基变换与坐标变换

一、向量的形式意义及运算
1.定义
定义1 V为数域 P上的 n 维线性空间，
1,2,L ,n为V 中的一组向量，记作(1,2 ,L ,n ) ，
称之为向量矩阵,给出定义：
1）若有两组向量 (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n )
1 1,2 2,L ,n n;
2） (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n ) (1 1,2 2,L ,n n );
1, 2,L , n 为V中的两组向量，若
1 a111 a212 L an1n
2
L
n
L
a121
LL
a1n1
L
a222 L
LLLL
a2n2 L
L
an 2 n
LL
ann n
则记作
a11 a12 L
(1, 2 ,L
,n)
(1,2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
an1 an2 L
3） k(1,2 ,L ,n ) (k1, k2,L , kn ), k P;
4）V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2,L ,n 为 V中的一组向量， V ，若
x11 x22 L xnn
则记作
x1
(1,2 ,L
,
n
)
xM2
xn
5）V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2,L ,n ；
2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ),
就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , … , n下的
坐标.
3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 4）若由基 1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , 过n 渡矩阵为A, 则由基1, 2 ,L , n到基1,2 ,L ,n 过渡矩阵为A-1.
a2n ann
称为由基 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩 阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A
是可逆的.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的.
1. 定义
定义2 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a21 2 an1 n ,
2
a121
a22 2
an2 n
,
(1)
n a1n1 a2n 2 ann n .
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
ຫໍສະໝຸດ Baidu
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
第四节 基变换与坐标变换
主要内容
向量的形式意义及运算 基变换 坐标变换公式 举例
我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.
二、基变换
引理 V为数域 P上的 n 维线性空间，
1,2,L ,n为V 中的一组线性无关向量，而
1 a111 a212 L an1n
2
L
n
L
a121
LL
a1n1
L
a222 L
LLLL
a2n2 L
L
an 2 n
LL
ann n
则 1, 2 ,L , n 线性无关 aij 0.
若1,2 ,L ,n 线性无关，则
a1
b1 a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
a2 M
b2 M
an
bn an bn
2) 1,2 ,L ,n；1, 2 ,L , n为V中的两组向量，
矩阵 A, B P nn，则
((1,2 ,L ,n )A)B (1,2,L ,n )( AB)；
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.
把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩
阵形式：
a11 a12 a1n
(1,2 ,
,n )
(1 , 2 ,
,
n
)
a21 an1
a22 an2
a2n ann
矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n L
ann
2.运算规律
1)1,2 ,L ,n V ,a1,a2 ,L ,an ,b1,b2 ,L ,bn P
a1
b1
a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 aMn
(1,2 ,L
,
n
)
b2 bMn
(1 , 2 ,L
,
n
)
a2
an
b2 M bn
向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则
1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
2) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )B = (1 , 2 , … , n ) (A+B) ；
(1,2 ,L ,n )A (1,2 ,L ,n )B
(1,2 ,L ,n )( A B)；
(1,2 ,L ,n ) A (1, 2 ,L , n ) A
(1 1,2 2 ,L ,n n ) A ；
若1,2 ,L ,n 线性无关，则
(1,2 ,L ,n )A (1,2 ,L ,n )B A B.
5）若由基1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 ,L ,n到基 1, 2 ,L ,过n 渡矩阵为AB.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个
3) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )A = (1 + 1 , 2 + 2 , … , n + n ) A .