文科高考试题分类圆锥曲线

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高考文科试题分类汇编：圆锥曲线(详解)——精品文档

高考文科试题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2019高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C.2.【2019高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.3.【2018高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（） (A) 283x y =(B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

高考数学【文科】真题分类详细解析版专题10圆锥曲线（解析版）

专题10 圆锥曲线【2013年高考真题】（2013·新课标Ⅰ文）（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（）（A ）2 （B ）（C ）（D ）4（2013·新课标Ⅰ文）（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x=±（2013·新课标Ⅱ卷）10. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（）（A ）y=x-1或y=-x+1 （B ）（X-1）或y=（x-1）（C ）（x-1）或y=（x-1）（D ）（x-1）或y=（x-1）【答案】C 【解析】由题意,可设||BF x =，则||3AF x =，设直线l 与抛物线的准线相交于点M ，则由抛物线的定义可知：||2MB x =，所以直线l 的倾斜角为60 或120 ，即直线l 的斜率为，故选C.【学科网考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、直线方程的求解、数形结合以及转化的数学思想，考查分析问题、解决问题的能力.（2013·天津卷）11. 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .（2013·上海文）12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为．（2013·陕西文）11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .（2013·陕西文）8. 已知点M(a,b)在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是(A) 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定（2013·陕西文）7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为(A) －6(B) －2(C) 0(D) 2（2013·山东文）11. 抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =A.163 B.83 C.332 D. 334【答案】D【解析】画图可知被1C 在点M 处的切线平行的渐近线方程应为y x =，设2,2t M t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则利用求导得（2013·辽宁文）（15）已知F 为双曲线22:1,916x y C P Q C PQ -=的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，()5,0A PQ PQF ∆点在线段上，则的周长为 .（2013·辽宁文）（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67【答案】B【解析】AFB 三角形中，由余弦定理可得：222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠（2013·江西文）9．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。

全国各地高考文科数学试题分类汇编圆锥曲线

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（）DA ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2 ．从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（）CA ．24B ．12C ．22D ．323 ．设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为C ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)4 ．O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为CA ．2B ．2C ．23D ．45 ．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>5,则C 的渐近线方程为．12y x =± （）CA ．14y x =±B ．13y x =±CD ．y x =±6 ．双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（）BA ．21 B ．22 C ．1D ．27 ．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（）DA ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 8 ．抛物线28y x =的焦点到直线30x -=的距离是（）DA ．3B ．2C 3D ．19 ．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（）DA ．B ．C ．D ．10已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（）CA ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为（）BA ．35B ．57C ．45D ．6712．设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）AA ．23(,2]3 B ．23[,2)3C ．23(,)3+∞ D ．23[,)3+∞ 13．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（）DA ．12B ．22C ．2D ．214．双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是（）CA ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >15．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（）CA ．1B ．2C ．4D ．4616．已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= （）CA ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:317．抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）DA ．163 B ．83 C ．332 D ．334 18．如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（）DA ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是（）A ．2B ．3C ．32D ．62二、填空题19．设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.20．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________.【答案】4521．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】4422．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.【答案】4623．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.2,1x =-24．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13-25．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -=（第9题图）三、解答题26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点, 求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122pp =⇒=,所以抛物线方程是: 24xy =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BOx x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =, 由118442M x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442Nx y xx x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以21212121288||11||2|82||44164()M N x x MNx x x x x x x x -=+-=-=---++①设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 且22121212||()441x x x x x x k -=+-=+代入①得到:22411||82|8216164|43|k k MN k k ++==---设34304tkt k +-=≠∴=, ① 当0t >时22256256||82221224t t MN t t t++==++≥,所以此时||MN 的最小值是22;② 当0t <时,2222562565316482||8222122()2452555t t MN t t t t++==++=++≥⨯=,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 综上所述:||MN 的最小值是825;27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,2(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆6,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =,求实数t 的值.【答案】将x m =代入椭圆方程2212y x +=,得28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(1)依题意2d==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9229．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【答案】30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.【答案】解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-, 由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2)所以点C 到准线l 的距离2d =,又||5CO =. 所以22||2||2542MN CO d =-=-=.(Ⅱ)设200(,)4y C y ,则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+, 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-,得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -,2(1,)N y -,则: 222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅,得12||4y y =所以2142y +=,解得06y =±,此时0∆>所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =,33||2CO =,即圆C 的半径为33231．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2214x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形.【答案】解:(I)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设1(,)2A t ,代入椭圆方程得21144t +=,即3t =±. 所以|AC|=23.(II)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且AC⊥OB,所以0k ≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk +).因为M 为AC 和OB 的交点,且0m ≠,0k ≠,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mx y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【答案】解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (II)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=; 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得23AB =.若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则1QP RQM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得2311k k=+, 解得k=±2. 当k=24时,将y=24x+2代入22143x y +=,并整理得27880x x +-=, 解得21,22146218.=1+k 77x AB x x -±=-=所以. 当k=218=47AB -时，有图形的对称性可知. 综上,=23AB 或187AB =. 33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .所以,动点M 的轨迹为椭圆,方程为13422=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m 斜率k 存在.3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得:221221224324,432402424)43kx x k k x x kx x k +=⋅+-=+⇒=+++（ 232924)43()24(252)(2212221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x 所以,直线m 的斜率23±=k 34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与 (I)求,;a b ;(II)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF - 证明:22AF AB BF 、、成等比数列【答案】(Ⅰ)由题设知3ca=,即2229a b a +=,故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.将y=2代入上式,求得,x =由题设知,=解得,21a =. 所以1,a b ==(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=. ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||k <,代入①并化简得,2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则 11x ≤-,21x ≥,212268k x x k +=-,2122988k x x k +•=-.于是 11||(31)AF x ===-+,12||31BF x ===+由11||||AF BF =得,12(31)31x x -+=+,即1223x x +=-. 故226283k k =--,解得245k =,从而12199x x •=-.由于21||13AF x ===-,22||31BF x ===-,故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=,221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=.因而222|||||AB|AF BF •=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.【答案】36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在Y 轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.【答案】38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.O x yBA 第22题图CDMN【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.mnλ=>(Ⅰ)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-, 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为12211d kk =++,22211d k k=++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得222A x a k m =+222B x a k n=+O x y BA 第22题解答图1CDMN O x yB A第22题解答图2CDMN根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是222222221||2||||21||A D A B B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得11t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为12211d kk ==++,22211d k k==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==. 因为221||||||1||B D A B A BA B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得1A Bxx λ<<. 从而111λλλ+<<-,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.【答案】40．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D 的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-⇒⇒y x C C 的方程为圆.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离22m1|2m |m1|2-22m |=d +=++.22222m14)m 144(4+=+-=⇒m b ：在圆中，由勾股定理得. 整理得：联立直线和椭圆方程，设直线与椭圆相交于点),,(),,(2211y x F y x E5204544)(0145(22212122+=++-=++=+⇒=-++m m m my y m x x my y m ）由椭圆的焦半径公式得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab ..),3[]3,0[)(0,51)(上单调递减上单调递增，在在令+∞=⇒≥++=x f y x x x x f .23.3)3.()(2+±==⇒≤y x ab m f x f 这时直线方程为取最大值时，当令所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为41．（2013年高考安徽（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,2)A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由【答案】解: (1)因为椭圆过点23)P ， ∴22231a b+= 且222a b c =+∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C的方程是22184x y += (2)由题意,各点的坐标如上图所示,则QG 的直线方程:000088x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x xy y ---= 又220028x y +=,所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.42．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.【答案】解:222222233124c c a b b a a a a -===-=(1）因为e=故所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1, 2214x C y ∴+=椭圆的方程为：1)2≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①将①代入2214x y +=,解得222824(,)4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ② ①与②联立解得424(,)2121k kM k k +--由222824(0,1),(,),(,0)4141k k D P N x k k --++三点共线可角得42(,0)21k N k --所以MN 的分斜率为m=214k +,则211222k m k k +-=-=(定值)。

圆锥曲线【2007——2013湖北高考数学(文科真题分类整理)独自整理,附带答案】

1、（2007•湖北文12）过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为8 ．考点：双曲线的简单性质。

专题：计算题。

分析：根据双曲线第一定义有|MF2|﹣|MF|=2a，|NF2|﹣|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值．解答：解：根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|=2a，|NF2|﹣|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|=4a=8．答案：8．点评：本题主要考查双曲线定义的灵活运用．2、（2007•湖北文15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量V﹣ABC（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过0.6 小时后，学生才能回到教室．考点：直线与圆锥曲线的综合问题。

专题：综合题。

分析：（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt，把点（0.1，1）代入直线方程求得k，得到直线方程；当t＞0.1时，把点（0.1，1）代入求得a，曲线方程可得．最后综合可得答案．（2）根据题意可知y≤0.25，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得t的范围．解答：解：（I）由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点（0.1，1）在直线上，∴k=10；同理，当t＞0.1时，可得（II）由题意可得，即得或或t≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．点评：本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案．3、（2007•湖北文21）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2﹣2py（p＞0）相交于A、B两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的张长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用。

十年全国高考数学真题分类汇编 (文科)圆锥曲线选择题(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）圆锥曲线选择题（精解精析）1．(2021年高考全国甲卷文科)点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==．故选：A ．2．(2021年全国高考乙卷文科)设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为( )A ．52B CD ．2【答案】A解析：设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426424PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=--+ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当012y =时，PB 的最大值为52．故选：A ．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则△OPF 的面积为 ( )A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =，则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得5()33P ．5sin 9POF ∴∠=．则15533292OPF S ∆=⨯⨯⨯=．故选：B ．7．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 ( )ABC ．2D【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心，||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．【点评】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =( ) A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点评】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为() ( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】由222AF F B =，1AB BF =，设2F B x =，则22AF x =，13BF x =，根据椭圆的定义21212F B BF AF AF a +=+=，所以12AF x =，因此点A 即为椭圆的下顶点，因为222AF F B =，1c =所以点B 坐标为3(,)22b ，将坐标代入椭圆方程得291144a +=，解得223,2a b ==.10．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为()( )A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ，离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e .11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知双曲线22221x y C a b-=：(00a b >>，)()40，到C 的渐近线的距离为 ( )AB ．2C．2D．【答案】D解析：由题意c e a ==，则1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==．故选D ． 12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 ( )A．1- B．2CD1【答案】D解析：12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，可得椭圆的焦点坐标2(,0)F c，所以1()2P c ．可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，解得1e =．故选D ．13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为( ) A．y = B．y = C．y x = D．y = 【答案】A解析：∵双曲线的离心率为ce a ==，则b a =====即双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选A ． 14．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12CD【答案】C解析：22224,2,8,b c a b c a ===+=∴=2c e a ==． 15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知椭圆,的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )ABCD ．【答案】A【解析】法一：以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A ．法二：以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A ．【考点】椭圆离心率【点评】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．22221x y C a b+=：0a b（）12A A ，12A A 20bxay ab -+=C 1312A A R a =20bx ay ab -+=()0,020bx ay ab -+=d R a ===223a b=c e a ==3==12A A 222x y a +=20bx ay ab -+=d a ==223a b =()22222323a a c a c =-⇒=2223c a =c e a ==,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)过抛物线的焦点,于点(在轴上方),为的准线,点在上,且⊥,则到直线的距离为()A B．C．D．【答案】C【解析】由题知,与抛物线联立得,解得所以,因为,所以,因为,所以所以到方法二:设,,,由题知:．解得:．则,,则到直线的距离为故选C．【考点】直线与抛物线位置关系【点评】直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达定理或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及中点弦问题往往利用点差法．或者由抛物线焦半径公式:得出．17．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查双曲线的性质．由题知,a>1,又, 则．故选C．【考点】双曲线离心率【点评】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2:4C yx=F C M Mx l C N l MN l M NF:1)MF y x=-24y x=231030x x-+=121,33x x== (3,M MN l⊥(1,N-(1,0)F:1)NF y x=-M NF=()00,M x y()01,N y-()1,0F211cos60MF x==+-3x=()200120y y=>y=4MF MN NF===M NF1cos2p pMF xθ==+±1a>2221xya-=)+∞)2(()1,21b=c=c=(cea===,,a b c,,a b c b,a c,,a b c18．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设是椭圆上的动点,椭圆上存在点满足等价于的最大值大于或等于．可以猜测:当点为椭圆短轴上的顶点时,取得最大值(证明放在最后)当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,得;当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,得,故的取值范围为,故选A ．命题:设,是椭圆长轴的两个端点,是椭圆上任意一点,为椭圆短轴上一顶点,求证:．如图,设,则则,,A B 22:13x yC m+=C M 120AMB ∠=︒m (][)0,19,+∞([)9,+∞(][)0,14,+∞([)4,+∞P C C M 120AMB ∠=︒APB ∠120︒P APB ∠03m <<x C M 120AMB ∠=︒tan 60ab ≥︒=≥01m <≤3m >y C M 120AMB ∠=︒tan 603a b =≥︒=9m ≥m (0,1][9,)+∞A B 22221(0)x y a b a b +=>>P M APB AMB ∠≤∠(,),(,0)P x y G x 2222222221x y a x a a b y b -+=⇒=tan P AG a x APG G y +∠==tan BG a xBPG PG y-∠==故,又由于,在递增所以当时,取得最大值．【考点】椭圆【点评】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系,求解时充分借助题设条件转化为,这是简化本题求解过程的一个重要措施,同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．19．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知是双曲线的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则的面积为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】 D【解析】由得,所以,将代入,得,所以,故选D ． ,结合与轴的面积．222222222tan tan 2tan tan()1tan tan 11a a y y APG BPG a b APB APG BPG a x a APG BPG y c y b ∠+∠∠=∠+∠====-⨯--∠∠--22222tan a b abAPB b c c ∠≤-⨯=-tan 0APB ∠<tan y APB =∠(,)2ππy b=APB ∠,a b 120AMB ∠=︒tan60ab ≥︒=F 22:13y C x -=P C PF xA (1,3)APF △131223322224c a b =+=2c =(2,0)F 2x =2213y x -=3y =±133(21)22=⨯⨯-=(2,0)F PF x20．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：F 的左焦点，A B ，分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】法1：由题意得，(),0A a -，(),0B a ，根据对称性，不妨2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设:l x my a =-，∴,a c M c m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,a E m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线:(),()a c BM y x a m a c -=--+又∵直线BM 经过OE 中点， ∴()1()23a c a a c e a c m m a -=⇒==+，故选A ．法2．如图：记OE 的中点为N ，因为MF OE ∥，所以,.ON a MF a cMF a c OE a-==+ 又因为2OE ON =，所以12a a c a c a -=⋅+，解得13c e a ==．故选A ．21．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为抛物线:C 24y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =( )．A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以,A C ，所以2k =，选D ．22．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】如图，由题意得在椭圆中，11,,242OF c OB b OD b b ===⨯=在Rt OFB ∆中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆得离心率得：12e =，故选B ．23．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B分析：∵抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为，c =2，∵，∴，∴，∴椭圆E 方程为，将代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB |=6，故选B ．考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质24．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ．B 两点，则||AB = ( )AB ．6C ．12D．【答案】C解析：方法一：设2AF m =，2BF n = ，3(,0)4F ，由抛物线的定义和直角三角形知识可得，m =n =，∴6m n +=，2212AB AF BF m n =+=+=。

全国各地高考文科数学试题分类大全圆锥曲线

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等【答案】D2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（） A ．24B ．12C ．22D ．32【答案】C3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（） A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=√33(X-1)或y=-√33(x-1) C ．y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D ．y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)【答案】C4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为（）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】C5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52,则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C6 ．（2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．21B ．22 C ．1D ．2【答案】B7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（）A ．B ．2 CD ．1【答案】D9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆22:1(0)x y C a b +=>>的左、右焦点分别为,,F F P 是C 上的点A 10已知F 3AB =，则C A 11．焦点为F 45=,则C A 【答案】B12．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞ 【答案】A13．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M-,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =u u u r u u u rg ,则k =（）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D14．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是（）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C15．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=L ,当点(),x y 分别在12,,ΩΩL上时,x y +的最大值分别是12,,M M L ,则lim n n M →∞=（）A ．0B ．41 C ．2D ．22【答案】D16．（2013年高考安徽（文））直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（）A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C17．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（） A ．2:√5B ．1:2C ．1:√5D ．1:3【答案】C18．（2013年高考山东卷（文））抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）A ．163B ．83 C ．332 D ．334 【答案】D19．（2013年高考浙江卷（文））如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（）A ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是（）A ．2B ．3C ．32D ．62（第9题图）【答案】 D ．二、填空题20．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.【答案】13+21．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________.【答案】4522．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】44232013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.【答案】46324．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【答案】2,1x =-25．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13-26．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -= 三、解答题27．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点, 求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122pp =⇒=,所以抛物线方程是: 24xy =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BOx x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =, 由11442M x y x x x y x ⎧=∴=⎨-⎪=-⎩,同理由22442Nx y xx x y x ⎧=∴=⎨-⎪=-⎩所以21212121288||11||2||82||44164()M N x x MNx x x x x x x x -=+-=-=---++设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 且22121212||()441x x x x x x k -=+-=+,代入①得到:22411||82||8216164|43|k k MN k k ++==---, 设34304tkt k +-=≠∴=, ① 当0t >时22256256||82221224t t MN t t t++==++≥,所以此时||MN 的最小值是22;② 当0t <时,2222562565316482||8222122()22452555t t MN t t t t++==++=++≥⨯=,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 综上所述:||MN 的最小值是825;28．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,2(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =u u u r u u u r,求实数t 的值.【答案】将29．（20y -=的. ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, ∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9230．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【答案】31．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.【答案】解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-,由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2)即由设由32．（所以可设1(,2A t ,代入椭圆方程得21144t +=,即t =所以|AC|=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且AC⊥OB,所以0k ≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+).因为M 为AC 和OB 的交点,且0m ≠,0k ≠,所以直线OB 的斜率为14k-. 因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mx y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB . 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【答案】解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (II)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=; 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得23AB =.若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则1QP RQM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得2311k k=+,解得k=±24. 当k=24时,将y=24222143x y +=,并整理得27880x x +-=, 解得21,22146218=1+k 7x AB x -±=-=所以. 当k=218=47AB -. 综上,=23AB 或187AB =.34．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x . 所以,动点M 的轨迹为椭圆,方程为13422=+y x(Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m 斜率k 存在.3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得: 所以,直线m 的斜率23±=k 35．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为 (I)求,;a b ; (II)、2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF -证明:22AF AB BF 、、成等比数列【答案】(Ⅰ)由题设知3ca=,即2229a b a +=,故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=. 将y=2代入上式,求得,212x a =±+. 由题设知,21262a +=,解得,21a =.所以1,22a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=. ① 由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||2k <,代入①并化简得,2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则 11x ≤-,21x ≥,212268k x x k +=-,2122988k x x k +•=-.于是 2222111111||(3)(3)88(31)AF x y x x x =++=++-=-+,由11||||AF BF =得,12(31)31x x -+=+,即1223x x +=-. 故226283k k =--,解得245k =,从而12199x x •=-. 由于2222211111||(3)(3)8813AF x y x x x =-+=-+-=-,2222222222||(3)(3)8831BF x y x x x =-+=-+-=-,故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=,221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=.因而222|||||AB|AF BF •=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.36．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.【答案】37．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值; (II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】38．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2√2,在Y 轴上截得线段长为2√3.(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.【答案】39．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.mnλ=>(Ⅰ)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-, 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak ak d k k --==++,222|0|11ak akd k k -==++,所以12d d =. 又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. [来源:学科网ZXXK] 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得222A x a k m =+222B x a k n =+根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是第22题解答图1 第22题解答图2222222221||2||||21||A D A BB C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-. [来源:学|科|网]因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得1t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak akd kk --==++,222|0|11ak akd k k-==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==. 因为221||||||1||B D A B A BA B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得1ABx x λ<<. 从而111λλλ+<<-,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.40．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.[来源:学_科_网]【答案】41．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D 的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-⇒⇒y x C C 的方程为圆.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离22m1|2m |m1|2-22m |=d +=++. [来源:]22222m14)m 144(4+=+-=⇒m b ：在圆中，由勾股定理得. 由椭圆的焦半径公式得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab .所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为42．（2013年高考安徽（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,22)A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由【答案】解: (1)因为椭圆过点(23)P ，∴22231a b+= 且222a b c =+ ∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22184x y += (2)由题意,各点的坐标如上图所示,则QG 的直线方程:0000808x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x x y y ---=又220028x y +=, 所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.43．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e =√32,a+b=3 (1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.【答案】解:222222233124c c a b b a a a a -===-=(1）因为e=故所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1, 12≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①将①代入2214x y +=,解得222824(,4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ②①与②联立解得424 (,2121k k Mk k+--由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N xk k--++三点共线可角得42(,0)21kNk--所以MN的分斜率为m=214k+,则211222km k k+-=-=(定值)。

高考文科数学试题分类汇编：圆锥曲线

高考文科数学分类汇编：圆锥曲线【2018•新课标Ⅰ文】设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线与C交于M,N两点。

（1）当与x轴垂直时,求直线BM的方程; （2）证明:∠ABM=∠ABN【答案】（1）解：当l与x轴垂直时，l:x=2，代入C：y2=4∴或（2，-2）∴∴（2）解：设设的斜率分别为，则有：设∴分子为0，故=0，从而【2018•新课标Ⅱ文】设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。

（2）求过点且与的准线相切的圆的方程.【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0X1+x2=2+ 而，且k＞0解得：k=1；所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5；设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得：或因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144【2018•新课标Ⅲ文】已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明: （2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:【答案】（1）解：设设A（x1,y1）B（x2,y2）所以又所以所以（2）解：F（1,0）所以P（1，-2m）在抛物线上所以3+16m2=12 16m2=9 ；即又同理；所以所以【2018•天津文】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又，∴由, . ∴椭圆的方程为.（II）设P，M，则，点的坐标为的面积是面积的2倍，可得，从而，即.易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意. ∴的值为【2018•北京文20】已知椭圆的离心率为，焦距2 .斜率为k的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A ，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.【答案】解：（Ⅰ）；；∴椭圆方程（Ⅱ）l:y=x+m,当m=0时，（Ⅲ）设∴代入上式得则；即同理因为C、D和共线，所以【2017•新课标Ⅰ文】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【答案】（1）设A（x 1，），B（x2，）为曲线C：y=上两点，则直线AB的斜率为k==（x 1+x2）=×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x 1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y=的导数为y′=x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为•=﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．【2017•新课标Ⅱ文】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【答案】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x 0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x 0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【2017新课标3理】在直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】解：（1）曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，可设A （x 1，0），B （x 2，0），由韦达定理可得x 1x 2=﹣2，若AC ⊥BC ，则k AC •k BC =﹣1，即有•=﹣1，即为x 1x 2=﹣1这与x 1x 2=﹣2矛盾，故不出现AC ⊥BC 的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0），由题意可得y=0时，x 2+Dx +F=0与x 2+mx ﹣2=0等价，可得D=m ，F=﹣2，圆的方程即为x 2+y 2+mx +Ey ﹣2=0，由圆过C （0，1），可得0+1+0+E ﹣2=0，可得E=1，则圆的方程即为x 2+y 2+mx +y ﹣2=0，再令x=0，可得y 2+y ﹣2=0，解得y=1或﹣2．即有圆与y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．【2017年北京文】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32．（1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a=2，c a =32，解得c= 3. 所以b 2=a 2-c 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）设M （m ，n ），则D （m ，0），N （m ，-n ）.由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM =n m+2，故直线DE 的斜率k DE =-m+2n . 所以直线DE 的方程为y=-m+2n （x-m ）. 直线BN 的方程为y=n2-m （x-2）.联立⎩⎨⎧y=-m+2n （x-m ），y=n 2-m （x-2），解得点E 的纵坐标y E=n （4-m 2）4-m 2+n 2.由点M 在椭圆C 上，得4-m 2=4n 2. 所以y E =-45n.又S △BDE =12|BD|·|y E |=25|BD|·|n|， S △BDN =12|BD|·|n|，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5.【2017山东文】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为2 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【解析】（1）由椭圆的离心率为22，得a 2=2(a 2-b 2)，又当y=1时，x 2= a 2-a 2b 2，得a 2-a 2b 2=2，所以a 2=4,b 2=2，因此椭圆方程为x 24+y 22=1.（2）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，联立方程⎩⎨⎧y=kx+m ，x 2+2y 2=4，得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-4=0，由Δ＞0得m 2＜4k 2+2.（*）且x 1+x 2=4km 2k 2+1，因此y 1+y 2=2m 2k 2+1，所以D （-2km 2k 2+1，m 2k 2+1）又N （0，-m ），所以|ND|2=（-2km 2k 2+1）2+（m2k 2+1+m ）2，整理得|ND|2=4m 2(1+3k 2+k 4)(2k 2+1)2,因为|NF|=|m|，所以|ND|2|NF|2=4(k 4+3k 2+1)(2k 2+1)2=1+8k 2+3(2k 2+1)2. 令t=8k 2+3,t≥3，故2k 2+1=t+14，所以|ND|2|NF|2=1+16t (1+t)2=1+16t+1t +2. 令y=t+1t ，所以y ′=1-1t 2.当t ≥3时，y ′＞0, 从而y=t+1t 在[3，+∞）上单调递增，因此t+1t ≥103，等号当且仅当t=3时成立，此时k=0，所以|ND|2|NF|2≤1+3=4，由（*）得-2＜m ＜2且m ≠0. 故|NF||ND|≥12，设∠EDF=2θ，则sin θ=|NF||ND|≥12，所以θ的最小值为π6，从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述，当k=0，m ∈（-2，0）∪（0，2）时，∠EDF 取到最小值π3.【2017年浙江文】如图，已知抛物线x 2=y ，点A （-12，14），B （32，94），抛物线上的点p(x,y)(-12＜x ＜32)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求|PA|·|PQ|的最大值．【解析】（1）设直线AP 的斜率为k ，k=x 2-14x+12=x-12，因为-12＜x ＜32，所以直线AP 斜率的取值范围是（-1，1）．（2）联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx-y+12k+14=0，x+ky-94k-32=0，解得点Q 的横坐标是x Q=-k 2+4k+32(k 2+1)．因为|PA |=1+k 2(x+12)=1+k 2(k+1)，|PQ |=1+k 2(x Q -x)=-(k-1)(k+1)2k 2+1，所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3．令f(k)=-(k-1)(k+1)3，因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2，所以f (k )在区间(-1,12)上单调递增，(12,1)上单调递减，因此当k =12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716．【2017天津文】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，△EFA 的面积为22b （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，32FQ c=，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M 、N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c（ⅰ）求直线FP 的斜率（ⅱ）求椭圆的方程【答案】（Ⅰ）12AEFS AF OE ∆=⨯⨯21()22b ac c =+⨯=，因为222b ac =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==（Ⅱ）（ⅰ）45EFO ∠=︒，设1EQ EAλλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，FE =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ⅱ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组 2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c因为69(,)510c c FQ =，所以9(,)510c c Q ，即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（ⅰ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c c QN FQ =⨯=⨯=，MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c = 所以2332c c =，解之得2c =，所以4,a b ==2211612x y += 【2017•江苏文】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P （x 0，y 0），则直线PF 2的斜率=，则直线l 2的斜率k 2=﹣，直线l 2的方程y=﹣（x ﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l 2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x 0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y 0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l 1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m ，则Q （﹣m ，），由Q 在椭圆方程，由对称性可得：=±n 2，即m 2﹣n 2=1，或m 2+n 2=1，由P （m ，n ），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P 在第一象限，所以P 的坐标为：P （，）．【2016 新课标Ⅰ文】在直角坐标系xoy 中，直线l ：y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .(Ⅰ)求OHON ； (Ⅱ)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p , t )，ON 的方程为p y x t=. 联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分所以H (22t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON =2. …6分(Ⅱ)直线MH 的方程为2p y t x t -=，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0.解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. …12分【2016新课标Ⅱ文】已知A 是椭圆E ：+=1的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（I ）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积（II ）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k ＜2．【解析】解：（I ）由椭圆E 的方程：+=1知，其左顶点A （﹣2，0），∵|AM|=|AN|，且MA ⊥NA ，∴△AMN 为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a=或a=0（舍），∴S△AMN=a×2a=a2=；（II）设直线l AM的方程为：y=k（x+2），直线l AN的方程为：y=﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴x M﹣2=﹣，∴x M=2﹣=，∴|AM|=|x M﹣（﹣2）|=•=∵k＞0，∴|AN|==，又∵2|AM|=|AN|，∴=，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0，设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0，∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，又f（）=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，∴＜k＜2．【2016新课标Ⅲ（文）】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PRF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【2016浙江文】如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴，∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4，∴B（），又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y=﹣，则N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，于是m==，得m＜0或m＞2．经检验，m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【2016天津文】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．【解析】解：（1）由+=，得+=，即=，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA=∠MAO，∴x0=1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），令x=0，得y H=（k+）x0﹣2k，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，整理得：=1，即8k2=3．∴k=﹣或k=．【2016四川文20】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳【解析】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|==．∴x0=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．【2016山东文】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．【解析】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k==，k′==﹣，==﹣3．为定值；（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0可得x B=，y B=+m，同理解得x A=，y A=，x B﹣x A=﹣=，y B﹣y A=+m﹣（）=，k AB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k+，当且仅当k=时取等号．此时，即m=，符合题意．所以，直线AB的斜率的最小值为：．【2016江苏文】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【解析】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【2016北京文】已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解析】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴=====．∴四边形ABNM的面积为定值2．【2015新课标I文】（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由=1，解得：k1=，k2=．故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，由•=x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．【2015新课标2】椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【答案】（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故M x==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【2015•四川文】如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 ==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3【2015•安徽文】设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【解析】（1）设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，﹣），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，﹣）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB【2015•天津文】已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）由（I）知a=c，b=2c，k BF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得x P=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得x Q=，又∵λ=，及x M=0，∴λ===；（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵y P=2x P+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此c=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．【2015•浙江文】如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．（Ⅰ）求点A，B的坐标；（Ⅱ）求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立，化为x2﹣4kx+4kt=0，∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，∴x=2t，∴A（2t，t2）．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，∴，解得．∴B．（II）由（I）可得：k AB==，直线AB的方程为：y﹣t2=，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，∴点P到直线AB的距离d===t，又|AB|==t2．∴S△PAB==．【2015•重庆文】如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．（Ⅰ）若|PF1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．【答案】（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+）+（2﹣）=4，解得a=2．设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF1，∴2c=|F1F2|===2，∴c=．∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆的标准方程为．（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，∴|QF1|==，由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，∴|PF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=2a﹣|PF1|=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，∴+=4c2，∴+=e2．令t=1+λ，则上式化为=，∵t=1+λ，且≤λ＜，∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴，∴，解得．∴椭圆离心率的取值范围是．【2015北京】已知椭圆22:33C x y+=，过点()1,0D且不过点()2,1E的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线3x=交于两点M.（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.【解析】（1）ca== e=（2）因为AB⊥x轴，所以AB:X=1；分为A在B上和B在A上两种情况讨论：当A在B上时(1,(1,33A B，所以133:112yAEx-=--，解得23y=-此时233131BMK==-，同理，当A在B上时，1BMK=通过画图可以初步判断BM与DE平行理由如下：由题意1122,1y x AD AZ DB y AM -==- 12..(2)AD AM AE BD y y x -=+-（1）设AB 的方程为ty=x-1与椭圆方程2213x y +=联立得到 22(3)220t y ty ++-=由韦达定理得12122222,33t y y y y t t --+==++ 由（1）得1211(2)0y y ty y +-+=所以AD AEBD AM=，于是BM ∥DE【2015•福建文】已知点F 为抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点A （2，m ）在抛物线E 上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G （﹣1，0），延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（I ）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2． ∴抛物线E 的方程为y 2=4x ；（II ）证明：∵点A （2，m ）在抛物线E 上， ∴m 2=4×2，解得m=，不妨取A ，F （1，0），∴直线AF 的方程：y=2（x ﹣1），联立，化为2x 2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G （﹣1，0），∴k GA=．k GB ==﹣，∴k GA +k GB =0，∴∠AGF=∠BGF ，∴x 轴平分∠AGB ，因此点F 到直线GA ，GB 的距离相等，∴以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解法二：（I ）同解法一．（II ）证明：点A （2，m ）在抛物线E 上，∴m 2=4×2，解得m=，不妨取A，F （1，0），∴直线AF 的方程：y=2（x ﹣1），联立，化为2x 2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G （﹣1，0），可得直线GA ，GB 的方程分别为：x ﹣3y+2=0，=0，点F （1，0）到直线GA 的距离d==，同理可得点F （1，0）到直线GA 的距离=．因此以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切【2015广东文】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B.（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】（1）2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx =设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kx x y x x k x x k x x x x k k ky y k x k k y k x y xx x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即2229535(,3]13530(,3]3x k x x y x ∴=∈+∴-+=∈轨迹方程：（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()22035430343x y k k k -+=-==--==-的两个极限值：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时：【2015•湖北文】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线l 1：x ﹣2y=0和l 2：x+2y=0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立． ∴椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x=4或x=﹣4，都有S △OPQ =，②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m ，（k），由消去y ，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0，∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， ∴△=64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣16）=0，即m 2=16k 2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．【2015•湖南文】已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），【解析】∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±【2015•山东文】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由题意可知2a=4，∴a=2，又=，a2﹣c2=b2，∴b=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为：+=1．（i）设P（x0，y0），=λ，由题意可得Q（﹣λx0，﹣λy0），∵+=1，及+=1，即（+）=1，∴λ=2，即=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，由勾股定理，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|x1﹣x2|=，∵直线y=kx+m交y轴于点（0，m），∴S△OAB=|m|•|x1﹣x2| =|m|•==2，设t=，将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0，可得m2≤1+4k2，又∵m2＜4+16k2，∴0＜t≤1，∴S=2=2=≤2，当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值2，由（i）知S△ABQ=3S，∴△ABQ面积的最大值为6．【2015•陕西文】如图，椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，所以+y 2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣1）+1（k ≠0），代入椭圆方程+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k （k ﹣1）x+2k （k ﹣2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），x 1x 2≠0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，且△=16k 2（k ﹣1）2﹣8k （k ﹣2）（1+2k 2）＞0，解得k ＞0或k ＜﹣2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =+=+=2k+（2﹣k ）（+）=2k+（2﹣k ）•=2k+（2﹣k ）•=2k ﹣2（k ﹣1）=2．即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．【2015上海文】已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记AOC 的面积为S .（1）设()()1122,,,A x y C x y ，用A C 、的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-；（2）设1:l y kx =，C ⎝⎭，13S =，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，并使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）C 到直线1l（2）1k =-或15k =-；（3）12m =-【解析】（1）由题意可知()11,OA x y =，1l 的一个法向量()111,n y x =-，∴111:0l y x x y -=， ∴点()22,C x y C 到直线1l 的距离d =故1212122y x x y S OA d -=⋅==.（2）由（1）可得：)1113x y =-，即11x y -=，又221121x y +=∴()()2221111423x y x y -=+，由此可得211115610y yx x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即25610k k ++=，解之1k =-或15k =-；（3）易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为m 可得：1212y y mx x =，又()2211112y x =-，()2222112y x =-，所以()()()2222222222212121212121111144y y m x x x x x x x x ==--=--+，即()222221212114x x m x x +=+-，而()22222212211221121211224S x y x y x y x y x x y y ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭()()222222211212111112422x x x x mx x ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦化简得()22222121212184m S x x x x +=+-，将()222221212114x x m x x +=+-代入得：()222222212122111421188488m m m S x x x x +⎛⎫-+=+-=-⎪⎝⎭欲使面积S 为定值，只需12m =-即可，此时面积S =.。

高考文科数学试题分类解析之圆锥曲线

第九章圆锥曲线试题部分1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）122.【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b -=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A) 12±(B) ± (C) 1± (D)3.【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B (C )6 (D 4.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)5.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．6.【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（）A ．9B ．4C ．3D ．27.【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（）(A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D)2213y x -= 8.【2015高考湖南，文6】若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A 、B 、54C 、43D 、539.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -=10.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >11.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)412．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是． 13.【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2221y x b -=（0b >）的一个焦点，则b = ．14【2015高考上海，文7】抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .15【2015高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .16.【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22221x y a a -=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为- .17.【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为. （Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 18．【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由． 19.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．20.【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．21.【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C相交于第22题图1第22题图2y,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向.（I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.22.【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b b αα的离心率为12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . （i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.23.【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，. (I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.24.【2015高考四川，文20】如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b>0)Cy，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝－1 (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 26.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.27.【2015高考重庆，文21】如题（21）图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）的左右焦点分别为1F ,2F ,且过2F 的直线交椭圆于P,Q 两点，且PQ ⊥1PF .(Ⅰ)若|1PF |2PF . (Ⅱ)若|PQ|=λ|1PF |，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围. 28【2015高考上海，文22】（本题满分14分）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.参考答案1.【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b +=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 2【答案】C 由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=∙C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-ab a b ac a c ，化简得到1122±=⇒=a ba b ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.3【答案】D 由题意，a ＝1，b ，故c ＝2，渐近线方程为y ＝x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±故|AB |＝，选D 4【答案】B 由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B5【答案】6【答案】C 由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 7【答案】D 由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()222y 3x -+=相切得=,由2c ==,解得1,a b ==故选D.8【答案】D 因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D. 9【答案】A 由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .10【答案】D .不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b -=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m ba m a+<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D .11【答案】A 设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是，故选A ． 12【设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有1222n bm c cn b m c⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得3222222,c b bc bc m n a a --==，所以3222222(,)c b bc bcQ a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得222a c =，所以离心率c e a ==. 13由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 14【答案】2依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 15【答案】14422=-y x 因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率211=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设2C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，所以2==b a ，所以2C 的方程为14422=-y x .16【答案】2+双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程为()by x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由2222a c a c +=，得2()410c c a a -+=，解之得2ca=+，2c a =（舍去，因为离心率1ca>），故双曲线的离心率为2+.17（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b . 进而b b a c b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛=65,6b a NM .又()b a AB ,-=，从而有()22225616561a b b a NM AB -=+-=⋅由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅NM AB ，故AB MN ⊥.18【答案】（I II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行. 【解析】（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =.所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k-=+. 直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-. 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.19【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22p A =+．因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =．（II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，所以G k A ==G k B ==，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等，故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，故直线G A 的方程为30y -+=，从而r ．又直线G B 的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r =．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．20【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ∆的面积取得最小值8.【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.21【答案】（I ）22198y x += ；(II) . 【解析】（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①；又1C 与2C的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C的公共点的坐标为3()2，229614a b∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。

(完整word版)圆锥曲线近五年高考题(全国卷)文科

4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（）A. 1B. 2C. 4D. 8 20.已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积2014（新课标全国卷2）（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A ）3（B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（C ）⎡⎣ （D ） ⎡⎢⎣⎦20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。

（I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

4．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x± D ．y ＝±x8.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，则△POF 的面积为( )． A ．2 B．．．421．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.2013（新课标全国卷2）5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=o ，则C 的离心率为（）（A）6 （B ）13 （C ）12 （D）310、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

2023年高考文科数学真题汇编圆锥曲线老师版

直线AE 旳方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 因此直线BM 旳斜率112131BM y y k -+==-.17.（安徽文）设椭圆E 旳方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 旳坐标为(,0)a ,点B 旳坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 旳斜率为510。

（1）求E 旳离心率e;(2)设点C 旳坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 旳中点，证明：MN ⊥AB 。

∴a b 3231＝5525451511052222222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点旳坐标为（2,2b a -）∴a b a ba a bb K MN 56652322131==-+= abK AB-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB18.（福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>旳右焦点为F ．短轴旳一种端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 旳距离不不不小于45，则椭圆E 旳离心率旳取值范围是（ A ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4119.（新课标2文）已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线旳原则方程为．2214x y -= 20.（陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>旳准线通过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，由于准线通过点(1,1)-，因此2p =，因此抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.21.（陕西文科）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>通过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 旳方程；2212x y += 22.（天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 旳一种焦点为(2,0)F ,且双曲线旳渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线旳方程为（ D ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x23．（广东文）已知中心在原点旳椭圆C 旳右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 旳方程是（ D ）30旳等腰三角形，则122文) 设椭圆221y b 0,0a b 旳一条渐近线平行于直线210x ，双曲线旳上，则双曲线旳方程为（ A ）2120y （B ）221205x y （C ）2331100y D ）223310025x y 1) 已知双曲线C ：221x y （0,0a b >>）旳离心率为52，则C 14x B .13y =±12x ± D .y x[9,)+∞ [9,)+∞ [4,)+∞[4,)+∞【解析】当0m <上存在点M 满足120，则603ab=即33m≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 旳取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1旳离心率旳取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线旳离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.42．(·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 旳焦点F ，且斜率为3旳直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 旳准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 旳距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 34．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 旳焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程旳点斜式可得直线MF旳方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴旳上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4旳等边三角形．∴点M 到直线NF 旳距离为2 3. 故选C.43．(·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)旳左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径旳圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 旳离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．135．【答案】A 【解析】由题意知以A 1A 2为直径旳圆旳圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线旳距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.44．(·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)旳右焦点为F ，点A 在双曲线旳渐近线上，△OAF 是边长为2旳等边三角形(O 为原点)，则双曲线旳方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝16．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2旳等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线旳渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线旳方程为x 2－y 23＝1.故选D. 45．(·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)旳一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线旳原则方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线旳渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线旳一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.46、(·北京文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1旳离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线旳原则方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线旳离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.47、(·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 旳焦点，M 是C 上一点，FM 旳延长线交y 轴于点N .若M 为FN 旳中点，则|FN |＝________.【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 旳准线交x 轴于点A ，过点M 作准线旳垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 旳中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.1212121111442222BMy y K x x x x ----==---- (1x +=()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入2x ＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=7新课标Ⅱ文)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22＋。

圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版

圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。

高考数学试题分类汇编圆锥曲线试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年全国高考数学试题分类汇编圆锥曲线第一局部，选择题。

1．(2021全国卷Ⅰ文第6题)双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，那么该双曲线的离心率为〔〕〔A 〕23〔B 〕23 〔C 〕26 〔D 〕332 2(2021全国卷Ⅰ理第6题)双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，那么该双曲线的离心率为〔〕〔A 〕23 〔B 〕23 〔C 〕26 〔D 〕332 3.〔2021全国卷II 文第5题〕抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，那么点A 与抛物线焦点的间隔为()(A)2(B)3(C)4(D)54.(2021全国卷II 文第6题)双曲线22149x y -=的渐近线方程是()(A)23y x =±(B)49y x =±(C)32y x =±(D)94y x =±5.(2021全国卷II 理第6题)双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，那么1F 到直线2F M 的间隔为()(C)65(D)566.(2021全国卷III 理第9题，文第9题)双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=那么点M 到x 轴的间隔为〔〕〔A 〕43〔B 〕53〔C 〕233〔D 〕37.(2021全国卷III 理第10题，文第10题)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是〔〕〔A 〕22〔B 〕212-〔C 〕22-〔D 〕21- 8.〔2021卷第11题〕双曲线的中心在原点，离心率为3.假设它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，那么该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的间隔是〔〕A ．23+6 B ．21 C ．21218+D ．219.〔2021卷第6题〕抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的间隔为1，那么点M 的纵坐标是()(A)1617(B)1615(C)87(D)010.〔2021卷第11题〕点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为()(A)33(B)31(C)22(D)2111.〔2021卷第5题〕假设焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，那么m=()〔Ａ〕3〔Ｂ〕32〔Ｃ〕83〔Ｄ〕2312.〔2021卷理第9题，文第9题〕假设动点(x ,y )在曲线14222=+b y x (b >0)上变化，那么x 22y 的最大值为()(A)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ；(B)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ； (C)442+b ；(D)2b 。

高考数学全国卷2011-2019圆锥曲线分类汇编(文科)

高考数学全国卷2011-2019圆锥曲线分类汇编（文科）一、选择填空【2011新课标】4．椭圆的离心率为（ D ）A．B．CD【解析】cea===2228111162，be ea=-=-=∴=，故选D.【2011新课标】9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（ C ）A．18 B．24 C．36 D．48【解析】易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.【2012新课标】4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）A．12B．23C．34D．45【解析】∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.【2012新课标】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=，则C的实轴长为（）A B．C．4 D．8【解析】由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=||AB=a=2，∴C的实轴长为4，故选C.【2013新课标1】4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x【解析】∵2e=2ca=，即2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。

2023年高考真题文科数学解析分类汇编圆锥曲线

高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>旳左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30旳等腰三角形，则E 旳离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【命题意图】本题重要考察椭圆旳性质及数形结合思想，是简朴题.【解析】∵△21F PF 是底角为030旳等腰三角形，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. 2.【高考新课标文10】等轴双曲线C 旳中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=旳准线交于,A B 两点，43AB =；则C 旳实轴长为（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题重要考察抛物线旳准线、直线与双曲线旳位置关系，是简朴题. 【解析】由题设知抛物线旳准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 旳实轴长为4，故选C.3.【高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>旳离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>旳焦点到双曲线1C 旳渐近线旳距离为2，则抛物线2C 旳方程为(A) 2833x y = (B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线旳性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 旳关系可知a b 3=，此题应注意C2旳焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=旳距离为2，可知p=8或数形结合，运用直角三角形求解。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编(文科) 圆锥曲线选择题(原卷版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）圆锥曲线选择题（原卷版）一、选择题1．(2021年高考全国甲卷文科)点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．452．(2021年全国高考乙卷文科)设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为( )A ．52B CD ．23．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．24．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A ．4B ．8C ．16D ．325．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则△OPF 的面积为 ( )A ．32B ．52C ．72D ．927．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 ( )ABC ．2D8．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．89．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为() ( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=10．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为()( )A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知双曲线22221x y C a b-=：(00a b >>，)()40，到C 的渐近线的距离为 ( )AB ．2 CD．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 ( )A．1-B．2CD113．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为( ) A．y = B．y =C．y x = D．y = 14．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12CD15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知椭圆,的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )22221x y C a b+=：0a b（）12A A ，12A A 20bx ay ab -+=CABCD．16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)过抛物线的焦点,于点(在轴上方),为的准线,点在上,且⊥,则到直线的距离为()A B．C．D．17．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,则双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．18．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )A．B．C．D．19．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知是双曲线的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则的面积为( )A．B．C．D ．20．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知O为坐标原点，F是椭圆C：F的左焦点，A B，分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF x⊥轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A．13B．12C．23D．3421．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F为抛物线:C24y x=的焦点，曲线()0ky kx=>与C交于点P，PF x⊥轴，则k=( )．A．12B．1C．32D．222．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )132:4C y x=F C M M x l C N l MN l M NF1a>2221xya-=)+∞)2(()1,2,A B22:13x yCm+=C M 120AMB∠=︒m(][)0,19,+∞([)9,+∞(][)0,14,+∞([)4,+∞F22:13yC x-=P C PF xA(1,3)APF△13122332A ．13B ．12C ．23D ．3423．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )A ．3B ．6C ．9D ．12 24．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ．B 两点，则||AB = ( )AB ．6C ．12D ．25．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=540x ，则0x = ( ) A ．1B ．2C ．4D ．826．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a ( ) A ．2B ．26C ．25 D ．127．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为( )A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)3y x =-或(1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =- 28．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为 ( )A B ．13C ．12D29．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为( )A ．2B ．C ．D ．430．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>C 的渐近线方程为 ( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±31．(2012年高考数学课标卷文科)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =,则C 的实轴长为 ( )AB ．C ．4D ．832．(2012年高考数学课标卷文科)设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为 ( ) A ．12B ．23C ．34D ．45。

(完整word版)文科圆锥曲线专题练习及答案

文科圆锥曲线角形，则E 的离心率为()1 2 (A)(B)(C)—23【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思【解析】•••△ F 2PF 1是底角为300的等腰三角形，-PF 2A 600 , IPF 2I IF 1F 2I 2c ,「. | AF 2 |=c ,2. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线y 16x 的准线交于A,B 两点，AB 4^3 ；则C 的实轴长为()(A) .2 (B) 2 2 (C) (D)【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4，设等轴双曲线方程为： x 2 y 2 a 2，将x 4代入等轴双曲线方程解得 y =16 a 2 , v |AB |=4.3 ,••• 2 16 a 2 =4.3，解得 a =2,••• C 的实轴长为4，故选C.2 23. 已知双曲线C 1 :笃与1(a 0,b 0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2 2py(p 0)的焦点到双曲线G 的渐近线的距a b离为2,则抛物线C 2的方程为考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2且双曲线中a , b , c 的关系可知b , 3a ，此题应注意 C2的焦点在y 轴上，即(0, p/2)到直线y 3x 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

4.椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为x 4，则该椭圆的方程为(A) 2x2y_ 1 (B )2x 2y_ 1 16 1212 82 22 2(C ) xy 1 (D ) xy 18 412 4【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。

通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c ，从而得到椭圆的方程。

2 2 2以b a c 8 4 4。

故选答案C5.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2 y 2 2的左、右焦点，点 P 在C 上, | PF 1 | 2 | PF ? |，则cos RPF ?221.设F 1F 2是椭圆E : —22a b1(a b 0)的左、右焦点,3aP 为直线x 上一点,2F 2PF 1是底角为30°的等腰三(D) —(A) x 283 r y2 2(C) x 8y (D) x 16y【解析】因为2c 4 c 2，由一条准线方程为 x24可得该椭圆的焦点在 x 轴上县— 4a 2 4c 8，所c(B) x 2/八 1 33（A ） —（ B ） —（C ）-4 5 4【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用, 半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

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2圆锥曲线（文科）1已知F i 、F 2是两个定点，点P 是以F i 和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且PF i 丄PF 2, e i 和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有A . ee ? 22 ei2 2.已知方程— I m| 1 2 y=1 2 m表示焦点在y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是A . m<2 3 1<m<—22 4.已知椭圆二3m C . m< — 1 或 1<m<2D . m<— 1 或B . 1<m<2 3.在同一坐标系中, ) 5n 3n A . x —+ 上 y 2 5.过抛物线y=ax 2 （a > 0）的焦点 2m _ , <15 , £3 y 一 ± xC . x 一 ± y - 4 P 、 A . 2a B .丄 2a 2 F 用一直线交抛物线于 Q 两点, v —+ 3 y —± x 4 若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则丄 pC . 4a 2 y_ (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F i 、F 2,线段 F i F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段, 则此椭圆的离心率为 7. 8. 椭圆 16 172 x 12 2 »=13 ± _34 B 4 1717 的一个焦点为F i ,点 P 在椭圆上 •如果线段 PF i 的中点M 在y 轴上，那么点 M 的纵坐标是（2设F i 和F 2为双曲线— 4 y 2 1的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足/ F i PF 2= 90°,则 △ F 1PF 2的面积是（2x 已知双曲线—a2 計利椭圆2x 2 m 2+每=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以 b 2 a 、 b 、 m 为边长的三角形是A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角或钝角三角形 10.中心在原点，焦点坐标为（0, ± 5=2）的椭圆被直线3x — y — 2=0截得的弦的中点的横坐标为丄，则椭圆方程为22 2 A.红+也=1 25 752 2 B .红+也=1 75 25 2 2C . —1 25 75 11.已知点（一2, 3）与抛物线y 2=2px （ p >0）的焦点的距离是2 2 D .・+・=1 75 255,贝y p= ____2 212•设圆过双曲线 ] 1=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是___________9162 213.双曲线x y = 1的两个焦点为F i 、F 2，点P 在双曲线上，若 PF i 丄PF 2，则点P 到x 轴的距离为 _________________________百 14.若A 点坐标为(1, 1) , F 1是5X 2 + 9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+ |P F 1|的最小值是 _______________________2 216•双曲线笃与1 ( a>1,b>0)的焦距为2c,直线I 过点(a,0)和(0, b),且点(1,0)到直线I 的距离与点(- a b 1,0)到直线l 的距离之和s > 4 c.求双曲线的离心率e 的取值范围52 2 ,—17.已知圆C 1的方程为(x - 2)2+(y — 1)2=竺，椭圆C 2的方程为 —+ -^=1 (a>b>0), C 2的离心率为空，如果 G 与C 2相交 3 a 2 b 2 2 于A 、B 两点，且线段 AB 恰为圆C 1的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C 2的方程。

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07 圆锥曲线一、选择题1．（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ A ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（福建12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]3．（宁夏2）双曲线221102x y -=的焦距为（ D ）A ．B ．C ．D ．4．（湖南10）．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A ．B ．)+∞C ．1]D ．1,)+∞ 5．（江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ． D ． 6．（辽宁11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+8．（上海12）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ）A ．4B ．5C ．8D ．109．（四川11）已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PFF ∆的面积等于( C ) （Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）9610．(天津7) 设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ） A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 11．（浙江8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( D )（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）512．(重庆8)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为( C ) (A)2(B)3(C)4213．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是 ( B )A.①③B.②③C.①④D.②④14．(陕西9) 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD．3二、填空题1．（安徽14）．已知双曲线22112x y n n -=-n ＝ 4 2．（宁夏15）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为．53 3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =2 4．（江西14）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．223144x y -=5．（全国Ⅰ14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．126．（全国Ⅰ15）在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．127．（全国Ⅱ15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于．2 8．(山东13) 已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．221412x y -= 9．（上海6）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．-110．（浙江13）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB = 。

8三、解答题 1．（安徽22）．（本小题满分14分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证： 222AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22e = 设l 为椭圆的左准线。

则:4l x =-作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 1122AF =∴ 112(cos )2FH AF θ=+ 122cos 2θ=1AF =∴同理1BF =1122cos AB AF BF θ=+=+=-∴。

方法二：当2πθ≠时，记tan k θ=，则:(2)AB y k x =+将其代入方程 2228x y += 得 2222(12)88(1)0k x k x k +++-= 设 1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根.2212122288(1),.1212k k x x x x k k -+=-=++∴AB ===22)12k k +==+ ................(1) 22tan ,k θ=∵代入（1）式得22cos AB θ=- ........................(2) 当2πθ=时，AB = 仍满足（2）式。

22cos AB θ=-∴（3）设直线AB 的倾斜角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得22cos AB θ=-，22sin DE θ=-2222212cos 2sin 2sin cos 2sin 24AB DE θθθθθ+=+==--++当344ππθθ==或时，AB DE +2．（北京19）（本小题共14分）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12222AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以2h =122ABC S AB h ==△．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以2123262m AB x -=-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即22m BC -=所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 3．(福建22)（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 解法一：（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③由②，③得 x 0=523,52850-=--m ny m m .所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020=--+-=-+-=-+--=-+--=+m mm m n m m n m m m n m m y x 由于|y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：（Ⅰ）问解法一：（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0), .13422=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……② n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠523,528525-=--=x yn x x m 时，. ……④ 由④代入①，得3422y x +=1（y ≠0）. 当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾.所以点M 的轨迹方程为221(0),43x x y +=≠即点M 恒在锥圆C 上. （Ⅱ）同解法一.4．（广东20）（本小题满分14分）设b ≥0，椭圆方程为22222x y b b+=1，抛物线方程为x 2=8(y -b ).如图6所示，过点F （0,b +2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A 1B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABC 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.解：（1）由()28x y b =-得 218y x b =+ 当2y b =+时，4x =±，∴G 点的坐标为（4，b ＋2） 14y x '=， 41x y ='=过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-，令y ＝0得 2x b =- ，∴1F 点的坐标为（2-b ，0）；由椭圆方程得1F 点的坐标为（b ，0）， ∴ 2b b -= 即 b ＝1，因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-．（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP 只有一个; 同理以PBA ∠为直角的Rt ABP 只有一个; 若以APB ∠为直角, 设P 点的坐标为21(,1)8x x +，则A 、B 坐标分别为(、由22212(1)08AB AB x x =-++=得421510644x x +-=，关于2x 的一元二次方程有一解，∴x 有二解，即以APB ∠为直角的Rt ABP 有二个;因此抛物线上共存在4个点使ABP 为直角三角形．5．（宁夏23）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）已知曲线C 1：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线C 2：22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．2分1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C的普通方程为0x y -+=．因为圆心1C到直线0x y -=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点． ········································································· 4分（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数） 2C '：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） ····················· 8分化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：122y x =+，联立消元得2210x ++=，其判别式24210∆=-⨯⨯=，所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．10分 6．（江西22）已知抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-即：1212()y x x x x x =+-因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+-①又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+由210012x y y x y x x y⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得：2210010x y x x y x ---=所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=同理，200222,F F y y x y x x =-=所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=--令0x x =-得0120012[()]y y x x x y x x =+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上所以,,E F N 三点共线（2）解：由已知A B M N 、、、共线，所以()00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=7．(江苏选修) 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．解：因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()23S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以。