西电排队论大作业

一步转移概率矩阵的收敛特性

陈灿枫03124016 一步转移概率矩阵的特性应从以下两方面来分析：

第一：什么矩阵具有收敛特性即P^n=P^(n+1)。

第二：若一个转移矩阵（以下称一步转移概率矩阵为转

移矩阵）有收敛性，那么其收敛的速度与什么有关呢？

对于一般的一步转移矩阵P 若有：A n+1=A n P=A n

那么称该一步转移矩阵可收敛。A n P=A n

关于那些一步转移矩阵能够收敛我用MATLAB验证

了几个比较具有代表性的矩阵：

1.单位矩阵

可以看到单位矩阵不具有收敛性。

2.类单位矩阵

类单位矩阵我们可以看到原本并非单位矩阵但是经过n 次后也变为单位矩阵。由此可见此矩阵也不具有收敛特性。此类矩阵也易证明其不具有收敛性。

3.一般一步转移概率矩阵（1）我们可以看到经过18次后矩阵收敛到一个稳定的值。

4.一般一步转移概率矩阵（2）

从这个矩阵我们可以看到该一步转移概率矩阵只经过

了4次就趋于稳定收敛了。

有上述的四个例子我们能够总结：类单位矩阵单位矩阵是不具有收敛性的而一般的一步转移矩阵是有收敛性，而且收敛有快有慢。

那么是什么影响了一步转移概率矩阵的收敛的快慢呢？我们分析一下上述例子中的最后两个例子不难发

现两个矩阵自后收敛的矩阵都有一个特性那就是列都

是相同的这个也易证明：

矩阵相乘行乘列的和列相同即行相加的和乘列

行的和根据转移矩阵特性为1 所以也就收敛了。

若一开始的矩阵就是上面的转移矩阵那么他也就是收敛最快的因为他已经收敛了。我们再来对比（1）和（2）。不难发现矩阵（1）的列的差值比矩阵（2

）的

要大即矩阵（1）的方差要大的多。那么我们就可以猜

测是不是列的相似度越高其收敛的的速度也就越快呢。那么用什么指标去判断一个矩阵的列值得相似程度

呢？

最先想到的就是矩阵的行列式的值，因为第一列为0

的行列式值为0。不难看出矩阵收敛后的矩阵行列式值

为0。

那么我们计算一下上述两个矩阵的行列式的值。

从上述的验证中可以看到矩阵1的行列式的绝对值为0.0255 而矩阵2的行列式绝对值为6*10-6远小于行列

式1中的值而正好矩阵1的列值相似度要小于矩阵2。

上述只是总结性的验证，并没用理论的知识来证明该过程是否准确。那么行列式的值是否真的能刻画一步转移概率矩阵的收敛快慢呢？

我们先看类单位矩阵的行列式的值为1 而且不难证明所以得一步转移概率矩阵的行列式的值得绝对值都

在[0,1]之间。假设一个n阶一步转移概率矩阵其行列式的表达式为：Det(P)=a11*(-1)1+1Det(c(11))+a12*

(-1)1+2Det(c(12))….+a1n*(-1)1+n Det(c(1n))。

由上式可以看出若列值的差值越大那么行列式的

值就取决于该列的值中的较大的值，若行列式的列差值比较小那么最终行列式降阶到2阶是计算得到的值为对角线相减由于列值相差小所以所得到的值也会相

对较小，也会比较靠近0。

而差值越大决定因素也会由列中较大值决定以此类推到最后降阶到2阶时起决定因素的系数都为列中的较大值而最后的二阶行列式由于差值较大所以计算的结果也会比较大整体行列式的值都会靠近1。换个角度可以将单位矩阵看成1和很多无穷小ε组成。那么其决定因素就为1 那么其行列式的值就为1了。

所以我认为，利用一步转移概率矩阵的行列式的值来刻画矩阵的收敛快慢是可行的行列式的值越小其收敛的越快。

后记：到此也结束了由于这篇大作业总结是在较早时间完成的，但是在之后的学习中也就是在学习了离散马尔科夫练的性质之后发现一个问题就是我在猜想

一步转移概率矩阵是否能收敛的问题上还是考虑的不

够全面漏掉了很多重要的问题我也在这儿举例验证

一下：P=[0 1 0;0.5 0 0.5; 0 1 0] 就是这个3阶的矩阵也是书上的一个例题的矩阵这个矩阵并不是上述我说的类单位矩阵或者是单位矩阵。而是一个一般的矩阵（就是有点对称）然而这个矩阵是没有办法收敛的其N次的值是在两个值之间循环跳动的。我算了一下这个矩阵的Det 发现值为0 但是并没有上述验证中的列相同达到收敛的规律。但是其行列式的值也为0.之后我算了一下他的秩发现是2 也就是说秩的值小于阶的值而我

之前举得例子中秩的值都是等于阶的值。之后我又验证了一个矩阵P=[0.1 0.1 0.1 0.7;0 0.2 0.2 0.6;0 0 0.4

0.6;0.1 0.1 0.1 0.7] 这是一个非满秩的矩阵所以他的行

列式的值一定为0与我上述的结论冲突了所以我上述的结论应建立在给出的一步转移概率矩阵为满秩的情

况下才能成立。若不为满秩的话则可以算其各列的方差的平均值来进行比较单位矩阵的列平均方差为（n-1）/n 而其他的一步转移概率矩阵则介于0-(n-1)/n之间。