中考数学专题复习之利用一次函数解决实际问题
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利用一次函数解决实际问题
◆类型一费用类问题
一、建立一次函数模型解决问题
1.某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含
14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价;
(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数解析式;
(3)小明家5月份用水26吨,则他家应交水费多少元?
二、分段函数问题
2.为更新果树品种,某果园计划新购进A,B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种树苗的单价为7元/棵,购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)若在购买计划中,B种树苗的数量不超过35棵,但不少于A种树苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.
三、两个一次函数图象结合的问题
3.随着互联网的发展,互联网消费逐渐深入人们生活,如图是“滴滴顺风车”与“滴
滴快车”的行驶里程 x(公里)与计费 y(元)之间的函数关系图象,下列说法:①“快车”行
驶里程不超过 5 公里计费 8 元;②“顺风车”行驶里程超过2 公里的部分,每公里计费 1.2
元;③A 点的坐标为(6.5,10.4);④从哈尔滨西站到会展中心的里程是 15 公里,则“顺风
车”要比“快车”少用 3.4 元.其中正确的个数有(
)
A .1 个
B .2 个
C .3 个
D .4 个
四、分类讨论思想
4.江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称,甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价
格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额 y 甲,y
乙
(单位:元)与原价 x(单位:元)之间的函数关系如图所示:
(1)直接写出 y 甲,y 乙关于 x 的函数关系式;
(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?
◆类型二 路程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
5.A ,B 两地相距 60km ,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发,图中l 1,l 2 表示
两人离 A 地的距离 s(km )与时间 t(h )的关系,请结合图象解答下列问题:
(1)表示乙离 A 地的距离与时间关系的图象是________(填 l 1 或 l 2);甲的速度是
________km /h ,乙的速度是________km /h ;
(2)甲出发多长时间两人恰好相距 5km?
二、分段函数问题
6.暑假期间,小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
(2)求线段AB对应的函数解析式;
(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远?
⎪ ⎪ ⎩ ⎩
◆类型三 工程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
7.甲、乙两工程队分别同时开挖两条 600 米长的管道,所挖管道长度 y(米)与挖掘时
间 x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中:①甲队每天挖 100 米;②乙队开挖 2 天后,
每天挖 50 米;③甲队比乙队提前 3 天完成任务;④当 x =2 或 6 时,甲、乙两队所挖管道长
度都相差 100 米.正确的有________(填序号).
二、分段函数问题
8.根据卫生防疫部门的要求,游泳池必须定期换水、清洗.某游泳池周五早上 8:00
打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳
池的水在 11:30 全部排完.游泳池内的水量 Q(m 3)和开始排水后的时间 t(h )之间的函数图
象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?排水孔的排水速度是多少?
(2)当 2≤t ≤3.5 时,求 Q 关于 t 的函数解析式.
参考答案与解析
1.解:(1)设每吨水的政府补贴优惠价为 m 元,市场价为 n 元.由题意得
⎧14m +(20-14)n =49, ⎧m =2,
⎨
解得⎨ ⎪14m +(18-14)n =42, ⎪n =3.5.
答:每吨水的政府补贴优惠价为 2 元,市场价为 3.5 元.
⎧⎪2x (0≤x ≤14)
, ⎧⎪20k +b =160, ⎧⎪k =6.4,
⎧⎪8x (0≤x ≤20)
, ⎧⎪x ≤35,
⎪⎩x ≥45-x ,∴22.5
⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎨
解得⎨ 所以 y 乙=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩
(2)当 0≤x ≤14 时,y =2x ;当 x >14 时,y =14×2+(x -14)×3.5=3.5x -21.综上所
述,y =⎨
⎪3.5x -21(x >14).
(3)∵26>14,∴小明家 5 月份水费为 3.5×26-21=70(元).
答:小明家 5 月份应交水费 70 元.
2.解:(1)当 0≤x ≤20 时,设 y 与 x 的函数解析式为 y =ax ,把(20,160)代入 y =ax
中,得 a =8.即 y 与 x 的函数解析式为 y =8x ;当 x >20 时,设 y 与 x 的函数解析式为 y =kx
+b ,把(20,160),(40,288)代入 y =kx +b 中,得⎨ 解得⎨ 即 y 与
⎪40k +b =288, ⎪b =32,
x 的函数解析式为 y =6.4x +32.综上所述,y 与 x 的函数解析式为 y =⎨
⎪6.4x +32(x >20).
(2)∵B 种树苗的数量不超过 35 棵,但不少于 A 种树苗的数量,∴⎨
≤x ≤35.设总费用为 W 元,则 W =6.4x +32+7(45-x )=-0.6x +347.∵k =-0.6<0,∴y
随 x 的增大而减小,∴当 x =35,45-x =10 时,总费用最低,即购买 B 种树苗 35 棵,A 种
树苗 10 棵时,总费用最低,W 最低=-0.6×35+347=326(元).
3.D
4.解:(1)设 y 甲=kx ,把(2000,1600)代入,得 2000k =1600,解得 k =0.8,所以 y
甲
=0.8x .当 0<x <2000 时,设 y 乙=ax ,把(2000,2000)代入,得 2000k =2000,解得 k =1,
所以 y 乙=x .当 x ≥2000 时,设 y 乙=mx +n ,把(2000,2000),(4000,3400)代入,得
⎧2000m +n =2000, ⎧m =0.7, ⎧x (0 (2)当 0<x <2000 时,0.8x <x ,到甲商店购买更省钱;当 x ≥2000 时,若到甲商店购 买更省钱,则 0.8x <0.7x +600,解得 x <6000;若到乙商店购买更省钱,则 0.8x >0.7x + 600,解得 x >6000;若到甲、乙两商店购买一样省钱,则 0.8x =0.7x +600,解得 x =6000; 故当购买金额按原价小于 6000 元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于 6000 元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于 6000 元时,到甲、乙两商店购买花钱 一样. 60 5.解:(1)l 2 30 20 解析:由题意可知,乙的函数图象是 l 2,甲的速度是 2 =