO =∠BFM ,∴∠FAO =∠EBO ,在△AFO 和△BEO 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF =∠BOE AO =BO ∠FAO =∠EBO ,∴△AFO ≌△BEO(ASA ),∴FO =EO ,∵正方形ABCD 的边长为22,E 是OC 的中点,∴FO =EO =1=BF ,BO =2,∴在Rt △BOE 中,BE =12+22=5,由∠FBM =∠EBO ,∠FMB =∠EOB ,可得△BFM ∽△BEO ,∴FM EO =BF BE ,即FM1=15,∴FM =55.22. 如图,已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形,点E 在线段DC 上,点A ,D ,G 在同一条直线上,且AD =3,DE =1,连接AC ,CG ,AE ,并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值; (2)求线段AH 的长.22.解:(1)由题意知EC =2,AE =10,如解图,过点E 作EM ⊥AC 于点M , ∴∠EMC =90°,易知∠ACD =45°, ∴△EMC 是等腰直角三角形, ∴EM =2,∴sin ∠EAC =EM AE =55.(2)在△GDC 与△EDA 中,⎩⎪⎨⎪⎧DG =DE ∠GDC =∠EDA DC =DA, ∴△GDC ≌△EDA(SAS ),∴∠GCD =∠EAD , 又∵∠HEC =∠DEA ,∴∠EHC =∠EDA =90°, ∴AH ⊥GC ,∵S △AGC =12×AG ×DC =12×GC ×AH ,∴12×4×3=12×10×AH , ∴AH =6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容:①多边形的内外角和公式;②正多边形的有关计算.2.考查形式:①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数;②已知正多边形的边数求内角度数;③求多边形的内外角和.【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展,也是中考命题不容忽视的知识点. 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论:(1)切去一个角,减少一条边,设减少一条边后的边数是n ,则180°(n -2)=1080°,得出n =8,所以原多边形的边数是9;(2)切去一个角,增加一条边,设增加一条边后的边数是n ,则180°(n -2)=1080°,得出n =8,所以原多边形的边数是7;(3)切去一个角,边数无改变,设边数没有改变时的边数是n ,则180°(n -2)=1080°,得出n =8,所以原多边形的边数是8,综上所述,原多边形的边数是9,7,8都符合题意,答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形的边数是________.25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ,则内角和为(n -2)·180°,外角和为360°,则根据题意有:(n -2)·180°=2×360°,解得n =6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是________.26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°,其外角和为360°,可得这个正多边形的边数是360°45°=8.方法指导设正多边形的边数为n ,正多边形的外角和为360°,内角和为(n -2)×180°,每个内角的度数为180°×(n -2)n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式:图形折叠计算以矩形折叠考查居多,常考查:①图形的折叠计算角度;②图形的折叠计算线段长或边长;③图形折叠的证明和计算结合;④图形折叠的操作探究.【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化,且又很好地引入了对称知识,使问题升华,有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度,是全国命题的主流趋势之一,值得每位考生关注.27. 如图,把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 的对应点为B′,AB ′与DC 相交于点E ,则下列结论一定正确的是( )A .∠DAB ′=∠CAB′ B .∠ACD =∠B′CDC .AD =AE D .AE =CE27. D28. 如图,把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN ,再过点B 折叠纸片,使点A 落在MN 上的点F 处,折痕为BE.若AB 的长为2,则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图,把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点A 落在CD 边上的点A′处,点B 落在点B′处.若∠2=40°,则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′=∠A =90°,∵∠2=40°,∴∠B ′A ′C =50°,∴∠EA ′D =40°,∠DEA ′=50°,∴∠AEA ′=130°,∴∠AEF =∠FEA ′=12∠AEA ′=65°,∵AD ∥BC ,∴∠1=180°-65°=115°.30. 如图,将▱ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点B′处.若∠1=∠2=44°,则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD =x ,∠B =y ,则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y +44°=180°180°-y -(44°-x )=44°,解得y =114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图,将△ABC 沿直线DE 折叠,使点C 与点A 重合,已知AB =7,BC =6,则△BCD 的周长为________. 31. 13 【解析】由折叠的性质可得:CD =AD ,∴△BCD 的周长=BC +CD +BD =BC +AD +BD =BC +BA =6+7=13.32. 如图,在▱ABCD 中,E 为边CD 上一点,将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处,A D′与CE 交于点F ,若∠B =52°,∠DAE =20°,则∠FED′的大小为________.32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中,∠D =∠B =52°,∴∠AEF =∠DAE +∠D =20°+52°=72°,∴∠AED=180°-∠AEF =108°,由折叠的性质得,∠AED ′=∠AED =108°,∴∠FED ′=∠AED′-∠AEF =108°-72°=36°.33.如图,将矩形纸片ABCD(AD >AB)折叠,使点C 刚好落在线段AD 上,且折痕分别与边BC ,AD 相交.设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.33. 解:(1)四边形CEGF是菱形,理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC,∵图形翻折后点G与点C重合,EF为折痕,∴∠GEF=∠FEC,∴∠GFE=∠GEF,∴GF=GE,∵图形翻折后EC与GE完全重合,FC与FG重合,∴GE=EC=GF=FC,∴四边形CEGF为菱形.(2)如解图①,当点F与点D重合时,四边形CEGF是正方形,此时CE最小,且CE=CD=3;如解图②,当点G与点A重合时,CE最大.设EC=x,则BE=9-x,由折叠性质知,AE=CE=x,在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即9+(9-x)2=x2,解得x=5,∴CE=5,所以,线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.(1)求证:四边形BCED′是菱形;(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.34. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D=60°,由折叠性质可知,∠D=∠AD′E=60°,∴∠AD′E=∠B=60°,∴ED′∥BC,又∵EC∥D′B,∴四边形BCED′是平行四边形,∴ED′=BC=AD=1,∴DE=ED′=1,又DC=AB=2,∴EC =1, ∴EC =ED′,∴四边形BCED′是菱形. (2)解:如解图所示,由折叠性质PD′=PD ,BD 之长即为所求, 作DG ⊥BA 的延长线于点G , ∵∠DAB =120°, ∴∠DAG =60°, ∵∠G =90°, ∴∠ADG =30°,在Rt △ADG 中,AD =1, ∴AG =12,DG =32,∵AB =2, ∴BG =52,在Rt △BDG 中,由勾股定理得:BD 2=BG 2+DG 2=7, ∴BD =7,即PD′+PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型:直线同侧两定点,在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小.作法:作其中一点关于直线的对称点,连接另一点和对称点的线段即是最短距离和;最短距离计算方法:构造以最短距离线段为斜边的直角三角形,利用勾股定理求解.中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述,正确的是( )A . 若A B⊥BC,则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD,则▱ABCD 是正方形C . 若AC =BD ,则▱ABCD 是矩形 D . 若AB =AD ,则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ,五边形的外角和等于b ,则a 与b 的关系是( )A . a >bB . a =bC . a <bD . b =a +180°3.如图,正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后,若顶点A ,B ,C ,D 的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b ,m),(c ,m).则点E 的坐标是( )A . (2,-3)B . (2,3)C . (3,2)D . (3,-2)第3题图 第4题图4.如图,▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,且AC +BD =16,CD =6,则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E ,F 分别是AD ,CD 边上的中点,连接EF.若EF =2,BD =2,则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图,平行四边形ABCD 的周长是26 cm ,对角线AC 与BD 交于点O ,AC ⊥AB ,E 是BC 中点,△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ,则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图,正方形ABCD 的边长为9,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH ,若BE∶EC =2∶1,则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图,在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AB 上一点,过点E 作EF∥AD,与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点,连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论:①EG =DF ;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若AE AB =23,则3S △EDH =13S △DHC ,其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图,在▱ABCD 中,BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ,若∠1=20°,则∠2的度数为________.10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC =8,BD =6,则菱形ABCD 的高DH =________.第9题图 第10题图 第11题图11.如图,延长矩形ABCD 的边BC 至点E ,使CE =BD ,连接AE.如果∠ADB=30°,则∠E=________度. 12.如图,正方形ABCO 的顶点C ,A 分别在x 轴,y 轴上,BC 是菱形BDCE 的对角线,若∠D=60°,BC =2,则点D 的坐标是________.第12题图 第13题图 第14题图 13.如图,正十二边形A 1A 2…A 12,连接A 3A 7,A 7A 10,则∠A 3A 7A 10=________°.14.如图,菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形的边长为________cm . 15.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =6,BC =10.点E 在CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处;点G 在AF 上,将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处.有下列结论: ①∠EBG =45°;②△DEF∽△ABG;③S △ABG =32S △FGH ;④AG +DF =FG.其中正确的是______________.(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图,正方形ABCD 的面积为3 cm 2,E 为BC 边上一点,∠BAE =30°,F 为AE 的中点,过点F 作直线分别与AB ,DC 相交于点M ,N.若MN =AE ,则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图,在▱ABCD 中,连接BD ,在BD 的延长线上取一点E ,在DB 的延长线上取一点F ,使BF =DE ,连接AF 、CE. 求证:AF∥CE.18.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,∠ABC∶∠BAD=1∶2,BE∥AC,CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值;(2)求证:四边形OBEC是矩形.19.如图,▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.20.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;(2)四边形BCED是菱形.21.已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.(1)求证:AP=BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长.22.已知正方形ABCD中,BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,DF=BE,连接AE、AF,过点A作AH⊥ED于H点.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.23.如图,已知△ABC 中,AB =AC ,把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD 、CE 交于点F. (1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB =2,∠BAC =45°,当四边形ADFC 是菱形时,求BF 的长.24.如图,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边的点E 处,过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ,连接DG. (1)求证:四边形EFDG 是菱形;(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系,并说明理由; (3)若AG =6,EG =25,求BE 的长.答案与解析:1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ,F 分别是 AD ,CD 边上的中点,即EF 是△ACD 的中位线,∴AC =2EF =22,则菱形ABCD 的面积=12AC ·BD =12×22×2=2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中,AD =BC ,AB =CD ,BO =DO ,∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ,∴AB +BC =13 cm ,又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ,∴AD -AB =BC -AB =3 cm ,解得AB =5 cm ,BC =8 cm ,又AB ⊥AC ,E 是BC 的中点,∴AE =BE =CE =12BC =4 cm.7. B 【解析】设CH =x ,∵BE ∶EC =2∶1,BC =9,∴EC =3,由折叠可知,EH =DH =9-x ,在Rt △ECH 中,由勾股定理得:(9-x )2=32+x 2,解得:x =4.8. D 【解析】逐项分析如下表:序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目,几乎每个选项之间都是紧密联系的,单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解,本题目难点在于④中,需将S △FDH 与已知条件AE AB =23联系起来,并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ,继而求解.9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD ∥AB ,∴∠CAB =∠1=20°,∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ,∴∠ABE =90°,∴∠2=∠CAB +∠ABE =20°+90°=110°.10. 4.8 【解析】∵S =1AC·BD =2AB·DH ,∴AC ·BD =2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形,∴∠AOB =90°,AO =12AC =4,BO =12BD =3,∴在Rt △AOB 中,AB =42+32=5,∴DH =8×62×5=4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图,连接AC.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC ,AC =BD ,又∵AB =BA ,∴△DAB ≌△CBA(SSS ),∴∠ACB =∠ADB =30°,∵CE =BD ,∴AC =CE ,∴∠E =∠CAE =12∠ACB=15°.第12题解图12. (3+2,1) 【解析】如解图,过点D 作DG ⊥BC 于G ,DF ⊥x 轴于F ,∵在菱形BDCE 中,BD =CD ,∠BDC =60°,∴△BCD 是等边三角形,∴DF =CG =12BC =1,CF =DG =3,∴OF =3+2,∴D(3+2,1).13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形,作它的外接圆⊙O ,∴劣弧A 10A 3的度数=5×360°12=150°,∴∠A 3A 7A 10=12×150°=75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图,连接AC 、BD 交于O ,则有12AC·BD =120,∴AC ·BD =240,又∵菱形对角线互相垂直平分,∴2OA ·2OB =240,∴ OA ·OB =60,∵AE 2=50, OA 2+OE 2= AE 2,OA =OE ,∴OA =5,∴OB =12,∴AB =OA 2+OB 2=122+52=13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得,∠CBE =∠FBE ,∠ABG =∠FBG ,∴∠EBG =∠FBE +∠FBG =12×90°=45°,故①正确;由折叠的性质得,BF =BC =10,BA =BH =6,∴HF =BF -BH =4,AF =BF 2-BA 2=102-62=8,设GH =x ,则GF =8-x ,在Rt △GHF 中,x 2+42=(8-x)2,∴x =3,∴GF =5,∴AG =3,同理在Rt △FDE 中,由FD 2=EF 2-ED 2,得ED =83,EF =103,∴ED FD =43≠ABAG =2,∴△DEF 与△ABG 不相似,故②不正确;S △ABG =12×3×6=9,S △FGH =12×3×4=6,∴S △ABG S =96=32,故③正确;∵AG =3,DF =AD -AF =2,∴FG =5,∴AG +DF =FG =5,故④正确.综上,答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图,过N 作NG ⊥AB ,交AB 于点G ,∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =AD =NG = 3 cm ,在Rt △ABE 中,∠BAE =30°,AB = 3 cm ,∴BE =1 cm ,AE =2 cm ,∵F 为AE 的中点,∴AF =12AE =1 cm ,在Rt △ABE 和Rt △NGM 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =NG AE =NM ,∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL ),∴BE =GM ,∠BAE =∠MNG =30°,∠AEB =∠NMG =60°,∴∠AFM =90°,即MN ⊥AE ,在Rt △AMF 中,∠FAM =30°,AF =1 cm ,∴AM =AF cos 30°=132=233 cm ,由对称性得到AM′=BM =AB -AM =3-233=33 cm ,综上,AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,第17题解图∴AD ∥BC ,AD =BC , ∴∠1=∠2, 又∵BF =DE ,∴BF +BD =DE +BD , 即DF =BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS ). ∴∠AFD =∠CEB ,∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形,∠ABC ∶∠BAD =1∶2,可求出∠DBC 的度数,其正切值可求出.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD ∥BC ,∠DBC =12∠ABC ,∴∠ABC +∠BAD =180°, 又∵∠ABC ∶∠BAD =1∶2, ∴∠ABC =60°, ∴∠DBC =12∠ABC =30°,∴tan ∠DBC =tan 30°=33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ,CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形,再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形.证明:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,即∠BOC =90°, ∵BE ∥AC ,CE ∥BD , ∴BE ∥OC ,CE ∥OB ,∴四边形OBEC 是平行四边形,且∠BOC =90°,∴四边形OBEC 是矩形.19. (1)证明:∵AE ⊥BD ,CF ⊥BD , ∴AM ∥CN ,又∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴MC ∥AN ,∴四边形CMAN 是平行四边形.(2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠ADE =∠CBF ,AD =CB , 又∵∠AED =∠CFB =90°, ∴△AED ≌△CFB(AAS ), ∴DE =BF =4,∴在Rt △BFN 中,BN =32+42=5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB =∠CBE ,结合CE ∥DB ,可得到∠CEB =∠DBE ,从而只需证明∠CBE =∠DBE ,结合△ABC ≌△ABD 即可得证.证明:∵△ABC ≌△ABD , ∴∠ABC =∠ABD , ∵CE ∥BD ,∴∠CEB =∠DBE ,∴∠CEB =∠CBE.(2)证明:∵△ABC ≌△ABD ,∴BC =BD , 由(1)得∠CEB =∠CBE , ∴CE =CB , ∴CE =BD , ∵CE ∥BD ,∴四边形BCED 是平行四边形, ∵BC =BD ,∴四边形BCED 是菱形.21. (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB =AD, ∠BAQ +∠DAP =90°=∠DAB , ∵DP ⊥AQ ,∴∠DAP +∠ADP =90°, ∴∠BAQ =∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中, ⎨⎪⎧∠APD =∠AQB =90°∠ADP =∠BAQ ,∴△DAP ≌△ABQ(AAS ),∴AP =BQ.(2)解:①AQ 和AP ;②DP 和AP ;③AQ 和BQ ;④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得:AQ -AP =PQ ;②∵△ABQ ≌△DAP ,∴AQ =DP ,∴DP -AP = AQ -AP =PQ ;③∵△ABQ ≌△DAP ,∴BQ =AP ,∴AQ -BQ =AQ -AP =PQ ;④∵△ABQ ≌△DAP ,∴DP =AQ ,BQ =AP ,∴DP -BQ =AQ -AP =PQ.22. (1)证明:在△ADF 和△ABE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ∠ABE =∠ADF =90°EB =FD, ∴△ADF ≌△ABE(SAS ).(2)解:∵AB =3,BE =1,∴AE =10,EC =4,∴ED =CD 2+EC 2=5,设AH =x ,EH =y ,在Rt △AHE 和Rt △AHD 中,⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=10x 2+(5-y )2=9, 解得,x =1.8,y =2.6,∴tan ∠AED =AH EH =x y =1.82.6=913. 23. (1)证明:∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得,∴AD =AB ,AE =AC ,∠BAC =∠DAE ,∵AB =AC ,∴AD =AB =AE =AC ,∠EAC =∠DAB ,在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD = AE ∠EAC =∠DAB AB =AC, ∴△AEC ≌△ADB(SAS ).(2)解:当四边形ADFC 是菱形时,AC =DF ,AC ∥DF ,∴∠BAC =∠ABD ,又∵∠BAC =45°,∴∠ABD =45°,又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得,∴AD =AB ,∴∠DAB =90°,又∵AB =2,由勾股定理可得:BD =AD 2+AB 2=2AB =22,在菱形ADFC 中,DF =AD =AB =2,∴BF =BD -DF =22-2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质,易得DF =EF ,DG =EG ,∠AFD =∠AFE ,再由EG ∥DC ,可得∠EGF =∠AFD ,从而得出EG =EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证;证明:由折叠的性质可得,EF =FD ,∠AEF =∠ADF =90°,第24题解图∠EFA =∠DFA ,EG =GD.∵EG ∥DC ,∴∠DFA =∠EGF ,∴∠EFA =∠EGF ,∴EF =EG =FD =GD ,∴四边形EFDG 是菱形.(2)【思路分析】由(1)可知EG =EF ,连接DE ,则DE 与GF 相互垂直平分,证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ,列比例式,结合FH =12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系; 解:如解图,连接ED ,交AF 于点H ,∵四边形EFDG 是菱形,∴DE ⊥AF ,FH =GH =12GF ,EH =DH =12DE. ∵∠FEH =∠FAE =90°-∠EFA ,∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ,∴EF FH =AF EF,即EF 2=FH·AF , ∴EG 2=12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ,EG 代入(2)中的关系式,求得GF ,AF 的值,根据勾股定理求得AD ,DE ,再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ,可求出EC ,从而可求出BE 的值.解:∵AG =6,EG =25,EG 2=12GF·AF , ∴(25)2=12(6+GF)·GF ,∴GF =4, ∴AF =10.∵DF =EG =25,∴AD =BC =AF 2-DF 2=45,DE =2EH =2EG 2-(12GF )2=8. ∵∠CDE +∠DFA =90°,∠DAF +∠DFA =90°,∴∠CDE =∠DAF ,∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ,∴EC DF =DE AF ,即EC 25=810, ∴EC =855, ∴BE =BC -EC =AD -EC =45-855=1255.。
初三数学四边形试题答案及解析
初三数学四边形试题答案及解析1.在ABCD中,,AE平分∠BAC,交BC于E. 沿AE将△ABE折叠,点B的对应点为F,连结EF并延长交AD于G,EG将ABCD分为面积相等的两部分. 则 .【答案】4.【解析】根据题意,AE平分∠BAC,交BC于E,沿AE将△ABE折叠,点B的对应点为F,∴点F在对角线AC上,且.∵EG将ABCD分为面积相等的两部分,∴点F为对角线AC的中点.∴(等底同高).∵,∴.【考点】1.折叠问题;2.平行四边形的性质;3. 折叠对称的性质.2.在面积为15的平行四边形ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线CD于点F,若AB=5,BC=6,则CE+CF的值为()A.11+B.11﹣C.11+或11﹣D.11+或1+【答案】D.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=5,BC=AD=6,①如图:由平行四边形面积公式得:BC×AE=CD×AF=15,求出AE=,AF=3,在Rt△ABE和Rt△ADF中,由勾股定理得:AB2=AE2+BE2,把AB=5,AE=代入求出BE=,同理DF=3>5,即F在DC的延长线上(如上图),∴CE=6-,CF=3+5,即CE+CF=11-,②如图:∵AB=5,AE=,在△ABE中,由勾股定理得:BE=,同理DF=3,由①知:CE=6+,CF=5+3,∴CE+CF=11+,故D.考点: 平行四边形的性质.3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,CE∥AD且CE=AD.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)若△ABC是边长为的等边三角形,AC,DE相交于点O,在CE上截取CF=CO,连接OF,求线段FC的长及四边形AOFE的面积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)根据平行四边形判定得出平行四边形,再根据矩形判定推出即可.(2)分别求出AE、OH、CE、CF的长,再求出三角形AEC和三角形COF的面积,即可求出答案.试题解析:(1)∵CE∥AD且CE=AD,∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∴四边形ADCE是矩形.(2)∵△ABC是等边三角形,边长为4,∴AC=4,∠DAC=30°.∴∠ACE=30°,AE=2,CE=.∵四边形ADCE为矩形,∴OC=OA=2.∵CF=CO,∴CF=2.如图,过O作OH⊥CE于H,∴OE=OC=1.∴.【考点】1.矩形的判定和性质;2.等边三角形的性质.4.如图,已知矩形OABC的A点在x轴上,C点在y轴上,,.(1)在BC边上求作一点E,使OE=OA;(保留作图痕迹,不写画法)(2)求出点E的坐标.【答案】(1).作图见解析;(2)(8,6).【解析】(1)利用EO=AO,以O为圆心AO为半径画弧得出E即可;(2)首先过点E作EF⊥OA,垂足为F,得出B点坐标,进而求出FO的长,即可得出E点坐标.试题解析:(1)如图所示:E点即为所求;(2)过点E作EF⊥OA,垂足为F.∵矩形OABC中OC=6,OA=10,∴B点坐标为(10,6).∴EF=6.又∵OE=OA,∴OF==8.∴点E的坐标为(8,6).【考点】1.作图—复杂作图;2.坐标与图形性质;3.勾股定理;4.矩形的性质.5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AD,AB的中点,EF交AC于点H,则的值为 .【答案】.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC.∵点E,F分别是边AD,AB的中点,∴EF是△ABD的中位线.∴.∴.【考点】1.平行四边形的性质;2.三角形中位线定理.6.已知:如图,正方形ABCD,E,F分别为DC,BC中点.求证:AE=AF.【答案】证明书见解析.【解析】根据正方形的性质,证明△ADE≌△ABF,即可证得AE=AF..∵四边形ABCD为正方形,∴ AB=AD,∠B=∠D=90°,DC=CB.∵ E、F为DC、BC中点,∴ DE=DC,BF=BC.∴ DE=BF.∵在△ADE和△ABF中,,∴△ADE≌△ABF(SAS).∴ AE=AF.【考点】1.正方形的性质;2.全等三角形的判定和性质.7.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上的一点,且CE=CD,求证:∠B=∠E.【答案】见解析【解析】证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠B=∠BCD,∵AD∥BC,∴∠BCD=∠CDE,∵CE=CD,∴∠CDE=∠E,∴∠B=∠E.8.如图,矩形纸片ABDC中,AB=5,AC=3,将纸片折叠,使点B落在边CD上的B′处,折痕为AE.在折痕A E上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等,则此相等距离为__________.【答案】.【解析】先根据题意画出图形,由翻折变换的性质得出F、B′重合,分别延长AE,CD相交于点G,由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=4,再根据相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G,求出其相似比,进而可求出答案.试题解析:如图所示,设PF⊥CD,由翻折变换的性质可得BP=B′P,又∵P到边CD的距离与到点B的距离相等,∴B'P⊥CD,∵AB平行于CD,∴∠BAG=∠AGC,∵∠BAG=∠B′AG,AGC=∠B′AG,∴GB′=AB′=AB=4,∵PB′⊥CD,∴PB′∥AC,∴△ACG∽△PB′G,∵Rt△ADB′中,AB′=4,AC=3,∴CB′=,在△ACG和△PB′G中.,解得:PB'=考点: 1.翻折变换(折叠问题);2.勾股定理;3.矩形的性质.9.如图所示,在△中,,,将绕点沿逆时针方向旋转得到.(1)线段的长是,的度数是;(2)连接,求证:四边形是平行四边形.【答案】(1)6,135°;(2)证明见解析.【解析】(1)旋转后的图形与原图形全等知OA1与OA相等,∠AOB1=∠AOA1+∠A1OB1=90°+45°=135°.(2)根据一组对边平等且相等的四边形是平等四边形可证明四边形是平行四边形. 试题解析:(1)6,135°;(2)∵∠AOA1=∠OA1B1=90°∴OA∥A1B1又OA=AB=A1B1,∴四边形是平行四边形.考点: 1.旋转的性质;2。
全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总附答案
∠ B,∠ D 都不是直角,则当∠ B 与∠ D 满足等量关系
时,仍有 EF=BE+DF;
(3)联想拓展
如图 3,在△ ABC 中,∠ BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠ DAE=45°,猜想 BD、DE、EC
满足的等量关系,并写出推理过程。
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG,可使 AB 与 AD 重合,证出 △ AFG≌ △ AFE,根据全等三角形的性质得出 EF=FG,即可得出答案; (2)把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG,可使 AB 与 AD 重合,证出△ AFE≌ △ AFG, 根据全等三角形的性质得出 EF=FG,即可得出答案;
BCFD=3× 3
3=9
3
,S△
ACF=
1 2
×3× 3
3 = 9 3 ,S = 平行四边形 ADBC 27 3 .
2
2
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直
角三角形、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考
题型.
2.如图所示,矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE=AC,连接 AE,点 F 是 AE 的 中点,连接 BF、DF,求证:BF⊥DF.
∠ BAD=60°,∴ ∠ BAD=∠ ABC=60°,∵ E 为 AB 的中点,∴ AE=BE,又∵ ∠ AEF=∠ BEC,
∴ △ AEF≌ △ BEC,在△ ABC 中,∠ ACB=90°,E 为 AB 的中点,∴ CE= 1 AB,BE= 1 AB,
中考数学四边形专题训练50题含参考答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1.如图,已知1234290∠+∠+∠+∠=︒,那么5∠的大小是( )A .60︒B .70︒C .80︒D .90︒ 2.在▱ABCD 中,∠A ,∠B 的度数之比为4∠5,则∠C 的度数为( )A .60°B .80°C .100°D .120° 3.如图,在菱形ABCD 中,60A ∠=︒,4AB =,O 为对角线BD 的中点,过O 作OE AB ⊥,垂足为E ,则BE 的长为( )A .1B .2C .3D .4 4.如图,四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形,点B 在EF 边上,若1AB =,2AC =,则矩形AEFC 的面积为( )A .2 BC .D .32 5.已知∠ABCD 相邻两个内角的比为2:3,则其中较大的内角是( ) A .60° B .72° C .120°D .108°6.如图,将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点C ′处,BC ′交AD 于E ,AD =8,AB =4,则重叠部分(即BDE △)的面积为( )A .6B .7.5C .10D .207.如图,在矩形ABCD 中,6cm,8cm AB BC ==,点E 是BC 的中点,点F 是边CD 上一动点,当AEF △的周长最小时,则DF 的长为( )A .1B .2C .3D .48.如图,在四边形ABCD 中,110C ∠=︒,与BAD ∠,ABC ∠相邻的外角都是120°,则α∠的值为( )A .50°B .55°C .60°D .65° 9.如图,点E 为正方形ABCD 外一点,且ED CD =,连接AE ,交BD 于点F .若38CDE ∠=︒,则BFC ∠的度数为( )A .71︒B .72︒C .81︒D .82︒ 10.在平行四边形ABCD 中,点E 在DC 边上,连接AE ,交BD 于点F ,若DE ∠EC =3:2,则∠DEF 的面积与∠BAF 的面积之比为( )A.3:5B.9:4C.9:25D.3:211.如图,四边形ABCD是正方形,直线a、b、c分别经过A、D、C三点,且a b c∥∥.若a与b之间的距离是2,b与c之间的距离是3,则正方形ABCD的面积是()A.12B.13C.14D.1512.如图,在∠ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∠AC,DF∠AB,分别交AB,AC于E,F两点.则下列说法不正确的是()A.四边形AEDF是平行四边形B.若∠B+∠C=90°,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若BD=AD=DC,则四边形AEDF是矩形13.小明在计算某多边形的内角和时,由于马虎漏掉了一个角,结果得到970°,则原多边形是一个()A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,点E是AD边的中点,连接OE,则OE的长为()A.10B.52C.5D.415.顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是()∠平行四边形;∠菱形;∠任意四边形;∠对角线互相垂直的四边形A.∠∠B.∠∠C.∠∠D.∠∠16.如图,已知点O为∠ABC的AC边上的中点,连接BO并延长到D,使得OD=OB,要使四边形ABCD为矩形,∠ABC中需添加的条件是()A.AB=BC B.∠ABC=90°C.∠BAC=45°D.∠BCA=45°17.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,点M,N分别在AD,BC上,且=,3AM BN=,E为BC边上一动点,连接DE,将DCEAD AM∆沿DE所在直线折叠得到∠DC E',当C'点恰好落在线段MN上时,NE的长为()A.B.5C.3D.18.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,对角线AC、BD交于点O,E是线段BO上一动点,F是射线DC上一动点,若∠AEF=120°,则线段EF的长度的整数值的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个19.如图,正方形ABCD边长为4,E,F分别为线段AD,BC上一点,且1AE=,CF=,AC与DF相交于H,I为线段AH上一点(不与端点重合),J为线段DH上1+的最小值为()一点(不与端点重合),则EI IJA B C D二、填空题20.如图,已知点A的坐标是(-2),点B的坐标是(1-,,菱形ABCD的对角线交于坐标原点O,则点D的坐标是______.21.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作EA∠CA交DB的延长线于点E,若AB=3,BC=4,则OAAE的值为__________.22.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠E=20°,则∠ADB=______.23.如图,□ABCD的对角线交于点O,且AB=4,∠OCD的周长为13,则□ABCD的两条对角线长度之和为________.24.一个多边形的内角和等于它外角和的7倍,则这个多边形的边数为_________. 25.如图,在矩形ABCD 中,5AB =,7BC =,点E 为BC 上一动点,把ABE 沿AE 折叠,当点B 的对应点B '落在ADC ∠或DAB ∠的角平分线上时,则点B '到BC 的距离为______________.26.如图,在平行四边形ABDC 中,点M 是CD 的中点,AM 与BC 相交于点N ,那么:ACN S △S 四边形BDMN 等于_______.27.如图,在周长为16,面积为6的矩形纸片ABCD 中,E 是AD 的中点.F 是AB 上一动点,将AEF ∆沿直线EF 折叠,点A 落在点'A 处.在EF 上任取一点G ,连接'GA ,GC ,则'A G GC +的最小值为___________.28.如图,∠ABC 中∠ACB =90°,BC =2,AC =4,若正方形DEFG 的顶点D 在AB 上,顶点F 、G 都在AC 上,射线AE 交BC 边于点H ,则CH 长为___.29.如图,在矩形ABCD 中,AB =6,AD =10,H 是CD 边上一点,现将BCH ∆沿BH 折叠,点C 的对应点C '正好落在AD 边上,点E 、F 分别是AD 、BH 边上的动点,再将四边形ABHD 沿EF 折叠,若点A 的对应点A '正好落在线段BH 上,且4BA HA ''=,则线段AE 的长为______.30.如图,在矩形ABCD 中,6cm AB =,BC =,点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动,若出发t 秒后,2PA PC =,则t =_________秒.31.如图,已知菱形ABCD 的对角线AC=2,∠BAD=60°,BD 边上有2013个不同的点122013,,,p p p ⋯,过(1,2,,2013)i p i =⋯作i i PE AB ⊥于i E ,i i PFAD ⊥于i F ,111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++⋯++的值为_______________32.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔板”,图∠是由边长10cm 的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图∠是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形,该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______cm (结果保留根号).33.在面积为15的平行四边形ABCD 中,过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ,作AF 垂直于直线CD 于点F ,若AB =5,BC =6,则CE +CF 的值为_________________. 34.在菱形ABCD 的纸板中画O ,随意向其投掷一枚飞镖.若4AB =,60A ∠=,则飞镖落在O 中的概率的最大值为______.35.如图,在ABC ∆中,D 为BC 边中点,P 为AC 边中点,E 为BC 上一点且27BE CE =,连接AE ,取中点Q 并连接QD ,取QD 中点G ,延长PG 与BC 边交于点H ,若9BC =,则HE =_________.36.如图所示,AE 是▱ABCD 的∠DAB 的平分线,且交BC 于点E ,EF ∠AB 交AD 于点F ,则四边形ABEF 一定是____________.37.如图,在矩形ABCD 中,点M 在AB 边上,把∠BCM 沿直线CM 折叠,使点B 落在AD 边上的点E 处,连接EC ,过点B 作BF ∠EC ,垂足为F ,若2CD =,4CF =,则线段AE 的长为______.38.如图,在矩形ABCD 中,3AB =,BC a =,点E 在边BC 上,且3.5BE a =连接AE ,将ABE 沿AE 折叠,若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上,则a 的值为______ .39.如图,Rt∠ABC ,AB =3,AC =4,点D 在以C 为圆心3为半径的圆上,F 是BD 的中点,则线段AF 的最大值是_____.三、解答题40.如图,四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别在线段OA ,OC 上,且OB OD =,12∠=∠,AE=CF .(1)证明;BEO DFO ≌;(2)证明:四边形ABCD 是平行四边形.41. 如图.在Rt ∠ABC 中,∠B =90°,AC =60cm ,∠A =60°,点D 从点A 出发沿AC 方向以4cm ∕秒的速度向点C 匀速运动,同时点E 从点B 出发沿BA 方向以2cm ∕秒的速度向点A 匀速运动,设点D 、E 运动的时间是t 秒(0<t <15),过点D 作DF ∠BC 于点F ,连接DE 、EF .(1)求证:四边形AEFD 是平行四边形;(2)当t 为何值时,动点D 恰好在AF 的垂直平分线上;(3)点D 、F 在运动过程中是否存在t 的值,使∠DEF 是直角三角形,若存在求出t 的值,若不存在,说明理由.42.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,连接CD ,过点E 作EF ∥CD ,交BC 的延长线于点F .(1)求证:四边形DCFE 是平行四边形;(2)若四边形DCFE 的周长是18,AC 的长为6,求线段AB 、 BC 的长.43.知:如图,n 边形12345n A A A A A A .(1)求证:n 边形12345n A A A A A A 的内角和等于()2180n -⋅︒;(2)在一个各内角都相等的多边形中,每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°,求这个多边形的内角和;(3)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时,误把一个外角也加进去了,得其和为1180°,这个多加的外角度数为 ,多边形的边数为 .44.如图,在ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,E 是AD 上任意一点,连接EO 并延长,交BC 于点F ,连接AF ,CE .(1)求证:四边形AFCE 是平行四边形;(2)若60DAC ︒∠=,15ADB ∠=°,4AC =.∠直接写出ABCD 的边BC 上的高h 的值;∠当点E 从点D 向点A 运动的过程中,下面关于四边形AFCE 的形状的变化的说法中,正确的是A .平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B .平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C .平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D .平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形45.如图,在∠ABC 中,AB =AC ,D 为BC 中点.四边形ABDE 是平行四边形.求证:四边形ADCE 是矩形46.已知正方形OABC 在直角坐标系中(如图),A (1,﹣3),求点B 、C 的坐标.47.如图1,四边形ABCD 是正方形,G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合),以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ,连结BG ,DE .(正方形四条边都相等,四个角都是直角)1.我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系:(1)猜想图1中线段BG 和线段DE 的长度和位置关系:______________.(2)将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度a ,得到如图2.如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断上述猜想是否仍然成立:_______(成立、不成立)若成立,请你选取图2或图3中的一种情况说明你的判断.48.在矩形ABCD 中,点P 是射线BC 上一动点,点B 关于直线AP 的对称点为E ,直线PE 与直线CD 交于点F .(1)如图1,当A ,C ,E 共线时,若30ACB ∠=︒,判断∠ACF 的形状,并证明;(2)若当点P 在线段BC 上的某个位置时(不与B ,C 重合),有45PAF ∠=︒,求证:当点P 在BC 延长线上任意位置时,都有45PAF ∠=︒.49.【教材呈现】下图是华师版数学教材的部分内容探索如图24.2.1,画Rt ABC ,并画出斜边AB 上的中线CD ,量一量,看看CD 与AB 有什么关系.相信你与你的伙伴一定会发现:CD 恰好是AB 的一半,下面让我们演绎推理证明这一猜想.已知:如图24.2.2,在Rt ABC ,90ACB ∠=,CD 是斜边AB 上的中线.求证:12CD AB =.【证明】请根据教材图24.2.2的提示,完成直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的证明【延伸】如图∠,在四边形ABCD 中,90ADC ∠=︒,AB AC =,点E 、F 分别为AC ,BC 的中点,连结EF 、DE ,则线段DE 与EF 的数量关系是___________.【应用】(1)如图∠,在【延伸】的条件下,当AC 平分BAD ∠,90DEF ∠=时,则BAD ∠的大小为______.(2)如图∠,在【延伸】的条件下,当2AB =,四边形CDEF 是菱形时,直接写出四边形ABCD 的面积.参考答案:1.B【分析】根据多边形外角和为360︒度进行求解即可.【详解】解:∠1234290∠+∠+∠+∠=︒,12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒,∠()5360123470=︒-∠+∠+∠+∠=︒∠,故选B .【点睛】本题主要考查了多边形外角和,熟知多边形外角和为360︒是解题的关键. 2.B【分析】根据平行四边形邻角互补,即可将角A 和角B 的度数求出,再利用对角相等即可求出角C.【详解】∠四边形ABCD 为平行四边形,∠∠A+∠B=180°,∠∠A ,∠B 的度数之比为4∠5 ∠∠A=180°49⨯=80°, 即∠C=80°,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键. 3.A【分析】先求出OB 的长和∠BOE 的度数,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可求出BE 的值.【详解】解:在菱形ABCD 中,AB =AD ,60A ∠=︒,ABD ∴是等边三角形,4BD AB ∴==,O 为BD 的中点,122OB BD ∴==, 60OE AB ABD ⊥∠=︒,,30BOE ∴∠=︒,112BE OB ∴==. 故选A .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,熟练掌握等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.4.B【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度,再求解∠ACB 的度数,进而求出CF 的长度,最后用矩形面积公式求解即可.【详解】∠四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形,∠∠ABC =90°,在Rt ∠ABC 中,由勾股定理可得:BC连接BD 交AC 于点O ,∠四边形AEFC 是矩形,∠BD =AC =2,∠CO =DO =12BD =1, ∠CD =1,∠∠CDO 为等边三角形,∠∠ACD =60°,∠∠ACB =30°,∠四边形AEFC 是矩形,∠AC EF ∥,∠∠CBF =∠ACB =30°,∠CF =12BC∠矩形AEFC 的面积=AC ×CF故选:B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质,含有30°角的直角三角形,等边三角形的判定与性质,以及勾股定理,熟练地掌握相关内容是解题的关键.5.D【分析】根据平行四边形邻角互补的性质及题意,可得出较大内角的度数.【详解】解:∠平行四边形ABCD∠相邻内角和为108o∠相邻内角的比为2:3∠较大内角度数是:3180=1085o o ⨯ 故答案是:D.【点睛】本题主要考查平行四边形邻角互补,准确应用平行四边形的性质是解题的关键. 6.C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE △的面积. 【详解】解: 长方形ABCD ,8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得:,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯=故选:.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题,勾股定理的应用,矩形的性质,掌握以上知识是解题的关键.7.D【分析】作点E 关于直线CD 的对称点E',连接AE'交CD 于点F ,再根据CE F BE A ∽即可求出CF 的长,进而得出DF 的长.【详解】解:如图所示:作点E 关于直线CD 的对称点E',连接AE'交CD 于点F ,此时,∠AEF 的周长最小, ∠在矩形ABCD 中,AB =6,BC = 8,点E 是BC 中点,∠'4BE CE CE ,∠CF AB ∥,∠CE F BE A ''∽, ∠CE CF BE AB ='' ,即4846CF , 解得:2CF =, ∠624DF CD CF ;故选:D .【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题及相似三角形的判定与性质,根据题意作出E 点关于直线CD 的对称点E',再根据轴对称的性质求出CE'的长,利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论,熟练应用轴对称和相似的判定与性质相关知识解决问题是解题的关键.8.A【分析】先求出∠ABC =∠BAD =60°,再根据四边形的内角和等于360°,可得∠ADC =130°,即可求解.【详解】解:∠与BAD ∠,ABC ∠相邻的外角都是120°, ∠∠ABC =∠BAD =60°,∠∠ADC =360°-∠ABC -∠BAD -∠BCD =130°,∠18050ADC ∠=︒-∠=︒α.故选:A.【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、邻补角,熟练掌握四边形的内角和等于360°是解题的关键.9.A【分析】根据正方形的性质,得AD CD =,90ADC ∠=︒,得45ADB CDB ∠=∠=︒;根据ED CD =,得AD DE =;根据等边对等角,38CDE ∠=︒,可求出DAE ∠;根据三角形的内角和,得AFD ∠;根据ADF △和CDF 全等,得AFD CFD ∠=∠,即可求出BFC ∠的角度.【详解】∠四边形ABCD 正方形∠AD CD =,90ADC ∠=︒∠45ADB CDB ∠=∠=︒∠ED CD =∠AD DE =∠DAE DEA ∠=∠∠38CDE ∠=︒∠9038128ADE ∠=︒+︒=︒∠26DAE DEA ∠=∠=︒∠在ADF △中,180DAF AFD ADF ∠+∠+∠=︒∠2645180AFD ︒+∠+︒=︒∠109AFD ∠=︒∠在ADF △和CDF 中AD CD ADF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADF CDF ≅∠109AFD CFD ∠=∠=︒∠180180109BFC AFD ∠=︒-∠=︒-︒故选:A.【点睛】本题考查正方形和三角形的知识,解题的关键是掌握正方形的性质,全等三角形的性质和判定,等边对等角.10.C【分析】先判断∠DEF∠∠BAF,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【详解】解:∠四边形ABCD是平行四边形,∠DC∠AB,DC=AB,∠∠DEF∠∠BAF,∠2DEFBAFS DES AB⎛⎫= ⎪⎝⎭.又∠DE:EC=3:2,∠3==5 DE DE DEAB DC DE EC=+,∠2239==525 DEFBAFS DES AB⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△.故选C.【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.11.B【分析】先作辅助线AE∠直线b于点E,CF∠直线b于点F,然后根据题目中的条件,可以证明△AED和△DFC全等,即可得到DF=AE,然后根据勾股定理,即可得到CD的长,从而可以得到正方形ABCD的面积.【详解】解:作AE∠直线b于点E,作CF∠直线b于点F,则AE=2,CF=3,∠四边形ABCD是正方形,∠AD =DC ,∠ADC =90°,∠∠ADE +∠CDF =90°,∠AE ∠直线b ,CF ∠直线b ,∠∠AED =∠DFC =90°,∠∠ADE +∠DAE =90°,∠∠DAE =∠CDF ,在△AED 和△DFC 中,AED DFC DAE CDF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠∠AED ∠∠DFC (AAS ),∠AE =DF ,∠AE =2,CF =3,∠CFD =90°,∠DF =2,∠CD∠正方形ABCD13,故选:B .【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,平行线之间的距离,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.12.C【分析】根据平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:∠DE ∠AC ,DF ∠AB ,∠四边形AEDF 是平行四边形,故A 选项正确;∠四边形AEDF 是平行四边形,∠B +∠C =90°,∠∠BAC =90°,∠四边形AEDF 是矩形,故B 选项正确;若BD =CD ,则四边形AEDF 是平行四边形,不一定是菱形,故C 选项错误;∠BD =AD =DC ,∠∠DBA =∠DAB ,∠DAC =∠DCA ,∠∠DAB +∠DAC =90°,即∠BAC =90°,∠四边形AEDF 是矩形,故选C .【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法,难度不大.13.B【分析】根据n 边形的内角和是(n -2)•180°,少计算了一个内角,结果得970度.则内角和(n -2)•180°与970°的差大于0度,且(n -2)•180°小于970°+180°.因而可以解不等式()9702180970180n <-⨯<+,多边形的边数n 一定是最小的整数值即可.【详解】解:设多边形的边数是n ,依题意有:()9702180970180n <-⨯<+ 解得:77781818n <<, ∠则多边形的边数n =8;故选B .【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理,正确确定多边形的边数是解题的关键. 14.B【分析】根据菱形的性质得到OA =12AC =3,OD =12BD =4,AC ∠BD ,利用勾股定理求出AD ,再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE 即可.【详解】∠四边形ABCD 为菱形,∠OA =12AC =3,OD =12BD =4,AC ∠BD ,∠AD 5,∠点E 是边AD 的中点,∠OE =12AD =52, 故选:B .【点睛】此题考查了菱形的性质,勾股定理,直角三角形斜边中线的性质,熟记菱形的性质是解题的关键.15.D【分析】根据中点四边形为平行四边形,当四边形的对角线互相垂直时则平行四边形为矩形,即可得到答案.【详解】解:顺次连接一个四边形的各边中点,得到的四边形是平行四边形,若四边形的对角线互相垂直,则所得平行四边形为矩形,则满足条件的是∠∠, 故选:D .【点睛】此题考查中点四边形的判定,矩形的判定,熟记判定定理是解题的关键. 16.B【分析】由题意可证四边形ABCD 是平行四边形,由矩形的判定可求解.【详解】解:∠点O 为∠ABC 的AC 边上的中点,∠AO =CO ,且OD =OB ,∠四边形ABCD 是平行四边形,∠有一个角为直角的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形,∠添加条件为∠ABC =90°,故选B .【点睛】本题考查了矩形的判定,平行四边形的判定,熟练掌握矩形的判定是本题的关键.17.A【分析】设CE =x ,则C ′E =x ,证明四边形MNCD 是矩形,由矩形的性质得出∠DMN =∠MNC =90°,MN =CD =10,由折叠的性质得出C ′D =CD =10,求出6MC '=,则4NC '=,在Rt NEC '中,由勾股定理得出222(8)4x x --=,解方程可得出答案.【详解】解:设CE =x ,则C ′E =x ,∠矩形ABCD 中,AB =10,∠CD =AB =10,AD =BC =12,AD∥BC ,∠点M ,N 分别在AD ,BC 上,且3AM =AD ,BN =AM ,∠DM =CN =8,∠四边形CDMN 为平行四边形,∠∠NCD =90°,∠四边形MNCD 是矩形,∠∠DMN =∠MNC =90°,MN =CD =10,由折叠知,C ′D =CD ,10,∠6MC '==,∠1064CN '=-=,∠EN =CN -CE =8-x ,∠C ′E 2-NE 2=C ′N 2,∠222(8)4x x --=,解得,5x =,即853NE CN CE =-=-=.故选:C .【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定,勾股定理,一元一次方程的应用,折叠的性质,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.18.C【分析】连结CE ,根据菱形的性质和全等三角形的判定可得∠ABE ∠∠CBE ,根据全等三角形的性质可得AE =CE ,设∠OCE =a ,∠OAE =a ,∠AEO =90°﹣a ,可得∠ECF =∠EFC ,根据等角对等边可得CE =EF ,从而得到AE =EF ,在Rt∠ABO 中,根据含30°的直角三角形的性质得到AO =2,可得2≤AE ≤4,从而得到EF 的长的整数值可能是2,3,4.【详解】解:如图,连结CE,∠在菱形ABCD 中,AB =BC ,∠ABE =∠CBE =30°,BE =BE ,∠∠ABE ∠∠CBE ,∠AE =CE ,设∠OCE =a ,∠OAE =a ,∠AEO =90°﹣a ,∠∠DEF =120°﹣(90°﹣a )=30°+a ,∠∠EFC =∠CDE +∠DEF =30°+30°+a =60°+a ,∠∠ECF=∠DCO+∠OCE=60°+a,∠∠ECF=∠EFC,∠CE=EF,∠AE=EF,∠AB=4,∠ABE=30°,∠在Rt∠ABO中,AO=2,∠OA≤AE≤AB,∠2≤AE≤4,∠AE的长的整数值可能是2,3,4,即EF的长的整数值可能是2,3,4.故选C.【点睛】考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边,根据含30°的直角三角形的性质,解题的关键是添加辅助线,证明∠ABE∠∠CBE.19.C有最小值,如下【分析】作点E关于AC的对称点K,EI+IJ=KI+KJ,当EJ∠DF时EI IJ图所示,延长KJ交DC于N点,过N作NM∠AD,得到∠KMN∠∠FCD,再由∠DJ0N∠∠DCF求出J0N,最后KN减去J0N即为所求.【详解】解:如图,作点E关于AC的对称点K,当EJ∠DF时EI+IJ有最小值为KJ0,此时设KN与DF、CD的交点分别为J0和N点,过N点作MN∠AD交AB于点M.∠∠KND+∠FDC=90°,∠DFC+∠FDC=90°∠∠KND=∠DFC又∠AB∠CD∠∠MKN=∠KND=∠DFC在∠MKN 和∠CFD 中90∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩MKN CFD KMN FCD MN DC ,∠∠MKN∠∠CFD(AAS)∠1,112=====+=KM CF KN DF DN AM ,又∠DJ 0N∠∠DCF ∠0=J N DN CF DF,代入数据:01J N,得0J∠00=-==KJ KN J N 故答案为:C.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、线段最值问题等,两条折线段的最值问题一般通过平移、对称等转移到一条线段上去,然后再根据两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短求解即可.20.(1【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质,对角线互相平分,且交点为坐标原点,则B ,D 关于原点对称, 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.【详解】∠四边形ABCD 是菱形,对角线相交于坐标原点O∠根据平行四边形对角线互相平分的性质,A 和C ; B 和D 均关于原点O 对称 根据直角坐标系上一点(),x y 关于原点对称的点为()--x,y 可得已知点B的坐标是(-1, ,则点D的坐标是( .故答案为:(.【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点,熟练理解掌握该知识点为解题的关键.21.724 【分析】过点A 作AH BD ⊥于点H ,分别利用勾股定理和等面积法求出AH 和OH 的长度,从而可结合正切函数求出tan AOE ∠,进而结合题意可得出AE AO,即可得出结论.【详解】解:在Rt ABC 中,∠3,4AB BC ==,∠5AC =, ∠115222AO AC BD ===, 如解图,过点A 作AH BD ⊥于点H , ∠1122ABD S BD AH AB AD =⋅=⋅, ∠534AH =⨯, ∠125AH =,∠在Rt AOH 中,710OH ==, ∠tan 247AH OH AOE ==∠, 又∠EA CA ⊥,∠在Rt EAO △中,tan 247AE AO AOE ==∠, ∠724AO AE =, 故答案为:724.【点睛】本题考查矩形的性质,正切函数的定义等,理解矩形的基本性质,掌握正切函数的定义是解题关键.22.40°【分析】连接AC ,由矩形性质可得∠E =∠DAE 、BD =AC =CE ,知∠E =∠CAE ,而∠E =20°,可得∠ADB 度数.【详解】解:连接AC ,∠四边形ABCD是矩形,∠AD∠BE,AC=BD,且∠E=20°,∠∠E=∠DAE,又∠BD=CE,∠CE=CA,∠∠E=∠CAE,∠∠ADB=∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠E=40°,故答案为:40°.【点睛】本题主要考查矩形性质,熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键.23.18【详解】由平行四边形的性质和已知条件计算即可,解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线看作一个整体.解:∠四边形ABCD是平行四边形,∠AB=CD=4,∠∠OCD的周长是13,∠OD+OC=13-4=9,∠BD=2DO,AC=2OC,∠平行四边形的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=18故选A.“点睛”本题主要考查了平行四边形的基本性质,并利用性质解题.平行四边形的基本性质:∠平行四边形两组对边分别平行;∠平行四边形两组对边分别相等;∠平行四边形的两种对角分别相等;∠平行四边形的对角线互相平分.24.16【详解】设多边形的边数为n,依题意,得:(n−2)⋅180°=7×360°,解得n=16,故答案为16.25.2或1或52- 【分析】过点B '作B M AD '⊥于M ,延长MB '交BC 于点H ,则MH BC ⊥于点H ,则MH BC ⊥,5MH AB ==,分点B 的对应点B '落在ADC ∠的角平分线上和点B 的对应点B '落在DAB ∠的角平分线两种情况,利用勾股定理列方程,即可求得答案. 【详解】解:四边形ABCD 是矩形,5,7,90,AB CD AD BC ADC AD BC ∥,过点B '作B M AD '⊥于M ,延长MB '交BC 于点H ,则MH BC ⊥于点H ,则MH BC ⊥,5MH AB ==,∠当点B 的对应点B '落在ADC ∠的角平分线上时,连接B D ',45,ADB MB D,DM B M∠设DM B M x '==,则7AM x =-,又由折叠的性质知5AB AB '==,∠在直角AMB '△中,由勾股定理得到:222AM AB B M ,即()22275x x -=-, 解得:1234,x x ==,则点B '到BC 的距离为532MH B M '-=-=或541MH B M '-=-=.∠当点B 的对应点B '落在DAB ∠的角平分线上时,45,B AMMB A ,AM B M∠设AM m B M '==,又由折叠的性质知5AB AB '==,∠在直角AMB '△中,由勾股定理得到:222AB AM B M ,即2225m m =+,解得:12m m ==(不合题意,舍去),则点B '到BC 的距离为5MH B M '-=-故答案为:2或1或5- 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、矩形的性质、解一元二次方程等知识点,掌握翻折变换是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解题的关键.26.2:5【详解】试题分析:根据平行四边形的性质可得∠ABN∠∠MCN ,再结合点M 是CD 的中点,根据相似三角形的性质及三角形的面积公式求解即可.∠平行四边形ABDC∠∠ABN∠∠MCN∠点M 是CD 的中点∠AN=2MN∠∠CAN 的面积是∠MCN 的面积的2倍,∠BCD 的面积是∠MCN 的面积的6倍 ∠四边形BDMN 是∠MCN 的面积的5倍∠:ACN BDMN S S ∆四边形=2:5.考点:平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式点评:平行四边形的性质是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考常见题,一般难度不大,需熟练掌握.27.【分析】连接AC 交EF 于H ,连接A ′H ,当点G 与点H 重合时,此时A 'G +GC 的值最小,由勾股定理求出AC 的长,则可得出答案.【详解】解:连接AC 交EF 于H ,连接A ′H ,当点G 与点H 重合时,此时A 'G +GC 的值最小,设AB =x ,BC =y ,∠矩形ABCD 的周长为16,面积为6,∠2()166x y xy +=⎧⎨=⎩, ∠22x y +52=,∠AC ==∠A 'G +GC 的最小值为故答案为:【点睛】本题考查翻折变换,矩形的性质,轴对称最短问题等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.28.43【分析】根据题意可知1tan =2BC DG BAC AC AG ==∠,tan =EF CH HAC AF AC=∠再利用正方形的性质求解即可.【详解】解:∠四边形DEFG 是正方形,∠DG=G F =EF ,∠DGF =∠EF A =90°,∠∠DGA =90°, ∠tan =DG BAC AG ∠,tan =EF HAC AF ∠ ∠∠ACB =90°,BC =2,AC =4, ∠1tan ==2BC BAC AC ∠,tan =CH HAC AC ∠ ∠1tan =2BC DG BAC AC AG==∠, ∠2AG DG =,∠3=3AF DG EF = ∠1tan =3EF CH HAC AF AC ==∠, ∠433AC CH ==, 故答案为:43【点睛】本题主要考查了正方形的性质和解直角三角形,解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的相关知识.29.16936【分析】过点A 作MN ∠BC ,分别交BC 于M ,交AD 于N ,则四边形ABMN 是矩形,AM =AN ,MN =AB =6,然后证明A MB HCB '△∽△,得到485AN BM BC ===,45A M HC '=,再由折叠的性质可得10BC BC '==,AE A E '=,CH C H '=,则可由勾股定理得到8AC '=,则2C D AD AC ''=-=,从而可以求得103CH =,得到8=3A M ',则10=3A N MN A M ''=-,设=AE A E y '=,则8EN y =-,由222A E A N EN ''=+,得到()2221083y y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,解方程即可. 【详解】解:如图所示,过点A 作MN ∠BC ,分别交BC 于M ,交AD 于N ,∠四边形ABCD 是矩形,∠=90A ABM BMN C ∠=∠=∠=︒∠ ,CD ∠BC ,∠四边形ABMN 是矩形,∠AM =AN ,∠A M BC '⊥,CD BC ⊥,∠A M CH '∥,∠A MB HCB '△∽△, ∠BA BM A M BH BC HC''==, ∠4BA HA ''=,∠5BH HA '=, ∠4=5BA BM A M BH BC HC ''==,∠485AN BM BC ===,45A M HC '=, 由折叠的性质可得10BC BC '==,AE A E '=,CH C H '=,∠8AC '=,∠2C D AD AC ''=-=,设C H CH x '==,则6DH x =-,∠222C H DH C D ''=+,∠()2264x x =-+, 解得103x =, ∠103CH =, ∠8=3A M ', ∠10=3A N MN A M ''=-, 设=AE A E y '=,则8EN y =-,∠222A E A N EN ''=+, ∠()2221083y y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 解得16936y =, ∠16936AE =, 故答案为:16936.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定,折叠的性质,勾股定理,解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定.30.【分析】根据矩形的性质和勾股定理,用含t 的代数式表示出P A ,PC ,再列出方程,即可求解.【详解】解:∠在矩形ABCD 中,6cm AB =,BC =,点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动,∠P A =2t ,PC ∠2PA PC =,∠2t =t 1t 2, 故答案是:【点睛】本题主要考查矩形的性质,勾股定理,二次根式,一元二次方程,用用含t 的代数式表示出P A ,PC ,是解题的关键.31.2013【详解】试题分析:在菱形ABCD 中,BD∠AC ,BD 与AC 互相平分,因为∠BAD=60°,所以∠BAC=30°,又因为AC=2,设BD 的一半为x ,则AB=2x ,根据勾股定理,得1AP ,因为i i PE AB ⊥于i E ,i i PF AD ⊥于i F ,利用等面积法,得12·AD·1P F +12·AB·1P E =12·BD·12AC 1P F +1P E )1P F +1P E =1,同理可得,111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++⋯++=2013×1=2013.考点:菱形的相关性质和等面积法的应用点评:该题主要考查学生对菱形性质的理解和掌握程度,同时要求学生提高对题目的观察能力,找出其中的规律.32.2【分析】由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等,与平行四边形的短边相等,所以大正方形的对角线长度为4倍小正方形边长,设出小正方形边长,利用大正方形面积列出方程,解出方程即可【详解】设小正方形边长为a ,由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等,与平行四边形的短边相等, 所以大正方形对角线长4a ,S 大正方形=442a a ⨯。
中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案
中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案一、单选题1.如图,两个平行四边形的面积分别为18、12,两阴影部分的面积分别为a、b (a>b),则(a−b)等于()A.3B.4C.5D.6 2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠ABD=60°,则∠BOC的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°3.若一个多边形的内角和是外角和的2.5倍,则该多边形为()A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形4.如图,矩形ABCD对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则矩形的对角线AC 为()A.4 B.8 C.4√3D.10 5.一个长方形的周长为28厘米,长的2倍比宽的3倍多3厘米,则这个长方形的面积是()A.45平方厘米B.35平方厘米C.25平方厘米D.20平方厘米6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分BO,AE=√3cm,则OD=()A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm 7.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=8 ,将纸片沿EF折叠使点B与点D 重合,折痕EF与BD相交于点O,则DF的长为()A.3B.4C.5D.6 8.如图,⊙O的半径为4,点P是⊙O外的一点PO=10,点A是⊙O上的一个动点,连接PA,直线l垂直平分PA,当直线l与⊙O相切时PA的长度为()A.10B.212C.11D.434 9.已知平行四边形一边长为8,一条对角线长为6,则另一条对角线α满足()A.10<α<22B.4<α<20C.4<α<28D.2<α<1410.如图,两张等宽的纸条交又重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距离为8cm,则线段AB的长为()A.a2B.5cm C.2√7cm D.6cm 11.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,BE=CF,连接CE、DF,将∠BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到∠CDF的位置,则旋转角是( )A .45°B .60°C .90°D .120°12.Rt∠ABC 两直角边的长分别为6cm 和8cm ,则连接这两条直角边中点的线段长为( ) A .10cmB .3cmC .4cmD .5cm二、填空题13.如图,点E 在边长为2的正方形ABCD 内,满足∠AEB =90°,若∠DAE =30°,则图中阴影部分的面积为 .14.把一把直尺和一块三角板如图放置,若∠1=42°,则∠2的度数为 °.15.已知 ▱ABCD 中一条对角线分 ∠A 为35°和45°,则 ∠B = 度. 16.如图,在一块长AB =26m ,宽BC =18m 的长方形草地上,修建三条宽均为3m 的长方形小路,则这块草地的绿地面积(图中空白部分)为 m 217.如图,在∠ABC 中,∠ABC =90°,E 为AC 的中点,AD∠BE 交BC 于D ,若AD=152,BE =5,则BD = .18.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E、F分别为DM、MN的中点,则EF长度的最大值是.三、综合题19.如果抛物线C1:y=ax2+bx+c与抛物线C2:y=−ax2+dx+e的开口方向相反,顶点相同,我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.(1)求抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线的表达式;(2)将抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移,使所得抛物线与原抛物线y=x2−4x+7形成两个交点M、N,记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B,当四边形AMBN是正方形时求正方形AMBN的面积.(3)某同学在探究“对顶”抛物线时发现:如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上,那么系数b与d,c与e之间的关系是确定的,请写出它们之间的关系.20.解答题(1)如图1,在平行四边形ABCD 中,已知点E 在AB 上,点F 在CD 上,且AE=CF .求证:DE=BF ;(2)如图2,AB 是∠O 的直径,点C 在AB 的延长线上,CD 与∠O 相切于点D ,若∠C=20°,求∠CDA 的度数.21.如图,▱ABCD 放置在平面直角坐标系申,已知点A (-2,0)、B (-6,0)、D(0,3).点C 在反比例函数y=k x的图象上。
中考复习——初中数学经典四边形习题50道(附答案)
1.已知:在矩形 ABCD 中, _A
AEBD 于 E,∠DAE=3∠BAE ,
求:∠EAC 的度数。
_O
_E _B
2.已知:直角梯形 ABCD 中,BC=CD=a _A
且∠BCD=60,E、F 分别为梯形的腰
AB、
_E
DC 的中点,求:EF 的长。
_D
_C _D
_F
_A
_D
_E
证:ADEF 是平行四边形。
_D
_E
_B
_C _F
_F
_A
_A
14、在四边形 ABCD 中,AB=CD,
_P
P、Q 分别是 AD、BC 中点,M、N
_D
_B
_C
分别是对角线 AC、BD 的中点,
求证:PQMN。
_N
_M
_B
_Q
19、M、N 为ABC 的边 AB、AC 的中点,E、F 为边 AC 的
G,BG= 4 2 ,则ΔCEF 的周长为( )
A.8 B.9.5
C.10
D.11.5
正确的
A.③② B.③④ C.①④② D.②③④
例 4.13.在下列命题中,是真命题的是( )
A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂
直的四边形是菱形 C.两条对角线互相平分的四边形是平行
四边形 D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
_D _E
_A
_C
8 、在正方形 ABCD 中,直 _G
_A
_D
_C
线 EF 平
行 于 对 角 线 AC ,与 边
_G
_F
ABBC 、的交 点为 E 、
平行四边形中考真题精选含答案
平行四边形中考真题精选一、选择题1.(2010江苏苏州)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD 边上的中点.若∠ABE=∠EBC ,AB=2,则平行四边形ABCD 的周长是( ).A .11B .12C .13D .10【答案】B2.(2010台湾)图(十)为一个平行四边形ABCD ,其中H 、G 两点分别在BC 、 CD 上,AH ⊥BC ,AG ⊥CD ,且AH 、AC 、AG 将∠BAD 分成 ∠1、∠2、∠3、∠4四个角。
若AH =5,AG =6,则下列关系何者正确?( )(A) ∠1=∠2 (B) ∠3=∠4 (C) BH =GD (D) HC =CG 。
【答案】A3.(2010重庆綦江县)如图,在ABCD 中,分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ,延长CB 交AE 于点G ,点G 在点A 、E 之间,连结CG 、CF ,则以下四个结论一定正确的是( )①△CDF ≌△EBC②∠CDF =∠EAF③△ECF 是等边三角形④CG ⊥AEGFEDCBAA BCD G H 1 23 4 图(十)A .只有①②B .只有①②③C .只有③④D .①②③④【答案】B4.(2010山东临沂)如图,在ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,点E 是边BC 的中点,4AB ,则OE 的长是( )(A )2 (B(C )1 (D )12【答案】A5.(2010湖南衡阳)如图,在□ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F ,BG ⊥AE ,垂足为G ,BG=24,则ΔCEF 的周长为( ) A.8 B.9.5 C.10D.11.5【答案】A6.(2010 河北)如图 ,在□ABCD 中,AC 平分∠DAB ,AB = 3, 则□ABCD 的周长为( )A .6B .9C .12D .15 【答案】CABCD第6题EODCBA7.(2010浙江湖州)如图在ABCD 中,AD =3cm ,AB =2cm ,则ABCD 的周长等于( )A .10cmB .6cmC .5cmD .4cm【答案】A .8.(2010 四川成都)已知四边形ABCD ,有以下四个条件:①//AB CD ;②A B C D=;③//BC AD ;④BC AD =.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有( ) (A )6种 (B )5种 (C )4种 (D )3种 【答案】C9.(2010山东泰安)如图,E 是□ABCD 的边AD 的中点,CE 与BA 的延长线交于点F ,若∠FCD=∠D ,则下列结论不成立的是( )A 、AD=CFB 、BF=CFC 、AF=CD D 、DE=EF【答案】C10.(2010 内蒙古包头)已知下列命题:①若00a b >>,,则0a b +>; ②若a b ≠,则22a b ≠;③角的平分线上的点到角的两边的距离相等; ④平行四边形的对角线互相平分.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】BA DCB11.(2010 重庆江津)如图,四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形, 那么需要添加的条件是( ) A .AB CD =B .AD BC = C .AB BC =D .AC BD =【答案】D12.(2010宁夏回族自治区)点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点,点D 是平面内任意一点,若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D 有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C13.(2010鄂尔多斯)如图,在□ABCD 中,E 是BC 的中点,且∠AEC=∠DCE ,则下列结论不正确...的是( )A .S △ADF=2S △EBFB .BF=21DF C .四边形AECD 是等腰梯形 D . ∠AEC=∠ADC【答案】A14.(2010广东清远)如图 ,在ABCD 中,已知∠ODA =90°,AC =10cm ,BD =6cm ,则AD 的长为( ) A .4cmB .5cmC .6cmD .8cm【答案】A 二、填空题1.(2010福建福州)如图,在ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若AC =14,BD =8,AB =10,则△OAB 的周长为_______.(第1题)【答案】212.(2010福建宁德)如图,在□ABCD 中,AE =EB ,AF =2,则FC 等于_____.【答案】43.(2010 山东滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为 .【答案】4.(2010山东潍坊)如图,在△ABC 中,AB =BC ,AB =12cm ,F 是AB 边上的一点,过点F 作FE∥BC 交CA 于点E ,过点E 作ED ∥AB 交于BC 于点D ,则四边形BDEF 的周长是 .第2题图FA E BCD【答案】24cm5.(2010湖南常德)如图 ,四边形ABCD 中,AB//CD ,要使四边形ABCD 为平行四边形,则可添加的条件为 .(填一个即可).【答案】AB CD A C AD =∠=∠或或∥BC 等6.(2010湖南郴州)如图,已知平行四边形ABCD ,E 是AB 延长线上一点,连结DE 交BC 于点F ,在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个条件,使CDF BEF △≌△,这个条件是.(只要填一个)【答案】DC EB =或CF BF =或DF EF = 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE =或B 为AE 的中点7.(2010湖北荆州)如图,在平行四边形ABCD 中,∠A=130°,在AD 上取DE=DC ,则∠ECB 的度数是.【答案】65°8.(2010湖北恩施自治州)如图,在ABCD 中,已知AB =9㎝,AD =6㎝,BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ,则DE 等于 ㎝.ABEFDC第6题D BCA5题【答案】39.(2010云南红河哈尼族彝族自治州) 如图,在图(1)中,A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点,在图(2)中,A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点,…,按此规律,则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个.【答案】3n10.(2010 江苏镇江)如图,在平行四边形ABCD 中,CD=10,F 是AB 边上一点,DF 交AC 于点E ,且的面积的面积则CDE AEF EC AE ∆∆=,52= ,BF=.【答案】6,25411.(2010 广西钦州市)如图,□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 是CD 的中点, 若AD =4cm ,则OE 的长为 cm .【答案】212.(2010青海西宁)如图,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,如果AC=14,BD=8,AB=x ,那么x 的取值范围是 .D11题ECBAO(3)(2)(1)C 3B 3A 3A 2C 1B 11CBAC 2B 2B 2C 2ABC1B 1C 1A 2C 1B 11CBA…第9题12题 【答案】3﹤x ﹤11.13.(2010广西梧州)如图 ,在□ABCD 中,E 是对角线BD 上的点,且E F ∥AB ,DE :EB =2:3,E F =4,则CD =的长为________【答案】1014.(2010广东深圳)如图 ,在□ABCD 中,AB=5,AD=8,DE 平分∠ADC ,则BE=【答案】315.(2010辽宁本溪)过□ABCD 对角线交点O 作直线m ,分别交直线AB 于点E ,交直线CD 于点F ,若AB =4,AE =6,则DF 的长是 . 【答案】2或1016.(2010广西河池)如图 ,在□ABCD 中,∠A =120°,则∠D = °.【答案】60 三、解答题BD1613题ABCD F E1. (2010浙江嘉兴)如图,在□ABCD 中,已知点E 在AB 上,点F 在CD 上,且CF AE =. (1)求证:BF DE =;(2)连结BD ,并写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)【答案】(1)在□ABCD 中,AB //CD ,AB =CD .∵AE =CF ,∴BE =DF ,且BE //DF . ∴四边形BFDE 是平行四边形. ∴BF DE =. …5分(2)连结BD ,如图,图中有三对全等三角形: △ADE ≌△CBF , △BDE ≌△DBF , △ABD ≌△CDB . …3分2.(2010 嵊州市)(10分)已知:在四边形ABCD 中,A D ∥BC ,∠BAC =∠D ,点E 、F 分别在BC 、CD 上,且∠AEF =∠ACD ,试探究AE 与EF 之间的数量关系。
中考数学总复习《四边形的综合题》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《四边形的综合题》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题;共24分)1.如图在平行四边形ABCD中,已知AC=6cm,若△ACD的周长为16cm,则平行四边形ABCD的周长为()A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm2.一个十边形的内角和等于()A.1800°B.1660°C.1440°D.1200°3.下列命题正确的是()A.有一个角是直角的四边形是矩形;B.有三个角是直角的四边形是矩形;C.对角线相等的四边形是矩形;D.对角线互相平分的四边形是矩形;4.6张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,则按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足()A.a=2b B.a=3b C.a=4b D.a=b5.如图,菱形ABCD中,∠ABC=150°,DH⊥AB于H,交对角线AC于E,过E作EF⊥AD于F.若△DEF的周长为3+√3,则菱形ABCD的面积为()A.18B.14+8√3C.7+4√3D.12+6√36.小明在计算某多边形的内角和时,则由于马虎漏掉了一个角,结果得到970°,则原多边形是一个()A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形7.如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,对角线AC与BD相交于点O,若四边形EFGH的周长是3,则AC+BD的长为()A.3B.6C.9D.128.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”.若Rt△ABC 是“匀称三角形”,且∠C=90°,AC>BC则AC:BC:AB为()A.√3:1:2B.2:√3:√7C.2:1:√5D.无法确定9.如图,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,FE交AC于O点,交CB的延长线于G点,那么S△AOF:S△COG=()A.1:4B.1:9C.1:16D.1:2510.□ABCD中,△B=50°,则△C=()A.40°B.50°C.130°D.140°11.用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是()A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形12.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,图中等腰三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题(共6题;共8分)13.如图,在矩形ABCD中AB=6,BC=9点P是矩形ABCD内一动点,且SΔABP=SΔCDP,则PC+PD的最小值为.14.如图,AD是锐角△ABC的BC边上的高,正方形EFGH的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,若BC=15,AD=10,则EF的长为.15.如图,在矩形ABCD中AB=4,BC=6对角线AC的垂直平分线分别交AC,AD,BC于点.O,E,F,连结AF,CE,则AEBF=16.已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2400°,那么这个多边形的边数是,这个外角的度数是.17.如图,□ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到□AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则△C=18.图是一张矩形纸片ABCD,点E在AB边上,把△ADE沿直线DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,点G在BC边上,把△CDG沿直线DG折叠,使点C恰好落在线段DF上的点H处,∠EDG=°.若BF+CG=32FG ,则CGCD=.三、综合题(共6题;共65分)19.如图,在△ACB中∠ABC=90°,点D是斜边AC上的一点DA=DB,点F是AB的中点,过点C作CE//BD交FD的延长线于点E.(1)求证:四边形CBDE是平行四边形;(2)联结BE、AE,如果∠CBE=45°,求证:AB=3BC.20.如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F F在边CD上,且FC= AE连接AF和BF.(1)求证:四边形DEBF是矩形;(2)若AF平分∠DAB,FC=6和DF=10,求BF的长.21.已知:在△ABC中,AB=AC,AD△BC于点D,分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)连结BE,若cos∠ABD=12,AD= 2√3求BE的长.22.如图,在△ABC中AD⊥BC,垂足为D,与BC=12,AD=6,tanC=3 2 .(1)求sin∠ABD的值;(2)过点B作BE⊥BC,若BE=10求AE的长.23.四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.(1)求证:△ADE△△ABF;(2)若BC=12,DE=5,求△AEF的面积.24.如图,在梯形ABCD中,AD△BC,△B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动,动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动,P、Q同时出发.(1)当运动多少秒时,则四边形PQCD是平行四边形?(2)当运动多少秒时,则四边形PQCD是直角梯形?(3)多少秒后,梯形PQCD是等腰梯形?参考答案1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】B 12.【答案】D 13.【答案】3√13 14.【答案】6 15.【答案】13516.【答案】15;60° 17.【答案】105 18.【答案】45;2519.【答案】(1)证明: ∵DA =DB∴ΔADB 是等腰三角形 ∵ 点 F 是 AB 的中点 ∴DF ⊥AB ∴∠AFD =90° ∵∠ABC =90° ∴∠AFD =∠ABC ∴EF//BC ∵EC//DB∴ 四边形 CBDE 是平行四边形(2)解: ∵DF ⊥AB ,点 F 是 AB 的中点 ∴EF 垂直平分 AB∴DF =12BC∵四边形CBDE是平行四边形∴BC=DE∴EF=DF+DE=32BC∵BE平分∠ABC∴∠FBE=45°∴∠FBE=∠FEB=45°∴BF=EF∴BF=32BC∴AB=2BF=3BC 20.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴CD//AB∵FC=AE∴CD−FC=AB−AE即DF=BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴平行四边形DEBF是矩形;(2)解:∵AF平分∠DAB∴∠DAF=∠BAF∵CD//AB∴∠DFA=∠BAF∴∠DFA=∠DAF∴AD=DF=10在Rt△AED中,AE=FC=6,由勾股定理得:DE=√AD2−AE2=√102−62=8由(1)得四边形DEBF是矩形∴BF=DE=8.21.【答案】(1)证明:∵AE // BC,CE // AD∴四边形ADCE是平行四边形∵AD △BC,AB=AC∴△ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形(2)解:连接DE,如图:在Rt△ABD中,△ADB =90°∵cos∠ABD=1 2∴BD AB=12∴设BD=x,AB=2x∴AD= √3x∵AD= 2√3∴x=2∴BD=2∵AB=AC,AD△BC∴BC=2BD=4∵矩形ADCE中,EC=AD= 2√3, BC=4∴在Rt△BDE中,利用勾股定理得BE= √BC2+EC2= √42+(2√3)2= 2√7 22.【答案】(1)解:在Rt△ADC中∵AD=6,tanC=3 2∴CD=4∴BD=12-4=8在Rt△ABD中,根据勾股定理可得AB=√BD2+AD2=10∴sin∠ABD=ADAB=610=35(2)解:作AF△BE于点F∵BE⊥BC∴四边形ADBF是矩形∴AF=BD=8,AD=BF=6∴EF=10-6=4在Rt△AEF中,根据勾股定理可得AB=√AF2+EF2=4√5 23.【答案】(1)解:∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB,△D=△ABC=90°而F是CB的延长线上的点∴△ABF=90°在△ADE和△ABF中∵{AB=AD∠ABF=∠ADEBF=DE∴△ADE△△ABF(SAS)(2)解:∵BC=12,∴AD=12在Rt△ADE中,DE=5,AD=12∴AE= √AD2+DE2=13∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90°得到∴AE=AF,△EAF=90°∴△AEF的面积= 12AE2= 12×169=84.524.【答案】(1)解:根据题意得:PA=tcm,CQ=3tcm,则PD=AD﹣PA=24﹣t(cm).∵AD△BC即PD△CQ∴当PD=CQ时,则四边形PQCD为平行四边形即24﹣t=3t解得:t=6即当t=6s时,则四边形PQCD为平行四边形(2)解:当PA=BQ时,则四边形PQCD是直角梯形∴t=26﹣3t∴t= 13 2即t= 132s时,则四边形PQCD是直角梯形(3)解:过D作DE△BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC﹣BE=2cm当PQ=CD时,则四边形PQCD为等腰梯形,如图所示:过点P作PF△BC于点F,过点D作DE△BC于点E则四边形PDEF是矩形∴EF=PD,PF=DE在Rt△PQF和Rt△CDE中{PF=DEPQ=CD∴Rt△PQF△Rt△CDE(HL)∴QF=CE∴QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE即3t﹣(24﹣t)=4解得:t=7即当t=7s时,则四边形PQCD为等腰梯形.第11页共11。
初三数学四边形试题答案及解析
初三数学四边形试题答案及解析1.如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF 的面积为()A.4B.C.D.2【答案】D【解析】设正方形CEFH的边长为a,=4+a2﹣×4﹣a(a﹣2)﹣a(a+2)=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a=2,根据题意得:S△BDF故选D【考点】1、正方形;2、整式的运算2.如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线BD上的点,∠1=∠2.(1)求证:BE=DF;(2)求证:AF∥CE.【答案】证明见解析.【解析】(1)根据平行四边形的性质得出∠5=∠3,∠AEB=∠4,从而利用全等三角形的判定得出即可.(2)根据全等三角形的性质得出AE=CF,从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形,即可得出答案.试题解析:证明:(1)如答图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD. ∴∠5=∠3.∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠4.在△ABE和△CDF中,∵,∴△ABE≌△CDF(AAS).∴BE=DF.(2)由(1)得△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵∠1=∠2,∴AE∥CF. ∴四边形AECF是平行四边形.∴AF∥CE.【考点】1.平行四边形的判定和性质;2.全等三角形的判定和性质.3.如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,过点E作EG⊥AD于G,连接GF.若∠A=80°,则∠DGF的度数为___________.【答案】50°.【解析】如图,延长AD、EF相交于点H,∵F是CD的中点,∴CF=DF,∵菱形对边AD∥BC,∴∠H=∠CEF,在△CEF和△DHF中,,∴△CEF≌△DHF(AAS),∴EF=FH,∵EG⊥AD,∴GF=FH,∴∠DGF=∠H,∵四边形ABCD是菱形,∴∠C=∠A=80°,∵菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,∴CE=CF,在△CEF中,∠CEF=(180°﹣80°)=50°,∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°.故答案是50°.【考点】1.菱形的性质2.全等三角形的判定与性质3.直角三角形斜边上的中线.4.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是()A.1B.C.2D.【答案】C.【解析】∵菱形ABCD的边长为2,∴AD=AB=2,又∵∠DAB=60°,∴△DAB是等边三角形,∴AD=BD=AB=2,则对角线BD的长是2.故选C.【考点】菱形的性质.5.如图,在□ABCD中,AD=4,AB=8,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是.(结果保留π)【答案】12-π.【解析】过D点作DF⊥AB于点F.可求▱ABCD和△BCE的高,观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积,计算即可求解.试题解析:过D点作DF⊥AB于点F.∵AD=4,AB=8,∠A=30°,∴DF=AD•sin30°=2,EB=AB-AE=4,∴阴影部分的面积:8×2--4×2×=16-π-4=12-π.【考点】1.平行四边形的性质;2.扇形面积的计算.6.如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.(1)求证:△ABF≌△ECF;(2)若∠AFC=2∠ABC,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC,AB=DC,⇒∠ABF=∠ECF,从而证得△ABF≌△ECF;(2)由(1)得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形,通过角的关系得出FA=FE=FB=FC,AE=BC,得证.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠ABF=∠ECF,∵EC=DC,∴AB=EC,在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,∴△ABF≌△ECF.(2)∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴FA=FE,FB=FC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC,∵∠AFC=∠ABC+∠BAF,∴∠ABC=∠BAF,∴FA=FB,∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC,∴四边形ABEC是矩形.【考点】1.平行四边形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质;3.矩形的判定.7.如图,在□ABCD中,点M为边AD的中点,过点C作AB的垂线交AB于点E,连接ME. (1)若AM=2AE=4,∠BCE=30°,求□ABCD的面积;(2)若BC=2AB,求证:∠EMD=3∠MEA.【答案】(1)24;(2)证明见解析.【解析】(1)利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长,进而得出答案;(2)利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM(ASA),进而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM,再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM,进而得出答案.(1)解:∵M为AD的中点,AM=2AE=4,∴AD=2AM=8.在▱ABCD的面积中,BC=CD=8,又∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∵∠BCE=30°,∴BE=BC=4,∴AB=6,CE=4,∴▱ABCD的面积为:AB×CE=6×4=24;(2)证明:延长EM,CD交于点N,连接CM.∵在▱ABCD中,AB⊥CD,∴∠AEM=∠N,在△AEM和△DNM中∵,∴△AEM≌△DNM(ASA),∴EM=MN,又∵AB∥CD,CE⊥AB,∴CE⊥CD,∴CM是Rt△ECN斜边的中线,∴MN=MC.∴∠N=∠MCN,∴∠EMC=2∠N=2∠AEM.∵在平行四边形ABCD中,BC=AD=2DM,BC=2AB=2CD,∴DC=MD,∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM,∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM,即∠EMD=3∠AEM.【考点】1.平行四边形的性质;2.全等三角形的判定与性质.8.下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是().A.∠A=∠C,∠B=∠DB.∠A=∠B=∠C=90°C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°【答案】D.【解析】A.∠A=∠C,∠B=∠D,能判定四边形ABCD是平行四边形;B.∠A=∠B=∠C=90°,能判定四边形ABCD是平行四边形;C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,能判定四边形ABCD是平行四边形;D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,不能判定四边形ABCD是平行四边形.故选D.【考点】平行四边形的判定.9.下列命题中,真命题是A.矩形的对角线相互垂直B.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形C.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【解析】A.矩形的对角线相互垂直,说法错误;B.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形,说法错误;C.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形,说法错误;D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,正确.故选D.【考点】1.矩形的性质;2.中点四边形;3.等边三角形;4.菱形的判定.10.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.(1)求证:AM=AN;(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)菱形,理由见解析.【解析】(1)根据旋转的性质得出AB=AF,∠BAM=∠FAN,进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可;(2)利用旋转的性质得出∠FAB=120°,∠FPC=∠B=60°,即可得出四边形ABPF是平行四边形,再利用菱形的判定得出答案.试题解析:(1)证明:∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),∴AB=AF,∠BAM=∠FAN,在△ABM和△AFN中,,∴△ABM≌△AFN(ASA),∴AM=AN;(2)解:当旋转角α=30°时,四边形ABPF是菱形.理由:连接AP,∵∠α=30°,∴∠FAN=30°,∴∠FAB=120°,∵∠B=60°,∴AF∥BP,∴∠F=∠FPC=60°,∴∠FPC=∠B=60°,∴AB∥FP,∴四边形ABPF是平行四边形,∵AB=AF,∴平行四边形ABPF是菱形.考点: 1.旋转的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.菱形的判定.11.命题“正方形的对角线相等且互相垂直平分”,它的逆命题是 .【答案】对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.【解析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.命题“正方形的对角线相等且互相垂直平分”,它的逆命题是:对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.故答案是对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.【考点】命题与定理.12.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为__________;(2)求正方形MNPQ的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若,则AD的长为__________.【答案】(1)这个新的正方形的边长为a;(2)正方形MNPQ的面积为2;(3)AD的长为.【解析】(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a 2,边长为a ;(2)如题图2所示,正方形MNPQ 的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ 的面积;(3)参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换.如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW 的面积和等于等边三角形△ABC 的面积,故阴影三角形△PQR 的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和.据此列方程求出AD 的长度.试题解析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为 a,每个等腰直角三角形的面积为:a•a= a 2,则拼成的新正方形面积为:4×a 2=a 2,即与原正方形ABCD 面积相等,∴这个新正方形的边长为a ;(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a 2,正方形ABCD 的面积为a 2,∴S 正方形MNPQ =S △ARE +S △DWH +S △GCT +S △SBF =4S △ARE =4××12=2;(3)如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB 的延长线于点S,T,W .由题意易得:△RSF,△QET,△PDW 均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC 的边长. 不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a .如答图2所示,过点R 作RM ⊥SF 于点M,则MF=SF=a,在Rt △RMF 中,RM=MF•tan30°=a×=a,∴S △RSF =a•a=a 2. 过点A 作AN ⊥SD 于点N,设AD=AS=x,则AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x, ∴S △ADS =SD•AN=•x•x=x 2.∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW 的面积和=3S △RSF =3×a 2=a 2, ∴S △RPQ =S △ADS +S △CFT +S △BEW =3S △ADS ,∴=3×x 2,得x 2=,解得x=或x=(不合题意,舍去) ∴x=,即AD 的长为.【考点】四边形综合题.13.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E、F分别是AM、MR的中点,则EF的长随着M点的运动()A.变短B.变长C.不变D.无法确定【答案】C.【解析】∵E,F分别是AM,MR的中点,∴EF=AR.∵R是定点,∴AR的定长.∴无论M运动到哪个位置EF的长不变.故选C.【考点】1.动点问题;2.三角形中位线定理.14.已知四边形ABCD为平行四边形,点E、F分别在边AB、CD上,且AE=CF。
2022年中考数学《四边形》专题训练及答案
2022年中考数学《四边形》专题训练及答案一.选择题(共17小题)1.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3,FH与GE 相交于点O.当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时,下列结论一定成立的是()A.S1=S2B.S1=S3C.AB=AD D.EH=GH2.数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置,得到3个菱形.下面说法正确的是()A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形B.用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形C.用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形3.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC﹣CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP 形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是()A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形4.如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =10,E 是BC 边上一动点(不含端点B ,C ),连接EA ,F 是CD 边上一点,设DF =a ,若存在唯一的点E ,使∠FEA =90°,则a 的值是( )A .256B .116C .103D .35.如图,E ,F 是正方形ABCD 的边BC 上两个动点,BE =CF .连接AE ,BD 交于点G ,连接CG ,DF 交于点M .若正方形的边长为1,则线段BM 的最小值是( )A .12B .√3−12C .√2−12D .√5−126.如图,在矩形ABCD 中,以对角线AC 为斜边作Rt △AEC ,过点E 作EF ⊥DC 于点F ,连结AF ,若AD =DF ,S △AEF =3,S △ACF =5,则矩形ABCD 的面积为( )A .18B .19C .20D .217.如图,在▱ABCD 中,BD =6,AC =10,BD ⊥AB ,则AD 的长为( )A .8B .√42C .2√5D .2√138.如图,在Rt △ABC 中(AC >BC ),∠ACB =90°,过C 作CD ⊥AB 于点D ,分别以AD ,AC ,BC 为边向上作正方形ADQP,正方形ACEF,正方形CBGH,其中CE与PQ相交于点O,连接PF,QH,EH.若点F,P,Q,H在同一直线上,且△OCQ的面积为1,则六边形ABGHEF的面积为()A.5+3√5B.15+7√5C.20+10√5D.30+14√59.已知四边形ABCD为平行四边形,要使四边形ABCD为矩形,则可增加条件为()A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD10.如图,矩形ABCD中,AB:AD=2:1,点E为AB的中点,点F为EC上一个动点,点P为DF的中点,连接PB,当PB的最小值为3√2时,则AD的值为()A.2B.3C.4D.611.如图,在矩形ABCD中,点F为边AD上一点,过F作EF∥AB交边BC于点E,P为边AB上一点,PH⊥DE 交线段DE于H,交线段EF于Q,连接DQ.当AF=AB时,要求阴影部分的面积,只需知道下列某条线段的长,该线段是()A.EF B.DE C.PH D.PE12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,里面放置两个大小相同的正方形CDEF与正方形GHIJ,点F在边BC上,点D,H在边AC上,点G在边DE上,点I,J在斜边AB上,则正方形CDEF的边长为()A .3613B .3013C .2413D .181313.已知,矩形ABCD 中,E 为AB 上一定点,F 为BC 上一动点,以EF 为一边作平行四边形EFGH ,点G ,H 分别在CD 和AD 上,若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变,则应满足( )A .AD =4AEB .AD =2ABC .AB =2AED .AB =3AE14.如图,矩形ABCD 由两直角边之比皆为1:2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙,则AD AB的值为( )A .23B .34C .45D .2√5515.如图,已知大矩形ABCD 由①②③④四个小矩形组成,其中AE =CG ,则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积,这个小矩形是( )A .①B .②C .③D .④16.将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分,其中△ABE ,△BCF ,△CDG ,△DAH 全等,△AEH ,△BEF ,△CFG ,△DGH 也全等,中间小正方形EFGH 的面积与△ABE 面积相等,且△ABE 是以AB 为底的等腰三角形,则△AEH 的面积为( )A .2B .169C .32D .√217.一张矩形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪得同样大定理特例图(AC =3,BC =4,AB =5,分别以三边为边长向外作正方形),图1中边HI 、LM 和点K 、J 都恰好在矩形纸板的边上,图2中的圆心O 在AB 中点处,点H 、I 都在圆上,则矩形和圆形纸板的面积比是( )A .400:127πB .484:145πC .440:137πD .88:25π二.填空题(共7小题)18.如图,在矩形ABCD 中,点E 在边AB 上,△BEC 与△FEC 关于直线EC 对称,点B 的对称点F 在边AD 上,G 为CD 中点,连结BG 分别与CE ,CF 交于M ,N 两点.若BM =BE ,MG =1,则BN 的长为 ,sin ∠AFE 的值为 .19.图1是邻边长为2和6的矩形,它由三个小正方形组成,将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形(如图2),则图1中所标注的d 的值为 ;记图1中小正方形的中心为点A ,B ,C ,图2中的对应点为点A ′,B ′,C ′.以大正方形的中心O 为圆心作圆,则当点A ′,B ′,C ′在圆内或圆上时,圆的最小面积为 .20.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AH⊥BD于点H,若AB=2,BC=2√3,则AH的长为.21.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=10,BD=24,则OE的长为.22.如图,在▱ABCD中,P为AB上的一点,E、F分别是DP、CP的中点,G、H为CD上的点,连接EG、FH,若▱ABCD的面积为24cm2,GH=12AB,则图中阴影部分的面积为.23.如图1,某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框,画框下边缘与水平地面平行.如图2,画框的左上角顶点B,E,F,G都在直线AB上,且BE=EF=FG,楼梯装饰线条所在直线CD∥AB,延长画框的边BH,MN得到▱ABCD.若直线PQ恰好经过点D,AB=275cm,CH=100cm,∠A=60°,则正方形画框的边长为cm.24.如图,F是矩形ABCD内一点,AF=BF.连接DF并延长交BC于点G,且点C与AB的中点E恰好关于直线DG 对称.若AD =9,则AB 的长为 .三.解答题(共13小题) 25.【推理】如图1,在正方形ABCD 中,点E 是CD 上一动点,将正方形沿着BE 折叠,点C 落在点F 处,连结BE ,CF ,延长CF 交AD 于点G . (1)求证:△BCE ≌△CDG . 【运用】(2)如图2,在【推理】条件下,延长BF 交AD 于点H .若HD HF=45,CE =9,求线段DE 的长.【拓展】(3)将正方形改成矩形,同样沿着BE 折叠,连结CF ,延长CF ,BF 交直线AD 于G ,H 两点,若AB BC=k ,HD HF=45,求DE EC的值(用含k 的代数式表示).26.【证明体验】(1)如图1,AD 为△ABC 的角平分线,∠ADC =60°,点E 在AB 上,AE =AC .求证:DE 平分∠ADB . 【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下,F 为AB 上一点,连结FC 交AD 于点G .若FB =FC ,DG =2,CD =3,求BD 的长. 【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠BAD ,∠BCA =2∠DCA ,点E 在AC 上,∠EDC =∠ABC .若BC =5,CD =2√5,AD =2AE ,求AC 的长.27.小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进一步开展探究活动:将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α≤90°),得到矩形AB′C′D′,连结BD.[探究1]如图1,当α=90°时,点C′恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长.[探究2]如图2,连结AC′,过点D′作D′M∥AC′交BD于点M.线段D′M与DM相等吗?请说明理由.[探究3]在探究2的条件下,射线DB分别交AD′,AC′于点P,N(如图3),发现线段DN,MN,PN存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明.28.如图,在菱形ABCD中,∠ABC是锐角,E是BC边上的动点,将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,交直线CD于点F.(1)当AE⊥BC,∠EAF=∠ABC时,①求证:AE=AF;②连结BD,EF,若EFBD =25,求S△AEFS菱形ABCD的值;(2)当∠EAF=12∠BAD时,延长BC交射线AF于点M,延长DC交射线AE于点N,连结AC,MN,若AB=4,AC=2,则当CE为何值时,△AMN是等腰三角形.29.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,过B作BE⊥BD与DA的延长线交于点E.(1)若点A为DE中点,求证:四边形ABCD为菱形.(2)若BA=BE,tan∠EDB=√22,求△ABE与四边形ABCD面积的比值.30.如图,四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,AC的垂线EF交AD于点M,交CD的延长线于点F.(1)求证:AM=AE;(2)连接CM,DF=2.①求菱形ABCD的周长;②若∠ADC=2∠MCF,求ME的长.31.如图1,在正方形ABCD中,BD为对角线,点E为边AB上的点,连结DE,过点A作AG⊥DE交BC于点G,交BD于点H,垂足为F,连结EH.(1)AE与BG相等吗,请说明理由;(2)若BE:AE=n,求证:DH:BH=n+1;(3)在(2)的基础上,如图2时,当EH∥AD时,求n的值.32.如图,在矩形ABCD中,点E在射线CB上,连结AE,∠DAE的平分线AG与CD交于点G,与BC的延长线交于F点.设CEEB =λ(λ>0),ABBC=k(k>0且k≠2).(1)若AB=8,λ=1,k=43,求线段CF的长.(2)连结EG,若EG⊥AF,①求证:点G为CD边的中点;②求λ的值(用k表示).33.在正方形ABCD中,点E为边AB上的点,连结DE,过点A作AG⊥DE交BC于G.(1)如图1,AE与BG相等吗?请说明理由;(2)如图2,连接BD,交AG于H,ED于F,连接EH,若BE:AE=n,求DH:BH;(3)在(2)的基础上,如图3,当EH∥AD时,求n的值.34.如图,在△ABC中,AC=BC=2√5,tan∠CAB=12,P为AC上一点,PD⊥AB交AB于点E,AD⊥AC交PD于点D,连结BD,CD,CD交AB于点Q.(1)若CD⊥BC,求证:△AED∽△QCB;(2)若AB平分∠CBD,求BQ的长;(3)连结PQ并延长交BD于点M.①当点P是AC的中点时,求tan∠BQM的值;②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时,求BMDM的值.35.在三角形中,一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差,叫做这个角的勾股差.(1)概念理解:在直角三角形中,直角的勾股差为 ;在底边长为2的等腰三角形中,底角的勾股差为 ;(2)性质探究:如图1,CD 是△ABC 的中线,AC =b ,BC =a ,AB =2c ,CD =d ,记△ACD 中∠ADC 的勾股差为m ,△BCD 中∠BDC 的勾股差为n ;①求m ,n 的值(用含a ,b ,c ,d 的代数式表示); ②试说明m 与n 互为相反数;(3)性质应用:如图2,在四边形ABCD 中,点E 与F 分别是AB 与BC 的中点,连接BD ,DE ,DF ,若DF AB=34,且CD ⊥BD ,CD =AD ,求DE DF的值.36.【发现问题】小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系:C 乙C 甲=S 乙S 甲=12.【提出问题】对于任意一个矩形A ,是否一定存在矩形B ,使得C B C A=S B S A=12成立?【解决问题】(1)对于图2所示的矩形乙,是否存在矩形丙(可设两条邻边长分别为x 和7﹣x ),使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立.若存在,求出矩形丙的两条邻边长;若不存在,请说明理由; (2)矩形A 两条邻边长分别为m 和1,若一定存在矩形B ,使得C B C A=S B S A=12成立,求m 的取值范围;(3)请你回答小聪提出来的问题.若一定存在,请说明理由;若不一定存在,请直接写出矩形A 两条邻边长a ,b 满足什么条件时一定存在矩形B .37.如图,矩形ABCD 中,AB =7,AD =3,点E 是AD 边上的一点,DE =2AE ,连接EB ,F 是EB 的中点,连接CF ,点M 为DC 边上的一点,当动点P 从点C 匀速运动到点F 时,动点Q 恰好从点M 匀速运动到点C .(1)求tan∠DCF的值;(2)若点P运动到CF的中点时,Q,P,B三点恰好共线,求此时DM的长;(3)连接EM,BM,当∠EMB=90°且DM<CM时,记MQ=x,CP=y.①求y关于x的函数关系式;②当PQ平行于△BEM的某一边时,求所有满足条件的x的值.参考答案与试题解析一.选择题(共17小题)1.【解答】解:如图,连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J.∵四边形EFGH是矩形,∴OH=OF,EF=GH,∠HEF=90°,∵OJ⊥DE,∴∠OJH=∠HEF=90°,∴OJ∥EF,∵HO=OF,∴HJ=JE,∴EF=GH=2OJ,∵S△DHO=12•DH•OJ,S△DHG=12•DH•GH,∴S△DGH=2S△DHO,同法可证S△AEH=2S△AEO,∵S△DHO=S△AEO,∴S△DGH=S△AEH,∵S△DGC=12•CG•DH,S△ADH=12•DH•AE,CG=AE,∴S△DGC=S△ADH,∴S△DHC=S△ADE,∴S1=S2,故A选项符合题意;S3=HE•EF≠S1,故B选项不符合题意;AB=AD,EH=GH均不成立,故C选项,D选项不符合题意,故选:A.2.【解答】解:如图所示,用2个相同的菱形放置,最多能得到3个菱形;用3个相同的菱形放置,最多能得到8个菱形,用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形,用5个相同的菱形放置,最多能得到29个菱形,用6个相同的菱形放置,最多能得到47个菱形.故选:B.3.【解答】解:∵∠B=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成,当AP⊥BC时,此时△ABP为直角三角形;当点P到达点C处时,此时△ABP为等边三角形;当P为CD中点时,△ABP为直角三角形;当点P 与点D 重合时,此时△ABP 为等腰三角形, 故选:C .4.【解答】解:∵∠FEA =90°, ∴∠AEB +∠FEC =90°, ∵∠B =90°,∴∠AEB +∠EAB =90°, ∴∠EAB =∠FEC , ∵∠B =∠C =90°, ∴△ABE ∽△ECF , ∴AB EC=BE CF,设BE =x ,则EC =BC ﹣BE =10﹣x , ∵DF =a ,∴FC =DC ﹣DF =6﹣a , ∴x (10﹣x )=6(6﹣a ), ∴x 2﹣10x +36﹣6a =0, 由题意判别式b 2﹣4ac =0, ∴24a ﹣44=0, ∴a =116, 故选:B .5.【解答】解:如图,在正方形ABCD 中,AB =AD =CB ,∠EBA =∠FCD ,∠ABG =∠CBG ,在△ABE 和△DCF 中, {AB =CD∠EBA =∠FCD BE =CF, ∴△ABE ≌△DCF (SAS ), ∴∠BAE =∠CDF , 在△ABG 和△CBG 中,{AB =BC∠ABG =∠CBG BG =BG, ∴△ABG ≌△CBG (SAS ), ∴∠BAG =∠BCG , ∴∠CDF =∠BCG ,∵∠DCM +∠BCG =∠FCD =90°, ∴∠CDF +∠DCM =90°, ∴∠DMC =180°﹣90°=90°, 取CD 的中点O ,连接OB 、OF , 则OF =CO =12CD =12,在Rt △BOC 中,OB =√CB 2+OC 2=√12+(12)2=√52,根据三角形的三边关系,OM +BM >OB , ∴当O 、M 、B 三点共线时,BM 的长度最小, ∴BM 的最小值=OB ﹣OF =√52−12=√5−12. 故选:D .6.【解答】解:过点E 作EG 垂直AD 延长线于点G , ∵EF ⊥DC ,∴S △AEF =12EF •DF =3,S △ACF =12CF •AD =5, ∵DF =AD , ∴EF :CF =3:5,设EF =3b ,CF =5b ,AD =DF =a ,∵∠G =90°,∠EFD =90°,∠GDF =90°, ∴四边形EFDG 是矩形, ∴GE =DF =a ,GD =EF =3b , 在Rt △GEA 中,GE 2+AG 2=AE 2, 在Rt △EFC 中,EF 2+FC 2=EC 2, 在Rt △CEA 中,AE 2+CE 2=AC 2,∴AC 2=GE 2+AG 2+EF 2+FC 2=a 2+(a +3b )2+(3b )2+(5b )2=2a 2+43b 2+6ab , 在Rt △DAC 中,AC 2=AD 2+CD 2=a 2+(a +5b )2=2a 2+25b 2+10ab , ∴2a 2+43b 2+6ab =2a 2+25b 2+10ab , ∴18b 2=4ab ,∵b>0,∴a=92b,∴S△AEF=12EF•DF=12×3b×a=12×3b×92b=3,∴b=2 3,∴a=92×23=3,∴S矩形ABCD=AD•CD=a(a+5b)=3×(3+5×23)=19.故选:B.7.【解答】解:AC与BD相交于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴2AO=AC,2OB=BD,∵BD=6,AC=10,∴OA=5,OB=3,∵DB⊥AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得,AB=√OA2−OB2=√52−32=4,在Rt△ADB中,由勾股定理得,AD=√DB2+AB2=√62+42=2√13,故选:D.8.【解答】解:设CQ=x,∵∠CQO=90°,S△OCQ=1,∴12•CQ•OQ=1,∴OQ=2 x,∵∠CDB=∠CQH=∠BCH=90°,∴∠DCB +∠HCQ =90°,∠HCQ +∠CHQ =90°, ∴∠DCB =∠CHQ , 在Rt △CDB 和△HQC 中, {∠CDB =∠HQC∠DCB =∠CHQ CB =HC, ∴△CDB ≌△HQC (AAS ), ∴BD =CQ =x , ∵QO ∥BD , ∴△QCO ∽△DCB , ∴OQ BD=CQCD, ∴CD =x×x2x=12x 3,∵∠CAD +∠ACD =90°,∠DCB +∠ACD =90°, ∴∠CAD =∠DCB , ∵∠ADC =∠CDB =90°, ∴△ACD ∽△CBD , ∴AD CD=CD BD,∴CD 2=AD •DB , ∴(12x 3)2=(x +12x 3)•x ,解得x 2=1+√5或1−√5(舍弃), ∴CD =1+√52x ,AD =√5+32x , ∴AB =AD +BD =5+√52x , ∴AB 2=(5+√52)2×(1+√5)=20+10√5, ∴S 正方形ACEF +S 正方形BCHG =AB 2=20+10√5, ∵S △ACB =12•AB •CD =12×1+√52x ×5+√52x =5+2√5, ∴S 六边形ABGHEF =S 正方形ACEF +S 正方形CBGH +2S △ABC =20+10√5+2(5+2√5)=30+14√5, 故选:D .9.【解答】解:A 、∵四边形ABCD 是平行四边形,AB =BC , ∴四边形ABCD 是菱形,故A 不符合题意; B 、∵四边形ABCD 是平行四边形,AC =BD , ∴四边形ABCD 是矩形,故B 符合题意;C、∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,故C不符合题意;D、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=AC,∴四边形ABCD是菱形,故D不符合题意;故选:B.10.【解答】解:如图,当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1=DP1,当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=DP2,∴P1P2∥CE且P1P2=12CE..且当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DP=FP.由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P=12CF,∴点P的运动轨迹是线段P1P2,.∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值.∵矩形ABCD中,AB:AD=2:1,设AB=2t,则AD=t,∵E为AB的中点,∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1=t,∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°,∠DEC=90°.∴∠DP2P1=90°.∴∠DP1P2=45°.∴∠P2P1B=90°,即BP1⊥P1P2,∴BP的最小值为BP1的长.在等腰直角△BCP1中,CP1=BC=t,∴BP 1=√2t =3√2, ∴t =3. 故选:B .11.【解答】解:过点P 作PM ⊥EF 于点M ,如图:∵四边形ABCD 为矩形,∴AB ∥DC ,AD ∥BC ,∠C =90°, ∵EF ∥AB , ∴EF ∥DC , ∴∠EDC =∠DEF , ∵PH ⊥DE ,PM ⊥EF , ∴∠PMQ =∠EHQ =90°, 又∵∠PQM =∠EQH , ∴∠QPM =∠DEF =∠EDC , 在△PMQ 和△DCE 中, {∠MPQ =∠EDCPM =CD∠PMQ =∠C,∴△PMQ ≌△DCE (ASA ), ∴PQ =DE ,∴阴影部分的面积=S △PDE ﹣S △QED =12×DE ×PH −12DE ×QH =12DE 2, ∴故选:B .12.【解答】解:在Rt △ABC 中, ∵∠ACB =90°,BC =6,AC =8, ∴AB =√AC 2+BC 2=10.∴sin ∠A =BCAB =35,cos ∠A =ACAB =45. ∵四边形GHIJ 为正方形, ∴GH ∥AB . ∴∠GHD =∠A .∴cos ∠GHD =cos ∠A =45.设正方形CDEF 与正方形GHIJ 的边长为x ,则HI =CD =x .在Rt △AHI 中,∵sin ∠A =HI AH , ∴x AH =35.∴AH =53x .在Rt △GHD 中,∵cos ∠GHD =DH GH , ∴DH x =45. ∴DH =45x .∵AC =CD +DH +AH =8,∴x +45x +53x =8.解得:x =3013. 故选:B .13.【解答】解:设AB =a ,BC =b ,BE =c ,BF =x ,∴S 平行四边形EFGH =S 矩形ABCD ﹣2(S △BEF +S △AEH )=ab ﹣2[12cx +12(a ﹣c )(b ﹣x )] =ab ﹣(cx +ab ﹣ax ﹣bc +cx )=ab ﹣cx ﹣ab +ax +bc ﹣cx=(a ﹣2c )x +bc ,∵F 为BC 上一动点,∴x 是变量,(a ﹣2c )是x 的系数,∵平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变,为固定值,∴x 的系数为0,bc 为固定值,∴a ﹣2c =0,∴a =2c ,∴E 是AB 的中点,∴AB =2AE ,故选:C .14.【解答】解:如图所示设丙的短直角边为x,乙的短直角边为y,则HG=2x,DG=2x+y,CG=12DG=2x+y2,∵BF=DH=y,FG=EH=x,∴CF=2BF=2y,CF=CG+FG=2x+y2+x,∴2y=2x+y2+x,∴x=34y,∵AB=DC=√CG2+DG2=√(2x+y2)2+(2x+y)2=√(54y)2+(52y)2=5√54y,AD=√DH2+AH2=√y2+(2y)2=√5y,∴ADAB=√5y5√54y=45.故选:C.15.【解答】解:如图所示:∵四边形ABCD和四边形③是矩形,∴AB=CD,FP=CG,∵AE=CG,∴BE=DG,∴阴影部分的面积=△BFD的面积﹣△BFP的面积=12BF×CD−12BF×FP=12BF×(CD﹣CG)=12BF×DG=12BF×BE=12矩形②面积,故选:B.16.【解答】解:连接EG,向两端延长分别交AB、CD于点M、N,如图,∵△ABE,△BCF,△CDG,△DAH全等,△ABE是以AB为底的等腰三角形,∴AE=BE=CG=DG,∴EG是AB、CD的垂直平分线,∴MN⊥AB,∴EM=GN(全等三角形的对应高相等),∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ADC=90°,∴四边形AMND是矩形,∴MN=AD=4,设ME=x,则EG=4﹣2x,∵中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等,∴12(4−2x)2=12×4x,解得,x=1或x=4(舍),∵△ABE,△BCF,△CDG,△DAH全等,△AEH,△BEF,△CFG,△DGH也全等,∴△AEH的面积=S正方形ABCD−5S△ABE4=42−5×12×4×14=32,故选:C.17.【解答】解:在图1中延长CA与GF交于点N,延长CB与EF交于点P,在图2中,连接OH,过O作OQ⊥AC于点Q,则,在图1中,∵四边形ABJK是正方形,∴AB=BJ,∠ABJ=90°,∴∠ABC +∠PBJ =90°=∠ABC +∠BAC ,∴∠BAC =∠JBP ,∵∠ACB =∠BPJ =90°,∴△ABC ≌△BJK (AAS ),∴AC =BP =3,∵AC =MC =3,BC =4,∴DE =MP =3+4+3=10,同理得,DG =HN =4+3+4=11,∴矩形DEFG 的面积为11×10=110,在图2中,OQ =12CB =2,CQ =12AC =1.5,∴HQ =4+1.5=5.5,∴OH =√22+5.52=√1372,∴⊙O 的面积为:π×(√1372)2=137π4, ∴矩形和圆形纸板的面积比是:110:137π4=440:137π,故选:C .二.填空题(共7小题)18.【解答】解:∵BM =BE ,∴∠BEM =∠BME ,∵AB ∥CD ,∴∠BEM =∠GCM ,又∵∠BME =∠GMC ,∴∠GCM =∠GMC ,∴MG =GC =1,∵G 为CD 中点,∴CD =AB =2.连接BF ,FM ,由翻折可得∠FEM=∠BEM,BE=EF,∴BM=EF,∵∠BEM=∠BME,∴∠FEM=∠BME,∴EF∥BM,∴四边形BEFM为平行四边形,∵BM=BE,∴四边形BEFM为菱形,∵∠EBC=∠EFC=90°,EF∥BG,∴∠BNF=90°,∵BF平分∠ABN,∴F A=FN,∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL),∴BN=AB=2.∵FE=FM,F A=FN,∠A=∠BNF=90°,∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL),∴AE=NM,设AE=NM=x,则BE=FM=2﹣x,NG=MG﹣NM=1﹣x,∵FM∥GC,∴△FMN∽△CGN,∴CGFM=GNNM,即12−x=1−xx,解得x=2+√2(舍)或x=2−√2,∴EF=BE=2﹣x=√2,∴sin∠AFE=AEEF=√2√2=√2−1.故答案为:2;√2−1.19.【解答】解:如图,连接FW,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH ⊥B′C′于H.∵大正方形的面积=12,∴FG=GW=2√3,∵EF=WK=2,∴在Rt△EFG中,tan∠EGF=EFFG=2√3=√33,∴∠EGF=30°,∵JK∥FG,∴∠KJG=∠EGF=30°,∴d=JK=√3GK=√3(2√3−2)=6﹣2√3,∵OF=OW=12FW=√6,C′W=√2,∴OC′=√6−√2,∵B′C′∥QW,B′C′=2,∴∠OC′H=∠FWQ=45°,∴OH=HC′=√3−1,∴HB′=2﹣(√3−1)=3−√3,∴OB′2=OH2+B′H2=(√3−1)2+(3−√3)2=16﹣8√3,∵OA′=OC′<OB′,∴当点A′,B′,C′在圆内或圆上时,圆的最小面积为(16﹣8√3)π.故答案为:6﹣2√3,(16﹣8√3)π.20.【解答】解:如图,∵AB⊥AC,AB=2,BC=2√3,∴AC=√(2√3)2−22=2√2,在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,∴OA=OC=√2,在Rt△OAB中,OB=√22+(√2)2=√6,又AH⊥BD,∴12OB •AH =12OA •AB ,即12×√6⋅AH =12×2×√2, 解得AH =2√33. 故答案为:2√33. 21.【解答】解:∵DE ∥AC ,CE ∥BD ,∴四边形OCED 为平行四边形,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,OA =OC =12AC =5,OB =OD =12BD =12, ∴∠DOC =90°,CD =√OC 2+OD 2=√52+122=13, ∴平行四边形OCED 为矩形,∴OE =CD =13,故答案为:13.22.【解答】解:如图,设EG ,FH 交于点O ,∵四边形ABCD 为平行四边形,且▱ABCD 的面积为24cm 2, ∴S △PCD =12S ▱ABCD =12cm 2,AB =CD ,AB ∥CD , ∵E 、F 分别是DP 、CP 的中点,∴EF 为△PCD 的中位线,∴CD =2EF ,EF ∥CD ∥AB ,∴S △PEF :S △PCD =1:4,∴S △PEF =3,∵GH =12AB ,∴EF =GH ,EF ∥GH ,∴S △OEF =S △OGH =12S △PEF =1.5cm 2,∴S 阴影=3+2×1.5=6cm 2,故答案为6cm 2.23.【解答】解:延长EP ,与CD 交于点K ,如图, ∵AB ∥CD ,BC ∥EK ,∴四边形BCKE 是平行四边形,∴PK=CH=100cm,∵∠A=60°,四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=60°,AB=CD=275cm,∵BC∥EK,∴∠PKD=∠C=60°,∴DK=PKcos60°=200cm,∴BE=CK=CD﹣DK=75cm,∵BE=EF=FG,∴AG=AB﹣3BE=275﹣75×3=50cm,∴GM=AG•sin∠A=50×√32=25√3cm.正方形画框的边长为25√3cm.故答案为:25√3.24.【解答】解:连接EF、EG、EC,如图所示:∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=9,AD∥BC,∠BAD=∠ABC=90°,∴AB⊥AD,∵AF=BF,点E是AB的中点,∴EF⊥AB,∴EF∥AD∥BC,∴EF是梯形ABGD的中位线,∠EFG=∠CGF,∴EF=12(AD+BG),设BG=x,则CG=9﹣x,EF=12(9+x),∵点C与AB的中点E关于直线DG对称,∴EG=CG,∠CGF=∠EGF,∴EF=CG,∴12(9+x)=9﹣x,解得:x=3,∴BG=3,EG=CG=6,∴BE=√EG2−BG2=√62−32=3√3,∴AB=2BE=6√3;故答案为:6√3.三.解答题(共13小题)25.【解答】(1)证明:如图1中,∵△BFE是由△BCE折叠得到,∴BE⊥CF,∴∠ECF+∠BEC=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠BCE=90°,∴∠ECF+∠CGD=90°,∴∠BEC=∠CGD,∵BC=CD,∴△BCE≌△CDG(AAS).(2)如图2中,连接EH.∵△BCE≌△CDG,∴CE=DG=9,由折叠可知BC=BF,CE=FE=9,∴∠BCF=∠BFC,∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠BCG=∠HGF,∵∠BFC=∠HFG,∴∠HFG=∠HGF,∴HF=HG,∵HDHF=45,DG=9,∴HD=4,HF=HG=5,∵∠D=∠HFE=90°,∴HF2+FE2=DH2+DE2,∴52+92=42+DE2,∴DE=3√10或﹣3√10(舍弃),∴DE=3√10.(3)如图3中,连接HE.由题意HD HF =45,可以假设DH =4m ,HG =5m ,设DE EC =x .①当点H 在点D 的左侧时,∵HF =HG ,∴DG =9m ,由折叠可知BE ⊥CF ,∴∠ECF +∠BEC =90°,∵∠D =90°,∴∠ECF +∠CGD =90°,∴∠BEC =∠CGD ,∵∠BCE =∠D =90°,∴△CDG ∽△BCE ,∴DG CE =CD BC , ∵CD BC =AB BC =k , ∴9m CE =k 1,∴CE =9m k=FE , ∴DE =9mx k , ∵∠D =∠HFE =90°∴HF 2+FE 2=DH 2+DE 2,∴(5m )2+(9m k )2=(4m )2+(9mx k )2, ∴x =√k 2+93或−√k 2+93(舍弃), ∴DE EC =√k 2+93.②当点H 在点D 的右侧时,如图4中,同理HG =HF ,△BCE ∽△CDG ,∴DG =m ,CE =m k =FE ,∴DE =mx k, ∵HF 2+FE 2=DH 2+DE 2,∴(5m )2+(m k )2=(4m )2+(mx k )2,∴x =√9k 2+1或−√9k 2+1(舍弃),∴DE EC =√9k 2+1.综上所述,DE EC =√k 2+93或√9k 2+1.26.【解答】(1)证明:如图1,∵AD 平分∠BAC ,∴∠EAD =∠CAD ,∵AE =AC ,AD =AD ,∴△EAD ≌△CAD (SAS ),∴∠ADE =∠ADC =60°,∵∠BDE =180°﹣∠ADE ﹣∠ADC =180°﹣60°﹣60°=60°, ∴∠BDE =∠ADE ,∴DE 平分∠ADB .(2)如图2,∵FB =FC ,∴∠EBD =∠GCD ;∵∠BDE =∠CDG =60°,∴△BDE ∽△CDG ,∴BD CD =DE DG ;∵△EAD ≌△CAD ,∴DE =CD =3,∵DG =2,∴BD =CD 2DG =322=92. (3)如图3,在AB 上取一点F ,使AF =AD ,连结CF . ∵AC 平分∠BAD ,∴∠F AC =∠DAC ,∵AC =AC ,∴△AFC ≌△ADC (SAS ),∴CF =CD ,∠FCA =∠DCA ,∠AFC =∠ADC ,∵∠FCA +∠BCF =∠BCA =2∠DCA ,∴∠DCA=∠BCF,即∠DCE=∠BCF,∵∠EDC=∠ABC,即∠EDC=∠FBC,∴△DCE∽△BCF,∴CDBC=CECF,∠DEC=∠BFC,∵BC=5,CF=CD=2√5,∴CE=CD2BC=(2√5)25=4;∵∠AED+∠DEC=180°,∠AFC+∠BFC=180°,∴∠AED=∠AFC=∠ADC,∵∠EAD=∠DAC(公共角),∴△EAD∽△DAC,∴AEAD=ADAC=12,∴AC=2AD,AD=2AE,∴AC=4AE=43CE=43×4=163.27.【解答】解:[探究1]如图1,设BC=x,∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′,∴点A,B,D'在一条线上,∴AD'=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB=1,∴D'B=AD'﹣AB=x﹣1,∵∠BAD=∠D'=90°,∴D'C'∥DA,又∵点C'在DB的延长线上,∴△D'C'B∽△ADB,∴D′C′AD=D′BAB,∴1x=x−11,解得x1=1+√52,x2=1−√52(不合题意,舍去),∴BC=1+√5 2.[探究2]D'M=DM.证明:如图2,连接DD',∵D'M∥AC',∴∠AD'M=∠D'AC',∵AD'=AD,∠AD'C'=∠DAB=90°,D'C'=AB,∴△AC'D'≌△DBA(SAS),∴∠D'AC'=∠ADB,∴∠ADB=∠AD'M,∵AD'=AD,∴∠ADD'=∠AD'D,∴∠MDD'=∠MD'D,∴D'M=DM;[探究3]关系式为MN2=PN•DN.证明:如图3,连接AM,∵D'M=DM,AD'=AD,AM=AM,∴△AD'M≌△ADM(SSS),∴∠MAD'=∠MAD,∵∠AMN=∠MAD+∠NDA,∠NAM=∠MAD'+∠NAP,∴∠AMN=∠NAM,∴MN=AN,在△NAP和△NDA中,∠ANP=∠DNA,∠NAP=∠NDA,∴△NP A∽△NAD,∴PNAN=ANDN,∴AN2=PN•DN,∴MN2=PN•DN.28.【解答】(1)①证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°,∵∠EAF=∠ABC,∴∠BAE=∠DAF,∴△ABE≌△ADF(ASA),∴AE=AF;②解:连接AC,如图1所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=DC,AC⊥BD,由①知,△ABE≌△ADF,∴BE=DF,∴CE=CF,∵AE=AF,∴AC⊥EF,∴EF∥BD,∴△CEF∽△CBD,∴ECBC=EFBD=25,设EC=2a,则AB=BC=5a,BE=3a,∴AE=√AB2−BE2=√(5a)2−(3a)2=4a,∵AEAB=AFBC,∠EAF=∠ABC,∴△AEF∽△BAC,∴S△AEFS△BAC=(AEAB)2=(4a5a)2=1625,∴S△AEFS菱形ABCD=S△AEF2S△BAC=12×1625=825;(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAC=12∠BAD,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠BAC=∠EAF,∴∠BAE=∠CAM,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠ANC,∴∠ANC=∠CAM,同理:∠AMC=∠NAC,∴△MAC∽△ANC,∴ACCN=AMNA,△AMN是等腰三角形有三种情况:①当AM=AN时,如图2所示:∵∠ANC =∠CAM ,AM =AN ,∠AMC =∠NAC , ∴△ANC ≌△MAC (ASA ),∴CN =AC =2,∵AB ∥CN ,∴△CEN ∽△BEA ,∴CE BE =CN AB =24=12, ∵BC =AB =4,∴CE =13BC =43;②当NA =NM 时,如图3所示:则∠NMA =∠NAM ,∵AB =BC ,∴∠BAC =∠BCA ,∵∠BAC =∠EAF ,∴∠NMA =∠NAM =∠BAC =∠BCA ,∴△ANM ∽△ABC ,∴AM AN =AC AB =12, ∴AC CN =AM NA =12, ∴CN =2AC =4=AB ,∴△CEN ≌△BEA (AAS ),∴CE =BE =12BC =2;③当MA =MN 时,如图4所示:则∠MNA =∠MAN =∠BAC =∠BCA ,∴△AMN ∽△ABC ,∴AM AN =AB AC =42=2, ∴CN =12AC =1,∵△CEN ∽△BEA ,∴CE BE =CN AB =14, ∴CE =15BC =45;综上所述,当CE 为43或2或45时,△AMN 是等腰三角形.29.【解答】(1)证明:∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵BE⊥BD,∴∠EBD=90°,∵A为DE的中点,∴AB=AD=12DE,∴四边形ABCD是菱形;(2)解:过B作BF⊥DE于F,tan ∠EDB =√22=BE BD, 设BE =√2x ,BD =2x ,由勾股定理得:DE =√BE 2+BD 2=√(√2x)2+(2x)2=√6x , ∵S △BDE =12×BE ×BD =12×DE ×BF , ∴12×√2x ×2x =12×√6x ×BF , 解得:BF =2√33x , ∴△ABE 与四边形ABCD 面积的比值是(12×√2x ×2x ):(√62x •2√33x )=√2x 2:√2x 2=1:1. 30.【解答】(1)证明:如图,连接BD , ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥DB ,AD =AB ,∵EM ⊥AC ,∴ME ∥BD ,∵点E 是AB 的中点,∴点M 是AD 的中点,AE =12AB ,∴AM =12AD ,∴AM =AE .(2)解:①由(1)得,点M 是AD 的中点, ∴AM =MD ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,∴∠F =∠AEM ,∠EAM =∠FDM ,∴△MDF ≌△MAE (AAS ),∴AE =DF ,∵AB =2AE ,DF =2,∴AB =4,∴菱形ABCD 的周长为4AB =4×4=16.②如图,连接CM ,记EF 与AC 交点为点G ,∵AM=AE,△MAE≌△MDF,∴DF=DM,MF=ME,∴∠DMF=∠DFM,∴∠ADC=2∠DFM,∵∠ADC=2∠MCD,∴∠MCD=∠DFM,∴MF=MC=ME,∠EMC=2∠FDM=∠MDC,∵ME⊥AC,AM=AE,∴∠MGC=90°,ME=2MG,∴MC=2MG,∴∠GMC=60°,∴∠ADC=60°,∴∠MCD=30°,∴∠DMC=90°,∴△DMC为直角三角形,∵DF=2,∴DM=2,CD=4,∴CM=√DM2+CM2=√22+42=2√3,∴ME=2√3.31.【解答】(1)解:相等,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,∴∠DAG+∠BAG=90°,∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°,∴∠BAG=∠ADF,∵AD=AB,∠DAB=∠ABG,∴△ADE≌△BAG(ASA),∴AE =BG .(2)解:∵△ADE ≌△BAG ,∴BG =AE ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ∥BC ,∴△ADH ∽△GBH ,∴DH BH =AD BG ,∵BE :AE =n ,BG =AE ,AD =AB ,∴DH BH =AD AG =AB AE =AE+BE AE =AE+nAE AE =n +1.(3)解:设BG =AE =k ,则BE =nk ,∵EH ∥AD ,∴∠BEH =∠BAD =90°,∠EHB =∠ADB =45°,∵∠ABD =45°,∴∠EHB =∠ABD ,∴BE =EH =nk ,∵EH ∥AD ,∴△AEH ∽△ABG ,∴AE AB =EH BG , ∴k k+nk =nk k, ∵n >0,∴n =√5−12.32.【解答】解:(1)∵AB BC =k ,k =43, ∴BC =6,∵CE EB =λ,λ=1,∴CE =EB ,∴点E 为BC 的中点,∵在矩形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠DAG =∠F ,又∵AG 平分∠DAE ,∴∠DAG =∠EAG ,∴∠EAG =∠F ,∴EA =EF ,∵AB =8,∠B =90°,点E 为BC 的中点,∴BE =EC =3,∴AE =√AB 2+BE 2=√73,∴EF =√73,∴CF =EF ﹣EC =√73−3;(2)①证明:∵EA =EF ,EG ⊥AF ,∴AG =FG ,在△ADG 和△FCG 中,{∠D =∠GCF ∠AGD =∠FGC AG =FG,∴△ADG ≌△FCG (AAS ),∴DG =CG ,即点G 为CD 的中点;②设CD =2a ,则CG =a ,∵AB BC =k (k >0且k ≠2).AB =CD ,AD =BC ,∴CF =AD =BC =2a k ,∵EG ⊥AF ,∠GCF =90°,∴∠EGC +∠CGF =90°,∠F +∠CGF =90°,∠ECG =∠GCF =90°,∴∠EGC =∠F ,∴△EGC ∽△GFC ,∴EC GC =GC FC ,∵GC =a ,FC =2a k , ∴GC FC =k 2, ∴EC GC =k 2,∴EC =k 2•a =ka 2,BE =BC ﹣EC =2a k −ka 2=4−k 22k a ,∴λ=CEEB=k24−k2.33.【解答】解:(1)AE=BG,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,∴∠DAG+∠BAG=90°,∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°,∴∠BAG=∠ADF,∵AD=AB,∠DAB=∠ABG,∴△ADE≌△BAG(ASA),∴AE=BG;(2)∵△ADE≌△BAG,∴BG=AE,∵四边形ABCD是正方形∴AD∥BC∴△ADH∽△GBH∴DHBH=ADBG,∵BE:AE=n,BG=AE,AD=AB,∴DHBH=ADAE=ABAE=AE+BEAE,∵BE:AE=n,∴DHBH=AE+nAEAE=n+1;(3)设BG=AE=k,则BE=nk,∵EH∥AD,∴∠BEH=∠BAD=90°,∠EHB=∠ADB=45°,∵∠ABD=45°,∴∠EHB=∠ABD,∴BE=EH=nk,∵EH∥AD,AD∥BC,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABG,∴AEAB=EHBG,∴kk+nk=nkk,∵n>0,∴n=√5−1 2.34.【解答】(1)证明:∵AD⊥AC,CD⊥BC,PD⊥AB,∴∠DAP=∠DEA=∠BCQ=90°,∵∠P AE+∠DAE=90°,∠ADE+∠DAE=90°,∴∠P AE=∠ADE,∵CA=CB,∴∠CAB=∠CBA,∴∠ADE=∠QBC,∴△AED∽△QCB;(2)解:过点C作CH⊥AB于H,∵tan∠CAB=CHAH=12,∴设CH=a,则AH=2a,∴AC=√AH2+CH2=√5a=2√5,∴a=2,∴CH=2,AH=4,∵CA=CB,CH⊥AB,∴AH=BH=4,∠CAB=∠CBA,∴AB=8,∵AB平分∠CBD,∴∠CBA=∠DBA,∴∠CAB=∠DBA,∴AC∥BD,∵AD⊥AC,∴AD⊥BD,∴tan∠ABD=ADBD=tan∠CAB=12,∴AB=√5AD=8,∴AD=8√55,BD=2AD=16√55,∵△AQC∽△BQD,∴AQBQ=ACBD=√516√55=58,∴BQAB=813,∴BQ=813AB=6413;(3)解:①作QG⊥AD于G,∵点P是AC的中点,∴AP=12AC=√5,∵∠CAB=∠CBA=∠ADP,tan∠CAB=1 2,∴AD=2AP=2√5,∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=45°,设AG=x,则QG=2x,DG=QG=2x,∴x+2x=2√5,解得:x=2√5 3,∴AQ=√5x=10 3,在Rt△APE中,AP=√5,PE=1,AE=2,∴EQ=AQ﹣AE=103−2=43,∴tan∠BQM=PEEQ=143=34;②作CH⊥AB于H,则CH ∥PD ,∴△CHQ ∽△DEQ ,∴CQ DQ =CH DE =QH EQ ,由(2)知,CH =2,AH =4,若PM ∥BC ,∴BM DM =CQ DQ ,∵CH ∥PD ,∴QH EQ =CH DE =CQ DQ ,∠PQA =∠CBA =∠CAB ,设PE =x ,∵tan ∠CAB =12,∴AE =QE =2x ,DE =4x ,∴QH =4﹣4x ,又∵QH EQ =CH DE , ∴24x =4−4x 2x , ∴x =34,∴BM DM =CQ DQ =CH DE =12x =23; 若PM ∥AD ,如图,∴BMMD=BQAQ,PCAP=CQDQ,∵CH∥PD,∴△CHQ∽△EDQ,∴CHDE=CQDQ=HQEQ,∴PCAP=CHDE,∵∠CAB=∠ADE,∴tan∠CAB=tan∠ADE=1 2,∵CH=2,AH=4,设PE=x,则AE=2x,DE=4x,由勾股定理得:AP=√5x,∴PC=2√5−√5x=√5(2﹣x),∵PCAP=CHDE,∴√5(2−x)√5x=24x,∴x=3 2,∵PM∥AD,AD⊥AC,∴PM⊥AC,∴∠EPQ=∠CAB,∴EQ=12PE=34,∴AQ=AE+EQ=3+34=154,BQ=8−154=174,∴BMMD=BQAQ=1715,综上所述,若PM∥BC,BMDM =23,若PM∥AD,BMDM =17 15.35.【解答】解:(1)∵一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差,叫做这个角的勾股差,∴直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差.∴等腰三角形的底角的勾股差为腰的平方+底边的平方+另一腰的平方.∵等腰三角形的两个腰相等,∴等腰三角形的底角的勾股差为底边的平方=22=4.故答案为:两直角边的平方和与斜边的平方的差;4;(2)①∵CD是△ABC的中线,AB=2c,∴AD=BD=c.依据勾股差的定义可得:m=c2+d2﹣b2,n=c2+d2﹣a2;②过点C作CM⊥AB于点M,如图,在Rt△ACM中,由勾股定理得:b2=CM2+AM2,同理可得:a2=CM2+BM2,CM2=d2﹣MD2.∴a2+b2=2CM2+AM2+BM2.∵AD=BD=c,∴AM=AD﹣MD=c﹣MD,BM=BD+MD=c+MD.∴a2+b2=2(d2﹣MD2)+(c﹣MD)2+(c+MD)2=2d2﹣2MD2+c2﹣2cMD+MD2+c2+2cMD+MD2=2d2+2c2.由(1)知:m=c2+d2﹣b2,n=c2+d2﹣a2,∴m+n=c2+d2﹣b2+c2+d2﹣a2=2c2+2d2﹣(a2+b2)=0.∴m与n互为相反数.(3)∵DF AB =34, ∴设DF =3m ,AB =4m .∵F 是BC 的中点,CD ⊥BD ,∴DF =12BC .∴BC =2DF =6m .∵点E 与F 分别是AB 与BC 的中点,∴CF =DF =BF =3m ,BE =AE =2m .∵点E 与F 分别是AB 与BC 的中点,∴利用(2)中的结论可得:BF 2+DF 2﹣BD 2+CF 2+DF 2﹣CD 2=0,BE 2+DE 2﹣BD 2+AE 2+DE 2﹣AD 2=0.∴4DF 2=BD 2+CD 2,2AE 2+2DE 2=BD 2+AD 2.∵CD =AD ,∴BD 2+CD 2=BD 2+AD 2.∴4DF 2=2AE 2+2DE 2.∴2×(3m )2=(2m )2+DE 2.解得:DE =√14m .∴DE DF =√14m 3m √143. 36.【解答】解:(1)不存在矩形丙,使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立.理由: 假定存在矩形丙,∵C 丙C 乙=S 丙S 乙=12, ∴矩形丙的两个邻边之和为7,它的面积为24.设两条邻边长分别为x 和7﹣x ,由题意得:x (7﹣x )=24.∴x 2﹣7x +24=0.∵Δ=(﹣7)2﹣4×1×24=﹣47<0,∴此方程没有实数根,∴不存在矩形丙,使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立. (2)∵矩形A 两条邻边长分别为m 和1,∴若存在矩形B ,使得C BC A =S B S A =12成立,则矩形B 的邻边之和为m+12. 设矩形B 的一边为x ,则另一边为m+12−x ,由题意得: x (m+12−x )=m×12. 化简得:2x 2﹣(m +1)x +m =0.由题意方程2x 2﹣(m +1)x +m =0一定有实数根.∴Δ=[﹣(m +1)]2﹣4×2m ≥0.解得:m ≥3+2√2或m ≤3﹣2√2.∵m 为矩形A 的边长,∴m >0.∴m 的取值范围为:0<m ≤3﹣2√2或m ≥3+2√2.(3)由(2)可知:对于任意一个矩形A ,不一定存在矩形B ,使得C BC A =S B S A =12成立. 当矩形A 两条邻边长a ,b 满足0<b a ≤3﹣2√2或b a≥3+2√2时,一定存在矩形B . 37.【解答】解:(1)如图1,∵AD =3,DE =2AE ,∴AE =1,DE =2,取AB 的中点G ,连接GF ,并延长交CD 于H ,∵F 是BE 的中点,∴FG =12AE =12,FG ∥AD ,在矩形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A =90°,∴四边形AGHD 是平行四边形,∴▱AGHD 是矩形,。
2022年中考数学真题分类汇编:四边形(含答案)
2022年数学中考试题汇编四边形一、选择题1.(2022·江苏省)从十边形的一个顶点出发分别连接这个顶点与其它的顶点,可把这个多边形分成个三角形.( )A. 7B. 8C. 9D. 102.(2022·内蒙古自治区通辽市)正多边形的每个内角为108°,则它的边数是( )A. 4B. 6C. 7D. 53.(2022·广西壮族自治区柳州市)如图,四边形ABCD的内角和等于( )A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°4.(2022·湖南省怀化市)一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是( )A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形5.(2022·河北省)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是( )A. α−β=0B. α−β<0C. α−β>0D. 无法比较α与β的大小6.(2022·广东省云浮市)如图,在▱ABCD中,一定正确的是( )A. AD=CDB. AC=BDC. AB=CDD. CD=BC7.(2022·四川省内江市)如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 88.(2022·四川省达州市)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,BC边的中点,点F在DE的延长线上.添加一个条件,使得四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( )A. ∠B=∠FB. DE=EFC. AC=CFD. AD=CF9.(2022·河北省)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )A. B.C. D.10.(2022·浙江省舟山市)如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF//AC,GF//AB,则四边形AEFG的周长是( )A. 32B. 24C. 16D. 811.(2022·浙江省绍兴市)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.(2022·浙江省嘉兴市)如图,在△ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF//AC,GF//AB,则四边形AEFG的周长是( )A. 8B. 16C. 24D. 3213.(2022·江苏省常州市)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点.若DE=2,则BC的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 614.(2022·广东省)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( )A. 485B. 325C. 245D. 12515.(2022·浙江省绍兴市)将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )A. 252B. 454C. 10D. 35416.(2022·陕西省)在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是( )A. AB=ADB. AC⊥BDC. AB=ACD. AC=BD17.(2022·广西壮族自治区河池市)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )A. AB=ADB. AC⊥BDC. AC=BDD. ∠DAC=∠BAC18.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,其中一张纸条在转动过程中,下列结论一定成立的是( )A. 四边形ABCD周长不变B. AD=CDC. 四边形ABCD面积不变D. AD=BC19.(2022·江苏省泰州市)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F、G与点C的距离分别为d2、d3,则d1+d2+d3的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 420.(2022·内蒙古自治区包头市)如图,在矩形ABCD中,AD>AB,点E,F分别在AD,BC边上,EF//AB,AE=AB,AF与BE相交于点O,连接OC.若BF=2CF,则OC与EF之间的数量关系正确的是( )A. 2OC =√5EFB. √5OC =2EFC. 2OC =√3EFD. OC =EF二、填空题21. (2022·江苏省泰州市 )正六边形的一个外角的度数为______°.22. (2022·山东省青岛市 )图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC 的度数是______°.23. (2022·上海市 )如图所示,在▱ABCD 中,AC ,BD 交于点O ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.24. (2022·山东省临沂市 )如图,在正六边形ABCDEF 中,M ,N 是对角线BE 上的两点.添加下列条件中的一个:①BM =EN ;②∠FAN =∠CDM ;③AM =DN ;④∠AMB =∠DNE.能使四边形AMDN 是平行四边形的是______(填上所有符合要求的条件的序号).25. (2022·甘肃省 )如图,在四边形ABCD 中,AB//DC ,AD//BC ,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABCD 成为一个矩形,只需添加的一个条件是______.26.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是______.27.(2022·广西壮族自治区河池市)如图,把边长为1:2的矩形ABCD沿长边BC,AD的BE=2,中点E,F对折,得到四边形ABEF,点G,H分别在BE,EF上,且BG=EH=25 AG与BH交于点O,N为AF的中点,连接ON,作OM⊥ON交AB于点M,连接MN,则tan∠AMN=______.28.(2022·江苏省南通市)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD//BC,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E.若AD=4,CE=3,则DE的长为______ .三、解答题(29.(2022·湖北省随州市)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形.(1)求证:AE=CF;(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CF的长.30.(2022·广西壮族自治区贺州市)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且ED=BF,连接AF,CE,AC,EF,且AC与EF相交于点O.(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;(2)若AC平分∠FAE,AC=8,tan∠DAC=3,求四边形AFCE的面积.431.(2022·浙江省温州市)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点,O是DF的中点,EO的延长线交线段BD于点G,连结DE,EF,FG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.(2)当AD=5,tan∠EDC=5时,求FG的长.232.(2022·湖北省鄂州市)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD.(1)求证:DF=CF;(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.33.(2022·贵州省遵义市)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,BC上.(1)求证:△ADE≌△CDG;(2)若AE=BE=2,求BF的长.34.(2022·湖南省邵阳市)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.35.(2022·贵州省贵阳市)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF//AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.1.【答案】B【解析】解:从十边形的一个顶点出发分别连接这个顶点与其它的顶点,可把这个多边形分成的三角形的个数为:10−2=8(个).故选:B.2.【答案】D【解析】解:方法一:∵正多边形的每个内角等于108°,∴每一个外角的度数为180°−108°=72°,∴边数=360°÷72°=5,方法二:设多边形的边数为n,由题意得,(n−2)⋅180°=108°⋅n,解得n=5,所以,这个多边形的边数为5.故选:D.3.【答案】C【解析】解:四边形ABCD的内角和为360°.故选:C.4.【答案】A【解析】解:设多边形的边数为n,(n−2)⋅180°=900°,解得:n=7.故选:A.5.【答案】A【解析】解:∵任意多边形的外角和为360°,∴α=β=360°.∴α−β=0.故选:A.6.【答案】C【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,故选:C.7.【答案】B【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB//CD,∴∠ABM=∠CMB,∵BM是∠ABC的平分线,∴∠ABM=∠CBM,∴∠CBM=∠CMB,∴MC=BC=8,∴DM=CD−MC=12−8=4,故选:B.8.【答案】B【解析】解:∵D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,AC,∴DE//AC,DE=12A、当∠B=∠F,不能判定AD//CF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;B、∵DE=EF,∴DE=1DF,2∴AC=DF,∵AC//DF,∴四边形ADFC为平行四边形,故本选项符合题意;C、根据AC=CF,不能判定AC=DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;D、∵AD=CF,AD=BD,∴BD=CF,由BD=CF,∠BED=∠CEF,BE=CE,不能判定△BED≌△CEF,不能判定CF//AB,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;故选:B.9.【答案】D【解析】解:A、80°+110°≠180°,故A选项不符合条件;B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形,故B选项不符合题意;C、不能判断出任何一组对边是平行的,故C选项不符合题意;D、有一组对边平行且相等是平行四边形,故D选项符合题意;故选:D.10.【答案】C【解析】解:∵EF//AC,GF//AB,∴四边形AEFG是平行四边形,∠B=∠GFC,∠C=∠EFB,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠EFB,∠GFC=∠C,∴EB=EF,FG=GC,∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG,∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG=AB+AC,∵AB=AC=8,∴四边形AEFG的周长是AG+AC=8+8=16,故选:C.11.【答案】C【解析】解:连接AC,MN,BD,它们交于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,只要OM=ON,那么四边形MENF就是平行四边形,∵点E,F是BD上的动点,∴存在无数个平行四边形MENF,故①正确;只要MN=EF,OM=ON,则四边形MENF是矩形,∵点E,F是BD上的动点,∴存在无数个矩形MENF,故②正确;只要MN⊥EF,OM=ON,则四边形MENF是菱形,∵点E,F是BD上的动点,∴存在无数个菱形MENF,故③正确;只要MN=EF,MN⊥EF,OM=ON,则四边形MENF是正方形,而符合要求的正方形只有一个,故④错误;故选:C.12.【答案】B【解析】解:∵EF//AC,GF//AB,∴四边形AEFG是平行四边形,∠B=∠GFC,∠C=∠EFB,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠EFB,∠GFC=∠C,∴EB=EF,FG=GC,∵四边形AEFG的周长=AE+EF+FG+AG,∴四边形AEFG的周长=AE+EB+GC+AG=AB+AC,∵AB=AC=8,∴四边形AEFG的周长=AB+AC=8+8=16,故选:B.13.【答案】B【解析】解:∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE,∵DE=2,∴BC=4,故选:B.14.【答案】C【解析】解:∵AB=6,BC=8,∴矩形ABCD的面积为48,AC=√62+82=10∴AO=DO=12AC=5,∵对角线AC,BD交于点O,∴△AOD的面积为矩形ABCD面积的14,∴△AOD的面积=12,∵EO⊥AO,EF⊥DO,∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,即12=12AO×EO+12DO×EF,∴12=12×5×EO+12×5×EF,∴5(EO+EF)=24,∴EO +EF =245,故选:C . 15.【答案】A【解析】解:如图1所示,∠DFE =∠BCE =∠BEF =90°,∴∠DEF +∠EDF =∠DEF +∠BEC ,∴∠EDF =∠BEC ,∴△DFE∽△ECB , 则DF EC =FE CB =DE EB ,设DF =x ,CE =y ,∵EF =AB =9,BC =7,CD =6,AD =2,BE =AF =DF +AD =x +2, 则x y =97=6+y 2+x ,解得{x =274y =214,且适合此方程组, ∴DE =CD +CE =6+214=454,故选项B 不符合题意; EB =DF +AD =274+2=354,故选项D 不符合题意;如图2所示,同法可得,△DCF∽△FEB ,则DC FE =CF EB =DFFB ,设FC =m ,FD =n ,则69=m n+2=n m+7,解得{m =8n =10,且适合此方程组, ∴FD =10,故选项C 不符合题意;BF =FC +BC =8+6=14,因此,剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是252.故选:A . 16.【答案】D【解析】解:A.∵▱ABCD 中,AB =AD ,∴▱ABCD 是菱形,故选项A 不符合题意;B .∵▱ABCD 中,AC ⊥BD ,∴▱ABCD 是菱形,故选项B 不符合题意;C .▱ABCD 中,AB =AC ,不能判定▱ABCD 是矩形,故选项C 不符合题意;D .∵▱ABCD 中,AC =BD ,∴▱ABCD 是矩形,故选项D 符合题意;故选:D .17.【答案】C【解析】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴∠BAC =∠DAC ,AB =AD ,AC ⊥BD ,故A 、B 、D 正确,无法得出AC =BD ,故选:C .18.【答案】D【解析】解:由题意可知:AB//CD ,AD//BC ,∴四边形ABCD 为平行四边形,∴AD =BC ,故选:D .19.【答案】C【解析】解:如图,连接AE ,∵四边形DEFG 是正方形,∴∠EDG=90°,EF=DE=DG,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ADE=∠CDG,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,∴d1+d2+d3=EF+CF+AE,∴点A,E,F,C在同一条线上时,EF+CF+AE最小,即d1+d2+d3最小,连接AC,∴d1+d2+d3最小值为AC,在Rt△ABC中,AC=√2AB=2√2,∴d1+d2+d3最小=AC=2√2,故选:C.20.【答案】A【解析】解:过点O作OH⊥BC于H,∵在矩形ABCD中,EF//AB,AE=AB,∴四边形ABFE是正方形,∴OH=12EF=12BF=BH=HF,∵BF=2CF,∴CF=EF=2OH,∴OC=√5OH,即2OC=√5EF,故选:A.21.【答案】60【解析】解:∵正六边形的外角和是360°,∴正六边形的一个外角的度数为:360°÷6=60°,故答案为:60.22.【答案】60【解析】解:如图,∵∠BAD =∠BAE =∠DAE ,∠BAD +∠BAE +∠DAE =360°, ∴∠BAD =∠BAE =∠DAE =120°,∵BC//AD ,∴∠ABC =180°−120°=60°,故答案为:60.23.【答案】−2a ⃗ +b ⃗【解析】解:因为四边形ABCD 为平行四边形,所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ .故答案为:−2a ⃗ +b⃗ . 24.【答案】①②④【解析】解:①连接AD ,交BE 于点O ,∵正六边形ABCDEF 中,∠BAO =∠ABO =∠OED =∠ODE =60°, ∴△AOB 和△DOE 是等边三角形,∴OA =OD ,OB =OE ,又∵BM =EN ,∴OM =ON ,∴四边形AMDN 是平行四边形,故①符合题意;②∵∠FAD =∠CDM ,∠CDA =∠DAF ,∴∠OAN =∠ODM ,∴AN//DM ,又∵∠AON=∠DOM,OA=OD,∴△AON≌△DOM(ASA),∴AN=DM,∴四边形AMDN是平行四边形,故②符合题意;③∵AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN,∴△ABM与△DEN不一定全等,不能得出四边形AMDN是平行四边形,故③不符合题意;④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE,∴△ABM≌△DEN(AAS),∴AM=DN,∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNM+∠DNE=180°,∴∠AMN=∠DNM,∴AM//DN,∴四边形AMDN是平行四边形,故④符合题意.故答案为:①②④.25.【答案】∠A=90°(答案不唯一)【解析】解:需添加的一个条件是∠A=90°,理由如下:∵AB//DC,AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故答案为:∠A=90°(答案不唯一).26.【答案】20【解析】解:∵DE//AC,CE//BD,∴四边形OCED是平行四边形,∴OC=DE,OD=CE,∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OC=12AC=5,OD=12BD,BD=AC,∴OC=OD=5,∴OC=OD=CE=DE,∴平行四边形OCED是菱形,∴菱形OCED的周长=4OC=4×5=20,故答案为:20.27.【答案】58【解析】解:∵点E,F分别是BC,AD的中点,∴AF=12AD,BE=12BC,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD//BC,AD=BC,∴AF=BE=12AD,∴四边形ABEF是矩形,由题意知,AD=2AB,∴AF=AB,∴矩形ABEF是正方形,∴AB=BE,∠ABE=∠BEF=90°,∵BG=EH,∴△ABG≌△BEH(SAS),∴∠BAG=∠EBH,∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°,∴∠AOB=90°,∵BG=EH=25BE=2,∴BE=5,∴AF=5,在Rt△ABG中,根据勾股定理得,AG=√AB2+BG2=√29,∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG,∴△AOB∽△ABG,∴OAAB =OBBG=ABAG,∴OA5=OB2=√29,∴OA=√29,OB=√29,∵OM⊥ON,∴∠MON=90°=∠AOB,∴∠BOM=∠AON,∵∠BAG+∠FAG=90°,∠ABO+∠EBH=90°,∠BAG=∠EBH,∴∠OBM=∠OAN,∴△OBM∽△OAN,∴OBOA =BMAN,∵点N是AF的中点,∴AN=12AF=52,∴√2925√29=BM52,∴BM=1,∴AM=AB−BM=4,在Rt△MAN中,tan∠AMN=ANAM =524=58,故答案为:58.28.【答案】1【解析】解:∵AD//BC,∴∠ADB=∠EBC,∵CE⊥BD,∠A=90°,∴∠A=∠BEC=90°,在△ABD和△ECB中,{∠A=∠BEC∠ADB=∠EBC BD=CB,∴△ABD≌△ECB(AAS),∴AD=BE=4,AB=CE=3,BD=BC,由勾股定理可得:BC=√BE2+CE2=√42+32=5,∴DE=BD−BE=5−4=1,故答案为:1.29.【答案】(1)证明:∵四边形BEDF为正方形,∴DF=EB,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,∴DC−DF=AB−EB,∴CF=AE,即AE=CF;(2)解:∵平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,四边形BEDF为正方形,∴5DE=20,DE=EB,∴DE=EB=4,∴AE=AB−EB=5−4=1,由(1)知:AE=CF,∴CF=1.30.【答案】(1)证明:∵在平行四边形ABCD中,AD=BC.AE//FC,∵ED=BF,∴AD−ED=BC−BF,∴AE=FC,∴四边形AFCE是平行四边形;(2)解:∵AE//FC,∴∠EAC=∠ACF,∴∠EAC=∠FAC,∴∠ACF=∠FAC,∴AF=FC,∵四边形AFCE是平行四边形,∴平行四边形AFCE是菱形,AC=4,AC⊥EF,∴AO=12,在Rt△AOE中,AO=4,tan∠DAC=34∴EO=3,∴S△AEO=1AO⋅EO=6,2=4S△AEO=24.S菱形31.【答案】(1)证明:∵E,F分别是AC,AB的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF//BC,∴∠EFO=∠GDO,∵O是DF的中点,∴OF=OD,在△OEF和△OGD中,{∠EFO=∠GDO OF=OD∠EOF=∠GOD,∴△OEF≌△OGD(ASA),∴EF=GD,∴四边形DEFG是平行四边形.(2)解:∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵E是AC的中点,∴DE=12AC=CE,∴∠C=∠EDC,∴tanC=ADCD =tan∠EDC=52,即5CD =52,∴CD=2,∴AC=√AD2+CD2=√52+22=√29,∴DE=12AC=√292,由(1)可知,四边形DEFG是平行四边形,∴FG=DE=√292.32.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OC=12AC,OD=12BD,AC=BD,∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC,∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,∴∠CDF=∠DCF,∴DF=CF;(2)解:由(1)可知,DF=CF,∵∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,∴CD=DF=6,∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴OC=OD=6,∴BD=2OD=12,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴BC=√BD2−CD2=√122−62=6√3,∴S矩形ABCD=BC⋅CD=6√3×6=36√3.33.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,四边形HEFG是菱形,∴AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB,∴∠ADB−∠EHB=∠CDB−∠GHB,即∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD,∴△ADE≌△CDG(SAS);(2)解:过E作EQ⊥DF于Q,则∠EQB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AD=AB=AE+EF=2+2=4,∠EBQ=∠CBD=45°,∴∠QEB=45°=∠EBQ,∴EQ=BQ,∵BE=2,∴2EQ2=22,∴EQ=BQ=√2(负数舍去),在Rt△DAE中,由勾股定理得:DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5,∵四边形EFGH是菱形,∴EF=DE=2√5,∴QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2,∴BF=QF−QB=3√2−√2=2√2.34.【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形;∵OE=OA=OF,∠AOE=∠AOF=90°,∴△AOE≌△AOF(SAS),∴AE=AF,∴菱形AECF是正方形.35.【答案】解:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,AB//CD,又∵MF//AD,∴四边形AMFD为矩形,∴AD=MF,∵BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,∴∠MFN=∠BAE=90°,∠FMN+∠BMO=∠BMO+MBO=90°,∴∠FMN=∠MBO,在△ABE和△FMN中,{AD=MF∠A=∠MFN∠ABO=∠FMN,∴△ABE≌△FMN9(ASA);(2)连接ME,∵BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,∴BM=EM,设BM=ME=x,∴AM=8−x,在△AME中,x2=(8−x)2+62,∴x=254,∴BM=254,∵∠MOB=∠A=90°,∠B是公共角,∴△BOM∽△BAE,∴OM:AE=BM:BE,∵AB=8,AE=6,∴BE=√AB2+AE2=10,∴OM:6=25:10,4∴OM=15,4∵△ABE≌△FMN,∴NM=BE=10,∴ON=MN−MO=25.4。
中考数学四边形专题训练50题(含答案)
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1.若正多边形的一个外角是24°,则这个正多边形( )A .正十二边形B .正十五边形C .正十八边形D .正二十边形 2.若平行四边形中两个相邻内角的度数比为1:2,则其中较小的内角是( ) A .120︒ B .90︒ C .60︒ D .45︒ 3.如图,四边形ABCD ∽四边形EFGH ,80E ∠=︒,90G ∠=︒,120D ∠=︒,则B ∠等于( )A .50︒B .60︒C .70︒D .80︒ 4.已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ,则这个三角形的周长是( )A .13cmB .26cmC .24cmD .65cm 5.如图,正方形ABCD 中,E ,F 分别在边AD ,CD 上,AF ,BE 相交于G ,若34AE ED =,DF CF =,则AG GF 的值是( )A .59B .611C .713D .1115 6.在平行四边形ABCD 中,∠B =60°,那么下列各式中,不能成立的是( ) A .∠D =60° B .∠A =120° C .∠C +∠D =180° D .∠C +∠A =180°7.下列说法中,不正确的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形8.对角线互相平分且相等的四边形是()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形9.如图,过O外一点P作O的两条切线PD、PB,切点分别为D、B,作直径∠的度数为()AB,连接AD、BD,若80P∠=︒,则AA.50°B.60°C.70°D.80°10.如图,在∠ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE∠AB于E,PF∠AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为()A.1B.1.3C.1.2D.1.5∠=︒,11.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若148∠=︒,则B232∠的度数为().A.124°B.114°C.104°D.56°12.下列说法正确的是()A.矩形的对角线相互垂直B.菱形的对角线相等C.平行四边形是轴对称图形D.等腰梯形的对角线相等13.如图,正方形ABCD中,AB=12,点E在边CD上,且BG=CG,将△ADE沿AE 对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,下列结论:∠△EAG=45°:∠CE=3DE;∠AG∠CF;∠S△FGC=725,其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,若AB=6,EF=2,则BC的长为()A.8B.10C.12D.1415.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD=3,M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E、F分别为D M,MN的中点,则EF长度的最大值为() .A.4B.3C.D.16.下列说法错误的是()A.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B.矩形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形17.如图所示,将正六边形与正五边形按此方式摆放,正六边形与正五边形的公共顶点为O,且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线,则∠COF的度数是()A.86°B.84°C.76°D.74°18.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,ABE DEF,AB=,26DF=,则BE的长是()DE=,3D.A.12B.15C.19.如图,在一张矩形纸片ABCD中4BC=,点E,F分别在AD,BC上,AB=,8将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的点H处,点D落在点G处,连接CE,CH.有以下四个结论:∠四边形CFHE是菱形;∠CE平分∠DCH;∠线段BF的EF=.以上结论中,其中正确结取值范围为34BF≤≤;∠当点H与点A重合时,5论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题=,连接AE交CD于F,那么20.四边形ABCD是正方形,延长BC至E,使CE AC∠的度数为________.AFC21.M为矩形ABCD中AD的中点,P为BC上一点,PE∠MC,PF∠MB,当AB、BC 满足_________时,四边形PEMF为矩形.22.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点.将∠A,∠B,∠C按如图所示的方式向内翻折,EQ ,EF ,DF 为折痕.若A ,B ,C 恰好都落在同一点P 上,AE =1,则ED =___.23.如图,△ABC 内接于∠O ,∠BAC =120°,AB =AC ,BD 为∠O 的直径,CD =8,OA 交 BC 于点 E ,则 AE 的长度是________.24.如图,在正五边形ABCDE 中,AC 为对角线,以点A 为圆心,AE 为半径画圆弧交AC 于点F ,连结EF ,则∠1的度数为__.25.如图,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD 内,装饰图中的三角形顶点E ,F 分别在边AB ,BC 上,三角形∠的边GD 在边AD 上,若图1正方形中MN=1,则CD=____.26.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,CD 上的点,连接AE ,EF ,AF ,若DF BE EF +=,则EAF ∠=______︒.27.如图,已知抛物线24=-+的顶点为D,与y轴交于点C,过点C作x轴的y x x c平行线AC交抛物线于点A,过点A作y轴的平行线AB交射线OD于点B,若OA OB=,则c的值为_____________.28.如图,点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点,且HG 与EF交于点I,连接HE、FG,若AB=7,BC=6,EF//AD,HG//AB,则HE+FG的最小值是______.29.在□ABCD中,∠A:∠B=2:3,则∠B=____,∠C=_____,∠D=____.30.如图,菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF、DF,则∠DFC的度数是_____.'沿对角线AC折叠,得到如图所示的图形.若∠BAO=34°,则31.把长方形AB CD∠BAC的大小为_______.32.如图,M 是▭ABCD 的AB 的中点,CM 交BD 于E ,则图中阴影部分的面积与▱ABCD 的面积之比为_____.33.如图,矩形ABCD 中,AD=6,P 为边AD 上一点,且AP=2,在对角线BD 上寻找一点M ,使AM+PM 最小,则AM+PM 的最小值为_____.34.如图,在▱ABCD 中,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,E 在AD 上,BE=12cm ,CE=5cm .则▱ABCD 的周长为_____,面积为_____.35.在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ,我们把点11,Q y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点P 的“逆倒数点”.如图,在矩形OABC 中,点B 的坐标为(48),,反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形对角线交点M .点D 是该反比例函数图象上的点,点E 是对角线上的一点,且点E 是点D 的“逆倒数点”,点E 的坐标为______.36.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,M 是边AD 上一点,连接OM ,过点O 作ON ∠OM ,交CD 于点N .若四边形MOND 的面积是1,则AB 的长为 _____.37.如图,点E 为正方形ABCD 外一点,且ED CD =,连接AE ,交BD 于点F .若40CDE ∠=,则∠DCF 的度数为_______.38.如图,在矩形ABCD 中,5,3AB BC ==,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ,点A 落在矩形ABCD 的边CD 上,连接CE ,则CE 的长是 _____ .39.如图,点E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点,满足∠EDF =45°.连接DE 、DF 分别交正方形对角线AC 于点H 、G ,再连接EG ,有如下结论:∠AE CF EF +>;∠ED 始终平分∠AEF ;∠∠AEH ∠∠DGH ;∠DE ;∠14DGH DEF S S =△△.在上述结论中,正确的有______.(请填正确的序号)三、解答题40.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,ABC 的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上.(利用格点和没有刻度的直尺作图,保留作图痕迹)(1)在方格纸1中画出ADC △,使ADC △与ABC 关于直线AC 对称;(2)在方格纸2中画出以EF 线段为一边的平行四边形(点G ,点H 均在小正方形的顶点上),且平行四边形面积为4;(3)在方格纸3中,连接FM ,在FM 上确定一点P ,使得点P 为FM 中点. 41.如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAD 的平分线交CD 于点E ,连接BE 并延长交AD 延长线于点F ,若AB =AF .(1)求证:点D 是AF 的中点;(2)若∠F =60︒,CD =6,求∠ABF 的面积.42.如图1,在等腰ABO 中,AB AO =,分别延长AO 、BO 至点C 、点D ,使得CO AO =、DO BO =,连接AD 、BC .()1如图1,求证:AD BC =;()2如图2,分别取边AD 、CO 、BO 的中点E 、F 、H ,猜想EFH 的形状,并说明理由.43.如图,在矩形ABCD 中,M ,N 分别是AD ,BC 的中点,E ,F 分别是线段BM ,CM 的中点,若AB=8,AD=12,则四边形ENFM 的周长是多少?44.如图∠,在矩形OACB 中,点A 在x 轴正半轴上,点B 在y 轴正半轴上,点C 在第一象限,8OA =,6OB =.(1)直接写出点C 的坐标:________;(2)如图∠,点G 在BC 边上,连接AG ,将ACG 沿AG 折叠,点C 恰好与线段AB 上一点C '重合,求线段CG 的长度;(3)如图∠,P 是直线26y x =-上一点,PD PB ⊥交线段AC 于D .若P 在第一象限,且PB PD =,试求符合条件的所有点P 的坐标.45.直线443y x =-+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中,其中点D 在x 轴负半轴上,直线y =x +m 经过点C ,交x 轴于点E .(1)请直接写出点C ,点D 的坐标,并求出m 的值;(2)点P (0,t )是线段OB 上的一个动点(点P 不与O 、B 重合),经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ,交CE 于N .当四边形NEDM 是平行四边形时,求点P 的坐标;(3)点P (0,t )是y 轴正半轴上的一个动点,Q 是平面内任意一点,t 为何值时,以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?46.如图,在Rt ∠ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6.动点P 从点A 出发,沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动.当点P 不与点A 重合时,过点P 作PD ∠AC 于点D ,以AP ,AD 为边作▱APED .设点P 的运动时间为t 秒.(1)线段AD的长为(用含t的代数式表示).(2)当点E落在BC边上时,求t的值.(3)连结BE,当tan∠CBE=13时,求t的值.(4)若线段PE的中点为Q,当点Q落在∠ABC一边垂直平分线上时,直接写出t的值.47.如图,BC为∠O的直径,BD平分∠ABC交∠O于点D,DA∠AB于点A.(1)求证:AD是∠O的切线;(2)∠O交AB于点E,若AD=2AE,求sin ABC∠的值.48.如图1,已知在四边形ABCD中,AB//CD,90ABC∠=︒,8BC=,6CD=,1tan2A=.动点P从点D DA方向运动,到A点结束;点Q同时从点A出发,以3个单位的速度沿射线AB运动,点P停止运动后,点Q 也随之停止.以AP,AQ为边作平行四边形AQGP.设运动时间为t.(1)求AB的长;(2)连接GC 、GB ,当CGB △为等腰三角形时,求t 的值;(3)如图2,以PQ 为直径作圆与AD 、PG 分别交于点M 、N ,连接MQ 交PG 于点F ,连接NQ 、DG ,∠当点N 为弧MQ 的中点时,求PMQPNQ S S △△的值;∠当PQM CDG ∠=∠时,求PQ =______(请直接写出答案).49.思维启迪:(1)如图1,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ,连接BC ,取BC 的中点P (点P 可以直接到达A 点),利用工具过点C 作CD∠AB 交AP 的延长线于点D ,此时测得CD =100米,那么A ,B 间的距离是_____米.思维探索:(2)在∠ABC 和∠ADE 中,AC =BC ,AE =DE ,且AE <AC ,∠ACB =∠AED =90°,将∠ADE 绕点A 逆时针方向旋转,把点E 在AC 边上时∠ADE 的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC 的两侧),设旋转角为α,连接BD ,点M 是线段BD 的中点,连接MC ,ME .∠如图2,当∠ADE 在起始位置时,猜想:MC 与ME 的数量关系和位置关系分别是______;∠如图3,当α=90°时,点D 落在AB 边上,请判断MC 与ME 的数量关系和位置关系,并证明你的结论;参考答案:1.B【详解】分析:利用任意凸多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出答案.详解:∠多边形的每个外角相等,且其和为360°,∠这个正多边形的边形为3602415o o ÷=,∠这个正多边形是正十五边形.故选B.点睛:考查了正多边形外角和的知识,正多边形的每个外角相等,且其和为360°,用360除以一个外角的度数,结果即为正多边形的边形.2.C【分析】根据平行四边形的性质来解答即可.【详解】解:∠平行四边形,∠两个相邻内角互补,又∠两个相邻内角的度数比为1:2,∠两个相邻的内角为60°、120°,∠较小的内角为60°.故选:C .【点睛】本题考查平行四边形的性质,熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键. 3.C【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为360︒解答即可.【详解】解:∠四边形ABCD ∽四边形EFGH∠120H D ∠=∠=︒∠360()70B F E G H ∠=∠=︒-∠+∠+∠=︒故选:C .【点睛】本题考查了相似多边形的性质、多边形的内角和;理解相似多边形的对应角相等是解题的关键.4.B【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出三角形的三边,再求解即可.【详解】解:∠三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm,∠三角形的三边分别为6cm,8cm,12cm,∠这个三角形的周长=6+8+12=26cm.故选:B.【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,解题的关键是熟记三角形中位线的性质定理.5.B【分析】延长AF交BC的延长线于点H,证明∠ADF∠∠HCF,得到CH=AD,设AE=3x,则DE=4x,AD=7x,证得∠AEG∠∠HBG,得到AE AGBH HG==314,即可求出AGGF【详解】解:延长AF交BC的延长线于点H,∠四边形ABCD是正方形,∠∠D=∠DCH=90°,AD∥BC,∠∠DAF=∠H,∠DF CF=,∠∠ADF∠∠HCF(AAS),∠CH=AD,设AE=3x,则DE=4x,AD=7x,∠CH=AD=BC=7x,∠AD∥BC,∠∠AEG∠∠HBG,∠AE AGBH HG==314,∠AGGF =6 11,故选:B.【点睛】此题考查了正方形的性质,相似三角形的性质,全等三角形的判定及性质,熟记各定理是解题的关键.6.D【详解】解:∠四边形ABCD是平行四边形,∠∠D=∠B=60°.故A成立;∠AD△BC,∠∠A+∠B=180°,∠∠A=180°-∠B=120°,故B成立;∠AD△BC,∠∠C+∠D=180°,故C成立;∠四边形ABCD是平行四边形,∠∠C=∠A=120°,故D不成立,故选D.7.B【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案.【详解】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确;B、错误,对角线相等的四边形不一定是矩形,对角线相等的平行四边形才是矩形;C、对角线互相垂直的矩形是正方形,正确;D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,正确.故选:B.【点睛】本题主要考查了正方形、平行四边形、菱形的判定方法.解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定.8.B【分析】根据平行四边形的判定与矩形的判定定理,即可求得答案.【详解】∠对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,∠对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形.故选B.【点睛】此题考查了平行四边形,矩形,菱形以及等腰梯形的判定定理.此题比较简单,解题的关键是熟记定理.9.A【分析】如图,连接OD ,可得90ODP OBP ∠=∠=︒,再利用四边形的内角和定理求解BOD ∠,从而可得答案.【详解】解:如图,连接OD ,∠过O 外一点P 作O 的两条切线PD 、PB ,∠90ODP OBP ∠=∠=︒,∠80P ∠=︒,∠360909080100DOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒, ∠1502A DOB ∠=∠=︒, 故选A .【点睛】本题考查的是切线的性质,四边形的内角和定理的应用,圆周角定理的应用,作出过切点的半径是解本题的关键.10.C【分析】首先证明四边形AEPF 为矩形,可得AM =12AP ,最后利用垂线段最短确定AP 的位置,利用面积相等求出AP 的长,即可得AM .【详解】在△ABC 中,因为AB 2+AC 2=BC 2,所以△ABC 为直角三角形,∠A =90°,又因为PE ∠AB ,PF ∠AC ,故四边形AEPF 为矩形,因为M 为 EF 中点,所以M 也是 AP 中点,即AM =12AP ,故当AP ∠BC 时,AP 有最小值,此时AM 最小, 由1122ABC S AB AC BC AP ∆=⨯⨯=⨯⨯,可得AP =125,AM =12AP =6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ∠BC 时AM 最小是解题关键.11.A【分析】根据折叠、平行四边形的性质,三角形的内角和定理,即可求出答案.【详解】解:由折叠得,45∠=∠,∠四边形ABCD 是平行四边形,∠AB CD ,∠53∠=∠,∠3=4∠∠,又∠13448∠=∠+∠=︒, ∠154348242∠=∠=∠=⨯︒=︒, 在ABC 中,180521802432124B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,故选:A .【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质,三角形的内角和定理等知识,由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键.12.D【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的性质进行逐一分析解答即可.【详解】A 、错误,矩形的对角线相等;B 、错误,菱形的对角线相互垂直;C 、错误,平行四边形是中心对称图形;D 、正确,等腰梯形的对角线相等.故选D . 【点睛】此题考查命题与定理,解题关键在于掌握正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉其性质定理.13.C【分析】∠由正方形的性质和翻折的性质可证明Rt△ABG∠Rt△AFG(HL),推出∠BAG=∠F AG,根据∠DAE=∠F AE,可得∠EAG=12∠BAD=45°;∠由题意得EF=DE,GB=CG=GF=6,设DE=EF=x,则CE=12-x,在Rt△ECG中,(12-x)2+36=(x+6)2,求出x,则可得到CE=2DE;∠由CG=BG,BG=GF,可得CG=GF,则∠GFC=∠GCF,因为∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF,可推出∠AGB=∠GCF,则AG∠CF;∠由S△GCE=12×GC×CE,又因为△GFC和△FCE等高,可得S△GFC:S△FEC=3:2,S△GFC=3 5×24=725.【详解】解:∠∠正方形ABCD,∠AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠GCE=∠D=90°,由折叠的性质可得,AF=AD,∠AFE=∠D=90°,∠∠AFG=90°=∠B,AB=AF,又∠AG=AG,∠Rt△ABG∠Rt△AFG(HL),∠∠BAG=∠F AG,∠∠DAE=∠F AE,∠∠EAG=12∠BAD=45°,故∠正确;∠由题意得EF=DE,GB=CG=GF=6,设DE=EF=x,则CE=12-x,在Rt∠ECG中,(12-x)2+62=(x+6)2,∠x=4,∠DE=4,CE=8,∠CE=2DE,故∠错误;∠∠CG=BG,BG=GF,∠CG=GF,∠∠GFC=∠GCF,∠Rt∠ABG∠Rt∠AFG,∠∠AGB=∠AGF,∠∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF,∠∠AGB=∠GCF,∠AG∠CF,故∠正确;∠∠S△GCE=12×GC×CE=12×6×8=24,又∠GF=6,EF=4,∠GFC和∠FCE等高,∠S△GFC:S△FEC=3:2,∠S△GFC=35×24=725,故∠正确;综上,正确的是∠∠∠,共3个.故选:C.【点睛】本题考查翻折变换的性质、正方形的性质,本题综合性很强,熟练掌握全等三角形的判定和性质,勾股定理,三角形面积的计算方法是解题的关键.14.B【详解】试题分析:根据平行四边形的性质可知AB=CD,AD∠BC,AD=BC,然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF,DE=CD,因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12,解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛:此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质,解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段,根据等量代换可求解.15.B【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN,从而可知DN最大时,EF最大,因为N与B重合时DN最大,此时根据勾股定理求得DN=DB=6,从而求得EF的最大值为3.【详解】解:∠ED=EM,MF=FN,∠EF=12DN,∠DN最大时,EF最大,∠N与B重合时DN最大,此时DN=DB=6,∠EF的最大值为3.故选:B.【点睛】本题考查了三角形中位线定理,勾股定理的应用,熟练掌握定理是解题的关键.16.C【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案;【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半,故正确,不符合题意;B、矩形的对角线相等,正确,不符合题意;C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形,错误,符合题意;D、对角线相等的菱形是正方形,正确,不符合题意;故选C.【点睛】考查了命题与定理的知识,在判断一个命题正误的时候可以举出反例.17.B【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF,∠BOC,∠BOE即可解决问题.【详解】解:由题意:∠EOF=108°,∠BOC=120°,∠OEB=72°,∠OBE=60°,∠∠BOE=180°﹣72°﹣60°=48°,∠∠COF=360°﹣108°﹣48°﹣120°=84°,故选:B.【点睛】本题考查正多边形,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于常考题型.18.C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长,再利用勾股定理求解即可.【详解】解:∠ABE DEF,∠AB AE DE DF,∠623AE =,∠9AE=,∠矩形ABCD中,90A∠=︒,∠BE故选:C.【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理,解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解.19.B【分析】先根据翻折的性质可得CF=FH,∠HFE=∠CFE,可证∠FEH是等腰三角形,可得HE=HF=FC,判断出四边形CFHE是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明,判断出∠正确;根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH,然后求出只有∠DCE=30°时CE平分∠DCH,判断出∠错误;过点F作FM∠AD于M,点H与点A 重合时,设BF=x,表示出AF=FC=8﹣x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值,点G与点D重合时,CF=FM=MD=CD,求出BF=4,然后写出BF的取值范围,判断出∠正确;求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出∠正确.【详解】解:∠将纸片ABCD沿直线EF折叠,∠FC=FH,∠HFE=∠CFE,∠AD△BC,∠∠HEF=∠EFC=∠HFE,HE△FC,∠∠HFE为等腰三角形,∠HE=HF=FC,∠EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分,∠EH△CF,且HE=FC,∠四边形CFHE是平行四边形,∠FC=FH,∠四边形CFHE是菱形,故∠正确;∠HC为菱形的对角线,∠∠BCH=∠ECH,∠BCD=90°,∠只有∠DCE=30°时CE平分∠DCH,故∠错误;过点F作FM∠AD于M,点H与点A重合时,BF最小,设BF=x,则AF=FC=8﹣x,在Rt∠ABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8﹣x)2,解得:x=3,点G与点D重合时,点H与点M重合,BF最大,CF=FM=DM=CD=4,∠BF=4,∠线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故∠正确;当点H与点A重合时,由∠中BF=3,∠AF=AE=CF=EC=8-3=5,则ME=5﹣3=2,由勾股定理得,EF=∠错误;综上所述,结论正确的有∠∠共2个,故B正确.故选:B.【点睛】本题考查矩形折叠性质,等腰三角形的判定,菱形的判定与性质,勾股定理,掌握矩形折叠性质,菱形的判定与性质,勾股定理是解题关键.20.112.5【分析】根据正方形的性质有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC,根据CE=AC就可以求出∠CAE=22.5°,在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数.【详解】解:∠四边形ABCD是正方形,∠∠ACD=∠ACB=45°.∠∠ACB═∠CAE+∠AEC,∠∠CAE+∠AEC=45°.∠CE=AC,∠∠CAE=∠AEC,∠∠CAE=22.5°.∠∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°,∠∠AFC=180°-22.5°-45°=112.5°.故答案为112.5°.【点睛】本题考查了正方形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用.21.12AB BC =##2BC AB =【详解】∠在矩形ABCD 中,M 为AD 边的中点,AB=12BC ,∠AB =DC =AM =MD ,∠A =∠D =90°,∠∠ABM =∠MCD =45°,∠∠BMC =90°,又∠PE ∠MC ,PF ∠MB ,∠∠PFM =△PEM =90°,∠四边形PEMF 是矩形.故答案为:AB =12BC .22.3【分析】连接,EP DP ,根据折叠的性质得出三角形全等,根据三角形全等的性质得出对应边相等,由ED EP PD =+,利用等量代换分别求出,EP PD .【详解】解:连接,EP DP 如下图所示:根据A ,B ,C 恰好都落在同一点P 上及折叠的性质,有,,AQE PQE EBF EPF FPD FCD ≌≌≌,1,1,AE PE EB EP CD PD ∴=====,2AB AE EB =+=,根据正方形的性质得:2AB DC ==,2PD ∴=,ED EP PD =+,123ED ∴=+=,故答案是:3.【点睛】本题考查了翻折的性质,三角形全等的性质,解题的关键是添加辅助线,通过等量代换的思想进行解答.23.4【分析】证明△OAB 是等边三角形,OA ∠BC 即可推出OE =AE ,再利用三角形中位线定理即可解决问题.【详解】解:∠AB =AC ,∠AB AC =,∠OA ∠BC ,BE =EC ,AB =AC∠∠ABC 是等腰三角形∠∠BAE =∠CAE =12∠BAC =60°,∠OA =OB ,∠∠OAB 是等边三角形,∠BE ∠OA ,∠OE =AE ,∠OB =OD ,BE =EC ,∠ OE是△BCD的中位线∠OE=AE=12CD=4.故答案为:4.【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心,圆周角定理,垂径定理,三角形的中位线定理,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.24.54°【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC,根据等腰三角形的性质,三角形内角和的定理计算∠BAC,再求∠EAF,利用圆的性质得AE=AF,最后求出∠1即可.【详解】解:∠五边形ABCDE是正五边形,∠∠EAB=∠ABC=()5-21805⨯︒=108°,∠BA=BC,∠∠BAC=∠BCA=180-1082︒︒=36°,∠∠EAF=108°﹣36°=72°,∠以点A为圆心,AE为半径画圆弧交AC于点F,∠AE=AF,∠∠1=180-722︒︒=54°.故答案为:54°.【点睛】本题考查了正多边形的内角与圆,熟练掌握正多边形的内角的计算公式、和圆的性质,等腰三角形的性质是解题的关键.25122【分析】根据七巧板中图形分别是等腰直角三角形和正方形计算PH的长,即FF'的长,作高线GG',根据直角三角形斜边中线的性质可得GG'的长,即AE的长,可得结论.【详解】解:如图:∠四边形MNQK是正方形,且MN=1,∠∠MNK=45°,在Rt△MNO中,OM=ON∠NL=PL=OL∠PN=12,∠PQ=12,∠∠PQH是等腰直角三角形,∠PH=FF'BE,过G作GG'∠EF',∠GG'=AE=12MN=12,∠CD=AB=AE+BE=12122.故答案为122.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、七巧板、等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.熟悉七巧板是由七块板组成的,完整图案为一正方形:五块等腰直角三角形(两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形)、一块正方形和一块平行四边.26.45【分析】延长CB到G,使BG=DF,根据正方形的性质得到AD=AB,∠D=∠ABE=90°,求得∠ABG=∠D=90°,根据全等三角形的性质得到AG=AF,∠GAB=∠DAF,求得GE=EF,推出∠AGE∠∠AFE(SSS),根据全等三角形的性质得到∠GAE=∠EAF,根据全等三角形的性质即可得到结论.【详解】解:延长CB到G,使BG=DF,∠四边形ABCD是正方形,∠AD=AB,∠D=∠ABE=90°,∠∠ABG =∠D =90°,在∠ADF 与∠ABG 中,AB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠∠ADF ∠∠ABG (SAS ),∠AG =AF ,∠GAB =∠DAF ,∠DF +BE =EF ,EG =BG +BE =DF +BE ,∠GE =EF ,在∠AGE 与∠AFE 中,AG AF AE AE GE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∠∠AGE ∠∠AFE (SSS ),∠∠GAE =∠EAF ,∠∠GAE =∠GAB +∠BAE =∠DAF +∠BAE =∠EAF ,∠∠BAD =90°,∠∠EAF =45°,故答案为:45.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.27.83【分析】根据抛物线的解析式求得4DH c =-,BF AF OC c ===,然后根据三角形中位线定理得到142c c -=,解得即可. 【详解】解:作抛物线的对称轴,交OA 于E ,交x 轴于H ,∠224()42y x x c x c =-+=-+-,∠顶点为(2)4c -,,∠4DH c =-,∠AC x ∥轴,∠AF OC c AB x ==⊥,轴,∠OA OB =,∠AF BF c ==,∠OH FH =, ∠12DH BF =, ∠142c c -= ∠83c =, 故答案为:83. 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合运用,熟练掌握三角形的中位线定理是解决本题的关键.28【分析】由EF ∠AD ,HG ∠AB ,结合矩形的性质可得四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形,然后根据矩形的性质可的HE +FG 的长度即为AI +CI 的长度,最后利用两点之间,线段最短,求出AC 的长即可.【详解】解:如图所示,连接AI ,CI ,AC ,在矩形ABCD 中,∠BAD =∠BCD =∠B =90°,AB ∠CD ,AD ∠BC ,又∠EF ∠AD ,HG ∠AB ,∠四边形AHIE和四边形IFCG为矩形,∠HE=AI,FG=CI,∠HE+FG的长度即为AI+CI的长度,又∠AI+CI≥AC,∠当A,I,C三点共线时,AI+CI最小值等于AC的长度,在Rt∠ABC中,AC∠HE+FG【点睛】本题考查矩形的判定和性质以及两点之间,线段最短的运用,正确判定四边形AHIE和四边形IFCG为矩形,运用矩形的对角线相等是解题的关键.29.108º,72º,108º【详解】解:∠平行四边形ABCD中,∠A+∠B=180°,又∠∠A:∠B=2:3,∠∠A=72°,∠B=108°,∠∠D=∠B=108°,∠C=∠A=72°.故答案为108º,72º,108º.30.130°【分析】首先求出∠CFB=130°,再根据对称性可知∠CFD=∠CFB即可解决问题.【详解】∠四边形ABCD是菱形,∠BCD=25°,∠∠ACD=∠ACB=12∠EF垂直平分线段BC,∠FB=FC,∠∠FBC=∠FCB=25°,∠∠CFB=180°﹣25°﹣25°=130°,根据对称性可知:∠CFD=∠CFB=130°,故答案为130°.【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.31.62°【分析】先利用AAS 证明∠AOB∠∠COD ,得出∠BAO=∠DCO=34°,∠B′CO=68°,结合折叠的性质得出∠B′CA=∠BCA=34°,则∠BAC=∠B′AC=56°.【详解】由题意,得∠B′CA∠∠BCA ,∠AB′=AB ,∠B′CA=∠BCA ,∠B′AC=∠BAC .∠长方形AB′CD 中,AB′=CD ,∠AB=CD .在∠AOB 与∠COD 中,90B D AOB COD AB CD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==== , ∠∠AOB∠∠COD (AAS ),∠∠BAO=∠DCO=34°,∠∠B′CO=90°-∠DCO=56°,∠∠B′CA=∠BCA=28°,∠∠B′AC=90°-∠B′CA=62°,∠∠BAC=∠B′AC=62°.【点睛】考查了折叠的性质、矩形的性质和全等三角形的判定与性质,解题关键是证明∠AOB∠∠COD ,得出∠BAO=∠DCO=34°是解题的关键.32.1:3【详解】试题解析:设平行四边形的面积为1,∠四边形ABCD 是平行四边形, ∠12DAB ABCD S S =,又∠M 是ABCD 的AB 的中点, 则1124DAM DAB ABCD S S S ==,1,2BE MB DE CD == ∠EMB △上的高线与DAB 上的高线比为1.3BE BD ==∠1113212 EMB DABS S=⨯=,∠143 DEC MEBS S,==S阴影面积1111141233 =---=,则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为13.故填空答案:13.33.【详解】分析:作DH平分∠BDC交BC于H.连接AH交BD于M.首先证明P、H关于BD对称,连接AH交BD于M,则AM+PM的值最小,最小值=AH.详解:作DH平分∠BDC交BC于H.连接AH交BD于M.∠四边形ABCD是矩形,∠∠C=∠BAD=∠ADC=90°,∠tan∠ADB=ABAD∠∠ADB=30°,∠∠BDC=60°,∠∠CDH=30°,∠CD∠CH2,△DH=2CH=4,∠DP=DH,∠∠MDP=∠MDH,∠P、H关于BD对称,连接AH交BD于M,则AM+PM的值最小,最小值=AH=点睛:本题考查了矩形的性质,解直角三角形,勾股定理,含30º角的直角三角形的性质,轴对称的性质,作DH平分∠BDC交BC于H.连接AH交BD于M.说明P和H关于BD成轴对称是解答本题的关键.34.39cm60cm2【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE.根据直角三角形的勾股定理得到BC=13cm,根据等腰三角形的性质得到AB=CD=12AD=12CD=6.5cm,从而求得该平行四边形的周长;根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高.【详解】∠BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,∠∠1=∠3=12∠ABC,∠DCE=∠BCE=12∠BCD,在▱ABCD中,AB=CD,AD=BC,AD∠BC,AB∠CD,∠AD∠BC,AB∠CD,∠∠2=∠3,∠BCE=∠CED,∠ABC+∠BCD=180°,∠∠1=∠2,∠DCE=∠CED,∠3+∠BCE=90°,∠AB=AE,CD=DE,∠BEC=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理得:BC=13cm,∠平行四边形的周长等于:AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm;作EF∠BC于F,根据直角三角形的面积公式得:EF=·6013BE CEBC=cm,∠平行四边形ABCD的面积=BC·EF=601313⨯=60cm2,故答案为39cm,60cm2.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等,在平行四边形中,当出现角平分线时,一般可构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质解题.。
中考数学专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案
中考专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案一.选择题(共9小题)1.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF;④CG与BD 一定不垂直;⑤∠BGE的大小为定值.其中正确的结论个数为()A.4 B.3 C.2 D.12.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF =2S△ABE,其中结论正确的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH 与AC交于点M,以下结论:①FH=2BH;②AC⊥FH;③S△ACF=1;④CE=AF;⑤EG2=FG•D G,其中正确结论的个数为()A .2B .3C .4D .54.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别为BC 、CD 的中点,连接AE ,BF 交于点G ,将△BCF 沿BF 对折,得到△BPF ,延长FP 交BA 延长线于点Q ,下列结论正确的个数是( )①AE=BF ;②AE ⊥BF ;③sin ∠BQP=;④S 四边形ECFG =2S △BGE .A .4B .3C .2D .15.如图,在矩形ABCD 中,BC=AB ,∠ADC 的平分线交边BC 于点E ,AH ⊥DE 于点H ,连接CH 并延长交边AB 于点F ,连接AE 交CF 于点O ,给出下列命题:(1)∠AEB=∠AEH (2)DH=2EH (3)OH=AE (4)BC ﹣BF=EH其中正确命题的序号( )A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(2)(4)D .(1)(3)6.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,动点F ,E 分别以相同的速度从D ,C 两点同时出发向C 和B 运动(任何一个点到达即停止),过点P 作PM ∥CD 交BC 于M 点,PN ∥BC 交CD 于N 点,连接MN ,在运动过程中,则下列结论:①△ABE≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PE•BF;⑤线段MN的最小值为.其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于G,交CD于H.在下列结论中:①△ABM≌△DCN;②∠DAF=30°;③△AEF是等腰直角三角形;④EC=CF;⑤S△HCF=S△ADH,其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个8.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四边形CDEF =S△AEF,其中正确的结论有()个.A .①②B .①②③C .①②④D .①②③④9.如图,正方形ABCD 的边CD 与正方形CGFE 的边CE 重合,O 是EG 的中点,∠EGC 的平分线GH 过点D ,交BE 于H ,连接OH 、FH 、EG 与FH 交于M ,对于下面四个结论:①GH ⊥BE ;②HO BG ;③点H 不在正方形CGFE 的外接圆上;④△GBE ∽△GMF . 其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个评卷人 得 分二.填空题(共7小题)10.如图,在正方形ABCD 外取一点E ,连接AE 、BE 、DE .过点A 作AE 的垂线交DE 于点P .若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD ≌△AEB ;②EB ⊥ED ;③点B 到直线AE 的距离为;④S △APD +S △APB =1+;⑤S 正方形ABCD =4+.其中正确结论的序号是 .11.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,E 是边BC 上的动点,BF ⊥AE 交CD 于点F ,垂足为G ,连结CG .下列说法:①AG >GE ;②AE=BF ;③点G 运动的路径长为π;④CG 的最小值为﹣1.其中正确的说法是 .(把你认为正确的说法的序号都填上)12.如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠DAB=60°,AE 分别交BC 、BD 于点E 、F ,CE=2,连接CF ,以下结论:①△ABF ≌△CBF ;②点E 到AB 的距离是2;③tan ∠DCF=;④△ABF 的面积为.其中一定成立的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上).13.如图,在矩形ABCD 中,AB=2,AD=,在边CD 上有一点E ,使EB 平分∠AEC .若P 为BC 边上一点,且BP=2CP ,连接EP 并延长交AB 的延长线于F .给出以下五个结论:①点B 平分线段AF ;②PF=DE ;③∠BEF=∠FEC ;④S 矩形ABCD =4S △BPF ;⑤△AEB是正三角形.其中正确结论的序号是 .14.如图,在矩形ABCD 中,AD=AB ,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,DH ⊥AE 于点H ,连接BH 并延长交CD 于点F ,连接DE 交BF 于点O ,下列结论: ①∠AED=∠CED ;②OE=OD ;③BH=HF ;④BC ﹣CF=2HE ;⑤AB=HF ,其中正确的有 .15.如图所示,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连结AE,CE.延长CE到F,连结BF,使得BC=BF.若AB=1,则下列结论:①AE=CE;②F 到BC的距离为;③BE+EC=EF;④;⑤.其中正确的是.16.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm.点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动,到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回;点Q 从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PC﹣CB﹣BQ于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点A时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t 秒(t>0),则当t=秒时,四边形BQDE为直角梯形.评卷人得分三.解答题(共34小题)17.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE:CD的值;(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.点P在边AC上运动,过点P作PD ⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作▱PADE.设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x(0<x≤6).(1)求线段PE的长(用含x的代数式表示).(2)当点E落在边BC上时,求x的值.(3)求y与x之间的函数关系式.(4)直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值.19.问题探究(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;问题解决(3)如图③,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N 分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM 和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.20.如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N 分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.(1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;(2)求点P到直线CD距离的最大值;(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此时AE、AF的长;若不存在,请说明理由.21.如图①,正方形ABCD边长为1,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'(0°<α<90°),C'D'与直线CD相交于点E,C'B'与直线CD相交于点F.问题发现:(1)试猜想∠EAF=;三角形EC'F的周长.问题探究:如图②,连接B'D'分别交AE,AF于P,Q两点.(2)在旋转过程中,若D'P=a,QB'=b,试用a,b来表示PQ,并说明理由.(3)在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值,若存在,请求出这个值;若不存在,请说明理由.22.如图,在矩形ABCD中,AB=CD=4cm,AD=BC=6cm,AE=DE=3cm,点P从点E出发,沿EB方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ⊥CD?(2)设四边形PBCQ的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S四边形PBCQ :S四边形PQDE=22:5?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(4)是否存在某一时刻t,使A,P,Q三点在同一直线上?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.23.已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射线BC任取一点M,联结DM,作∠MDN=∠BDC,∠MDN的另一边DN交直线BC 于点N(点N在点M的左侧).(1)当BM的长为10时,求证:BD⊥DM;(2)如图(1),当点N在线段BC上时,设BN=x,BM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;(3)如果△DMN是等腰三角形,求BN的长.24.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点P是边AD上的动点(点P不与点A、点D重合),点Q是边CD上一点,联结PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ.(1)当QD=QC时,求∠ABP的正切值;(2)设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式;(3)联结BQ,在△PBQ中是否存在度数不变的角?若存在,指出这个角,并求出它的度数;若不存在,请说明理由.25.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动点(点P不与点B、D重合),过点P作PF⊥BD,交射线BC于点F.联结AP,画∠FPE=∠BAP,PE交BF于点E.设PD=x,EF=y.(1)当点A、P、F在一条直线上时,求△ABF的面积;(2)如图1,当点F在边BC上时,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;(3)联结PC,若∠FPC=∠BPE,请直接写出PD的长.26.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG ≌△AEF;(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.27.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE :S菱形ABCD=17:40?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由.28.如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.(1)当t=时,△PQR的边QR经过点B;(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.29.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C 重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为:.②BC,CD,CF之间的数量关系为:;(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.30.已知:四边形ABCD中,对角线的交点为O,E是OC上的一点,过点A作AG⊥BE于点G,AG、BD交于点F.(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,求证:OE=OF;(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°.探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由;(3)如图3,若四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=α,且AC⊥BD.结合上面的活动经验,探究线段OE与OF的数量关系为(直接写出答案).31.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD 上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M 作MG⊥EM,交直线BC于点G.(1)若M为边AD中点,求证△EFG是等腰三角形;(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值.32.已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证:CF+CD=BC;(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC 的两侧,其他条件不变;①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC 的长度.33.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF :S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.34.如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.①求证:△AGE≌△AFE;②若BE=2,DF=3,求AH的长.(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.35.给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.①求证:△BCE是等边三角形;②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.36.如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.(1)AM=,AP=.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值(3)如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由②使四边形AQMK为正方形,则AC=.37.已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)求CF的长;(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.38.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm,E点F点分别为AB,AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)求菱形AEDF的面积;(3)若H从F点出发,在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动,点P从B 点出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动,问当t为何值时,四边形BPHE是平行四边形?当t取何值时,四边形PCFH是平行四边形?39.如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M 作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?并说明理由.(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.40.如图(1),E是正方形ABCD的边BC上的一个点(E与B、C两点不重合),过点E作射线EP⊥AE,在射线EP上截取线段EF,使得EF=AE;过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:FG=BE;(2)连接CF,如图(2),求证:CF平分∠DCG;(3)当=时,求sin∠CFE的值.41.如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B、E、F三点共线时,两点同时停止运动,此时BF⊥CE.设点E移动的时间为t(秒).(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;(2)求当t为何值时,EC是∠BED的平分线;(3)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(4)求当t为何值时,△EFC是等腰三角形.(直接写出答案)42.如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E 处,连结BE.(1)求证:∠BAE=2∠CBE;(2)如图2,连BG交AE于M,点N为BE的中点,连MN、AF,试探究AF与MN的数量关系,并证明你的结论;(3)若AB=5,BC=3,直接写出BG的长.43.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.(1)如图(1),在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;(2)如图(2),在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上D′点,过D′作D′G∥AO交E′F于T点,交OC于G点,求证:TG=AE′;(3)在(2)的条件下,设T(x,y).①探求:y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.44.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A 出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).(1)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形.(2)当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?(3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形(不考虑QD=PD)?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由.45.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,其中点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),点D为对角线OB上一个动点(不包括端点),∠BCD的平分线交OB于点E.(1)求线段OB所在直线的函数表达式,并写出CD的取值范围.(2)当∠BCD的平分线经过点A时,求点D的坐标.(3)点P是线段BC上的一个动点,求CD十DP的最小值.46.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,E为AB的中点,连接CE,BD,过点E作FE⊥CE于点E,交AD于点F,连接CF,已知2AD=AB=BC.(1)求证:CE=BD;(2)若AB=4,求AF的长度;(3)求sin∠EFC的值.47.如图①,在长方形ABCD中,AB=DC=3cm,BC=5cm,点P从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为ts.(1)PC=cm.(用含t的代数式表示);(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP,请说明理由;(3)如图②,当点P从点B开始运动时,点Q从点C出发,以acm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样a的值,使得△ABP与△PCQ全等?若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.48.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA>OB.(1)求OA、OB的长.(2)若点E为x轴上的点,且S=,试判断△AOE与△AOD是否相似?并△AOE说明理由.(3)在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形?如果存在,请直接写出点F的坐标.49.如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=l0cm.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t 秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.50.如图,点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点,连接AE,过点C作CF⊥AE于F,连接BF.(1)如图1,当点E在CB的延长线上,且AC=EC时,求证:BF=;(2)如图2,当点E在线段BC上,且AE平分∠BAC时,求证:AB+BE=AC;(3)如图3,当点E继续往右运动到BC中点时,过点D作DH⊥AE于H,连接BH.求证:∠BHF=45°.四边形综合题集参考答案与试题解析一.选择题(共9小题)1.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF;④CG与BD ①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG一定不垂直;⑤∠BGE的大小为定值.其中正确的结论个数为()A.4 B.3 C.2 D.1【分析】①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;②证明∠BGE=60°=∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC=∠DGC=60°,过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S=S四边形BCDG,易求后者的面积;四边形CMGN③过点F作FP∥AE于P点,根据题意有FP:AE=DF:DA=1:3,则FP:BE=1:6=FG:BG,即BG=6GF;④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,当点E,F分别是AB,AD中点时,CG⊥BD;⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°.【解答】解:①∵ABCD为菱形,∴AB=AD,∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形,∴∠A=∠BDF=60°,又∵AE=DF,AD=BD,∴△AED ≌△DFB ,故本选项正确;②∵∠BGE=∠BDG +∠DBF=∠BDG +∠GDF=60°=∠BCD ,即∠BGD +∠BCD=180°,∴点B 、C 、D 、G 四点共圆,∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°,∴∠BGC=∠DGC=60°,过点C 作CM ⊥GB 于M ,CN ⊥GD 于N (如图1),则△CBM ≌△CDN (AAS ),∴S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ,S 四边形CMGN =2S △CMG ,∵∠CGM=60°,∴GM=CG ,CM=CG ,∴S 四边形CMGN =2S △CMG =2××CG ×CG=CG 2,故本选项错误;③过点F 作FP ∥AE 交DE 于P 点(如图2),∵AF=2FD ,∴FP :AE=DF :DA=1:3,∵AE=DF ,AB=AD ,∴BE=2AE ,∴FP :BE=FP :2AE=1:6,∵FP ∥AE ,∴PF ∥BE ,∴FG :BG=FP :BE=1:6,即BG=6GF ,故本选项正确;④当点E ,F 分别是AB ,AD 中点时(如图3),由(1)知,△ABD ,△BDC 为等边三角形,∵点E ,F 分别是AB ,AD 中点,∴∠BDE=∠DBG=30°,∴DG=BG,在△GDC与△BGC中,,∴△GDC≌△BGC,∴∠DCG=∠BCG,∴CH⊥BD,即CG⊥BD,故本选项错误;⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°,为定值,故本选项正确;综上所述,正确的结论有①③⑤,共3个,故选:B.【点评】此题综合考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定和性质,作出辅助线构造出全等三角形,把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键.2.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF =2S△ABE,其中结论正确的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,得到CE=CF;由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°;设EC=x,由勾股定理得到EF,表示出BE,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE,再通过比较大小就可以得出结论.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.∵△AEF等边三角形,∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.∴∠BAE+∠DAF=30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中,,Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∴CE=CF,故①正确;∵∠BAE=∠DAF,∴∠DAF+∠DAF=30°,即∠DAF=15°,∴∠AEB=75°,故②正确;设EC=x,由勾股定理,得EF=x,CG=x,AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x,∴AG≠2GC,③错误;∵CG=x,AG=x,∴AC=x∴AB=AC•=x,∴BE=x﹣x=x,∴BE+DF=(﹣1)x,∴BE+DF≠EF,故④错误;∵S△CEF=x2,S△ABE=×BE×AB=x×x=x2,∴2S△ABE ═S△CEF,故⑤正确.综上所述,正确的有3个,故选:B.【点评】本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.3.如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH 与AC交于点M,以下结论:①FH=2BH;②AC⊥FH;③S△ACF=1;④CE=AF;⑤EG2=FG•DG,其中正确结论的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF,得AF=AH,再得AC平分∠FAH,则AM既是中线,又是高线,得AC⊥FH,证明BH=HM=MF=FD,则FH=2BH;所以①②都正确;≠1,错误;③可以直接求出FC的长,计算S△ACF④根据正方形边长为2,分别计算CE和AF的长得结论正确;还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得:CN=AF,由CE=CN=AF;⑤利用相似先得出EG2=FG•CG,再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1,则DG=CG,所以⑤也正确.【解答】解:①②如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,∵AE平分∠DAC,∴∠FAD=∠CAF=22.5°,∵BH=DF,∴△ABH≌△ADF,∴AH=AF,∠BAH=∠FAD=22.5°,∴∠HAC=∠FAC,∴HM=FM,AC⊥FH,∵AE平分∠DAC,∴DF=FM,∴FH=2DF=2BH,故选项①②正确;③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,∴△FMC是等腰直角三角形,∵正方形的边长为2,∴AC=2,MC=DF=2﹣2,∴FC=2﹣DF=2﹣(2﹣2)=4﹣2,S△AFC=CF•AD≠1,所以选项③不正确;④AF===2,∵△ADF∽△CEF,∴,∴,∴CE=,∴CE=AF,故选项④正确;⑤延长CE和AD交于N,如图2,∵AE⊥CE,AE平分∠CAD,∴CE=EN,∵EG∥DN,∴CG=DG,在Rt△FEC中,EG⊥FC,∴EG2=FG•CG,∴EG2=FG•DG,故选项⑤正确;本题正确的结论有4个,故选:C.【点评】本题是四边形的综合题,综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定;求边时可以利用三角形相似列比例式,也可以直接利用同角三角函数列式计算;同时运用了勾股定理求线段的长,勾股定理在正方形中运用得比较多.4.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别为BC 、CD 的中点,连接AE ,BF 交于点G ,将△BCF 沿BF 对折,得到△BPF ,延长FP 交BA 延长线于点Q ,下列结论正确的个数是( )①AE=BF ;②AE ⊥BF ;③sin ∠BQP=;④S 四边形ECFG =2S △BGE .A .4B .3C .2D .1【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF ;②AE ⊥BF ;△BCF 沿BF 对折,得到△BPF ,利用角的关系求出QF=QB ,解出BP ,QB ,根据正弦的定义即可求解;根据AA 可证△BGE 与△BCF 相似,进一步得到相似比,再根据相似三角形的性质即可求解.【解答】解:∵E ,F 分别是正方形ABCD 边BC ,CD 的中点,∴CF=BE ,在△ABE 和△BCF 中,,∴Rt △ABE ≌Rt △BCF (SAS ),∴∠BAE=∠CBF ,AE=BF ,故①正确;又∵∠BAE +∠BEA=90°,∴∠CBF +∠BEA=90°,∴∠BGE=90°,∴AE ⊥BF ,故②正确;根据题意得,FP=FC ,∠PFB=∠BFC ,∠FPB=90°∵CD ∥AB ,∴∠CFB=∠ABF ,∴∠ABF=∠PFB ,∴QF=QB ,令PF=k (k >0),则PB=2k在Rt △BPQ 中,设QB=x ,∴x 2=(x ﹣k )2+4k 2,∴x=,∴sin=∠BQP==,故③正确; ∵∠BGE=∠BCF ,∠GBE=∠CBF ,∴△BGE ∽△BCF ,∵BE=BC ,BF=BC , ∴BE :BF=1:,∴△BGE 的面积:△BCF 的面积=1:5,∴S 四边形ECFG =4S △BGE ,故④错误.故选:B.【点评】本题主要考查了四边形的综合题,涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点,解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变,找准对应边,角的关系求解.5.如图,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE 于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:(1)∠AEB=∠AEH (2)DH=2EH(3)OH=AE (4)BC﹣BF=EH其中正确命题的序号()A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(2)(4)D.(1)(3)【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD,由DE平分∠ADC,得到△ADH是等腰直角三角形,△DEC是等腰直角三角形,得到DE=CD,得到等腰三角形求出∠AED=67.5°,∠AEB=67.5°,得到(1)正确;(2)设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,求出HE=﹣1,得到2HE≠1,所以(2)不正确;(3)通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形,从而得到(3)正确;(4)由△AFH≌△CHE,到AF=EH,由△ABE≌△AHE,得到BE=EH,于是得到BC﹣BF=(BE+CE)﹣(AB﹣AF)=(CD+EH)﹣(CD﹣EH)=2EH,从而得到(4)不正确.【解答】解:(1)在矩形ABCD中,AD=BC=AB=CD,∠ADC=∠BCD=90°,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE=45°,∵AH⊥DE,∴△ADH是等腰直角三角形,∴AD=AH,∴AH=AB=CD,∵△DEC是等腰直角三角形,∴DE=CD,∴AD=DE,∴∠AED=67.5°,∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AEH=∠AEB,所以(1)结论正确;(2)设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,∴HE=DE﹣DH=﹣1,∴2HE=2(﹣1)=4﹣2≠1,所以(2)结论不正确;(3)∵∠AEH=67.5°,∴∠EAH=22.5°,∵DH=CD,∠EDC=45°,∴∠DHC=67.5°,∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,∴∠OAH=∠OHA=22.5°,∴OA=OH,∴∠AEH=∠OHE=67.5°,∴OH=OE=OA,∴OH=AE,所以(3)正确;(4)∵AH=DH,CD=CE,在△AFH与△CHE中,,∴△AFH≌△CHE,∴AF=EH,在Rt△ABE与Rt△AHE中,,∴△ABE≌△AHE,∴BE=EH,∴BC﹣BF=(BE+CE)﹣(AB﹣AF)=(CD+EH)﹣(CD﹣EH)=2EH,所以(2)不正确,故选:D.【点评】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,熟记各性质并仔细分析题目条件,根据相等的度数求出相等的角,从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键,也是本题的难点.6.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C 两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),过点P作PM∥CD交BC 于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,则下列结论:①△ABE≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PE•BF;⑤线段MN的最小值为.其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个。
初中数学四边形真题汇编及解析
初中数学四边形真题汇编及解析一、选择题1.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点O是BD的中点,若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为()A.40 B.24 C.20 D.15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,得到AD=CD,推出四边形ABCD是菱形,根据勾股定理得到AO=3,于是得到结论.【详解】∵AB=AD,点O是BD的中点,∴AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD,∴AB=CD,∴四边形ABCD是菱形,∵AB=5,BO12=BD=4,∴AO=3,∴AC=2AO=6,∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8=24,故选:B.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.2.如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若150∠=o,则AEF∠=()A.110°B.115°C.120°D.130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3,再求出∠3,然后根据两直线平行,同旁内角互补列式计算即可得解.【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合,150∠=o,∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°,∵矩形对边AD∥BC,∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°.故选:B.【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质,两直线平行的性质,平角的定义,掌握翻折的性质是解题的关键.3.如图,小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,BC长为10cm.当小莹折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).则此时EC=()cmA.4 B2C.22D.3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8,BC=AD=10,∠B=∠C=90°,再根据折叠的性质得AF=AD=10,DE=EF,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出BF=6,则CF=BC﹣BF=4,设CE=x,则DE=EF=8﹣x,在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=(8﹣x)2,然后解方程即可.【详解】解:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=8,BC=AD=10,∠B=∠C=90°.∵长方形纸片ABCD折纸,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE),∴AF=AD=10,DE=EF,在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,∴BF=226-=AF AB∴CF=BC﹣BF=4.设CE=x,则DE=EF=8﹣x,在Rt△CEF中,∵CF2+CE2=EF2,∴42+x2=(8﹣x)2,解得x=3∴EC的长为3cm.故选:D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用;熟练掌握折叠的性质和矩形的性质,根据勾股定理得出方程是解题关键.4.如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过点P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F,设BP=x,EF=y,则能反映y与x之间关系的图象是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现,因此须先求出函数关系式.分两段求:当P在BO上和P在OD上,分别求出两函数解析式,根据函数解析式的性质即可得出函数图象.解:设AC与BD交于O点,当P在BO上时,∵EF∥AC,∴EF BPAC BO=即43y x=,∴43y x =;当P在OD上时,有643 DP EF y x DO AC-==即,∴y=48 3x-+.故选C.5.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比是3:1,这个多边形的边数是()A.8 B.9 C.10 D.12【答案】A【解析】试题分析:设这个多边形的外角为x°,则内角为3x°,根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180,解可得外角的度数,再用外角和除以外角度数即可得到边数.解:设这个多边形的外角为x°,则内角为3x°,由题意得:x+3x=180,解得x=45,这个多边形的边数:360°÷45°=8,故选A.考点:多边形内角与外角.6.如图,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD上的动点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是()A.95B.125C.165D.245【答案】D【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP=NQ最小,NQ为所求,当NQ⊥AB时,NQ最小,继而利用面积法求出NQ长即可得答案.【详解】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP=NQ最小,NQ为所求,当NQ⊥AB时,NQ最小,∵四边形ABCD是菱形,AC=6,DB=8,∴OA=3,OB=4,AC⊥BD,在Rt△AOB中,22OA OB+,∵S菱形ABCD=12AC BD AB NQ=g g,∴18652NQ ⨯⨯=,∴NQ=245,∴PM+PN的最小值为245,【点睛】本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键.7.四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,∠DHO=20°,则∠CAD的度数是().A.25°B.20°C.30°D.40°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD,AC⊥BD,∵DH⊥AB,∴OH=OB=12BD,∵∠DHO=20°,∴∠OHB=90°-∠DHO=70°,∴∠ABD=∠OHB=70°,∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°.故选A.8.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,则DE的长为()A.65B.85C.125D.245【答案】D【解析】【分析】连接AD,根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6,根据勾股定理求出AD,根据三角形的面积公式求出即可.解:连接AD∵AB=AC ,D 为BC 的中点,BC=12,∴AD ⊥BC ,BD=DC=6,在Rt △ADB 中,由勾股定理得:AD=22221068AB BD =+=, ∵S △ADB=12×AD×BD =12×AB×DE , ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==, 故选D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合)、勾股定理和三角形的面积,能求出AD 的长是解此题的关键.9.如图,在四边形ABCD 中,90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o 连接对角线BD ,过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=,则CD =( )A .2B .1C .13+D 3【答案】B【解析】【分析】 先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=,再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=,∠EDB=∠DBC ,然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ,进而得到EB=ED ,最后在Rt ADE V 中,利用勾股定理即可求解.【详解】解:在四边形ABCD 中∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=,∠EDB=∠DBC在Rt ABD V 和Rt BCD △中∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =+在Rt ADE △中,设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-()2222322x x x ++-=解得:121;73x x ==+(舍去)故选:B .【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用,熟练进行逻辑推理是解题关键.10.如图,在菱形ABCD 中,AB =10,两条对角线相交于点O ,若OB =6,则菱形面积是( )A .60B .48C .24D .96【答案】D【解析】【分析】 由菱形的性质可得AC ⊥BD ,AO =CO ,BO =DO =6,由勾股定理可求AO 的长,即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO =CO ,BO =DO =6,∴AO 22100368AB OB -=-=,∴AC=16,BD=12,∴菱形面积=12162⨯=96,故选:D.【点睛】本题考查了菱形的性质,勾股定理,掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键.11.下列命题中是真命题的是()A.多边形的内角和为180°B.矩形的对角线平分每一组对角C.全等三角形的对应边相等D.两条直线被第三条直线所截,同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定;根据矩形的性质可对B进行判定;根据全等三角形的性质可对C进行判定;根据平行线的性质可对D进行判定.【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3),故该选项是假命题,B.矩形的对角线不一定平分每一组对角,故该选项是假命题,C.全等三角形的对应边相等,故该选项是真命题,D.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故该选项是假命题,故选:C.【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键.12.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把ADE∆绕点A顺时针旋转90︒到ABF∆的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()A.4 B.5C.6 D.26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积,进而可求出正方形的边长,再利用勾股定理得出答案.【详解】ADE ∆Q 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置.∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20, 25AD DC ∴==,2DE =Q ,Rt ADE ∴∆中,2226AE AD DE =+=故选:D .【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质,正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键.13.如图,在□ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ,则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为( )A .7 : 12B .7 : 24C .13 : 36D .13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ,即可解决问题;【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB=CD ,AD=BC ,∵DF=CF ,BE=CE ,∴12DH DF HB AB ==,12BG BE DG AD ==, ∴13DH BG BD BD ==, ∴BG=GH=DH ,∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ,∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ,∴S △AGH :ABCD S 平行四边形=1:6,∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12 EFBD=,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质,题目的综合性很强,难度中等.14.如图,点E F G H、、、分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:①若AC BD=,则四边形EFGH为矩形;②若AC BD⊥,则四边形EFGH 为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,故④选项正确,故选A.【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识,解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC ⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形.15.如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD 于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为()A.1 B.34C.23D.12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形,所以F为GC中点,再由已知条件可得EF为△CBG的中位线,利用中位线的性质即可求出线段EF的长.【详解】∵AD是△ABC角平分线,CG⊥AD于F,∴△AGC是等腰三角形,∴AG=AC=3,GF=CF,∵AB=4,AC=3,∴BG=1,∵AE是△ABC中线,∴BE=CE,∴EF为△CBG的中位线,∴EF=12BG=12,故选:D.【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理,解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.16.如图,在ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有().A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】分析:如图延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点H连接FH.证明△DFE≌△FCG 得EF=FG,BE⊥BG,四边形BCFH是菱形即可解决问题;详解:如图延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点H连接FH.∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF,∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH,∴∠CBF=∠FBH,∴∠ABC=2∠ABF.故①正确,∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG,∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,∴△DFE≌△FCG,∴FE=FG,∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBG=90°,∴BF=EF=FG,故②正确,∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确,∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH,∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形,∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形,∴∠BFC=∠BFH,∵FE=FB,FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,∴∠EFC=3∠DEF,故④正确,故选D.点睛:本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.17.如图a是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是()A.110°B.120°C.140°D.150°【答案】B【解析】【详解】解:∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=20°,图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°,在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,故选B.18.下列结论正确的是()A.平行四边形是轴对称图形B.平行四边形的对角线相等C.平行四边形的对边平行且相等D.平行四边形的对角互补,邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可.【详解】A、平行四边形不一定是轴对称图形,故A错误;B、平行四边形的对角线不相等,故B错误;C、平行四边形的对边平行且相等,故C正确;D、平行四边形的对角相等,邻角互补,故D错误.故选:C.【点睛】此题考查平行四边形的性质,掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键.19.如图,在□ABCD中,延长CD到E,使DE=CD,连接BE交AD于点F,交AC于点G .下列结论中:①DE =DF ;②AG =GF ;③AF =DF ;④BG =GC ;⑤BF =EF ,其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】【分析】 由AAS 证明△ABF ≌△DEF ,得出对应边相等AF=DF ,BF=EF ,即可得出结论,对于①②④不一定正确.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,AB=CD ,即AB ∥CE ,∴∠ABF=∠E ,∵DE=CD ,∴AB=DE ,在△ABF 和△DEF 中,∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, ∴△ABF ≌△DEF (AAS ),∴AF=DF ,BF=EF ;可得③⑤正确,故选:B .【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.20.如图,在平行四边形ABCD 中,将ADC ∆沿AC 折叠后,点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处.若60B ∠=o ,AB=3,则ADE ∆的周长为()A.12 B.15 C.18 D.2【答案】C【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质,即可得到BC=2AB=6,AD=6,再根据△ADE是等边三角形,即可得到△ADE的周长为6×3=18.【详解】由折叠可得,∠ACD=∠ACE=90°,∴∠BAC=90°,又∵∠B=60°,∴∠ACB=30°,∴BC=2AB=6,∴AD=6,由折叠可得,∠E=∠D=∠B=60°,∴∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴△ADE的周长为6×3=18,故选:C.【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定.解题关键在于注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.。
部编版2020年中考数学真题汇编 四边形(填空+选择40题)
四边形(填空+选择40题)一、选择题1.已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D2.下列命题正确的是( )A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分 【答案】D 3.如图,将矩形 沿对角线折叠,点 落在 处,交于点 ,已知,则的度为( )A. B.C.D.【答案】D4.如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 为边CD 的中点,若菱形ABCD 的周长为16,∠BAD =60°,则△OCE 的面积是( )。
A. B . 2 C.D. 4【答案】A5.如图,在中,,的半径为3,则图中阴影部分的面积是()A. B.C.D.【答案】C6.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是()A.B.C.D.【答案】C7.如图,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若∠AGE=32°,则∠GHC 等于()A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】D8.下列命题,其中是真命题的为()A. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D9.如图,点是正方形的边上一点,把绕点顺时针旋转到的位置,若四边形的面积为25,,则的长为()A. 5B.C. 7D.【答案】D10.□ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF【答案】B11.在中,若与的角平分线交于点,则的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定【答案】B12.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为()A.50°B.40°C.30°D.20°【答案】B13.如图,在ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有()。
浙江省2023年中考数学真题(四边形)附答案
浙江省2023年中考数学真题(四边形)一、选择题1.如图矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°则ABBC=()A.12B.√3−12C.√32D.√332.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中∠ABF>∠BAF连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β则n=()A.5B.4C.3D.23.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF 使点D E F分别在边OC OB BC上过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC,∠BOC=30°,DE=2时EH的长为()A.√3B.32C.√2D.434.如图⊙O的圆心O与正方形的中心重合已知⊙O的半径和正方形的边长都为4 则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为().A.√2B.2C.4+2√2D.4−2√25.如图以钝角三角形ABC最长边BC为边向外作矩形BCDE连结AE,AD设△AED△ABE△ACD的面积分别为S,S1,S2若要求出S−S1−S2的值只需知道()A.△ABE的面积B.△ACD的面积C.△ABC的面积D.矩形BCDE的面积6.如图已知矩形纸片ABCD 其中AB=3,BC=4现将纸片进行如下操作:第一步如图①将纸片对折使AB与DC重合折痕为EF 展开后如图②;第二步再将图②中的纸片沿对角线BD折叠展开后如图③;第三步将图③中的纸片沿过点E的直线折叠使点C落在对角线BD上的点H处如图④.则DH的长为()A.32B.85C.53D.9 57.如图在菱形ABCD中AB=1 ∠DAB=60° 则AC的长为()A.12B.1C.√32D.√38.如图在矩形ABCD中O为对角线BD的中点∠ABD=60°.动点E在线段OB上动点F在线段OD上点E,F同时从点O出发分别向终点B,D运动且始终保持OE=OF.点E关于AD,AB的对称点为E1,E2;点F关于BC,CD的对称点为F1,F2.在整个过程中四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形二、填空题9.如图把两根钢条OA OB的一个端点连在一起点C D分别是OA OB的中点.若CD=4cm 则该工件内槽宽AB的长为cm.10.如图在菱形ABCD中∠DAB=40°连结AC以点A为圆心AC长为半径作弧交直线AD于点E连结CE则∠AEC的度数是.11.如图在平面直角坐标系xOy中函数y=kx(k为大于0的常数x>0)图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)满足x2=2x1.△ABC的边AC//x轴边BC//y轴若△OAB的面积为6 则△ABC的面积是.12.如图矩形ABCD中AB=4AD=6.在边AD上取一点E 使BE=BC过点C作CF⊥BE垂足为点F 则BF的长为.13.如图分别以a b m n为边长作正方形已知m>n且满足am-bn=2.an+bm=4.(1)若a=3 b=4 则图1阴影部分的面积是;(2)若图1阴影部分的面积为3.图2四边形ABCD的面积为5 则图2阴影部分的面积是。
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四边形中考真题精选试题及答案
一、选择题
1、(2007福建福州)下列命题中,错误的是( ) A .矩形的对角线互相平分且相等 B .对角线互相垂直的四边形是菱形 C .等腰梯形的两条对角线相等
D .等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
2、(2007山东日照)如图,在周长为20cm 的□ABCD 中,AB ≠AD ,AC 、BD 相交于点O ,OE ⊥BD 交AD 于E ,则△ABE 的周长为( ) (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
3、(2007山东东营)如图2,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,
使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于 ( ) (A )34 (B )33 (C )24 (D )8 4、(2007浙江义鸟)在下列命题中,正确的是( )
A .一组对边平行的四边形是平行四边形
B .有一个角是直角的四边形是矩形
C .有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5、(2007甘肃陇南)顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( ) A .平行四边形 B .菱形 C .矩形 D .正方形
6、(2007浙江绍兴)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 为BC 的
A
B
C
D
O
E
A
B
C
D E
F 图 2
中点,则下列式子中一定成立的是( )
A .AC=2OE
B .BC=2OE
C .AD=OE
D .OB=O
E 7、(2007四川眉山)下列命题中的假命题是( ). A .一组邻边相等的平行四边形是菱形 B .一组邻边相等的矩形是正方形
C . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D .一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
8、(2007浙江嘉兴)如图,在菱形ABCD 中,不一定成立的( )
(A )四边形ABCD 是平行四边形 (B )AC ⊥BD (C )△ABD 是等边三角形
(D )∠CAB =∠CAD
9、(2007浙江金华)国家级历史文化名城——金华,风光秀
丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB EF DC ∥∥,BC GH AD ∥∥,那么下列说法中错误的
是( )
A .红花、绿花种植面积一定相等
B .紫花、橙花种植面积一定相等
C .红花、蓝花种植面积一定相等
D .蓝花、黄花种植面积一定相等
10、(2007四川乐山)如图(1),在平面四边形ABCD 中,
CE AB ⊥,E 为垂足.如果125A =∠,则BCE =∠( )
A
B
C
D 黄 蓝
紫 橙 红 绿 A
G E
D
H
C F B 第10题
A
E B
C
D
图(1)
A.55 B.35 C.25 D.30
11、(2007四川成都)下列命题中,真命题是( ) A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
二、填空题
1、(2007浙江嘉兴)四边形的内角和等于__________.
2、(2007山东临沂)如图,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是
AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。
3、(2007天津)已知矩形ABCD ,分别为AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正三角形CDF ,连接BE 和BF ,则
BF
BE
的值等于 。
4、(2007河北省)如图7,若□ABCD 与□EBCF 关于BC 所在直线对称,∠ABE =90°,则∠F = °.
5、(2007甘肃陇南)顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___.
A
E
C
B
D
G H
F
(第2题图)
第6题图
B
图7
E
F
D
C
A
B
C
D
E
F O
6、(2007湖南怀化)如图,将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形,请写出其中一种四边形的名称
.
7、菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的边长为 。
8、(2007甘肃陇南)如图,矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点
O ,过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ,23AB BC ==,,则
图中阴影部分的面积为 .
9、(2007四川成都)如图,把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点C D ,分别落在C D '',的位置上,EC '交AD 于点G .已知58EFG ∠=°,那么BEG ∠= °. 10、(2007四川成都)如图,如果要使
ABCD 成为一个菱形,
需要添加一个条件,那么你添加的条件是 .
三、解答题
1、(2007恩施自治州)如图7,平行四边形ABCD 的对角线A C 、BD 相交于点O,E 、F
是直线AC 上的两点,并且AE=CF,求证:四边形BFDE 是平行四边形.
2、(2007云南双柏)如图,在梯形纸片ABCD 中,AD//BC ,AD >CD ,将纸片沿过点D 的直线折叠,使点C 落在AD 上的点C 处,折痕DE 交BC 于点E ,连结C′E . 求证:四边形CDC′E 是菱形.
A
B E
C
D
F
G
C '
D '
A D
C
B
A D
E B C
C ′
图7
O
F
E
D
C
B
A
3、(2007甘肃陇南)四边形ABCD、DEFG都是正方形,连
接AE、CG.(1)求证:AE=CG;(2)观察图形,猜想AE
与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.
4、(2007山东青岛)将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.
(1)求证:△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.
A
B C D
E F
D′
参考答案
一.选择题
1.B
2.D
3.A
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.C 10.B 11.D
二.填空题
1.360°
2. AD=BC
3. 1
4. 45°
5.平行四边形
6. 矩形等腰梯形
7. 5
8. 3
9. 64°10.AB=BC
三.解答题
(2)∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD OA=OC(平行四边形对角线相互平分)
又∵AE=CF ①
∴OA+AE=OC+CF
∴OE=OF ②
由①②可知四边形BFDE是平行四边形(对角线相互平分的四边形是平行四边形)
(3)第一种证法:
先证四边形C'DCE是平行四边形(很多种证法)
因为CD=C'D
所以C'DCE是菱形
第二种证法:
∵AD∥BC
∴∠C'DE=∠DEC(两直线平行内错角相等)
由折叠的性质可知∠C'ED=∠DEC ∠C'DE=∠EDC
∴∠C'DE=∠C'ED=∠EDC
∴C'E=C'D CE=CD(等角对等边)
由折叠的性质可知C'D=CD
∴C'E=C'D=CE=CD
∴C'DCE是菱形(四条边相等的四边形是菱形)
(4)(1) △GCD≌△EAD(SAS)易证
可知AE=CG
(2)由△GCD≌△EAD
可知∠CGD=∠AED
AE GD交点记作O AE GC交点记作O'
∠GOA=∠EOD(对顶角相等)
∵∠AED+∠EOD=90°
∴∠CGD+∠GOA=90°
在△GOO'中∠GO'O=90°
∴AE⊥CG
(5)(1)AB=CD=AD' ①
由折叠的性质可知∠AEF=∠FEC
∵AF∥EC
∴∠AFE=∠FEC(两只相平行内错角相等)
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF(等角对等边) ②
由折叠的性质可知AE=CE
∴AF=EC
∴FD=BE ③
由①②③可知△ABE≌△AD′F
12. 由(1)可知AF=EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF为平行四边形
又∵AE=EC
∴平行四边形AECF为菱形。