数学建模之库存模型

f(x,y)的鞍点， 在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内 的鞍点， 的鞍点 即 以点 为中心的每一个开圆盘内 既存在点(x,y)使得 f(x,y)> f(a,b)，又存在点(x,y)使得 既存在点 使得 ，又存在点 使得 f(x,y)< f(a,b)； ； 2 如果在 如果在点(a,b)处有 f xx f yy − f xy = 0 ，则需要另想办 处有 处的局部性质. 法判断 f(x,y)在点(a,b)处的局部性质 在 处的局部性质
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.5 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 在定义域内存在连 续一阶偏导数， X 0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 续一阶偏导数， 点 定义域的内点 在点 极值， 在点 X 0 处取得极值，则 f(X)在点 X 0 处有 ∇f ( X 0 ) = 0 . 定理 7.1.6 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 在定义域内存在连 阶偏导数， 定义域的内点. 续二阶偏导数， X 0 是定义域的内点 如果 f(X)在点 点 在
H = f x1x1 f x1x2 M f x1xn f x1x2 f x2 x2 M f x2 xn L L O L f x1xn f x2 xn M f xn xn
其中 f x x i j
∂ 2 f (i, j = 1, 2,L , n) （H 又记作 ∇ 2 f ）. = ∂xi ∂x j
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.3（必要条件） 设 f(x,y)在定义域内存 （必要条件） 在定义域内存 在连续一阶偏导数， (a,b)是定义域的内点 如果 f(x,y) 在连续一阶偏导数， 是定义域的内点. 在点(a,b)处取得极值，则在点(a,b)处有 f x = f y = 0 . 处取得极值， 处有 定理 7.1.4（充分条件） 设函数 f(x,y)在定义域 （充分条件） 在定义域 内存在连续二阶偏导数， 内存在连续二阶偏导数，点(a,b)是定义域的内点 是定义域的内点. （i） ） 如果 f(x,y)在点(a,b)处有 f x = f y = 0 ，f xx > 0 且 在 处有
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述： 改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述： 定义 7.1.1 设 f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数 在 处存在一 处的梯度. 则 在 处的梯度 f x 和 f y ， ∇f = ( f x , f y ) 称为 f(x,y)在点(a,b)处的梯度 定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续 在定义域内存在连续 二阶偏导数， 二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b) 是定义域的内点， 在 f xx f xy 处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵 H = f xy f yy 在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 ∇ 2 f ）. 处的黑塞矩阵 称为 f(x,y)在点 在点 处的黑塞矩阵（
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义 来设计，有些库存系统是周期盘点的， 来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的， 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库 存量下降到某个水平（称为订货点） 就发出新订单. ，就发出新订单 存量下降到某个水平（称为订货点） 就发出新订单 ，
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货 ） 有时候订货量超过某个数量，价格可以更低， 量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这 也是订多少货要考虑的因素之一； 也是订多少货要考虑的因素之一； 2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用， （2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用， 与订货量无关； 与订货量无关； （3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括 ）存货费用指维持库存所需要的费用， 资金利息、存储费、维护费和管理费； 资金利息、存储费、维护费和管理费； （4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费 ） 包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失. 用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失
(
)
其中
f xk = ∂f ∂xk (k = 1, 2,L , n)
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.4 设 n 元函数 f(X)在所考虑的定义域 在所考虑的定义域 内存在连续二阶偏导数， 内存在连续二阶偏导数，则 f(X)的黑塞矩阵记作 的黑塞矩阵记作
第7章
最优化模型
7.1节 7.1节
库存模型
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
对于不附带约束条件的函数极值问题， 对于不附带约束条件的函数极值问题，如果函数 函数极值问题 是可导的， 可以根据可导函数极值的必要条件和充 是可导的，既可以根据可导函数极值的必要条件和充 分条件直接用微分法求精确解， 直接用微分法求精确解 分条件直接用微分法求精确解，又可以采用数值计算 方法求数值解； 方法求数值解；有一些问题可以用初等代数方法求精 确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值， 确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值，可 以利用均值不等式求某些初等函数的极值； 以利用均值不等式求某些初等函数的极值；还有一些 问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较. 问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
当中， 在定理 7.1.3 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的 在 处取得极值的 必要条件可以改写为“ 必要条件可以改写为“ ∇f = 0 ” ； 当中， f(x,y)在点(a,b)处取得极小 大） 在定理 7.1.4 当中， 在 处取得极小 （ 值的充分条件可以改写为 ∇f = 0 且 ∇ 2 f 正 负） ” “ （ 定 . 从一元函数 f(x)推广到二元函数 f(x,y)， 推广到二元函数 ， 要用 f(x,y) 的一阶导数， 的黑塞矩阵 的梯度向量代替 f(x)的一阶导数， f(x,y)的黑塞矩阵 的一阶导数 用 的黑塞 及其正（ 的二阶导数及其正（ 及其正（负）定性质代替 f(x)的二阶导数及其正（负） 的二阶导数及其正 事实上，这一规律可以推广到多元函数 多元函数. 号. 事实上，这一规律可以推广到多元函数
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的复杂性取决于需求率（ 库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对 货物的需求量） 在实际情况中， ，在实际情况中 货物的需求量） 在实际情况中，库存模型的需求模 ， 式可以分为三 式可以分为三类： 1） 确定性的， （1） 确定性的， 静态 需求率是与时间无关的常数） （需求率是与时间无关的常数） ； 确定性的， （2） ） 确定性的， 动态 需求率是时间的确定性函数） （需求率是时间的确定性函数） ； （3）随机性的（需求率是时间的随机变量）. ）随机性的（需求率是时间的随机变量） 在以上三 类模式中， 在以上 三 类模式中 ， 从建立库存模型的角度来 看，第（1）类最简单，第（3）类最复杂；但是在实 ）类最简单， ）类最复杂； 际情况下， 际情况下，第（1）类最少发生，第（3）类最普遍 ）类最少发生， ）类最普遍.
X 0 处有 ∇f ( X 0 ) = 0 且 ∇ 2 f ( X 0 ) 正 （ 负 ） 定 ， 则 f(X) 在点 X 0 处取得极小（大）值. 极小（
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存（ 库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生 ） 产经营正常进行而必需的库存水平. 产经营正常进行而必需的库存水平 库存模型需要回答两个问题：订多少货？ 库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时 候订货？库存模型回答这些问题的依据， 候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个 时段内的库存总费用最小. 时段内的库存总费用最小 库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用 = 购买费用 + 固定费用 + 存货费用 + 缺货损失
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： 通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： （1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少 ）增加每次的订货量， 订货次数，从而减少固定费用， 订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优 使总购买费用下降，但是会增加库存量， 惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增 加存货费用. 库存模型要在这些费用之间进行平衡. 加存货费用 库存模型要在这些费用之间进行平衡 （2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付 ）库存过剩，会造成资金占用， 额外的存货费用， 额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩 罚费用. 罚费用 库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行 平衡. 平衡
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
注 7.1.2 设函数 f(x,y)满足定理 7.1.4 的前提条 满足定理 并且在 件，并且在点(a,b)处有 f x = f y = 0 . 处有
2 如果在点(a,b)处有 f xx f yy − f xy < 0 ，则点(a,b)称为 如果在 处有 称为
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.3 设 n 元函数 f(X) ( X = ( x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn ) ) 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数，则 f(X)的梯度 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数， 的梯度 为
∇f = f x1 , f x2 ,L , f xn
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
1.Βιβλιοθήκη Baidu一元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.1（必要条件） 设函数 f(x)在点 x=a （必要条件） 在 处可导 取得极值， 处可导. 如果 f(x)在 x=a 处取得极值，则 f ′(a ) = 0 . 在 定理 7.1.2（充分条件） 设函数 f(x)在点 x=a （充分条件） 在 处具有二阶导 处具有二阶导数. 如果 f ′(a ) = 0 且 f ′′(a ) > 0 ，则 f(x) 在 x=a 处取得极小值；如果 f ′(a ) = 0 且 f ′′(a ) < 0 ，则 取得极小 f(x)在 x=a 处取得极小值. 取得极小 在 注 7.1.1 如果函数 f(x)满足定理 7.1.2 的前提条 如果函数 满足定理 件，并且 f(x)在点 x=a 处有 f ′(a ) = f ′′(a ) = 0 ，则需要 在 的局部性质. 另想办法判断 f(x)在 x=a 处的局部性质 在
2 在 处取得极小 f xx f yy − f xy > 0 ，则 f(x,y)在点(a,b)处取得极小值；
（ii） ） 如果 f(x,y)在点(a,b)处有 f x = f y = 0 ，f xx < 0 且 在 处有
2 在 处取得极大 f xx f yy − f xy > 0 ，则 f(x,y)在点(a,b)处取得极大值.
7.1.2 确定性静态库存模型
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
在建立库存模型的时候， 在建立库存模型的时候，要在模型简化和模型精 确性两方面进行平衡， 确性两方面进行平衡，并且要注意灵敏度分析和强健 性分析. 性分析 下面介绍确定性静态 库存模型和经济订货批量 确定性静态库存模型和 下面介绍 确定性静态 库存模型和 经济订货批量 （economic-order-quantity，EOQ）公式 ， ）公式.