基变换与坐标变换
线性代数-基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
§4 基变换与坐标变换
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
1基变换与坐标变换
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。
一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。
2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。
3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。
二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。
2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。
3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。
总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。
1.2_基与坐标、坐标变换
解
1 1 1 1
(1,
2
,3
,
4
)
(1
,
2
,
3
,
4
)
2 1
1 1
2 1
1 , 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
(1,2,3,4 )
1 0
1 2
1 1
3 . 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 )
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,
2
,3
,
4
)
2
1
1 1
2 1
1
2
.
2
1 2
o
1
1 2
1
1 x
2
例6. 在 R4 中,求由基 1,2,3,4到基 1,2,3,4 的 过渡矩阵，其中
1 (1, 2, 1, 0)T , 2 (1, 1,1,1)T , 3 (1, 2,1,1)T , 4 (1, 1, 0,1)T .
1 (2,1, 0,1)T , 2 (0,1, 2, 2)T , 3 (2,1,1, 2)T , 4 (1,3,1, 2)T .
一组基.
由泰勒公式， R[x]n 中任意元素 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2! f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此，元素 f (x) 在这组基下的坐标是
( f (a), f '(a), f ''(a), , f (a)) (n1) .
1.2.2. 基变换与坐标变换
维数基与坐标 基变换与坐标变换
§3.维数、基、坐标复习1. ⎧⎪⎨⎪⎩线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 1101112210,0,r rk k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪+++=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关2. 性质：1）α线性相关⇔0α=；2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关⇒1,,r βαα可以被线性表出；6）1n ,,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分相关，部分相关则整体相关）；新课一 线性空间的基与维数定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间V 的维数.Note :1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.[]n P x 中12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，每一个()[]n f x P x ∈都可以由12,,,,1-n x x x 线性表出，即12,,,,1-n x x x 是[]n P x 的一组基.二 元素在给定基下的坐标定义2 设n ααα,,,21 是线性空间n V 的一组基，对于任意元素n V ∈α，总有且仅有一组有序数n x x x ,,,21 使得n n x x x αααα+++= 2211，则有序数组n x x x ,,,21 称为元素α在基n ααα,,,21 下的坐标，并记为),,,(21'n x x x .例2：在n 维空间n P 中 12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n εεε=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 是一组基，设12(,,)n n a a a P α=∈，有'1'21122'(1,1,,1)(0,1,,1)(0,0,,1)n n n a a a εεαεεεε⎧=⎪=⎪=++→⎨⎪⎪=⎩基'''112121,()()n n n nP a a a a a ααεεε-∀∈=+-+-则§问题：在n 维线性空间n V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为n V 的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么不同的基之间有怎样的联系呢？同一个向量在不同基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何变化呢？ 1 基变换公式设12,,n εεε及'''12,,nεεε均是维线性空间n V 的一组基，且有 '11112121'21212222'1122n nn nn n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++⎩↓⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n nn nnn n n a a a a a a a a a εεεεεε 2121222121211121↓A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =''' 称此公式为基变换公式. 2 过渡矩阵在基变换公式A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε ='''中，矩阵A 称为由基12,,n εεε到基'''12,,nεεε的过渡矩阵. Note :1）过渡矩阵A 是可逆的.2）设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是n V 中两个向量组)(ij a A =，)(ij b B =是两个n n ⨯矩阵，那么))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =；))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα ； A A A n n n n ),,,(),,,(),,,(22112121βαβαβαβββααα+++=+ . 3 坐标变换公式设向量α是线性空间n V 中的任意元素，在基12,,n εεε下的坐标为),,,(21'n x x x ，在基'''12,,nεεε下的坐标为),,,(21''''n x x x ，于是有12112212(,,,)n n n n x x x x x x αεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭'1''''''''11221'(,,)n n n n x x x x x εεεεε⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭即 ()11121'121222''111'1211,,(,,)(,,)(,,)n n n n n n n n nn n n a a a x a a a A x a a a x x εεεεαεεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭而基向量线性无关，则'11'n nx x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1'1112111'2122222'12n n n n nn n n a a a x x a a a x xa a a x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题分析：在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下坐标1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(,,,)x x x x ξ=在1234,,,ηηηη下的坐标小结：↓→↓⎧→⎨⎩向量线性相（无）关 基维数 基变换坐标坐标变换。
基变换与坐标变换
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第 6.4.1 页
§4
基变换与坐标变换
通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何
，y n )由等式(7)联系着． 标( y1，y 2，
例1
取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1， 2 ，作成 V2 的一个
分别是由1 和2 旋转角 所得的向量(图 61)，则 ε1 ，ε 2 也 基．令 1, 2
是 V2 的一个基，且有
1
ε1 cos ε2 sin ε1 ， ε1 sin ε2 cos ε 2
一章讲的矩阵乘法形式．
， n ) 是 V 的 两 个 向 量 组 ， ， n ) 与 ( 1， 2， 设 ( 1， 2，
A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：
n )A)B=( 1， 2， n )(AB)， (( 1， 2， n )A+( 1， 2， n )B=( 1， 2， n )(A+B)， ( 1， 2， n )A+( 1， 2， ， n n )A. ， n )A= ( 1 1 , 2 2， ( 1， 2，
， n 是 V 的一个基， 1， ， n V，且 命题 6.4.2 设 1， 2， n )A． ， n )=( 1， 2， ( 1， 2， ， n 是 V 的一个基． 若 A 可逆，则 1， 2， ， n 线性无关即可．假设 证 只要证 1， 2， k1 1 k 2 2 k n n 则 k1 k1 1， 2， ， n 1，a 2， ， n A ． k k n n
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换例题在线性代数中，基变换和坐标变换是非常重要的概念，它们在向量空间中的表示和描述中起着至关重要的作用。
这里将通过一些例题来详细解释和展示基变换和坐标变换的过程。
例题一假设存在一个二维向量v，其坐标表示为(3, 4)，现有两个基底b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)。
求向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
对于向量v(3, 4)，我们可以表示为v = 3 * b1 + 2 * b2。
这是因为v = x * b1 + y * b2，其中x和y分别是v在基底b1和b2下的坐标表示。
代入已知的b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)，我们可以得到： v = 3 * (1, 1) + 2 * (-1, 1) = (3, 3) + (-2, 2) = (1, 5)。
所以，向量v在基底b1和b2下的坐标表示分别为(1, 1)和(5, 1)。
例题二现在考虑一个三维向量v = (2, 1, -3)，在标准基底下的坐标表示。
此外，有一个由向量a = (1, 1, 1)，b = (0, 1, 1)和c = (1, 2, 3)组成的基底B。
求向量v在基底B下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底B下的坐标表示。
同样地，我们可以表示v = x * a + y * b + z * c，其中x、y和z分别是v在基底B下的坐标表示。
代入已知的a、b和c，我们可以得到： v = 2 * (1, 1, 1) + 1 * (0, 1, 1) + (-3) * (1, 2, 3) = (2, 2, 2) + (0, 1, 1) + (-3, -6, -9) = (-1, -3, -6)。
所以，向量v在基底B下的坐标表示为(-1, -3, -6)。
总结基变换和坐标变换是线性代数中的重要内容，它们帮助我们在不同基底之间转换向量的坐标表示。
1基变换与坐标变换共34页
对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间．
例4 AAm nCm n,V x C nA 0 x ,F=C，
定义与 C n中相同的运算， V 构成一个复线性空间，
叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程 Ax0
的解空间，记为N(A)．
例5 AAm nCm n, V y C m y A ,x x C n ,
第一章 预备知识
第一节 线性空间
➢ 定义、性质及例子 ➢ 基与维数 ➢ 基变换与坐标变换 ➢ 子空间和维数定理
一、线性空间的定义、性质及例子
定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数
运算，叫做加法，即对于任意两个元素与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为与 的
线性表示．
定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基．
定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量．
有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ．
Cn、Rn是 n维空间，Cmn、 Rmn是 m×n维空间，
x (i)
i
i 1
也是V中的向量，称y 是向量组 x (1 ),x (2 ), ,x (k )的一
k
个线性组合， i x (i) 叫做y 的一个线性表出． i1
例１ V x x 1 ,2 , ,n T ,i C ,F=C，又设
y 1 ,2 , ,n T V , C , 对于通常的加法和数乘
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 两个基 , 且有
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
２．坐标变换公式
x1 x1' x2 x2' P , xn xn '
或
用初等变换计算
B
1
A.
B
2 1 A 0 1 1 0 0 0
0 1 2 2 0 1 0 0
2 1 1 2 0 0 1 01 1 0 1
1 1 1 1
1 2 1 1 1 0 0 1
3 2
k1 k2 k3 k4 0
故 x , x x , x 1 , x 1 线性无关
3
, 是 P [ x ] 3 的一个基
.
又令 a 1 x a 2 ( x x ) a 3 ( x 1) a 4 ( x 1)
3 3 2
x 2 x 3,
x1 ' x2' xn '
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
1 , 2 , , n x1 x2 1 , 2 , , n P xn x1' x2' . xn '
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第三节 基变换与坐标变换
第 三 节 基变换与坐标变换
主要内容
定义 坐标变换公式
由例 6 可见, 同一元素在不同的基下有不同 的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样 的关系呢?
一、定义
设 1 , 2 , ···, n 及 1 , 2 , ···, n 是线性空
间 Vn 中的两个基, 且有
1 p111 p212 pn1n ,
x1
x2
P
x2
,
或
x2
P
1
x2
.
xn
xn
xn
xn
证明 证明 x1
x1
x
x
(3)
x1 x
pn2
2
PT
2
(p1P,nn 2xx足两x,1n2变种n,,换坐或这n公标个)P式满定xxx（1n2足理2坐n的）标P逆变命1 换题xxx1n2公也式成（立3.）即若，任则一两元个素基的满
例8
在 R3 中求向量
3
7
在基
1
1
1 3,
5
6
2 3,
2
3
3 1
0
下的坐标.
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请本若节想请本单若内请结本若节击想请本单若内请结本若节击想请本单若节想内请结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本单若节击想内请结本容单若束节节击想 想内请返结本单单若节已击想本内请结本容单若回束节 节想 想击内请返结单单节已击想本内结本容单若回束节想击内请返结容单束节已击想本内内返结 结本容单若回束节击想击内结请返结堂容单束节已击想按本内 内返结 结本容单若回束击击内结请返结堂容束节已击想按本内返结本容单若回束已击本内结请返结堂容容回束 束节已击想按本内返返结容束单回束课已击本内结返结钮堂容 容回束 束节已击想按本返返容束单回束课已本内结返结钮堂容回束节已击想按本结返堂容束单回束课已已按本 本内结返结钮堂容回回束已击按本,结返堂容束回束课.已 已按本 本内结!返结钮堂回回已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂束回课已击按本,结结钮堂 堂容束回束课.已按按本结!返钮堂束回课已按本,结 结钮堂 堂容束回束课.按按结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按,结!返钮堂束束课 课.已按本,结!钮钮堂束回课.按,结!钮堂束 束课 课.已按本,!钮钮束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.,,结!钮堂束课..按,!!钮束课.,,结!钮堂..按,!!束课.,结!钮堂.按,!束课.,!钮.,!束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
高等代数§6.4 基变换与坐标变换
则
x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
( 1 , 2 , , n ) 与 a12 a1 n x 1 a 22 a 2 n x 2 ⑥ a n 2 a nn x n x1 x2 xn
①
即，
a11 a12 a 21 a 22 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) a n1 a n 2
a1n a2n a nn
②
则称矩阵
a11 a 21 A a n1
( a 1 , a 2 , , a n ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标就是
( a 1 , a 2 , , a n )
设 在基 1 , 2 , , n下的坐标为 ( x 1 , x 2 , , x n ) ，则
x1 x2 xn 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a1 a1 0 a 2 a 2 a1 0 a n a n a n1 1
若 1 , 2 , , n 线性无关，则
a1 a2 ( 1 , 2 , , n ) a n b1 b2 ( 1 , 2 , , n ) b n a 1 b1 a 2 b2 a b n n
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
§4基变换与坐标变换共27页
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
§4基變換與坐標變換
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后名，于我 Nhomakorabea若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
6.4 基变换与坐标变换
ε 2 = 0ε 1 + 1ε 2 + 0ε 3 ε 3 = 0ε 1 + 0ε 2 + 1ε 3 , ε = 1ε + 0ε + 0ε 1 2 3 1
0 0 1 A = 1 0 0 0 1 0
方法2 直接利用矩阵来计算. 方法2：直接利用矩阵来计算.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 基变换公式的矩阵形式是“形式的” 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下， 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 出毛病的 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 εj′ 在第一组ε 1 , ε 2 , … , ε n下的 坐标. 坐标
(2)
证明： 证明： 因
线性无关, 由于 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性无关 故即有关系式 (2).
′ x1 x1 ′ x2 x2 ′ ′ ′ (ε1 , ε 2 , L, ε n ) = ξ = (ε1 , ε 2 , L, ε n ) M M x x′ n n ′ x1 x′ 2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x′ n
(α1 ,α 2 ,L ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) B ⇔ A = B .
二、基变换
V为数域 P上的 n 维线性空间， 为数域 上的 维线性空间， α1 ,α 2 ,L,α n 为V 中的一组线性无关向量，而 中的一组线性无关向量， 引理
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
1 3 1 2
1 4 7
10 7 2 7
行变换
16 7 3
4 7
2
5 14
4 17 14
即得
6 39 20 5 4 1 22 32 40 1 CA B . 14 28 42 56 14 5 8 17 8
1
故过渡矩阵为 A-1B ，坐标变换公式为
x1 x1 x x2 1 2 B A x x 3 3 x x 4 4
用矩阵的初等变换求 B-1A : 把矩阵 ( B | A ) 中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A . 计算如下:
2 1 ( B | A) 0 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1
行变换
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A 是可逆的.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个 向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则 1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
由于 1 , 2 , … , n 线性无关, 故即有关系式 (2).
证毕
这个定理的逆命题也成立. 即若任一元素的 两种坐标满足坐标变换公式 (2), 则两个基满足变 换公式 (1).
三、举例
例 1 在 P 4 中，求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基
1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求向量 在基1, 2,
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法. 把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩 阵形式：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n ,, n ) (1 , 2 ,, n ) (1, 2 a a a nn n1 n 2
1 3 3 1 行变换 1 2 2 4
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
109 85 4 85 . 8 5 20 17
所以向量 在基 1, 2,
3 , 4下的坐标为
(2)
证 因
x1 x1 x2 x2 , 2 ,, n ) (1 , 2 , , n ) (1 x x n n
x1 x2 (1 , 2 , , n ) A x n
1 6 3 3 A 3 3 1 7 5 2 0 1
行变换
1 0 0 33 0 1 0 82 0 0 1 154
所以
33 1 822 154 3
则所求坐标为
(33, 82, 154)T
x1 x2 x n
x1 x2 A , 或 x n
x1 x1 x x2 1 2 A x x n n
3 2
求由基1 , 2 , … , n 到 1 , 2 , … , n的过渡矩阵 和坐标变换公式.
解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.
由
(1,2 ,3 ,4 ) ( x , x , x, 1) A
3 2
(1, 2 , 3 , 4 ) ( x , x , x, 1)B
3 2
其中
1 1 1 1 2 1 2 1 A 1 1 1 0 0 1 1 1
2 1 B 0 1
0 2 1 1 2 1 2 2
1 3 1 2
得
( 1, 2 , 3 , 4 ) (1,2 ,3 ,4 ) A B
0 1 0 1
1 1 0 1
1 0 0 1
1 0 1 1
即得
0 1 1 1 1 1 0 0 1 A B 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 x1 x1 1 1 0 0 x 2 x2 x 0 x 0 0 1 3 3 x 1 1 1 1 x 4 4
二、坐标变换公式
定理2 设 Vn 中的元素 , 在基 1 , 2 , …, n
下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn)T , 在基 1, 2 , … , n 下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn )T. 若两个基满足关 系式 (1) , 则有坐标变换公式
2) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )B
= (1 , 2 , … , n ) (A+B) ； 3) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )A = ( 1 + 1 , 2 + 2 , … , n + n ) A .
3 , 4 下的坐标. 设
1 (1,2,2,1) , (1,1,3,3) , 2 3 (1,1,1,2) , 4 (3,2,0,1) , (3,1,2,4) .
1 (1,1,2,0) , (2,1,3,1) , 2 3 (2,2,1,1) , 4 (1,3,1,2) ,
1. 定义
定义12 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a21 2 an1 n , a a a , 2 12 1 22 2 n2 n (1) a1n 1 a2 n 2 ann n . n
矩阵
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n 2
称为由基 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩
阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
用矩阵的初等变换求 B-1A : 把矩阵 ( B | A ) 中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A . 计算如下:
1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 ( A | B) 2 3 1 0 2 2 1 0 1 3
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
例 3 在 P[ x ]4 中取两个基
1 x 2x x,
3 2
2 x x x 1,
3 2
3 x3 2x2 x 1, 4 x3 x 2 1;
及
1 2x x 1,
3 2
2 x 2x 2,
2 3 2
3 2x x x 2, 4 x 3x x 2.
求向量 在基 1 , 2 , 3 , 4下的坐标, 即用基 1,
2 , 3 , 4表示向量 . 用矩阵的初等行变换来
求解: 先构造矩阵 M = ( 1 , 2 , 3 , 4, ) , 再对矩阵 M 实施初等行变换 , 使之成为行最简形 矩阵即得.
2 2 1 1 2 1 M 2 3 1 0 1 1
3 3 1 0
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
换来求解: 先构造矩阵 A = (1 , 2 , 3 , ),再对