机器人学_第二讲 齐次变换矩阵
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算ppt课件共38页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
机器人的数学基础齐变换矩阵及其
运算ppt课件
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
机器人学-运动学部分
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
u″ y
-3 oy
4
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动9x0º；
③绕当前 wz轴转动90º；求合成旋转矩阵。
z w
v u o(o′) y
w′
o′ v′
u′
o
y
z
o′
v″
w″ u″
oy
z
v```
o′ u```
w```
oy
x
x
x
x
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何
0
z
0 0 0 1
第三章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定 参考系的运动作为时间的函数进行分析研 究，而不考虑引起这些运动的力和力矩
把机器人的空间位移解析地表示为时间的 函数，研究机器人关节变量和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
旋转才能获得相同的结果。
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90o sin 90o
计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵
相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵是机器视觉和工业机器人领域中一个非常重要的概念。
对于工业领域的自动化生产，机械臂和相机之间的精确配准是至关重要的，而齐次变换矩阵正是用来描述相机坐标系到机械臂末端坐标系之间的关系的。
本篇文章将深入探讨相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵的计算方法，并且将详细介绍该计算方法的原理和实际应用。
一、齐次变换矩阵的概念和基本原理齐次变换矩阵是一种用来描述坐标系之间关系的数学工具，它可以将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中去。
在工业机器人和机器视觉系统中，我们常常需要将相机坐标系中的点映射到机械臂末端坐标系中，这就需要使用到齐次变换矩阵。
齐次变换矩阵的基本形式如下所示：\[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]其中，\[R\]为旋转矩阵，\[t\]为平移向量。
齐次变换矩阵可以将一个点的坐标\[P\]从相机坐标系变换到机械臂末端坐标系：\[ P' = T \times P \]二、计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵需要以下步骤：1. 确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点需要确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点位置。
这两个坐标系的原点通常是相机的光学中心和机械臂末端执行器的中心点。
确定了原点位置之后，我们可以将相机坐标系和机械臂末端坐标系的坐标系原点重合。
2. 计算旋转矩阵接下来，需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的旋转矩阵。
旋转矩阵描述了两个坐标系之间的旋转关系。
在实际应用中，可以通过标定相机和机械臂的姿态来获取旋转矩阵。
3. 计算平移向量除了旋转矩阵之外，还需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的平移向量。
平移向量描述了两个坐标系之间的平移关系。
平移向量可以通过相机和机械臂的空间位置信息来计算得到。
4. 组合旋转矩阵和平移向量将计算得到的旋转矩阵和平移向量组合在一起，就得到了相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵。
第2章 齐次变换(2)
• 先绕 z 轴旋转 90° • 再绕 y 轴旋转 90° • 再沿 x 轴平移 4
z z z1 o1 o x y x o1 o y1 x1 y x z y1 o1 o z1 x1 y y1 o1 x z1 o x1 y z
1 0 T Trans( 4,0,0)Rot ( y,90)Rot(z,90) 0 0
1) p R o t ( x , ) p
A B
得到{B}中的矢量在{A}中的表示
C 2）{C}、{A}重合， {C}再绕YA轴转β p和 A p等价，
3) A p Rot ( y, )C p = Rot ( y, ) A p
4) A p Rot ( y, ) Rot ( x, ) B p
• 绕当前轴
开始{B}、{A}重合，然后先绕XA轴转α 得到新坐标系{C} ，再绕 当前轴YC轴转β得到要求的坐标系{B} 。
A 2) A p C R C p = Rot ( x, )C p
B 1) C p C p = Rot ( y, )B p B R
0 s cc 1 0 ss csc c css 0 c
n o a
oA xA
yA
几个特定意义的齐次坐标：
• • • • [0, 0, 0, n]T [1 0 0 0]T [0 1 0 0]T [0 0 1 0]T — 坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 — 指向无穷远处的OX轴 — 指向无穷远处的OY轴 — 指向无穷远处的OZ轴
2
[ n, o, a ] 等价于 [ i B , jB , k B ]
• 绕固定轴
开始{B}、{A}重合，然后{B}先绕XA轴转α ，再绕YA轴转β。 刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它 点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获 得。
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
机器人技术 二、齐次坐标变换
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
例
纯旋转(相对坐标绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
Fobject
nx n y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
Px Py Pz 1
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知，该矩 阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由度）就 足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互独立的， 而是有约束的，约束条件为： 1、三个方向向量相互垂直； 2、每个单位向量的长度均为1。即：
U
PU TR R P
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
纯旋转－例题
旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90 度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换
例 特点：既有平移，又有旋转，而且可以多次。
假设坐标系（n，o，a）相对于参考坐标系（x，y，z）依次进行如下变换： 1、绕x轴旋转 角； 2、平移 l1 l2 l 3 ； 3、再绕y轴旋转 角。
2 2 2 2
2
2
例：有一向量P（3，5，2），请按如 下要求表示成矩阵形式： 1、比例因子为2；
2、表示为方向的单位向量。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
• (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的 X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’} 、 {0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
上海电机学院 机械学院
• 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
上海电机学院 机
械学院
旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为：
(1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法齐次变换矩阵用于描述刚体在空间中的位姿（位置和方向）。
在机器人正运动学问题中，运用齐次变换矩阵可以求解机器人末端执行器的位姿。
我们以一个简单的2R（两个旋转关节）机械臂为例进行说明。
假设2R机械臂有两个关节q1和q2，臂长分别为L1和L2。
我们的目标是求解两个关节角度q1和q2下，末端执行器的位置坐标(x, y)和方向theta。
首先，我们需确定两个坐标系。
通常将基坐标系（frame0）放在第一个关节处，frame1放在第二个关节处，frame2放在末端执行器处。
然后，我们需要分别计算从frame0到frame1的齐次变换矩阵T01和从frame1到frame2的齐次变换矩阵T12。
T01表示frame1相对于frame0的位姿，其旋转角度为q1，平移距离为L1。
矩阵形式如下：```T01 = | cos(q1) -sin(q1) 0 L1*cos(q1) || sin(q1) cos(q1) 0 L1*sin(q1) || 0 0 1 0 || 0 0 0 1 |```同理，T12表示frame2相对于frame1的位姿，其旋转角度为q2，平移距离为L2。
矩阵形式如下：```T12 = | cos(q2) -sin(q2) 0 L2*cos(q2) || sin(q2) cos(q2) 0 L2*sin(q2) || 0 0 1 0 || 0 0 0 1 |```接下来，我们需要计算从frame0到frame2的齐次变换矩阵T02。
通过矩阵乘法，我们可以得到：```T02 = T01 * T12```最后，我们从T02矩阵中提取机器人末端执行器的位置和方向。
位置坐标(x, y)就是T02矩阵中的平移部分，即：```x = T02[0][3]y = T02[1][3]```方向theta可以通过以下公式计算：```theta = atan2(T02[1][0], T02[0][0])```所以，通过齐次变换矩阵，我们可以求解出机器人末端执行器的位置和方向，从而解决2R机械臂的正运动学问题。
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学是机器人学中重要的一个应用。
在机器人学中，正运动学问题是指根据机器人各关节的运动参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
齐次变换矩阵是一种用来描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换关系的方法，它可以将平移和旋转变换统一起来，因此非常适用于机器人的运动学描述。
下面我们以一个简单的二自由度机械臂为例，详细说明如何运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学。
1.机器人几何参数的定义我们首先需要定义机器人的几何参数，包括各关节的长度、原点位置和旋转轴方向等。
假设我们的机器人臂长分别为L1和L2，关节1的旋转轴在z轴上，关节2相对于关节1的旋转轴在y轴上。
2.齐次变换矩阵的构建根据机器人的几何参数，我们可以构建各关节相对于前一关节的齐次变换矩阵。
对于本例中的二自由度机械臂，我们需要构建两个齐次变换矩阵，分别表示关节1和关节2相对于机器人基座的变换关系。
假设关节1的变换矩阵为T1，关节2的变换矩阵为T2，机器人基座的变换矩阵为Tbase。
根据机器人几何参数的定义，我们可以得到如下变换矩阵的表达式：T1 = [cos(θ1) -sin(θ1) 0 L1*cos(θ1)sin(θ1) cos(θ1) 0 L1*sin(θ1)00100001]T2 = [cos(θ2) 0 sin(θ2) L2*cos(θ2)0100-sin(θ2) 0 cos(θ2) L2*sin(θ2)0001]Tbase = [1 0 0 001000 0 1 d_base0001]其中θ1和θ2分别表示关节1和关节2的旋转角度，d_base表示机器人基座的高度。
3.机器人末端执行器的正运动学求解对于机器人末端执行器的正运动学问题，我们需要根据机器人各关节的运动参数，如各关节的旋转角度，通过乘法计算得到末端执行器的位置和姿态。
具体过程如下：a)首先，将各关节的变换矩阵相乘，得到机器人末端执行器相对于基座的变换矩阵。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
上海电机学院 机械学院
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0Leabharlann 1000 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
上海电机学院 机械学院
CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 ｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
上海电机学院 机械学院
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。
相对于固定坐标系，轴相 X 轴 当 v轴 ， 于 相 Y 轴 对 w 轴 ， 于 相 Z 轴
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
o(o′ ) v y
u x
o(o′ ) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3 0 1 0 7
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
P'''
0
1
0
01
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法
举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法机器人正运动学是指根据机器人关节角度，求出机器人末端执行器的位置和姿态。
运用齐次变换矩阵的方法可以方便地求解机器人正运动学。
齐次变换矩阵是一种描述机器人移动和旋转的数学工具，它能够将机器人的位置和姿态用一个矩阵表示出来。
在机器人正运动学中，我们需要根据机器人各个关节的角度来求出机器人的位置和姿态。
假设机器人有n个关节，每个关节的旋转角度分别为θ1,θ2,...,θn。
我们可以用齐次变换矩阵来表示机器人每个关节的旋转和移动。
假设第i个关节的齐次变换矩阵为Ti，则Ti = [cosθi -sinθi 0 ai;sinθi cosθi 0 bi;0 0 1 ci;0 0 0 1];其中ai, bi, ci分别表示第i个关节的位置坐标，θi表示第i个关节的旋转角度。
机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过将所有关节的齐次变换矩阵相乘得到。
即T0n = T1 * T2 * ... * Tn;其中T0n表示机器人的末端执行器的齐次变换矩阵。
通过分析T0n的各个元素，我们可以得到机器人末端执行器的位置和姿态信息。
举例说明，假设有一个二自由度机器人，其第一个关节的旋转角度为θ1，第二个关节的旋转角度为θ2。
假设机器人的关节长度均为1，且第二个关节相对于第一个关节的位置偏移为1。
则第一个关节的齐次变换矩阵为T1 = [cosθ1 -sinθ1 0 0;sinθ1 cosθ1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];第二个关节相对于第一个关节的位置偏移为1，因此第二个关节的位置坐标为(1,0,0)。
其齐次变换矩阵为T2 = [cosθ2 -sinθ2 0 1;sinθ2 cosθ2 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];将两个齐次变换矩阵相乘得到机器人的末端执行器的齐次变换矩阵为T0n = T1 * T2= [cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2 -cosθ1sinθ2-sinθ1cosθ2 0 cosθ1;sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2 -sinθ1sinθ2+cosθ1cosθ2 0 sinθ1;0 0 1 0;0 0 01];通过分析T0n的各个元素，我们可以得到机器人末端执行器的位置和姿态信息。
机器人技术基础 第2章 齐次变换
结果如图2.6所示。如果将上述两次旋转结合起来， 写成一个表达式得到
w = Rot ( y, -90°) v ＝ Rot ( y, -90°) Rot ( z, 90°) 变换矩阵 Rot ( y, -90°) 、 Rot ( z, 90°) 和起始
点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果相同。
v = ai + bj + ck
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、y、
z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，即 v=[x y z w ]T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。 3i + 4j + 5k 可表示为
y
图2.1 点向量的描述
改变比例因子 w，则分量 a、b、c 的数值相应改变，但描述的还是同一个点向量。如 v =
2.6 坐标系 (Coordinate frames)
齐次变换矩阵 H 由四个列向量组成，它的前三个列向量称为方向向量，由式 （2.12）到式（2.14）的旋转变换（分别绕 x、y、z 轴旋转θ角）确定，第四个列向 量称为平移向量，它的平移分量（沿 x、y、z 轴的平移量）由式（2.10）第四列的前 三个元素确定。如 0 0 1 4 1 0 0 -3 H＝Trans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90°) Rot ( z, 90°) = 0 1 0 7 （2.15） 0 0 0 1 坐标系的原点，即零向量 [ 0 0 0 1 ]
1 0 0 -4 0 1 0 3 0 0 1 -7 0 0 0 1
q＝p
H－1 ＝[
1 0 0 -2 ]
x
6 图2.3 点向量的平移
＝[ 1 0 0 -6 ]