信号检测理论第一章

1.4 信号通过线性系统
则为IIR滤波器，此时(1.14)可写为 IIR 滤波器存在反馈
1.4 信号通过线性系统
例 算术平均器。 设FIR滤波器的冲激响应为h(r)，考察其传递函数和频谱响应。
h(r ) 1 ,0 r N 1 N
(1.17)
n时刻的输出y(n)，除与当前输入x(n)及过去M个时刻的输入x(nr), r=1,2,...,M有关外，还与过去N 个时刻的输出y(n k),k=1,2,...,N 有关。 传递函数 (1.16) 易得
它意味着自相关函数 rxx ( ) 与 里叶变换对。
X ( )
2
是一个傅
信号检测理论
信号检测理论
8
1.3 信号的相关分析
令τ=0，则存在Plancheral等式

1.4 信号通过线性系统
rxx (0)


X (t ) dt
2
1 2 X ( ) d 2π
y (t ) x(t ) * h(t ) x(k )h(t k )dk
1.3 信号的相关分析
将Parserval 定理与自相关的定义相结合：
rxx ( ) 1 * j X ( ) X ( )e d 2π 1 2 j X ( ) e d 2π



x (t ) y* (t )dt
1 * X ( )Y ( )d 2 π
常用LP变换对应关系
信号检测理论
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1.4 信号通过线性系统
1.4 信号通过线性系统
线性常系统差分方程的一般形式为：
a0 y (n) a1 y (n 1) aN y (n N ) b0 x(n) b1 x( n 1) bM x(n M )
能量信号 功率信号 信号检测理论
1.2信号的类型
• D. 周期信号
– 按一定时间间隔周而复始，且无始无终的信号
x(t ) x(t nT )
nZ
– 满足上式的最小T称为信号x(t)的周期 … … …
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1.2 信号的类型
• D. 非周期信号
– 在时间上既非周而复始又不是无始无终的信号 – 非周期信号又被称为脉冲信号或有限长信号.
lim | H (e j ) | N sin( ) 1 2 | lim | 0 N sin( ) 2 N N cos( ) 1 2 lim | 2 | 1 0 N 1 cos( ) 2 2
Amplitude
1 1 H ( z) 1 az 1 z a
H (s) Y ( s) 1 1 ( LP )1 e h(t ) X ( s ) RCS 1 RC
t RC
H(ω)的低通特性，说明RC滤 波电路的本质：限制高频通过 低频。而h(t)是一个指数衰减
t 1 k 1 e k ks 1
,t 0
函数，则说明了电容器的充放 电过程。

e
j
N 1 2
N

2
位于z=1处的零极点抵消。 最终，H(z)的零点：
)
| H (e j ) |
j 2π k N
ze
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, k 1, 2, , N 1
k0
N sin( ) 1 2 | | N sin( ) 2
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1.4 信号通过线性系统
不难看出，
r 0
线性非时变（离散）系统的数学描述
br a0
(1.14)
n时刻的输出y(n) 实际上是当前时刻的输入x(n) 及过去M 个时刻的输 入x(n1), x(n 2),, x(n M)的加权平均. h(r)是数字滤波器的冲激响应,且只有有限个非零值，故称为FIR滤波器。 信号检测理论 信号检测理论
– 将信号x(t)看作是作用在单位电阻上的电流，在 所分析的时间区间-T≤t≤T内，其消耗的能量
1.2信号的类型
• C. 功率信号
– 信号的平均功率定义为
W lim x 2 (t )dt
T T
T
G lim
T
1 2T

T
T
x 2 (t )dt
– 若能量W为有限值，即 0 < E < 则称该信号为 能量有限信号，简称能量信号。
1.2 信号的类型
• E. 奇异信号
– 信号本身具有不连续点，或其导数与积分有不 连续点，这种信号称之为奇异信号。 – 冲击信号和阶跃信号就是两种最常用的奇异信 号. …
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1.3 信号的相关分析
• 1.3.1 相关定义(definition)
1.3 信号的相关分析
x(t)与y(t)的波型很近 似，只不过前者相对 后者延迟了一段时间τ x(t) = y(t+T) y(t) = x(t T)
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1.3 信号的相关分析
推广与联想： 傅立叶变换与相关
1.3 信号的相关分析
相关的性质
它衡量了信号x(t)与核函数 ejఠ௧ 之间的相似程度 对于拉普拉斯 变换，小波变换等各类变换而言， 他们均是分析被测函数与核函数(族)的相似程度， 并将其表示成为核函数的线性组合。
信号检测理论 信号检测理论
2π | H (e j ) | =0 k , k 1, 2, 处， N
1.4 信号通过线性系统
例 一阶IIR滤波器。
y ( n) ay ( n 1) x (n) y ( n) ay (n 1) x(n)
=0时，依据极限定理
0
1
传递函数
0.8 0.6
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1.1 信号的定义
广义的说，任何带有信息的事物，如振动、光 强、温度、压力、电压、电流乃至语音、图像 等各种物理量，均可称为信号。描述信号的基 本方法是其对应的数学表达式。表达式是时间 的函数，此时间函数的图形便是信号的波形。 不同波形的信号具有不同的特点，因而在不同 的研究领域和场合，对信号也就有着不同的分 类。
2
(a)
0
3
t
−3π −2π −π 0 (b) π 2π 3π t
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1.2 信号的类型
• B. 确定信号
– 任意时刻的信号取值都是确定的信号； – 可以用明确的数学表达式表示的信号。 – 例如：指数信号、矩形脉冲信号等。
s1 ( t ) s 2 (t )
1.2 信号的类型
信号检测理论
1.2 信号的类型
• A. 连续信号
– 自变量（时间）的整个连续区间内都有定义的信号； – 例如：指数信号、矩形脉冲信号等。 – 连续信号与模拟信号的区别（时间与幅度）。
f(t) 1
f (t ) 1
1.2 信号的类型
• A. 离散信号
– 离散时间上的信号序列； – 可以通过对连续信号的采样获得。 – 例如：股票每天的点数等。
rxx ( ) rxx ( )
显然，互相关函数也是周期的且其周期为T0
信号检测理论
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1.3 信号的相关分析
• 1.3.2 相关定理(Parserval 定理)
假定函数x(t)和y(t)的傅里叶变为X (ω)和Y(ω)， 根据傅里叶变换的定义可得：Parserval 定理：

傅 里 叶
1807，研究 太阳黑子等 活动周期
傅里叶变换 的离散形式
1965，库利、 图基，基2快 速傅里叶变 换
各类快速算 法，分裂基、 Winograd算 法等
FFT West,一 套以C语言为 基础的FFT计 算软件包
傅里叶变换
拉格朗日
拉普拉斯
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶
考试方式
成绩 = 考试(70%)+平时(30%) 考试类型： 笔试，闭卷 填空、问答、计算 考试只是手段，并非目的。
y ( n)
1 N 1 x (n r ) N r 0
(1.18)
输出是将n时刻及以前(n-1)个时刻的输入的算术平均。 传递函数
1 N 1 r 1 1 z N z . N r 0 N 1 z 1
除Z=0外，FIR滤波器没有其他极点，故FIR滤波器又被称为全 零点滤波器。 信号检测理论 信号检测理论
N j N j N j
, k 0,1, 2, , N 1
H(z)的极点：
1 z 1 0 z 1 e j0
所以
y ( n) 1 j ) H ( z ) |z e j
(1.17)
(1.18) 所以
0.2
RC滤波电路
y (t ) Y ( s ) dy sY ( s ) dt 2 d y s 2Y ( s ) dt 2
0
0
2
4
(Hz)
6
8
10
et
1 s 1
H ( ) arctan( RC )
对传递函数H(s)做拉普拉斯反变 换可得到系统的冲激响应函数h(t)
• B. 随机信号
– 给定某一时刻，无法确定该时刻信号的取值； – 无法用确定函数表示的信号，但信号有一定的统计规 律。换言之，带有信息的信号都是随机的。 – 例如：语音信号、图像信号、电路噪声、地震波等。
s3 (t )
O
O
t
t
O
t
你 信号检测理论 信号检测理论
好
1.2 信号的类型
• C. 能量信号


它说明 X ( ) 2 描述了信号能量在频域内的分布。
线性非时变（模拟）系统的数学描述