专题三-直线、圆、圆锥曲线测试题(文科)解析

专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题（文科）解析

一、选择题：

1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )

A ．x ＋y －3＝0

B ．x －y －3＝0

C ．2x －y －6＝0

D ．2x ＋y －6＝0 解析 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7，圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1，故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0.

2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )

A ．x －2y ＋7＝0

B ．2x ＋y －1＝0

C ．x －2y －5＝0

D ．2x ＋y －5＝0

解析 因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝

12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0. A

3．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722 B.922 C.1122 D.91010

解析 曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到

直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12

＝722.A

4．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为()

A．1 B．－1 C.1

2D．2

解析曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故选D.

5．直线ax－y＋2a＝0(a≥0)与圆x2＋y2＝9的位置关系是() A．相离B．相交C．相切D．不确定

解析圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d

＝|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

得该圆圆心(0,0)到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝

2a

a2＋(－1)2

＝2a

a2＋12

，由基本不等式可以知道2a≤a2＋12，从而

d＝

2a

a2＋12

≤1

系是相交．B

6．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()

A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5

C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝5

解析设圆心为O，则O(－1,0)，在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|2＋|AP|2＝4＋1＝ 5. B

7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()

A ．－14

B ．－4

C ．4 D.14

解析双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m

＝1，由题意得－1m ＝4，∴m ＝－14. 8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2

＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析

如图，当点P 、M 、N 在如图所示的位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2R ＝6.C

9．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )

A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4C.1e 21＋1e 22＝2 D ．e 21＋e 22＝2

解析 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，

则⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②).①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋

4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2，

两边同除以2c 2

，得2＝1e 21＋1e 22，故选C. 10．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C.52 D.22

解析 两条渐近线y ＝±b a x 互相垂直，则－b 2a

2＝－1，则b 2＝a 2，双曲线的离心率为e ＝c a ＝2a 2a ＝2，选B.

11．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )

A. 2

B.3

C. 5 D ．2

解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c 2a 2＝1＋b 2

a 2＝5，所以e ＝ 5.C

12．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )