文科高考试题分类圆锥曲线

07 圆锥曲线
一、选择题
1．（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95
x =±”的（ A ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．（福建12）双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，
且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）
A.（1，3）
B.（1，3）
C.（3，+∞）
D. [3，+∞]
3．（宁夏2）双曲线
22
1102
x y -=的焦距为（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．4．（湖南10）．双曲线
)0,0(122
2
2>>=-b a b
y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A ．
B ．)+∞
C ．1]
D ．1,)+∞ 5．（江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2 C ． D ． 6．（辽宁11）已知双曲线2
2
2
91(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1
5
，则m =（ D ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．
2
2
1+ B ．
2
3
1+ C ． 21+ D ．31+
8．（上海12）设p 是椭圆22
12516
x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
9．（四川11）已知双曲线22
:
1916
x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF
F ∆的面积等于( C ) （Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96
10．(天津7) 设椭圆22221(00)x y m n m n
+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离
心率为
1
2
，则此椭圆的方程为（ B ） A ．
22
11216
x y += B ．
22
11612
x y += C ．
22
14864
x y += D ．
22
16448
x y += 11．（浙江8）若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的
离心率是( D )
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
12．(重庆8)若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为( C ) (A)2
(B)3
(C)4
2
13．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④12
12
.c c a a < 其中正确式子的序号是 ( B )
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
14．(陕西9) 双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别
是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲
线的离心率为（ B ） A
B
C
D
．
3
二、填空题
1．（安徽14）．已知双曲线
22
112x y n n -=-
n ＝ 4 2．（宁夏15）过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．
5
3 3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2，以O 为圆心，
a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =
2 4．（江西14）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．22
3144
x y -=
5．（全国Ⅰ14）已知抛物线2
1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
1
2
6．（全国Ⅰ15）在ABC △中，90A ∠=，3
tan 4
B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e = ．
1
2
7．（全国Ⅱ15）已知F 是抛物线2
4C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的
中点为(22)M ，
，则ABF △的面积等于 ．2 8．(山东13) 已知圆2
2
:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线
的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
22
1412
x y -= 9．（上海6）若直线10ax y -+=经过抛物线2
4y x =的焦点，则实数a = ．-1
10．（浙江13）已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点
若1222=+B F A F ，则AB = 。

8
三、解答题 1．（安徽22）．（本小题满分14分）
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证： 22
2AB COS θ
=
-;
（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求
AB DE + 的最小值
解 ：（1）由题意得：
2
22
2222
8
44c a a c b a b c
=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪
⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2
2
e = 设l 为椭圆的左准线。

则:4l x =-
作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112
2
AF =
∴ 112
(cos )2FH AF θ=
+ 12
2cos 2
θ=
1AF =
∴
同理
1BF =
112
2cos AB AF BF θ
=+=+=-∴。

方法二： 当2
πθ≠
时，记tan k θ=，则:(2)AB y k x =+
将其代入方程 2
2
28x y += 得 2
2
2
2
(12)88(1)0k x k x k +++-= 设 1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根.
22121222
88(1),.1212k k x x x x k k -+=-
=++∴
AB ===
22
)
12k k +==
+ ................(1) 22
tan ,k θ=∵代入（1）式得
2
2cos AB θ
=
- ........................(2) 当2
πθ=
时，AB = 仍满足（2）式。

22cos AB θ
=
-∴
（3）设直线AB 的倾斜角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得
22cos AB θ=
-
，22sin DE θ
=-
2222212cos 2sin 2sin cos 2sin 24AB DE θθθθθ
+=
+==--++
当34
4
π
π
θθ=
=
或时，AB DE +
2．（北京19）（本小题共14分）
已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2
2
34x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．
解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，． 由2234x y y x
⎧+=⎨=⎩，得1x =±． 所以12222AB x =-=．
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离． 所以2h =
1
22
ABC S AB h =
=△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，
由2234x y y x m
⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以2
12640m ∆=-+>．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，， 则1232m
x x +=-，212344m x x -=，
所以2
123262m AB x -=-=．
又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即22
m BC -=
所以2
2
2
2
2
210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 3．(福建22)（本小题满分14分）
如图，椭圆22
22:1x y C a b
+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 解法一：
（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,
所以椭圆C 前方程为13
42
2=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).
设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3
42
2n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)-(m -4)y =0.
设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②
n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③
由②，③得 x 0=
5
23,52850-=
--m n
y m m .
所以点M 恒在椭圆G 上.
(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入
3
42
2y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=
.4
39
,4362
212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4
33
3·344)(22212
21++=
-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则
1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(342
2
2
22222
2
22
2
222
020=--+-=
-+-=
-+--=-+
--=+m m
m m n m m n m m m n m m y x 由于
|y 1-y 2|＝
，
＋）－－（＝＋）－（＝－　4
1
2113411341
·3432λλλλ
λ 因为λ≥4，0<
时，
，＝，即＝所以当044
1
1,41≤1
=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.2
9
2323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：
（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0).
设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0), .13
42
2=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……② n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠5
23,528525-=
--=
x y
n x x m 时，. ……④ 由④代入①，得3
42
2y x +=1（y ≠0）. 当x=52时，由②，③得：3
(1)02
3(4)0,2
n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩
解得0,
0,n y =⎧⎨=⎩
与a ≠0矛盾.
所以点M 的轨迹方程为
22
1(0),43
x x y +=≠即点M 恒在锥圆C 上. （Ⅱ）同解法一.
4．（广东20）（本小题满分14分）
设b ≥0，椭圆方程为22
222x y b b
+=1，抛物线方程为x 2=8(y -b ).如图
6所示，过点F （0,b +2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交
点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A 1B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABC 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.
解：（1）由()2
8x y b =-得 2
18
y x b =
+ 当2y b =+时，4x =±，∴G 点的坐标为（4，b ＋2） 1
4
y x '=
， 4
1x y ='=
过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-， 令y ＝0得 2x b =- ，∴1F 点的坐标为 （2-b ，0）； 由椭圆方程得1F 点的坐标为（b ，0）， ∴ 2b b -= 即 b ＝1，
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2
212
x y +=和28(1)x y =-．
（2）
过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,
∴以PAB ∠为直角的Rt ABP 只有一个; 同理以PBA ∠为直角的Rt ABP 只有一个; 若以APB ∠为直角, 设P 点的坐标为2
1(,
1)8
x x +，则A 、B 坐标分别
为(
、
由2
22
12(1)08
AB AB x x =-++=得
42
1510644
x x +-=， 关于2x 的一元二次方程有一解，∴x 有二解，即以APB ∠为直角的Rt ABP 有二个;
因此抛物线上共存在4个点使ABP 为直角三角形．
5．（宁夏23）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）
已知曲线C 1：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线C 2
：22
x y ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t 为参数）． （Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出
12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你
的理由．
解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．
2分
1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C
的普通方程为0x y -+=．
因为圆心1C
到直线0x y -=的距离为1，
所以2C 与1C 只有一个公共点． ········································································· 4分 （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
1C '：cos 1sin 2
x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数） 2C '
：24
x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数） ····················· 8分 化为普通方程为：1C '：2
2
41x y +=，2C '
：122
y x =+，
联立消元得2
210x ++=，
其判别式2
4210∆=-⨯⨯=，
所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．10分 6．（江西22）已知抛物线2
y x =和三个点
00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2
000(,0)y x y ≠>，过点M 的
一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线
C 于E F 、．
（1）证明E F N 、、三点共线；
（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．
（1）证明：设2
2
1122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、
则直线AB 的方程：()22
212
1112
x x y x x x x x -=-+-
即：1212()y x x x x x =+-
因00(,)M x y 在AB 上，所以012012
()y x x x x x =+-①
又直线AP 方程：210
01
x y y x y x -=+
由210
012x y y x y x x y
⎧-=+⎪⎨⎪=⎩
得：22
10010x y x x y x ---=
所以22
1000
12111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=
同理，200
222
,F F y y x y x x =-=
所以直线EF 的方程：2
012
01212
()y x x y y x x x x x +=--
令0x x =-得0
120012
[()]y y x x x y x x =
+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线
（2）解：由已知A B M N 、、、
共线，所以(
)
00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2
2
00x y y y +-=
由()22002x y y y x y
⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22000210y y y y y --+-=
所以0y y =（舍去），01y y =-
要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥
所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y
则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=
7．(江苏选修) 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2
213
x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．
解： 因椭圆2213x y +=
的参数方程为 (sin x y φ
φφ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P
的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.
因此1sin sin )2sin()23
S x y π
φφφφφ=+=+=+=+ 所以。

当6
πφ=
是，S 取最大值2
8．（湖南19）(本小题满分13分)
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4). (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.
解 （Ⅰ）设椭圆的方程为22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0).
由条件知c =2,且2
2a c
=λ,所以a 2=λ,
b 2=a 2-
c 2=λ-4.故椭圆的方程是
2
21(4).4
x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是y=k(x-1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F 2(x 0,y 0),则
00002(1),2
21.
2
y x k y
k x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得02022,12.1x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 因为点F ′(x 0,y 0)在椭圆上，所以22
2222()()11 1.4
k k k λλ+++=-即 λ(λ-4)k 4+2λ(λ-6)k 2+(λ-4)2=0.
设k 2=t ,则λ(λ-4)t 2+2λ(λ-6)t +(λ-4)2=0.
因为λ＞4,所以2
(4)(4)
λλλ--＞0.
9．（辽宁21）．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？
解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0-，
为焦点，长半轴为2
的椭圆．它的短半轴1b =
=，
故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=． ······································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
， 消去y 并整理得2
2
(4)230k x kx ++-=， 故121222
23
44
k x x x x k k +=-
=-++，． ····························································· 6分 OA OB ⊥，即12120x x y y +=．
而2
121212()1y y k x x k x x =+++，
于是2221212222233241
14444
k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以1
2k =±
时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥． ················································ 8分 当12k =±时，12417x x +=，1212
17
x x =-．
(AB x ==
而22
212112()()4x x x x x x -=+-
2322
4434134171717⨯⨯=+⨯=，
所以465
17
AB =
． 12分 10．（全国Ⅰ22）（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1
l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、
、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：2
2
2
()()m d m m d -+=+
得：
14d m =，tan b AOF a ∠=，4
tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==
由倍角公式∴2
2431b
a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得
12b a
= 则离心率
2e =
．
（2）过F 直线方程为()
a
y x c b =-- 与双曲线方程22
2
21x y a b -=联立
将2a
b =，c
=代入，化简有22
152104x x b -+
=
124x =-=
将数值代入，有
4=解得3b =
最后求得双曲线方程为：22
1
369x y -=．
11．（全国Ⅱ22）（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程2
2
(14)4k x +=，
故21x x =-=
由6ED DF =知01206()x x x x -=-
，得021215(6)77x x x x =+==；
由D 在AB 上知0022x kx +=，得02
12x k
=+．
所以
212k =+，
化简得2
242560k k -+=，
解得23k =
或3
8
k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB
的距离分别为
1h =
=
2h =
=
． ······················································· 9分
又AB =
=，所以四边形AEBF 的面积为
121
()2
S AB h h =
+ 14(125
2
5(1
4k k +=
+
=
=
≤
当21k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S 的最大值为． ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△
222x y =+ ···································································································· 9分
=
=
=
当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 12分
12．(山东22．（本小题满分14分）
已知曲线11(0)x y
C a b a b
+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径
为
3
．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．
（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．
解：
（Ⅰ）由题意得2ab ⎧=⎪
=
又0a b >>，
解得2
5a =，2
4b =．
因此所求椭圆的标准方程为22
154
x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，
()A A A x y ，．
解方程组22
154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，，
得22
2045A x k =+，22
22045A k y k =+， 所以222
2
2222
202020(1)
454545A
A
k k OA x y k k k
+=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，
所以2
2
2
MO OA λ=，即22
2
2
2
20(1)
45k x y k λ++=+，
因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1
y x k
=-， 即x k y
=-
， 因此2222
2222222
2
20120()4545x y x y x y x y x y
λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又2
2
0x y +≠， 所以2
2
2
5420x y λ+=，
故22
245
x y λ+=．
又当0k =或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M 的轨迹方程为22
2(0)45
x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得2
2
2045A
x k
=+，22
22045A k y k =+， 由22
1541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，，
解得2222054M k x k =+，2
2
2054M y k =+， 所以22
2
2220(1)45A
A
k OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，222
20(1)54k OM k
+=+． 解法一：由于22
2
14
AMB S AB OM =
△ 2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)
k k k +=++ 222
2
2
400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪
⎝⎭
≥
2
2222
1600(1)4081(1)9k k +⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
， 当且仅当2
2
4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是40
9
AMB S =
△．
当0k =
，140
229
AMB S =⨯=>
△． 当k
不存在时，140
429
AMB S ==>△．
综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9
．
解法二：因为
2
2
2222
1111
20(1)20(1)
4554k k OA
OM
k k +
=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，
又
2
2
112
OA OM
OA
OM
+
≥，409OA OM ≥，
当且仅当2
2
4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，
此时AMB △面积的最小值是409
AMB S =
△．
当0k =，140
229
AMB S =⨯=>△．
当k 不存在时，140
429
AMB S ==>△．
综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9
．
13．（上海20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知双曲线22
12
x C y -=：．
（1）求双曲线C 的渐近线方程；
（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记MP MQ λ=．求λ的取值范围；
（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．
【解】（1）所求渐近线方程为0,022
y x y x -=+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---
22
200031 2.2
x y x =--+=-+ ……………7分
02x ≥
λ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分
（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，
则直线l 的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭
……………11分
由计算可得，当()1
(0,],2k s k ∈时
当(
)1,2k s k ⎛∈ ⎝⎭
时 ……………15分
∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是(
)1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭⎩….16分
14．（四川22）（本小题满分14分）
设椭圆()22221,0x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F
，离心率2e =，点2F 到右准
线为l
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）设,M N 是l 上的两个动点，1
20FM F N ⋅=， 证明：当MN 取最小值时，12220F F F M F N ++= 【解】：因为a
e c
=
，2F 到l 的距离a d c c =-，所以由题设得
2a c
a c c
⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
解得2c a == 由2
2
2
2b a c =-=
，得b =
（Ⅱ）由2c a =
=
得(
))
12
,F F ，l
的方程为x =
故可设(
)()
12,M y N y
由知1
2
0FM F N ⋅=知
(
)(
)
120y y ⋅=
得126y y =-，所以1221
60,y y y y ≠=-
121111
61MN y y y y y y =-=+
=+≥
当且仅当1y =时，上式取等号，此时21y y =-
所以，(
)
))
122212F F F M F N y y ++=-++
()120,y y =+ 0
= 15．(天津22)（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，
20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81
2
，求k 的取值范围． （Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22
221(00)x y a b a b
-=>>，，由题设得
229a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2
245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以双曲线C 的方程为
22
145
x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组
2
2
1.45
y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩，
① ② 将①式代入②式，得22
()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．
此方程有两个不等实根，于是2
540k -≠，且
222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得
22540m k +->． ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足
12024254x x km x k +=
=-，00
2
554m
y kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫
-
=-- ⎪--⎝⎭
．
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫
⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛
⎫ ⎪
-⎝⎭
，．由题设可得 22
19981
254542
km m k k =--． 整理得
22
2
(54)k m k
-=
，0k ≠． 将上式代入③式得22
2(54)540k k k
-+->，
整理得
22(45)(45)0k k
k --->，0k ≠．
解得0k <<
或54
k >． 所以k 的取值范围是5555004224⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞． 16．（浙江22）（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-
）和到直线8
5
-=y 距离相等的点的轨迹。

l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，
,MA l MB x ⊥⊥轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得
QA
QB
2
为常数。

（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则
||NP =
N 到直线5
8
y =-的距离为58y +．
58y =+．
化简，得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =+． （Ⅱ）解法一：
设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，，直线:l y kx k =+，则
()B x kx k +，，从而
||1|QB x +．
在Rt QMA △中，因为
22
2
||(1)14x QM x ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭，
2
2
22
(1)2||1x x k MA k
⎛
⎫+- ⎪
⎝⎭=+． 所以22
2
2
2
2
(1)||||||(2)4(1)
x QA QM MA kx k +=-=++ . 2
1||2|||1
kx QA k
+=
+，
2||1
2||QB x QA x
k
+=+．
当2k =时，
2
||||
QB QA = 从而所求直线l 方程为220x y -+=．
解法二：设22x x M x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，，直线:l y
kx k =+，则()B x kx k +，，从而
||1|QB x +．
过(1
0)-，垂直于l 的直线11
:(1)l y x k
=-+． l
因为||||QA MH =，所以2
|1||2|||21x kx QA k
++=
+，
222
||2(1)11
2||||
QB k k
x QA k x k
+++=+． 当2k =时，
2
||55||
QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．
17．（重庆21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -=
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;
（Ⅱ）设d 为点P 到直线l ： 12
x =的距离，若2
2PM PN =,求PM d 的值.
解：（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b 3,
所以双曲线的方程为x 2-
2
3
y =1. (II)解法一：
由（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴3.
R 所以双曲线的方程为x 2-
2
3
y =1. (II)解法一：
由（I ）及答（21）图，易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ② 将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得117117
±-,所以 A
B O
Q y
M H
l 1
|PN|=
117
4
+. 因为双曲线的离心率e=c a =2,直线l:x =1
2
是双曲线的右准线，故||PN d =e=2,
所以d=
1
2
|PN |,因此 2
||2||4||4||117||||
PM PM PN PN d PN PN ====+ 解法： 设P （x,y ），因|PN |≥1知 |PM |=2|PN |2≥2|PN|>|PN |,
故P 在双曲线右支上，所以x ≥1. 由双曲线方程有y 2=3x 2-3. 因此
22222||(2)(2)3344 1.PN x y x x x x =-+=-+-=-+
从而由|PM |=2|PN |2得
2x+1=2(4x 2-4x +1)，即8x 2-10x+1=0. 所以x =
5178+(舍去x =517
8
+). 有|PM|=2x+1=
917
4
+ d=x-
12
=1178+.
故
||9178117.4117
PM d +=-=++ 18．(湖北20)（本小题满分13分）
已知双同线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),(3,7)F F P -点
的曲线C 上.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为22,求直线l 的方程
(Ⅰ)解法1：依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为142
222=--a
y
a x （0＜a 2＜4＝，
将点（3，7）代入上式，得
147922=--a
a .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2， 故所求双曲线方程为.12
22
2=-y x 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c =2.
2a =|PF 1|－|PF 2|=,22)7()23()7()23(2
2
2
2
=+--++ ∴a 2=2，b 2=c 2－a 2=2.
∴双曲线C 的方程为.12
22
2=-y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.
∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,
∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩
⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,
012
22
＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3).
设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16
,142
212k
x x k k -=-于是 |EF |=22122
212
21))(1()()(x x k y y x x -+=
-+-
=|
1|32214)(122
2
212
212
k k k x x x x k
--+=-++•
•
而原点O 到直线l 的距离d ＝2
12k
+,
∴S ΔOEF =.|
1|322|1|322112
21||2122
222
2
k k k k k k EF d --=--++=••
•
•
若S ΔOEF ＝22，即,0222|
1|322242
2
=--⇔=--k k k k 解得k =±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和.22+-=x y 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理，
得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.
①
∵直线l 与比曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-.
33,10)1(64)4(,012
22
＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3).
②
设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得 |x 1－x 2|＝|
1|322|
1|4)(2
22
21221k k k x x x x --=-∆
=
-+. ③
当E 、F 在同一支上时（如图1所示）， S ΔOEF ＝|S ΔOQF －S ΔOQE |=
||||21
||||||||212121x x OQ x x OQ -=-••； 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）， S ΔOEF ＝S ΔOQF ＋S ΔOQE ＝.||||2
1
|)||(|||212121x x OQ x x OQ -=+•• 综上得S ΔOEF ＝
||||2
1
21x x OQ -•，于是 由|OQ |＝2及③式，得S ΔOEF ＝|
1|3222
2
k k --. 若S ΔOEF ＝22，即0222|
1|322242
2
=--⇔=--k k k k ,解得k =±2,满足②. 故满足条件的直线l 有两条，基方程分别为y =22+x 和y =.22+- 18．(陕西21)（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，
，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，
由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭， 将2
2y x =代入上式得22
2048
mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ⎛⎫
∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又
M 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
． 又22
212121||||1()4AB x x k
x x x x =-=++-
2
2
2214(1)11622k k k ⎛⎫
=-⨯-=++ ⎪⎝⎭
．
22161
168k k +∴
=+，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =．
解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，
，，，把2y kx =+代入2
2y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212
k
x x x x +==-，．
∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
22y x =，4y x '∴=，
∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44
k
k ⨯
=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．
由（Ⅰ）知2222
1122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则
22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪
⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤
⎡⎤
=-++++++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫
⎡⎤
=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
22313164k k ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
0=，
21016k --<，23
304
k ∴-+=，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =．。