初中数学一元二次方程专题

3.
（2018•眉山）若α，β是一元二次方程
3x2+2x﹣9=0
的两根，则
的值
是（ ）
A．
4 27
B．
－
4 27
C．
－
58 27
D．
58 27
4.若关于 x 的方程 x2 (1 2m)x m2 1 0 有两个实数根 x1 ， x2 ，满足
x12 x22 x1x2 16 ，求实数 m 的值.
，则
b a
．
四、判别式
1. （2018•包头）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋m﹣2＝0 有两个实数根，
m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为
（）
A．6
B．5
C．4
D．3
2．若关于 x 的方程 (a 1)x2 3x 1 0 有实数根，求实数 a 的取值范围.
（3）
x12
3 x2
__________；
（2） x1 x2 __________； x1 1 x2 1
（4） x13 10x2 __________.
2.已知
x1
，x2
是关于
x
的方程
1 2
x2
－（k－1）x＋2＝0
的根，若
x1
，x2
满足
x1
＋2 x2 ＝0， 则实数 k 的值为__________.
9.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长为 a 米）， 中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留 1 米宽的门，已知计划中的材 料可建墙体（不包括门）总长为 28 米，若建成的饲养室总面积的为 72 平方 米，求 a 的最小值．
5.已知 x1 ， x2 是关于 x 的方程 x2 (k 7)x (k 1)2 2 0 的两个不相等的实 数根，是否存在实数 k，使得 | x1 | | x2 | ＝ 13 ，若存在，请求 k 的值，若不 存在，请说明理由.
3.若关于 x 的方程 kx2 2x 1 0 有两个不相等的实数根，求实数 k 的取值范围.
4.若关于 x 的方程 1 x2 kx 2k 2 6k 9 0 有实数根，求实数 k 的值. 4
y 3 2x
5.若关于
x，y
的方程组
xy
m
有实数解，求实数 m 的取值范围.
（3） 3x2 x 1 0 ；
6.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分 支，若主干、支干和小分支的总数是 133，求每个支干长出的小分支数目.
7.某商场销售一种衬衫，平均每天可售出 30 件，每件盈利 40 元，商场决定降 价销售，经调查，每降价 2 元，平均每天可多卖出 5 件.若商场想每天盈利 1600 元，则每件衬衫应降价___________元.
一元二次方程专题
班级
姓名
分数
一、一元二次方程的相关概念
1. 下 列 关 于 x 的 方 程 ： ① ax2 bx c 0 ， ② xy 1 0 ， ③ x2 x 0 ，
④ x2 1 1 0 ，⑤ x2 1 ，⑥ (x 1)(x 2) x2 ，其中是一元二次方程的 x
是_______________（填序号）.
8.（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为
了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前
提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2
（4） 2x2 7x 6 0 ；
5．（2018•泰州）已知 3x﹣y＝3a2﹣6a＋9，x＋y＝a2＋6a﹣9，若 x≤y，则实
数 a 的值为
．
五、一元二次方程的根系关系
1.已知方程 x2 －3x—1＝0 的两个实数根分别为 x1 ，x2 ，请写出下列各式的值：
（1） x1 x2 __________；
2.（1）若 x，y 为任意实数，求式子 x2 y2 4x 6y 的最小值； （2）求式子 x 2 （x＞0）的最小值. x
3.已知 M 1 a 1， N a2 2 a （a 为任意实数），请比较 M 和 N 的大小.
3
3
4．（2018•绵阳）已知
Hale Waihona Puke Baidu
a＞b＞0，且
2 a
1 b
b
3
a
0
六、一元二次方程与实际问题
1.一个多边形有 54 条对角线，则此多边形的内角和为
°.
2.参加足球比赛的每两个队之间进行主客场两次比赛，共要比赛 72 场，请问 共有多少个球队参加比赛？
5.某地有 2 人患了流感，若经过两轮传染后共有 242 人患了流感.则每轮传染 中平均一个人传染了__________个人.
（2） x2 4x 7 0 ；
（5） 2x2 (1 2a)x a 0 ；
（6） (a 1)x2 ax 1 0 .
三、配方法的应用
1.（1）当实数 x＝__________时，式子 x2 3x 2 取最小值，且最小值为 __________； （2）当实数 x＝__________时，式子 2x2 4x 3 取最大值，且最大值为 ________.
3.一种药品原价为每盒 50 元，经过两次降价后为每盒 32 元．设两次降价的百 分率都为 x，则 x＝__________.
4.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素， 我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015 年利润为 4 亿元， 2015 年到 2017 年三年的总利润为 14.56 亿元．求该企业从 2015 年到 2017 年利润的年平均增长率．
2. 若 关 于 x 的 方 程 m 1 x|m1| x 1 0 是 一 元 二 次 方 程 ， 则 m 的 值 为
__________.
3.若关于 x 的一元二次方程（a 2）x2 x a2 4 0 的一个根为 0，则 a 的值 为________.
4.若关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的系数满足 a 2b 4c 0 ，则此方 程必有一根为__________.
5. 已 知 m 为 常 数 ， 若 a ， b 是 方 程 x2 x m 0 的 两 个 根 ， b ， c 是 方 程 x2 4x 2m 0 的两个根，则 m 的值为__________.
二、一元二次方程的解法
解下列关于 x 的一元二次方程
（1） (x 1)2 (2x 3)2 ；