1-1线性空间与线性变换

而任意一个有理数可表成两个整数的商，
∴ Q ⊆ P.
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§1.2 线 性 空 间
一,线性空间的定义和举例 定义1 设V是一个非空集合， 为一数域．如果对于 F 任意两个元素 x, y ∈V ，总有唯一的一个元素 z 与之 对应，称为 x 与 y 的和，记作 z = x + y 若对于任一数 λ ∈F 与任一元素 x ∈ V ，总有唯 一的一个元素 ω ∈ V 与之对应，称为 λ 与 x 的积， 记作 ω
∴ R m × n 是一个线性空间 .
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例2 数域 F 上次数小于 n 的多项式的全体 ,
记作 P [ x ]n , 即 : P [ x ] = {a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + 构成向量空间 . + a1 x + a 0 a i ∈ F }
一般线性空间的判定方法 （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性． 例1 实数域上的全体 m × n 矩阵，对矩阵的加法 R m ×n ． 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作
∵ Am×n + Bm×n = C m×n , λAm×n = Dm×n ,
则有
x ± y = (a ± c ) + (b ± d ) 2 ∈ Q( 2), x ⋅ y = (ac + 2bd ) + (ad + bc ) 2 ∈ Q( 2)
设 a + b 2 ≠ 0,
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于是 a − b 2 也不为0．
（否则，若 a − b 2 = 0, 则 a = b 2, a = 2 ∈ Q, 于是有 b 或 a = 0, b = 0 ⇒ a + b 2 = 0. 矛盾）
∀k1 , k2 ∈ P , k1 ≠ k2 , 有 k1α , k2α ∈ V
又 k1α－k2α = ( k1 − k2 )α ≠ 0 ∴ k1α ≠ k2α .
而数域F中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量. 注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
λ
(λα ) = ⋅ 0 = 0.
λ
1
1
λ
(λα ) = ⋅ λ ⋅ α = α .
λ
∴ α = 0.
同理可证：若 α ≠ 0 则有 λ = 0.
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练习：
证明：数域F 上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量 证：设 α ∈ V , 且α ≠ 0
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说明：
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F 为一个数域．
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(8) λ (a ⊕ b ) = λ (ab ) = (ab ) = a λ b λ
λ
= a λ ⊕ b λ = λ a ⊕ λ b.
所以 R + 对所定义的运算构成线性空间．
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例6. n 个有序实数组成的数组的全体
S = ⎧x = (x ,x , ⎨ 1 2 ⎩
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说明
1. 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算． 2 . 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不 满足八条性质的任一条，则此集合就不能 构成线性空间．
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= λx
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 那么 V 就称为数域 F 上的线性空间．记为: V (F )
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八条运算规律: 设x, y, z∈V ;λ , μ∈F
(1) x + y = y + x; ( 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z );
, an ∈ F }
不是线性空间
例4 正弦函数的集合
S [ x ] = {s = A sin( x + B ) A, B ∈ R}. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． ∵ s1 + s2 = A1 sin( x + B1 ) + A2 sin( x + B2 )
= (a1 cos x + b1 sin x ) + (a2 cos x + b2 sin x )
a ⊕ a − 1 = a ⋅ a − 1 = 1;
( 5 ) 1 a = a 1 = a;
( 6) λ
(μ a ) = λ a = (a
μ
μ λ
)
= a λμ = (λμ ) a;
(7) ( λ ⊕ μ ) a = a λ + μ = a λ a μ = a λ ⊕ a μ = λ a ⊕ μ a;
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§1.1
数 域
一,数域的定义 设F 是至少包含两个数的数集，如果F 中 定义： 任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是 F中的数，则称F为一个数域． 常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
例1．证明：数集 是一个数域．
Q( 2 ) = a + b 2 | a,b ∈ Q
{
}
∵ 证： 0 = 0 + 0 2, 1 = 1 + 0 2, ∴ 0,1 ∈ Q( 2)
又对 ∀x , y ∈ Q( 2), 设 x = a + b 2, y = c + d 2,
a , b, c , d ∈ Q ,
⇒ 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02.
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2．负元素是唯一的． 证明 假设 α 有两个负元素 β 与 γ ，那么
α + β = 0 , α + γ = 0.
则有 β = β + 0 = β + (α + γ ) = (β + α ) + γ
= 0+γ =γ.
向量 α 的负元素记为 − α .
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3. 0α = 0;
(− 1)α = −α ; λ 0 = 0.
证明 ∵α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0 )α = 1α = α ,
∴ 0α = 0.
∵α + (− 1)α = 1α + (− 1)α = [1 + (− 1)]α = 0α = 0,
第 一 章
线性空间与线性映射
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教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示, 了解线性空间同构的含义. 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与 坐标变换. 难点: 基变换与坐标变换
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{
}
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即:有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知，
0 ∈ P， 1 ∈ P . 于是有 ∀m ∈ Z + , m = 1 + 1 +
+
+ 1∈ P
m m m ∈ P, − = 0 − ∈ P. 进而有 ∀m , n ∈ Z , n n n
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二,线性空间的性质
1．零元素是唯一的． 证明: 假设 01 ,02 是线性空间V中的两个零元素， 有 则对任何 α ∈ V ， α + 01 = α , α + 02 = α . 由于 01 ,02 ∈ V , 所以 02 + 01 = 02 ,01 + 02 = 01.
对于通常的多项式加法 , 数乘 , 多项式的乘法
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． 例3 数域F上n次的多项式的全体 , 记作Q[ x ]n ,即 :
Q[ x ] = {a n x n +
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+ a1 x + a0 a0 , a1 ,
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线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论 的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 在解析几何和线性代数中，我们已经学习过平 面与空间的向量，线性空间是解析几何中向量概念 的抽象化。 在线性代数中，学习过向量的线性相关性，现 在我们应用它来研究线性空间。
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 x ∈ V , 都有x + 0 = x ;
(4)对任何x ∈ V , 都有x的负元素y ∈ V , 使x + y = 0 ; (6) λ (μx ) = (λμ ) x ; (5) 1 x = x ;
(7 )(λ + μ ) x = λ x + μx ;
(8)λ ( x + y ) = λx + λy .
( 2)(a ⊕ b ) ⊕ c = (ab ) ⊕ c = (ab )c = a ⊕ (b ⊕ c );
( 3Baidu Nhomakorabea R +中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R + , 有
a ⊕ 1 = a ⋅ 1 = a;
(4) ∀a ∈ R + , 有负元素 a −1 ∈ R + , 使
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c + d 2 (c + d 2)(a − b 2) = a + b 2 (a + b 2)(a − b 2) ac − 2bd ad − bc = 2 + 2 2 ∈ Q. 2 2 a − 2b a − 2b Gauss数域 ∴ Q ( 2)为数域．
类似可证 Q ( i ) = a + bi a , b ∈ Q , i = −1 是数域.
n
,x )
n
T
x1 , x 2 ,
, xn ∈ R⎫ ⎬ ⎭
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
λ ( x1 , , xn ) = (0,
T
,0 ) 不构成线性空间．
解答: S n 对运算封闭.
但1 x = O , 不满足第五条运算规律 .
由于所定义的运算不是 线性运算 , 所以 S n不是 线性空间 .
(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足 八条线性运算规律． 例5. 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为
a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ).
验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
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∴ (− 1)α = −α .
λ 0 = λ [α + (− 1)α ] = λα + (− λ )α
= [λ + (− λ )]α = 0α
= 0.
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4．如果 λα = 0，则 λ = 0 或 证明 假设 λ ≠ 0 , 那么 又
1 1
. α =0
= (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x
= A sin( x + B )∈ S [ x ].
λs1 = λA1 sin( x + B1 ) = (λA1 )sin( x + B1 ) ∈ S [ x ]
∴ S [ x ] 是一个线性空间.
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证明:
∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ; ∀λ ∈ R , a ∈ R + , ⇒ λ a = a λ ∈ R + .
所以对定义的加法与乘数运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a;