机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
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机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
(O ')
P yP uvjw yjy(P uiu P vjv P w kw ) x P z P uvjz w jz(P u iu P vjv P w k w )
用矩阵表示为:
Px
Py
Pz
ix jy
kz
i i i
ix jv jy jv kz jv
Pu
u
图 2-4
ix jy kz
kkkwwwPPPwv
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
o(o′ ) v y
u x
o(o′ ) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3 0 1 0 7
也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固 定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。
齐次变换矩阵T 的意义：
• 机器人用到相对变换的
时候比较多
z
• 例如机械手抓一个杯子，
H
如右图所示，手爪需要
转动一个角度才抓的牢，
相对于固定坐标系表达
太麻烦，可以直接根据
y
手爪的坐标系表示
o
• 但也要知道在∑O中的位 x 姿，就用右乘的概念。
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
机器人技术 二、齐次坐标变换
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换例题
假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下 进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换
因此通过求逆阵就可以求得求矩阵逆例题变换矩阵的逆第二章机器人运动学在一个具有六自由度的机器人的第五个连杆上装有照相机照相机观察物体并测定它相对于照相机坐标系的位置然后根据以下数据来确定末端执行器要到达物体所必须完成的运动
第二讲
齐次坐标变换
主讲：吴海彬
福州大学机械工程及自动化学院
主要内容
引言 点的向量表示 单位向量 点和向量的齐次表示
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。 用“×”表示叉积，即
相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标系不同，这时需 要右乘变换矩阵而不是左乘。
相对自身的运动即是相对动坐标。
相对动坐标是指动坐标系本身相对自身的运动，而不是动坐 标系中的点相对动坐标系的运动。 如果在一个变换过程中，既有相对固定坐标系的变换，也有 相对于动坐标系的变换，则应先写出第一个变换因子，在根据 变换的具体过程，依次左乘或右乘变换因子，最后乘以被变换 的对象（点或坐标）。
齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用
LIU Feng
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
机器人模型与控制-0前言1齐次变换
三、刚体位姿描述－坐标系的描述
刚体相对于参考坐标系{A}的位姿：可以用与刚体固连 的坐标系{B} 相对于参考坐标系{A}的旋转矩阵和位置矢量 复合在一起来表达
B
YB YA
AP OB
A B
R , POB
A
P1 P1 OB ZB XB
OA ZA
XA
四、手爪位姿的描述
定义一个与手爪固连的手爪坐标系{T}，以{T}相对于参 考坐标系{A}位姿来描述手爪位姿
Z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量 a（approach）； Y轴设在两手指的联线方向，称为方位矢量 o（orientation）； X轴根据右手法则确定：n＝ o×a，称为法向矢量 n（normal）。
T
A T
R , POT
A
o（YT） n（XT） OT
，其中
A T
R n o a
* 在每个刚体上定义一个坐标系；
* 刚体内的各点之间的运动学关系固定不变， 在该坐标系内表示；
* 各刚体间及与环境间的位姿关系因关节运动而改变， 以齐次变换表达刚体（坐标系）间的位姿关系。
1.1 刚体位姿描述
• 在刚体上定义坐标系，通过坐标系在参考坐标系中的位置 和姿态表达，来描述刚体位姿。
YB YA
机器人模型与控制
参考教材： 1. 【ROBOT DYNAMICS AND CONTROL】 M W.SPONG, JOHN WILEY & SONS, 2004 2. 【机器人学】 熊有伦等编著 机械工业出版社 1993
内容
• • • • • 前言 相关基础知识：齐次变换 运动学：位置关系和速度关系 静力学 动力学
• • •
A B
工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 2、机器人本体的关节运动和连杆变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 3、机器人工具变换与工具变换数据
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学
2、逆运动学计算
把根据机器人工具坐标系在 世界坐标系中的直交位置数据计 算出各个关节角度值（J1，J2， J3，J4，J5，J6）的过程称之为
逆运动学计算
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.1 坐标系的运动和变换矩阵 2、坐标系的旋转运动和矩阵表示
例如，将坐标系{F}绕坐标系{U}的X轴正方向旋转30°
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.1 坐标系的运动和变换矩阵 3、复合运动和矩阵表示
例如，将坐标系{F}绕坐标系{U}的X轴正方向旋转30°
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 （2）构造标志数据FL1 (X，Y，Z，A，B，C，L1，L2)(FL1，FL2）
工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵
相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵是机器视觉和工业机器人领域中一个非常重要的概念。
对于工业领域的自动化生产，机械臂和相机之间的精确配准是至关重要的，而齐次变换矩阵正是用来描述相机坐标系到机械臂末端坐标系之间的关系的。
本篇文章将深入探讨相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵的计算方法，并且将详细介绍该计算方法的原理和实际应用。
一、齐次变换矩阵的概念和基本原理齐次变换矩阵是一种用来描述坐标系之间关系的数学工具，它可以将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中去。
在工业机器人和机器视觉系统中，我们常常需要将相机坐标系中的点映射到机械臂末端坐标系中，这就需要使用到齐次变换矩阵。
齐次变换矩阵的基本形式如下所示：\[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]其中，\[R\]为旋转矩阵，\[t\]为平移向量。
齐次变换矩阵可以将一个点的坐标\[P\]从相机坐标系变换到机械臂末端坐标系：\[ P' = T \times P \]二、计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵需要以下步骤：1. 确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点需要确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点位置。
这两个坐标系的原点通常是相机的光学中心和机械臂末端执行器的中心点。
确定了原点位置之后，我们可以将相机坐标系和机械臂末端坐标系的坐标系原点重合。
2. 计算旋转矩阵接下来，需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的旋转矩阵。
旋转矩阵描述了两个坐标系之间的旋转关系。
在实际应用中，可以通过标定相机和机械臂的姿态来获取旋转矩阵。
3. 计算平移向量除了旋转矩阵之外，还需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的平移向量。
平移向量描述了两个坐标系之间的平移关系。
平移向量可以通过相机和机械臂的空间位置信息来计算得到。
4. 组合旋转矩阵和平移向量将计算得到的旋转矩阵和平移向量组合在一起，就得到了相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵。
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
![第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]](https://img.taocdn.com/s3/m/c5aed3c4a1c7aa00b52acbd8.png)
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算(共34张PPT)
x' 1 0 0 x x
y'
0
1
0
y
y
z' 0 0 1 z z
1
0
0
0
1
1
a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a
平移算子
1 0 0 x
Tran(sx,y,z) 0 1 0 y 0 0 1 z
0 0 0
1
❖ ① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。
❖ ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。
假设手臂绕Z0轴旋转90°，那么手 臂到达G2；假设手臂不动，仅手部 绕手腕Z1轴转90°，那么手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达式。
3．复合齐次变换
复合变换是由固定参 考坐标系或当前运动 坐标系的一系列沿轴 平移和绕轴旋转变换 所组成的。任何变换 都可以分解为按一定 顺序的一组平移和旋 转变换。
ny oy
n o k 0 希望得到｛A｝相对于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。
从而定义复合变换
z
z
z
nHale Waihona Puke ox ax px0 1kx ky
(2)旋转之前{A’}和 {B’}重合， {A}和{B}也重合。
平移与旋转的结合
令上面两式相等，那么得变换方程
是nx过n原把y点n的上z 单-式位p.矢右量，端求绕三k旋转矩阵相乘，并运用旋转矩阵的正交性质：
zA A
n o k (2)旋转之前{A’}和 {B’}重合， {A}和{B}也重合。
点(1)在空和间分直别角代坐表标同系一中坐的标旋系转{如C}下相z图对。于{A}和z {B}的描z述。
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
矩阵运算(工业机器人基础)
矩阵运算几何变换通常是用矩阵运算方法实现的，就是将描述模型或图形的几何信息的点列坐标矩阵乘以某种变换矩阵，从而获得一组新的点列坐标矩阵，再由这组新的点列坐标生成新的模型或图形。
即如下形式：形体的原点列坐标矩阵 几何变换矩阵 形体的新点列坐标矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nnz y x z y x z y x .........222111 × ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i hgf e d c b a ＝ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''n nnz y x z y x z y x .........222111因此，下面就矩阵运算的基本要点作简要介绍。
设有一个m 行n 列矩阵A其中被称为第i 个行向量，被称为第j 个列向量。
一) 矩阵的加法运算设两个矩阵A 和B 都是m x n 的，把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A 、B 的和，记为A ＋B只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。
二) 数乘矩阵用数k 乘矩阵A 的每一个元素而得的矩阵叫做k 与A 之积，记为 kA三) 矩阵的乘法运算只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。
，矩阵C中的每一个元素。
下面让我们用一个简单的例子来说明，设A为2x3的矩阵，B为3x2的矩阵，则两者的乘积为：四) 单位矩阵对于一个nxn的矩阵，如果它的对角线上的各个元素均为1，其余元素都为0，则该矩阵称为单位阵，记为In。
对于任意mxn的矩阵恒有五) 矩阵的转置交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素，那么所得到的nxm的矩阵被称为原有矩阵的转置，记为AT：显然但是对于矩阵的积：六) 矩阵的逆对于一个nxn的方阵A，果存在一个nxn的方阵B，使得AB=BA=In，则称B是A的逆，记为，A则被称为非奇异矩阵。
A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式A的伴随矩阵:主对角元直接对调，非对角元变为相反数。
机器人技术 二、齐次坐标变换
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
机器人技术 二、齐次坐标变换
例：如图所示为F坐标系位于参考坐标 系中（3，5，7）的位置，它的n轴与x轴 平行，o轴相对于y轴的角度为45度，a轴 相对于z的角度为45度。请写出该坐标的 齐次表达形式。
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
图
刚体的表示
一个刚体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该 固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该刚体上，所以该刚体 相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么 这个刚体相对于固定坐标系的位姿也就已知了。由此可知，刚体在参考坐标系的表 示与坐标系是完全一样的。
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的方 向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
a x b P y cz 1
2 a x P a 2 x a 2 x ax by cz by by cz cz by cz 0
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Pxyz Rot( y, ) Trans(l1 , l2 , l3 ) Rot( x, ) Pnoa
注：矩阵的顺序不能变；
相对固定坐标系的平移和旋转，变换矩阵左乘。
相对坐标系的齐次矩阵
齐次变换矩阵
复合变换例题
固连在坐标系（n，o，a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变 换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着绕y轴旋转90度； 3、接着再平移（4，-3，7）。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
• (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的 X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’} 、 {0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
上海电机学院 机械学院
• 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
上海电机学院 机
械学院
旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为：
(1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。
机器人概论 第二章机器技术数学基础
cθ A R = R ( z , 30 0 ) = sθ B 0
A A p = B R B p + A pB0
− sθ cθ 0
0 0.866 0 = 0.5 1 0
− 0.5 0.866 0
0 12 0 ; Ap B0 = 6 0 1
0 0 0 0 1 0 7 1 2 1 = 9 1
机器人技术数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换 3.旋转齐次坐标变换
1 0 0 cθ 0 sθ cθ − sθ 0 R(x,θ) = 0 cθ − sθ R( y,θ) = 0 1 0 R(z,θ) = sθ cθ 0 0 sθ cθ − sθ 0 cθ 0 0 1
py
pz ]
T
机器人技术数学基础
2.1 位置和姿态的表示
2.方位描述 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 的三个单位主矢量[x 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述. 矩阵描述.
第二章-第二章--机器人技术数学基础 --机器人技术数学基础
2.1 2.2 2.3 2.4 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体 • 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 几何描述， 学问题 • 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
A A p = B R B p + A pB0
− sθ cθ 0
0 0.866 0 = 0.5 1 0
− 0.5 0.866 0
0 12 0 ; Ap B0 = 6 0 1
0 0 0 0 1 0 7 1 2 1 = 9 1
机器人技术数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换 3.旋转齐次坐标变换
1 0 0 cθ 0 sθ cθ − sθ 0 R(x,θ) = 0 cθ − sθ R( y,θ) = 0 1 0 R(z,θ) = sθ cθ 0 0 sθ cθ − sθ 0 cθ 0 0 1
py
pz ]
T
机器人技术数学基础
2.1 位置和姿态的表示
2.方位描述 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 的三个单位主矢量[x 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述. 矩阵描述.
第二章-第二章--机器人技术数学基础 --机器人技术数学基础
2.1 2.2 2.3 2.4 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体 • 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 几何描述， 学问题 • 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
上海电机学院 机械学院
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0Leabharlann 1000 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
上海电机学院 机械学院
CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 ｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
上海电机学院 机械学院
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
机器人第三章
的方位不同，则具有以下变换关系：
A
p R p
A B B
(3.9)
上式称为坐标旋转方程。
A 用旋转矩阵 B R 表示坐标系{B}相对于{A}的方位。 B A 同样，用 A R 描述坐标系{A}相对于{B}的方位。为 B R
的逆矩阵，它们之间有如下关系：
B A
R R
A B
1
R
A B
T
3、位姿的描述和一般变换
sin 0 cos
( 3.6 )
cos R y , 0 sin
( 3.7 )
cos R z , sin 0
sin cos 0
0 0 1
( 3.8 )
设坐标系{B}与{A}有共同的坐标原点，但是两者
手爪的位姿由四个矢量来描述，
记为
T n, o, a, p
3.3 齐次变换矩阵的运算
变换矩阵相乘 变换矩阵求逆 齐变换矩阵不同的物理解释
1、变换矩阵相乘
已知{B}相对{A}的描述为 AT ，{C}相对{B}的 B
B 描述为 CT ，则定义复合变换：
A C
A C
T T T
A B B C
{C}
第三章
位姿描述和齐次变换
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
刚体位姿描述 齐次坐标和齐次变换 齐次变换矩阵的运算 变换方程 旋转变换通式 自由矢量的变换
3.1 刚体位姿描述
1、位置的描述和坐标平移 2、方位的描述和坐标旋转 3、位姿的描述和一般变换
1、位置的描述和坐标平移
空间任一点p的位置可用3×1的列矢量 Ap 称位置矢量表示 px A (3.1) p py pz 空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不 同的，从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述
A
p R p
A B B
(3.9)
上式称为坐标旋转方程。
A 用旋转矩阵 B R 表示坐标系{B}相对于{A}的方位。 B A 同样，用 A R 描述坐标系{A}相对于{B}的方位。为 B R
的逆矩阵，它们之间有如下关系：
B A
R R
A B
1
R
A B
T
3、位姿的描述和一般变换
sin 0 cos
( 3.6 )
cos R y , 0 sin
( 3.7 )
cos R z , sin 0
sin cos 0
0 0 1
( 3.8 )
设坐标系{B}与{A}有共同的坐标原点，但是两者
手爪的位姿由四个矢量来描述，
记为
T n, o, a, p
3.3 齐次变换矩阵的运算
变换矩阵相乘 变换矩阵求逆 齐变换矩阵不同的物理解释
1、变换矩阵相乘
已知{B}相对{A}的描述为 AT ，{C}相对{B}的 B
B 描述为 CT ，则定义复合变换：
A C
A C
T T T
A B B C
{C}
第三章
位姿描述和齐次变换
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
刚体位姿描述 齐次坐标和齐次变换 齐次变换矩阵的运算 变换方程 旋转变换通式 自由矢量的变换
3.1 刚体位姿描述
1、位置的描述和坐标平移 2、方位的描述和坐标旋转 3、位姿的描述和一般变换
1、位置的描述和坐标平移
空间任一点p的位置可用3×1的列矢量 Ap 称位置矢量表示 px A (3.1) p py pz 空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不 同的，从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述
机器人技术 二、齐次坐标变换
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。 用“×”表示叉积，即
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换例题
假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下 进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换
cos Rot( y, ) 0 sin
0 sin 1 0 0 cos
cos Rot( z , ) sin 0
sin cos 0
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x' x x
y'
y
y
z ' z z
x' 1 0 0 x x
y'
0
1
0
y
y
z' 0 0 1 z z
1
0 0 0
1
1
a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a
4
平移算子
A
1 0 0 x
Tran(sx,y,z) 0 1 0 y 0 0 1 z
0 0 0
1
❖ ① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。 ❖ ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。 ❖ ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
11
A
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u7321，T 将此点绕Z轴
旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W R o t(Y ,9 0 )R o t(Z ,9 0 )U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0 1
0 0 0 3
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
9
A
10
A
3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
oz 0
az 0
pz 1
2
A
变换可定义为空间的一个运动。
已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的
坐标可通过齐次坐标变换来求得。
变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合
3
A
❖ 1.平移的齐次变换
❖ 空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x' x cos y sin
y'
x sin
y
cos
z' z
x' cos sin 0 0 x
y' sin cos 0 0 y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0 0 1 1
记为: a′=Rot(z, θ)a
7
旋转算子
A
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Ro(tz,) sin cos 0 0
求逆问题可以描述为：已知 ABT ，求解 BAT 。 •对4*4矩阵直接求逆；
•利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。
ABT BA0R Ap1B0
BAT AB0R B p1A0
利用旋转矩阵正交性 B AR1BART
利用复合变换公式(2.13) ,求出 A pB0 在{B}中描述。
18
A
B (A pB 0) A B R A pB 0 B pA 00
机器人学基础
——齐次变换矩阵及其运算
LOGO
齐次变换矩阵及其运算
由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可.
为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。
nx ox ax px
F
n
Байду номын сангаас
y
oy
ay
p
y
nz 0
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0 0 1 1
12
A
❖ 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
E Tr (4 , a 3 ,7 )R n(y s ,o 9)R t0 (z ,o 9)u t0
ABT
表示坐标系{C}从
B C
T
映射为 CAT
的变换。
(2)坐标系{C}相对于{A}的描述 CAT 是这样得到的：最初{C}
与{A}重合，首先相对于{A}作运动 ABT ，到达{B},然后相
对{B}作运动
B C
T
，到达最终位置{C}。
17
A
5.变换矩阵求逆
如果知道坐标系｛B｝相对于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相对 于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。
BpA 0A B R A pB 0B A R TA pB 0
从而定义复合变换
。
CATABTCBT
表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。
注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘 和右乘的运动解释不同。
16
A
C A TA BTC B TB A 0 R Ap 1B0C B 0 R Bp 1C0
复合变换可解释为：
(1) A C
T
和
B C
T
分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。则
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
0 1 0 1
A'' 1 0
0
2
0 0 1 1
0 0 0 1
6
A
❖ 2．旋转的齐次变换
❖ 点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋 转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ：
器人手部的平移变换。
5
A
❖ 例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作
❖ (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系) 的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系 {A’}、 {A’’}
0 1 0 1
A
1
0
0 0
0 1 1 1
0
0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
1 0
0 0
cos 0 sin 0
Rot(x,) 0
0
cos sin
sin cos
0 0
Ro(ty,)
0
sin
1 0
0
cos
0 0
0 0
0 1
0
0 0 1
8
A
如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
x
y
z
1
c os
Ro(tz,) sin
0
0
sin c os
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
15
A
CATABTCBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对
｛A｝的描述为 ABT
，｛C｝相对｛B｝的描述为
B C
T
，则
B pCBTCp
ApA BTBpA BTC BTCp
13
A
14
A
齐次变换矩阵
A B
T
的数学意义：
（1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换；
（2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位；
（3）点的运动算子。
ApABTBp
0 0 1 1
ABT
1 0
0 1
0 0
3 4
0 0 0
1
1 Tran(sx,y,z) 0
0 0
00 10 01 00