圆锥曲线文科高考习题含答案
已知椭圆=1(a>b>0),点P (
a 5
5
,)在椭圆上。
(I )求椭圆的离心率。
(II )设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。
22.【2012高考安徽文20】(本小题满分13分)
如图,21,F F 分别是椭圆C :22a x +22
b
y =1(0>>b a )的左、右
焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,
1F ∠A 2F =60°.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403,求a, b 的值.
在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)
P 在1C 上.
(1)求椭圆1C 的方程;
(2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :2
4y x =相切,求直线l 的方程.
24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)
已知椭圆C :22x a +2
2y b
=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为2, 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与
不同的两点M,N
(Ⅰ)求椭圆C 的方程
(Ⅱ)当△AMN 的面积为3
时,求k 的值
如图,椭圆
22
22
:1(0)
x y
M a b
a b
+=>>的离心率为
3
,直线x a
=±和y b
=±所围成的矩形ABCD的面积
为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线:()
l y x m m
=+∈R与椭圆M有两个不同的交点,,
P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T.
求||
||
PQ
ST
的最大值及取得最大值时m的值.
26.【2102高考福建文21】(本小题满分12分)
如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上。(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q。证明
以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
29.【2012高考浙江文22】本题满分14分)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,1
2
)到抛物线C:2y=2px
(P>0)的准线的距离为5
4
。点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM
平分。
(1)求p,t的值。
(2)求△ABP面积的最大值。
30.【2012高考湖南文21】(本小题满分13分)
在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为1
2
的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为1
2
的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的
坐标.
32.【2012高考全国文22】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2
22
1:(1)()(0)2
M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在点A 处两曲线的切线为同一直线l . (Ⅰ)求r ;
(Ⅱ)设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,m 、n 的交点为D ,求D 到l 的距离。
33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)
如图,动圆222
1:C x y t +=,1 与椭圆2C :22 19 x y +=相交于A ,B ,C ,D 四点,点12 ,A A 分别为2C 的左,右顶点。 (Ⅰ)当t 为何值时,矩形ABCD 的面积取得最大值?并 求出其最大面积; (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程。 34.【2012高考江西文20】(本小题满分13分) 已知三点O (0,0),A (-2,1),B (2,1),曲线C 上任意一点M (x,y )满足 (1)求曲线C 的方程; (2)点Q (x 0,y 0)(-2 37.【2012高考陕西文20】(本小题满分13分) 已知椭圆2 21:14 x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率。 (1)求椭圆2C 的方程; (2)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r ,求直线AB 的方程。 【解析】双曲线的 11642 2=-y x 渐近线为x y 2±=,而122 22=-b y a x 的线 12 2 22=-b y a x 渐近线为x a b y ±=,所以有2=a b ,a b 2=,又双曲 的右焦点为)0,5(,所以5= c ,又222b a c +=,即222545a a a =+=,所以2,1,12===b a a 。 【解析】(Ⅰ) 点52( ,)52 P a a 在椭圆上 222222222115365211884 a a b b e e a b a a ?+=?=?=-=?= (Ⅱ) 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<;则(,0)A a 22222 2 (1cos )sin 13cos 16cos 50cos 3 AQ AO a b a θθθθθ=?-+=?-+=?= 直线OQ 的斜率sin 5cos OQ b k a θ θ = =± 【答案】解:(1)由题设知,222== c a b c e a +,,由点(1)e ,在椭圆上,得 222 2222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b +=?+?+??,∴22=1c a -。 由点32e ?? ? ??? ,在椭圆上,得 2 2 22242222 441311144=0=214e c a a a a a b a a -????+=?+=?+=?-+?∴椭圆的方程为2 212 x y +=。 (2)由(1)得1(10)F -,,2(10)F , ,又∵1AF ∥2BF , ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-,,()()11221200A x y B x y y >y >,,,,,。 ∴( ) 2 2122 111111 1221=022=1 x y m y my y m my x ?+=??+--??+?+? ∴ )2122122 m m AF m m ++=++ 。① 同理,)2221= 2 m BF m +-+。② (i )由①②得,12AF BF - = 得2m =2。 ∵注意到 0m >,∴m 。 ∴直线1AF 的斜率为 1= 2 m 。 (ii )证明:∵1AF ∥2BF ,∴ 211BF PB PF AF =,即21211111 11BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+?= 。 ∴1 1112 = AF PF BF AF BF +。 由点B 在椭圆上知,12BF BF +=,∴() 1 1212 = AF PF BF AF BF + 。 同理。() 2 2112 = BF PF AF AF BF +。 ∴( )() 122 1221121212 2+= AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=++ +g 由①②得,)2121= 2 m AF BF m +++,2 2 1 =2 m AF BF m ++g , ∴ 12 + 2 PF PF ∴ 12 PF PF +是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知(1)e , 和e ? ?? 都在椭圆上列式求解。 (2 )根据已知条件 12 AF BF -= 【解析】(I) 12 1 602 2 c F AF a c e a ο ∠=?=?== (Ⅱ)设 2 BF m =;则 1 2 BF a m =- 在 12 BF F ?中,222 1212212 2cos120 BF BF F F BF F Fο =+-?? 222 3 (2) 5 a m m a am m a ?-=++?= 1 AF B ? 面积21 113 sin60() 225 10,5, S F F AB a a a a c b ο =??????+= ?=== 【答案】 【解析】(1)因为椭圆 1 C的左焦点为 1 (1,0) F-,所以1 c=, 点(0,1) P代入椭圆 22 22 1 x y a b +=,得 2 1 1 b =,即1 b=, 所以2222 a b c =+=, 所以椭圆 1 C的方程为 2 21 2 x y +=. (2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y kx m =+, 2 21 2 x y y kx m ? += ? ? ?=+ ? ,消去y并整理得222 (12)4220 k x kmx m +++-=,因为直线l与椭圆1C相切,所以2222 164(12)(22)0 k m k m ?=-+-=,整理得22 210 k m -+=① 24y x y kx m ?=? =+?,消去y 并整理得222 (24)0k x km x m +-+=。 因为直线l 与抛物线2C 相切,所以2 2 2 (24)40km k m ?=--=, 整理得1km = ② 综合①②,解得2k m ?=???=? 或2k m ?=-? ??=? 。 所以直线l 的方程为y x = 或y x =- 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相 信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。 解:(1 )由题意得2 2222a c a a b c =?? ?= ??=+?? 解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142 y k x x y =-???+ =??得2222 (12)4240k x k x k +-+-=. 设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2 122 412k x x k +=+,2122 2412k x x k -=+. 所以 |MN|= . 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-) 的距离d =, 所以△AMN 的面积为1||2S MN d =?= =1k =±. 【答案】(21) (I)222 3 4 c a b e a a -==?=……① 矩形ABCD 面积为8,即228a b ?=……② 由①②解得:2,1a b ==, ∴椭圆M 的标准方程是2 214 x y +=. (II)222244, 58440, x y x mx m y x m ?+=?++-=? =+?, 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则21212844 ,55 m x x m x x -+=-=, 由226420(44)0m m ?=--> 得m < ||PQ ==当l 过A 点时,1m =,当l 过C 点时,1m =-. ①当1m <<- 时,有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---++, ||||PQ ST == 其中3t m =+,由此知当134t = ,即45,(1)33t m ==-∈-时,||||PQ ST ②由对称性,可知若1m <<53m =时,||||PQ ST . ③当11m -≤≤ 时,||ST = ||||PQ ST , 由此知,当0m =时, ||||PQ ST 综上可知,当53m =±和0时,||||PQ ST . 考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系,定值的证明。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计算。 解答: (I )设1122(,),(,)A x y B x y ;则22 11222,2x py x py == 222222 11221122 1212121222()(2)0(2,,0) OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+?-++=?=>Q 得:点,A B 关于y 轴对称(lfxlby ) (OA OB AB A B ===?- 代入抛物线E 的方程得:2 22x p y ==?抛物线E 的方程为24x y = (II )设200(,)4x P x ;则211 42 y x y x '=?= 过点P 的切线方程为200011()42y x x x x - =-即2 00 1124 y x x x =- 令2 00 4 1(,1)2x y Q x -=-?- 设(0,)M t 满足:0MP MQ =u u u r u u u u r g 及200004 (,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=--u u u r u u u u r 得:22 04(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立 2 20,101t t t t ?+-=-=?= 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M [解](1)双曲线1: 22 12 =-y C x ,左焦点)0,(2 6- F . 设),(y x M ,则2 2 2222 62) 3()(||+ =++=x y x MF , ……2分 由M 是右支上一点,知2 2≥x ,所以223||2 2=+ =x MF ,得2 6= x . 所以)2,( 2 6 ±M . ……5分 (2)左顶点)0,(2 2-A ,渐近线方程:x y 2±=. 过A 与渐近线x y 2= 平行的直线方程为:)(22 2+ =x y ,即12+=x y . 解方程组???+=-=122x y x y ,得?????=- =2 1 4 2y x . ……8分 所求平行四边形的面积为4 2 ||||= =y OA S . ……10分 (3)设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切,故 11 ||2=+k b , 即12 2 +=k b (*). 由???=-+=1 22 2y x b kx y ,得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2),则?????==+----2 2 2 21212221k b k kb x x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=,所以 2 212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=? 2 2 222 22 2221222) 1)(1(k k b k b k k b k --+-----+= +. 由(*)知0=?,所以OP ⊥OQ . ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双 曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为2,它的渐近线为x y ±=,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 . 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线l 于y 轴的焦点为E ,圆F 的半径为r , 则|FE|=p ,||||=||FA FB FD ==r ,E 是BD 的中点, (Ⅰ) ∵0 90BFD ∠=,∴||||=||FA FB FD = ,|BD|=2p , 设A(0x ,0y ),根据抛物线定义得,|FA|= 02p y +, ∵ABD ? 的面积为ABD S ?=01||()22p BD y + =1 22 p ? =p =2, ∴F(0,1), FA|= ∴圆F 的方程为:22 (1)8x y +-=; (Ⅱ) 【解析1】∵A ,B ,F 三点在同一条直线m 上, ∴AB 是圆F 的直径,0 90ADB ∠=, 由抛物线定义知1||||||2 AD FA AB ==,∴0 30ABD ∠=,∴m 的斜率为3 或-3, ∴直线m 的方程为:32p y x =±+,∴原点到直线m 的距离1d =4 p , 设直线n 的方程为:3 y x b =± +,代入22x py = 得,2203x x pb ±-=, ∵n 与C 只有一个公共点, ∴?=24803p pb +=,∴6 p b =-, ∴直线n 的方程为:6 p y x =± -,∴原点到直线n 的距离2d p , ∴坐标原点到m ,n 距离的比值为3. 【解析2】由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >,则(0,)2 p F 点,A B 关于点F 对称得:22 2 20000(,)3222 x x p B x p p x p p p --?-=-?= 得:3, )2p A ,直线3:02p p p m y x x - =+?= 22 22x x x py y y x p p p '=?=?==?=? 切点,)36p P 直线:()06336 p n y x x p - =-?-= 坐标原点到,m n 距离的比值为 :326 =。 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思想 方法和运算求解能力. 【解析】 (1)由题意得215124pt p =???+=??,得121 p t ? = ?? ?=?. (2)设()1122(,),,A x y B x y ,线段AB 的中点坐标为(,)Q m m 由题意得,设直线AB 的斜率为k (k 0≠). 由2 11222 2px 2px y y ?=??=??,得211221()()()y y y y k x x -+=-,得21k m ?= 所以直线的方程为1 ()2y m x m m -= -,即2220x my m m -+-=. 由2 2220x my m m y x ?-+-=??=??,整理得22220y my m m -+-=, 所以244m m =-V ,122y y m +=,2 122y y m m =-.从而得 12AB y =-= 设点P 到直线AB 的距离为d ,则 d = ,设?ABP 的面积为S ,则21 12()2 S AB d m m = ?=--由2440m m ?=->,得01m <<. 令t =102t << ,则2(12)S t t =-. 设2(12)S t t =-,102 t <≤,则2 16S t '=-. 由2 160S t '=-= ,得10,62t ?? = ∈ ??? ,所以max 9S =,故?ABP 的面积的最大值为9. 【答案】 【解析】(Ⅰ)由2 2 420x y x +-+=,得2 2 (2)2x y -+=.故圆C的圆心为点 (2,0),从而可设椭圆E的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>其焦距为2c ,由题设知 2221 2,,24,12.2 c c e a c b a c a == =∴===-=故椭圆E的方程为: 22 1.1612 x y += (Ⅱ)设点p 的坐标为00(,)x y ,12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为 10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且121 .2 k k =由1l 与圆22:(2)2c x y -+=相切,得 = 即 222 010020(2)22(2)20.x k x y k y ??--+-+-=?? 同理可得 22202 0020(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??. 从而12,k k 是方程022 0000(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=?? 的两个实根,于是 2022 00(2)20,8(2)20,x x y ?--≠? ????=-+->???? ① 且2 0122 22 2.(2)2 y k k x -==-- 由22 00 2 02 01,161221(2)22x y y x ?+=? ??-?=?--? 得2 0058360.x x --=解得02,x =或010.5x = 由02x =-得03;y =±由018 5 x = 得0y =它们满足①式,故点P的坐标为 (2,3)-,或(2,3)-- ,或18(5 ,或18(,5. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出,,c a b 即得椭圆E 的方程,第二问设出点P 坐标,利用过P 点的两条直线斜率之积为 1 2 ,得出关于点P 坐标的一个方程,利用点P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P 坐标. 21. 【答案】 解:(Ⅰ)如图1,设(,)M x y ,00(,)A x y ,则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且, 可得0x x =,0||||y m y =,所以0x x =,01 ||||y y m = . ① 因为A 点在单位圆上运动,所以22001x y +=. ② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2 2 2 1 (0,1)y x m m m +=>≠且. 因为(0,1)(1,)m ∈+∞U ,所以 当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0) ,0); 当1m >时,曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0,- ,(0, . (Ⅱ)解法1:如图2、3,0k ?>,设11(,)P x kx ,22(,)H x y ,则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx , 直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=. 依题意可知此方程的两根为1x -,2x ,于是由韦达定理可得 21122 244k x x x m k -+=-+,即21 222 4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上,所以21 21222 224km x y kx kx m k -==+. 于是11(2,2)PQ x kx =--u u u r ,2211 21212222 42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++u u u r . 而PQ PH ⊥等价于222 122 4(2)04m k x PQ PH m k -?==+u u u r u u u r , 即220m -=,又0m > ,得m 故存在m 22 12 y x +=上,对任意的0k >, 都有PQ PH ⊥. 解法2:如图2、3,1(0,1)x ?∈,设11(,)P x y ,22(,)H x y ,则11(,)Q x y --, 1(0,)N y , 图2 (01)m << 图3 (1)m > 图1 第21题解答图 因为P ,H 两点在椭圆C 上,所以2222112222 22, , m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③ 依题意,由点P 在第一象限可知,点H 也在第一象限,且P ,H 不重合, 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得 212121212()() ()() y y y y m x x x x -+=--+. ④ 又Q ,N ,H 三点共线,所以QN QH k k =,即112 112 2y y y x x x += +. 于是由④式可得2 11212121121212()()12()()2 PQ PH y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=- --+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ?=-,即212 m -=-,又0m > ,得m , 故存在m 2 2 12 y x +=上,对任意的0k >,都有 PQ PH ⊥. 【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离。 解:(1)设200(,(1))A x x +,对2 (1)y x x ==+求导得2(1)y x '=+,故直线l 的斜率02(1)k x =+,当01 x =时,不合题意,所心01x ≠ 圆心为1 (1,)2 M ,MA 的斜率2001(1)21 x k x +-'= - 由l MA ⊥知1kk '=-,即20001 (1)22(1)11 x x x +-+? =--,解得0 0x =,故(0,1)A 所以||r MA == =(2)设2 (,(1))a a +为C 上一点,则在该点处的切线方程为2 (1)2(1)()y a a x a -+=+-即 22(1)1y a x a =+-+ 若该直线与圆M 相切,则圆心M 2 1|2(1)11|2a a +?--+= ,化简可得22(46)0a a a --= 求解可得0120,22a a a ===抛物线C 在点2 (,(1))(0,1,2)i i a a i +=处的切线分别为,,l m n ,其方程分别为 21y x =+① 2112(1)1y a x a =+-+② 2222(1)1y a x a =+-+③ ②-③得12 22 a a x += =,将2x =代入②得1y =-,故(2,1)D - 所以D 到直线l 的距离为5 d = =。 【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。 【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 【解析】(Ⅰ)设A(0x ,0y ),则矩形ABCD 的面积S=004|||x y , 由220019x y +=得,220019x y =-,∴2200x y =22 00(1)9x x -=220199()924x ---,当2092x =,2012 y =时,max S =6, ∴t ABCD 的面积最大,最大面积为6. ……6分 (Ⅱ) 设()()1111,,,-A x y B x y ,又知()()12-3,0,3,0A A ,则 直线1A A 的方程为 ()1 1=+3+3y y x x ① 直线2A B 的方程为 ()11-=-3-3 y y x x ② 由①②得 ()22 22 1221-=-3-3 y y x x ③ 由点()11,A x y 在椭圆0C 上,故可得2112+=13x y ,从而有22112=1-3x y ?? ??? ,代入③得 ()22-=1<-3,<09x y x y ∴直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程为()22 -=1<-3,<09 x y x y ……12分 【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 【解析】(1)(2,1)MA x y =---u u u v ,(2,1)MB x y =--u u u v ,(,)OM x y =u u u u v ,(0,2)OA OB +=u u u r u u u v 22y =+整理得2 4x y = (2)设200(,)4x Q x ;则2 2(1)4 QAB x S ?=-,0 2 l x x x k y =' == 得:2000:()42x x l y x x -=-交y 轴于点2200 (0,)144x x M PM -?=- :10,:10PA PB l x y l x y ++=--=与2 000:()42 x x l y x x -=-联立: 可求0022 ,222 D E D E x x x x x x -+= =?-= 2 01 124:2 PDE D E QAB PDE x S x x PM S S ???=?-?=- ?= [解析](1)设M 的坐标为(x,y ),当x=-1时,直线MA 的斜率不存在;当x=1时,直线MB 的斜率不存在。 于是x≠1且x≠-1.此时,MA 的斜率为1+X y ,MB 的斜率为1 -x y . 由题意,有 1+X y ·1 -x y =4 化简可得,4x 2-y 2-4=0 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x≠1且x≠-1)…………………………4分 18.由???=--+=0 442 2y x m x y 消去y ,可得3x 2-2mx-m 2-4=0. (﹡) 对于方程(﹡),其判别式 ? =(-2m)2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0 而当1或-1为方程(*)的根时,m 的值为-1或1. 结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1 设Q 、R 的坐标分别为(X Q ,Y Q ),(X R ,Y R ),则为方程(*)的两根. 因为PR PQ <,所以 X X R Q < , 3 3 2 ,3 3 2 2 2 ++= +-= m X m X m m P Q 所以 1 3 1221131213 122 2 2-+ + =++ ++ ==m m X X m PQ PR R P 。 此时23 1,13 12 2 ≠+ >+ m m 且所以3 51 3 1221,31 3 122 11m 2 2 ≠ -+ + <-+ + <且m 所以3 5,31≠= <= < X X X X P R P R PQ PR PQ PR 且 综上所述, ) ,(),的取值范围是(33 5 351?PQ PR …………………………12分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、 分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。 【答案】:(Ⅰ)220x +2 4 y =1(Ⅱ)16109 ,12|OA B B ⊥ (*) 设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是上面方程的两根,因此1224,5 m y y m += + 试题解析:(Ⅰ)椭圆C 的标准方程为2 213x y +=.所以3a =,1b =,2c =.所以椭圆C 的 离心率6 3 c e a = = . (Ⅱ)因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴,所以可设1(1,)A y ,1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =,得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.(2015年安徽文)设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点,点A 的坐标 为(,0)a ,点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510 。 (1)求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,证明:MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231=5525451511052 222222=?=?=-?=?e a c a c a a b (Ⅱ)由题意可知N 点的坐标为(2,2b a -)∴a b a b a a b b K MN 56 65232213 1==-+= a b K AB -= ∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.(2015年福建文)已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线 :340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ,则椭圆E 的离心率的取值范围是( A ) A . 3(0, ]2 B .3(0,]4 C .3[,1)2 D .3[,1)4 1 19.(2015年新课标2文)已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =±,则该双曲线的标 准方程为 .2 214 x y -= 20.(2015年陕西文)已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-,则抛物线焦点坐标为( B ) A .(1,0)- B .(1,0) C .(0,1)- D .(0,1) 【解析】试题分析:由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =- ,因为准线经过点(1,1)-,所以2p =, 所以抛物线焦点坐标为(1,0),故答案选B 考点:抛物线方程. 21.(2015年陕西文科)如图,椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -,且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程;2 212 x y += 数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2 =1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ,则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上, 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C)5 (D )6 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D ). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D .10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A . 3 B .22 C.13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 2 1. (新课标I 文数) 在直角坐标系xOy 中,直线l:y t t 0 交y 轴于点M ,交抛物线 (II )除H 以外,直线 MH 与C 是否有其它公共点说明理由 2. (新课标n 文数) 2 2 已知A 是椭圆E — 1的左顶点,斜率为k k >0的直线交E 于A , M 两点, 4 3 点 N 在 E 上, MA NA. (I) 当AM AN 时,求 AMN 的面积 (II) 当 2 AM AN 时,证明:V3 k 2. c :y 2 2px p 0 于点 P , H . OH (I )求- ■; ONI M 关于点P 的对称点为N 连结ON 并延长交C 于点 3.(新课标川文数) 已知抛物线C:y2 2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线h, *分别交C于B 两点,交C的准线于P,Q两点? (I)若F在线段AB上, R是PQ的中点,证明ARPFQ ; (n)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程? 4. (2016年北京文数) 2 2 已知椭圆C:笃与1过点A(2,0) , B 0,1)两点? a b (I)求椭圆C的方程及离心率; (II)设P为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值 2 2 已知椭圆C:笃爲 1 a b 0的长轴长为4,焦距为2三. a b (n )过动点M(0, m) m 0的直线交x 轴与点N ,交C 于点A, P (P 在第一象限), 且M 是线段PN 的中点?过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长线QM 交C 于点 B . k' (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k',证明 为定值. k (ii)求直线AB 的斜率的最小值 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05.过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A . 圆 B . 椭圆 C . 一条直线 D . 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0) 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur .若 AB 1 uuur BC , 2 A . 2 B .3 C 08.如图 , AB 是平面 的斜.线.段. ) B A P 第 10 题) A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) .5 D . 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A (0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. (13)设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B . a 2= 13 1 D . A .a 2= C .b 2= b 2=2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1: 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2: x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上. 若 F 1A 5F 2B , 2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题) 1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||. 3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求C的轨迹方程; (2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程. 4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k. 6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2 =1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 已知椭圆=1(a>b>0),点P ( a 5 5 ,)在椭圆上。 (I )求椭圆的离心率。 (II )设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。 22.【2012高考安徽文20】(本小题满分13分) 如图,21,F F 分别是椭圆C :22a x +22 b y =1(0>>b a )的左、右 焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点, 1F ∠A 2F =60°. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403,求a, b 的值. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22 221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1) P 在1C 上. (1)求椭圆1C 的方程; (2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :2 4y x =相切,求直线l 的方程. 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C :22x a +2 2y b =1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为2, 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与 不同的两点M,N (Ⅰ)求椭圆C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为3 时,求k 的值 如图,椭圆 22 22 :1(0) x y M a b a b +=>>的离心率为 3 ,直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD的面积 为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程; (Ⅱ) 设直线:() l y x m m =+∈R与椭圆M有两个不同的交点,, P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T. 求|| || PQ ST 的最大值及取得最大值时m的值. 26.【2102高考福建文21】(本小题满分12分) 如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上。(1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q。证明 以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 圆锥曲线方程 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义: ⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在x 轴上: . ii. ii. 中心在原点,焦点在轴上: . ②一般方程:.⑵①顶点:或.②轴:对称轴:x 轴,轴;长轴长,短轴长.③焦点:或 .④焦距:.⑤准线:或.⑥离心 率:. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:和 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义: 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ)0(12 22 2φφb a b y a x =+ y ) 0(12 22 2φφb a b x a y =+ )0,0(122φφB A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2 2 2 1,2b a c c F F -==c a x 2 ± =c a y 2 ± =)10(ππe a c e =),(22 2 2a b c a b d -= ),(2a b c ⑴①双曲线标准方程: . 一般方程: . ⑵①i. 焦点在x 轴上: 顶点: 焦点: 准线方程 渐近线方程: 或 ②轴为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c. ③离心率. ④通径 . ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线 方程 (分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下 焦点) ⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为, 离心率. 三、抛物线方程. 3. 设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质: 的一个端点的一条射线 以无轨迹 方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ)0,(1), 0,(12 22 22 22 2φφb a b x a y b a b y a x =- =- )0(122πAC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2 ± =0=±b y a x 02222=-b y a x y x ,a c e =a b 2 2a c e b a c =+=,22212 22 2=- b y a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2= e 0φp 圆锥曲线高考真题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 (1)求M 的方程 (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34 ,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b . 3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 ()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0.证明:FA , FP ,FB 成等差数列,并求该数列的公差. 7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> ,且经过点(0,1),圆 22221:C x y a b +=+。 (1)求椭圆C 的方程; (2)直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问是否存在这样的直线l ,使得AM MB =若存在,求出l 的方程,若不存在,请说明理由。 8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ,1C 和2C 有公共焦点 F ,点F 在x 轴正半轴上,且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。 (1)当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时,求1C 及2C 的方程; (2)设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点,交2C 于M,N 两点。当 36 7 PQ =时,求MN 的值。 9.如图,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是F (1,0),O 为坐标原点. (1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (2)设过点F 的直线l 交椭圆于A ,B 222 OA OB AB +<,求a 的取值范围. 10.设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,)0(>k kx 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点. 高三数学文科圆锥曲线大题训练(含详细解答) 1.已知椭圆2 2 :416C x y +=. (1)求椭圆C 的离心率; (2)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆 221 2 x y += 的位置关系. 1.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为 22 1164 x y +=, 所以2 2 2 2 2 16,4,12从而a b c a b ===-=, 因此4,a c ==故椭圆C 的离心率2 c e a = =............4分 (II)由22 1, 416 y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,122 1 214M y y y k +==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k =-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2 221 2 2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===- --+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21 8 k =, 所以4k =±,....................12分 故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分 又圆221 2x y += 的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分 2.已知椭圆的中心在坐标原点O ,长轴长为 离心率e = F 的直线l 交 1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 (1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点,求PAB ?面积的取值范围。 解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足:2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足:2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根,所以 12 02 y y y +=,故PM 垂直于y 轴。 (2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= -,12||y y -= 因此,3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ?面积的取值范围是 1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > (1)证明:1 2 k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ,证明:,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r 为 等差数列,并求出该数列的公差。 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳: 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点21,F F 的距离的和为 常数(大于21F F )的动点的轨迹叫椭圆 即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时, 轨迹是椭圆, 当2a =2c 时, 轨迹是一条线段21F F 当2a ﹤2c 时, 轨迹不存在 平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝 对值为常数(小于21F F )的动点的轨迹 叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时, 轨迹是双曲线 当2a =2c 时, 轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时, 轨迹不存在 标准方 程 焦点在x 轴上时: 122 22=+b y a x 焦点在y 轴上时:122 22=+b x a y 注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐 标轴上 焦点在x 轴上时:122 22=-b y a x 焦点在y 轴上时:122 22=-b x a y 常 数 c b a ,,的关 系 222b c a +=, 0>>b a , a 最大, b c b c b c ><=,, 222b a c +=, 0>>a c c 最大, 可以b a b a b a ><=,, 渐近线 焦点在x 轴上时: 0x y a b ±= 焦点在y 轴上时:0y x a b ±= 抛物线: 图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22 >=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = (一)椭圆 1. 椭圆的性质:由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x (1)范围:a x b -a ,x a ≤≤≤≤-, 椭圆落在b y ±=±=a ,x 组成的矩形中。 (2)对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心, 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称的截距。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:)0,(),0,(2a A a A -, ),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴, 21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10< 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一) 1.设F 1,F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点,动点P 的坐标为(-1,m ),过点F 2的直线与 椭圆交于A ,B 两点. (1)求F 1,F 2的坐标; (2)若直线P A ,PF 2,PB 的斜率之和为0,求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=,P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B . (1)求△P AB 面积的最大值; (2)设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5,定点()2,0M ,椭圆短轴的端点是 1B ,2B ,且21MB MB ⊥. (1)求椭圆C 的方程; (2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点,试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分APB ∠?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=,点(0,1)E . (1)经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,求||AB . (2)问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =,若存在,求出直线p 斜率的取值范围;若不存在说明理由. 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点,焦点分别在x 轴与y 轴上,它们有相同的离心率2 e =,并且2C 的短轴为1C 的长轴,1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程; (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点,P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ,B 的连线PA ,PB 分别与椭圆1C 交于E ,F 点. (i)求证:直线PA ,PB 斜率之积为常数; (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由. 文科圆锥曲线 一、选择题 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32 a x =上一点,12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形,则E 的离心率为( ) () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形, ∴322c a = ,∴e =34 , ∴0 260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c , 2.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为( ) ()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:2 2 2 x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =216a ±-,∵||AB =43,∴2216a -=43,解得a =2, ∴C 的实轴长为4,故选C. 3.已知双曲线1C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2,则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知a b 3=,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2) 到直线x y 3= 的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 (A ) 2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==,所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= 历届高考中的“椭圆”试题精选 、选择题: (2002春招北京文、理)已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点. 使得|PQ|=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线的一支 (D )抛物线 (2004福建文、理)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点, 过R 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 二、填空题: 则该椭圆的离心率 e ___________________ . 10. (2006上海理)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 倍,则该椭圆的标准方程是 ___________________________ 11. (2007江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ABC 顶点A( 4,0)和C(4,0),顶点B 在椭 2 2 圆』L 1上,则弘A sinC ________________________ 25 9 sin B 12. (2001春招北京、内蒙、安徽文、理) 椭圆x 2 4y 2 4长轴上 一个顶点为 A 以A 为直角 顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是 _______________ .- 历届高考中的“双曲线”试题精选 1.(2007 (A ) 安徽文)椭圆X 2 2 (B ) 3 4 2. (2008 上海文 ) A . 4 (2005广东) 4y 2 )设p 是椭圆 B . 5 2 x 25 1 的离心率为( 2 (C ) 2 y 16 C. 8 若焦点在x 轴上的椭圆 B. (2006全国n 卷文、理) 点,且椭圆的另外一个焦点在 (B) 6 2 (D )- 3 1上的点. x 2 D. 2 y C. 已知△ ABC 勺顶点B BC 边上,则 △ (C 4 3 (A ) 2 3 (2003北京文)如图,直线l : x 2y 2 F 1和一个顶点B,该椭圆的离心率为( 1 2 5 2, 5 A. B . - C . D . - 5 5 5 5 若F" F 2是椭圆的两个焦点, 10 1 1的离心率为一,则m=( 2 D.- 3 X 2 2 C 在椭圆_ + y = 1上,顶点 ABC 勺周长是( ) D ) 12 0过椭圆的左焦点 ) 则PF 』| PF ?等 A 是椭圆的一个焦 如果延长F i P 到Q, A 、 B 两点,若△ ABF 是正三角形, ^2 爲 (A ) (B ) - 3 3 8. (2007重庆文)已知以F 1 个交 点,则椭圆的长轴长为( 则这个椭圆的离心率是( ) 2 (2 2 2 ),F 2 (2,0 )为焦点的椭圆与直线 x < 3y 4 0有且仅有 ) (C ) (-2,0 26 (C ) 2、、7 9.(2008 全国I 卷文)在厶 ABC 中,A 90o , ta nB ?若以A , B 为焦点的椭圆经过点 C , F (- 2 3 , 0),且长轴长是短轴长的 2 4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082 2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程; (2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 2014(新课标全国卷2) (10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB = (A )303 (B )6 (C )12 (D )73 (12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 (A )[]1,1- (B )1122??-????, (C )2,2??-?? (D ) 2222??- ???? , 20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122 22=+b y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 (I )若直线MN 的斜率为4 3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。 4.已知双曲线C :22 22=1x y a b -(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x 8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=42x 的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=42,则△POF 的面积为( ). A .2 B .22 C .23 D .4 21.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程; (2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |. 2013(新课标全国卷2) 5、设椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为( ) (A )36 (B )13 (C )12 (D )33 10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。若 ||3||AF BF =,则l 的方程为( ) (A )1y x =-或!y x =-+ (B )3(1)3y x =-或3(1)3 y x =-- (C )3(1)y x =-或3(1)y x =-- (D )2(1)2y x = -或2(1)2y x =-- (20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为23。 (Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程; (Ⅱ)若P 点到直线y x =的距离为22 ,求圆P 的方程。 2018(新课标全国卷2 理科) 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A .y = B .y = C .y = D .y = 12.已知1F ,2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在 过A 的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=?,则C 的离心率为 A . 2 3 B . 12 C .13 D . 14 19.(12分) 设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程; (2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 2018(新课标全国卷2 文科) 6.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A .y = B .y = C .y = D .y = 11.已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=?, 则C 的离心率为 A .1- B .2 C D 1 20.(12分)设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A , B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程; (2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 2018(新课标全国卷1 理科) 8.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为 2 3 的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ?u u u u r u u u r = A .5 B .6 C .7 D .8高考文科数学真题大全圆锥曲线老师版
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