Fourier变换练习题(全,有答案)
积分变换习题解答1-2
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1-21.求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解:[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换,证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明:()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对,即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰,()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数,即()()F F ωω-=-,则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ (令u ω-=)()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰(换积分变量u 为ω)()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数,即()()f t f t -=-,则()()()()()j j e d e d t t F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ (令t u -=)()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰(换积分变量u 为t )()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4.求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换,并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解:由Fourier 正弦变换公式,有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式,有()120022sin ()()sin 1s s s t f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ 由此,当0t α=>时,可得()()2sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5.设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ,试证明:1)()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=; 2)()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明: 在一般情况下,记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数,且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰, ()a ()()()Im sin cos d ri F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰()b 1)若()f t 为t 的实值函数,即()()(),0r i f t t f f t ==.此时,()a 式和()b 式分别为()()Re cos d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰()()Im sin d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦反之,若已知()()F F ωω-=,则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数;()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此,必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰ 亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1)获证.2)若()f t 为t 的虚值函数,即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时,()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之,若已知()()F F ωω-=-,则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数;()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此,必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰, 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2)获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=,求该函数()f t .解:sin ()F ωωω=为连续的偶函数,由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰ ()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰ 但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰当0a =时,sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩,,,7.已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦,求该函数()f t .解:由函数()()()00δd t t g t t g t -=,易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8.求符号函数(又称正负号函数)()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier变换.解:容易看出()()()sgn t u t u t =--,而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9.求函数()()()1δδδδ222aa t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 :()()()()j 1δδδδe d 222ta a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t f t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin5cos5322f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F . 14.证明:若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ,其中()t ϕ为一实数,则()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F ()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F 其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明:因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17.求作如图的锯齿形波的频谱图.(图形见教科书).解 :02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011e d e d e d TTTn t n t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n nωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑。
积分变换习题解答
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⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ (3) f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
解
(1)函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件,傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
| t |< 1 | t |= 1 。 | t |> 1
习题二
1. 求矩形脉冲函数 f (t ) = ⎨
F (ω ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
⎧ A, 0 ≤ t ≤ τ 的傅氏变换。 其他 ⎩ 0,
+∞ τ − jωt − jω t = f t e dt ( ) ∫ −∞ ∫ 0 Ae dt
⎧sin t , | t |≤ π , (3) f (t ) = ⎨ 证明 ⎩ 0, | t |> π ,
∫
+∞
0
⎧π sin ωπ sin ωt ⎪ sin t , | t |≤ π dω = ⎨ 2 2 1− ω ⎪ | t |> π ⎩ 0,
e dt = 2 ∫ e
0 +∞ −βt
解 (1) F (t ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
−∞
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
−∞
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) cos ωtdτ dω
复变函数与积分变换习题册(含答案)
![复变函数与积分变换习题册(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/0c8f3cdb0242a8956bece4c0.png)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
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第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。
工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)
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再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2.求下列函数的 Fourier 积分:
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1)函数 f ( t ) = ⎨ 解: 解:1 为连续的偶函数,其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩
快速傅里叶变换FFT试题
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第一章快速傅里叶变换(FFT )4.1 填空题(1)如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ,序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ,记)()()(n h n x n y *=(线性卷积),则)(n y 为 点的序列,如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积,则FFT 的点数至少为 点。
解:64+128-1=191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为:平均每次复乘需100s μ,每次复加需20s μ,今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需( )时间,用FFT 运算需要( )时间。
解:①直接运算:需复数乘法2N 次,复数加法)(1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ)(② 基2FFT 运算:需复数乘法N N2log 2次,复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量,其特点是 _______、_________和__________。
解:长度逐次变短;周期性;蝶形计算、原位计算、码位倒置 (4)N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解:N NL N mF 2log 22==;N N NL aF 2log ==4.2 选择题1.在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ,最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算,需要分解 次,方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解:B2.在基2 DIT —FFT 运算时,需要对输入序列进行倒序,若进行计算的序列点数N=16,倒序前信号点序号为8,则倒序后该信号点的序号为 。
《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习
![《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习](https://img.taocdn.com/s3/m/a66beb0de55c3b3567ec102de2bd960590c6d91a.png)
03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换,可以将信号分 解成不同频率的成分,从而更好 地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中,Fourier变换可以 帮助我们识别和去除噪声,提高 信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分, Fourier变换可以实现信号压缩, 减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。这个 过程可以通过将两个函数的Fourier变换 相乘,然后进行逆Fourier变换来实现。 在时域中,两个函数的乘积可以通过卷积 来表示,因此卷积的逆Fourier变换可以 用来计算两个函数的乘积在时域中的表示 。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质,它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理,它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在 信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处 理中的优缺点和应用时的注意事 项。
Fourier变换在数值分析中主要用 于求解微分方程、积分方程等数 学问题,提高计算效率和精度。
复变函数 傅氏变换 习题解答复变函数 傅氏变换 习题解答
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解
(1)函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件,傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
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an
| t |< 1 | t |> 1
证 f (t ) 是偶函数
| t |= 1 。
⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ (3) f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
+∞ 1 +∞ jωt a ω e d ω = ( ) ∫0 a (ω ) cos ωtdω 2 ∫−∞
a(ω ) 是 ω 的偶函数。 (注也可由 1 题推证 2 题)
3.在题 2 中,设 f ( t ) = ⎨
⎧1, | t |≤ 1 ,试算出 a(ω ) ,并推证 ⎩0, | t |> 1
⎧π ⎪ 2 , | t |< 1 ⎪ +∞ sin ω cos ωt ⎪π d ω = ⎨ , | t |= 1 ∫0 ω ⎪4 ⎪ 0, | t |> 1 ⎪ ⎩
傅氏变换习题解答 习题一
1.试证:若 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件,则有
f (t ) = ∫
其中
+∞
0
a (ω ) cos ωtd ω + ∫ b(ω ) sin ωtd ω
0
+∞
a (ω ) = b(ω ) =
证 f (t ) =
π∫ π∫
1
1
+∞
−∞ +∞
f (τ ) cos ωτ dτ , f (τ ) sin ωτ dτ
复变函数与积分变换:7-Fourier变换习题课
![复变函数与积分变换:7-Fourier变换习题课](https://img.taocdn.com/s3/m/a045e4158e9951e79b89279f.png)
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
13
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
25
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4. 综合运用
例7 计算函数f (t) tu(t)et sin 0t的Fourier
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
26
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1
1
1
1
2i i( 0 ) 2i i( 0 )
2 0
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F
[tu(t )et
sin 0t]
i
d
d
02
0 (
i )2
20 (
[
2 0
(
i ) i)2 ]2
27
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法二
F
[tu(t )et
(C )F [2 (t )] 1
(D)F [sgn(t )] 2
i
傅里叶变换练习题
![傅里叶变换练习题](https://img.taocdn.com/s3/m/209d9be56c175f0e7dd13701.png)
证:因为 、 在 上可积, , ,
设 ,
,
由系数公式得
.
当 时,
.
于是由贝塞尔等式得
.
总练习题15
1试求三角多项式
的傅里叶级数展开式.
解:因为 是以 为周期的光滑函数,所以可展为傅里叶级数,
由系数公式得
,
当 时,
,
,
故在 , 的傅里叶级数就是其本身.
2设 为 上可积函数, 为 的
傅里叶系数,试证明,当 时,
推论1设 在 上可积,则
, .
推论2设 在 上可积,则
,
.
定理2设以 为周期的函数 在 上可积,则
,
此称为 的傅里叶级数的部分和的积分表达式.
二、收敛性定理的证明
定理3 (收敛性定理)设以 为周期的函数 在 上按段光滑,则
,
定理4如果 在 上有有限导数,或有有限的两个单侧导数,则
.
定理5如果 在 按段单调,则
.
由贝塞尔等式得 ,
故 .
(3)取 ,由§1习题1 (2)得
.
由贝塞尔等式得 ,
故 .
4证明:若 均为 上可积函数,且他们的傅里叶级数在 上分别一致收敛于 和 ,则
.
其中 为 的傅里叶系数, 为 的傅里叶系数.
证:由题设知 ,
.
于是
而
,
,
所以 .
5证明若 及其导函数 均在 上可积, ,
,且成立贝塞尔等式,则
由系数公式得
.
当 时,
所以
, 为所求.
2设 是以 为周期的可积函数,证明对任何实数 ,有
,
.
证:因为 , , 都是以 为周期的可积函数,所以令 有
数学分析习题及答案 (47)
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习题 16.4 Fourier 变换和Fourier 积分1.求下列定义在),(+∞-∞的函数的Fourier 变换:⑴⎩⎨⎧<<=;,0,0,)(其它δx A x f ⑵ f x a x ()e ||=-, a >0;⑶ f x a x ()e =-2, a >0; ⑷ ⎩⎨⎧<≥=-;0,0,0,e )(2x x x f x ⑸ ⎩⎨⎧>≤=;||,0,||,cos )(0δδωx x x A x f 00≠ω是常数,0ωπδ=。
解 (1)()()i x f f x e dx ωω+∞--∞=⎰%0i x Ae dx δω-=⎰=)1(ωδωi e i A--。
(2)()()i x ff x e dx ωω+∞--∞=⎰%0()()0a i x a i x e dx e dx ωω+∞-+--∞=+⎰⎰ 11a i a i ωω=++-=222ω+a a。
(3)()()i x f f x e dx ωω+∞--∞=⎰%2ax i x e dx ω+∞---∞==⎰2cos ax e xdx ω+∞--∞⎰22t e+∞-=⎰ (利用例15.2.8的结果) 2-==aea42ωπ-。
(4)()()i x ff x e dx ωω+∞--∞=⎰%(2)0i x e dx ω+∞-+==⎰ωi +21。
(5)()()i x ff x e dx ωω+∞--∞=⎰%=0cos i x A xe dx δωδω--⎰ 0cos cos A x xdx δδωω-=⎰(虚部为奇函数,积分为0)00[cos()cos()]2A x x dx δδωωωω-=-++⎰ =0000sin()sin()()()A ωωδωωδωωωω⎡⎤-++⎢⎥-+⎣⎦。
2.求f x ax ()e =-(),0[+∞∈x ,a >0)的正弦变换和余弦变换。
解 正弦变换:()()sin f f x xdx ωω+∞=⎰%0sin ax e xdx ω+∞-==⎰22ωω+a ,余弦变换:()()cos f f x xdx ωω+∞=⎰%0cos ax e xdx ω+∞-==⎰22ω+a a。
实验五快速Fourier变换FFT及的应用
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实验五 快速Fourier 变换(FFT)及应用一、 实验目的1.验证频域采样定理。
2.在理论学习的基础上,通过本实验,加深对FFT 的理解,熟悉MATLAB 中的有关函数。
3.应用FFT 对典型信号进行频谱分析。
4. 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题,以便在实际中能够正确应用FFT 。
5. 应用FFT 实现序列的线性卷积。
二、 实验内容1. 验证频域采样定理。
利用MATLAB 产生一个长度为N 的三角波序列)(n x ,并完成以下要求:(1) 计算N=30时的64点DFT ,并图示);()(k X n x 和(2) 对)(k X 在[0,231,,1,0),2()(1 ==k k X k X ;(3) 求出)(1k X 的32点IDFT ,即得到)]([)(11k X IDFT n x =;(4) 绘制出321))((n x 的波形,观察321))((n x 和)(n x 的关系,并加以说明。
解:MATLAB 程序清单如下:M=64; % 指定DFT 点数N=30; % 指定序列长度n=0:N-1;xn=2*[0:N/2,N/2-1:-1:1]/N; % 产生幅度为1的N 点三角波序列Xk=fft(xn,M); % 计算Xk =DFT[x(n)];Xk1=Xk(1:2:M); % 对Xk 隔点抽取得到Xk1xn1=ifft(Xk1); % 对Xk1作IDFT 得到xn1n1=0:2*M;xc=xn1(mod(n1,M/2)+1); % 对xn1以M/2为周期进行延拓subplot(2,2,1);stem(n,xn,'.');grid;title([num2str(M/2) '点三角波序列x(n)']);subplot(2,2,2);k=0:M-1;stem(k,abs(Xk),'.');grid;axis([0,M,0,max(Xk)]);title(['三角波序列x(n)的' num2str(M) '点DFT:X(k)']);subplot(2,2,4);k1=0:M/2-1;stem(k1,abs(Xk1),'.');grid;axis([0,M/2,0,max(Xk)]);title(['隔点抽取X(k)得到' num2str(M/2) '点DFT:X_1(k)']);subplot(2,2,3);stem(n1,xc,'.');grid;axis([0,2*M,0,max(xn1)]);title('序列x_1(n)的周期延拓');由程序运行结果可以看出,在频域[0,2)(n x 的长度时,将产生时域混叠,不能由)(1k X 来恢复出原序列)(n x 。
积分变换(Fourier)课件与习题
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的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数,在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件: fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点; fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数,且在连续点t处成立: a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为: a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d , 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
积分变换课后答案
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1-11. 试证:若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件,则有()()()d d 0cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰分析:由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题,请读者试用三角形式证明.证明:利用Fourier 积分的复数形式,有()()j j e e d π12t tf t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()()j j d 1cos sin 2a b t t ωωωωω+∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以()()()d d 11cos sin 22f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰ ()()d d 0cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰2.求下列函数的Fourier 积分:1)()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析:由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题,请读者试用三角形式解.解:1)函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数,其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞⎧====-⎨-∞⎩⎰⎰F122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f (t )的Fourier 积分为j 311()()e d ()cos d 02ππ4(sin cos )cos d 0πtf t F F t t ωωωωωωωωωωωω+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数,其Fourier 变换为()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0tt t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )01e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭(实部为偶函数,虚数为奇函数)f (t )的Fourier 变换为()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ ()()224252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()2224242245cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰这里用到奇偶函数的积分性质.3)所给函数有间断点-1,0,1且f (-t )= - f (t )是奇函数,其Fourier 变换为()[]j ()()e d 2j ()sin d 0tF f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰⎰F12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰(奇函数)f (t )的Fourier 积分为()()j j ()e d sin d π0π021cos sin d π0tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=2其中t ≠-1,0,1(在间断点0t 处,右边f (t )应以()()00002f t f t ++-代替).3.求下列函数的Fourier 变换,并推证下列积分结果: 1)()e(0),tf t ββ-=>证明:22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰ 2)()e cos tf t t -=,证明:242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3)sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,证明:2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明:1)函数()e t f t β-=为连续的偶函数,其Fourier 变换为()()j e e d 2e cos d 0t t tF f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F()2222e cos sin 22t t t t t ββωωωββωβω-=+∞=-+==++ 再由Fourier 变换得()()j 22112e d cos d 2ππ0tf t F t t ωβωωωβω+∞+∞==-∞+⎰⎰ 即 22cos πd e 02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2)函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数,其Fourier 变换为()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞==-∞-∞⎰⎰j j j e e e e d 2t t t tt ω---+∞+-∞⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200tt t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞⎧⎫=+++⎨⎬-∞-∞⎩⎭⎰⎰⎰⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-⎧⎫+∞+∞=+++⎨⎬+--∞---∞-+-+-⎩⎭2411111221j j 1j j 1j j 1j j 4ωωωωωω⎧⎫-+=+++=⎨⎬+----+-+-+⎩⎭ 再由Fourier 变换公式得()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+===-∞+⎰⎰⎰ 即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3)给出的函数为奇函数,其Fourier 变换为()()()ππj j ππed sin ed sin cos jsin d ttF f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞--===-⎰⎰⎰()()ππ002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω⎡⎤=-=+--⎣⎦⎰⎰ ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπωπωωωωω⎛⎫+---⎛⎫=-=-= ⎪⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ ()()()-1j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1tF F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤==+⎣⎦-⎰⎰F20sin ,π2sin πsin d π10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=-=⎨->⎪⎩⎰ 故2πsin ,πsin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解:根据Fourier 正弦积分公式,并用分部积分法,有()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2sin d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202sin d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 根据Fourier 余弦积分公式,用分部积分法,有()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 002cos d cos d πe tt βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2cos d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202cos d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 1-21.求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解:[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换,证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明:()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对,即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰,()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数,即()()F F ωω-=-,则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰—(令u ω-=)()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰ (换积分变量u 为ω)()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数,即()()f t f t -=-,则()()()()()j j e d e d t tF f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ (令t u -=)()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰ (换积分变量u 为t )()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4.求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换,并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解:由Fourier 正弦变换公式,有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式,有()120022sin ()()sin 1ss s tf t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ由此,当0t α=>时,可得()()20sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5.设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ,试证明:1)()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=; 2)()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明: 在一般情况下,记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数,且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰, ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰ ()b1)若()f t 为t 的实值函数,即()()(),0r i f t t f f t ==.此时,()a 式和()b 式分别为()()Re cos d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦ 反之,若已知()()F F ωω-=,则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数;()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此,必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1)获证.2)若()f t 为t 的虚值函数,即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时,()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d iF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之,若已知()()F F ωω-=-,则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数;()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此,必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰, 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2)获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=,求该函数()f t .解:sin ()F ωωω=为连续的偶函数,由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰ 当0a =时,sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩,,,7.已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦,求该函数()f t .解:由函数()()()00δd t t g t t g t -=,易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πtt t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8.求符号函数(又称正负号函数)()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解:容易看出()()()sgn t u t u t =--,而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9.求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 :—()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t tf t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin532f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明:若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ,其中()t ϕ为一实数,则 ()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明:因为 ()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e eed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17.求作如图的锯齿形波的频谱图.(图形见教科书).解 :02π,T ω=()1,00,ht t T f t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011ed e d e d TTTn tn t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n n ωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑1-31.若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数,证明(线性性质):1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+⎡⎤⎣⎦F -11212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+⎡⎤⎣⎦F分析:根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明:根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有1212()()()()tf t f t f t f t t ωαβαβ+∞--∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰F j e d12()()tt f t t f t t ωωαβ+∞+∞---∞-∞=+⎰⎰j j ed e d12()()F F αωβω=+-112121()()()()2tF F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰Fj e d π1211()()22t tF F ωωαωωβωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰j j e d e d ππ12()()f t f t αβ=+6.若()[()]F f t ω= F ,证明(翻转性质):()[()]F f t ω-=- F 分析:根据Fourier 变换的定义,再进行变量代换即可证明. 证明:()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰F j e d (令t u -=)()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d(换u 为t )()()tf t t ω+∞---∞=⎰j ed()F ω=-9.设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩,利用对称性质,证明:π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明:()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰F j e d 11t t ω--=⎰j e d1cos t t ω=⎰d 1sin tt ωω=⎰d由对称性质:()[()]f t F ω= F ,则()[()]2,F t f ω=-F π有()sin [()]2t F t f t ω⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦F F π (),1sin 0,1t f t ωωω⎧<⎪⎡⎤=-=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F π π 12.利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π,求下列积分的值: 1)21cos xx x +∞-∞-⎰d ; 2)42sin x x x +∞-∞⎰d ;3)()2211x x +∞-∞+⎰d ;4)()2221x x x +∞-∞+⎰d .解:1)2222sin 1cos 2xxx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d(令2xt =)2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 21sin 2t t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰F d π 12112ω-=⎰πd π=π 2)()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 22sin sin cos x x x x x x x +∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d 21sin 2t t t +∞-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰πd22=πππ-=3)()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π,其中221111tt t t ω+∞--∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+⎰d 22ωω--==πe πe 从而()2221121x x ωω+∞+∞--∞-∞=+⎰⎰d πe d π2201ωω+∞-=⎰πe d π20122ω-+∞=⋅=-ππe 4)()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d arctan 2x+∞-∞=-π2222=+-=ππππ1-41.证明下列各式: 2)()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦;6)()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t tt t⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析:根据卷积的定义证明. 证明: 2) ()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()132d f f u f t u du τττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰()()()123d d f f t u f u uτττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()123d f t u f t u f u u +∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()123f t f t f t ⎡⎤=⎣⎦6)()()()()1212d d d d d f t f t f f t tt τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10) ()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2.若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==,求()()12f t f t .注意:不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.解:由()()1e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩, 所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间,采用解不等式组的方法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0t ττ>⎧⎨<⎩, 因此 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰()0sin ed t t ατττ--=⎰e sin e d t t αατττ-=⎰(分部积分法)()2e sin cos e 10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ ()22e sin cos 1e11tαταατταα-⎡⎤-=+⎢⎥++⎣⎦ 2sin cos e 1tααττα--+=+ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ,证明:()()()()11221*2πF f t t F f ωω⎡⎤⋅=⎣⎦F证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰—()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j 121e e d d 2πst tf t F s s t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞⎡⎤=⋅⋅=⋅⎣⎦⎰F5.求下列函数的Fourier 变换: 1)()()0sin f t t u t ω=⋅; 2)()()0e sin t f t t u t βω-=⋅; 5)()()0j 0e t f t u t t ω=-;解: 1)已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F ,又 ()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()()()()0000111πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎣⎦ ⎪-+⎝⎭F()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2)由Fourier 变换的定义,有()()j 00e sin e sin e d t t tt u t t u t t ββωωω+∞----∞⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎰F ()j 00sin ed tt t βωω+∞-+=⎰()()()j 000220ej sin cos 0j tt t βωβωωωωβωω-+⎡⎤-+-+∞⎣⎦=++()22j ωβωω=++5)利用位移性质及()u t 的Fourier 变换,有()()0j 0e t u t t u t ω-⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦F F ()0j 1e πδj t ωωω-⎛⎫=+⎪⎝⎭再由象函数的位移性质,有()()()()000j j 0001e e πδj t tu t t ωωωωωωω--⎡⎤⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦F 7.已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=,求它的能量谱密度()S ω,其中0a >.解 由定义知()()j e d S R ωτωττ+∞--∞=⎰2j 1e e d 4a τωττ+∞---∞=⎰ 02j 2j 011e e d e e d 44a a τωττωτττ+∞----∞=+⎰⎰ ()()()2j 2j 001e 1e 42j 42j a a a a ωτωτωω--++∞=+--∞-+2211142j 2j 4aa a a ωωω⎛⎫=+= ⎪-++⎝⎭ 9.求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()()()e,e0,t t t f t u t t ατατττττ-+-+⎧>-⎪+=+=⎨<-⎪⎩当0τ>时,()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞,所以()()()()d e ed t t R f t f t t t αταττ+∞+∞-+--∞=+=⎰⎰22011eed ee e 22tt t αταατααταα+∞-----+∞===--⎰当0τ<时,()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞,所以()()()d R f t f t t ττ+∞-∞=+⎰()e ed t t t ατατ+∞-+--=⎰2eed tt ατατ+∞---=⎰21e e2t ατατα--+∞-=-21e e 2ατατα-=1e 2ατα= 因此,()1e2R αττα-=,现在可以求得()f t 的能量谱密度,即 ()()j ed S R ωτωττ+∞--∞=⎰j 1e e d 2ατωττα+∞---∞=⎰()()0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()j j 0111e e 2j j 0αωταωτααωαω--+⎡⎤+∞=+⎢⎥--∞-+⎣⎦1112j j ααωαω⎡⎤=+⎢⎥-+⎣⎦221αω=+ 1-51.求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析:求解微分、积分方程的步骤:1)对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程; 2)解代数方程得象函数;3)取Fourier 逆变换得象原函数(方程的解).解:设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换,得 ()()j 1.X X ωωω+= 即()1.1X j ωω=+其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 4.求解下列积分方程: 1)()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d2)()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解:1)利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然,方程的左端是未知函数()y t 与221t a+的卷积,即()221y t t a+.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换,有()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥*+⎢⎥⎣⎦⎣+⎦F F即()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎢+⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+F F F 易知:22cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ,有 ()222211t tY t t t a t bωωω+∞+∞---∞-∞⋅=++⎰⎰j j e d e d 即()222200cos cos 22t t Y t t t a t bωωω+∞+∞⋅=++⎰⎰d d 所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ,()()-1b a a y t e b ω--⎥=⎡⎤⎢⎣⎦F()-1-b a a b a b b a ω--=⋅-⎡⎤⎢⎥⎣⎦F πe π()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2)设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换,同理可得()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦F F利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e eπt A A ωβββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的定义可求得:222e tβββω-⎡⎤=⎣⎦+F ,从而 ()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦F F F即()()2222222121Y ωωωωω--==++πe πe()22222ωωω--=-πeπj e从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F , 其中,记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ,则()222πet f t -=,上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e,则()()2222-12222t f t t ωω--⎡⎤⎛⎫''== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭F πd j e e d 2222t-=πe 因此()2222222t t y t --=⋅-πeπeππ222221t t -⎛⎫=- ⎪⎭e π.5.求下列微分方程的解()x t :()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞'+-=⎰其中()(),f t h t 为已知函数,,,a b c 均为已知常数.解:设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换,可得()()()()j a X bX F cH ωωωωω+= 即()()(),j cH X a bF ωωωω=+从而()()()()-1.12tcH X a bF x t ωωωωωω+∞-∞⎡⎤==⎣⎦+⎰Fj πe d j 2-11.求下列函数的Laplace 变换,并给出其收敛域,再用查表的方法来验证结果.1)()sin 2tf t =.分析:用Laplace 变换的定义解题.解: j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L ()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解:()()d d Re()e e eett sts tt t s s >-2222012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解:2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s sss+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解:[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L01sin 2e d 2stt t +∞-=⎰22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =.解 :22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L ()()2j 2j 001111cos 2e d e e d 2224s t s t st t t t s s +∞+∞--+-⎡⎤=+=++⎣⎦⎰⎰ ()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2.求下列函数的Laplace 变换:1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解: ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L()∣∣24240231134.e e e e st st s ss s s----=-+=-+2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解:()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()∣∣j j πj -j π22ππ0223e e 31e e d 122j j e e e s t s tt tsst st t s s s s --++∞+∞---⎛⎫+⎛⎫ ⎪=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解:()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解:()()()()()0δcos sin ed δcose d sin e d stst st f t t t u t t t t t t t t+∞+∞+∞---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰L()()()∣∣∣j j j 00011cos e e d 12j 2j j j e e ees tj s tttst st t t t s s--++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰ ()222111111Re()2j j j 11s s s s s s ⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2-21.求下列函数的Laplace 变换式: 1)()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132m m m t s s s s st t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L .2)()1e t f t t =-. 解 :[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解:()22-1e e 2e e t t t tt t t ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦L L ()()()232322145.-1-1-1s s s s s s -+=-+=-1 5)()cos f t t at =. 解: 由微分性质有:[][]()2222222d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭+L L 6) ()5sin23cos2f t t t =-解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 []522222103sin 23cos 253444s t t s s s --=-=+++L 8)()4e cos4t f t t -=. 解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4(+)L . 3.若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ,证明(象函数的微分性质):()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地,()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ,或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ,并利用此结论计算下列各式:1)()3e sin2t f t t t -=,求()F s . 解:()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,()()()()()32222343d 2sin 2d 444e ts s t st s s s -⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222+3+3+3L2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰,求()F s .解:()0332112sin 2d sin 234e e t t tt t t s s s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,()()()02322222312132sin 2d 3434e t t s s t t t s s s s -'⎛⎫++ ⎪⎡⎤=-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎡⎤⎡⎤ ⎪++++⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰L3)()1ln1s F s s +=-,求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L()()()()()()'211111ee ttF s tf t tf t s s s -=-=-=-=-=--+-2L L L故 ()()-12sinh tF s f t t⎡⎤==⎣⎦L. 4.若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ,证明(象函数的积分性质):()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ,或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式:1)()sin ktf t t=,求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 222sin 1d d 1s skt k s s t s k k s k ∞∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰L πarctan arctan 2ss s k k∞==- 2)()3e sin 2t tf t t-=,求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,()32e sin 22π3d arctan 2234t s t s s t s -∞⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦⎰L 2-31.设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件(若它们的增长指数均为c ),且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ,则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在,且()()()()j 1122j 1d 2πj F q F s q q f t f t ββ+∞-∞⎡⎤=-⎣⋅⎦⎰L其中(),Re .c s c ββ>>+证明: 已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ,由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且()()()()1212e e ct ct f t f t f t f t M M ⋅=⋅≤⋅22e ,0ct M t =≤<+∞ 表明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换()()()120e d st F sf t f t t +∞-=⎰在半平面()Re 2s c >上一定存在,且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛,并且在()Re 2s c >的半平面内,()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ,则()1f t 的Laplace 反演积分公式为()()11j j 1e d 2πj qt q f F q t ββ+∞-∞=⎰ 从而()()()()12120e d stf t f t f t f t t +∞-⎡⎤⎣⋅=⎦⎰L()()j 12j e d 1e d 2πj q s t tF q q f t t ββ+∞+--∞∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(交换积分次序)()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 12j 1d 2πjF q F s q q ββ+∞-∞=-⎰ 2.求下列函数的Laplace 逆变换(象原函数);并用另一种方法加以验证. 1)()221F s s a=+. 2)()()()sF s s a s b =--.3)()()()2s cF s s a s b +=++.10)()()()2214sF s ss =++.解: 1)12211sin at s a a -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L. 2)()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, ()()()11e e .at bt s a b s a s b a b-⎡⎤=-⎢⎥---⎣⎦L3)()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故()()()()1222e at bts c c a b c a c e t b a s a s b b a a b ---⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥=++-++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L10)由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭=-,有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3.求下列函数的Laplace 逆变换: 1)()()2214F s s=+.6)()221ln s F s s -=.13)()221e sF s s -+=.解 : 1)用留数计算法,由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点,所以()()()()()2112211e 2j 2j Res k s sts k F s F s s s f t --==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣-⎦+∑LL()()2222j j e e 2j 2d d lim lim d d j st s s t s s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎦⎣-⎣⎦+⎥ ()()()()()()2j 22244j22j 22j e e e e 2j 2j 2j 2l j im lim s s st st st st s s t t s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++---++⎢⎥⎢⎣⎦⎣-⎦-⎥ 2j 2j 2j 2j 8j 8j e e e e 1625616256t t t t t t --=---+ 2j 2j 2j 2j e e 1e e sin 2cos 282162j 168t t t t t t t t --+-=-+=-6)令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-, ()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13)2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2-41.求下列卷积:3)mt n t (,m n 为正整数). 解:mt ()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()()001C d 1d C nnt tkkk n km km k k n knn k k tt ττττ-++-===-=-⋅∑∑⎰⎰ ()()()11001C 1C 11m k n k nnkk k m n k n nk k t t t m k m k ++-++==⋅=-⋅=-++++∑∑()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出mt n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠.解 :sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()()011cos cos 2d 224tt kt k t t k k ττ=-+--⎰()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解 :t sinh sinh t t = t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()0011e d e d 22t t t t ττττττ-=---⎰⎰ ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a - ()()0f t a ≥ .解:()u t a - ()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10) ()δt a - ()()0f t a ≥. 解: 当t a <,()δt a - ()0f t =. 当t a ≥,()δt a - ()()()0δd tf t a f t τττ=-⋅-⎰()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ,利用卷积定理,证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明:()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L ,。
Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)
![Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)](https://img.taocdn.com/s3/m/7347b0f4a98271fe910ef9ec.png)
0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二:由于 f(t)为奇函数,故由课本 P12 页的(1.12)式可知,
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1
[Fourier series傅里叶级数]例题01
![[Fourier series傅里叶级数]例题01](https://img.taocdn.com/s3/m/ea339f7bf46527d3240ce0eb.png)
Hence the Fourier cosine series is given by 1 cos 2nx. 2−1 4 n n=1
∞
1 2 4 cos nx = − 2−1 n π π even n
Assume the Fourier cosine series converges pointwise to | sin x| on (−π, π ), then we have that | sin x| = Set x = 0, we get that 2 4 − π π
0
π 2
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Jacky Chong which means Y2 = X2 − (X2 , Z1 )Z1 7 = (cos x − cos 2x). 2 Computing the norm of Y2 yields Y2 then it follows Z2 =
2 2 π
Problem 3
k−1 k −1 i=1 (Xk , Zi )Zi , Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi ) k−1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi 2
= 1.
(b) Observe cos x + cos 2x
2 2
π
=
0 π
| cos x + cos 2x|2 dx cos2 x + 2 cos x cos 2x + cos2 2x dx
k−1 i=1 (Xk , Zi )(Zi , Zl ) k−1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi k−1 (Xk , Zl ) − i=1 (Xk , Zi )δil k −1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi
1 0
傅里叶变换练习题
![傅里叶变换练习题](https://img.taocdn.com/s3/m/209d9be56c175f0e7dd13701.png)
,
定理4如果 在 上有有限导数,或有有限的两个单侧导数,则
.
定理5如果 在 按段单调,则
.
二 习题解答
1设 以 为周期且具有二阶连续的导函数,证明 的傅里叶级数在 上一致收敛于 .
证:由题目设知 与 是以 为周期的函数,且光滑,
故 ,
,
且 .
5.47.某信号的频谱密度函数为 则 ()
A. B。2
C. D。2
6.52.已知信号 的傅氏变换为 则 的傅氏变换为()
A. B。
C. D。
7.98. 周期信号的傅立叶变换为()
A. B。2 C。
8.3。符号函数 的频谱函数F(jω)=________________。
六、有一幅度为1,脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲,其周期为8ms,如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。(10分)
当 时,
.
于是
.
由贝塞尔不等式得 收敛,又 收敛,
从而 收敛,
故 在 上一致收敛.
2设 为 上可积函数,证明:若 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ,则成立贝塞尔(Parseval)等式
,
这里 为 的傅里叶系数.
证:设 ,
因为 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ,
所以 ,
.
于是 .而
.
所以 时,
,
故 .
3由于贝塞尔等式对于在 上满足收敛定理条件的函数也成立.请应用这个结果证明下列各式.
证:因为 为 上光滑函数,所以 为 上的连续函数,故可积.
由系数公式得
.
当 时,
.
故结论成立.
10证明:若三角级数 中的系数 满足关系 , 为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数.
傅氏变换习题解答
![傅氏变换习题解答](https://img.taocdn.com/s3/m/25336bffe87101f69f31956a.png)
⎰ +∞ f (t ) = ⎰(ω )sin (ωt )d ω( ) ⎰(ω ) (ω ) ω傅氏变换习题解答习题一1.试证:假设 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件,那么有+∞ +∞ f (t ) = ⎰0a (ω) cos ωtd ω + ⎰0b (ω) s in ωtd ω其中a (ω) = 1 ⎰+∞f (τ ) co s ωτ d τ ,π -∞ b (ω) = 1 ⎰+∞f (τ ) s in ωτ d τπ -∞证 f (t ) = 1 ⎰+∞ ⎰+∞ f (τ )e - j ωτ d τ e j ωtd ω = 1 ⎰+∞ ⎰+∞ f (τ )(cos ωτ - jsin ωτ ) cos ωtd τ d ω2π -∞ -∞ 2π -∞ -∞+ 1 ⎰+∞ ⎰+∞f (τ )(cos ωτ - j s in ωτ ) j s in ωtd τ d ω = ⎰+∞ 1 ⎰+∞ f (τ )c os ωτ d τ cos ωtd ω2π -∞ -∞0 π -∞ +⎰+∞ 1 ⎰+∞f (τ )sin ωτ d τ si n ωtd ω = ⎰+∞ a (ω) cos ωtd ω + ⎰+∞ b (ω) s in ωtd ω -∞ π -∞0 0+∞因-∞f (τ )sin ωτ cos ωtd τ d ω为ω的奇函数, ⎰-∞f (τ )cos ωτ cos ωtd τ d ω为ω的偶函数。
2.试证:假设 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件,当 f (t ) 为奇函数时,那么有+∞b 0其中b (ω ) = 2 ⎰+∞f (τ )sin (ωτ ) d τπ 0当 f (t ) 为偶函数时,那么有+∞f t = a cos t d 0其中a (ω ) = 2 ⎰+∞f (τ )cos (ωτ ) d τπ 0证 设 f (t ) 是奇函数f (t ) = 1 ⎰+∞ ⎰+∞ f (τ )e - j ωτ d τ e j ωt d ω = 1 ⎰+∞ ⎰+∞f (τ )(cos ωτ - jsin ωτ ) d τ e j ωt d ω2π -∞ -∞ 2π -∞ -∞= 1 ⎰+∞ ⎰+∞ f (τ )sin ωτ d τe j ωt d ω = 1 ⎰+∞b (ω )e j ωt d ω 。
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积分变换练习题 第一章 Fourier 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Fourier 积分 §2 Fourier 变换一、选择题1.设0()()f t t t δ=-,则[()]f t =F [ ] (A )1 (B )2π (C )0j t eω (D )0j t eω-000[()]()i t i t i t t t f t t t e dt e e ωωωδ∞---=-∞⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰F 二、填空题1.设0a >,,0(),0at at e t f t e t -⎧<=⎨>⎩,则函数()f t 的Fourier 积分表达式为2202cos atdt a ωπω∞+⎰ 000()()00()()2201()[()]()==lim lim 112=lim lim ;()112[()]()=22i t at i t at i t R a i t a i tR R R R a i t a i t R R R i tF f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e a a i a i a i a i a F F e d ωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞-----∞-∞-+-→∞→∞--+-→∞→∞-∞--∞==+++=+=-+-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰F F 22220(cos sin )2cos =a t i t d a a t d a ωωωωωωπω∞-∞∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎰⎰ 2.设[()]()f t δω=F ,则()f t =12π1111[()]()=222i ti t e d e ωωωδωδωωπππ∞-=-∞⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰F 3.设2()sin f t t =,则[()]f t =F ()[(2)(2)]2ππδωδωδω-++-2221cos2[()]()=sin 211()()[(2)(2)]242i t i t i t i t it it i tt f t f t e dt te dt e dt e dt e e e dt ωωωωωππδωδωδω∞∞∞----∞-∞-∞∞∞----∞-∞⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-++- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰F4.设()δt 为单位脉冲函数,则2()cos ()3πδ+∞-∞+=⎰t t dt 14221()cos ()cos ()334t t dt ππδ+∞-∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰ 三、解答题1.求下列定积分: (可用《高等数学》的方法做)1(1)sin azebzdz ⎰ 1(2)cos azebzdz ⎰1()111()0000222222101(cos sin )((cos sin )1)()cos sin 1sin cos (cos sin )(co a ib z a ib az az ibz a ib za a a a a azaxe e e bz i bz dz e e dz e dz a iba ibe b i b a ib ae b be b ae b be b b i a b a b a b I e bz i bz dz e +++-+====+++-+--+-==++++=+=⎰⎰⎰⎰在原积分中,由于被积函数解析,则1111s sin ),cos Re ;sin Im ax ibx azaz bx i bx dx e e dx e bzdz I e bzdz I+===⎰⎰⎰⎰从而 2.求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ≤≤⎧=⎨⎩其他的Fourier 变换。
(1)[()]()=Ai i ti tA e f t f t edt Aedt i τωωωω∞----∞-==⎰⎰F3.求下列函数的Fourier 积分: ,||1(1)()0,||1t t f t t ≤⎧=⎨>⎩,解法一:1112221()()=1112sin (cos )112sin ()()(cos )2212sin (cos )(cos sin )22sin sin cos sin i ti t i ti i i ti t F f t edt te dti ti i ie e e if t F e d e d it i t d t tωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωππωωωωωωωπωωωωωωωπ∞---∞----∞∞-∞-∞∞-∞=++-==-=-==-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰;2d ωω∞⎰解法二:由于f(t)为奇函数,故由课本P12页的(1.12)式可知,100001110000010022()()sin sin sin sin 2121cos sin cos cos sin 21sin 21sin cos sin cos f t f d td d td d td d td td τωττωωτωττωωππτωτωωτωτωττωωπωπωωτωωωωωπωωπωω∞∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤--=⋅=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤--⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰02sin 2sin cos sin td td ωωωωωωωπω∞∞-=⎰⎰110,1,1,10,(2)()1,01,0,1.()()()=()(cos sin )2()sin 2cos 2(cos 1)2sin 112(cos ()()=22i ti tt t f t t t f t F f t edt f t t i t dt i f t tdti ti i tdt i f t F e dt ωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞--∞-∞∞-∞-∞<<-⎧⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩=-=--=-===⎰⎰⎰⎰⎰解法一:为奇函数,从而1)(cos 1)(cos sin )2(1cos )sin i t e dtit i t tdt dtωωωωωωωπωπω∞-∞∞∞-∞--+-==⎰⎰⎰解法二:同上题,根据余弦逆变换公式可得:10000100022()()sin sin sin sin 2cos 21cos sin sin f t f d tdt d tdttdt tdt τωττωωττωππωτωωωπωπω∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤--==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.求函数sin ,||()0,||t t f t t ππ≤⎧=⎨>⎩的Fourier 积分,并计算下列积分:2sin ,||sin sin 210,||t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰解:同上题,0000000022()()sin sin sin sin sin 11sin(1)sin(1)[cos(1)cos(1)]sin sin 111sin(1)sin(1)11f t f d tdt d tdtd tdt tdt ππππτωττωτωττωππωτωτωτωττωωππωωωπωππωω∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+-=-+--=--⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎡⎤=--⎢+-⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220002sin sin 2sin sin sin 11t ttdt dt dt ωπωωπωωπωπω∞∞∞=-=⎥--⎦⎰⎰⎰(0)(0)0.2f f t πππ±++±-=±=当时,从而2sin ,||sin sin 210,||t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰5.设a 为实数,求积分j 21a e d ωωω+∞-∞+⎰的值。
(分别讨论a 为正实数和负实数的情形) 222201()12Res[(),]2lim ;102Res[(),]2lim .11ia iaz iaza z i ia ia iaz iaz a z i a R z z i z e e d i R z e i i e z ia e e e d d i R z e i i e z i ωωσσωωπππωωσπππωσ+∞--∞→--=-+∞+∞--∞-∞→>==+===++<====+++⎰⎰⎰当时,在上半平面只有一个奇点,从而当时,解法二:参考课本146页Fourier 变换表中的21,即222[]Re()0c tce c c ω-=<+, 取c=-1,从而-22[]1te ω=+,则积分 j 122j 211[]211221taa t a t aa ae e ed e d eωωωπωωωπω--+∞--∞==+∞--∞===++⇒=+⎰⎰积分变换练习题 第一章 Fourier 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Fourier 变换的性质 §4 卷积与相关函数一、选择题1.设[()]()f t F ω=F ,则[(2)()]t f t -=F [ ] (A )()2()F F ωω'- (B )()2()F F ωω'-- (C )()2()iF F ωω'- (D )()2()iF F ωω'-- (利用Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式)2.设[()]()f t F ω=F ,则[(1)]f t -=F [ ] (A )()j F eωω- (B )()j F eωω-- (C )()j F eωω (D )()j F eωω-1(1)()[(1)](1)()()()()t s i t i s i i s i f t f t e dt f s e ds e f s e ds e F ωωωωωω-=+∞-∞----∞+∞+∞-----∞⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪==-⎝⎭⎰⎰⎰ 二、填空题1.设23[()]1f t ω=+F ,则()f t =-32te-2--22--[]1333[]()212ttte e ef t ωω⎛⎫= ⎪+ ⎪ ⎪=⇒= ⎪+⎝⎭由1三5解法二中的分析可知:,从而2.设()()tf t e u t -=⋅,则[()]f t =F 。
()()Fourier ['()][()]()()()()()()()()()[][()()][()][()]()[][t tt t tt t tt t u t d f t i f t g t e u t e d dg t e d e t g t e t dt dg t g t e t g t e t dt dg t i g dt δττωδττδττδδδδω-∞---∞----∞--===⋅==-+=-+=-+=-+=⎰⎰⎰已知单位阶跃函数,及变换的微分性质:令,则,即,又由(1)(1)0()]()[()]1[()]=()1111111t i tt i t i tt t e t e dt e t g t t e dt i i i e i i ωωωδδδωωωωω+∞---+∞-+-∞-∞-+=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪=⋅= ⎪++⎝⎭⎰⎰,从而三、解答题1.若()[()]F f t ω=F ,且0a <,证明:1[()]()f at F a aω=-F 11[()]()=()()()s s at i i s i taa ds f at f at edt f s ef s e ds F a a a aωωωω∞-∞∞=-⋅-⋅--∞+∞-∞==-=-⎰⎰⎰2.若()[()]F f t ω=F ,证明:()[()]dF jtf t d ωω=-F 11[()]()111[()]()()()22211()()()()()22i ti ti ti ti t dF itf t d d d d F F e d F e F e d d d d F ite d it F e d it f t ωωωωωωωωωωωωωωπωππωωωωωππ-∞∞∞--∞-∞-∞∞∞-∞-∞=-==-=-=-=-⎰⎰⎰⎰即证:3.已知某函数的Fourier 变换为sin ()F ωωω=,求该函数()f t 。