直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
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直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：
1. 在所求曲线上选一
点 M ( x, y) ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点 M / (x 0 , y 0 ) 与 M ( x, y) 之间的关系； 3. 利
用 f (x 0 , y 0 )
0 求出曲线 g( x, y) 0 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习
题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线 l 1 : x y 1 0 关于直线 l 2 : 3x y 3 0 对称的直线 l 的方程。
解法 1：（动点转移法）
在 l 1 上任取点 P( x / , y / )( P l 2 ) ，设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y) ，则
3 x /
x y /
y
3 0
x /
4 x 3 y 9
2
y /
2
5
y 1 y /
3x 4 y 3
x /
x
3
5
又点 P 在 l 1 上运动，所以
x y 1 0 ，所以 4x
3y 9
3x 4 y 3 1 0 。即
0 。所以直线 l 的方程是 x
5 5
x 7 y 1
7 y 1
0 。
解法 2：（到角公式法）
x
y 1 0 x 1
的交点为 A(1,0)
解方程组
y 3 0
y
所以直线 l 1 ,l 2
3x
设所求直线 l 的方程为 y k( x 1) ，即 kx y k
0, 由题意知， l 1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等，
则
3 1 k 3 k
1 .所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。
1 3 1 1 3k
7
解法 3：（取特殊点法）
由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) 。在 l 1 上取点 P （2 ， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点 的坐标为 Q( x / , y / ) ，则
3
x /
2 y / 1
/
4 2
2 3 0 x 5
y / 1 1 y /
7
x /
2
3
5
而点 A ，Q 在直线 l 上，由两点式可求直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。
解法 4：（两点对称法 ）
对解法 3 ，在 l 1 上取点 P （ 2 ，1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为
Q (4, 7
) ，在 l 1 上取点
5 5
M （ 0， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 N (12 , 1
) 而 N ， Q 在直线 l 上，由两点式可
求直线 l 的方程是 x 7 y
1 0 。
5 5
解法 5：（角平分线法）
由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) ，设所求直线 l 的方程为：设所求直线 l 的方程为
y k( x 1) ,即 kx y k 0 .由题意知， l 2 为 l ,l 1 的角平分线，在 l 2 上取点 P （ 0 ，-3 ）， 则点 P 到 l ,l 1 的距离相等，由点到直线距离公式，有：
|0 3 1| | 0 3 k |
k
1
或k
1
2 1 k 2
7
k
1 时为直线 l 1 ，故 k
1
7 y 1 0
。所以直线 l 的方程是 x
7
解法 6（公式法）
给出一个重要定理：曲线（或直线
） C : F (x, y) 0 关于直线
l : f (x, y)
Ax
By C
0 的对称曲线 C / （或直线 ）的方程为
2A
2B
F[ x
A 2
B 2 f ( x, y), y A 2
B 2 f ( x, y)]
0.........(1) 。
证：设 M ( x, y) 是曲线 C / 上的任意一点 M ( x, y) ，它关于 l 的对称点为
M / ( x / , y / )，则M / C 于是 F (x / , y / ) 0........( 2) 。∵ M 与 M / 关于直线 l 对称，
B( x x / ) A( y y / ) 0
∴x x / y y /
C 0 A B
2 2
（ 2 ），得 F [ x
2 A
2 f ( x, y), y
A
2 B
x / x
2A f ( x, y)
............(3) ,（3 ）代入
A 2
B 2
y /
y
A 2
2B 2 f ( x, y)
B
2B
2
f ( x, y)] /
的方程。
A 2
B 0 ，此即为曲线 C
解析：定理知，直线 l 1 : F (x, y) x y 1
0 关于直线 l 2 : f (x, y)
3x
y 3 0 的对称
曲线 l 的方程为：
F[ x
2 3 f ( x, y), y
2 ( 1) f ( x, y)] 0
F [ x
3
3), y
1
32
12
32
2
(3x y
(3x y 3)] 0
1
5
5
F ( 4
x
3 y 9 , 3 x
4 y 3
) 0 4 x 3 y 9 ( 3 x 4 y 3
)10
5
5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5
1 x 7 y 1 0,即 x 7 y 1 0 5 5
5
所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重