直线与圆锥曲线的位置关系专题复习

直线与圆锥曲线的位置关系

一.知识网络结构：

2. 直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。

① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：

2 2

例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（）

16 4

A.3

B. ,11

C. 2 2

D. . 10

2 2

例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

36 9

A. x 2y 0

B. x 2y 4 0

C. 2x 3y 12 0

D. x 2y 8 0

题型二：直线与双曲线的位置关系：

例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。

⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围；

⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。

题型三：直线与抛物线的位置关系：

例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。

题型四：弦长问题:

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求， 根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线

斜率为k 与圆锥曲线交于点A x i ,y i ， 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关 系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解

1的右焦点F 2，倾斜角为300的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 题型五：中点弦问题： 求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方

法:

⑴•点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点 斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于

x （或y ）的一元二 次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率 k ，然后写出弦的方程； ⑶•设弦的两个端点分别为X i ,y i ,X 2,y 2，则这两点坐标分别满足曲线方程，又

竺 空，上准 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从 2 2

而求出弦的方程。

例6.已知双曲线方程2x 2 y 2=2。⑴求以A 2,1为中点的双曲线的弦所在的直线方程； ⑵过点1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于Q i ， Q 2两点，且Q i ，Q 2两点的中点为1,1如 果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由。

题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例7.在抛物线y 2 64x 上求一点，使它到直线 L ： 4x 3y 46 0的距离最短，并求这个 最短距离。

练习 题

B x 2, y 2 时，则 AB k 2 % x 2 二昴

k 2 ； Xi 2 X 2 4x 1x 2

2

例5.过双曲线—

3

k 12「厂y 2 L 4y i y 2

A %,y 2 ,

B X 2,y 2 （为 x ?）两点，且 AB 9 .⑴求该抛物线的方程；⑵O 为坐标原点, 1. （09上海）过点A （1,0）作倾斜角为一的直线，与抛物线 y 2 2x 交于M 、N 两点，则

4

MN = _______

写出所涉及到的公式：

2. （09海南）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于

A, B 两点，

若P 2,2为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 _________ 。

2 2

3. （ 08宁夏海南）过椭圆— 壬1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点,

5 4

O 为坐标 原点，则△ OAB 的面积为

4. （ 11全国）已知直线L 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，L 与C 交于A, B 两点,

|AB| 12，

P 为C 的准线上一点，贝U ABP 的面积为（

） A. 18

B. 24

C. △ OAF （O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（

2

7. （10全国）设F 1 , F 2分别是椭圆E : x 2+^=1 （0< b < 1）的左、右焦点，过F 1的直线

b

L 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2，| AB ，BF ?成等差数列。⑴求|AB ⑵若直线L 的斜率为 1,求b 的值。

8. （ 11江西）已知过抛物线 y 2 2px p 0的焦点，斜率为 2、2的直线交抛物线于

5. （09山东）设斜率为2的直线I 过抛物线y 2

ax （a 0）的焦点F,且和y 轴交于点A,若 36 D. 48 2 2 A. y 4x B. y 8x

C. y 2 4x

D. 8x

6. （09山东）设双曲线 2 x 2 a 2 y_ b 2

1的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1只有一个公共点，则双

曲线的离心率为（）.A.

B. 5

C.