一元二次方程(配方法)

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一元二次方程配方法

一元二次方程配方法一元二次方程是数学中一个重要的概念，也是我们学习数学过程中不可或缺的一部分。

它是一种含有未知数的二次幂的方程，形式为ax²+bx+c=0。

解一元二次方程的方法有很多，其中最常用的方法是配方法。

下面，我将详细介绍一元二次方程的配方法，并通过例题进行演示。

首先，我们来了解一下一元二次方程配方法的基本思想。

配方法的核心是通过添加恰当的常数，将一元二次方程转化为可因式分解的形式，进而求解方程的根。

具体来说，我们需要找到一个常数k，使得方程的两项之和为kx，两项之积为k²。

这样，我们就可以将方程重写为两个一次项的乘积，并通过解一次方程得到结果。

接下来，我将通过示例来说明这个过程。

假设我们有一个一元二次方程x²-5x+6=0，我们希望通过配方法求解。

根据配方法的思想，我们需要找到一个常数k，使得方程的两项之和为kx，两项之积为k²。

观察方程的两项系数，我们可以发现-5=-2-3，6=2*3。

因此，我们可以将方程重写为(x²-2x) +(3x-6)=0。

接下来，我们对方程进行分组，并进行因式分解。

将第一组括号内的两项相加，得到x(x-2)，将第二组括号内的两项相加，得到3(x-2)。

因此，我们可以将方程重新写为(x(x-2) + 3(x-2)) = 0。

继续进行合并得到 (x+3)(x-2) = 0。

最后，我们得到了一个一次项相乘的形式，即(x+3)(x-2) = 0。

根据乘法原理，方程的解为 x+3=0 或者 x-2=0。

解这两个一次方程，得到x=-3或者x=2。

通过配方法，我们成功地求解了一元二次方程x²-5x+6=0，得到两个解x=-3和x=2。

这个例子清晰地展示了配方法的步骤和思路。

除了上述的例题，还有许多其他的一元二次方程可以通过配方法求解。

无论是简单的还是复杂的方程，配方法都是一种通用的解题方法。

总结一下，配方法是解一元二次方程的一种常用方法。

一元二次方程之配方法

一元二次方程的解法二：配方法一元二次的解又叫做一元二次方程的根.我们知道一个一元二次方程可能有个实数根，也可能有个实数根，也可能实数根.我们知道，如果一个一元二次方程具有（x +h ）²=k 的形式.那么就可以用直接开方法求解.例如（x -）2=x 2+6x +9=0 x 2+6x +9=2 4x 2-1=0思考:如何解关于x 的一元二次方程 x 2+6x +4=0 ？这种方法叫做配方法.例1．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x +1=0 （2）x 2-2x -=0 （3）4x 2+16x =-7例2. 某种罐头的包装纸是长方形，它的长比宽多10cm ，面积是200cm ²，求这张纸的长与宽.例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，点P 的速度都是0.75m/s ，点Q 的速度是1m/s.（1） P 、Q 运动过程中，判断PQ 与AB 的关系（2）几秒后四边形APQB 的面积为Rt △ACB 面积的一半．235912C AQ P配方法练习小测一、选择题1．将二次三项式x 2-4x +1配方后得（）．A ．（x -2）2+3B ．（x -2）2-3C ．（x +2）2+3D ．（x +2）2-32．已知x 2-8x +15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（）．A ．x 2-8x +（-4）2=31B ．x 2-8x +（-4）2=1C ．x 2+8x +42=1D ．x 2-4x +4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x +3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x -5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x 的值为________． 3．已知（x +y ）（x +y+2）-8=0，求x +y 的值，若设x +y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x +y 的值，所以x +y 的值为______．三、解答题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x +3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x +y 2，求（x y ）z 的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元（50的倍数）？2221x x x ---一元二次方程的解法二：配方法（2）配方法解方程x 2+2x -3=0 x 2+10x +20=0 x 2-6x =4x 2-x =1 x 2-8x =8 x 2+8x =-18在配方过程中，方程的两边总是加上的平方.思考：如如何解方程2x 2-5x +2=0 ？（发现有什么不同？并思考该怎么办？）练习1 -3x 2+4x +1=0 2x 2-8x +2=121x 2+2x -1=02x 2-3x =0 3x 2-1=6x -2 x 2+21x +5=0练习3用配方法解方程x 4 +8x ²=-7 （1+x ）2+2（1+x ）-4=0代数式配方与方程配方的区别练习4求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.练习5 一个小球，竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与跑出后小球运动的时间t （s ）关系为：h=24t-5t ².经过多长时间后，小球到上抛点的距离为16m.配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x +p)²=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x =-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．课堂小测试1．配方法解方程2x 2-x -2=0应把它先变形为（）． A ．（x -）2=B ．（x -）2=0 C ．（x -）2= D ．（x -）2= 2．下列方程中，一定有实数解的是（）．A ．x 2+1=0B ．（2x +1）2=0C ．（2x +1）2+3=0D ．（x -a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x +4y-6z+14=0，则x +y+z 的值是（）．A ．1B ．2C ．-1D ．-24．如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是．5．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x （3）已知：x 2+4x +y 2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②设每件衬衫降价x 元时，用含x 的代数式表示出商场平均每天的利润w ，并分析当x 为多少时w 最大？4313892313891310912222x y x y-+。

用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程【探索】解下列一元二次方程：（1）x2+2x=5 （2）x2-4x+3=0分析：对于方程（1）左右两边都加上1，使左边变成一个完全平方式x2+2x+1,这时方程变形为（x+a）2=b 的形式，再利用直接开平方法求解。

对于方程（2）可以将方程变形为类似方程（1）的形式，即x2-4x=-3,再用上述方法解方程。

【归纳】配方法1.定义：将一元二次方程变形为左边是一个含有为未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

【例题】用配方法解下列方程：（1）x2-6x-7=0 （2）x2+3x+1=0（3）4x2-12x-1=0 （4）3x2+2x-3=02.一般步骤：（1）把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边只含有常数项；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边为一个非负常数；（4）把方程变形为（x+a）2=b的形式；（5）用直接开平方法求出方程的解。

【练习】用配方法解下列方程：（1）x2+8x-2=0 （2）x2-5x-6=0 （3）x2-10x-12=0（4）x2-4x+7=0 （5）x2+6x+7=0 （6）4x2+4x+1=0（7）9x2-6x+1=0 （8）2x2-x-1=0 （9）5x2-4x-1=0【拓展】1.用配方法解一元二次方程：（1）x2+px+q=0（p2-4q≥0）（2）ax2+bx+c=0（a≠0）2.配方法是一种重要的数学方法，尝试解决下面问题：已知代数式x2－5x＋7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的的值最小，最小值是多少？。

1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)

1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。

解一元二次方程(配方法)

2 （x + 3） =5
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
配方通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．具体步骤：（1）移项；（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
2 结构特征：方程可化成（x + n） = p 的形式，
（当 p≥0 时）
平方根的意义
降次
xn p
例3．解关于 x 的方程 x 2 + px + q =0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 （x + 3 ） =5
移项两边加 9，左边配成完全平方式左边写成完全平方形式降次
x3 5 x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5 ， x2 3 5
x2 + 6x = -4
6 2 2 两边加 9 9，即（）=3 =9 2 x2 + 6x + 9 = -4 + 9
九年级
上册
21.2 解一元二次方程
1．创设情境，导入新知
你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组消元
一元一次方程思考：如何解一元二次方程．一元二次方程
降次
解方程： x 2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x + 4 = 0
解： x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9

一元二次方程6种解法

一元二次方程6种解法
一元二次方程没有6种解法，一元二次方程4种解法：
一、直接开平方法。

形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。

方程无实数根。

二、配方法。

1、二次项系数化为1。

2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。

3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成
（x=a)^2=b的形式。

4、利用直接开平方法求出方程的解。

三、公式法。

现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。

再将abc 代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。

四、因式分解法。

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是
一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数。

③未知数项的最高次数是2。

一元二次配方法

一元二次配方法一元二次配方法是解决一元二次方程的一种常用方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。

这种类型的方程在数学中应用广泛，因此学会使用一元二次配方法是非常重要的。

首先，我们来看一下一元二次配方法的具体步骤。

假设我们有一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，首先我们需要计算出该方程的判别式Δ=b^2-4ac。

接下来，我们根据判别式的值来判断方程的解的情况：1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解，即x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数解，即x1=x2=-b/2a；3. 当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解，即x1=(-b+√(-Δ)i)/2a，x2=(-b-√(-Δ)i)/2a。

在使用一元二次配方法时，我们还需要注意一些常见的问题。

首先，当我们计算判别式时，要注意计算的准确性，因为判别式的值将决定方程的解的情况。

其次，在计算实数解或者复数解时，要注意对根号后的值进行准确的计算，以确保得到正确的解。

除此之外，一元二次配方法还可以应用于一些实际问题的求解。

比如，某个物体自由下落的高度可以用一元二次方程来表示，利用一元二次配方法可以求解物体落地时的速度、时间等问题。

又如，某个工程项目的成本和收益可以用一元二次方程来表示，利用一元二次配方法可以求解最优的成本和收益比例。

总的来说，一元二次配方法是解决一元二次方程的一种简单而有效的方法，通过学习和掌握这种方法，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，从而解决实际生活和工作中的问题。

希望通过本文的介绍，读者们能够对一元二次配方法有一个更清晰的认识，并能够灵活运用到实际问题的求解中。

一元二次方程解法——配方法+课件

2
领悟： 1.配方法是解一元二次方程的通法 2.当常数项绝对值较大时，常用配方法。
例3.用配方法说明：
代数式 x2+8x+17的值总大于0.
变式训练1：
求代数式 x2+8x+17的值最小值.
变式训练2: 若把代数式改为：领悟：利用配方法不但可以解方程，还可
以求得二次三项式的最值。 2x2+8x+17又怎么做呢？

1.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零. 2.解方程
3.已知
求
x y 20xy x y 81 0 b 37 2 2 a 3a b 0, 2 16
2 2 2 的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（）2 的形式；
5、开平方：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
问题引申
思维提高：解方程
x 4 x 9996 0
人教版九年级上册（新）
第21章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一元二次方程的解法
---配方法
2、用配方法解下列方程:
(1)x2+8x-15=0
1 (2) x 2 x 0 4
2
(3)2x2-5x-6=0
2 2 1 (4) x x 2 3 3
(5) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0)

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)

一元二次方程的解法(二)配方法一知识讲解(基础)【学习目标】1. 了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2 .掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3 •通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力•【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1) 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成./■' _ ■<, ； _ if,的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2) 配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.F二匚#十.-二‘二二:丫.(3) 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为1丨-| r - I的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方(3)配方法的理论依据是完全平方公式a2 _ 2ab • b2 = (a _ b)2.知识点二、配方法的应用1. 用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比较出大小•2. 用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3. 用于求最值：“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4. 用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程C^1. (2016?淄博)解方程：X2+4X- 1=0 .【思路点拨】首先进行移项，得到X2+4X=1，方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解.【答案与解析】2解：T X +4X -仁0/• X2+4X=12/• X +4X+4=1 +4•••( X+2)2=5••• X= - 2±7• . X I= - 2+心：，X2= - 2- _.【总结升华】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1;(3 )等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.举一反三：【变式】用配方法解方程•2 2(1)X -4X-2=0 ; (2)X+6X+8=0.【答案】⑴方程变形为X2-4X=2 .两边都加4,得X -4X+4=2+4 .利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(X-2)2=6.解这个方程，得x-2=打或X-2=-［；：于是，原方程的根为x=2+ .打|或x=2-“.(2)将常数项移到方程右边X2+6X=-8 .得X2+6X+32=-8+32,两边都加“一次项系数一半的平方”2• (X+3) =1.用直接开平方法，得X+3=± 1,•X=-2或X=-4 .类型二、配方法在代数中的应用2 .若代数式M ^10a2b^7a 8, ^a2b25a 1，则M - N 的值( )A. —定是负数 E. —定是正数 C. 一定不是负数 D. —定不是正数【答案】B;【解析】(作差法)M -N =10a2 b2-7a 8-(a2 b2 5a 1)2 2 2 2= 10a b -7a 8-a -b -5a -1=9a 2 -12a - 7 =9a 2 -12a 4 3 =(3a - 2)2 3 . 0 •故选E.【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. .(2014?甘肃模拟)用配方法证明：二次三项式- 8x 2+12x - 5的值一定小于0.【答案与解析】2 2 2解：-8x +12x - 5= - 8 (x - X )- 5 22 2 : 2 =-8[x - x+ ( ) ] - 5+8 X () 2 4 43 2 1=-8 (x -)-, 4 2)2(x -'42 即-8x +12 - 5的值一定小于 0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号要改变式子的值.举一反三：2【变式】求代数式x +8x+17的最小值2 2 2 2 2【答案】x+8x+17=x +8x+4-4 +17= (x+4) +12•••( x+4) > 0,•••当(x+4) 2=0时，代数式x 2+8x+17的最小值是1.b 37 一4.已知 a -3a b 0 ,求 a-4 ■■一 b 的值.16 【思路点拨】37 9 1解此题关键是把一拆成一'—，可配成两个完全平方式.16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得(2 丄9 )丄(2 b 丄1 )a -3a —b 0 , I 4八 2 16丿(X - 2< 0,.注意在变形的过程中不2 2即 a 一3b 」"-0 ,2 43 1 a 0 且 b 0 , 2 43 1 a , b =—. 2 4【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0的形式，进而求出 a . b 的值.。

一元二次方程配方法公式

一元二次方程配方法公式一元二次方程是我们在学习数学的过程中经常遇到的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

解一元二次方程的方法有很多种，其中配方法是一种常用且有效的解法。

本文将介绍一元二次方程配方法的公式及其应用。

首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式，ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别为方程的系数，x为未知数。

解一元二次方程的一般步骤是先利用配方法将方程化为完全平方的形式，然后再进行求解。

下面我们将详细介绍一元二次方程配方法的公式及其应用。

一元二次方程配方法的公式如下：1. 将方程化为完全平方的形式，ax^2 + bx + c = a(x^2 + (b/a)x) + c = a[(x +b/(2a))^2 (b/(2a))^2] + c。

2. 化简方程，ax^2 + bx + c = a(x + b/(2a))^2 (b^2 4ac)/(4a)。

3. 令u = x + b/(2a)，则方程化为，au^2 (b^2 4ac)/(4a) + c = 0。

通过以上公式，我们可以将一元二次方程化为完全平方的形式，从而更容易求解。

接下来，我们将通过一个具体的例子来演示一元二次方程配方法的应用。

例题，解方程x^2 + 6x + 9 = 0。

解：首先，根据配方法的公式，我们可以将方程化为完全平方的形式：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。

因此，方程化为，(x + 3)^2 = 0。

接着，我们可以通过开平方的方法求解方程：x + 3 = 0。

x = -3。

所以，方程x^2 + 6x + 9 = 0的解为x = -3。

通过以上例子，我们可以看到一元二次方程配方法的应用非常简便，通过将方程化为完全平方的形式，我们可以更加直观地求解方程，避免了繁琐的计算过程。

总结一元二次方程配方法的公式及其应用，可以帮助我们更好地理解和掌握解一元二次方程的方法。

在实际问题中，我们可以通过配方法来快速求解一元二次方程，为数学建模和实际应用提供了便利。

解一元二次方程---配方法

教案教学内容一元二次方程——配方法一、学习目标：1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；2．学会利用配方法解一元二次方程.二、知识回顾：1．形如2+=(n≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得x+m= ，从而解x m n()出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x＝或mx＋n= ．三、知识梳理：1．配方法配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式222a ab b a b±+=±及直接开平方法．2()通过配成完全平方形式来解医院为次方程的方法，叫做配方法。

配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

2．对结构形如2+=≠≥的一元二次方程来说，()(0,0)ax b c a c当c>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等是实数根；当c=0时，方程有两个相等的实数根；当c<0时，方程没有实数根．3．配方法的步骤（1）移——移项（2）化——化二次项系数为1方程的左、右两边同时除以二次项系数（或乘以二次项系数的倒数）（3）配——配方把方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，并运用完全平方公式把原方程化为2()x m n +=(n ≥0)的形式．（4）开——开方如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开方法求解；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根注意：m 为一次项系数的一半例：解方程：3x 2-8x-6=0四、典例探究基础经典精析1．配方法解一元二次方程【例1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100B ．x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25C ．2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t ﹣）2=D ．3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=【例2】用配方法解下列方程:（1）2x 2+4x ﹣9=0 （2） 3x 2﹣2x+3=0 （3）3（x-2）2=0变式、用配方法解方程：（1）x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.拔高创新讲练1．用配方法求多项式的最值【例1】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．变式1、用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．【例2】代数式x2+2x+3有最大值或最小值吗？若有，求出此值；若没有，请说明理由。

一元二次方程的解法配方法

一元二次方程的解法配方法
一元二次方程的解法配方法是一种解决一元二次方程的有效方法。

一元二次方程是指一个未知数的二次多项式方程，它的解法配方法是把一元二次方程化简成一元一次方程，再用常见的一元一次方程的解法来求解。

一元二次方程的解法配方法的具体步骤如下：
1. 首先，把一元二次方程化简成一元一次方程，如果有常数项，则先把常数项移到另一边，再把系数移到另一边；
2. 然后，计算出一元一次方程的解，这里可以用因式分解法、求根公式法、分数分母法等解法；
3. 最后，将求得的解代入到原一元二次方程中，确定最终的解。

一元二次方程的解法配方法是一种有效的解决方案，它简单易懂，通过一步步的操作，可以快速求解一元二次方程的解。

一元二次配方法

一元二次配方法一元二次配方法是求解一元二次方程的一种常用方法，通过配方将一元二次方程化为完全平方的形式，从而求得方程的解。

一元二次方程一般具有形如ax^2+bx+c=0的形式，其中a、b、c为常数且a≠0。

下面我们将详细介绍一元二次配方法的具体步骤和应用。

首先，我们来看一元二次方程的一般解法。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得方程的解。

但是在一些情况下，利用一元二次配方法会更加简便快捷。

一元二次配方法的具体步骤如下：1. 将一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次项和一次项分开，即将ax^2+bx拆分出来。

2. 将ax^2+bx部分进行配方，使其化为完全平方的形式。

具体来说，我们可以通过加减常数或者乘除常数的方式来完成配方。

3. 将配方后得到的完全平方形式与常数项c进行整理，化为形如(x+m)^2=n的形式。

4. 根据完全平方公式，我们可以直接得到方程的解。

通过一元二次配方法，我们可以更加直观地看到方程的解，同时也可以更快地得到解的结果。

这种方法在一些特定的问题中尤其有用，比如在求解完全平方形式的一元二次方程时，一元二次配方法可以直接得到方程的解，而不需要进行繁琐的计算。

除了求解一元二次方程外，一元二次配方法还可以在一些几何问题中得到应用。

比如在求解完全平方形式的几何问题时，我们可以通过一元二次配方法将问题转化为一元二次方程，从而求得解的几何意义。

总之，一元二次配方法是一种简单而有效的求解一元二次方程的方法，通过配方将方程化为完全平方的形式，从而更加直观地得到方程的解。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的求解方法，而一元二次配方法无疑是一个重要的求解工具之一。

希望通过本文的介绍，读者能更加深入地理解一元二次配方法的原理和应用，从而在实际问题中灵活运用。

一元二次方程配方法

配方法复习：1、完全平方公式：2、开平方运算：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根知识点一：开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化为含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，就可以用开平方进行求解。

适合用开平方法解的一元二次方程有三种类型：1、x2=m（m>=0）；如，x2=162、（x+m）2=n（n>=0）；如，（x+2）2=93、a（x+m）2=b（ab>=0）；如，3（x+1）2=12例题：方程（x-1）2=4的解是__________。

解析：可利用开平方法求解，得x-1=2或-2，解得x1=3，x2=-1答案：x1=3，x2=-1知识点二：配方法解一元二次方程通过把一个一元二次方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。

用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的基本步骤：①二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；②移项:把常数项移到方程的右边；③配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；④开方:根据平方根意义,方程两边开平方；⑤求解:解一元一次方程；⑥定解:写出原方程的解。

例题：解方程：-2x²+2x+5=0知识点二：利用配方法解决实际问题一元二次方程是刻画现实问题的有效的数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题可以利用配方法或开平方来解决。

例题：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率？解：　设这两个月的平均增长率是x。

则根据题意，得200(1－20%)(1+x)²＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答：　这两个月的平均增长率是10%.练习：一、热身练习：（1）x²+10x+25=（x+ ）²（2）x²-12x+（）=（x- ）²（3）x²+5x+（）=（x+ ）²（4）x²-（）x+16=（x-4）²二、用配方法解下列方程：(1) x²-8x+1=0 (2)2x²+1=3x (3)3x²-6x+2=0三、要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积是16m²，场地的长和宽应各是多少？家长签字：教师签字：。