第一章齐次变换

a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即
（1.1）
a ·b = ax bx + ay by + az bz
（1.2 ）
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”表示叉积，即
可用行列式表示为
改变比例因子 w，则分量 a、b、c 的数值相应改变，但描述的还是同一个点向量。如 v = 3i + 4j + 5k 可表示为
v = [ 3 4 5 1 ]T = [ 6 8 10 2 ]T = [ -3 -4 -5 -1]T 在向量中增加一个比例因子 w 是为了方便坐标变换中的矩阵运算。
已知两个向量
w
x/w+a y/w+b
v = z + cw = z / w + c 1
(1.10) (1.11)
可见，平移实际上是对已知向量 u = [ x y z w ]T 与平移向量 h = [ a b c 1 ]T 相加。
【例1.1】对点向量 u = [ 2 3 2 1 ]T 进行平移，平移向量为 h = [ 4 -3 7 1 ]T，则平移后的向量为 v = [ 6 0 9 1 ]T，或
1.4 平移变换（Translation transformation）
用向量 h ＝ a i + b j + c k 进行平移，其相应的H变换矩阵是
100a
010b H = Trans ( a b c ) =
0001
001c
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经H变换为向量v可表示为
x + aw y + bw
v=Hu
（1.7）
其中H为4×4 变换矩阵，u和v为4×1的点列向量，相应的平面p到q的变换是
q = p H-1
（1.8）
其中H-1为H的逆阵，p和q为1×4 的平面行向量。
经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为
q ·v = p H-1 ·H u ＝ p ·u
（ 1.9）
与变换前平面p与点u的点乘相等，证明了变换的等效性。
第一章齐次变换
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引言
要实现对工业机器人在空间运动轨迹的控制，完成预定的作业任务，就必须知道 机器人在空间瞬时的位置与姿态。如何计算机器人手部在空间的位姿是实现对机器人 的控制首先要解决的问题。本章讨论机器人运动学的基本问题，将引入齐次坐标变换。 推导出坐标变换方程；利用DH参数法，进行机器人的位姿分析；介绍机器人正向和逆 运动学的基础知识。
距离为－d / m，其中
1 •v
m=
（1.6）
如图1.2所示，a2如+ 果b2将+ cx2－y 平面沿z 轴正
0
方向平移一个单位距离，构成平面 p，则 p = [ 0 0 1 -1]
x x
即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m =
=1
图1.2 平面的描述
平面p上任一点v为 v = [ x y 1 1 ]Ta，2 +它b与2 +平c2面p的点乘为零，即 p • v = 0 平面p上方任一点v，如 v = [ 0 0 2 1 ]T，它与平面p的点乘为一个正数，即 p • v = 1
p
c
•
一个点向量可表示为 v = ai + bj + ck
E
v
0
x by
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、y、z 三个方
向上的分量外，再加一个比例因子 w ，即
a
u
H y
v = [ x y z w ]T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
x
z
0
图1.1 点向量的描述
100 4 0 1 0 ―3 v = H ∙u = 0 0 1 7 000 1
2
6
3
0
2=9
1
1
z 9
q v•
点向量的平移过程如图1.3所示。
p
对平面的平移则用 H－1 进行变换，如对平面
p = [ 1 0 0 -2 ] 进行 H 变换为平面q，则根据变
平面p下方任一点v，如 v = [ 0 0 0 1 ]T，它与平面p的点乘为一个负数，即 p • v = -1
注意：平面 [ 0 0 0 0 ] 无定义。
p
y y
1.3 变换(Transformation)
H空间的变换是由4×4矩阵来完成的，它可以表示平移、旋转、扩展和透视等各种变换。如已知点u （在平面p上）,它的变换v（在平面q上）用矩阵积表示为
1.11 等价旋转角与旋转轴 1.12 扩展与缩小
1.13 透视变换
1.14 变换方程
1.15 小结
1.1 引言 (Introduction)
机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。这一章将给出描述 这些关系必须的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计 算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用齐次坐标变换来 描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。 本章首先介绍向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的坐标变换，这些变换基本上是由平 移和旋转组成，因此可以用坐标系来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要介绍逆 变换，逆变换是运动学求解的基础。
主要内容
数学基础——齐次坐标变换 机器人运动学方程的建立（正运动学） 机器人逆运动学分析
1.1 引言
一、机器人数学基础——齐次坐标变换 1.2 点向量和平面的描述
1.3 变换
1.4 平移变换
1.5 旋转变换
1.6 坐标系
1.7 相对变换
1.8 物体的描述
1.9 逆变换
1.10 一般性旋转变换
a × b = ( ay bz ¯az by ) i + ( az bx ¯ax bz ) j + ( ax by ¯ay by ) k
（ 1.3）
ijk a×b =
bx by bz
ax ay az
（1.4）
1.2.2 平面（Planes）
平面可用一个行矩阵表示，即
z
p=[abcd]
（1.5）
它表示了平面p的法线方向，且距坐标原点的
1.2 点向量和平面的描述（Notation of point vectors and planes）
1.2.1 点向量（Point vectors）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位置。同一
z
个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同。如图1.1中， 点p在E坐标系上表示为 Ev，在H坐标系上表示为 Hu，且v ≠ u。