高中数学必修第一册课后限时训练61 函数的概念与性质
函数的概念与性质（习题）范文
函数的概念与性质（习题）范文第一篇：函数的概念与性质(习题)范文函数的概念和性质(习题)1、（2011浙江）设函数f(x)=⎨⎧-x,x≤0，若f(a)=4，则实数a =（）2⎩x,x>0A．-4或-2B．-4或2C．-2或4D．-2或22、（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）A．y=x33、（2011安徽）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0，f(x)=2x2-x，f(1)=（）A．-3B．-1C．1D．34、（2010广东）若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则（）A．f(x)与g(x)均为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数5、设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）A．f(x)f(-x)是奇函数B．f(x)f(-x)是奇函数B．f(x)为偶函数，g(x)均为奇函数B．y=x+1C．y=-x2+1D．y=2-xD．f(x)为奇函数，g(x)均为偶函数C．f(x)+f(-x)是偶函数D．f(x)-f(-x)是偶函数6、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是（）A．(-∞,2)B．(2,+∞)C．(-∞,-2)Y(2,+∞)D．（－2，2）7、函数y=-e的图象（）A．与y=e的图象关于y轴对称C．与y=e-xxxB．与y=e的图象关于坐标原点对称 D．与y=e-xx的图象关于y轴对称的图象关于坐标原点对称第二篇：2021-2022学年新教材高中数学第三章《函数概念与性质》3.1.1 函数的概念(二)本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。
但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。
(完整版)必修一函数概念与性质练习题大全
函数概念与性质练习题大全函数定义域1、函数x x x y +-=)1(的定义域为 A ．{}0≥x x B ．{}1≥x x C ．{}{}01Y ≥x x D ．{}10≤≤x x2、函数x x y +-=1的定义域为 A ．{}1≤x x B ．{}0≥x x C ．{}01≤≥x x x 或 D ．{}10≤≤x x3、若函数)(x f y =的定义域是[]2,0，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是 A ．[]1,0 B ．[)1,0 C ．[)(]4,11,0Y D ．()1,04、函数的定义域为)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f A ．(][)+∞-∞-,24,Y B ．()()1,00,4Y - C ．[)(]1,00,4Y - D ．[)()1,00,4Y -5、函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为 A ．()+∞,0 B ．(]9,1 C ．()1,0 D ．[)+∞,96、函数41lg )(--=x x x f 的定义域为 A ．()4,1 B ．[)4,1 C ．()()+∞∞-,41,Y D ．(]()+∞∞-,41,Y7、函数21lg )(x x f -=的定义域为 A ．[]1,0 B ．()1,1- C ．[]1,1- B ．()()+∞-∞-,11,Y8、已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=N M IA ．{}1->x xB ．{}1<x xC ．{}11<<-x xD ．Φ9、函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,31 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,31 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,31 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, 10、函数的定义域2log 2-=x y 是A ．()+∞,3B ．[)+∞,3C ．()+∞,4D ．[)+∞,411、函数的定义域x y 2log =是 A ．(]1,0 B ．()+∞,0 C ．()+∞,1 D ．[)+∞,112、函数)1(log 12)(2---=x x x f 的定义域为 ． 函数与值域练习题一、填空题1、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,),(1)2f x y f x f y xy x y R f +=++∈=，则(0)f = ，(2)f -= 。
(完整版)人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题,推荐文档
y 2x2 1 （4） x2 1
（5） y 2x2 4x 3
③ f (x) x0 与 g(x) 1 ；④ f (x) x2 2x 1与 g(t) t2 2t 1。 x0
10.作出函数 y x2 6x 7, x 3,6的图象
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
A．单调递增
B．单调递减
C．先减后增
D．无法判断
3．已知函数 y＝f(x)，x∈A，若对任意 a，b∈A，当 a<b 时，都有 f(a)<f(b)，则方程 f(x)＝0 的根( )
A．有且只有一个
B．可能有两个
C．至多有一个
D．有两个以上
4．设函数 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
（6） y 1 2x x
3.求函数 y x2 4x 6(x 1，5) 的值域
4.求函数 y 2x 2 2x 3 的值域. x2 x 1
函数
单调性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
2020-2021学年高中数学必修一第三章《函数的概念与性质》测试卷一．选择题（共10小题）1．已知函数f （x ）的定义域是[﹣1，1]，则函数g （x ）=1−x的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，1）D ．（0，1]【解答】解：∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]； ∴g （x ）需满足：{−1≤2x −1≤11−x ＞0；解得：0≤x ＜1；∴g （x ）的定义域是[0，1）． 故选：C ．2．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，则函数f （x ）等于（ ） A ．x−23B ．x+23C ．x ﹣1D ．﹣x +1【解答】解：因为f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ， 所以f （1﹣x ）﹣2f （x ）＝1﹣x ， 联立可得，f （x ）=x−23． 故选：A ．3．函数f （2x ﹣1）的定义域是[1，2]，则函数f （x +1）的定义域是（ ） A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[0，2]【解答】解：∵函数f （2x ﹣1）的定义域为[1，2]，∴1≤2x ﹣1≤3， 即函数f （x ）的定义域为[1，3]，∴函数f （x +1）的定义域需满足1≤x +1≤3， 即0≤x ≤2，函数f （x +1）的定义域为[0，2]， 故选：D ．4．若当x ∈[0，m ]时，函数y ＝x 2﹣3x ﹣4的值域为[−254，﹣4]，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，+∞]【解答】解：函数y ＝x 2﹣3x ﹣4＝（x −32）2−254，所以当x =32时，函数有最小值−254． 当y ＝x 2﹣3x ﹣4＝﹣4时，即y ＝x 2﹣3x ＝0，解得x ＝0或x ＝3． 因为函数的定义域为[0，m ]，要使值域为[−254，﹣4]， 则有32≤m ≤3，故选：C ．5．函数f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可得2x ﹣x 2≥0，解可得0≤x ≤2，根据二次函数及复合函数的性质可知，f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（0，1）， 故选：C ．6．函数f （x ）=3x+22x+1，x ∈[3，+∞）的值域是（ ） A ．[117，+∞)B ．[32，+∞)C ．[117，2)D ．(32，117]【解答】解：f （x ）=3x+22x+1=32(2x+1)+122x+1=32+14x+2，∵x ∈[3，+∞）∴f （x ）为减函数∴当x ＝3时，f （x ）=117，取得最大值；当x 接近+∞时，f （x ）接近32， 所以f （x ）的值域为（32，117]．故选：D ．7．已知函数f （x ）＝x 5+ax 3+bx ﹣8，若f （﹣3）＝10，则f （3）＝（ ） A ．﹣26B ．26C ．18D ．10【解答】解：令g （x ）＝x 5+ax 3+bx ，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f （x ）＝g （x ）﹣8，所以f （﹣3）＝g （﹣3）﹣8＝10，得g （﹣3）＝18，又因为g （x ）是奇函数，即g （3）＝﹣g （﹣3）， 所以g （3）＝﹣18，则f （3）＝g （3）﹣8＝﹣26． 故选：A ．8．设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或0【解答】解：由奇函数的性质可知，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，故﹣x 3+（a ﹣1）x 2﹣ax ＝﹣x 3﹣（a ﹣1）x 2﹣ax ， 整理可得，（a ﹣1）x 2＝0即a ﹣1＝0， 所以a ＝1． 故选：B ．9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：m ＝162﹣3x ．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ） A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好【解答】解：设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝mx ﹣30m ＝（162﹣3x ）（x ﹣30）＝﹣3x 2+252x ﹣4860＝﹣3（x ﹣42）2+432， 当x ＝42时，y 有最大值，为432，所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元． 故选：B ．10．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，则f(−112)=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：由f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣x ）， 可可得f （x ）＝f （x +2）即f （x ）为周期为2的函数， 所以f(−112)=f(−112+6)=f(12)=14， 故选：A ．二．多选题（共2小题）11．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）|g （x ）|是奇函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）g （x ）是偶函数D ．|f （x ）g （x ）|是偶函数【解答】解：因为f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），f （﹣x ）|g （﹣x ）|＝﹣f （x ）|g （x ）|，故f （x ）|g （x ）|为奇函数，A 正确；|f （﹣x ）|g （﹣x ）＝|﹣f （x ）|g （x ）＝|f （x ）|g （x ），故|f （x ）|g （x ）为偶函数，B 不正确；f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）|，故f（x）g（x）为奇函数，C不正确；|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|，故|f（x）g（x）|为偶函数，D正确；故选：AD．12．已知幂函数y＝xα（α∈R）的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数y＝xα的图象过原点B．函数y＝xα是偶函数C．函数y＝xα是单调减函数D．函数y＝xα的值域为R【解答】解：幂函数y＝xα的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以幂函数为y＝x3；所以所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．函数f（x）=√2+x−x2的定义域为[﹣1，2]．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤2，所以函数的定义域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝3x2，则f（g（1））＝1．【解答】解：根据题意，g（x）＝3x2，则g（1）＝3，又由f(x)=2x−1，则f（g（1））＝f（3）=23−1=1，故答案为：115．若f（x）是R上单调递减的一次函数，若f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝﹣2x+1．【解答】解：由于f（x）是单调递减的一次函数，故可设f（x）＝kx+b（k＜0），于是f[f（x）]＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，又f [f （x ）]＝4x ﹣1，∴{k 2=4kb +b =−1，又k ＜0， ∴k ＝﹣2，b ＝1， ∴f （x ）＝﹣2x +1． 故答案为：﹣2x +1．16．已知函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，则f （f （﹣2））＝ −54 ．【解答】解：∵函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，∴f(−2)=2−2=14，∴f(f(−2))=f(14)=3×14−2=−54． 故答案为：−54． 四．解答题（共6小题）17．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，对任意的实数x 都有f （x +1）﹣f （x ）＝x +1成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1， 即f （0）＝c ＝1，又由f （x +1）﹣f （x ）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2ax +a +b ＝x +1， 则有{c =12a =1a +b =1，解可得a ＝b =12，c ＝1，则函数f （x ）的解析式为：f(x)=12x 2+12x +1，（2）由（1）知f(x)=12x 2+12x +1，则g(x)=f(x)−mx =12x 2+(12−m)x +1， 函数g （x ）的对称轴x =m −12，若函数g （x ）在[2，4]上是单调减函数，则有m −12≥4，解可得m ≥92， 即m 的取值范围为{m |m ≥92}． 18．已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的值域．（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3＝x 2+3x ﹣3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f （x ）的值域为[−214，15]． （2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴a ≥32，即实数a 的范围为[32，+∞）19．已知函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），当x ≤2时，f （x ）＝﹣x 2+kx +2． （1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在[2，4]上的最大值．【解答】解：（1）函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），所以函数f （x ）＝f （4﹣x ）． 当x ＞2时，4﹣x ＜2，则f （x ）＝f （4﹣x ）＝﹣（4﹣x ）2+k （4﹣x ）+2＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14， 故函数的关系式为f （x ）={−x 2+kx +2(x ≤2)−x 2+(8−k)x +4k −14(x ＞2)．（2）当x ∈[2，4]时，f （x ）＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14=−(x −8−k 2)2+k 2+84．①当8−k 2≥4时，即k ≤0，所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增，则f （x ）max ＝f （4）＝2， ②当8−k 2≤2时，即k ≥4时，函数f （x ）在[2，4]上单调递减，则f （x ）max ＝f （2）＝2k ﹣2．③当2＜8−k 2＜4时，即0＜k ＜4时，f(x)max =f(8−k 2)=k 2+84．所以f(x)max ={2(k ≤0)k 2+84(0＜k ＜4)2k −2(k ≥4)． 20．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在定义域[5，20]内是单调的． （1）求实数k 的取值范围；（2）若f （x ）的最小值为﹣8，求k 的值．【解答】解：（1）由题意，可知f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为x =k8， 而函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8，x ∈[5，20]是单调函数， ∴k8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160，∴实数k 的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）；（2）当k ≤40时，由f(x)min =f(5)=4×52−5k −8=−8，解得k ＝20； 当k ≥160时，由f(x)min =f(20)=4×202−20k −8=−8，解得k ＝80（舍去）． 综上，k ＝20．21．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2ax +3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）当a ＝1时，写出函数y ＝|f （x ）|的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）； （Ⅲ）若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2+2a （﹣x ）+3＝﹣x 2﹣2ax +3，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x 2﹣2ax +3）＝x 2+2ax ﹣3， 又由y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f(x)={x 2+2ax −3，x ＜00，x =0−x 2+2ax +3，x ＞0；（Ⅱ）a ＝1时，f(x)={x 2+2x −3，x ＜00，x =0−x 2+2x +3，x ＞0；此时y ＝|f （x ）|的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）； （Ⅲ）根据题意，x ＜0时，f （x ）＝x 2+2ax ﹣3＝（x +a ）2﹣a 2﹣3， 若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，必有﹣a ≥0，解可得a ≤0， 即a 的取值范围为（﹣∞，0]．22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +2）x +1﹣b ．（1）若a ＝﹣2，b ＝9，求函数y =f(x)x （x ＜0）的最小值； （2）若b ＝﹣1，解关于x 的不等式f （x ）≥0．【解答】解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y=f(x)x=−2x2−8x=−2x−8x，∵x＜0，∴y＝﹣2x−8x≥2√(−2x)⋅(−8x)=8，当且仅当−2x=−8x，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，2a．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜2a，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；若a＜0，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[2a，1]；若a＞2，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[2a，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．。
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 学案(知识点考点汇总及配套练习题)
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -3.1.2函数的表示法(1) ....................................................................................... - 10 -3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 19 -3.2函数的基本性质................................................................................................... - 26 -3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 26 -3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 32 -3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 42 -3.3幂函数 .................................................................................................................. - 51 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 60 - 3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念内容标准学科素养1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型．数学抽象数学建模数学推理2.学习用集合对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．3.了解构成函数的要素，会求函数的定义域.授课提示：对应学生用书第30页[教材提炼]知识点一函数的概念预习教材，思考问题y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2x中x与y的对应关系相同吗？知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点二区间的概念知识梳理(1)一般区间的表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)[自主检测]1．下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是()答案：D2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝() A．－1B．0 C．1 D．2 答案：C3．函数f(x)＝14－x的定义域是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)答案：A4．已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，则∁U A用区间表示为________．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)授课提示：对应学生用书第31页探究一函数关系的判断[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．[答案] D1．判断一个对应是否是函数的方法2．根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：对选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意，故选C. 答案：C探究二 求函数的定义域 [例2] (1)函数y ＝21－1－x的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1](3)函数y ＝(x ＋1)0|x |－x 的定义域是( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜0，且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1}(4)已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为________．[解析] (1)由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得⎩⎨⎧x ≤1，x ≠0.故选B.(2)由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.(3)∵⎩⎨⎧ x ＋1≠0，|x |－x ＞0，∴⎩⎨⎧ x ≠－1，|x |＞x ，∴⎩⎨⎧x ≠－1，x ＜0.故选C.(4)由题意知0＜y ＜10，即0＜10－2x ＜10，解得0＜x ＜5.又底边长y 与腰长x 应满足2x ＞y ，即4x ＞10，x ＞52.综上，52＜x ＜5.[答案] (1)B (2)A (3)C (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． (3)一般地，形如y ＝f (x )，则f (x )≥0， 形如y ＝1f (x )，则f (x )≠0， 形如y ＝(f (x ))0，则f (x )≠0.1．下列函数中，与函数y ＝13x 3有相同定义域的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝3x 3解析：函数y ＝13x 3＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，与选项B 中的函数是相等函数，其定义域相同．答案：B2．y ＝x －1·1－x 的定义域为________．解析：⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，所以函数的定义域为{1}．答案：{1}探究三 求函数值问题[例3] [教材P 65例2拓展探究] (1)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (f (－3))的值． [解析] ∵f (－3)＝－1. ∴f (f (－3))＝f (－1)＝－1＋3＋1－1＋2＝2＋1. (2)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (x －1)的定义域． [解析] 法一：f (x －1)＝x －1＋3＋1x －1＋2＝x ＋2＋1x ＋1∴⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x ＋1≠0， ∴⎩⎨⎧x ≥－2，x ≠－1. 定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．法二：∵f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}， ∴f (x －1)的定义域为x －1≥－3且x －1≠－2. 即{x |x ≥－2且x ≠－1}．(3)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，设g (x )＝x 2－3，求f [g (x )]．[解析] 首先g (x )≥－3，且g (x )≠－2， 即x 2－3≥－3且x 2－3≠－2， ∴x ≠±1.∴f [g (x )]＝g (x )＋3＋1g (x )＋2＝x 2＋1x 2－1＝|x |＋1x 2－1.∴f [g (x )]＝|x |＋1x 2－1(x ≠±1)．函数求值的方法及关注点(1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．授课提示：对应学生用书第32页一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题►数学抽象、逻辑推理所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．1．定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．[典例](1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解析](1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x －1＜1.故f (x )的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x ＜1. 解得0＜x ≤23，所以f (1－3x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.2．求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．[典例] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] f (1)＝f (1＋0)＝f (1)＋f (0)＋2×1×0＝f (1)＋f (0)，得f (0)＝0；又f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋2－2＝f (－1)，得f (－1)＝0；f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；f (－3)＝f (－2－1)＝f (－2)＋f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6. [答案] C点评 求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式． 二、求定义域时盲目化简[典例] 求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．[解析] 要使函数有意义，须⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，得x ≤1且x ≠－1定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．纠错心得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y ＝x ＋1－1－x ，求定义域更简单.1－x ≥0得x ≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．3.1.2函数的表示法(1)内容标准学科素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．直观想象、逻辑推理数学抽象2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.授课提示：对应学生用书第33页[教材提炼]知识点函数的三种表示方法预习教材，思考问题比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？知识梳理解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系．这三种方法是常用的函数表示法．[自主检测]1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C2．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝1x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x2答案：C3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案：1授课提示：对应学生用书第33页探究一列表法表示函数[例1](1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价(元)0.50.50.5111 1.5 1.5 1.5(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.x 0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜20y＝f(x)46810(3)如表：x 12 3f(x)231x 12 3g(x)32 1则方程g(f(x))＝x[解析](1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅.当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅.综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．1．在本例(3)条件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．解析：f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如表所示：x 12 3f(g(x))13 2g(f(x))21 3不等式f(g(x))＞g(f(x))2．若例题(3)改为：表格所表示的y是x的函数.x 123 4y 432 1定义域为________答案：{1,2,3,4}{4,3,2,1}探究二函数的图象及应用[例2](1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．[答案] A(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x ＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，画出此函数的图象，如图所示：②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．作函数图象的基本步骤利用图象认识函数左右看范围→函数的定义域上下看范围→函数的值域左右看变化→函数值随x的变化情况1.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃.令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是()解析：依题设当t ＝12时，C (t )＝10，排除D ；由年平均气温为10 ℃知C (t )不会都在10 ℃以下，排除B ；依题图知在t ∈[0,6]内，Q (t )的图象关于(3,0)中心对称，因此C (6)＝0，排除C ，故选A.答案：A2．已知函数为y ＝x 2－2x ，x ∈[－1,2)，试画出此函数的图象．解析：y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1. 当x ＝－1时，y ＝3； 当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝－1； 当x ＝2时，y ＝0.如图开口向上的部分抛物线段． 探究三 求函数解析式[例3] (1)(待定系数法)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，求f (x )． [解析] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， ∴k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25. ∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253.∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.(2)换元法(或配凑法)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[解析] 法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)(方程组法)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． [解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ∴由①②得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .求函数解析式的方法提醒：换元法要注意新元“t ”的取值范围，否则易弄错函数定义域.1．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x B.1＋xx －1C.1－x1＋xD.2x x ＋1解析：令t ＝1－x 1＋x ，解得x ＝1－t1＋t， 代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，可得f (t )＝1－t 1＋t ，∴f (x )＝1－x1＋x. 答案：C2．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ， ①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ， ②∴①×2－②得 3f (x )＝6x －3x ， ∴f (x )＝2x －1x . 答案：2x －1x授课提示：对应学生用书第35页一、一“图”胜万言——函数图象的应用►直观想象[典例] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 法一：由f (x )的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得⎩⎨⎧d ＝0，a ＋b ＋c ＝0，8a ＋4b ＋2c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0.∴f (x )＝ax 3－3ax 2＋2ax . 又由图象知f (－1)＜0，∴－a －3a －2a ＜0⇒a ＞0，则b ＝－3a ＜0. 故选A.法二：由三次函数f (x )的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .又∵f (3)＞0，得6a ＞0⇒a ＞0， ∴b ＝－3a ＜0.故选A. [答案] A二、忽视新元的范围 [典例] 已知f (x 2＋1)＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式． [解析] 设t ＝x 2＋1， ∴t ≥1， ∴x 2＝t －1，∴f (t )＝t －1＋1t ， ∴f (x )＝x ＋1x －1(x ≥1)．纠错心得 此题用换元法或配凑法求出f (x )后，易丢定义域的证明(x ≥1)．3.1.2 函数的表示法(2)内 容 标 准学 科 素 养 1.通过具体实例，了解分段函数的概念． 数学抽象 2.能画出简单分段函数的图象.直观想象授课提示：对应学生用书第35页[教材提炼]知识点 分段函数 预习教材，思考问题函数y ＝|x |在x ≥0与x ＜0时的解析式相同吗？知识梳理 如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[自主检测]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x ＜－1，x －1，x ＞1，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2答案：C2．若f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0且f (x )＝1，则x ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C3．函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数，则其定义域为________，值域为________．答案：R {0,1}4．函数y ＝|x －1|的图象关于直线________对称． 答案：x ＝1授课提示：对应学生用书第35页探究一 分段函数的定义域、值域及求值问题[例1] [教材P 68例6拓展探究](1)若已知函数M (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1＜x ≤0，(x ＋1)2，x ＞0.求①M (－3)，②M (2)，③M [M (0)]，④f [M (－3)]，⑤F [M (a )]． [解析] ①当x ＝－3时，M (－3)＝(－3＋1)2＝4. ②当x ＝2时，M (2)＝(2＋1)2＝9. ③∵M (0)＝1，∴M [M (0)]＝M (1)＝(1＋1)2＝4. ④∵f (x )＝x ＋1，∴f [M (－3)]＝f (4)＝4＋1＝5. ⑤当a ≤－1时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.当－1＜a ≤0时，M (a )＝a ＋1，∴f [M (a )]＝(a ＋1)＋1＝a ＋2. 当a ＞0时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.综上，f [M (a )]＝⎩⎨⎧(a ＋1)2＋1， a ≤－1，a ＋2， －1＜a ≤0，(a ＋1)2＋1， a ＞0.(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )、g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f (x )，g (x ).求m (x )的解析式，并求m (x )的值域．[解析] 由(x ＋1)2＝x ＋1得x ＝－1或x ＝0，即函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象相交于两点(－1,0)和(0,1)． 结合f (x )与g (x )的图象得出 m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1，(x ＋1)2，－1＜x ≤0，x ＋1， x ＞0，如图，值域为R .1．分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 3．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．探究二 求分段函数解析式[例2] 如图①，在边长为6的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图象．[解析] (1)按照题意，根据x 的变化，写出分段函数的解析式． 当点P 在线段BC 上移动时，即0＜x ≤6，BP ＝x ， 于是S △APB ＝12AB ·BP ＝12×6×x ＝3x ；当点P 在线段CD 上移动时，即6＜x ≤12，S △APB ＝12AB ·BC ＝12×6×6＝18； 当点P 在线段DA 上移动时，即12＜x ＜18，S △APB ＝12AB ·P A ＝12×6×(18－x )＝54－3x .于是y ＝⎩⎨⎧3x ，0＜x ≤6，18，6＜x ≤12，54－3x ，12＜x ＜18.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图②所示．求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x 的分段区间及分段点．(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别写出其在各区间内的函数表达式．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋3， x ∈[－2，0)，－12x ＋3， x ∈[0，2)，2， x ∈[2，4).探究三 分段函数与方程、不等式[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[解析] 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)． 当x 0＞2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. [答案] －6或4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜43x ，x ≥4，，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解．所以a 的取值范围是(－∞，－3)． [答案] (－∞，－3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．将本例(1)改为：若f (x )＞8，求x 的范围． 解析：当⎩⎨⎧ x ≤2，x 2＋2＞8得⎩⎨⎧x ≤2，x 2＞6，∴x ＜－ 6. 当⎩⎨⎧x ＞2，2x ＞8， ∴x ＞4.∴x 的范围为(－∞，－6)∪(4，＋∞).授课提示：对应学生用书第36页一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法►直观想象、逻辑推理 分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．[典例] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ＞1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－a －1， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )， 所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1 所以a ＝－32(舍去)． 综上所述，a ＝－34. [答案] －34 二、不分类讨论致错[典例] 若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，－1≤x ≤2，x －3，2＜x ≤5，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4[解析] 当－1≤x ≤2时，由f (x )＝1得， 3－x 2＝1，所以x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当2＜x ≤5时，由f (x )＝1得，x －3＝1，所以x ＝4. 综上，f (x )＝1的解是x ＝2或x ＝4. [答案] C纠错心得 解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x 范围的并集，求值时要重视x 的取值范围．如本例当－1≤x ≤2时，求出x ＝2或x ＝－2，通过检验应舍去x ＝－ 2.3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值(1)内 容 标 准学 科 素 养 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性． 直观想象 数学抽象 逻辑推理2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义．3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.授课提示：对应学生用书第37页[教材提炼]知识点 函数的单调递增、单调递减 预习教材，思考问题对于函数f (x )＝x 2，如何用符号语言描述？ 知识梳理 (1)定义域为I 的函数f (x )的增减性(2)①特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．②特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．③如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[自主检测]1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是()A．0B．1C．2 D．4解析：只有①是增函数．答案：B2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)()A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定解析：根据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定．答案：D3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |答案：B4．函数y ＝|x －1|的增区间为________． 答案：[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第37页探究一 由函数图象求函数的单调区间[例1] 作出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x 2＋2|x |＋3 ＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4，x ≥0－(x ＋1)2＋4，x <0. 作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．将本例函数改为f (x )＝|x 2＋2x －3|，求f (x )的单调区间． 解析：令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．探究二 函数单调性的证明或判断[例2] [教材P 79例3拓展探究]根据定义证明y ＝x ＋1x 在(0,1)上是单调递减． [证明] ∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，有 y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．由于0＜x 1＜1,0＜x 2＜1. ∴0＜x 1x 2＜1. ∴x 1x 2－1＜0. 又由x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0， ∴x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)＞0，∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三 利用单调性求参数[例3] 已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－－12a ≥2，解得0＜a ≤14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 1)－f (x 2)＜0(或f (x 1)－f (x 2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需注意：若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．若函数f (x )＝⎩⎨⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是________．解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0]上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b2×(－1)≥0，0≤b －1，∴1≤b ≤2，即实数b 的取值范围是[1,2]．授课提示：对应学生用书第38页一、单调性定义的拓展及规律 1.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )是增函数．2.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )是减函数．3．f (x )在区间A 上是单调函数，则k ＞0时，kf (x )的单调性不变；k ＜0时，则相反．4．f (x )，g (x )在区间A 上同单调，则f (x )＋g (x )的单调性不变．5．若f (x )在区间A 上是单调函数，则1f (x )的单调性相反，2nf (x )(f (x )＞0)、2n －1f (x )(n ∈N *)的单调性相同．6．图象关于轴(与x 轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．[典例] 1.判定函数y ＝x 2－2x ＋x －1的单调性，并求单调区间．[解析] 定义域为x ≥1，函数y 1＝x 2－2x ，y 2＝x －1均为增函数，则y ＝x 2－2x＋x－1也为增函数，则y＝x2－2x＋x－1的增区间为[1，＋∞)．2．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由题意知，f(x)在R上为减函数．由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.[答案] D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误[典例]若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a 的取值范围．[解析]函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3.故实数a的取值范围是{－3}．纠错心得单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．3.2.1单调性与最大(小)值(2)义．逻辑推理、数学运算2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第39页[教材提炼]知识点函数的最值预习教材，思考问题(1)函数f(x)＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数f(x)＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标[自主检测]1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3、5B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3、0B ．3、1C ．3、无最小值D ．3、－2答案：C3．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 答案：4授课提示：对应学生用书第40页探究一 利用图象法求函数的最值 [例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (0≤x ≤2)，2x －1(x ＞2)，求函数f (x )的最大值、最小值．[解析] 作出f (x )的图象如图：由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14. 所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.用图象法求最值的三个步骤已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．解析：由函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])的图象(如图所示)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．y max＝f(2)＝2，y min＝f(6)＝2 5.探究二利用单调性求最值[例2]求函数f(x)＝x2＋9－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．[解析]设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋9－x1－x22＋9＋x2＝(x1－x2)(x1＋x2)x21＋9＋x22＋9＋x2－x1.∵－4≤x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－4,0]上是减函数．∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．已知函数f(x)＝2xx＋1，x∈[－3，－2]，求f(x)的最大值和最小值．[解析]法一：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1x1＋1－2x2x2＋1＝2x1(x2＋1)－2x2(x1＋1) (x1＋1)(x2＋1)＝2(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1).由于－3≤x1＜x2≤－2，则x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．所以函数y＝2xx＋1，x∈[－3，－2]是增函数．又因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3.法二：f(x)＝2xx＋1＝2(x＋1)－2x＋1＝2＋－2x＋1，所以f(x)图象的对称中心是(－1,2)，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)是增函数，图象如图：由图象可知f (x )在[－3，－2]的值域为[3,4]，最小值为f (－3)＝3，最大值为f (－2)＝4.探究三 二次函数的最值问题[例3] [教材P 80例4拓展探究] (1)已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3. ①当x ∈[－2,0]时，求f (x )的最值； ②当x ∈[－2,3]时，求f (x )的最值； ③当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．[解析] f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，开口向上． ①当x ∈[－2,0]时，f (x )在[－2,0]上是单调递减的， 故当x ＝－2时，f (x )有最大值f (－2)＝11； 当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝3.②当x ∈[－2,3]时，f (x )在[－2,3]上先递减后递增， 故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝2. 又|－2－1|＞|3－1|，所以f (x )的最大值为f (－2)＝11.③a.当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增， 所以当x ＝t 时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋3.b ．当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时， f (x )在区间[t ，t ＋1]上先递减后递增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (1)＝2. c ．当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减， 所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，综上得，g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t ＋3，t ＞1，2，0≤t ≤1，t 2＋2，t ＜0.(2)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .①当a<0时，由图可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当1≤a≤2时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a>2时，由图可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.探究四 利用单调性比较大小、解不等式[例4] (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )．试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．[解析] 由题意知，f (x )的对称轴为x ＝2， 故f (1)＝f (3)． ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数． ∴f (2)＜f (3)＜f (4)， 即f (2)＜f (1)＜f (4)．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，解得0＜a ＜1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)， ∴1－a ＞2a －1，即a ＜23.② 由①②可知，0＜a ＜23， 即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.1．利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1＜x 2⇔f (x 1)＜f (x 2)．(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．2．利用函数单调性解不等式 与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)；当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；(2)逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．已知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，∴⎩⎨⎧x >0，2x －3>0，x >2x －3，解得32<x <3.授课提示：对应学生用书第41页一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x 1，x 2(x 1＜x 2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．注意：若给出的是和型[f (x ＋y )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f [(x 1－x 2)＋x 2]；若给出的是积型[f (xy )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)．[典例] 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，。
高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)
函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。
即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a （a 是函数的定义域）的直线与函数y=f （x ）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x 为定义域，y 为值域，不是函数的是（）A.y=x 2+x3 B.y= C.|y|=x D.y=8x 解：对于|y|=x ，对于任意非零x ，都有两个y 与x 对应，所以|y|=x 不是函数。
图像如下图，x=2的直线与|y|=x 的图像有两个交点。
故答案选C 例2、下列图象中表示函数图象的是（）（A ） (B) (C ) (D)解析：对于任意x=a 的直线，只有C 选项的图形与x=a 的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。
故选C 。
x y 0 x y 0 x y 0xy注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
第三章 函数的概念和性质(章末复习)高一数学(人教A版2019必修第一册)
练习
方法技巧：
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化
为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何
直观求解相关问题.
练习
变5.已知二次函数() = − 2 + + 2， ∈ .
D． − 2
).
练习
方法技巧：
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，
即＝1，＝1，＝所分区域.根据＜0，0＜＜1，＝1，＞1的取值确定位
置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较.
1
(4)方程思想：已知关于()与( )或(−)等的表达式，可根据已知条件再构造
出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出().
练习
变1.(1)已知()是一次函数，且满足2( + 3) − ( − 2) = 2 + 21，求()的解
析式；
(2)已知函数()满足2() + (−) = 3 + 2，求()的解析式；
(1)若()为偶函数，求的值．
(2)若()在[−1,2]上最大值为4，求．
答案：(1)0；(2) = −3或 = 2 2.
练习
题型六：幂函数
例6.若幂函数() = (2 − − 5) 在(0, +∞)单调递减，则 = (
A．3
答案：.
B．3 ， − 2
C． − 3 ，2
为最大值
为最小值
知识梳理
7.函数的奇偶性：
高一数学必修一函数概念性质知识点及配套练习
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
8．分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
1
函数等的图像，利用函数单调性）
（2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法
5. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)均在C上 .
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(2) 画法
描点法
图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换
Hale Waihona Puke 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
7．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”
高一数学必修1-函数的概念及基本性质
§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域： （1）()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
第3章 函数的概念与性质章末检测【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册限时作业含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！4．已知函数)25f x =++，则()f x 的解析式为（）A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+³C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =³6．设()f x 是R 上的奇函数，且满足()(4)f x f x =+，(1)1f =，则(1)(8)f f -+=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．17．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（ ）A ．{|0x x <<1x üï<£ýïþB ．{|1x x -<<1x üï<£ýïþC ．{|1x x -<<0x <<D ．0x x x ìüïï<<¹íýïïîþ∣C ．()()()213f f f -<<D ．()()()312f f f <<-9．已知函数11,1()2,1x f x x x a x ì->ï=íï-+£î在R 上满足：对任意12x x ¹，都有()()12f x f x ¹，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2]-¥-C ．[2,)+¥D ．[2,)-+¥10．如果奇函数()f x 在区间[]1,5上是减函数，且最小值为3，那么()f x 在区间[]5,1--上是( )A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－311．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元A ．1200B ．1040C ．490D ．40013．已知函数()y f x =的对应关系如表，函数()y g x =的图象如图所示的曲线ABC ，其中()1,3A ，()2,1B ，()3,2C ，则()3g f éùëû的值为______．14．已知函数()f x 的图象关于y 对称，当0x ³时，()f x 单调递增，则不等式1(2())f x f x ->的解集为_____________.15．函数()()2,0,0x x t f x t x x tì³=>í<<î是区间()0,+¥上的增函数，则t 的取值范围是____．x123()y f x =23218．（本小题12分） 已知函数()m f x x x=+，且(1)2f =.（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶数；（2）函数()f x 在(1,)+¥上是增加的还是减少的？并证明．19．（本小题12分） 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()22f x x x =+.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式，并补出函数()f x 在y 轴右侧的图像；（2）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；②若[]1,x m Î-时函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围．20．（本小题12分）对于任意的实数,,a b min{,}a b 表示,a b 中较小的那个数，即{},min ,.,a a b a b b a b£ì=í>î已知函数2()3,()1.f x x g x x =-=-（1）求函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值；（2）设()min{(),()},R h x f x g x x =Î，求函数()h x 的最大值．22．（本小题12分）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少．第三章 函数的概念与性质章末检测时间：120分钟 分值：150分4．已知函数)25f x =++，则()f x 的解析式为（）A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+³C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =³【答案】B6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(4)f x f x =+，(1)1f =，则(1)(8)f f -+=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B 7．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（ ）A ．{|0x x -<<1x üï<£ýïþB ．{|1x x -<<1x üï<£ýïþC ．{|1x x -<<0x << D．0x x x ìüïï-<<¹íýïïîþ∣【答案】A9．已知函数11,1()2,1x f x x x a x ì->ï=íï-+£î在R 上满足：对任意12x x ¹，都有()()12f x f x ¹，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2]-¥-C ．[2,)+¥D ．[2,)-+¥【答案】C 10．如果奇函数()f x 在区间[]1,5上是减函数，且最小值为3，那么()f x 在区间[]5,1--上是( )A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3【答案】D11．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（）元A．1200B．1040C．490D．400【答案】C【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知函数()y f x =的对应关系如表，函数()y g x =的图象如图所示的曲线ABC ，其中()1,3A ，()2,1B ，()3,2C ，则()3g f éùëû的值为______．【答案】114．已知函数()f x 的图象关于y 对称，当0x ³时，()f x 单调递增，则不等式1(2())f x f x ->的解集为_____________.【答案】1(,1),3æö-¥-È+¥ç÷èø15．函数()()2,0,0x x t f x t x x t ì³=>í<<î是区间()0,+¥上的增函数，则t 的取值范围是____．x 123()y f x =232对称；x=对称；的图象关于直线1－1)，但其图象不关于直线对称，则有g(x＋1)＝④错误．【答案】①③18．（本小题12分） 已知函数()m f x x x=+，且(1)2f =.（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶数；（2）函数()f x 在(1,)+¥上是增加的还是减少的？并证明.【答案】（1）由题意()112f m =+=，1m \=，所以1()f x x x=+，定义域为()(),00,-¥È+¥因为1()()f x x f x x -=-+=--，所以1()f x x x=+是奇函数；（2）函数()f x 在(1,)+¥上是单调增函数，下用定义法证明设任意的1x ，2(1,)x Î+¥，且12x x <()121212121212()111()()x x x x f x f x x x x x x x ---=-+-=121x x <<Q ，120x x \-<，121x x >12()()0f x f x \-<即函数()f x 在(1,)+¥上是单调增函数．19．（本小题12分） 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()22f x x x =+.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式，并补出函数()f x 在y 轴右侧的图像；（2）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；②若[]1,x m Î-时函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围.【答案】（1）当0x >，0x -<，则()()2222f x x x x x-=--=-因为()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即0x >时，()22f x x x =-+所以()222,02,0x x x f x x x x ì+£=í-+>î，图象如下：（2）如图可知，减区间为：(),1-¥-和()1,+¥()11f -=-，()11f =令22212101x x x x x -+=-Þ--=Þ==∵1x >∴1x =+故由图可知1m éùÎ+ëû．20．（本小题12分）对于任意的实数,,a b min{,}a b 表示,a b 中较小的那个数，即{},min ,.,a a b a b b a b£ì=í>î已知函数2()3,()1.f x x g x x =-=-（1）求函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值；（2）设()min{(),()},R h x f x g x x =Î，求函数()h x 的最大值.【答案】（1）因为2()3f x x =-在[1,0]-单调递增，在(0,1]单调递减，所以()f x 在[1,1]-上的最小值为min{(1),(1)}f f -.又(1)(1) 2.f f -==于是min{(1),(1)} 2.f f -=所以函数()f x 在[1,1]-上的最小值为2.（2）当2()13()g x x x f x =-£-=时，即12x -££时，()1.h x x =-当2()13()g x x x f x =->-=时，即1x <-或2x >时，2()3.h x x =-作出函数()h x 的图象如下图所示，()h x 在(,1)-¥-单调递增，在[1,)-+¥单调递减.即()(1) 2.h x h £-=当1x =-时，()h x 取到最大值2．所以函数()h x 的最大值为2．22．（本小题12分）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设()0y mx x =>，因为每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，故114m =´，所以14m =，因此对于A 芯片，毛收入y 与投入x 的资金关系为：()104y x x =>.对于B 芯片，由图像可知，124a k k =ìí=î，故121a k ì=ïíï=î.因此对于B 芯片，毛收入y 与投入x的资金关系为：0)y x =>.（2）设对B 芯片投入资金x （千万元），则对A 芯片投入资金40x -（千万元），假设利润为L，则利润402,0404x L x -=+<<.令(0,t =，则()221182944L t t t =-++=--+，当2t =即4x =（千万元）时，有最大利润为9（千万元）.答：当对A 芯片投入3.6亿，对B 芯片投入4千万元时，有最大利润9千万元.。
人教版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质小结与复习【课件】
润．
(1) 将y表示为x的函数；
(2) 求出下一个销售季度利润y不少于57 000元时，市场需求量x的
范围．
【解】
同学们再见！
Goodbye Students！
(1) 当0≤x≤220时，求函数v(x)的解析式；
(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的
车辆数，单位：辆/h)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．
思路点拨: (1) 当0≤x≤20时，车流速度为100 km/h.当20≤x≤220时，车
流速度v是车流密度x的一次函数，用待定系数法求出当20≤x≤220时的函
A.
B.
C. 或
D. 2
)
【解】
主题2
函数的图象和性质及数形结合思想的应用
【例3】(1) 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( D )
(2) 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则
(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4) __.
误． 故选B.
+ , <
【例4】已知函数f(x)＝ቊ
− + , >
(1) 求证：f(x)是奇函数；
(2) 求f(x)的单调递减区间，并证明你的结论．
思路点拨：(1) 要证明f(x)是奇函数，只要根据奇函数的定义，证明f(x)
满足：对定义域中的任意x的值，均有f(－x)＝－f(x)成立．(2) 可先作
大桥——港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度
数学人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质单元复习
+ + + = + + + ，
整理得 − + + = ，
所以
− =
=
，所以
，
+=
= −
所以 = − + ．
（4）用－x替换 + − = + 中的x，
则 () = + + ．
∴ () = − + ．
由题意可知：
（3）因为() − (−) = + ①，
+ −
所以(−) − () = − + ②，
= +
+ + + − + +
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
知识点梳理
(2)单调区间的定义
单调递减
单调递增
如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
知识点梳理
7.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且
f(－x)＝f(x)
___________，那么函数f(x)就叫做偶函数
y轴
关于____对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且
高中数学新同步苏教版必修1课时作业6 函数的概念
课时分层作业(六) 函数的概念(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列关于函数概念的说法中，正确的序号是( )A ．函数定义域中的每一个数都有值域中唯一确定的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个元素D ．函数的定义域和值域可以是空集A [由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域中一定有唯一确定的元素与之对应，故A 正确；函数的定义域和值域可以为有限集合，如f (x )＝x ＋1，x ∈{1,2,3}，则y ∈{2,3,4}，故B 不对；根据函数定义可知，当定义域中只有一个元素时，值域也只有一个元素，但当值域只有一个元素时，定义域却不一定只有一个元素，如f (x )＝1，x ∈R ，C 不对．由函数定义可知定义域和值域均是非空数集，D 不对．]2．下列各式中函数的个数为( )①y ＝x －(x －3)；②y ＝x －2＋1－x ；③y ＝x 2；④y ＝±x .A ．1B ．2C ．3D ．4B [①y ＝x －(x －3)＝3为函数；②要使函数有意义，需有⎩⎨⎧x －2≥0，1－x ≥0，解得x ∈∅，不是函数；易知③为函数；而④，对于任一个x 值，y 有两个对应值，所以④不是函数．]3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．(0,5)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞D ．(0，＋∞)B[由题意知0<y<10，即0<10－2x<10，解得0<x<5.又底边长y与腰长x应满足2x>y，即4x>10，x>5 2.综上，52<x<5.]4．下列四组中f(x)，g(x)表示同一函数的是() A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x，g(x)＝3x3C．f(x)＝1，g(x)＝x xD．f(x)＝x，g(x)＝|x|.B[A中的两个函数它们的解析式相同，定义域不同；B中的两个函数它们的解析式一样，定义域均为实数集R，故是同一函数；C中函数的定义域不同；D中函数的解析式不一样．]5．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．[－1,3] B．(0,3]C．{0，－1,0,3} D．{－1,0,3}D[当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，由集合中元素的互异性知值域为{－1,0,3}．]二、填空题6．若函数f(x)的定义域为[－1,1]，则f(2x＋1)的定义域为________．[－1,0][由题可知－1≤2x＋1≤1，∴－1≤x≤0，所以函数定义域为[－1,0]．] 7．函数y＝kx2－6x＋8的定义域为R，则k的取值范围是________．k≥98[定义域为R，所以kx2－6x＋8≥0恒成立，因此满足⎩⎨⎧k>0，Δ≤0，代入解不等式组得k≥9 8.]8．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝f(x＋1)x－2的定义域是________．[－1,2) [由题意可得⎩⎨⎧0≤x ＋1≤3，x －2≠0⇒－1≤x <2，所以g (x )的定义域为[－1,2)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋2x －6. (1)当x ＝4时，求f (x )的值；(2)当f (x )＝2时，求x 的值．[解] (1)∵f (x )＝x ＋2x －6，∴f (4)＝4＋24－6＝－3. (2)由f (x )＝2，得x ＋2x －6＝2. 解方程得x ＝14.10．判断下列对应是否为函数．(1)x →2x ，x ≠0，x ∈R ；(2)x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R .[解] (1)对于任意一个非零实数x ，2x 被x 唯一确定，所以当x ≠0时，x →2x 是函数，这个函数也可以表示为f (x )＝2x (x ≠0)．(2)考虑输入值为4，即当x ＝4时输出值y 由y 2＝4给出，得y ＝2和y ＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，x →y (y 2＝x )不是函数．[等级过关练]1．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(0,2)D ．(－1,2)C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x 2<1，－1<x －1<1⇒0<x <2.]2．已知f (|x |)的定义域为(－1,2]，则f (x )的定义域为( )A ．(－1,2]B ．[1,2]C ．(0,2]D ．[0,2]D [由－1<x ≤2得0≤|x |≤2，所以f (x )的定义域为[0,2]．]3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有________种．7 [值域C 是由集合A 中1,2,3所对应的象构成的，故值域C 的可能情况为{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}，共7种．]4．判断下列函数是否是同一函数．(1)y ＝x 2＋3x ＋1与y ＝t 2＋3t ＋1；(2)y ＝x 2与y ＝|x |.[解] (1)∵两个函数的定义域与对应法则均相同，∴两个函数是同一函数．(2)∵y ＝x 2与y ＝|x |的定义域都为R ，但对应法则不同，∴两个函数不是同一函数．由Ruize收集整理。
高一上学期必修一函数的概念及性质复习
7.复合函数求定义域的几种题型
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0, 2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
思考1：函数 f (x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？
思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而言 有哪几种可能情形？
性质探究（一）
思考1：函数 f ( x ) kx b 是 R 单调函数吗？
当k=0时 f（x）=b 不具备单调性； 当k>0时 f（x）在R上单调递增； 当k<0时 f（x） 在R上单调递减。
二.构造法
例2. 若： f ( x 1) x 2 x
求： f (x) 的解析式。
解：f ( x 1) x 2 x 11 f ( x 1) ( x 1)2 1 由：x 1 1 即：f ( x ) x2 1,( x 1)
三.待定系数法
例3. 已知：f(x)是二次函数，若f(0)＝0，
思考2:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数， 那么f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)奇偶性如 何？
f(x) + f(-x)是偶函数 f(x) - f(-x)是奇函数
五.赋值法
例5. 已知定义在R上的函数f(x)，对任意
实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1， 解得12≤x ≤32. 综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,+∞)B ．[−4,+∞)C ．(−∞,2]D ．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2，由于f (x )在(−2,1)上是减函数，所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A4、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.5、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．6、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D8、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.多选题9、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x万元，所以(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x(x>2)元时的发行量是解题关键.10、已知函数f(x)={|x |+2,x <1x +2x,x ≥1 ，下列说法正确的是（ ） A ．f(f(0))=3B ．函数y =f(x)的值域为[2,+∞)C ．函数y =f(x)的单调递增区间为[0,+∞)D ．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是[−2,2]答案：ABD解析：作出函数f(x)的图象，先计算f(0)，然后计算f(f(0))，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．画出函数f(x)图象.如图，A 项，f(0)=2，f(f(0))=f(2)=3，B 项，由图象易知，值域为[2,+∞)C 项，有图象易知，[0,+∞)区间内函数不单调D 项，当x ≥1时，x +2x ≥|x 2+a|恒成立，所以−x −2x ≤x 2+a ≤x +2x 即−32x −2x ≤a ≤x 2+2x 在[1,+∞)上恒成立，由基本不等式可得x 2+2x ≥2，当且仅当x =2时等号成立，3x 2+2x ≥2√3，当且仅当x =2√33时等号成立， 所以−2√3≤a ≤2.当x <1时，|x |+2≥|x 2+a|恒成立，所以−|x |−2≤x 2+a ≤|x |+2在(−∞,1)上恒成立，即−|x |−2−x 2≤a ≤|x |+2−x 2在(−∞,1)上恒成立 令g (x )=|x |+2−x 2={−32x +2,x ≤0x 2+2,0<x <1 ，当x ≤0时，g (x )≥2，当0<x <1时，2<g (x )<32，故g (x )min =2；令ℎ(x )=−|x |−2−x 2={12x −2,x ≤0−3x 2−2,0<x <1 ，当x ≤0时，ℎ(x )≤−2，当0<x <1时，−72<ℎ(x )<−2，故ℎ(x )max =−2； 所以−2≤a ≤2.故f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立时，有−2≤a ≤2. 故选：ABD ．小提示：关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．11、已知函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1关于函数f (x )的结论正确的是（ ） A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(−∞,4]C ．若f (x )=2，则x 的值是−√2D ．f (x )<1的解集为(−1,1)答案：BC分析：求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况令f (x )=2求出x 可判断C ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况解不等式可判断D.函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1的定义域是[−2,+∞)，故A 错误； 当−2≤x <1时，f (x )=x 2，值域为[0,4]，当x ≥1时，f (x )=−x +2，值域为(−∞,1]，故f (x )的值域为(−∞,4]，故B 正确；当x ≥1时，令f (x )=−x +2=2，无解，当−2≤x <1时，令f (x )=x 2=2，得到x =−√2，故C 正确； 当−2≤x <1时，令f (x )=x 2<1，解得x ∈(−1,1)，当x ≥1时，令f (x )=−x +2<1，解得x ∈(1,+∞)，故f (x )<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞)，故D 错误．故选：BC．填空题12、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−113、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a 的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)14、若幂函数y=f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________.答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x−13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =kx a (x >0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为y =0.25x ，y =√x (x >0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y =mx (m >0)，因为当x =1时，y =0.25，所以m =0.25，所以y =0.25x ，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为y =0.25x ，对于生产B 芯片的，因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。
苏教版新教材高中数学必修第一册课时练习-函数概念与性质章末综合测评
章末综合测评(五) 函数概念与性质(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，与函数y ＝－2x 3相同的是( ) A ．y ＝x －2x B ．y ＝－2x 3C ．y ＝x2－2xD ．y ＝－x －2xD [函数相同的两个条件：①定义域相同；②对应关系相同．∵原函数y ＝－2x 3的定义域为{x |x ≤0}，∴y ＝－2x 3＝－2x ·x 2＝－2x ·|x |＝－x －2x ．]2．下列曲线能表示函数图象的是( )D [在选项A ，B ，C 中，存在同一个x 值与两个y 值对应的情况，不符合函数的定义，因此A ，B ，C 都不对；D 中定义域上的任意一个x ，都有唯一的y 与它对应，因此选项D 正确．]3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，0，x ＝0，x －1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值是( ) A ．－13B ．13C ．23D ．－23C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23－1＝－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13＋1＝23．]4．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，且f (1)＝－2，则实数m 的值为( )A ．－4B ．0C ．4D ．2B [因为函数y ＝f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，由当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，f (1)＝－2，所以2－m ＝2，从而m ＝0，应选B ．]5．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D [∵y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， ∴y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 由f (a )≤f (2)，得f (|a |)≤f (2)． ∴|a |≥2，得a ≤－2或a ≥2．]6．已知函数y ＝f (x )的定义域为()－∞，1∪()1，＋∞，且f (x ＋1)为奇函数，当x <1时，f (x )＝－x 2－2x ，则函数y ＝f (x )－12的所有零点之和等于( )A ．4B ．5C ．6D ．12 A [因为f (x ＋1)为奇函数，所以图象关于()0，0对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于()1，0对称，即f ()x ＋f ()2－x ＝0． 当x <1时，f (x )＝－x 2－2x ， 所以当x >1时，f (x )＝x 2－6x ＋8． 当－x 2－2x ＝12时，可得x 1＋x 2＝－2，当x 2－6x ＋8＝12时，可得x 3＋x 4＝6，所以函数y ＝f (x )－12的所有零点之和为6－2＝4，故选A ．]7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1．由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B ．]8．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)C [二次函数的对称轴为x ＝1．由二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，可知a >0，故该函数图象的开口向上，且f (0)＝f (2)．当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于定义在R 上的函数f (x )，下列判断错误的有( ) A ．若f (－2)>f (2)，则函数f (x )是R 的单调增函数 B ．若f (－2)≠f (2)，则函数f (x )不是偶函数 C ．若f (0)＝0，则函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则f (x )是R 上的单调增函数ACD [对于A ，列举反例f (x )＝(x －2)2，A 错误；对于B ，若f (x )是偶函数，则f (－2)＝f (2)，即原命题的逆否命题为真，所以B 正确；对于C ，列举反例f (x )＝|x |，C 错误；对于D ，列举反例f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x x <00x ＝0x x >0，所以D 错误；故选ACD ．]10．下列命题为真命题的是( )A ．函数y ＝|x －1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上是增函数B ．函数f (x )＝x 2＋9＋1x 2＋9的最小值为2C ．“x ＝2”是“x －2＝2－x ”的充要条件D ．∃x ∈R ，1x<x ＋1CD [y ＝|x －1|当x ＝1时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝2，所以y ＝|x －1|不是偶函数，选项A 错误；令t ＝x 2＋9∈[3，＋∞)，g (x )＝t ＋1t．根据对勾函数的单调性可得，g (t )在[3，＋∞)是增函数，g (t )的最小值为103，即f (x )的最小值为103，选项B 错误；x －2＝2－x≥0,2－x ≥0，∴x ＝2，选项C 正确；当x ＝1时，1x<x ＋1成立，选项D 正确．故选CD ．]11．已知定义在R 上函数f (x )的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )；②∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1≠x 2时，都有f x 2－f x 1x 2－x 1>0；③f (－1)＝0．则下列选项成立的是( )A ．f (3)>f (－4)B ．若f (m －1)<f (2)，则m ∈(－∞，3)C ．若f xx>0，x ∈(－1,0)∪(1，＋∞) D ．∀x ∈R ，∃M ∈R ，使得f (x )≥MCD [由条件①得f (x )是偶函数，条件②得f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (3)<f (4)＝f (－4)，故A 错；若f (m －1)<f (2)，则|m －1|<2，得－1<m <3，故B 错；若f xx >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0，因为f (－1)＝f (1)＝0， 所以x >1或0<x <1，故C 正确；因为定义在R 上函数f (x )的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)，所以对∀x ∈R ，只需M ≤f (0)即可，故D 正确；故选CD ．] 12．已知定义在[0,1]上的函数f (x )同时满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |．若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．12 B ．14 C ．12πD ．18AB [取y ＝0，则|f (x )－f (0)|＜12|x －0|，即|f (x )|＜12x ，取y ＝1，则|f (x )－f (1)|＜12|x －1|，即|f (x )|＜12(1－x )．∴|f (x )|＋|f (x )|＜12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|＜14．不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )＜14，0≤f (y )＜14，∴|f (x )－f (y )|＜14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|＜k 恒成立，只需k ≥14．故选AB ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是 ． (2,3)∪(3，＋∞) [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x－4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)． 14．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则实数a 的取值范围为 ．[1,2] [函数f (x )＝x 2－2x ＋3在x ＝1处取得最小值为2，在x ＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a 的取值范围为[1,2]．]15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1x 2，x <1，那么f (f (3))＝ ；若存在实数a ，使得f (a )＝f (f (a ))，则a 的个数是 ．(本题第一空2分，第二空3分)1 4 [f (f (3))＝f (－1)＝1；令f (a )＝t ，即满足f (t )＝t ，①t ＝1，即a ＝±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即－1<a <1或a >1时，f (t )＝t 2，由t ＝t 2，解得t ＝0或1(舍去)；再由t ＝f (a )＝0解得a ＝0或2；③t >1，即a <－1时，f (t )＝2－t ，由t ＝2－t ，解得t ＝1(舍去)；综上所述：共有4个a ．]16．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是 ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52[因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32， 又因为f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32．] 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)求函数f (x )＝x －2，x ∈{0,2,5，－1}的最大值与最小值； (2)已知函数y ＝f (x )(－1≤x ≤4)的图象如图所示．根据函数图象回答：当y 取得最大值时，对应的自变量是多少？函数的最小值是多少？[解] (1)∵f (0)＝－2，f (2)＝0，f (5)＝3，f (－1)＝－3， ∴f (－1)<f (0)<f (2)<f (5)，∴f (x )＝x －2的最大值为f (5)＝3，最小值为f (－1)＝－3．(2)由图象可知函数的最高点的横坐标为4，此时对应的自变量为4；最小值是图象的最低点，其纵坐标为－2，即最小值为－2．18．(本小题满分12分)(1)求函数f (x )＝ln(4－2x )＋(x －1)0＋1x ＋1的定义域(要求用区间表示)；(2)若函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，求f (3)的值和f (x )的解析式． [解] (1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0，x －1≠0，x ＋1≠0，解得x <2且x ≠1且x ≠－1．所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)．(2)因为f (x ＋1)＝x 2－2x ，所以令x ＝2，得f (3)＝22－2×2＝0． 用配凑法求函数解析式：∵f (x ＋1)＝x 2－2x ， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 故f (x )＝x 2－4x ＋3，(x ∈R )．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)确定f (x )的单调性； (2)求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝2x －1x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1＝2－3x ＋1．设3≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)－f (x 2)＝2－3x 1＋1－2＋3x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[3,5]上单调递增． (2)∵f (x )在[3,5]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (5)＝32，f (x )min ＝f (3)＝54．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2． (1)若函数的图象经过原点，且满足f (2)＝0，求实数m 的值； (2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m 的取值范围． [解] (1)∵f (0)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －m 2＝0，4＋4m －2＋m －m 2＝0，∴m ＝1．(2)∵y ＝f (x )在[2，＋∞)上为增函数， ∴对称轴x ＝－2m －22≤2，∴m ≥0，∴实数m 的取值范围是[0，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知二次函数y ＝f (x )满足f (－2)＝f (4)＝－16，且f (x )的最大值为2．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在[t ，t ＋1](t ＞0)上的最大值．[解] (1)因为二次函数y ＝f (x )满足f (－2)＝f (4)＝－16，且f (x )的最大值为2， 故函数图象的对称轴为x ＝1， 设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，a ＜0． 根据f (－2)＝9a ＋2＝－16， 求得a ＝－2，故f (x )＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x ．(2)当t ≥1时，函数f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，故最大值为f (t )＝－2t 2＋4t ；当0＜t ＜1时，函数f (x )在[t,1]上是增函数，在[1，t ＋1]上是减函数， 故函数的最大值为f (1)＝2．综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜t ＜1，－2t 2＋4t ，t ≥1.22．(本小题满分12分)函数y ＝f (x )的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f (x )|≥M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．[解] (1)函数f (x )＝2x ．∵|2x |＝2|x |≥2|x |，即对于一切实数x 使得|f (x )|≥2|x |成立，∴函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数． 对于g (x )＝x 3，如果存在M ＞0满足|x 3|≥M |x |， 而当x ＝M2时，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪⎪⎪M 2，∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾，∴g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对于任意实数恒成立．∴x ≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |，此时当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2．而当x ＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2．。
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高中数学必修第一册课后限时训练61 函数的概念与性质
题组1
1.函数f (x )=√x+1√4－2x 的定义域为( )
A ．[－1，2]
B ．(－1，2]
C ．[2，+∞)
D ．[1，+∞)
解析：由{x +1>0，
4－2x ≥0，得－1<x ≤2，故选B ．
答案：B
2.下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)内单调递减的是
( ) A ．y=x －2 B ．y=x －1 C ．y=x 2 D ．y=x 1
3
答案：A
3.已知函数f (x )={1－x 2
，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f (1
f (3))的值为
( ) A ．15
16 B ．－27
16 C ．8
9 D ．18
解析：因为3>1，所以f (3)=32－3－3=3.
因为1<1，所以f (1)=f (1)=1－(1)2
=8
.
答案：C
4.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )=x 3+x 2+1，则f (1)+g (1)等于(
) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
解析：f (1)+g (1)=f (－1)－g (－1)=(－1)3+(－1)2+1=1.
答案：C
5.函数y=f (x )对于任意x ，y ∈R ，有f (x+y )=f (x )+f (y )－1，当x>0时，f (x )>1，且f (3)=4，则( )
A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)=3
B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)=3
C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)=2
D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)=2
解析：设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)=f [(x 2－x 1)+x 1]－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1. 因为x 2－x 1>0，又已知x>0时，f (x )>1，
所以f (x 2－x 1)>1，
所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2).
因此f (x )在R 上是增函数.
因为f (3)=f (1+2)=f (1)+f (2)－1=f (1)+[f (1)+f (1)－1]－1=3f (1)－2=4，
所以f (1)=2.
答案：D
6.已知f (x+2)=x 2－4x ，则f (x )= .
解析：设t=x+2，则x=t －2，f (t )=(t －2)2－4(t －2)=t 2－8t+12.
答案：x 2－8x+12
7.已知定义在R 上的函数f (x )=ax 2+2x+3的值域为[2，+∞)，则f (x )的单调递增区间为 .
解析：依题意知{a >0，12a －44a
=2， 解得a=1，这时f (x )=x 2+2x+3，
故f (x )的单调递增区间为[－1，+∞).
答案：[－1，+∞)
8.已知定义在R 上的奇函数f (x )=x 2+2x (x ≥0)，若f (3－m 2)>f (2m )，则实数m 的取值范围是 . 解析：因为函数f (x )=x 2+2x 在区间[0，+∞)内单调递增，
又f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数.
要使f (3－m 2)>f (2m )，只需3－m 2>2m ，解得－3<m<1.
答案：(－3，1)
9.若f (x )是定义在区间(0，+∞)内的增函数，且对一切x ，y>0，满足f (x y
)=f (x )－f (y ). (1)求f (1)的值；
(2)若f (6)=1，解不等式f (x+3)－f (13)<2.
解析：(1)在f (x y )=f (x )－f (y )中，令x=y=1，则有f (1)=f (1)－f (1)，所以f (1)=0.
(2)因为f (6)=1，
所以f (x+3)－f (13
)<2=f (6)+f (6)， 所以f (3x+9)－f (6)<f (6)，
即f (x+32)<f (6).
因为f (x )在区间(0，+∞)内单调递增，
所以{x+32>0，x+32<6，
解得－3<x<9. 即不等式的解集为(－3，9).
10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成面积为200平方米的十字形区域，且计划在正方形MNPK 上建一座花坛，其造价为4 200元/平方米，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/平方米，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/平方米.
(1)设AD 的长为x 米，试写出总造价Q (单位：元)关于x 的函数解析式；
(2)当x 取何值时，总造价最少?求出这个最小值.
解析：(1)设AM=y 米，
则x 2+4xy=200，所以y=200－x 24x .
故Q=4 200x 2+210×4xy+80×2y 2=38 000+4 000x 2+
400 000x 2(0<x<10√2).
(2)令t=x 2，则Q=38 000+4 000(t +100t )，且0<t<200.
由基本不等式可得t+100t ≥2√t ·100t =20，当且仅当t=100t ，即t=10时，等号成立，此时x=√10. 且Q min =38 000+4 000×20=118 000.
故当x=√10时，总造价最少，最少是118 000元.
题组2
1.若幂函数f (x )=(m 2－5m+7)x m －2
为奇函数，则m=( )
A ．3
B ．2
C ．2或3
D ．1
解析：由f (x )=(m 2－5m+7)x m －2为幂函数，得m 2－5m+7=1，解得m=2或m=3.
又因为该函数为奇函数，所以m=3.
答案：A
2.已知函数f (x )=－x 5－3x 3－5x+3，若f (a )+f (a －2)>6，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，3)
C ．(1，+∞)
D ．(3，+∞)
解析：g (x )=f (x )－3为奇函数，且在R 上单调递减，f (a )+f (a －2)>6可化为f (a )－3>－f (a －2)+3=－[f (a －2)－3]=－g (a －2)，即g (a )>g (2－a )，所以a<2－a ，故a<1.
答案：A
3.设f (x )={x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，+∞)，若f (2)=4，则a 的取值范围为 . 解析：若2∈(－∞，a )，则f (2)=2，不合题意，所以2∈[a ，+∞)，故a ≤2.
答案：(－∞，2]
4.定义在R 上的奇函数f (x )为减函数，若a+b ≤0，给出下列不等式：
①f (a )·f (－a )≤0；
②f (a )+f (b )≤f (－a )+f (－b )；
③f (b )·f (－b )>0；
④f (a )+f (b )≥f (－a )+f (－b ).
其中正确的是 .(填序号)
解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0.
又因为f (x )为R 上的减函数，所以当x>0时，f (x )<0，当x<0时，f (x )>0.
因为a ·(－a )≤0，所以f (a )·f (－a )≤0.
又因为a+b ≤0，即a ≤－b ，所以f (a )≥f (－b ).
同理，得f (b )≥f (－a )，
故f (a )+f (b )≥f (－a )+f (－b ).
答案：①④
5.如图，定义在区间[－1，+∞)内的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f (x )的解析式；
(2)写出f (x )的值域.
解析：(1)当－1≤x ≤0时，设解析式为y=kx+b (k ≠0).
则{－k +b =0，b =1，
得{k =1，b =1.所以y=x+1.
当x>0时，设解析式为y=a(x－2)2－1，
因为图象过点(4，0)，所以0=a(4－2)2－1，得a=1
4
.
因此f(x)={x+1，－1≤x≤0，1
4
(x－2)2－1，x>0.
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0，1].
当x>0时，y∈[－1，+∞).
所以函数的值域为[0，1]∪[－1，+∞)=[－1，+∞).
6.已知函数f(x)=x2－2mx+m2+4m－2.
(1)若函数f(x)在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间[0，1]上有最小值－3，求实数m的值.
解析：f(x)=(x－m)2+4m－2.
(1)由f(x)在区间[0，1]上单调递减，得m≥1.
(2)当m≤0时，f(x)min=f(0)=m2+4m－2=－3，
解得m=－2－√3或m=－2+√3.
当0<m<1时，f(x)min=f(m)=4m－2=－3，
解得m=－1
4
(舍去).
当m≥1时，f(x)min=f(1)=m2+2m－1=－3，无解.
综上可知，实数m的值是－2±√3.。