线性代数综合练习题

线性代数综合练习题（五）

一、填空题

1. 已知⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----=654032001A ，则=-1A 。

2. 设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为

43211,1,1,1λλλλ，则行列式=--E B 1

。

3. 方程022321=++x x x 的规范正交解为 。

4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---k k

12115210611的秩为2，则=k 。 5. 设()T 0111-=α，()T 1112=α，()T 2113-=α是3

R 的一个正交基，则()T 143=β在此基下可线性表示为 。

二、选择题

1. 关于矩阵，下列命题正确的是（ ）。

（A ）若0=AB ，则0=A 或0=B （B ）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形

（C ）矩阵的标准形不惟一 （D ）若P 为初等矩阵，PB PA =，则)()(B R A R =

2. 下列命题正确的是（ ）

（A ）n 维列向量组)(,,,21n m m >ααα 可以线性无关

（B ）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩

（C ）n 维列向量组)(,,,21n m m >ααα 必线性相关

（D ）若方阵0≠P ，则P 可逆。

3. 设A 为n 阶方阵，C 是n 阶正交阵，且AC C B T =，则下列结论不成立的是（ ）。

（A ）A 与B 相似 （B ）A 与B 有相同的特征向量

（C ）A 与B 有相同的特征值 （D ）A 与B 等价

4. 已知三阶矩阵A 的特征值为,4,3,2321-===λλλ其对应的特征向量分别是

321,,ξξξ，取),,(132ξξξ=P ，则=-AP P 1（ ）

（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400030002 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200040003 （C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400020003 （D ）⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-300020004

5. 二次型AX X X f T =)(（A 是对称矩阵）正定的充要条件是（ ）。

（A ）对任何X ，有0≥AX X T

（B ）A 的特征值为非负数

（C ）对任何0≠X ，有0≠AX X T （D ）对任意0≠X ，有0>AX X T 三、计算题

1. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3

321

2321322122λλλλλλλx x x x x x x x x ，

（1）λ取何值时，方程组（a ）有唯一解；（b ）无解；(c) 有无数多个解。并且方程组有无数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解。

（2）设该方程组的系数矩阵为A ，试问λ取何值时，存在三阶非零矩阵B ，使得0=AB 。

2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=100012021B ， （1） 求一正交相似变换矩阵P ，使Λ=-AP P 1，其中Λ为对角矩阵；

（2） 求n B 。

3. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为,11=λ,232==λλ11=λ对应的特征向量为

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1111ξ，

（1） 求232==λλ对应的特征向量；

（2） 求矩阵A 。

4. 判断下面向量组的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10212α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=41524α

四、证明题

1. 设A 与B 为n 阶矩阵，0≠A ，则AB 与BA 相似。

2. 设A 为正定矩阵，证明：1>+E A 。