旋转的矩阵与四元数的转换算法

绕指定方向的轴线的旋转

旋转的矩阵与四元数的转换算法

一、基本知识

四元数 q=w+xi+yj+zk, q=w+v, q −1=|q|2q −.

其中q −= w −xi −yj −zk 表示q 的共轭。

vv' =v×v' −v•v' …… ①

qq'= (ww'−v•v') + (wv' +vw' +v×v'), …… ②

v •v' = −(vv' +v'v) /2 , …… ③

v×v' = (vv' −v'v) /2 . …… ④

v 2=−|v|2. 内积v •v =|v|2.

二、旋转表示为四元数

绕指定方向n 的旋转公式为

x'=(x •n)n(1−cosθ ) + cosθ x +sinθ n×x …… ⑤

其中的向量运算转化为四元数运算得到

x'= −(x n+nx)n (1−cosθ)/2 +cosθx +sinθ (n x−x n)/2,

由于|n|=1, 故n −1=−n. 因此有

x'= (1+cosθ)x/2 +sinθ (n x−x n )/2 −nxn (1−cosθ)/2 . …… ⑥

x 的平行、垂直分量记为x p =(x•n)n , x v = x−x p , 则−nxn= x p − x v , 与x 关于n 轴对称。 (nx−xn)/2= n×x, 是x v 旋转+90°的结果。 若 n ⊥x, x•n =0,即xn=−nx, 此时nxn=x, 故 x' =(cosθ+n sinθ)x .

q=r(cosθ+nsinθ)称为四元数的三角式，其中n 为单位向量，它的几何意义是，qx 表示对向量x 绕方向n 旋转θ角，然后长度扩大为r 倍。任何四元数都有三角式q=w+v= |q|(w/|q|+n|v|/|q|)=r(cosθ+nsinθ).

φ(x)=qxq −1称为四元数域上的合同变换。若q=a+bn, |n|=1, 则 |q|2 =a 2+b 2 ,

|q|2φ(x) = qx q − =( a+bn)x(a −bn) =(ax+bnx)(a −bn) =a 2x+ bnxa − axbn −bnxbn= a 2x+ ab(n x−xn)−b 2nxn. 即 |q|2(qxq −1) = a 2x+ ab(n x−xn)−b 2nxn …… ⑦

由于n 2=−|n|2, nxn = (xn+nx)n+|n|2x = −2(x•n)n +|n|2x . 因此，若x 的标量分量为0, 则

|q|2(qxq −1) = a 2x + 2abn×x +2b 2 (n •x)n − b 2|n|2x . …… ⑧

比较⑥,⑦式得到 a 2/|q|2 =(1+cosθ)/2 , ab/ |q|2 = sinθ/2, b 2/ |q|2 =(1−cosθ)/2.

a=|q|cos(θ/2), b=|q|sin(θ/2). q=cos(θ/2)+sin(θ/2)n.

于是，绕单位向量n, 旋转角度θ可以表示为四元数q=cos(θ/2)+sin(θ/2)n 的合同变换x'=qxq −1. q 称为该旋转的四元数。旋转的四元数不是唯一的，例如，如果φ(x)=qxq −1, r=aq, a≠0是任意标量，那么φ(x)=rxr −1.

三、四元数的矩阵

后面所用符号e 1,e 2,e 3与i,j,k 具有同样含义。

x'=Ax 中，A 的各个εi =Ae i ,恰好是矩阵A 的各列，注意到这一点，使我们可以很容易地计算四元数q=cos(θ/2)+nsin(θ/2) 的矩阵A ：

令列向量 εi = qe i q −1, 则 A=[ε1, ε2, ε3].

例如绕x 轴旋转α角的四元数为 q = cos(α/2)+sin(α/2)i.

εi = qe i q −1= cos 2 (α/2) e i + 2cos(α/2)sin(α/2) (i ×e i ) + sin 2 (α/2)(2(i • e i )i −e i ).

ε1= cos 2 (α/2)i + sin 2 (α/2)i=i.

ε2= cos 2 (α/2) j+ 2cos(α/2)sin(α/2) (i ×j) + sin 2 (α/2)(2(i • j )i −j) =

=cos 2 (α/2) j+ 2cos(α/2)sin(α/2) k − sin 2 (α/2) j = cos α j+sin(α) k.

ε3= cos 2 (α/2) k+ 2cos(α/2)sin(α/2) (i ×k) + sin 2 (α/2)(2(i •k )i −k) =

=cos 2 (α/2)k −2cos(α/2)sin(α/2) j − sin 2 (α/2) k= cos α k −sin(α) j.

旋转矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-αα

ααcos sin sin cos 1.

四、矩阵的四元数 出于同样考虑，我们首先分析q= cos(θ/2) +nsin(θ/2)对于一些特殊向量的旋转结果， 然后反过来由这些向量在x'=Ax 之下的旋转结果确定q 的参数。 方法要点在于比较x'=Ax 以及⑧式的变换结果：

φ(x) =qxq −1 = (a 2x + 2abn×x +2b 2 (n•x)n − b 2|n|2x )/|q|2 .

[1] 确定q 的单位向量n. 令εi = Ae i , i=1,2,3. φ(e i ) = a 2 e i + 2abn×e i +2b 2 (n•e i )n − b 2 e i .

如果ε1= e 1, 则取 n=e 1. 否则如果(ε1 −Ae 1)×(ε2 −Ae 2)≠0, 则取n 为其单位向量。 否则一定有 (ε1 −Ae 1)×(ε3 −Ae 3)≠0, 取n 为其单位向量。

[2] 确定a,b. e i •φ(e i )= a 2 +2b 2 a i 2 − b 2 . 其中 a 2+b 2=1, n=Σa i e i , |q|=1, A=(a ij ).

于是e i •εi = 2a 2 +2b 2 a i 2 −1. a ii =2a 2 +2b 2 a i 2 −1. T=Σa ii =6a 2 +2b 2 −3 = 4a 2 −1. 故

a 2 =(T+1)/4,

b 2 =(3−T)/4. 取正的平方根。

[3] 确定 a,b 的符号。 (n ×e 1)•φ(e 1)= (n ×e 1)•( a 2 e 1 +2abn×e 1 +2b 2 (n•e 1)n −b 2 e 1)= 2ab(n×e 1)2.

因此ab 与(n ×e 1)•φ(e 1)同号，即ab 与 313

212111

001

a a a a a a =3

31221a a a a 同号。如果a 21a 3−a 31a 2为负，则改b 为负。

§4.2 具体转换实例 对于常用的旋转变换，即用Euler 角指定的变换，可以按如下方法处理。写出分别绕x,y,z−轴旋转角度α,β,γ的旋转变换以及相应得四元数依次为：

x'=(x•i)i(1−cos α ) + cos α x +sin α i×x, q 1 = cos(α/2)+sin(α/2)i,

x'=(x•j)j(1−cos α ) + cos α x +sin α j×x, q 2 =cos(β/2)+sin(β/2)j,

x'=(x•k)k(1−cos α ) + cos α x +sin αk×x, q 3 =cos(γ/2)+sin(γ/2)k.

q=q 3q 2q 1 . q 的分量表示为q=w+v, 其中 w= cos(γ/2)cos(β/2)cos(α/2) + sin(γ/2)sin(β/2)sin(α/2), v=ai+bj+ck, a=( cos(γ/2)cos(β/2)sin(α/2)− sin(γ/2)sin(β/2)cos(α/2) ),

b=( cos(γ/2)sin(β/2)cos(α/2)+ sin(γ/2)cos(β/2)sin(α/2) ),

c=( −cos(γ/2)sin(β/2)sin(α/2)+ sin(γ/2)cos(β/2)cos(α/2) ).

把q 写成三角形时，就可以得到等效旋转轴n 与旋转角度θ. 具体公式为：

q=|q|( cos(θ/2)+ n sin(θ/2)), cos(θ/2)=w/|q|, sin(θ/2)=|v|/|q|, n=v/|v|. 这里|q| =1自然成立。

一般情况下，采用§4.1的方法，举例如下