第1章 Fouier变换
03第1章_瞬变非周期信号与连续频谱
![03第1章_瞬变非周期信号与连续频谱](https://img.taocdn.com/s3/m/348c951267ec102de2bd89fd.png)
其中: j ( f ) X( f ) X( f )e
X ( f ) Re2 [ X ( f )] Im2 [ X ( f )] 幅值谱 ( amplitude spectrum )
Im[ X ( f )] ( f ) arctg 相位谱 Re[ X ( f )] ( phase spectrum )
T
T
n
x(t )
2 2 2 0
n 0 (n 1) 0 0
Cn
t
T
2 d 0 T
非周期信号的频谱分析
2, Fourier 变换
Fourier 变换的推导 ( 1 ) 由以上思路推导公式
x(t ) lim xT (t )
( x(t )e j 2ft dt)e j 2ft df
令为 X( f )
非周期信号的频谱分析
非周期信号是时间上不会重复出现的信号,一般 为时域有限信号,具有收敛可积条件,其能量为 有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换 (Fourier transform)。 傅立叶变换的定义
非周期信号的频谱分析
对比:方波谱
非周期信号的频谱分析
例:矩形脉冲信号(rectangular pulse signal) G(t ) (窗函数(window function))
E, t T / 2 G(t ) 0, t T / 2
矩形脉冲信号的 Fourier 变换为
a
m 1
k
m m
x (t ) am X m ( f )
m 1
k
第一章 Fourier变换
![第一章 Fourier变换](https://img.taocdn.com/s3/m/7af8f1c79b6648d7c1c746c9.png)
2
2i
级数可化为:
a0
2
an
n1
eint
eint 2
bn
eint
eint 2i
a0 2
n1
an
ibn 2
eint
an
ibn 2
eint
令 c0
a0 2
, cn
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,n
1,2,
则 c0
1 T
T2
T 2 fT (t)dt
cn
1 T
n 0,1,2,
若令 n n
则 f (t) 的傅里叶级数可写成
f (t) cneint n
或
f (t) 1
T
n
T 2
T 2
f ( )ein d eint
这就是傅立叶级数的复指数形式。
1.1.2 傅立叶积分定理
对任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个周期 函数 fT (t) 当T时转化而来的.
工程数学之
积分变换(第四版)
东南大学数学系 张元林编 高等教育出版社
引言
在自然科学和工程技术中,为了把较复杂的运 算简单化,人们常常采用所谓的变换的方法来 达到目的。如十七世纪,航海和天文学积累了 大批观察数据,需要对它们进行大量的乘除运 算。在当时,这是非常繁重的工作,为了克服 这个困难,1614年纳皮尔(Napier)发明了对数, 它将乘除运算转化为加减运算,通过两次查表, 便完成了这一艰巨的任务。
定的二元函数,通常称为该积分变换的核. F( ) 称为 f (t)
的像函数或简称为像, f (t) 称为 F( ) 的原函数.
在这样的积分变换下,微分运算可变为乘法运算,原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数,变成像函数的常微分方程; 原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程,从而容易在像
1.2_单位冲激函数
![1.2_单位冲激函数](https://img.taocdn.com/s3/m/6db4283db90d6c85ec3ac6b7.png)
0
方式二 (20 世纪 50 年代,Schwarz) 单位脉冲函数 (t t0 ) 满足 (t t0 ) (t )d t (t0 ),
(t ) C 称为检验函数。 其中,
(返回)
n
T
2
f ( ) cn
n
e
j n0t
e j t d t
2π cn ( n0 ).
n
18
4
§1.2 单位脉冲函数 第 二、单位脉冲函数的概念及性质 一 章 1. 单位脉冲函数的概念 (t t0 ) 并不是经典意义下的函数,而是 注 (1) 单位脉冲函数 傅 里 一个广义函数(或者奇异函数),它不能用通常意义下 叶 “值的对应关系”来理解和使用,而总是通过它的性质 变 换 来使用它。
t
16
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
e
j 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
e j t d t
j ( 0 ) t e d t 2 π (0 ) 2 π ( 0 ) .
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
§1.2 单位脉冲函数
一、为什么要引入单位脉冲函数 二、单位脉冲函数的概念及性质 三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§1.2 单位脉冲函数 第 一、为什么要引入单位脉冲函数 一 章 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中,一些常用的重要 函数,如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 傅 里 阶跃函数等等,都不能进行 Fourier 变换。 叶 变 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换 换都是用来对信号进行频谱分析的,它们之间能否
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
![复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换](https://img.taocdn.com/s3/m/dfacb3ba05a1b0717fd5360cba1aa81144318fd4.png)
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外, 还有集中作用在一点的量. 例如,点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲:
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶正变换
![傅里叶正变换](https://img.taocdn.com/s3/m/dac2c69a3086bceb19e8b8f67c1cfad6195fe905.png)
傅里叶正变换傅里叶正变换(Fourier Transform)是数学中的一个重要概念,它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在这篇文章中,我们将深入探讨傅里叶正变换的原理和应用。
傅里叶正变换是一种数学运算,它将一个函数分解成一组正弦和余弦函数的和。
具体来说,对于一个函数 f(t),它的傅里叶正变换F(ω) 可以表示为:F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中,ω是频率,e是自然对数的底。
这个公式的意义在于,它将一个时域的函数转换成了频域的函数,从而可以分析函数在不同频率下的成分。
### 傅里叶正变换的应用傅里叶正变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过傅里叶变换,我们可以将一个信号分解成不同频率的成分,从而可以对信号进行滤波、降噪等处理。
在音频处理中,傅里叶变换可以用来分析音频信号的频谱特性,从而实现音频的压缩、增强等功能。
在图像处理中,傅里叶变换也有着重要的作用。
通过对图像进行傅里叶变换,我们可以将图像转换成频域的表示,从而可以实现图像的滤波、增强、压缩等功能。
傅里叶变换在图像处理中的应用非常广泛,几乎所有的图像处理算法都会涉及到傅里叶变换的概念。
除了信号处理和图像处理,傅里叶正变换还在物理学和工程学中有着重要的应用。
在物理学中,傅里叶变换可以用来分析波动现象、量子力学等问题。
在工程学中,傅里叶变换可以用来分析电路、通信系统等问题。
总的来说,傅里叶正变换是一种非常强大的数学工具,它在各个领域都有着广泛的应用。
通过傅里叶变换,我们可以更好地理解和分析信号、图像、物理现象等问题,从而实现更高效、更精确的处理和分析。
希望通过本文的介绍,读者能对傅里叶正变换有一个更深入的了解,并在实际应用中发挥其作用。
常用fourier变换表
![常用fourier变换表](https://img.taocdn.com/s3/m/a9490f65bdd126fff705cc1755270722182e595c.png)
常用fourier变换表傅里叶变换是一种重要的数学工具,常用于信号处理、图像处理、通信等领域。
以下是一些常用的傅里叶变换表:1.Fourier变换对:•时间域函数x(t) 的傅里叶变换X(f):F{ x(t) } = X(f) = ∫[−∞, +∞] x(t) * exp(-j2πft) dt•频率域函数X(f) 的傅里叶逆变换x(t):F^−1{X(f)} = x(t) = ∫[−∞, +∞] X(f) * exp(j2πft) df2.常见信号的傅里叶变换:•常数信号的傅里叶变换:F{1} = δ(f) (其中,δ(f) 表示狄拉克δ函数)•单频正弦信号的傅里叶变换:F{cos(2πf0t)} = 0.5 * [ δ(f - f0) + δ(f + f0) ]•矩形脉冲信号的傅里叶变换:F{rect(t / T)} = T * sin(πfT) / (πfT) (其中,rect(t / T) 表示矩形函数)•高斯函数的傅里叶变换:F{exp(-πt^2)} = exp(-πf^2)3.常见性质和公式:•傅里叶变换的线性性质:F{a * x(t) + b * y(t)} = a * X(f) + b * Y(f)•频率平移性质:F{ x(t - t0) } = X(f) * exp(-j2πft0)•时域和频域的缩放性质:F{ x(a * t) } = (1 / |a|) * X(f / a)•卷积定理:F{ x(t) * y(t) } = X(f) * Y(f) (其中* 表示卷积操作)这些是一些常见的傅里叶变换表中的内容,可以帮助我们理解信号在时域和频域之间的关系,进而应用到实际问题的分析和处理中。
请注意,这里只给出了部分常见的表达式和性质,实际的傅里叶变换表还包含更多的公式和变换对,具体的应用需要根据具体问题进行深入研究和理解。
工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文
![工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文](https://img.taocdn.com/s3/m/4a41d9a0f605cc1755270722192e453610665ba1.png)
可编辑修改精选全文完整版工程数学 积分变换(第四版 张元林 编)课后习题答案编辑者:余小龙第一章:Fourier 变换习题一解答1、证:利用Fourier 积分变换的复数形式,有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a , )()(ωω--=b b , 所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。
注:本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。
2、解:(1)此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数,利用Euler 公式和分部积分法,由Fourier 积分公式的复数形式,有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= (2)函数)(t f 为一连续函数,用类似于(1)的方法,有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数,且-1,0,1为其间断点。
电路 电路原理 尼尔森Riedel 第九版 课后习题答案第 章
![电路 电路原理 尼尔森Riedel 第九版 课后习题答案第 章](https://img.taocdn.com/s3/m/d52b58b13968011ca3009198.png)
V (ω) = Vm
πδ(ω)
+
1 jω
ejωτ /2 − e−jωτ /2
= j2Vmπδ(ω) sin
ωτ 2
+
2Vm ω
sin
ωτ 2
=
(Vmτ ) sin(ωτ /2) ωτ /2
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+ ej2t
−
e−j2t
+
4ej3t
− 4ej2t}
=
1 πt
3e−j2t − j2
3ej2t
+
4ej3t
− 4e−j3t j2
fourier变换 矩阵
![fourier变换 矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/7a777c54cd7931b765ce0508763231126edb7702.png)
fourier变换矩阵Fourier变换矩阵,作为一种重要的数学工具,在信号处理、图像处理、量子力学等多个领域中被广泛应用。
本文将以1500-2000字的篇幅,从基本概念开始,一步一步回答有关Fourier变换矩阵的问题。
第一部分:Fourier变换的基本概念1. 什么是Fourier变换?Fourier变换是一种用于将一个函数或信号从时域(时间域)转换到频域(频率域)的数学变换。
通过Fourier变换,我们可以将一个信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
其变换后的结果称为频谱,可以用于分析信号的频域特征。
2. 为什么要使用Fourier变换?Fourier变换可以帮助我们理解信号的频域特性,诸如频率成分、谐波分量、相位信息等。
这对于许多领域如信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等都非常重要。
通过Fourier变换,我们可以用简洁且高效的方式描述和处理信号。
第二部分:Fourier变换的数学表示3. Fourier变换的数学表达式是什么?设一个函数\(f(t)\)在时域上的表达式为\(f(t)=A\cos(\omega t) +B\sin(\omega t)\),其中\(A\)和\(B\)为振幅,\(\omega\)为角频率。
那么它对应的Fourier变换表示为:\[F(\omega) = A\delta(\omega - \omega_0) + B\delta(\omega + \omega_0)\]其中\(\delta(\cdot)\)为Dirac Delta函数,\(\omega_0\)表示信号的角频率。
4. Fourier变换矩阵是什么?它和Fourier变换有什么关系?Fourier变换矩阵是一种用于计算Fourier变换的数学工具。
它是一个正交矩阵,表示了在基函数上的信号表示。
在离散情况下,Fourier变换矩阵可以用于将一个离散信号从时域转换到频域。
四阶Fourier变换矩阵的表达式如下:\[F = \frac{1}{\sqrt{n}} \begin{bmatrix} w^{0 \times 0} & w^{0\times 1} & \cdots & w^{0 \times (n-1)} \\ w^{1 \times 0} & w^{1 \times 1} & \cdots & w^{1 \times (n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w^{(n-1) \times 0} & w^{(n-1) \times 1} & \cdots &w^{(n-1) \times (n-1)} \end{bmatrix}\]其中,\(w = \exp(-2\pi i / n)\),\(i\)为虚数单位。
傅里叶变换Fouriertransform
![傅里叶变换Fouriertransform](https://img.taocdn.com/s3/m/eb86f7b23086bceb19e8b8f67c1cfad6195fe9f9.png)
傅立叶变换
例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解: 先求出 f (t) 的傅立叶变换 代入傅立叶积分公式,得
例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换 傅立叶变换
狄拉克函数
本章小结
傅立叶级数 周期函数的三角展开公式; 基本三角函数的性质。 傅立叶变换 非周期函数的三角展开公式; 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数 狄拉克函数概念; 狄拉克函数性质; 狄拉克函数功能。
作 业
P73 6-2 (3) (1) (3) (1)
实施:
展开公式
困难
展开系数 cn 为无穷小; 幂指数 nx/L 不确定。
解决方法: 把 nπ/L 作为新变量,即定义ωn = nπ/L ; 把 cnL/π作为新的展开系数,即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式: 展开公式:
展开系数:
取极限: 傅立叶变换:
傅立叶积分:
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) → F(ω), g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数,F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数; f(x)为奇函数,F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω);
典型周期函数(周期为2π)
傅立叶级数
添加标题
理论意义:把复杂的周期函数用简单的三角级数表示;
01
添加标题
复变函数与积分变换重要知识点
![复变函数与积分变换重要知识点](https://img.taocdn.com/s3/m/a293fd1f02768e9950e7380f.png)
sin2 z 0, cos2 z 0 在复数中均不成立。
3
复变函数与积分变换复习要点
2013 年 11 月中旬至 12 月中旬
shz ez ez , chz ez ez
双曲函数
2
2;
shz 奇函数, chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析,且 shz chz,chz shz
6 辐角:Argz 1 2k k为任意整数,其中把满足- 0 的0称为Argz的主值,
记作,0 = arg z. z 0 辐角的主值
arg
z
arctan
π, 2
arctan
y x
y
, x 0, x 0, y 0,
π, x 0, y
3! 5!
zn n!
zn (R ) n0 n!
(1)n z2n1 (2n 1)!
, (R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
1 1 z z2 (1)n zn ,| z | 1 1 z
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式:当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin,
(cos i sin )n cos n i sin n.
方程 wn
z
的根:
w
n
z
1
rn
cos
第1章 连续Fourier变换-1. Fourier级数
![第1章 连续Fourier变换-1. Fourier级数](https://img.taocdn.com/s3/m/44083f9c69eae009581bece5.png)
第1章 连续Fourier 变换笔者在本章中介绍的是连续Fourier 变换的基础知识,读者可以在各种介绍Fourier 变换、信号与系统和信号处理等科技书刊中阅读到相似内容;笔者在介绍这些基础知识的同时,也在书中增加了自己的一些心得体会,提出了Fourier 变换中的一些常见而又容易被忽略的问题。
1. Fourier 级数在介绍Fourier 变换之前,读者需要首先知道与Fourier 级数有关的一些概念,而Fourier 级数又与正交函数的概念密切相关,笔者将在本小节中首先对这些基本数学概念进行简单介绍。
1.1 正交函数对于任意两个时间函数)(t x 与)(t g ,如果二者满足公式(1-1),就称函数)(t x 和)(t g 在区间),(21t t 上是正交的。
公式(1-1)中的函数)(t x 与)(t g 可以是实值函数,也可以是复值函数;定义域区间可以是开区间),(21t t ,也可以是闭区间],[21t t 或半闭区间),[21t t 、],(21t t ,笔者在本书中只以开区间为例进行介绍。
0)()(21=⎰t t dt t g t x ,其中)(t g 是)(t g 的共轭函数。
(1-1)在区间),(21t t 上N 个(N 可为无穷大)互相正交的函数)(1t g 、)(2t g 、…、)(t g N 构成了一个正交函数集{}N n n t g ,,1)( =,如果这个区间上定义的任意函数)(t x 都能够表示成公式(1-2)所示的这个正交函数集的线性组合,那么,正交函数集{}N n n t g ,,1)( =就是一个完备的正交函数集:∑==+++=Nn n n N N t g c t g c t g c t g c t x 12211)()()()()( (1-2)即使函数集{}N n n t g ,,1)( =的各成员函数不是相互正交的,只要各成员函数之间的关系是冗余的,能够形成一个函数框架,也可以用它来表示定义区间上的任意函数,而且表达形式与公式(1-2)相同。
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
![《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1](https://img.taocdn.com/s3/m/7c9b04a37fd5360cbb1adb08.png)
第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动, ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件,求粒子能量的可能取值。
解:据驻波条件,有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ (1)又据de Broglie 关系 λ/h p = (2) 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ (3)1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变,仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件,对于x 方向,有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 (a 2:一来一回为一个周期)a h n p x x 2/=∴,同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示:利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:221()2x a E V x m a ω===。
数学物理方法2-1Fourier变换new
![数学物理方法2-1Fourier变换new](https://img.taocdn.com/s3/m/ef5e44c6da38376baf1fae4c.png)
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足: 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件;
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0)), 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时,等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证,不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换(逆变换)定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) , F [ f ](t )等于f (t )? 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)
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0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二:由于 f(t)为奇函数,故由课本 P12 页的(1.12)式可知,
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1
Fourier变换
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n =−∞
∑ce
n
+∞
inωt
=
n =−∞
∑ce
n
+∞
iωnt
,
1 T2 ωn = nω = 2nπ T , cn = ∫ fT (t )e−iωnt dt T −T 2
6
1 T2 − inωt 合并为:cn = ∫ fT (t )e dt ( n = 0, ±1, ±2,L) T −T 2
级数化为: cn einωt ∑
n =−∞ +∞
1 +∞ T 2 = ∑ ∫ fT (τ )e − inωτ dτ einωt T n=−∞ −T 2
2
t
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
3
傅里叶级数 定理8.1
T T fT (t)为T − 周 函数 在− , 上满 期 , 足 2 2 Dirichlet条 : 件 • fT (t)连续 仅 有 个 或 有 限 第一 间 点 类 断 ; • fT (t)仅有 限 极 点 有 个 值 则 T (t)可 开 Fourier级数 且 连 点处 立 f 展 为 , 在 续 t 成 : a0 ∞ fT (t) = + ∑( an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n=1
a0 an − ibn an + ibn 1 T2 令 c0 = , cn = , dn = , 则 c0 = ∫ fT (t )dt 2 2 2 T −T 2 1 T2 1 T2 cn = ∫ fT (t ) [ cos nω t − i sin nω t ] dt = ∫ f (t )T e−inωt dt T −T 2 T −T 2 1 T2 1 T2 d n = ∫ fT (t ) [ cos nω t + i sin nω t ] dt = ∫ f (t )T einωt dt ∆ c− n T −T 2 T −T 2 ( n = 1,2,L) (c− n = cn )
Fourier变换
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第3章 Fourier 变换在第一章,我们学习了几种不同频率的信号可以合成一个信号,如“拍”的复杂信号。
反过来,能否从复杂的合成信号中分离出原来的信号呢?能,这就要用到我们本章要讲的Fourier 变换。
本章首先介绍Fourier 级数及Fourier 谱,然后介绍Fourier 变换的性质及快速Fourier 变换,最后介绍Fourier 变换在数字滤波方面的应用。
3.1 Fourier 级数与Fourier 变换在我们生活的世界里充满了各种各样的周期现象,如日常生活中常见的昼夜更替、四季循环、温度气压等气象因素的反复变化、河水水位的周期性涨落、地面植物的岁月枯荣以及科学技术中诸如太阳活动的十一年周期起伏、地磁场的日变化、重力仪上所反映的固体潮、交流电、电磁波和机械振动等无一不是周期现象。
描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数,它由正弦或余弦函数来表示:()ϕω+=t A t y cos )( (3-1) 利用三角公式,上式可以写成:()t A t A t A t y ωϕωϕϕωsin sin cos cos cos )(-=+= (3-2) 由于ϕ是常数,令a =A cos ϕϕsin ,A b -=, 则可得:()t b t a t y ωωsin cos += (3-3) 这里22b a A +=,⎪⎭⎫⎝⎛-=a b arctg ϕ (3-4)由此可以看出:一个带初相位的余弦函数可以看成一个不带相位的正弦函数与一个不带相位的余弦函数的合成。
谐波函数是周期函数中最简单的函数,它描述的也是最简单的周期现象,在实际中所碰到的周期现象往往比它复杂得多。
但这些复杂函数均在一定近似程度上可分解为不同频率的正弦函数和余弦函数。
下面我们就介绍如何将一种复杂的函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的方法。
3.1.1 周期函数的Fourier 变换回想一下我们在数学中讲的Fourier 级数:如何将一个周期为2l 函数分解为Fourier 级数呢?我们已经学过的Fourier 级数展开式为 :∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ (3-5)其中()()dx lxn x f l b dx l x n x f l a dx x f l a l l n l l n l l ππsin )(1,cos 1,10⎰⎰⎰---=== (3-6)如果f(x)是奇函数,积分上下限相互对称,则这时()lxn x f πcos 亦为奇函数,故a n 均为零,得到的Fourier 级数是正弦级数:()lxn b x f n n πsin1∑∞== (3-7) 其中,b n 的积分可简写为:()(),.....3,2,1sin 20==⎰n dx lxn x f l b l n π (3-8)如果f (x)是偶函数, 因积分上下限相互对称,并且()lxn x f πsin 为奇函数,故b n 均为零,得到的Fourier 级数是余弦级数:()lxn a a x f n n πcos210∑∞=+= (3-9) 其中a 0和a n 可简写为:()()(),......3,2,1c o s 2,2000===⎰⎰n dxlxn x f l a dx x f l a l n l π (3-10)3.1.2 离散Fourier 变换现在我们设法把上述公式不加证明地应用于离散Fourier 级数中。
高等电磁理论-杨儒贵-课后习题详解
![高等电磁理论-杨儒贵-课后习题详解](https://img.taocdn.com/s3/m/a0714d93336c1eb91a375dd1.png)
1-1利用fourier 变换,由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式解:时域形式的Maxwell方程为:∇×H(r,t)=J(r,t)+ðD(r,t)ðt∇×E(r,t)=−ðB(r,t)ðt∇∙B(r,t)=0∇∙D(r,t)=ρ(r,t) Fourier变换的定义为F(ω)=∫f(t)+∞−∞e−iωt dt 将第一个方程两边同时进行Fourier变换得:∫∇×H(r,t) +∞−∞e−iωt dt=∫[J(r,t)+∞−∞+ðD(r,t)ðt]e−iωt dt对矢量场某点先取旋度再积分等于先积分再取旋度,整理得:∇×∫H(r,t)+∞−∞e−iωt dt=∫J(r,t)+∞−∞e−iωt dt+∫ðD(r,t)ðt+∞−∞e−iωt dt由于∫ðD(r,t)ðt+∞−∞e−iωt dt=∫e−iωt+∞−∞dD(r,t)=e−iωt D(r,t)|−∞+∞+iω∫D(r,t)+∞−∞e−iωt dt由Fourier 变换的绝对可积的条件可得:e−iωt D(r,t)|−∞+∞=0故∫ðD(r,t)ðt+∞−∞e−iωt dt=iω∫D(r,t)+∞−∞e−iωt dt∇×∫H(r,t)+∞−∞e−iωt dt=∫J(r,t)+∞−∞e−iωt dt+iω∫D(r,t)+∞−∞e−iωt dt因此:∇×H(r,ω)=J(r,ω)+iωD(r,ω)同理可得∇×E(r,ω)=−iωB(r,ω)∇∙B(r,ω)=0∇∙D(r,ω)=ρ1-2:各向异性的介电常数为ε̅=ε0[720240003]当外加电场强度为 (1) E 1=e x E 0 (2) E 2=e y E 0 (3) E 3=e z E 0(4) E 4=E 0(e x +2e y ) (5) E 4=E 0(2e x +e y ) 产生的电通密度。
傅里叶变换算法详细介绍
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适用标准文案重新到尾完全理解傅里叶变换算法、上序言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式失散傅立叶变换(Real DFT )重新到尾完全理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式失散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法,解说透辟,希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们(July 、dznlong )的精心编写。
/**************************************************************************************************/序言:“对于傅立叶变换,不论是书籍还是在网上能够很简单找到对于傅立叶变换的描绘,可是大都是些弄虚作假的文章,太甚抽象,尽是一些让人看了就望而却步的公式的排列,让人很难能够从感性上获得理解” ---dznlong,那么,究竟什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所波及到的公式详细有多复杂列?傅里叶变换( Fourier transform)是一种线性的积分变换。
因其基本思想第一由法国学者傅里叶系统地提出,因此以其名字来命名以示纪念。
哦,傅里叶变换本来就是一种变换而已,不过这类变换是从时间变换为频次的变化。
这下,你就知道了,傅里叶就是一种变换,一种什么变换列?就是一种从时间到频次的变化或其相互转变。
ok ,我们再来整体认识下傅里叶变换,让各位对其有个整体大体的印象,也趁便看看傅里叶变换所波及到的公式,终究有多复杂:以下就是傅里叶变换的 4 种变体(摘自,维基百科)连续傅里叶变换一般状况下,若“傅里叶变换”一词不加任何限制语,则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数 f (t )表示成复指数函数的积分或级数形式。
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仅作简单概括的介绍.
d 函数不是通常意义下的函数,而是满足一定
条件下的函数在新的意义下的极限, 这类极限称为
弱极限.
预备知识------ d 函数和d 型序列
d e ( x ) 0, 在( , ) 设 d e ( x )是当 x 0 时, lim
e 0
上可积的函数,并且对任何无穷可微的函数f (x), 有
0
t
x cos( t x ) 0 cos( t x )dx
t 0
t
t sin t .
预备知识------函数的卷积 例 求下列函数的卷积:
0 f1 (t ) t e 0 , f 2 (t ) t t0 e
t0
t0 t0
t
1 1 t t e e e
预备知识------函数的卷积 卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义 积分均收敛, 并且允许积分交换次序): (1) 交换律
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t ).
d
( n)
( x ) f ( x )dx ( 1)
n
d ( x ) f ( n ) ( x )dx
(1)n f ( n ) (0).
(4) u( t ) d ( x )dx , u( t ) d ( t ), 其中 u(t)是单位
t
阶跃函数.
预备知识------ d 函数和d 型序列 (5) 与连续函数的卷积 设 f (t)是 ( , )上的连续函数, 则
证明 由卷积的定义
f1 ( t ) f 2 ( t )
f1 ( x ) f 2 ( t x )dx .
令 t x u, 则 dx du, 并且
f1 ( t ) f 2 ( t )
f 2 ( u) f1 ( t u)du
f 2 ( u) f1 ( t u)du f 2 ( t ) f1 ( t ).
x3 ( t )u( t t0 )
x1 ( t ) [ x2 ( t ) x1 ( t )]u( t ) [ x3 ( t ) x2 ( t )]u( t t0 ).
预备知识------ d 函数和d 型序列 在物理学和工程技术中, 除了连续分布量之外,
还有集中作用在一点的量. 例如,点电荷、点热源、
预备知识------函数的卷积 (3) 结合律
பைடு நூலகம்
[ f1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ) f1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )].
证明 由卷积的定义
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t )
这是 [0, )上的卷积公式.
预备知识------函数的卷积 例 解 求 f1 ( t ) t 和 f 2 ( t ) sin t 在 [0, )上的卷积. 由 [0, )上的卷积公式
f1 ( t ) f 2 ( t ) t sin t
x sin( t x )dx
就是对任何无穷可微函数f (x), 由极限式
预备知识------ d 函数和d 型序列
e 0
lim d e ( x ) f ( x )dx f (0)
所确定的新的元素, 把这样的新元素记为d (x), 并且 规定d (x)的积分(已不是通常意义下的积分)为
d ( x )dx 1.
f1 ( x ) f 2 ( t x ) f 3 ( t x ) dx f1 ( x ) f 2 ( t x )dx
f1 ( x ) f 3 ( t x )dx
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ).
e 0
lim d e ( x ) f ( x )dx f (0).
特别地,当 f ( x ) 1 时,
e 0
lim d e ( x )dx 1.
满足这些条件的函数 d e ( x ) 称为d 型序列. d 函
数d (x) 就是这类d 逼近函数的弱极限. 所谓弱极限,
预备知识------函数的卷积
f1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 ( t )d dx,
再交换积分次序可得
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t )
f1 ( x ) f 2 ( x )dx f 3 (t )d
f1 ( ) f 2 ( ) f 3 ( t )d
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t ).
预备知识------矩形脉冲函数
宽度为 , 幅度为 E ( E 0) 的矩形脉冲函数为
E, p ( t ) 0,
t ; 2 t
p ( t )
E.
2
.
.
o
.
2
t
2
预备知识------单位阶跃函数 单位阶跃函数(简称阶跃函数, 又称Heaviside 函数)定义为
u(t)
1, t 0; u( t ) 0, t 0.
显然, u(t)在t=0处从0跃变为1. 延迟t0的阶跃函数为 1, t t0 ; u( t t0 ) 0, t t0 .
O u(t)
t
O
.
t0
t
预备知识------单位阶跃函数 利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式 表示. 例如设
x1 ( t ), x ( t ) x2 ( t ), x ( t ), 3
t 0; 0 t t0 ; t t0 .
于是可以用阶跃函数表示为
x( t ) x1 ( t )[1 u( t )] x2 ( t )[u(t ) u(t t 0 )]
f1 ( x ) f 2 ( t x ) f 3 ( t x ) dx
f1 ( x ) f 2 (u) f 3 (t x u)du dx . 令 x u , 则 du d , 并且
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t )
; , 0, .
由卷积的定义有
f1 (t ) f 2 (t ) 0 e
0 t
f1 ( ) f 2 (t )d
0
0
t
t
e
( t )
d 0 e
t
t
0
e
d
e
预备知识------ d 函数和d 型序列 很自然, 原点处分布单位质量的质点情形可认 为是上述情形当 e 0 时的极限, 并用d (x)表示密
度分布的极限. 在直观上可以看作
, d ( x) 0,
x 0; x 0.
根据密度的定义,密度函数在区间内的积分应
该是在此区间上分布的总质量. 因此,应有
预备知识------ d 函数和d 型序列 其中f (x)是任意连续函数. 更一般地
d ( x x0 ) f ( x )dx f ( x0 ).
(3) d (x)是无穷可微函数, 其导函数 d ( n ) ( x ) 也是广 义函数, 使得对任意无穷可微函数 f (x), 有
除了上面已提到过的函数
1 , e ( x ) 2e 0, x [e , e ]; x [ e , e ]
外, 还有很多不同的d 逼近函数,例如
预备知识------ d 函数和d 型序列
sin e 1 x He ( x ) (e 0), x 1 e Ke ( x ) 2 (e 0) 2 x e 1
f1 ( t ) f 2 ( t ) ( f1 f 2 )( t )
f1 ( x ) f 2 ( t x )dx .
预备知识------函数的卷积 如果 t<0 时, f1 ( t ) 0, f 2 ( t ) 0, 则卷积变为
f ( t ) ( f1 f 2 )( t )
等都是d 逼近函数,其弱极限都是d (x).
d (x)是具有以下性质的广义函数(d 函数又称为
单位脉冲函数, 或称为Dirac函数): (1) d ( x ) d ( x ), 即d 函数是偶函数. (2)
d ( x ) f ( x )dx f (0),特别地, d ( x )dx 1,
的变化趋势, 所以, d (0)=+无意义. 而积分值与函
数在个别点的值无关, 这样, 除一点外, 处处为零的
预备知识------ d 函数和d 型序列 函数积分也应为零. 从而, d 函数的上述性质在古典 意义下都不可能成立, 也是不合理的. 因此, 在很长 一段时期, d 函数没有被数学家们接受. 但以 Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数. 因为
预备知识------函数的卷积 (2) 分配律
f1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f1 ( t ) f 2 ( t ) f1 (t ) f 3 (t ).