§4 基变换与坐标变换
线性代数-基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
高等代数(二)(9287)自学考试大纲
高等代数（二）（9287）自学考试大纲一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。
它与解析几何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。
随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。
高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一），另一门就是本课程——高等代数（二）。
高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数的基本知识、基本理论、基本方法。
本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一）联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。
（二）基本要求学习本课程应达到的总体目标是：1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以及证明方法；2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。
通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。
（三）本课程与相关课程的联系本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。
高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。
向量空间、线性变换的内容和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏空间和二次型的学习。
二、课程内容与考核目标第一章向量空间（一）学习目的与要求1．理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。
2．理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中第三章的n维向量的联系。
–1–3．掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。
4．理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关系。
5．理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数公式并能应用维数公式证明问题。
基变换与坐标变换
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
基变换公式和坐标变换公式
基变换公式和坐标变换公式一、基变换公式基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。
假设有两组基底b1,…,bb和b1,…,bb，其中bb和bb是向量。
对于给定向量b，其在b1,…,bb和在b1,…,bb基底下的坐标分别为b和b。
基变换公式表达了坐标b和b之间的关系，即b=bb。
具体来说，对于给定的基变换矩阵b，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。
假设向量b在b1,…,bb基底下的坐标为向量b，我们可以通过矩阵乘法b=bb来获得向量b在b1,…,bb基底下的坐标b。
基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。
二、坐标变换公式坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。
假设有两个向量b1和b2，在同一组基底b1,…,bb下的坐标分别为b1和b2。
坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。
具体而言，对于给定的坐标变换矩阵b，我们可以通过b2=bb1来实现坐标之间的变换。
在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。
通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。
结论基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。
基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。
这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。
高等代数北大版64
,?
n
)
? ? ??
a2 an
? b2 M ? bn
? ? ??
若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
? a1 ?
? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaM2n ????
?
(?
1,?
2 ,L
,?
n
)
? ? ??
bbMn2 ????
?
? a1 ? ? b1 ?
? ? ??
aaMn2 ????
1)? 1,? 2 ,L ,? n ? V ,a1,a2,L , an , b1,b2,L , bn ? P
? a1 ?
? b1 ?
? a1 ? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
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n
)
? ? ??
aaMn2 ????
?
(?
1
,?
2
,L
,? n )????bbMn2 ???? ? (? 1,? 2,L
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
1.2_基与坐标、坐标变换
1 1 1 1
P 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 0 0 1
过渡矩阵的性质： (1) 过渡矩阵是可逆矩阵 (为什么)；
(2) 若 P 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡 矩阵，则 P -1 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡
矩阵.
下面考虑同一个向量在不同基 下的坐标有什么关系呢？
一组基.
由泰勒公式， R[x]n 中任意元素 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2! f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此，元素 f (x) 在这组基下的坐标是
( f (a), f '(a), f ''(a), , f (a)) (n1) .
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n 是线性空间 V 中的两组基， 那么对 V 中的任意向量 V ，有：
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
yn
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P
x1 y1
x2
都是 R3 的基，R3 是 3 维线性空间.
例2. 实数域 R 上的线性空间 R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0与Fra bibliotek量组1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
都是 R22 的基，R22 是 4 维线性空间.
第四节基变换与坐标变换.
1 (1,1,1), 2 (1,2,3), 3 (2,0,1)
试求基1, 2 ,3 到基 1, 2 , 3 的过渡矩阵。
例 3 已知1 1， 2 x ， 3 x 2 是 P[x]3 的一个基，试求向量 3 x x2
在另一个基 1
1
x
， 2
1
1 2
x， 3
1
1 2
x
1 3
x2 下的坐标。
( 1, 2 ,, n ) = (1, 2 ,, n )B 则
( 1, 2 ,, n ) = (1, 2 ,, n ) AB
命题 4 设基 1, 2 ,, n 到基 1, 2 ,, n 的过渡矩阵为 A (aij )nn ， 则基 1, 2 ,, n 到基1, 2 ,, n 的过渡矩阵为 A1 。
a1n a2n
an1 an2 ann
则矩阵
A
(aij
)
nn
称为基
1
,
2
,,
n
到基
' 1
,
' 2
,,
' n
的过渡矩阵。
命题
1
过渡矩阵
A
(aij
) nn
的第
j
列元素为
' j
在基 1, 2 ,, n
下的坐标；
命题 2 基 1, 2 ,, n 到基 1, 2 ,, n 的过渡矩阵为 En ；
X AY 或Y A1 X
（﹡）
（﹡）式称为坐标变换公式。
例 1 求 P3 的基1 (1,1,1), 2 (0,1,1),3 (0,0,1) 到标准基 1, 2 , 3 的过渡矩阵，并求向量 (3,1,4) 在基1, 2 ,3 下的坐标。
高等代数6.2 线性空间的定义与简单性质
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
g
b a
k a ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1
log22
1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
k1, k2 P, k1 k2 , 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
作业
P273 习题3：5）6）7）
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
引例1 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
( ) 0
3.基和向量在基下的坐标
A1B 1 1 3 1 2 0 13 42 1.
2 1 1 1 3 1 2 7 0
13
例
已
知R
4中
的
基1
,
上两式称为坐标变换公式. 且可证过渡矩阵A可逆.
定理4.1 设Rn中的基α 1 , α 2 , ..., α n 到基β 1 , β 2 , ..., β n
的过渡矩阵为A，则A是可逆矩阵，如果向量α在这两组基
下的坐标分别为(x 1 , x 2 , ..., x n )和(y 1 , y 2 , ..., y n ), 则
2 1 1
12
(1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 )B，其中
1 1 2 B 1 2 0,
1 3 1
(1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 )B ((1 ,2 ,3 ) A1 )B (1 ,2 ,3 ) A1B,
所以基1
,
2
,
3到基
1
,
2
,
的过渡矩阵为
3
3 1 2 11 1 2 6 19 1
an1 an2 ann
5
则A称为由基α 1 , α 2 , ..., α n 到基β 1 , β 2 , ..., β n的过渡矩阵. 注 意过渡矩阵A的第i列为基向量β i在基α 1 , α 2 , ..., α n 下的坐标. 利用矩阵乘法，两组基的关系可以表示为
( β 1 , β 2 , ..., β n )=(α 1 , α 2 , ..., α n ) A 称为基变换公式.
R3的一个基，那么
2
1
1 1
3 (1) 0 (4) 1 71 1 42 73
7
0
0 1
第六章线性空间(LinearSpace)
第六章线性空间(Linear Space)引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广。
我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论。
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论，可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Îa M表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用a MÏ表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}=.M a a|具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作j .如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即a M Î当且仅当a N Î，那么它们就称为相等，记为M N =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由a M Î可以推出a N Î，那么M 就称为N 的子集合，记为M N Ì或N M É.两个集合M 和N 如果同时满足M N Ì和N M Ì.，则M 和N 相等.设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N的交，记为M N I .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为M N U .二、映射设M 和M ¢是两个集合，所谓集合M 到集合M ¢的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M ¢中一个确定的元素a ¢与之对应.如果映射s 使元素a M ⅱÎ与元素a M Î对应，那么就记为()a a s ¢=,a ¢就为a 在映射s 下的像，而a 称为a ¢在映射s 下的一个原像.M到M 自身的映射，有时也称为M 到自身的变换.关于M 到M ¢的映射s 应注意： 1）M 与M ¢可以相同，也可以不同；2）对于M 中每个元素a ，需要有M ¢中一个唯一确定的元素a ¢与它对应； 3）一般，M ¢中元素不一定都是M 中元素的像； 4）M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M 到集合M ¢的两个映射s 及t ，若对M 的每个元素a 都有()()a a s t =则称它们相等，记作s t =..例1 M 是全体整数的集合，M ¢是全体偶数的集合，定义()2,n n n Ms =?,这是M 到M ¢的一个映射.例2 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义1()||,A A A M s =?.这是M 到P 的一个映射.例3 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义2(),a aE a P s =?.E是n 级单位矩阵，这是P 到M 的一个映射. 例4 对于()[]f x P x Î,定义(())()f x f x s ¢=这是[]P x 到自身的一个映射.例5 设M ，M ¢是两个非空的集合，0a 是M ¢中一个固定的元素，定义0(),a a a M s =?.这是M 到M ¢的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义(),a a a M s =?.即s 把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为1M .例7 任意一个定义在全体实数上的函数()y f x =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设s 及t 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的映射，乘积t s 定义为()()(()),a a a Mt s t s =?,即相继施行s 和t 的结果，t s 是M 到M ⅱ的一个映射.对于集合M 到M ¢的任何一个映射s 显然都有11M M s s s¢==.映射的乘法适合结合律.设,,s t y 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ，M ⅱ到M ⅱ?的映射，映射乘法的结合律就是()()y t s y t s =.设s 是集合M 到M ¢的一个映射，用()M s代表M 在映射s 下像的全体，称为M 在映射s 下的像集合.显然()M M s ¢Ì.如果()M M s ¢=，映射s 称为映上的或满射.如果在映射s 下，M 中不同元素的像也一定不同，即由12a a ¹一定有12()()a a s s ¹,那么映射s就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M ¢的双射s 可以自然地定义它的逆映射，记为1s -.因为s 为满射，所以M ¢中每个元素都有原像，又因为s 是单射，所以每个元素只有一个原像，定义当1(),()a a a a s s -ⅱ==.显然，1s -是M ¢到M 的一个双射，并且111,1M M s s s s --¢==.不难证明，如果,s t 分别是M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的双射，那么乘积t s 就是M 到M ⅱ的一个双射.§2 线性空间(Linear Space )的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上m n ´矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法addition ；这就是说给出了一个法则，对于V 中任意两个元素a 与b ,在V 中都有唯一的一个元素g 与它们对应,称为a 与b 的和sum ,记为g a b =+.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法scalar multiplication ；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素a ,在V 中都有唯一的一个元素d 与它们对应,称为k 与a 的数量乘积scalar multiple ,记为k d a=.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) a b b a +=+；Commutative law2) ()()a b g a b g ++=++；Associative law3) 在V 中有一个元素0,V a "?,都有0a a +=（具有这个性质的元素0称为V的零元素a zero vector ）； 4) ,,0V V sta b ab "??=(b称为a 的负元素additive inverse ).数量乘法满足下面两条规则： 5) 1a a =; 6) ()()k l kl a a =;数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ()k l k l a a a +=+; 8) ）(;k k k a b a b +=+在以上规则中，,k l 等表示数域P 中任意数；,,a b g 等表示集合V 中任意元素. 注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算(linear operation)．2．线性空间的元素也称为向量(vector )，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间也称为向量空间(vector space )．但这里的向量不一定是有序数组．以下用黑体的小写希腊字母,,,a b g L代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,,,a b c L代表数域P中的数.3.由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法。
基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 两个基 , 且有
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
２．坐标变换公式
x1 x1' x2 x2' P , xn xn '
或
用初等变换计算
B
1
A.
B
2 1 A 0 1 1 0 0 0
0 1 2 2 0 1 0 0
2 1 1 2 0 0 1 01 1 0 1
1 1 1 1
1 2 1 1 1 0 0 1
3 2
k1 k2 k3 k4 0
故 x , x x , x 1 , x 1 线性无关
3
, 是 P [ x ] 3 的一个基
.
又令 a 1 x a 2 ( x x ) a 3 ( x 1) a 4 ( x 1)
3 3 2
x 2 x 3,
x1 ' x2' xn '
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
1 , 2 , , n x1 x2 1 , 2 , , n P xn x1' x2' . xn '
高等代数【北大版】6.7
∴
故 V = L(ε ) ⊕ L(ε ) ⊕ ⊕ L(ε ). 1 2 n
§6.7 子空间的直和
∑ dim L(ε i ) = n = dimV i =1
s
得证. 得证.
2,已知 A ∈ P n×n,设 例 ,
V1 = AX X ∈ P n ,
V2 = X X ∈ P n , AX = 0
dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2
证:由维数公式
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )
有, dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2
dim(V1 ∩ V2 ) = 0
V1 ∩ V2 = {0} V1 + V2 是直和 (由2,得之) 是直和. ,得之)
第六章 线性空间
§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.7 子空间的直和
一,直和的定义 二,直和的判定 三,多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
§6.7 子空间的直和
从而有
dim(V1 + V2 ) = r + s = dimV1 + dimV2 ∴ V1 + V2 是直和. 是直和.
反之, 直和, 反之,若 V1 + V2 直和,则
dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 = r + s
的秩为r+ 从而 ε 1 , ε 2 , , ε r ,η1 ,η2 , ,η s 的秩为 +s . 线性无关. 所以 ε 1 , ε 2 , , ε r ,η1 ,η2 , ,η s 线性无关
高等代数课件(北大版)第六章线性空间§.ppt
1 2 3
3
一般地，向量空间
1
n P { ( a , a , , a ) a P ,1 i , 2 , , n } 为n维的， 1 2 n i
( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , , 0 ) , , ( 0 , , 0 , 1 ) 2 n
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
,2 , ,r , V （ 2） 1 ，若存在
使
1 12 2
可经向量组
r r
则称向量
kk k
数学与计算科学学院
k , k , , k P 1 2 r
, , , 1 2 r线性表出；
24.03.2019
,2 , , 1 s 中每一向量皆可经向量组 , , , ,2 , , 线性表出，则称向量组 1 2 r 1 s
矩阵构成的线性空间 一般地，数域P上的全体 mn
P
维的， 为 mn 0 0 1 E ij 0 0
mn
第 j列
0 第 i 行 i 1 ,2, ,m j 1 ,2, ,n mn 就是 的一组基． P 0
m n
矩阵单位
m n Aa (i ) P ,有 A a E j i j i j
24.03.2019
数学与计算科学学院
, , , 1 2 r 线性表出，且表法是唯一的．
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn－1
《高等代数(二)》教学大纲
理论课程（含课内实验）教学大纲高等代数（二）课程教学大纲课程编号：总学时：64理论学时：64实验（上机）学时：0学分：4适用专业：信息与计算科学一、课程的性质与任务《高等代数》是信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。
讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。
通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。
本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、二次型、λ—矩阵）及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。
三、课程的基本教学内容及要求（一）第五章二次型（共12学时）1.教学内容（1）二次型及其矩阵表示（2）标准型（3）唯一性（4）正定二次型2.重点与难点重点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。
难点：复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件。
3.课程教学要求（1）正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系。
高等代数第三节 基
加法封闭
(km lm )αm V
(2)对αV ,k R
数乘封闭
kα (kk1)α1 (kk2)α2 (kkm )αm V
V 是向量空间。
2. 向量组生成的向量空间
定义 V x k1α1 k2α2 kmαm | k j R, j 1,2, , m
称为由α1, α2, , αm生成的向量空间,记为L(α1, α2, , αm ) 或span(α1, α2, , αm ).
证毕
2. 基的性质
4. V 可由基α1, α2, , αr所生成，即
V L(α1, α2, , αr ).
证明
α1, α2, , αr是V的基，
αV , 数l1,l2, ,lr ,使
α l1α1 l2α2 lrαr ,
α L(α1, α2, , αr ) V L(α1, α2,
, αr ).
α1, α2决定的平面.
z
z
L
α
y
y
x x
(3)设αR3且α 0, Lα为过原点O,方向为α的直线.
(4) R3 Lε1, ε2, ε3 .
3. 子空间
定义 对两(1)个Vn1维V向2,量集合V1与V2 , 若
(2) V1,V2都是向量空间，
例则称 4 (V11)是设Vm2的n子, α空i 间R（n. i 1,2, , m）,则
秩r1 秩r2, 即dimV1 dimV2.
证毕
2. 基的性质
7. F n中任意n个线性无关的向量1，2 n组成一组基；
8. Fn中的向量组S是基 S=｛1，2 n｝由n个 线性无关的向量组成.
9. n维向量空间V中的任意线性无关子集S可以扩充 为V的基.
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解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 为V的两组基,
且由基 1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
(1,2 ,L ,n )AB
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1, 2 ,L , n;
1, 2 ,L , n 为V中的两组基，且
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L⑤Βιβλιοθήκη an1 an2 L ann
设 V且ξ在基 1, 2 ,L , n与基 1, 2 ,L , n
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1 11
5
4 2
1 1 0 0 3 8
0 0 0
1 0 0
1 1 0
0 11
5 4 2
1 2 2
即A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为(8,1, 2, 2).
作业
P274 ９.３) 10.
AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，
任取V的一组基 1,2 ,L ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2,L , n
i 1
于是有， (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
由A可逆，有 (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n )A1
1
0 1
，
2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有 (1,2,3,4 )
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L
②
an1 an2 L ann
则称矩阵
a11 a12 L
A
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a1n
a2n L ann
为由基1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n
(a1,a2 ,L ,an )
设 在基 1,2 ,L ,n下的坐标为 ( x1, x2 ,L , xn )，则
x1 x2 xMn
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
0 0 1 L 0
L L L L L
0 0 0 L 1
a1 a2 aMn
a1 a2 a1
M an an1
所以 在基 1,2 ,L ,n 下的坐标为
(a1,a2 a1,L ,an an1 )
例2 在P4中，求由基1,2,3,4 到基1,2,3,4
的过渡矩阵，其中
1 (1,2, 1,0) 2 (1, 1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
1 (2,1,0,1) 2 (0,1, 2, 2) 3 (2,1,1, 2) 4 (1,3,1, 2)
二、基变换
1、定义
设V为数域P上n维线性空间，1, 2 ,L , n ； 1, 2 ,L , n 为V中的两组基，若
1
a11 1
a21 2
L
an1 n
Ln2
L
a12 1
LL
a1n 1
L
a22 2 L
LLLL
a2n 2 L
L
an2 n
LL
ann n
①
即，
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
解：
Q
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
E21
,
E22
)
0 0 0
L 0
L 0
LL 0L
L 1
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
3）若由基1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n过渡矩阵为A, 由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n过渡矩阵为B，则 由基 1,2 ,L ,n到基 1, 2 ,L , n 过渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
( 1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )B 则有，( 1, 2 ,L , n ) ((1,2 ,L ,n ) A)B
b1 a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
a2 M
b2 M
an
bn an bn
2) 1,2 ,L ,n；1, 2 ,L , n 为V中的两组向量，
矩阵 A, B P nn，则
((1,2 ,L ,n )A)B (1,2,L ,n )( AB)；
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 0 0 1
(1
,2
,3
,4
)
1 0 0
1 1 0
0 1 1
1
1 0
∴由基 1,2,3,4 到基1,2,3,4 的过渡矩阵为
1 0 0 1
1 1 0 1
0 0
1 0
1 1
1 0
练习：已知 P 22 的两组基：
1)1,2 ,L ,n V ,a1,a2 ,L ,an ,b1,b2 ,L ,bn P
a1
b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
an
bn a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2
b2 M
若1,2 ,L ,n 线性无关，则
an bn
a1
1 a111 a212 L an1n
2
L
n