一元二次方程(配方法)

21.2 解一元二次方程
教学目标
1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程．
2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3. 了解一元二次方程的根与系数的关系．
4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
教学重点
1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点．
2. 一元二次方程求根公式的推导过程．
教学难点
1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法．
2. 一元二次方程求根公式的推导过程．
课时安排
7课时．
第1课时
教学内容
21.2.1 配方法（1）．
教学目标
1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．
3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．
教学过程
一、导入新课
问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
通过问题，导入新课的教学．
二、新课教学
1．解决问题．
学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤．
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1 500．
整理，得
x2＝25．
根据平方根的意义，得
x＝±5，
即
x1＝5，x2＝―5
可以验证，5和―5是方程10×6x2＝1 500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
强调：用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．
根据解题过程，类似地，解下列方程：
x2＝5，x2＝0，x2＝―5．
2．归纳总结．
教师引导学生总结上述方程的共同点，归纳出一般形式x2＝p，并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况．
一般地，对于方程
x2＝p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根
x1＝―p，x2＝p；
（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．
3．巩固拓展．
思考：如果把上面的方程稍作变形，如(x＋3)2＝5你还会解吗？
学生独立思考，并给出解法．引导学生先把(x＋3)看看成一个数，对方程两边开平方，得x＋3＝±5，把它转化成两个一元一次方程x＋3＝5和x＋3＝―5．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋5和x2＝―3―5．这种解法实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个我们会解的一元一次方程．
三、巩固练习
1．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2．
解：设每年人均住房面积增长率为x，则
10(1＋x)2＝14.4，
化简得
(1＋x)2＝1.44．
直接开平方，得
1＋x＝±1.2，
即
1＋x＝1.2，1＋x＝―1.2．
所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝―2.2．
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝―2.2应舍去．
答：每年人均住房面积增长率应为20%．
2．教材第6页“练习”．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
习题21.2第1题（1）（2）（3）．
第2课时
教学内容
21.2.1 配方法（2）．
教学目标
1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
用配方法解题的基本步骤．
教学难点
二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．
教学过程
一、导入新课
让学生复述将次解一元二次方程的步骤，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用配方法解方程．
探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？
我们已经会解方程(x＋3)2＝5．因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数．所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
教师先让学生观察、尝试，引导学生运用学过的知识解方程．
学生在教师的引导下解方程x2＋6x＋4＝0．解题过程和步骤如下：
x2＋6x＋4＝0→x2＋6x＝－4→x2＋6x＋9＝－4＋9→(x＋3)2＝5，通过降次可得x＋3＝±5，即x＋3＝5，或x＋3＝－5．
解一次方程得
x1＝－3＋5，x2＝－3－5．
通过验证，可知－3±5是方程x2＋6x＋4＝0的两个根．
教师引导学生总结解方程的基本步骤，让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式，然后解方程．
归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．2．实例详解
例解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0．
分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x2－3x＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．
解：略．
3．总结解一元二次方程x2＋p x＋q＝0的基本思路和具体步骤．
结合这几个方程的求解，让学生总结解一元二次方程x2＋p x＋q＝0的基本思路和具体步骤．要注意什么问题？
学生独立思考、讨论、总结．最后师生共同归纳．
基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式．
具体步骤：（1）将q 移到方程右边；（2）在方程两边加上一次项系数p的一半的平方；
（3）根据
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛p－q的取值讨论解的情况．
在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形．
4．总结一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p时，方程的实数根情况．
教师引导学生总结p＞0，p＝0，p＜0时，方程根的情况．
（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不等的实数根．
x1＝－n－p，x2＝－n＋p；
（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根．
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x都有(x＋n)2≥0，所以方程(x＋n)2＝p无实数根．三、巩固练习
教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题第21.2第3题．
第3课时。