§4 基变换与坐标变换
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章线性空间
§1 集合映射
一授课内容：§1 集合映射
二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.
三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.
五教学过程：
1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.
若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.
2.求和号与求积号
(1）求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.
设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:
，。
当然也可以写成
，。
（2）求和号的性质
容易证明,
,，.
事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质
一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质
二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.
三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.
五教学过程:
1。线性空间的定义
线性代数-基变换与坐标变换
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
一、基变换公式与过渡矩阵
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换是数学中的一个概念，它们都是研究变换形式的基础工作。它们是将一个空间中的向量投影到另一个空间的过程。基变换是指一种变换，它使空间的向量的基本特征保持不变。坐标变换是指把数据由一种坐标系转换为另一种坐标系的过程，如从极坐标转换到直角坐标。
基变换可以分为几何和代数两种形式，每种形式都有不同的用途。几何变换是指对点或向量空间中的向量应用一定的变换，来改变其形状或尺寸。几何变换可以表示为一组线性方程，其作用是把输入空间中的点映射到输出空间中的点。常见的几何变换包括旋转和缩放。代数变换是指把一个空间中的点映射到另一个空间中的点，通过使用多项式来完成。代数变换可以用来改变一个点的位置，形状，尺寸等属性，例如抛物线变换和二次变换等。
坐标变换是把一种坐标系的数据转换到另一种坐标系的过程。坐标变换的基本原理是把一个物体的坐标从一个坐标系（原坐标系）转换到另一个坐标系（目标坐标系）。常见的坐标变换有从极坐标到直
角坐标的变换，从直角坐标到极坐标的变换，从笛卡尔坐标到其他坐标系的变换以及曲面坐标变换等等。
在工程中，基变换和坐标变换都经常被用来实现特定的工程目标。基变换可以被用来改变数据的形状，比如在图像处理中，可以使用基变换来缩放和旋转图像。坐标变换可以被用来将一个坐标系的数据转换到另一个坐标系，比如在机器人攻击中，可以使用坐标变换来实现
从直角坐标到极坐标的变换。
总而言之，基变换和坐标变换在数学和工程中是非常重要的概念。基变换可以用来改变空间中向量的特征，而坐标变换则可以用来将一种坐标系的数据转换到另一种坐标系。它们在许多领域中都有重要用途，例如图像处理，机器人控制，计算机视觉，空间分析等方面，广泛应用于实际工程中。
基变换公式和坐标变换公式
基变换公式和坐标变换公式
一、基变换公式
基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。假设有两组基底
b1,…,bb和b1,…,bb，其中bb和bb是向量。对于给定向量b，其在b1,…,bb和在
b1,…,bb基底下的坐标分别为b和b。基变换公式表达了坐标b和b之间的关系，即
b=bb。
具体来说，对于给定的基变换矩阵b，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。
假设向量b在b1,…,bb基底下的坐标为向量b，我们可以通过矩阵乘法b=bb来获得
向量b在b1,…,bb基底下的坐标b。基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示
的坐标转化为在另一个基底下的表示。
二、坐标变换公式
坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。假设有两个
向量b1和b2，在同一组基底b1,…,bb下的坐标分别为b1和b2。坐标变换公式通
过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。具体而言，对于给定的坐标变换矩阵b，我们可以通过b2=bb1来实现坐标之间的变换。
在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。通过坐
标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。
结论
基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。
基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。
基变换与坐标变换的理解
基变换与坐标变换的理解
在线性代数的学习过程中，我们经常会遇到基变换和坐标变换的概念。这两个
概念是线性代数中非常重要的概念，对于理解矩阵变换和向量空间变换起着至关重要的作用。
基变换的概念和意义
在向量空间中，基是一个线性无关且张成整个向量空间的向量集合。基变换指
的是由一个基向量集合变换为另一个基向量集合的过程。当我们进行基变换时，实际上是在改变向量表示的方式，但是向量本身不会发生变化。基变换的本质是将原向量空间中的向量通过一种线性变换映射到一个新的基向量空间中，从而使得原空间中的向量在新的基下有着不同的坐标表示。
通过基变换，我们可以更加方便地对向量空间进行分析和处理。在实际应用中，基变换也被广泛应用于图像处理、机器学习等领域。例如，在计算机图形学中，基变换可以帮助我们更好地理解和描述图形的变化和转换。
坐标变换的概念和意义
坐标变换是指在给定基的基础上，改变向量在这个基下的坐标表示的过程。坐
标变换实际上是一种基变换的特例，特别是当基是标准正交基时，坐标变换可以简化为矩阵乘法的形式。
通过坐标变换，我们可以将向量从一个坐标系表示转换为另一个坐标系表示，
这在实际应用中具有重要意义。在机器人学中，坐标变换可以帮助我们描述机器人在不同坐标系下的位置关系，从而控制机器人的运动。在三维图形学中，坐标变换也是不可或缺的工具，可以帮助我们实现图形对象的平移、旋转等操作。
基变换与坐标变换的关系
基变换和坐标变换之间有着密切的联系。在实际应用中，基变换可以通过矩阵
乘法来表示，而坐标变换也可以通过矩阵乘法来表示。基变换和坐标变换的关系可以从几何和代数的角度进行理解。
6.4 基变换与坐标变换
第六章 线性空间
学习单元4： 基变换与坐标变换
_________________________________________________________
● 导学 学习目标：
了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：
建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
重点难点：
重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。 难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________
● 学习内容
一、基变换及过渡矩阵
命题 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基，则1,,n εεL 与
''
1,,n εεL 等价，即它们可以互相线性表示。
定义 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基，令
'11112121'
21212222'1122(1)n n
n n n
n n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε
⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L L
L ，
称矩阵
111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L L L L L L 为由基12,,,n εεεL 到基''1,,n εεL 的过渡矩阵。
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。
一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。
2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。
3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。
二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。
2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。
3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。
总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。
§4基变换与坐标变换.
构造方程
，其中 ，
，
，
。
于是 线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中 ，
两边用 作用，得到
。
，
证毕。
二向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为 和 ，
又设 在 下的坐标为 ，即
，
在 下的坐标为 ，即
§4基变换与坐标变换
一线性空间的基变换，基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间，设 和 是两组基，且
将其写成矩阵形式
，
定义4.11我们称矩阵
为从 到 的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基 。T是K上一个n阶方阵。命
则有 是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若 是线性空间V/K的一组基，则 线性无关。
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
记
， ，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道 ，这就是坐标变换公式。
2、 中两组基的过渡矩阵的求法
我们设 中两组基分别为
和
而
按定义，T的第i个列向量分别是 在基 下的坐标。
将 和 看作列向量分别Hale Waihona Puke Baidu成矩阵
1.2_基与坐标、坐标变换
1 1 1 1
P 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 0 0 1
过渡矩阵的性质： (1) 过渡矩阵是可逆矩阵 (为什么)；
(2) 若 P 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡 矩阵，则 P -1 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡
矩阵.
下面考虑同一个向量在不同基 下的坐标有什么关系呢？
1.2. 基与坐标、坐标变换
1.2.1. 基与维数、坐标 1.2.2. 基变换与坐标变换
1.2.1. 基与维数、坐标
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间. 如果在 V
中任存何在一个n 向个量线性无都关可的以向由量1,1,2,2,,,n线n使性得表出V 中，
k11 k22 knn
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n 是线性空间 V 中的两组基， 那么对 V 中的任意向量 V ，有：
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
yn
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P
x1 y1
x2
的过渡矩阵.
解.
g0 f0
g1 f0 f1 g2 f0 f1 f2
g3 f0 f1 f2 f3
由此得
1.2_基与坐标、坐标变换
则称 1,2, 为向量 在基
,1,n为2 ,V 的,一n组下基的，坐标(k1.
, k2 ,, kn )
这时，就称
V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV n.
例1. 实数域 R 上的线性空间 R3 中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基，R3 是 3 维线性空间.
例2. 实数域 R 上的线性空间 R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
wenku.baidu.com
1 1
都是 R22 的基，R22 是 4 维线性空间.
进一步，求向量 坐标.
2!
(n1)!
注： (1) 基是线性空间的一个极大线性无关组， 线性空间中任一向量均可由其线性表出.
(2) 线性空间的维数就是基中元素的个数.
(3) 线性空间的基并不唯一，但是维数是唯一的.
(4) 根据维数，线性空间可以分为有限维线性空 间和无限维线性空间. 我们仅讨论有限维线性 空间. (5) 一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象， 不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别 及性质. 但坐标表示却把它们统一了起来，由 坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来! (6) 同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的.
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换例题
在线性代数中，基变换和坐标变换是非常重要的概念，它们在向量空间中的表
示和描述中起着至关重要的作用。这里将通过一些例题来详细解释和展示基变换和坐标变换的过程。
例题一
假设存在一个二维向量v，其坐标表示为(3, 4)，现有两个基底b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)。求向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
解答：
首先，我们需要确定向量v在基底b1和b2下的坐标表示。对于向量v(3, 4)，我们可以表示为v = 3 * b1 + 2 * b2。这是因为v = x * b1 + y * b2，其中x和y分别
是v在基底b1和b2下的坐标表示。
代入已知的b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)，我们可以得到： v = 3 * (1, 1) + 2 * (-1, 1) = (3, 3) + (-2, 2) = (1, 5)。
所以，向量v在基底b1和b2下的坐标表示分别为(1, 1)和(5, 1)。
例题二
现在考虑一个三维向量v = (2, 1, -3)，在标准基底下的坐标表示。此外，有一
个由向量a = (1, 1, 1)，b = (0, 1, 1)和c = (1, 2, 3)组成的基底B。求向量v在基底B
下的坐标表示。
解答：
首先，我们需要确定向量v在基底B下的坐标表示。同样地，我们可以表示v = x * a + y * b + z * c，其中x、y和z分别是v在基底B下的坐标表示。
代入已知的a、b和c，我们可以得到： v = 2 * (1, 1, 1) + 1 * (0, 1, 1) + (-3) * (1, 2, 3) = (2, 2, 2) + (0, 1, 1) + (-3, -6, -9) = (-1, -3, -6)。
基变换与坐标变换
1 1 0 1 1 0 1 1
初等源自文库变换
~
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 E 1 1 1 1
1
p 11 p 12 p1 n
p 21 p 22 p2n
pn1 1 pn2 2 p nn n
1 2 T P . n
3 2
( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( x , x , x ,1 ) B ,
3 2
其中
1 2 A 1 0
1 1 1 1
1 2 1 1
1 2 1 1 ,B 0 0 1 1
0 1 2 2
T
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
２．坐标变换公式
x1 x1' x2 x2' P , xn xn '
或
2
.
高等代数§6.4 基变换与坐标变换
1
0 0 0 1
故，由基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵为
a1n a2n a nn
1
x1 x2 xn
或
x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
x1 x2 xn
解：∵
1 0 0 1 1 0 ∴( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) 1 1 1
1 0 0 1 1 0 而， ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) 1 1 1
( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) B
则有，( 1 , 2 , , n ) (( 1 , 2 , , n ) A ) B
( 1 , 2 , , n ) A B
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1 , 2 , , n ;
( 1 , 2 , , n )( A B ) ；
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换是线性代数中的重要概念。下面是一个简单的例题，涉及基变换和坐标变换：
假设有两个坐标系，分别是标准基下的坐标系和非标准基下的坐标系。标准基下的坐标系的基向量为 {i, j}，非标准基下的坐标系的基向量为 {u, v}。已知非标准基下的坐标系中的一个向量的坐标为 (3, 4)，求其在标准基下的坐标。
解答：
首先，我们需要进行基变换，将非标准基向量表示为标准基向量的线性组合。假设向量 u 和v 可以表示为标准基向量的线性组合，即：
u = a * i + b * j
v = c * i + d * j
其中 a、b、c、d 是待求的系数。
然后，我们可以将非标准基下的坐标 (3, 4) 表示为非标准基向量的线性组合：
(3, 4) = x * u + y * v
将 u 和 v 的表达式代入上式，得到：
(3, 4) = (a * x + c * y) * i + (b * x + d * y) * j
由于等式两边的向量在同一个坐标系下，所以它们的坐标必须相等。比较系数，我们可以得到以下方程组：
a * x + c * y = 3
b * x + d * y = 4
解这个方程组，可以得到 a、b、c、d 的值。然后，将 a、b、c、d 的值代入 (3, 4) = x * u + y * v，就可以求得向量在标准基下的坐标。
请注意，这只是一个简单的例题，实际的基变换和坐标变换问题可能更加复杂。在实际应用中，可能需要考虑更多的维度和变量。
6.4 基变换与坐标变换
线性无关， 若α1 ,α 2 ,L ,α n 线性无关，则
a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 (α1 ,α 2 ,L ,α n ) = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) ⇔ = M M M M a b a b n n n n
(2)
证明： 证明： 因
线性无关, 由于 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性无关 故即有关系式 (2).Βιβλιοθήκη Baidu
′ x1 x1 ′ x2 x2 ′ ′ ′ (ε1 , ε 2 , L, ε n ) = ξ = (ε1 , ε 2 , L, ε n ) M M x x′ n n ′ x1 x′ 2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x′ n
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 基变换公式的矩阵形式是“形式的” 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下， 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 出毛病的 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 εj′ 在第一组ε 1 , ε 2 , … , ε n下的 坐标. 坐标
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1 (1,0,L ,0),2 (0,1,L ,0),L ,n (0,L ,0,1)
1 (1,1,L ,1),2 (0,1,L ,1),L ,n (0,L ,0,1)
并求向量 (a1, a2,L , an )在基 1,2,L ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2 L n
1 a111 a212 L an1n
2
L
n
L
a121
LL
a1n1
L
a222 L
LLLL
a2n2 L
L
an 2 n
LL
ann n
则记作
a11 a12 L
(1, 2 ,L
,n)
(1,2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
an1 an2 L
a1n
a2n L
ann
注：在形式书写法下有下列运算规律
2LnLL
2
L
L LL
n
L
n
1 0 L 0
∴
(1,2 ,L
,n )
(1, 2 ,L
,
n
)
1 L1
1 L 1
L L L
0
L 1
1 0 L 0 1
而，
(1, 2 ,L
,n)
(1,2,L
,n
)
1 L1
1 L 1
L L L
0
L 1
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
(1,2,L ,n ) 0 1 1 L 0
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
(1,2 ,L ,n )A (1,2 ,L ,n )B
(1,2 ,L ,n )( A B)；
(1,2 ,L ,n ) A (1, 2 ,L , n ) A
(1 1,2 2 ,L ,n n ) A ；
若1,2 ,L ,n 线性无关，则 (1,2 ,L ,n )A (1,2 ,L ,n )B A B
下的坐标分别为 ( x1, x2 ,L , xn ) 与 ( x1 , x2 ,L , xn ) ，
x1
x1
即，
(1, 2 ,L
,
n
)
x2 M
与
(1, 2 ,L
,
n
)
x2 M
xn
xn
x1 a11 a12 L a1n x1
则
x2 xMn
a21 L an1
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2,L ,n 为
V中的一组向量， V ，若
x11 x22 L xnn
则记作
x1
(1,2 ,L
,
n
)
x2 M
xn
2、V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2,L ,n ； 1, 2,L , n 为V中的两组向量，若
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 0 0 1
(1
,2
,3
,4
)
1 0 0
1 1 0
0 1 1
1
1 0
∴由基 1,2,3,4 到基1,2,3,4 的过渡矩阵为
1 0 0 1
1 1 0 1
0 0
1 0
1 1
1 0
练习：已知 P 22 的两组基：
1
0 1
，
2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有 (1,2,3,4 )
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
b1 a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
a2 M
b2 M
an
bn an bn
2) 1,2 ,L ,n；1, 2 ,L , n 为V中的两组向量，
矩阵 A, B P nn，则
((1,2 ,L ,n )A)B (1,2,L ,n )( AB)；
3）若由基1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n过渡矩阵为A, 由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n过渡矩阵为B，则 由基 1,2 ,L ,n到基 1, 2 ,L , n 过渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
( 1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )B 则有，( 1, 2 ,L , n ) ((1,2 ,L ,n ) A)B
AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，
任取V的一组基 1,2 ,L ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2,L , n
i 1
于是有， (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
由A可逆，有 (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n )A1
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L
②
an1 an2 L ann
则称矩阵
a11 a12 L
A
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a1n
a2n L ann
为由基1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
引入
我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线 性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V 中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的， 但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处 理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨 论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为 此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之 间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是 如何变化的.
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 为V的两组基,
且由基 1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
1)1,2 ,L ,n V ,a1,a2 ,L ,an ,b1,b2 ,L ,bn P
a1
b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
an
bn a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2
b2 M
若1,2 ,L ,n 线性无关，则
an bn
a1
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
L 0
L 0
LL 0L
L 1
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
(1,2 ,L ,n )AB
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1, 2 ,L , n;
1, 2 ,L , n 为V中的两组基，且
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L
⑤
an1 an2 L ann
设 V且ξ在基 1, 2 ,L , n与基 1, 2 ,L , n
即，1,2 ,L ,n也可由 1, 2 ,L , n 线性表出.
1,2 ,L
,n与1, 2 ,L
,
等价.
n
故 1, 2,L , n 线性无关，从而也为V的一组基. 并且A就是1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵. 2）若由基1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n过渡矩阵为A, 则由基1, 2 ,L , n到基1,2 ,L ,n过渡矩阵为A-1.
所以 在基 1,2 ,L ,n 下的坐标为
(a1,a2 a1,L ,an an1 )
例2 在P4中，求由基1,2,3,4 到基1,2,3,4
的过渡矩阵，其中
1 (1,2, 1,0) 2 (1, 1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
1 (2,1,0,1) 2 (0,1, 2, 2) 3 (2,1,1, 2) 4 (1,3,1, 2)
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1 11
5
4 2
1 1 0 0 3 8
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
解：
Q
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
E21
,
E22
)
0 0 0
0 0 0
1 0 0
1 1 0
0 11
5 4 2
1 2 2
即A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为(8,1, 2, 2).
作业
P274 ９.３) 10.
(a1,a2 ,L ,an )
设 在基 1,2 ,L ,n下的坐标为 ( x1, x2 ,L , xn )，则
x1 x2 xMn
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
0 0 1 L 0
L L L L L
0 0 0 L 1
a1 a2 aMn
a1 a2 a1
M an an1
二、基变换
1、定义
设V为数域P上n维线性空间，1, 2 ,L , n ； 1, 2 ,L , n 为V中的两组基，若
1
a11 1
a21 2
百度文库
L
an1 n
Ln2
L
a12 1
LL
a1n 1
L
a22 2 L
LLLL
a2n 2 L
L
an2 n
LL
ann n
①
即，
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L