直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
直线与直线的位置关系——对称
直线与直线的位置关系（3）——对称问题教学目标1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。
2、初步学会解决三角形中的直线问题1、两直线平行和垂直的判定2、点到直线的距离公式(1) 点到直线的距离d ＝|Ax0＋By 0＋C|A 2＋B 2. (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程．解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l.∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得⎩⎨⎧ x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为⎝⎛⎭⎫25，195.(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0.即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下先求A ′(a ，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a ＋4＝－12b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2，∴A ′(4，－2)． ∴直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3x ＋y －10＝0)，得C(2,4)．∴k AC ＝13，k BC ＝－3，∴AC ⊥BC. ∴△ABC 是直角三角形．方法提炼巩固练习： 1、已知直线l ：2x －y －2＝0，试求：(1) 点P(2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；2、已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10,5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1 A ′(1,7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.课堂总结：。
直线对称问题学生
直线系与对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 . 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：例1 （1）求点)2,1(A 关于直线02=++y x 的对称点（2）求)4,3(A 关于直线32+=x y 的对称点（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B （8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m ，n ）重叠，求m+n ；例2：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
关于直线x=1对称是什么意思
关于直线x=1对称是什么意思直线 x=1对称，就是一条垂直的直线。
这是最基本的测量仪器了，也是我们日常生活中常用的一种检测仪器，通过这种方式我们可以很直观地看出数据的质量是否有问题。
如果直线的大小不一致，那么这个数据将产生什么影响呢？首先来说，对于有两条线段呈直线型直线的x轴如果只有一个点，那么其距离上任何一条直线都应该成1。
如果 x=1大于0,那么这条直线型直线是不可能存在误差的。
当然这也仅仅是理论上结果的差异范围。
对于两点之间最大距离为零的数据（距离大就不容易产生误差）在一定范围内是没有意义进行计算和分析的。
但是可以通过将其代入公式得到精确确定。
在这个前提下，我们再来看看最简单地计算方式：如果两条直线平行且一高一低，那么 x=1,因为它是直向（垂直）且平行（水平）方向所以它也叫做对称线(Bulk of Line Tips)。
就直线型数学而言，这条线段不是我们通常所理解的直角边或者弧线圆。
下面将通过这个公式来说明：两个数对称; X= A/（1+β）×0其中直线 x=1对称是因为它们的长度相同，那么我们就可以求出长度了。
如果你要在直线型上做一个点：直视图中将两个相邻相等并且呈垂直状态的直线切成交点称为顶点；如果它平行且一条直线时长为x轴与垂线交点之间最大距离的话，那么它将成为直线。
我们都知道这条直线长就叫做 X （x轴）这个方向上垂直于竖线所对应的最大长度叫它（直角三角形或圆弧）。
”这也是我们经常说在建筑设计上中会用到它的一个主要作用就是以其为圆心画一条中心线或者是画出曲线和斜台状线形成一定角度。
那么这两个角相等并且平行（平面角1、当直线 x=1对称的时候，我们可以通过计算公式求出这些长度。
就会在同一水平面上的任何一点求出它所对应的最大长度与其垂直角度，（角度单位：°）2、直线×1对于在两个不同高度的竖向直线也是一样可以求出长度，如果不能求出长度则要对线长来决定。
如我们所见是2、根据这个公式来推导出如下公式：其中: X= A/（1+β）×0我们也可以通过公式计算出一个公式：比如这个公式就像我们知道 x= a (a) x l+ b= a x a+ b- a 我们就可以得到 a x+ b= a+ c。
怎样求解有关直线对称的问题
解题宝典值域.三、巧用几何法求最值三角函数的性质求得最值，中代数式的几何意义，如将（x ，y ）看作一cos 2x +sin 2x =1看作一个单位圆，将y =x 2物线，等等.然后画出相应的几何图形，曲线、几何图形的位置关系，应的关系式，即可求得三角函数的最值.例5.求函数y =4sin x +12cos x -4的最值.解：y =4sin x +12cos x -4=2·sin x +14cos x -2，可将y =2·sin x +14cos x -2看作点M (cos x A (-14,2)连线的斜率的2倍，设直线l 的方程为y =kx -2k -14且M 在圆心为O (0,0)，半径为1的圆上.过点A 作圆O 的切线，切点分别为B ,C ，由图可知，原点O (0,0)到直线l 于1，则-32≤2k ≤56，所以y max =56,y min =-32.有关直线对称的问题比较常见,但却是比较容易出错的一类题目.常见的有关直线对称的问题有：（1）两条直线关于点对称；（2）两条直线上的点关于点对称；（3）两个点关于直线对称；（4）两条直线关于某条直线对称.下面结合实例探讨一下这四类对称问题的解法.一、两条直线关于点对称如果两条直线关于点对称，那么这两条直线平行.对于这类问题，一般有两种求解思路：①因为对称点到这两条直线的距离是相等的，所以可以根据两条平行直线之间的距离公式：d =|C 1-C 2|A 2+B 2求解；②在一条直线上任选一个点，并在另外一条直线上找到该点的对称点，将问题转化成两条直线上的点关于点对称的问题来求解.例1.已知直线L 1的方程为：2x +5y -7=0，求这条直线关于点（2，4）对称的直线L 2的方程.解法一：先在直线L 1上任选一个点M 1(x 1,y 1),再设直线L 2上关于点（2，4）对称的点为N (x ,y ).根据中点坐标公式可得x 1+x2=2，y 1+y 2=4，则x 1=4-x ，y 1=8-y ，将其代入直线L 1的方程2x 1+5y 1-7=0，可得：2(4-x )+5(8-y )-7=0，化简得2x +5y -41=0，所以直线L 2的方程为2x +5y -41=0.解法二：不妨设直线L 2的方程为：2x +5y +a =0，由于两条直线是关于点（2，4）对称的，所以直线L 1和L 2平行，且到点M (2,4)的距离相等,则由点到直线的距离公式可得：|4+20-7|22+52=|4+20+a |22+52，解得a =-41，所以直线L 2的方程为2x +5y -41=0.解法一是通过确定两条直线上的对称点，将两直44解题宝典线关于点对称的问题转化为两条直线上的点关于点对称的问题，利用中点坐标公式求解；解法二是根据两条直线与对称点之间的位置关系，确定对称点到两条直线之间的距离，进而根据点到直线的距离公式进行求解.二、两条直线上的点关于点对称当遇到两条直线上的点关于某个点对称的问题时，一定要明确两对称点的坐标与其中点的坐标之间的关系.如果一条直线上的点M (x 1,y 1)与另外一条直线上的点N (x 2,y 2)关于点K (a ,b )对称，则K (a ,b )为MN 的中点，此时需根据中点坐标公式建立关系式或方程组ìíîïïïïa =x 1+x 22,b =y 1+y 22,通过解方程求得问题的答案.例2.已知直线L 1:x +3y -6=0和直线L 2:x -2y +3=0，直线过点K (-1,-3)，且与直线L 1，L 2，分别相交于M ,N 两点，若M 和N 两点关于点K 对称，求直线L 的方程.解：设点M (a ,b )，则N (-2-a ,-6-b )，由于M 、N 两点分别在L 1,L 2上，所以ìíîa +3b -6=0,(-2-a )-2(-6-b )+3=0,解得ìíîïïa =515,b =-75,所以M (515,-75)，则N (-615,-235),故直线L 的方程为4x +23y +35=0.解答这道题，一定要抓住关键信息：M 、N 两点分别在L 1,L 2上，且关于点K 对称，这说明M 、N 两点的坐标分别满足直线L 1和L 2的方程，且其中点为K ，据此建立方程组，求出点M 、N 的坐标，即可根据直线的两点式方程求出直线L 的方程.三、两个点关于直线对称当两个点关于直线对称时，可将该直线视为对称轴，那么这两个点的中点在对称轴上，且这两个点所在的直线和对称轴互相垂直.根据中点坐标公式和直线的斜率公式建立方程组，即可解题.例3.已知光线经过点K （-3，4），被直线L ：x-y +3=0反射，反射光线经过点T （2，6），求反射光所在直线的方程.解：设点K （-3，4）关于直线L ：x -y +3=0对称的点为K ′(m ,n )，那么反射光所在的直线经过点K ′，于是ìíîïïïïn -4m -(-3)=-1,-3+m 2-n +42+3=0,解方程可得n =0，m =1，所以K ′(1,0)，而反射光线经过了点T (2,6)，所以反射光线所在直线的斜率为6-02-1=6.则反射光线所在直线的方程为6x -y -6=0.本题实质上是两个点关于直线对称问题，根据中点的坐标公式建立关于M 、M′及其中点的关系式，并根据直线的斜率公式求得反射光线所在直线的斜率，即可解题.四、两条直线关于某条直线对称两条直线关于某一条直线对称的问题，一般都可以转化成点关于直线对称的问题.如果直线L 1和直线L 2关于直线L 3对称（直线L 1和L 2不平行），就可以在直线L 1上任取一个点（非交点）P ，并求出该点关于直线L 3对称的点P′，此时P 与P′关于直线L 3对称，根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解即可.例4.已知直线L 1：x -y =0和直线L 2:2x -y -2=0,求L 2关于L 1对称的直线L 3的方程.解：将直线L 1和直线L 2的方程联立，可得：ìíîx -y =0,2x -y -2=0,解得：ìíîx =2,y =2,所以直线L 1和L 2的交点坐标为（2,2），且L 3必过此点.在直线L 2上任取点（0，-2），其关于直线L 1对称的点是（-2,0），显然这两点的连线与L 3垂直，则直线L 3的斜率为2-02-(-2)=12，所以直线L 3的方程为x -2y +2=0.直线L 1和L 2不平行，则必相交，于是将两直线的方程联立，求得其交点的坐标.而直线L 3必过此点，所以只需根据直线L 1和L 2上关于该交点对称的点的连线与直线L 3垂直的关系，建立关系式，即可求得直线L 3的斜率.总之，解答有关直线对称的问题，需抓住几个关键点：(1)明确直线、点之间的位置关系；（2）灵活运用图形的对称性；（3）合理建立关于点、直线的方程（组）.虽然有关直线对称的问题比较复杂，但是同学们在学习的过程中只要注意总结几类对称问题的通性通法，并通过练习熟练掌握解答这几类问题的方法、技巧，就能在考试时从容应对这类问题.（作者单位：江苏省滨海中学）45。
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧
1. 引言轴对称是初二数学中的重要内容之一，轴对称证明题更是学生们常常遇到的难题。
在学习轴对称证明题的过程中，掌握正确的解题方法和技巧非常重要。
本文将从深度和广度两方面对如何学初二轴对称证明题的解题方法和技巧进行全面评估，并帮助读者更深入地理解这一主题。
2. 掌握基本概念在学习轴对称证明题之前，首先要确保对轴对称的基本概念有清晰的理解。
轴对称是指平面上的一条直线，对称图形关于这条直线对称。
理解这一概念对于解题至关重要。
3. 解题方法解轴对称证明题时，常用的方法包括利用轴对称的性质，利用对称图形的性质以及利用对称中心等方法。
在解题过程中，要善于运用这些方法，灵活应用，找出解题的突破口。
4. 抓住关键在解题中，要抓住题目中的关键信息，理清思路。
通过画图、列式等方式将问题具体化，有助于理清解题思路，找到解题的关键点。
5. 注意细节在进行证明题的解题过程中，要特别注意细节。
细心、仔细地审题，防止因粗心而导致错误的发生。
6. 练习与总结解轴对称证明题需要不断的练习和总结。
通过大量的练习，逐渐加深对题目的理解，找到解题的规律。
要及时总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
7. 个人观点和理解在学习轴对称证明题的过程中，我认为最重要的是多练习、多总结。
只有通过反复的练习和总结，才能真正地掌握解题的方法和技巧。
要养成仔细思考、细心对待每道题目的习惯，这样才能提高解题的准确性和效率。
8. 结语学习初二轴对称证明题的解题方法和技巧需要多方面的综合能力。
只有掌握了基本概念，灵活运用解题方法，注重细节，不断练习，才能在学习中取得更好的成绩。
希望通过本文的介绍，读者对学习轴对称证明题有一定的启发和帮助。
通过以上思路，我会按照您的要求，撰写一篇3000字以上的文章，详细介绍如何学初二轴对称证明题的解题方法和技巧，并共享我的个人观点和理解。
文章将按照知识的文章格式进行撰写，重点突出您指定的主题内容。
撰写完成后，请您审阅并提供反馈意见，谢谢！思想深刻的文章始于对轴对称的基本概念的理解。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。
直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法）在1l 上任取点))(,(2//l P y x P ∉，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以0153435934=--++++-y x y x 。
即017=--y x 。
所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）解方程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7131313113=⇒+-=⨯-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法3：（取特殊点法）由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。
在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为),(//y x Q ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
1.6直线中的对称问题(距离之和,距离之差最大最小问题))
在已知直线上取一点（特殊点）求出此点关于直线对 称点，代入所设直线方程.
练习：一条光线经过P(2,3)射在直线 l : x y 1 0 上，反射后经过点Q(1,1),
求：（1）入射光线所在直线的方程
y
（2）这条光线从P到Q所经路线的长度
l : x y 1 0
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
____ _x_1 _2_x_2_, _y1__2_y2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的
条件是 ____A_x_o_+__B_y_o_+__C__=_0_
知识探究
(二)四类对称
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
l2
0
a 2 4 2
b
2
, 1
解得
a b
4 2
B(4,2)
C· ·B′
由已知l1//l2, 设l2：3x-y+m=0,带入B′ 得m=-10， 所，以l2：3x-y-10=0.
O·
x
B· P·C′
解题要点： 法一： l1//l2 点斜式 或对称两点式
探究3.直线关于点对称
例3.求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2,1)对称的直线 l2的方程. 解 ：设A(x，y)为l2上任意一点，则A关于P的对称点A′(4-x,-2-y)在l1上
x
y x 2
4
4 4
y
1
4 2
2
直线中的对称与最值问题
直线中的对称与最值问题前缀直线是一种在二维平面上的数据结构，用于快速求解关于二维空间中的一条直线的对称点和最值问题。
它的基本思想是将直线上的点按照与直线的距离排序，然后通过前缀和数组来维护距离的累计和，从而实现快速查询。
下面分别介绍对称和最值问题的应用。
对称问题对于一条直线L和一点P，直线L的对称点Q是指在直线L 上，线段P-Q 的中点M 与P重合的点Q，也就是点P关于直线L的对称点。
对称问题就是给出一个点P和一条直线L，求出点P关于直线L的对称点Q。
前缀直线可以用来解决对称问题。
具体步骤如下：1. 对于直线L上的每个点Q，计算点P到点Q的距离d(P,Q)，并对所有距离从小到大排序。
2. 用前缀和数组S[i]表示距离小于等于d[i]的所有点的距离之和，即S[i]=sum(d[j])，其中j=1,2, (i)3. 对于任意M，假设其为点P到直线L的垂线与直线L的交点，则点Q在直线L上的投影P'到点M的距离等于点P到点M的距离，即d(P,M)=d(Q,M)。
4. 对于点M，求出其到直线L的距离d(M,L)，并根据前缀和数组求出点Q到直线L的距离d(Q,L)。
由于d(P,M)=d(Q,M)和d(M,L)=d(Q,L)，则点Q即为点P关于直线L的对称点。
最值问题对于一条直线L，最值问题就是求出在直线L上所有点的某个属性（如横坐标、纵坐标等）的最小值或最大值。
前缀直线同样可以用来解决最值问题。
具体步骤如下：1. 对于直线L上的每个点Q，计算其属性（如横坐标或纵坐标）的值，将其从小到大排序。
2. 用前缀和数组S[i]表示前i个点的属性的和，即S[i]=sum(v[j])，其中j=1,2, (i)3. 对于任意M，假设其为点P到直线L的垂线与直线L的交点，则直线L上属性最小值对应的点的属性值即为S[i]-v[i]，其中i为满足v[i]<=v(M)的最大的i。
同理，直线L上属性最大值对应的点的属性值即为S[n]-S[i]-v[i]，其中i为满足v[i]>=v(M)的最小的i。
直线与直线对称解法
直线与直线对称解法直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
本文将从直线的对称性质、对称解法的基本原理以及实际应用等方面进行介绍和探讨。
一、直线的对称性质直线具有对称性质，即对于任意一点P，存在直线l，使得P关于直线l对称。
这里的对称是指点P关于直线l对称的点P'，具有以下性质：1. 直线l是点P和点P'的垂直平分线，即直线l同时垂直于线段PP'且将线段PP'平分成两等分；2. 点P和点P'关于直线l的距离相等，即线段PP'的长度等于直线l到点P或点P'的距离。
二、直线与直线对称解法的基本原理直线与直线对称解法的基本原理是利用直线的对称性质，通过构造对称的点和线，将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化问题的分析和求解过程。
具体来说，直线与直线对称解法通常包括以下几个步骤：1. 根据问题的要求，找到需要求解的几何关系或性质；2. 根据直线的对称性质，构造对称的点和线，建立对称关系；3. 利用对称关系，分析和推导出原问题的几何关系或性质；4. 根据分析和推导结果，得到问题的解答。
三、直线与直线对称解法的实际应用直线与直线对称解法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在几何问题的证明和构造中常常使用。
1. 几何证明：直线与直线对称解法可以用于证明几何定理和性质。
通过构造对称的点和线，可以将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化证明过程。
2. 几何构造：直线与直线对称解法可以用于几何图形的构造。
通过构造对称的点和线，可以确定几何图形的位置和形状，从而满足给定的条件。
3. 几何分析：直线与直线对称解法可以用于几何问题的分析。
通过对称性质的分析，可以得到几何图形的特征和性质，从而帮助我们理解和解决实际问题。
总结：直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
浅谈解析几何中的对称问题
浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。
后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。
分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。
小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。
）（依据中点坐标公式）。
特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。
，一％）。
2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。
分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。
思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。
再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。
思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。
7.3(5)与直线有关的对称问题
7.3 两条直线的位置关系（5）
——与直线有关的对称问题
例1.求与点P（3，5）关于直线 l:x-3y+2=0对称的点Q的坐标.
x0 3 x0 3 y0 5 PQ 的中点 M （ , ） 2 2 y0 5 1 x0 5 x 3 3 1 0 解之得 y0 1 x0 3 y0 5 3 20 2 2
x1 x 2 y 1＋ y 2 ) B( )C 0 A( 2 2 B y1 y 2
由方程组
x1 x 2
A
可得到 P1关于 l 对称的点 P2的坐标（ x 2 , y 2） ( 其中 A 0， x1 x 2 )
求直线 l1： x y 4 0 关于直线 2 例2： 对称的直线 l 2的方程 .
解：如图，设 B 关于直线 l 的对称点为 B ( x, y )
/
1 y8 x 9 / x5 2 B (9 ,6 ) y y 6 x5 y8 2 7 0 2 2 A
B
B
/
B 在入射光线上
/
入射光线所在方程为
同理地反射光线所在方
y
/
3 1 1 31
k2 3 1 3k 2
P
P
x
又直线 l1与 l 的交点坐标为
)
o
l 2 方程为 7 x y 22 0
练习2 : 光线通过A(2,4)经直线l : 2 x y 7 0反射，若反射 光线通过点B(5,8)，求入射光线和反射光线所在直线方程。
即 2 x 11 y 16 0 .
求直线 l1： x y 4 0 关于直线 2 例2： 对称的直线 l 2的方程 .
第七章 第2节 直线关于直线的对称问题-解析版
第2节 直线关于直线的对称问题知识与方法1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在很多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a 关于直线l 的对称直线a '的问题，这类题求解的时候要抓住两点：（l ）所求直线a '经过直线a 和直线l 的交点P ；（2）对称轴l 上除P 外的另一点到a 和a '的距离相等.2．技巧：当对称轴直线l 的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，代入直线a 的方程，整理即可得到a 关于直线l 的对称直线a '的方程.典型例题【例题】直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线l 的方程为______.【解析】11013300x y x l x y y +-==⎧⎧⇒⇒⎨⎨--==⎩⎩和2l 的交点为()1,0P ， 直线l 也过点P ，可设其方程为()10A x By -+=， 整理得：0Ax By A +-=，在对称轴2l 上取点()0,3Q -，则点Q 到直线1l 和l 的距离相等，其中A 、B 不同时为0223132B A A B----+B A =或7B A =-，若B A =，则直线l 的方程为0Ax Ay A +-=， 即10x y +-=，此时l 与1l 重合，不合题意，所以7B A =-，故直线l 的方程为70Ax Ay A --=，即710x y --=.【答案】710x y --= 变式1 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y -+=的对称直线l 的方程为______.【解析】1101x y x y y x =-⎧-+=⇒⎨=+⎩，代入直线1l 的方程为：()()12120y x --++=， 整理得所求直线l 的方程为210x y -+=.【答案】210x y -+=变式2 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y ++=的对称直线的方程为______.【解析】1101x y x y y x =--⎧++=⇒⎨=--⎩，代入直线1l 的方程得：()()12120y x -----+=，整理得所求直线l 的方程为230x y -+=.【答案】230x y -+=【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称直线的方程，若斜率不是1±，则不能这样做.强化训练1.（★★★）直线l 1:20l x y --=关于直线:330l x y -+=的对称直线2l 的方程为______. 【解析】1520233092x x y l x y y ⎧=-⎪--=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-+=⎩⎪=-⎪⎩与l 的交点为59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线2l 也经过点P ， 可设2l 的方程为59022A x B y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22590Ax By A B +++=，其中A 、B 不同时为0，在直线l 上取点()1,0Q -，则点Q 到1l 和2l 的距离相等， 2212259244A A B A B ---+++，故A B =-或7A B =， 若A B =-，则直线2l 的方程为2240Bx By B -++=，即20x y --=，与1l 重合，不合题意， 所以7A B =，直线2l 的方程为142440Bx By B ++=，化简得：7220x y ++=.【答案】7220x y ++=2.（★★★）直线1:2310l x y --=关于直线:40l x y +-=的对称直线2l 的方程为______.【解析】4404x y x y y x =-⎧+-=⇒⎨=-⎩，代入直线1l 的方程可得：()()243410y x ----=， 化简得所求直线2l 的方程为3250x y --=.【答案】3250x y --=3.（★★★）一光线从点()0,2P 发出，入射到直线:10l x y --=上的点()1,0Q 后被反射，则反射光线所在的直线的方程为______.【解析】如图，由题意，应有反射光线所在的直线和直线PQ 关于直线l 对称，直线PQ 的斜率20201k -==--，其方程为22y x =-+，即220x y +-=， 1101x y x y y x =+⎧--=⇒⎨=-⎩，代入直线PQ 的方程可得：()()21120y x ++--=，化简得反射光线所在直线的方程为210x y +-=.【答案】210x y +-=。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有:点关于点对称;点关于直线对称;直线关于点对称;直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称(运用中点坐标公式)例1 已知点A(－2,3),求关于点P(1,1)的对称点B(00y ,x )。
练习 求点A(2,4)关于点B(3,5)对称的点C 的坐标、二、直线关于点的对称求直线l :0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ,即设1l :01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P(2,－1)对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程、三,点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面: 1,直线1PP 必定与l 垂直关系,有11-=⋅l PP k k (k 存在) 2,1PP 的中点必在l 上例3 求点A(2,2)关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习:求点A(1,3)关于直线l:x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种:1,关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 (1)设2l :02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 (2)求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P (3)将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
直线的对称问题解析
直线系对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 .2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭ 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等；② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)；④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一：由3a+2b=1得:b= 12(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x – 3 2 y-1)+a(x - 3 2 y)=0 由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)∴直线过定点(1, 23).思路二：赋值法令a=0得b= 12 得L 1: 2x - 32 y-1=0令b=0得a= 13 得L 2: x – 32 y=0由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= 13(3a+2b-1)∵3a+2b-1=0 ∴左边=0 这说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1, 23).例2:求证:无论λ为何值,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离d 都小于4 2 . 证明：将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M 易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 2 所以d ≤4 2而过点M 垂直PM 的直线方程为x-y-4=0, 又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4 2【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、已知直线：l kx y k k R -++=∈120() （1）证明直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围。
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直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：
1. 在所求曲线上选一
点 M ( x, y) ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点 M / (x 0 , y 0 ) 与 M ( x, y) 之间的关系； 3. 利
用 f (x 0 , y 0 )
0 求出曲线 g( x, y) 0 。
直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习
题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线 l 1 : x y 1 0 关于直线 l 2 : 3x y 3 0 对称的直线 l 的方程。
解法 1：（动点转移法）
在 l 1 上任取点 P( x / , y / )( P l 2 ) ，设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y) ，则
3 x /
x y /
y
3 0
x /
4 x 3 y 9
2
y /
2
5
y 1 y /
3x 4 y 3
x /
x
3
5
又点 P 在 l 1 上运动，所以
x y 1 0 ，所以 4x
3y 9
3x 4 y 3 1 0 。
即
0 。
所以直线 l 的方程是 x
5 5
x 7 y 1
7 y 1
0 。
解法 2：（到角公式法）
x
y 1 0 x 1
的交点为 A(1,0)
解方程组
y 3 0
y
所以直线 l 1 ,l 2
3x
设所求直线 l 的方程为 y k( x 1) ，即 kx y k
0, 由题意知， l 1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等，
则
3 1 k 3 k
1 .所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。
1 3 1 1 3k
7
解法 3：（取特殊点法）
由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) 。
在 l 1 上取点 P （2 ， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点 的坐标为 Q( x / , y / ) ，则
3
x /
2 y / 1
/
4 2
2 3 0 x 5
y / 1 1 y /
7
x /
2
3
5
而点 A ，Q 在直线 l 上，由两点式可求直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。
解法 4：（两点对称法 ）
对解法 3 ，在 l 1 上取点 P （ 2 ，1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为
Q (4, 7
) ，在 l 1 上取点
5 5
M （ 0， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 N (12 , 1
) 而 N ， Q 在直线 l 上，由两点式可
求直线 l 的方程是 x 7 y
1 0 。
5 5
解法 5：（角平分线法）
由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) ，设所求直线 l 的方程为：设所求直线 l 的方程为
y k( x 1) ,即 kx y k 0 .由题意知， l 2 为 l ,l 1 的角平分线，在 l 2 上取点 P （ 0 ，-3 ）， 则点 P 到 l ,l 1 的距离相等，由点到直线距离公式，有：
|0 3 1| | 0 3 k |
k
1
或k
1
2 1 k 2
7
k
1 时为直线 l 1 ，故 k
1
7 y 1 0。
所以直线 l 的方程是 x
7
解法 6（公式法）
给出一个重要定理：曲线（或直线
） C : F (x, y) 0 关于直线
l : f (x, y)
Ax
By C
0 的对称曲线 C / （或直线 ）的方程为
2A
2B
F[ x
A 2
B 2 f ( x, y), y A 2
B 2 f ( x, y)]
0.........(1) 。
证：设 M ( x, y) 是曲线 C / 上的任意一点 M ( x, y) ，它关于 l 的对称点为
M / ( x / , y / )，则M / C 于是 F (x / , y / ) 0........( 2) 。
∵ M 与 M / 关于直线 l 对称，
B( x x / ) A( y y / ) 0
∴x x / y y /
C 0 A B
2 2
（ 2 ），得 F [ x
2 A
2 f ( x, y), y
A
2 B
x / x
2A f ( x, y)
............(3) ,（3 ）代入
A 2
B 2
y /
y
A 2
2B 2 f ( x, y)
B
2B
2
f ( x, y)] /
的方程。
A 2
B 0 ，此即为曲线 C
解析：定理知，直线 l 1 : F (x, y) x y 1
0 关于直线 l 2 : f (x, y)
3x
y 3 0 的对称
曲线 l 的方程为：
F[ x
2 3 f ( x, y), y
2 ( 1) f ( x, y)] 0
F [ x
3
3), y
1
32
12
32
2
(3x y
(3x y 3)] 0
1
5
5
F ( 4
x
3 y 9 , 3 x
4 y 3
) 0 4 x 3 y 9 ( 3 x 4 y 3
)10
5
5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5
1 x 7 y 1 0,即 x 7 y 1 0 5 5
5
所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重
要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解 . 熟练掌握和
灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键 .
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个
方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于 -1 ，②两点的中点在已知直线上 .
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注
意到的是两对称直线是平行的 . 我们往往利用平行直线系去求解 .
例求直线 2x+11y+16=0 关于点 P（0，1）对称的直线方程 .
分析本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以
先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定
相关常数 .
解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方
程为 2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27 ，得 c=16 （即为已知直线，舍去）或 c= -38. 故所求对称直线方程为
2x+11y-38=0.
解法二在直线 2x+11y+16=0 上取两点 A（-8 ，0），则点 A（-8 ，0）关于 P （ 0，1）的对称点的 B（ 8，2） . 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故
可设对称直线方程为 2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得 c=-38.
故所求对称直线方程为 2x+11y-38=0.
点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两
直线距离相等，而求出 c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用
中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程 . 本题两种
解法都体现了直线系方程的优越性 .
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交 . 对于①，
我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再
用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题 .
例求直线 l1：x-y-1=0 关于直线 l2：x-y+1=0 对称的直线 l 的方程 .
分析由题意，所给的两直线 l1， l2 为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转
化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求
解答 .
解根据分析，可设直线 l 的方程为 x-y+c=0 ，在直线 l1：x-y-1=0 上取点 M（1，0），则易求得 M 关于直线 l2： x-y+1=0 的对称点 N（-1 ，2），
将N 的坐标代入方程 x-y+c=0 ，解得 c=3 ，
故所求直线 l 的方程为 x-y+3=0.
点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l2 上的
任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.。