第六章 线性空间与线性变换

,

下的矩阵
n
例 在P[ x]3中，取基 p1 x3 , p2 x2 , p3 x, p4 1, 求微分运算D的矩阵
定理 设线性空间Vn中确定两个基
1 ,2 ,L
,
；
n
1 , 2 ,L
,

，
n
有基1 ,2 ,L ,n到基1 , 2 ,L , n的过渡矩阵为P,
（1） 任意 1，2 Vn，有T (1 2 ) T1 T2 (2) 任意 Vn，k R，有T (k ) kT
则称T为从Vn到Vm的线性变换，若Vn Vm，则称 T 是Vn上的线性变换
例 在线性空间P[ x]3中， （1）微分运算D是一个线性变换；
线性变换的性质：
1) 2) ( ) ( ) 3) 0 V , V ,有 0 (零元) 4) V , V ,使 0 （负元） 5)1 , 6)k,l ,有k(l ) (kl) 7)(k l) k l 8)k( ) k k
验证R 对上述加法与数乘运算构成线性空间
性质1 零元是唯一的 性质2 负元是唯一的
性质3 0＝0； (1) ; 0 0 性质4 如果＝0，则＝0或＝0
定义4 （子空间） 线性空间V的一个非空子集L称为V的子空间， 如果L关于V的加法和数乘是封闭的
§2 维数 基 坐标
第六章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的定义与性质
定义1 （线性空间） 设V 是一个非空集合，R是实数域，在V中有定义了
两种封闭的运算，一个是加法，即 , V ,有 V , 另一个是数乘，即k R, V ,有k V ,如果对于这
两种运算还满足下述规则，则称V 为线性空间，
§3 基变换与坐标变换
基变换公式 过渡矩阵 坐标变换公式
例 在P[ x]3中取两个基
1 x3 2x2 x 2 x3 x2 x 1 3 x3 2x2 x 1 4 x3 x2 1
及其
1 2x3 x2 1 2 x2 2x 2 3 2x3 x2 x 2 4 x3 3x2 x 2
求坐标变换公式
§4 线性变换
定义 设有两个非空集合A、B，如果对于A中任
一元素，按照一定规则，总有B一个确定的元素
和它对应，那么这个对应规则称为从集合A到集合B 的变换（映射），记为
T
定义 设Vn、Vm分别是实数域上的n维和m维线性 空间，T 是从Vn到Vm的变换，如果变换T满足
4 线性变换T的象集T (Vn )是线性空间Vn的子空间， 称为线性变换T的象空间
5 称 ST { | Vn ,T 0}为线性变换的核，它
是Vn的子空间
例 设矩阵
a11 a12 L
A


a21 M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n
a2n

M

(1 ,2 ,L
那么向量可以表示为1,2 ,L
,

的线性组合，
n
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x x11 x22 L xnn ,
称系数x1, x2 ,L
, xn为向量在基1,2 ,L
,

下
n
的坐标
例 在线性空间P[ x]4中， p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 是它的一个基；
,n )
ann
定义:x Rn T ( x) Ax,
则T 为线性变换
§5 线性变换的矩阵表示
定义 设T 是线性空间Vn的线性变换，1 ,2 ,L ,n
是基，有
T (1 ,2 ,L ,n ) (1 ,2 ,L ,n ) A,
称矩阵A为线性变换T 在基1 ,2 ,L
例2 所有次数不超过n的多项式的全体，在加上 零多项式记为P[ x]n ，对于多项式的加法、数乘 构成线性空间
例5 所有n次多项式不构成线性空间
例3 数域P上所有m n矩阵，按矩阵的加法 和数乘运算，构成线性空间
例 正实数的全体，记作R , 在其中定义加法及数乘 运算为
a b ab oa a
1 T 0 0,T ( ) T ( ) 2 若 k11 k22 L kmm , 则
T k1T (1 ) k2T (2 ) L kmT (m ) 3 若1，2，L ，m线性相关，则 T (1 )，T (2 )，L ，T (m )也线性相关
Vn中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为
A和B，那么有 B P 1 AP
定义 在线性空间V中，如果存在n个元素
1 ,2 ,L ,n满足：
（1）
1 ,2 ,L
,

线性无关；
n
（2）
V中任一元素总可以有1 ,2 ,L
,
线性表示，
n
那么称1 ,2 ,L ,n为线性空间V的一个基，n称为
线性空间V 的维数。
定义3 （坐标）
设向量1,2 ,L ,n为线性空间V的一组基，