第5讲 函数及其表示(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第5讲函数及其表示

思维导图

知识梳理

1．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

2．函数的三种表示法

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

核心素养分析

本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。

重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。

题型归纳

题型1 函数的定义域

【例1-1】（2020•东城区一模）函数f(x)=√x−2

x 2+1

的定义域为（ ） A ．（﹣1，2]

B ．[2，+∞）

C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）

D ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）

【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可． 【解答】解：函数f(x)=√x−2

x 2+1

， 令

x−2x 2+1

≥0，得x ﹣2≥0，

解得x ≥2，

所以f （x ）的定义域为[2，+∞）． 故选：B ．

【例1-2】（2020春•邯山区校级月考）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y ＝f （1+x ）+f （1﹣x ）的定义域为（ ） A ．[﹣1，3]

B ．[0，2]

C ．[﹣1，1]

D ．[﹣2，2]

【分析】由已知可得{−1≤1+x ≤2−1≤1−x ≤2，求解不等式组得答案．

【解答】解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，2]， ∴由{−1≤1+x ≤2−1≤1−x ≤2

，解得﹣1≤x ≤1．

∴函数y ＝f （1+x ）+f （1﹣x ）的定义域为[﹣1，1]．

故选：C ．

【例1-3】（2019秋•武邑县校级期中）若函数f(x)=√mx −mx+2

R ，则实数m 取值范围

是 ．

【分析】根据题意知不等式mx 2﹣mx +2＞0恒成立，讨论m ＝0和m ≠0时，分别求出满足条件的m 取值范围即可．

【解答】解：函数f(x)=

x

√mx −mx+2

的定义域为R ，

则mx 2﹣mx +2＞0恒成立，

当m ＝0时，不等式为2＞0，满足题意； 当m ≠0时，应满足{

m ＞0

△=m 2−8m ＜0

，解得0＜m ＜8；

综上，实数m 的取值范围是[0，8）． 故答案为：[0，8）．

【跟踪训练1-1】（2020•北京）函数f （x ）=

1

x+1

+lnx 的定义域是 ． 【分析】根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可． 【解答】解：要使函数有意义，则{x +1≠0

x ＞0，

得{x ≠−1x ＞0， 即x ＞0且x ≠﹣1， 即函数的定义域为{x |x ＞0}， 故答案为：{x |x ＞0}．

【跟踪训练1-2】 （2019秋•椒江区校级月考）已知f(x)=x+1

√−mx +6mx+m+10

的定义域为R ，则实数m

的取值范围是 ．

【分析】根据f （x ）的定义域为R 即可得出，不等式﹣mx 2+6mx +m +10＞0的解集为R ，容易看出m ＝0时满足题意，m ≠0时，得出m 需满足{−m ＞0

△=(6m)2

+4m(m +10)＜0，解出m 的范围即可．

【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴﹣mx 2+6mx +m +10＞0的解集为R ， ①m ＝0时，10＞0恒成立；

②m ≠0时，{

−m ＞0

△=(6m)2

+4m(m +10)＜0

，解得﹣1＜m ＜0；

∴实数m 的取值范围是{m |﹣1＜m ≤0}． 故答案为：{m |﹣1＜m ≤0}． 【名师指导】 1.常见函数的定义域

2.求抽象函数定义域的方法

题型2 求函数的解析式

【例2-1】（2020春•郑州期中）已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f(x)=2f(1

x )⋅√x −1，则f （x ）＝（ ） A ．

13

√x +2

3(x ＞0)

B ．

23

√x +1

3(x ＞0)

C ．√x +1(x ＞0)

D ．√x −1(x ＞0)

【分析】在已知函数解析式中，以1

x

替换x ，得到f(1

x )=2f(x)⋅√1

x −1，与已知等式联立即可求得f （x ）的解析式．

【解答】解：由f(x)=2f(1

x )⋅√x −1，①

以1

x

替换x ，得f(1x )=2f(x)⋅√1x

−1，②

把②代入①，可得f(x)=2√x[2f(x)⋅√1

x

−1]−1， 即3f(x)=2√x +1． ∴f （x ）=23√x +1

3（x ＞0）．

故选：B ．

【跟踪训练2-1】（2020春•莲湖区校级期中）已知y ＝f （x ）是一次函数，且有f [f （x ）]＝16x ﹣15，则f （x ）的解析式为 ．

【分析】由题意设f （x ）＝ax +b ，代入f （f （x ））＝16x ﹣15，化简后列出方程组，解出a ，b 的值即可． 【解答】解：由题意设f （x ）＝ax +b ，

∴f （f （x ））＝a （ax +b ）+b ＝a 2x +ab +b ＝16x ﹣15，

则{a 2=16ab +b =−15

，解得{a =−4b =5或{a =4

b =−3，

∴f （x ）＝4x ﹣3或f （x ）＝﹣4x +5， 故答案为：f （x ）＝4x ﹣3或f （x ）＝﹣4x +5． 【名师指导】

求函数解析式的方法

(1)待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．

(2)换元法

对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．

(3)配凑法

由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式． (4)解方程组法

已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．