高中三角函数知识点总结(人教版)
高中数学-三角函数公式汇总
高中数学-三角函数公式汇总以下是高中数学三角函数公式的汇总：一、任意角的三角函数：在角α的终边上任取一点P(x,y)，记：r=x²+y²正弦：sinα=y/r余弦：cosα=x/r正切：tanα=y/x余切：cotα=x/y正割：secα=r/x余割：cscα=r/y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数，如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tanα·cotα=1.商数关系：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα。
平方关系：sin²α+cos²α=1，1+tan²α=sec²α，1+cot²α=csc²α。
三、诱导公式：⑴ α+2kπ(k∈Z)、-α、π+α、π-α、2π-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵π/3+α、π/3-α、π-α、π+α的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式：sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、二倍角公式：sin2α=2sinα·cosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α…(∗)tan2α=2tanα/(1-tan²α)二倍角的余弦公式(∗)有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sin2α=(sinα+cosα)²1-sin2α=(sinα-cosα)²cos2α=(1+cos2α)/(1-cos2α)sin2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)tanα=sin2α/(1+cos2α)1.根据公式，cos2α=sin2α=tan2α=1/(1+tan2α)，tanα可以用半角的正切表示。
(完整版)高中高考数学三角函数公式汇总(最新整理)
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四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
sin 2
2 tan 1 tan2
， cos 2
1 1
tan2 tan2
， tan 2
2 tan 1 tan2
。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。
七、和差化积公式2sin来自sin2 sin
cos
…⑴
2
2
sin
sin
⑴ 2k (k Z ) 、 、 、 、 2 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数
名不变，符号看象限）
⑵
、
、
3
、
3
的三角函数值，等于 的异名函数
2
2
2
2
值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符
号看象限）
2
y
y
sin cos
sin cos 0
sin cos
sin cos 0
x y 0
o
x
As(in2,2)cos
o
x
sin cos 0
A(2,2)
xy 0
4
十三诱导公式
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函 数的值相等 k 是整数
公式二： 设 α 为任意角，π+α 的三角函数值与 α 的三 角函数值之间的关系
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数》本章总览
第四章 三角函数
网络体系总览
考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式，再求其最值或周期等.。
三角函数知识点归纳总结高中
三角函数知识点归纳总结高中在学习高中物理学的过程中，要掌握的内容非常多，其中最重要的就是三角函数知识点，它不仅涉及到数学计算知识，而且是在进行精确计算时必不可少的基础工具。
学习三角函数，不但需要不断地记忆、理解，更重要的是培养合理推理、对三角函数性质证明的能力。
一、三角函数基本（1）角度的弧度和度数。
弧度与角度之间的换算关系是：1度=1π/180弧度；（2）正弦、余弦、正切函数的定义：正弦函数（sin x）、余弦函数（cos x）和正切函数（tan x）别定义为：正弦函数指的是在一个直角三角形中，两直角边的比值所对应的弧长的比值，余弦函数指的是在一个直角三角形中，邻边与斜边的比值所对应的弧长的比值，而正切函数指的是在一个直角三角形中，斜边与邻边的比值所对应的弧长的比值。
（3）基本函数关系：根据正弦、余弦、正切函数的定义，可将已知任意函数中的一项函数求出，其他函数可由此得出，三角函数定义的基本关系式为：sin2x+cos2x=1； tanx=sinx/cosx； cotx=cosx/sinx。
（4）正弦函数的区间函数性质：正弦函数的值在区间[0,]内，分别为[0,1],区间[π, 2π]内，分别为[-1, 0]，在区间[2π,3π]内，分别为[0,1]，在区间[3π,4π]内，分别为[-1,0]，在任一定区间内，正弦函数为有界函数，其值域在-1到1之间变化，所以可以说正弦函数是一个周期性函数，其周期间隔为π。
（5）余弦函数的区间函数性质：余弦函数的值在区间[0,]内，分别为[1, 0],区间[π, 2π]内，分别为[0, -1]，在区间[2π,3π]内，分别为[-1, 0]，在区间[3π,4π]内，分别为[0,1]，在任一定区间内，余弦函数为有界函数，其值域在-1到1之间变化，所以可以说余弦函数也是一个周期性函数，其周期间隔为π。
（6）正切函数的值域特点：正切函数是三角函数中特殊的函数，不满足有界性，它的值域[-∞, +∞],所以正切函数不是有界函数，只有在所有小区间内，它的值仍然有界。
高中数学-三角函数知识点总结
三角函数知识点一、三角函数知识点 1.角的定义：（1）00~0360角的定义：从一点O 出发的两条射线OB OA ,所形成的图形叫做角，这点O 叫做角的顶点，射线OB OA ,叫做角的两边（2）任意角的定义：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所形成的图形，端点O 叫做角的顶点，射线OA 叫做角的始边，射线OB 叫做角的终边2.规定：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角 （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角 （3）零角：一条射线不作任何旋转形成的角叫零角这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角，零角 注：角的度量需注意：既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量3.终边相同的角：所有与α终边相同的角连同α在内组成的集合{}Z k k S ∈⋅+==,3600αββ 4.象限角和轴线角：将角放在直角坐标系中，让角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，则（1）象限角：角的终边落在第几象限，则称该角为第几象限角 （2）轴线角：角的终边落在坐标轴上，则称该角为轴线角 5.1º的角的定义：规定周角的3601为1度的角，记作：01，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制6.1弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作：1弧度，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制7.弧度数（1）我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 （2）半径为R 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，则角α的弧度数为Rl=α，角α的正负由α终边的旋转方向决定注：弧度制与角度制区别：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，1弧度≠1度（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是周角的3601所对的圆心角的大小（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值 8.弧度制与角度制的换算（1）弧度制与角度制下的一些特殊角①角度制下零度的角：00，弧度制下零度的角：0rad ， 区别数值相同，单位不同 ②角度制下平角：0180，弧度制下平角：πrad ③角度制下周角：0360，弧度制下平角：2πrad （2）弧度制与角度制的换算①角度化成弧度：=0360 π2 ，0180 π2 ，01 01745.0 ②弧度化成角度：π2 0360 ，π 0180 ，rad 1 '01857 注：角度和弧度互化9.扇形的弧长公式和面积公式（1）角度制下扇形的弧长公式：180Rn l π=；扇形的面积公式：3602R n S π=（2）弧度制下扇形的弧长公式：R l α=；扇形的面积公式：Rl R S 21212==α10.角度制下和弧度制下轴线角和象限角的集合 （1）轴线角的集合①终边在x 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈⋅=,3600={}Z k k x x ∈=,2π②终边在x 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,18036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ ③终边在x 轴上{}Z k k x x ∈⋅=,1800={}Z k k x x ∈=,π④终边在y 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9036000={}Z k k x x ∈=,2π ⑤终边在y 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈-⋅=,9036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ⑥终边在y 轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9018000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,2ππ⑦终边在坐标轴上{}Z k k x x ∈⋅=,900=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,2π （2）象限角的集合①第一象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<⋅,90360360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,222πππ②第二象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,180360903600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,222ππππ③第三象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,2703601803600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,2322ππππ④第四象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,3603602703600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,22232ππππ ={}Z k k x k x ∈⋅<<-⋅,36090360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-Z k k x k x ,222πππ11.两角的终边对称结论（1）α与β的终边关于x 轴对称Z k k ∈=+,2πβα （2）α与β的终边关于y 轴对称Z k k ∈+=+,2ππβα （3）α与β的终边关于原点轴对称Z k k ∈++=,2ππβα （4）α与β的终边共线Z k k ∈+=,πβα（5）α与β的终边关于直线x y =对称Z k k ∈+=+,22ππβα（6）α与β的终边关于直线x y -=对称Z k k ∈+=+,232ππβα （7）α与β的终边互相垂直Z k k ∈++=,2ππβα12．三角函数定义：（1）任意角的三角函数定义1：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边上任意一点P 的坐标为),(y x ，它到原点的距离022>+=y x r ，则 ①比值r y 叫做角α的正弦，记作αsin ，即=αsin r y ②比值r x 叫做角α的余弦，记作αcos ，即=αcos r x ③比值x y 叫做角α的正切，记作αtan ，即=αtan x y ④比值y x 叫做角α的余切，记作αcot ，即=αcot yx （2）任意角的三角函数定义2：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P ),(y x ，则 ①=αsin y ②αcos x ③=αtan xy④=αcot y x三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，又由于角与实数是一一对应的，所以三角函数也可以看作是以实数为自变量的函数13.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域αsin =yR ]1,1[- αcos =y R]1,1[-αtan =y⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππR αcot =y{}Z k k x x ∈≠,πR14.三角函数值在各象限的符号αsin αcos αtan记法1：正弦上正，余弦右正，正切一三正 记法2：一全正，二正弦，三正切，四余弦 15.诱导公式：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等角度制下 弧度制下=+⋅)360sin(0αk αsin =+)2sin(απk αsin =+⋅)360cos(0αk αcos =+)2cos(απk αcos =+⋅)360tan(0αk αtan =+)2tan(απk αtan =+⋅)360cot(0αk αcot =+)2cot(απk αcot公式二：角度制下 弧度制下=+)180sin(0ααsin - =+)sin(απαsin - =+)180cos(0ααcos - =+)cos(απαcos - =+)180tan(0ααtan =+)tan(απαtan =+)180cot(0ααcot =+)cot(απαcot公式三：角度制下 弧度制下=-)180sin(0ααsin =-)sin(απαsin =-)180cos(0ααcos - =-)cos(απαcos - =-)180tan(0ααtan - =-)tan(απαtan - =-)180cot(0ααcot - =-)cot(απαcot -公式四：角度制下 弧度制下=-)sin(ααsin - =-)sin(ααsin - =-)cos(ααcos =-)cos(ααcos =-)tan(ααtan - =-)tan(ααtan - =-)cot(ααcot - =-)cot(ααcot -公式五：角度制下 弧度制下=-)90sin(0ααcos =-)2sin(απαcos=-)90cos(0ααsin =-)2cos(απαsin-)90tan(0ααcot =-)2tan(απαcot=-)90cot(0ααtan =-)2cot(απαtan公式六：角度制下 弧度制下=+)90sin(0ααcos =+)2sin(απαcos=+)90cos(0ααsin - =+)2cos(απαsin -=+)90tan(0ααtan - =+)2tan(απαtan -=+)90cot(0ααcot - =+)2cot(απαcot -公式七：角度制下 弧度制下=+)270sin(0ααcos - =+)23sin(απαcos -=+)270cos(0ααsin =+)23cos(απαsin=+)270tan(0ααcot - =+)23tan(απαcot -=+)270cot(0ααtan - =+)23cot(απαtan -公式八：角度制下 弧度制下=-)270sin(0ααcos - =-)23sin(απαcos -=-)270cos(0ααsin - =-)23cos(απαsin -=-)270tan(0ααcot =-)23tan(απαcot=-)270cot(0ααtan - =-)23cot(απαtan -记忆口诀：奇变偶不变符号看象限 16.部分特殊角的三角函数：αcos21 22 23 1αtan/3-1-33- 017.三角函数线：（1）有向线段：当角α的终边不在坐标轴上时，我们把MP 、OM 、AT 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段规定：与坐标轴相同的方向为正方向（2）这几条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线注：（1）正弦线、余弦线、正切线分别解释了正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的几何意义（2）正弦线、余弦线、正切线的方向与坐标轴正方向相同时，对应的三角函数值为正，与坐标轴正方向相反时，对应的三角函数值为负 18.同角三角函数的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα （2）商数关系：=αtan ααcos sin 、=αcot ααsin cos （3）倒数关系：1cot tan =αα 注意公式的变形：（1）1cos sin 22=+x x ⇒x x 22cos 1sin -=、x x 22sin 1cos -= （2）⇒=αααcos sin tan =αsin ααcos tan 、⇒=αααsin cos cot =αcos ααsin cot （3）ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+的关系：①=+2)cos (sin ααααcos sin 21+ ②=-2)cos (sin ααααcos sin 21- ③=-++22)cos (sin )cos (sin αααα219.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的图像和性质 函数x y sin = x y cos = x y tan =图形定义域 RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域]1,1[-]1,1[-R最值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈-=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈=,2π时，有最大值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值无最大值无最小值单调性在Zk k k ∈+-],22,22[ππππ上递增在Zk k k ∈++],232,22[ππππ上递减在Z k k k ∈-],2,2[πππ上递增在Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减在Zk k k ∈+-),2,2(ππππ上递增奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性π2=Tπ2=Tπ=T 对称性关于Z k k x ∈+=,2ππ对称关于点Z k k ∈),0,(π中心对称关于Z k k x ∈=,π对称 关于点Zk k ∈+),0,2(ππ中心对称关于点Z k k ∈),0,2(π中心对称20.三角函数周期结论（1）函数B x A y ++=)sin(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （2）函数)sin(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)cos(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （3）函数B x A y ++=)sin(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ221.函数B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像的作法（1）图像变换法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像可由正弦函数x y sin =经过一系列的变换得到：①先平移变换，再周期变换：x y sin =———————————→)sin(ϕ+=x y —————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω ②先周期变换，再平移变换：x y sin =———————————→)sin(x y ω=——————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω （2）五点作图法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像画法：一个周期内起关键作用的五个点的横坐标可由=+ϕωx ππππ2,23,,2,0得到 22.函数变换结论： （1）平移变换01左右平移：①将函数)(x f y =的图象向左移a 个单位得函数)(a x f y +=的图象 ②将函数)(x f y ω=的图象向左移a 个单位得函数))((a x f y +=ω的图象02上下平移：将函数)(x f y =的图象向上移b 个单位得函数b x f y +=)(的图象（2）伸缩变换①函数)(x f y ω=的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍得到 ②函数)(x Af y =的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍得到 （3）翻折变换①函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像y 轴右侧的图像保留，y 轴左侧的图像由y 轴右侧的图像沿y 轴翻折得到②函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像在x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到 23.两个函数的对称性结论（1）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称 （2）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称 （3）函数)(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称 （4）函数)(1x fy -=与)(x f y =的图象关于x y =对称（5）函数)2(x a f y -=与)(x f y =的图象关于a x =对称（6）函数)2(x a f y --=与)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称24.函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的奇偶性结论 （1）函数)sin(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈=,πϕ（2）函数)sin(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（3）函数)cos(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（4）函数)cos(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈=,πϕ 二、三角变换25.两角和与差的正弦余弦正切公式：（1）=+)sin(βαβαβαsin cos cos sin +，记作)(βα+ S （2）=-)sin(βαβαβαsin cos cos sin -，记作)(βα- S （3）=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -，记作)(βα+C （4）=-)cos(βαβαβαsin sin cos cos +，记作)(βα-C （5）=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan -+，记作)(βα+T（6）=-)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan +-，记作)(βα-T26.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）=α2sin ααcos sin 2（2）=α2cos αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-（3）=α2tan αα2tan 1tan 2- 注：二倍角公式的变形：（1）=+2)cos (sin ααααcos sin 21+；=-2)cos (sin ααααcos sin 21-（2）升幂缩角公式：=+αcos 12cos 22α；=-αcos 12sin 22α（3）降幂扩角公式：=α2sin 22cos 1α-；=α2cos 22cos 1α+ =α2sin 2α2cos 1-；=α2cos 2α2cos 1+27.半角公式：（1） =2sinα22cos 1α-±=2cosα22cos 1α+±=2tanααα2cos 12cos 1+-±（2）=2tanαααsin cos 1-=ααcos 1sin +28.辅助角公式： （1）=+θθcos sin b a )sin(22ϕ++x b a ，其中=ϕsin 22b a b +，=ϕcos 22b a a +（2）=+θθcos sin b a )cos(22ϕ-+x b a ，其中=ϕsin 22ba a +，=ϕcos 22ba b +29.万能公式=α2sin αα2tan 1tan 2+ =α2cos αα22tan 1tan 1+- =α2tan αα2tan 1tan 2- 30.积化和差公式=βαcos sin )]sin()[sin(21βαβα-++=βαsin cos )]sin()[sin(21βαβα--+ =βαcos cos )]cos()[cos(21βαβα-++ =βαsin sin )]cos()[cos(21βαβα--+-31.和差化积公式=+βαsin sin 2cos2sin2βαβα-+=-βαsin sin 2sin2cos2βαβα-+=+βαcos cos 2cos2cos2βαβα-+=-βαcos cos 2sin2sin2βαβα-+-。
2023年人教版高中数学第五章三角函数知识点梳理
(名师选题)2023年人教版高中数学第五章三角函数知识点梳理单选题1、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A．2B．3C．5D．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <2π2π15=15，所以k =0,t =5s . 故选：C2、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3， 即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B3、函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)图像上一点P (s,t )(−2<t <2)向右平移2π个单位，得到的点Q 也在f (x )图像上，线段PQ 与函数f (x )的图像有5个交点，且满足f (π4−x)=f (x )，f (−π2)>f (0)，若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为（ ） A ．(−2,−√2]B ．[−2,−√2]C ．[√2,2)D ．[√2,2] 答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ |=2π=2T ，可得ω=2，再由f (π4−x)=f (x )可得y =f (x )对称轴为x =π8，利用f (−π2)>f (0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f (x )的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t=−3π4即x=0时y=−√2，当t=−π2即x=π8时，y=−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]， 故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围. 4、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22， 故选：C.5、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（ ）A ．−45B ．45C ．−35D ．35 答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35， 则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C6、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（ ） A ．70∘B ．110∘C ．150∘D ．290∘ 答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k (k ∈Z )， 因为在0∘~360∘范围内，所以k =1可得−70∘+360∘=290∘， 故选：D.7、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D8、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可.由f(−x)=−sin(−x)+xcosx+x2=−−sinx−xcosx+x2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.又f(π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C9、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）A．50B．38C．27D．15答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度. 设走了3分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14，OE=Rcos3π14=55cos3π14，因为π6<3π14<π4，所以√22<cos3π14<√32，所以38.885<55cos3π14<47.63所以AE=55−55cos3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos 3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C10、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34答案：A分析：先求出0≤ωx ≤ωπ3，再根据f (x )max =tanωπ3=tan π6=√33解方程即可. 因为x ∈[0,π3]，即0≤x ≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3，所以f (x )max =tanωπ3=tan π6=√33， 所以ωπ3=π6，ω=12．故选：A ．11、若函数f (x )=sin (ωx +π3) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，112]∪[16，712]B ．(0，16]∪[13，23] C ．(0，712]D ．[13，23] 答案：A分析：根据题意可得函数f (x )在区间(π，2π)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(π，2π)为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求． 解：函数y =sin x 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2⩽ωx +π3⩽kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6ω⩽x ⩽kπ+7π6ω，k ∈Z ．∵函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0) 在区间(π，2π)内没有最值，∴函数f(x)在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π6ω，kπ+7π6ω]，k∈Z，∴ {kπ+π6ω⩽πkπ+7π6ω⩾2π，k∈Z，解得k+16⩽ω⩽k2+712，k∈Z.由k+16<k2+712，得k<56．当k=0时，得16⩽ω⩽712，当k=−1时，得−56⩽ω⩽112，又ω>0，故0<ω⩽112，综上得ω的取值范围是(0，112]∪[16，712]，故选A12、已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2答案：D分析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，令t=tanθ,t≠1，则2t−1+t1−t=7，整理得t2−4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2. 故选：D.小提示：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.双空题13、已知函数y=2cos(2x−π3)−1,x∈[π3,π]，则当x=_______时，函数取得最小值为_________.答案：2π3##23π−3分析：根据x∈[π3,π]求出2x−π3的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.∵x∈[π3,π]，∴2x−π3∈[π3,5π3]，∴当2x−π3=π，即x=2π3时，cos(2x−π3)取得最小值为−1，∴当x=2π3时，y=2cos(2x−π3)−1,x∈[π3,π]最小值为2×(−1)−1=−3.所以答案是：2π3；－3.14、如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，x∈[−4,0]的图象，图象的最高点为B(−1,2)，则曲线段TDBS对应的函数解析式为___________.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为√3千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为___________千米.答案：y=2sin(π6x+2π3)且x∈[−4,0]√7分析：根据函数图象得到T4=3，再由正弦函数最小正周期公式求得ω=π6，五点法求参数φ，即可写出解析式，注意定义域；设D(x D,√3)代入解析式，结合x D范围确定坐标，再应用两点式求距离.由题中图象知：A=2，T4=−1−(−4)=3⇒T=2πω=12⇒ω=π6.当x= -1时，y=2sin(−π6+φ)=2，所以−π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=2π3+2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ=2π3，则曲线段TDBS对应的函数解析式为y=2sin(π6x+2π3)，x∈[−4,0].因为D到海岸线TO的距离为√3千米，设D(x D,√3)，显然−4<x D<−1，所以2sin(π6x D+2π3)=√3，即sin(π6x D+2π3)=√32，所以π6x D+2π3=π3+2kπ，k∈Z或π6x D+2π3=2π3+2kπ，k∈Z，解得x D=−2+12k，k∈Z或x D=12k，k∈Z，又−4<x D<−1，所以x D=−2，即D(−2,√3)，而另一点D与S重合，排除，所以DO=√(−2)2+(√3)2=√7.所以答案是：y=2sin(π6x+2π3)且x∈[−4,0]，√715、已知函数f(x)=sinxcosx−√3sin2x，设α∈(π2,π)，f(α2)=14−√32，则sinα=___________，cosα=___________.答案：1+3√58√3−√158分析：先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f(x)=sin(2x+π3)−√32，则由已知条件可得sin(α+π3)=14，再利用同角三角函数的关系求出cos(α+π3)，则sinα=sin[(α+π3)−π3]，cosα=cos[(α+π3)−π3]展开化简计算即可.f(x)=sinxcosx−√3sin2x=12sin2x−√3×1−cos2x2=12sin2x+√32cos2x−√32=sin(2x+π3)−√32，所以f(α2)=sin(α+π3)−√32=14−√32，所以sin(α+π3)=14.因为α∈(π2,π)，所以5π6<α+π3<4π3，所以cos(α+π3)=−√154，所以sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cosπ3−cos(α+π3)sinπ3=14×12−(−√154)×√32=1+3√58，cosα=cos [(α+π3)−π3] =cos (α+π3)cos π3+sin (α+π3)sin π3=−√154×12+14×√32=√3−√158. 所以答案是：1+3√58，√3−√15816、函数f(x)=3sinx−1sinx+2的最大值是____，最小值是_________.答案： 23 −4 分析：将函数f(x)的解析式化为f(x)=3−7sinx+2，由sinx ∈[−1,1]结合不等式的性质，即可得出f(x)的最大值和最小值. f(x)=3(sinx +2)−7sinx +2=3−7sinx +2∵sinx ∈[−1,1]∴sinx +2∈[1,3]∴1sinx +2∈[13,1] ∴−7sinx +2∈[−7,−73] ∴3−7sinx +2∈[−4,23] 即f(x)max =23，f(x)min =−4所以答案是：23；−4 小提示：本题主要考查了求含正弦函数的最值，属于中档题.17、设α、β∈(0,π)，cosβ=−1213，cos α2=2√55，则cosα=____， tan (α+β)=___．答案： 35 3356分析：利用二倍角的余弦公式可求得cosα的值，求出tanα、tanβ的值，利用两角和的正切公式可求得tan (α+β)的值.由二倍角的余弦公式可得cosα=2cos 2α2−1=2×(2√55)2−1=35， ∵α、β∈(0,π)，∴sinα=√1−cos 2α=45，sinβ=√1−cos 2β=513， ∴tanα=sinαcosα=43，tanβ=sinβcosβ=−512， 因此，tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43−5121−43×(−512)=3356.所以答案是：35；3356.小提示：本题考查利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.解答题18、在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.答案：－154或94.分析：当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)，求出sin α，cos α，tan α即得解；当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4，3)，求出sin α，cos α，tan α即得解.综合即得解. 当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)， 所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝−35＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4，3)，所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5，所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×(−45)－34＝35＋125－34＝94. 综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.小提示：本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f （x ）的解析式，并求出该函数的单调递增区间；(2)若α∈(0,π2)，且f (α2+π6)=65，求f (α2−π6)的值.答案：(1)答案见解析；(2)−4√3+35.分析：（1）根据函数图象可得A ，周期T ，即可求出ω，再由图象过点(512π,2)即可求出φ，得到函数解析式，求出单调区间；（2）由f (α2+π6)=65求出sinα,cosα，再由两角差的正弦公式直接计算f(α2−π6)即可.（1）由图象可知，A =2， 且T =2(1112π−512π)=π=2πω，解得 ω=2所以f(x)=2sin(2x +φ)，因为f(512π)=2sin(56π+φ)=2，所以56π+φ=2k 1π+π2(k 1∈Z) 则φ=2k 1π−π3(k 1∈Z),则仅当k 1=0时，φ=−π3符合题意， 所以f(x)=2sin(2x −π3)， 令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得 kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z)综上，f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x −π3)，单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)；（2）因为f(x)=2sin(2x −π3)， 所以f(α2+π6)=2sinα=65，所以sinα=35，又α∈(0,π2)， 所以cosα=√1−sin 2α=45, 所以f(α2−π6)=2sin(α−2π3)=2sinαcos 2π3−2cosαsin 2π3=−4√3+35. 20、（1）已知sinα+cosα=√2，求sinα⋅cosα及sin 4α+cos 4α的值；（2）已知sinα+cosα=15(0<α<π)，求tanα的值. 答案：（1）sinα⋅cosα=12，sin 4α+cos 4α=12；（2）−43.分析：（1）把已知等式平方，结合平方关系可得sinαcosα，再把1=sin 2α+cos 2α平方可求得sin 4α+cos 2α；（2）已知等式平方求得sinαcosα确定出sinα,cosα的正负，求出sinα−cosα，与已知式联立求得sinα,cosα后可得tanα．解：（1）∵sinα+cosα=√2；1+2sinαcosα=2∴sinα⋅cosα=12 sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2−2sin 2αcos 2α=1−2⋅(12)2=12（2）∵sinα+cosα=15，①∴(sinα+cosα)2+2sinαcosα=125∴2sinαcosα=−2425.∵0<α<π，∴π2<α<π，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=75.②由①，②得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=−43。
2023年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总笔记
(名师选题)2023年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总笔记单选题1、将函数f(x)=2cosx的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若对g(x)满足|g(x1)−g(x2)|=4，有|x1−x2|min=π4恒成立，且g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．[π12，π3]B．[π3，π2]C．(π3，2π3]D．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.2、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．57答案：A分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R，竖直高度为2R ，根据题意求得OA =52R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ， ∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725，故选：A ．3、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（ ）A ．−169B ．169C ．−43D ．43答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925 则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.4、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可. 由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−x cosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A.又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D 故选：C5、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值.sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A.6、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A.7、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ）A ．13B ．−13C ．79D ．−79答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin (α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα =sin (α+π3)=sin (π2+α−π6)=cos (α−π6)=13，所以sin (2α+π6)=sin (π2+2α−π3)=cos (2α−π3)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79， 故选：D8、已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 5π6,cos5π6)，则角α的最小正值为（ ）A ．π6B ．2π3C ．7π6D ．5π3 答案：D分析：先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 因为sin5π6>0，cos5π6<0，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知 sinα=cos5π6=−√32， 故角α的最小正值为α=2π−π3=5π3．故选：D ．9、已知函数f(x)=sin (x +π3)．给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为f(x)=sin(x+π3)，所以周期T=2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3)的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.10、已知函数f(x)=sin(2x+π3)，为了得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象只需将y=f(x)的图象（）A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π2个单位D．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin(2x+π3+π2)=cos(2x+π3)所以sin(2x+π3)→sin(2x+π2+π3)，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位，故选：A.11、已知函数f (x )=|cos 2x |+cos x ，下列四个结论中正确的是（ ） A ．函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点 B ．函数f (x )在[0,π2]上单调递减 C ．f (π)=2D ．函数f (x )的图象关于点(π2,0)对称答案：A分析：对x 的范围进行分类讨论，由此判断A 的正确性.利用赋值法判断BC 选项的正确性.由f (π2+x)+f (π2−x)是否为0来判断D 选项的正确性.x ∈(0,π4),2x ∈(0,π2)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12,x =π3（舍去）. x ∈[π4,3π4],2x ∈[π2,3π2]，f (x )=−cos2x +cosx =−2cos 2x +cosx +1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3.x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0， cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确. f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误. 故选：A12、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A．2B．3C．5D．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π15=15，所以k=0,t=5s.故选：C双空题13、2345°是第________象限角，−1015°是第________象限角. 答案：三一分析：由题意结合终边相同的角的概念可得2345°与185°、−1015°与65∘终边相同，再由象限角的概念即可得解. ∵2345°=360°×6+185°，185°为第三象限角，∴2345°是第三象限角；∵−1015°=360∘×(−3)+65∘，65∘为第一象限角，∴−1015°是第一象限角.所以答案是：三；一.小提示：本题考查了终边相同的角的概念的应用，考查了象限角概念的应用，关键是对知识点的熟练应用，属于基础题.14、函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1的振幅为______；将函数f(x)的图象右移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的最小正值为______.答案：2π6分析：先利用二倍角和辅助角公式整理f(x)得到振幅，再利用左加右减得到g(x)，又利用g(x)为偶函数得出φ=-kπ2−π3，对k取值即可得结论.f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，故振幅为2；函数f(x)的图象右移φ(φ>0)个单位长度，g(x)=2sin(2(x−φ)−π6)=2sin(2x−2φ−π6)，又函数g(x)为偶函数，所以-2φ-π6=kπ+π2(k∈Z)，φ=-kπ2−π3，当k=−1时，φ=π6即为φ的最小正值.所以答案是：2；π6.小提示：本题主要考查利用二倍角和辅助角公式化简三角函数，求振幅和φ的问题.属于较易题.15、已知α∈(π , 2π)，若tanα=34，则tan(α+π4)=__；cos 2α2=__.答案： 7 110分析：利用正切的和角公式即可求得tan(α+π4)，根据正切求得cos α，再利用余弦的降幂扩角公式即可求得结果.因为α∈(π , 2π)，若tanα=34， 故可得sin α=−35，cos α=−45. 则tan (α+π4)=tanα+11−tanα=7414=7；cos 2α2= 12(1+cosα)=12×15=110. 所以答案是：7；110.小提示：本题考查同角三角函数关系，以及正切的和角公式以及余弦的降幂扩角公式，属综合基础题. 16、两角和与差的正弦公式的推导sin(α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π2−α)−β]=cos (π2−α)cosβ+sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ， 即_____________(S α+β)， 以−β代β得___________(S α−β)．答案： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 分析：由两角和与差的正弦公式的推导直接可得sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，以−β代β计算得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ． 两角和与差的正弦公式的推导sin (α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π2−α)−β]=cos (π2−α)cosβ+sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ (S α+β)； 以−β代β得sin (α−β)=cos [π2−(α−β)]=cos [(π2−α)+β]=cos (π2−α)cos (−β)−sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ−cosαsinβ，得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ (S α−β)．所以答案是：①sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；②sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 17、已知角α的终边上一点坐标为(−3,a)，且α为第二象限角，cosα=−35，则sinα=_________，tanα=________． 答案： 45 −43分析：根据(−3,a)为α终边上的一点，且cosα=−35，由√(−3)2+a2=−35求得a 即可. 因为(−3,a)为α终边上的一点，cosα=−35， 所以√(−3)2+a2=−35， 解得a 2=16．又因为α为第二象限角，所以a >0即a =4． 所以sinα=45,tanα=−43． 所以答案是：45 −43 解答题18、已知函数f (x )=log 12(sinx −cosx )．（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．答案：（1）定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，值域为[−12,+∞)；（2）单调增区间为[2kπ+3π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，单调减区间为(2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z)；（3）非奇非偶函数；（4）2π.分析：（1）利用两角和差的三角函数，结合对数的运算化简可得f(x)=log12sin(x−π4)−12，由真数大于零，即sin(x−π4)>0，利用三角函数的图象和性质求解，即得函数f(x)的定义域；根据三角函数的值域和对数函数的图象与性质，可求得函数f(x)的值域；（2）利用对数函数的单调性，三角函数的单调性，结合复合函数的单调性可求得函数f(x)的单调增减区间；（3）利用奇偶函数的定义域的对称性，结合（1）中所的定义域，即可得到函数f(x)为非奇非偶函数；（4）根据三角函数的周期性，即可得到函数f(x)的周期.（1）f(x)=log12(sinx−cosx)=log12[√2sin(x−π4)]=log12sin(x−π4)−12，由sin(x−π4)>0,解得2kπ<x−π4<2kπ+π,∴2kπ+π4<x<2kπ+5π4,∴函数f(x)的定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)；由sin(x−π4)∈(0,1],∴log12sin(x−π4)≥0，∴函数f(x)的值域为[−12,+∞)；（2）在定义域内，当2kπ<x−π4≤2kπ+π2,即2kπ+π4<x≤2kπ+3π4时，sin(x−π4)是单调递增的，故函数f(x)时单调递减的；当2kπ+π2≤x−π4<2kπ+π,即2kπ+3π4≤x<2kπ+5π4时，sin(x−π4)是单调递减的，故函数f(x)时单调递增的；∴单调增区间为[2kπ+3π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，单调减区间为(2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z)；（3）由（1）得函数f(x)的定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，定义域不关于原点对称，故函数f(x)为非奇非偶函数；（4）∵sin (x −π4)的最小正周期为2π,∴函数f (x )=log 12sin (x −π4)−12的最小正周期为2π.小提示：本题考查对数函数与三角函数的复合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性问题，关键是掌握复合函数的单调性求解方法,熟练掌握三角函数的单调性，简单三角不等式的求解方法，并注意单调性求解和奇偶性判定时一定要考察清楚函数的定义域.19、已知函数f (x )=2sin (x +π3)，且函数y =g (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若存在x ∈[0,π2)，使等式[g (x )]2−mg (x )+2=0成立，求实数m 的取值范围；(3)若当x ∈[−π3,2π3]时，不等式12f (x )−ag (−x )>a −2恒成立，求实数a 的取值范围．答案：(1)g (x )=2sin (x +π6)； (2)[2√2,3]； (3)(−2,23).分析：（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答. （2）利用正弦函数的性质求出g(x)的范围，再分离参数求解作答. （3）根据给定范围，按a =0，a >0，a <0分类并结合最值情况求解作答. （1）因函数y =g (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称，则g(x)=f(π2−x)，所以g(x)=2sin(π2−x +π3)=2sin[π−(x +π6)]=2sin(x +π6)．（2）由（1）知，g (x )=2sin (x +π6)，当x ∈[0,π2)时，x +π6∈[π6,2π3)，则1≤g (x )≤2， 令g (x )=t ，则1≤t ≤2．存在x ∈[0,π2)，使[g (x )]2−mg (x )+2=0成立， 即存在t ∈[1,2]，使t 2−mt +2=0成立，则存在t ∈[1,2]，m =t +2t 成立，而函数m =t +2t在t ∈[1,√2]上递减，在t ∈[√2,2]上递增，当t =√2时，m min =2√2，当t =1或2时，m max =3 所以实数m 的取值范围为[2√2,3]． （3）由（1）知，不等式12f(x)−ag(−x)>a −2⇔sin(x +π3)+2asin(x −π6)>a −2，当x ∈[−π3,2π3]时，0≤x +π3≤π，−π2≤x −π6≤π2，若a =0，因0≤sin(x +π3)≤1，即sin(x +π3)>−2恒成立，则a =0，若a >0，因sin(x −π6)在[−π3,2π3]上单调递增，则当x =−π3时，sin(x +π3)+2asin(x −π6)取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin(−π3+π3)+2asin(−π3−π6)>a −2恒成立，即−2a >a −2，因此0<a <23，若a <0，当x =2π3时，sin(x +π3)+2asin(x −π6)取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin(2π3+π3)+2asin(2π3−π6)>a −2恒成立，即a >−2，因此−2<a <0， 所以a 的取值范围是(−2,23)．20、已知函数f (x )=2sinxsin (π3−x)+2cos 2x −12.（1）求函数f (x )的单调增区间；（2）当x ∈(−π6,π4)时，函数g (x )=f 2(x )−2mf (x )+m 2−116有四个零点，求实数m 的取值范围. 答案：（1）[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z （2）2√3+14<m <4√3−14分析：（1）化简f(x)的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为ℎ(t)=t 2−2mt +m 2−116在(√32,√3)内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. （1）f (x )=2sinxsin (π3−x)+2cos 2x −12=2sinx (sin π3cosx −cos π3sinx)+1+cos2x −12=√3sinxcosx −sin 2x +1+cos2x −12=√32sin2x +cos 2x +cos2x −12=√32sin2x +1+cos2x 2+cos2x −12=√32sin2x +32cos2x =√3sin(2x +π3)，由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−512π≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z . （2）当x ∈(−π6,π4)时，2x +π3∈(0,5π6)，f(x)=√3sin(2x +π3) ∈(0,√3]， 因为函数g (x )=f 2(x )−2mf (x )+m 2−116有四个零点，令t =f(x)， 则t ∈(0,√3)且ℎ(t)=t 2−2mt +m 2−116在(√32,√3)内有两个零点，所以{Δ=4m 2−4(m 2−116)>0√32<m <√3ℎ(√32)>0ℎ(√3)>0 ，即{ √32<m <√334−√3m +m 2−16>03−2√3m +m 2−16>0 ， 解得{√32<m <√3m <2√3−14或m >2√3+14m <4√3−14或m >4√3+14，解得2√3+14<m <4√3−14，所以实数m 的取值范围是2√3+14<m <4√3−14. 小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
高一三角函数知识点归纳总结公式
高一三角函数知识点归纳总结公式以下是高一三角函数的一些知识点和公式：1. 三角函数的基本性质：周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π。
奇偶性：sin(x) 是奇函数，cos(x) 是偶函数。
有界性：sin(x) 和 cos(x) 的取值范围都是 [-1, 1]。
2. 三角函数的定义域和值域：定义域：对于所有实数 x，sin(x) 和 cos(x) 的定义域都是 R。
值域：sin(x) 和 cos(x) 的值域都是 [-1, 1]。
3. 三角函数的周期性和对称性：周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π。
对称性：sin(x) 在(0, π) 上是增函数，在(π, 2π) 上是减函数；cos(x) 在(0, π/2) 和(π, 3π/2) 上是减函数，在(π/2, π) 和(3π/2, 2π) 上是增函数。
4. 三角函数的和差公式：sin(x+y) = sinxcosy + cosxsinycos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny5. 三角函数的倍角公式：sin2x = 2sinxcosxcos2x = cos²x - sin²xtan2x = 2tanx / (1 - tan²x)6. 三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cosx) / 2]cos(x/2) = ±√[(1 + cosx) / 2]tan(x/2) = ±√[(1 - cosx) / (1 + cosx)]7. 三角函数的和差化积公式：sin(x+y)-siny=2sin((x-y)/2)cos((x+3y)/2)cos(x+y)-coxy=-2sin((x-y)/2)cos((x+3y)/2)8. 其他常用公式：sin²θ + cos²θ = 1（勾股定理）tanθ = sinθ / cosθ（正切的定义）arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x) 等反三角函数。
(完整版)高中三角函数知识点总结(人教版)
高中三角函数总结1.任意角的三角函数定义：设 为任意一个角，点 P( x, y) 是该角终边上的任意一点 （异于原点） ， P(x, y) 到原点的距离为 rx 2 y 2 ，则：siny(正负看 y),cosx(正负看 x), tany(正负看 x y)rrx2.特别角三角函数值：0° 30° 45°60°90° sin0 12 3 122 2cos1 32 1 02 22tan13 13没心义33.同角三角函数公式：tansin , sin 2cos 21cossec1,csc 11cos,cottansin4.三角函数引诱公式：（1） sin( 2k ) sin , cos( 2k ) cos , tan( 2k ) tan ; (kZ )（2） sin( ) sin , cos( )cos , tan() tan ;（3） sin()sin , cos( )cos , tan()tan ;（函数名称不变，符号看象限）（4） sin() cos ,cos( )sin, tan() cot ;222（5） sin() cos , cos()sin , tan() cot ;222（正余互换，符号看象限）注意： tan 的值，总为 sin/cos ，便于记忆；5.三角函数两角引诱公式：（1）和差公式sin( ) sin coscos sin cos( ) cos cos sin sintantantan( )1 tan tan（2）倍角公式令上面的可得： sin( 2 ) 2 sin coscos(2 ) cos2 sin 22 tan 2 cos2 1 tan(2 )1 2sin 21 tan2 6.正弦定理：△ABC 中三边分别为a,b, c ,外接圆半径为R ，则有：a b cR sin A sin B27.余弦定理：sin C△ABC 中三边分别为a,b, c ,则有： cosC a2 b2 c22ab8.面积公式：1ab sinC(两边与夹角正弦值 ) △ABC 中三边分别为a,b, c ,面积为S，则有：S2三角函数图象：9.函数名图像单调区间y=sinx递加区间：[ 2k ,2k ]2 2递减区间：[ 2k ,2k 3], k Z2 2y=cosx递加区间：[ 2k,2k ]递减区间：[ 2k ,2k], k Zy=tanx递加区间：(k, k), k Z2 2定义域非R，为：{ x | x k}210.关于y Asin( x ) B 的性质：（1）最大值为| A | B ，最小值为| A | B （ sin( x )1时 ,得最大最小）（2）周期2 1 | |x ，初相是T ，频率 f ，相位是| | T 2（3）图像的对称轴是直线：（4）图像的对称中心为：x k (k Z ) ，可化简为x=的形式；2y A sin( x ) B B 时获取的所有交点（x，B ）（5）单调区间求取：一利用引诱公式将变为正，如变为cos 等，此处假设0 ，二求出 y Asin x 的单调区间，令x分别位于单调区间地域，反解x 范围；11.图像变换：y Asin( x) B ：y sin x沿x轴左移个单位y sin(x )横坐标x变为原来的1 倍xy sin( ) sin( x )1纵坐标 y变为原来的 A倍y ) y Asin( x )sin( xA沿y轴下移 B个单位y B Asin( x ) y Asin( x ) B 要点点：上 +下 -（ y），左 +右 -（ x），倍数相除（变为原来的n 倍，则对应的坐标都除以n）。
高中数学三角函数知识点归纳总结
高中数学三角函数知识点归纳总结知识网络】三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各个领域。
在研究三角函数时，需要掌握弧长公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数的角度制与任意角的概念、图像和性质、弧度制三角函数和角公式、倍角公式、差角公式等知识。
任意角的概念与弧度制】角是由沿x轴正向的射线围绕原点旋转所形成的图形，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角。
同终边的角可表示为计算与化简的形式，也可以用证明恒等式的方式进行表达。
已知三角函数值求角时，可以利用如下公式：α=β+k360°（k为整数）在x轴上的角为α=k180°（k为整数），在y轴上的角为α=90°+k180°（k为整数）。
第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角的定义和表示方式不同。
需要区分第一象限角、锐角以及小于90的角。
弧度制】弧度制是一种角度表示方法，弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad。
角度与弧度的转化公式为1°=π/180 rad。
角度与弧度对应表可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。
弧长和面积的计算公式分别为l=α×R和S=1/2×α×R^2.任意角的三角函数】三角函数包括正弦、余弦和正切。
它们的值可以通过终边上任意点的坐标和半径来计算。
三角函数值对应表可以帮助我们更好地理解它们的取值范围和变化规律。
三角函数在各象限中的符号：在第一象限，x、y坐标都为正，所以sinα>0，cosα>0，tanα>0.在第二象限，x坐标为负，y坐标为正，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0.在第三象限，x、y坐标都为负，所以sinα0.在第四象限，x坐标为正，y坐标为负，所以sinα0，tanα<0.三角函数线：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T。
人教版高三数学三角函数知识精讲2
高三数学三角函数知识精讲一. 本周教学内容： 三角函数任意角的三角函数，三角函数线，同角三角函数关系与诱导公式，三角函数的图像和性质［基本知识点］1° 角的概念的推广（1）终边相同的角：{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}表示与角α终边相同的角的集合。
（2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。
（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。
终边落在轴上的角，终边落在轴上的角，，x k k Z y k k Z {|}{|}ααπααππ=∈=+∈22° 弧度制（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。
（2）弧度与角度的互换 180118011805718===≈πππ弧度弧度弧度，，()()'（3）弧度公式，扇形面积公式： l r =⋅||α S lr r 扇形==12122||α3° 任意角的三角函数（1）定义：设P(x ，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r ，则sin cos ααα===yr x r tg y x ，， csc sec ααα===ryr x ctg x y，， （2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。
规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦注意：角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。
（1）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角； （）角22α终边所在的位置与α终边的位置及k 的取值有关，要对k 的取值结合α的范围情况进行讨论。
（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P 点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
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高中数学必修4三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：.α{}Z k k ∈+=,2παββ§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .rl =α3、弧长公式：.R Rn l απ==1804、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π§1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：α()y x P ,xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设）(),A x yαr =，，，sin y r α=cos x r α=tan yx α=cot x yα=3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.αsin αcos αtan 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.1cos sin 22=+αα2、 商数关系：.αααcos sin tan =3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）Z k ∈1、 诱导公式一： （其中：(),cos 2cos ,sin 2sin απααπα=+=+k k ）Z k ∈2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为： sin y x =[0,2]x π∈30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有()x f x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.()()x f T x f =+()x f图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin =xycos =xy tan =图象定义域RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性π2=T π2=T π=T 奇偶性奇偶奇单调性Zk ∈在上单调递增[2,2]22k k ππππ-+在上单调递减3[2,2]22k k ππππ++在上单调递增[2,2]k k πππ-在上单调递减[2,2]k k πππ+在上单调递(,)22k k ππππ-+增对称性Zk ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π=对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数的图象()ϕω+=x A y sin 1、对于函数：有：振幅A ，周期，初相，相位，频率()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>2T πω=ϕϕω+x .πω21==Tf 2、能够讲出函数的图象与x y sin =的图象之间的平移伸缩变换关系.()sin y A x B ωϕ=++①先平移后伸缩：平移个单位sin y x =||ϕ()sin y x ϕ=+()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x Bωϕ=++（上加下减）②先伸缩后平移：sin y =sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍sin y A xω=横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x ωϕ=+()sin A x Bωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，x∈R 及函数，x∈R(A,,为常数，且A ≠0)的周期；sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ωϕ2||T πω=函数，(A,ω,为常数，且A ≠0)的周期.tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ||T πω=对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与sin()y A x ωϕ=+()2x k k Z πωϕπ+=+∈()x k k Z ωϕπ+=∈解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.x 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.max min 2y y A -=max min2y y B +=要根据周期来求,要用图像的关键点来求.ωϕ§1.6、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：ααsin αcos αtan 12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=6、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，αααcos sin 22sin =.12sin cos sin 2ααα=2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α.α2sin 21-=变形如下：升幂公式：222cos 1cos 22sin ααα=⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、.ααα2tan 1tan 22tan -=4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).ϕ(,)a b tan b aϕ=第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度AB AB AB等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a a2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规λa a λ定如下： ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.0>λa λa 0<λa λa 2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.()0≠a a b λa b λ=§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，21,e e a 有且只有一对实数，使.21,λλ2211e e a λλ+=§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .()y x j y i x a ,=+=§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设，则：()()2211,,,y x b y x a == ⑴，()2121,y y x x b a ++=+⑵，()2121,y y x x b a --=-⑶，()11,y x a λλλ=⑷.1221//y x y x b a =⇔2、 设，则：()()2211,,,y x B y x A .()1212,y y x x AB --=§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ⑴线段AB 中点坐标为，()222121,y y x x ++⑵△ABC 的重心坐标为.()33321321,y y y x x x ++++§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .θb a ⋅2、 在.a b θ34.5、 .0=⋅⇔⊥b a b a §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设，则：()()2211,,,y x b y x a ==⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设，则：()()2211,,,y x B y x A3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==4、点的平移公式平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为，(,)P x y (,)P x y '''(,)PP h k '=则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为()y f x =(,)a h k =().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是l AB l AB直线的方向向量.l ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量nααn α⊥ n α⊥ 叫做平面的法向量.nα⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．α(,,)n x y z =③求出平面内两个不共线向量的坐标．123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==④根据法向量定义建立方程组.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.α（如图）建议收藏下载本文，以便随时学习！2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.12,l l a b 、1l 2l a b ()a kb k R =∈ 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即l a αul αa u ⊥ .0a u ⋅= 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.αu βv αβu vu v λ= 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.12,l l a b、12l l ⊥a b ⊥ 0a b ⋅= 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即l a αu l α⊥a u.a u λ= ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若l a αm n 、0,.a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.αuβv αβ⊥u v ⊥ 0u v ⋅= 即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，,a b ,a b ,a b θ 则cos .AC BDAC BDθ⋅=9⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为l a αu θa u ， 则为的余角或的补角ϕθϕϕ的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅== ⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线βα--l ，则为二面角的平面角.l BO l AO ⊥⊥,AOB ∠βα--l 如图：②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角l αβ--m n 、m n 、ϕ的平面角为，则二面角为的夹角或其补角l αβ--θθm n 、ϕ.πϕ-根据具体图形确定是锐角或是钝角：θ◆如果是锐角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅== 即；arccos m n m nθ⋅= ◆如果是钝角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅=-=- 即.arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线距离l 若Q 为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q 到直线距离为l P l a l b PQ l h =⑵点A 到平面的距离α若点P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，αα平面的法向量为，则P 到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.αn αMP n 即cos ,d MP n MP=10n MP MP n MP ⋅=⋅ n MP n⋅= ⑶直线与平面之间的距离a α 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n ⋅= ⑷两平行平面之间的距离,αβ 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅= ⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方n ,a b ,,M a P b ∈∈,a b d MP n 向上投影的绝对值. 即.n MP d n⋅= 6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AOa a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线AB 在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB ααα与 α(AD)所成的角为， AD 与AC 所成的角为， AB 与AC 所1θ2θ11成的角为．则.θ12cos cos cos θθθ=8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与β()S S 原α()S S '射α平面所成的二面角的大小为锐二面角，则βθ 'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则l 123l l l 、、123θθθ、、有 .2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。
(完整版)高中必修四三角函数知识点总结
§04。
三角函数 知识要点1. ①与α(0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0。
01745 1=57。
30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57。
30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0。
01745（rad ）3、弧长公式：rl ⋅=||α。
扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y)P与原点的距离为r,则 ry =αsin ； rx =αcos ； =αtan yx=αcot ； xr =αsec ；。
yr=αcsc 。
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP ； 余弦线：OM; 正切线： AT.SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域16. 几个重要结论:8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限"公式组二 公式组三(完整版)高中必修四三角函数知识点总结x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x x x xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ xx x x xx xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ，3275cot 15tan -== ，3215cot 75tan +== 。
高中三角函数知识点(集合5篇)
高中三角函数知识点（集合5篇）高中三角函数知识点（1）角的概念的'推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解ω、φ的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tan α?cotα=1”.高中三角函数知识点（2）公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα高中数学三角函数的诱导公式学习方法二推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα高中三角函数知识点（3）口诀记忆法高中数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以帮助记忆。
高中数学三角函数知识点归纳总结
高中数学三角函数知识点归纳总结三角函数的定义和基本性质- 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
- 正弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角的正弦值等于该锐角的对边长度与斜边长度的比值。
- 余弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角的余弦值等于该锐角的邻边长度与斜边长度的比值。
- 正切函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角的正切值等于该锐角的对边长度与邻边长度的比值。
- 三角函数的图像在一个周期内重复，其中周期是正弦函数和余弦函数的周期为360°或2π弧度，正切函数的周期为180°或π弧度。
三角函数的特殊值- 特殊角的正弦值：0°对应的正弦值为0，90°对应的正弦值为1，180°对应的正弦值为0，270°对应的正弦值为-1，360°对应的正弦值为0。
- 特殊角的余弦值：0°对应的余弦值为1，90°对应的余弦值为0，180°对应的余弦值为-1，270°对应的余弦值为0，360°对应的余弦值为1。
- 特殊角的正切值：0°对应的正切值为0，90°对应的正切值不存在，180°对应的正切值为0，270°对应的正切值不存在，360°对应的正切值为0。
三角函数的基本公式- 三角函数的基本公式是：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
- 这个公式表明，对于任意角度x，正弦函数的平方加上余弦函数的平方始终等于1。
三角函数的性质- 正弦函数和余弦函数是偶函数，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
- 正弦函数和余弦函数的函数值位于闭区间[-1, 1]之间。
- 正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
- 正切函数的值在每个周期内的正弦函数和余弦函数值为0的点处不存在。
三角函数的运算- 三角函数的运算包括加减法、乘法和除法。
人教版高二数学三角函数知识点
銳角三角函數定義銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),餘切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的銳角三角函數。
正弦(sin)等於對邊比斜邊;sinA=a/c余弦(cos)等於鄰邊比斜邊;cosA=b/c正切(tan)等於對邊比鄰邊;tanA=a/b餘切(cot)等於鄰邊比對邊;cotA=b/a正割(sec)等於斜邊比鄰邊;secA=c/b余割(csc)等於斜邊比對邊。
cscA=c/a互餘角的三角函數間的關係sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.平方關係：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)積的關係：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒數關係：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1銳角三角函數公式兩角和與差的三角函數：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和的三角函數：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tan β-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)輔助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降冪公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))萬能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]積化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化積公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推導公式：tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0函數名正弦余弦正切餘切正割余割在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的座標為(x，y)有正弦函數sinθ=y/r余弦函數cosθ=x/r正切函數tanθ=y/x餘切函數cotθ=x/y正割函數secθ=r/x余割函數cscθ=r/y正弦(sin):角α的對邊比上斜邊余弦(cos):角α的鄰邊比上斜邊正切(tan):角α的對邊比上鄰邊餘切(cot):角α的鄰邊比上對邊正割(sec):角α的斜邊比上鄰邊余割(csc):角α的斜邊比上對邊三角函數萬能公式萬能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2證明下麵兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可(4)對於任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關係式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC萬能公式為：設tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2)(A≠2kπ+π，k∈Z)tanA=2t/(1-t^2)(A≠2kπ+π，k∈Z)cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2)k∈Z)就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來表示,當要求一串函數式最值的時候,就可以用萬能公式,推導成只含有一個變數的函數,最值就很好求了.三角函數關係倒數關係tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的關係sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscαcα平方關係sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函數關係六角形記憶法構造以"上弦、中切、下割;左正、右餘、中間1"的正六邊形為模型。
高一下册数学知识点总结大全
高一下册数学知识点总结大全高一下册数学知识点总结（人教版）一、三角函数。
1. 任意角和弧度制。
- 任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按旋转方向分为正角、负角和零角。
- 象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
- 弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
|α|=(l)/(r)（α是圆心角弧度数，l是弧长，r是半径）。
- 角度与弧度的换算：180^∘=π rad，1^∘=(π)/(180)rad，1rad = ((180)/(π))^∘。
2. 三角函数的定义。
- 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sinα = y，cosα=x，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
- 三角函数在各象限的符号：sinα在一、二象限为正；cosα在一、四象限为正；tanα在一、三象限为正。
3. 同角三角函数的基本关系。
- 平方关系：sin^2α+cos^2α = 1。
- 商数关系：tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
4. 诱导公式。
- 公式一：sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα（k∈ Z）。
- 公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。
- 公式三：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
- 公式四：sin(π-α)=sinα，cos(π - α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。
- 公式五：sin((π)/(2)-α)=cosα，cos((π)/(2)-α)=sinα。
- 公式六：sin((π)/(2)+α)=cosα，cos((π)/(2)+α)=-sinα。
5. 三角函数的图象与性质。
三角函数高一知识点归纳总结
三角函数高一知识点归纳总结三角函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将对高一阶段学习的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和公式。
一、基本概念1. 角度和弧度：角度是常用的角度单位，以度（°）为表示；弧度是角度的另一种单位，以弧长与半径的比值定义。
弧度的换算公式为π 弧度 = 180°。
2. 常用三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们的定义如下：- 正弦函数：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数：tanθ = 对边/邻边- 余切函数：cotθ = 邻边/对边- 正割函数：secθ = 斜边/邻边- 余割函数：cscθ = 斜边/对边二、特殊角的三角函数值1. 0°、30°、45°、60°、90°角的三角函数值。
通过特殊角的三角函数值的记忆，可以简化计算过程，快速得出结果。
- sin0° = 0，sin30° = 1/2，sin45° = 1/√2，sin60° = √3/2，sin90°= 1- cos0° = 1，cos30° = √3/2，cos45° = 1/√2，cos60° = 1/2，cos90° = 0- tan0° = 0，tan30° = 1/√3，tan45° = 1，tan60° = √3，tan90° = undefined三、三角函数的基本性质1. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。
2. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，即 sin(-x) = -sinx，cos(-x) = cosx。
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高中三角函数总结
1.任意角的三角函数定义：
设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r +=
，则：
)(tan ),(cos ),(sin y x x
y
x r x y r y ⨯===
正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值：
3.同角三角函数公式：
αααααααααα
αtan 1
cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22=
===+=
4.三角函数诱导公式：
（1）)(;tan )2tan(,cos )2cos(
,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=-
（函数名称不变，符号看象限）
（4）;cot )2
tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απ
ααπααπ
α-=+-=+=+
（5）;cot )2
tan(,sin )2cos(,cos )2sin(
ααπ
ααπααπ
=-=-=- （正余互换，符号看象限）
注意：tan 的值，总为sin/cos ，便于记忆；
5.三角函数两角诱导公式：
（1）和差公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±
（2）倍角公式
令上面的βα=可得：αααcos sin 2)2sin(=
α
αααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α
α
α2tan 1tan 2)2tan(-=
6.正弦定理：
△ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ，则有：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理：
△ABC 中三边分别为c b a ,,,则有：ab
c b a C 2cos 2
22-+=
8.面积公式：
△ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ，则有：)(sin 2
1
两边与夹角正弦值C ab S = 9.三角函数图象：
10.关于B x A y ++=)sin(ϕω的性质：
（1）最大值为B A +||，最小值为B A +-||（得最大最小时,1)sin(±=+ϕωx ） （2）周期||2ωπ=
T ，频率π
ω2||1==T f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ （3）图像的对称轴是直线：)(2
Z k k x ∈+
=+π
πϕω，可化简为x=的形式；
（4）图像的对称中心为：B B x A y =++=)sin(ϕω时得到的所有交点（x ，B ） （5）单调区间求取：一利用诱导公式将ω变为正，如变为cos 等，此处假设0>ω，二求出x A y sin =的单调区间，令ϕω+x 分别位于单调区间区域，反解x 范围；
11.图像变换：B x A y ++=)sin(ϕω：
B
x A y x A B y x A y x A
y
x x
y x y x
y B y A y x x ++=→+=-−−−−−→−+=→+=−−−−−−→
−+=+=−−−−−−→−+=−−−−−→−=)sin()sin()sin()sin()
sin()1
sin()
sin(sin 1
ϕωϕωϕωϕωϕωϕω
ϕω
ϕ个单位轴下移沿倍变为原来的纵坐标倍
变为原来的横坐标个单位
轴左移沿
关键点：上+下-（y），左+右-（x），倍数相除（变为原来的n倍，则对应的坐标都除以n）如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。