其中为绕坐标原点旋转的变换矩阵

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一、基本几何变换
1、平移变换 平移变换是将图形在坐标平面内移动，只改变图形 的位置，不改变图形的大小和形状。平移变换如图所示：
y C A
m
B
C
A
O
B
l
x
图中l、m分Βιβλιοθήκη Baidu为x、y方向的平移量。从图中可以得出变 换前后点的坐标值应满足以下关系：
x x l y y m
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将它写成矩阵的形式为：
1 0 0 x y 1 0 1 0 l m 1
= x l
y m 1
=
x
*
y* 1

那么
1 0 0 0 1 0 l m 1
即为所求平移变换矩阵。
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例1：已知三角形顶点坐标为A(0，0)，B(20，0)，C(0， 20)，平移参数分别为l＝20，m＝10；试对此三角形 进行平移变换。 解：因为平移变换矩阵为
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三、变换矩阵
由于图形可以用点集表示，因此要对图形进行变换， 只要变换点就可以了。 对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即： 旧点（集）×变换矩阵

矩阵运算
新点（集）
若将二维空间的点由某个位置P(x ，y)变换到一个新的 位置P*(x*，y*)，变换的原理是把齐次坐标点（x，y，1） 通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点（x*，y*，1）。即：
第2章 计算机图形处理技术
1
2
2.2图形变换
在计算机图形处理中，经常需要对已经生成的图形进行 几何变换处理。例如，改变图形的大小、移动图形或根据 需要将图形旋转一个角度，输出零件的三面视图，显示立 体图，或要求一物体绕一轴线作连续的动态转动，使观察 者能看到物体的各个侧面。这就要求图形的处理软件能够 实现旋转、平移、缩放等几何变换。 我们知道，点是构成一个几何形体的最基本的元素。 一幅二维图形可以看成是一个点集。那么，我们就可以把 对图形的几何变换归结对点的变换。
a b c d
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三维图形的变换矩阵是二维图形变换矩阵的 简单扩展，在三维空间中，用四维齐次坐标表示 三维点，即[x y z 1]。三维变换矩阵则采用 4×4阶矩阵表示，即：
a b d e h i l m
c f j n
p q r s
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齐次变换矩阵：
x1 x 2 xn
y1 y2 y n n2
或
x1 x 2 xm
y1 y2 ym
z1 z2 z m m 3
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例如：已知三角形ABC顶点的坐标分别为A（x1， y1），B（x2，y2），C（x3，y3）则三角形ABC可以 记作矩阵：
x
y 1 x *

y* 1

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Ｔ为基本变换矩阵：
+ P*（x*，y*）
+ P（x，y）
从变换功能上可把T分为四个子矩阵，其中 对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换； [ l m ] 对图形进行平移变换； [ p q ]T 对图形进行投影变换，不做投影变换时取p = 0， q = 0； [ s ] 对图形进行全比例变换。通常取s=1。
所以变换后点的坐标为
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2、比例变换
比例变换指将原有图形在x、y两个方向上进行放大 或缩小的变换，通过它可以改变图形的大小和方向。 将平面上一点P（x，y）在x、y两个方向上分别进 行放大a倍和d倍的比例变换后得到新点P*（x*，y*）， P和P*的关系为：
x ax y dy
写成矩阵的形式为
x
y
a 1 0 0
0 d 0
0 0 1
x1 x 2 x3
y1 y2 y3
然后把它以数组的形式存贮在计算机内。
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二、齐次坐标
齐次坐标是将一个n维空间的点用n十1维，即附加一个 坐标来表示。如二维点[x y]的齐次坐标通常用三维坐标 [Hx Hy H]表示，三维点[x y z]的齐次坐标通常用四 维坐标[Hx Hy Hz H]表示，……。 在齐次坐标系中，最后一维坐标H称为比例因子。由 于比例因子H的取值是任意的，所以任一点可用许多组齐 次坐标表示，如二维点[3 2]可表示为[3 2 1]、[6 4 2]、[9 6 3]等。另外，可用H＝0的向量表示无穷远的点。 例如用[1 0 0 0]、[0 1 0 0]、[0 0 1 0]分别表 示x，y，z轴上的无穷远点。 对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换， 相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵
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2.2.1 图形变换方法 一、点的向量表示
在二维空间中点的表示方法，我们通常是用它的坐标来 表示，写作P（x，y）。为了以后变换的方便，我们可以把 它写作矩阵的形式，即用一行两列的矩阵 x y 或一个两 x 行一列的矩阵 表示。在三维空间里则用 x y z y 表示空间一点。那么，对于一个二维空间的图形或三维空间 的立体，可以用一个点的集合（简称点集）来表示，每个点 对应一个行向量，则点集为n×2或m×3阶的矩阵：
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反过来，还可以通过矩阵变换将无穷远点变换为与之 对应的有限远点。当H=1时，则称为规范齐次坐标。从 齐次坐标返回到n维空间去时，只需将坐标中每个分量除 以H就可以了。以后介绍的变换矩阵实际上都是奇次坐标 变换。
用齐次坐标方式进行变换运算不但可以产生正常坐标 变换的同样效果，而且可以简化正常坐标变换过程。在 图形变换中引入齐次坐标表示，还能使各种基本变换， 如旋转、平移和比例交换等具有统一的变换矩阵格式， 并且可以将它们结合在一起进行组合变换，同时也便于 计算。
a b d e h i l m
c f j n
p q r s
a b d e h i
c f j
l
m n
s
p q r
缩放 旋转 错切
平移
整体缩放
透视变换
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2.2.2 二维图形的几何变换
一、基本几何变换 1、平移变换 2、比例变换 3、旋转变换 4、对称变换 5、错切变换 二、组合变换