(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用

§1.留数

1.（定理6.1 柯西留数定理）：

∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)

n

k=1

C

2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，

f(z)=

φ(z) (z−a)n

,

其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则

Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!

3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，

φ(z)=(z−a)f(z),则

Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点

φ(z)=(z−a)2f(z)则

Res(f(z),a)=φ′(a)

5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式

6.无穷远点的留数：

Res(f(z),∞)=

1

2πi

∫f(z)dz

Γ−

=−c−1

即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1

z

这一项系数的反号

7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式：

Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)

§2.用留数定理计算实积分

一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ

注：注意偶函数

二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分

1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上

lim R→+∞zf (z )=λ

则

lim R→+∞∫f(z)dz S R

=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中

P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)

Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)

为互质多项式，且符合条件：

（1）n-m ≥2;

（2）Q(z)没有实零点

于是有

∫

f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0

+∞

−∞

注：lim R→R+∞

∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞

型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且

lim R→+∞g (z )=0

在ΓR 上一致成立。则

lim R→+∞

∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：

（1）Q 的次数比P 高；

（2）Q 无实数解；

（3）m>0

则有

∫

g(x)e imx dx =2πi ∑Res(g(z)e imz ,a k )Ima k >0

+∞

−∞

特别的，上式可拆分成：

∫P (x )Q (x )+∞−∞cosmxdx 及∫P (x )Q (x )+∞−∞sinmxdx

四.计算积分路径上有奇点的积分

5.（引理

6.3 小弧引理）：S r :z −a =re iθ

lim r→0

(z −a)f(z)=λ 于S r 上一致成立，则有

lim r→0

∫f(z)dz S r =i(θ2−θ1)λ

五.杂例

六.应用多值函数的积分

§3.辐角原理及其应用

即为：求解析函数零点个数

1.对数留数：

12πi ∫f ′(z)f(z)

C dz 2.（引理6.4）：（1）设a 为f(z)的n 阶零点，则a 必为函数f ′(z)f(z)的一阶极点，并且

Res [f ′(z )f (z )

,a]=n; （2）设b 为f(z)的m 阶极点，则b 必为函数f ′(z)f(z)的一阶极点，并且

Res [f ′(z )f (z )

,b]=−m 3.（定理6.9 对数留数定理）：设C 是一条周线，f(z)满足条件：

（1）f(z)在C 的内部是亚纯的；

（2）f(z)在C 上解析且不为零。

则有

1 2πi ∫

f′(z)

f(z)

C

dz=N(f,C)−P(f,C)=C内零点个数−极点个数=

ΔC argf(z)

2π

注1：当条件更改为：（1）f在Int(C)+C上解析；（2）C上有f≠0，有P(f,C)=0，即

1 2πi ∫

f′(z)

f(z)

C

dz=N(f,C)=

ΔC argf(z)

2π

注2：条件可减弱为：f(z)连续到边界C，且沿C有f(z)≠0 4.（辅角原理）：

N(f,C)−P(f,C)=ΔC argf(z)

2π

5.（定理

6.10 鲁歇（Rouche）定理）：设C是一条周线，函数f(z)及φ(z)满足条件：（1）它们在C的内部均解析，且连续到C；

（2）在C上，|f(z)|>| φ(z)|

则函数f(z)与f(z)+ φ(z)在C内部有同样多（几阶算几个）的零点，即

N(f+φ,C)=N(f,C)

6.(定理6.11)：若函数f(z)在区域D内但也解析，则在D内f’(z)≠0.