证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版
数列不等式放缩技巧
数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B 成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法，简称放缩。
在高考数列不等式中，常常伴随着类似1()ni i a f n =∑＜形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。
【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩； 技巧积累： (1)21111=(2(1)1n n n n n n ---＜≥）；22211411==214121214n n n n n ---+-＜（）(2)n n n -+<+221（3）)1(21)1(2--<<-+n n nn n(4) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (5)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (6))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rr n r (7)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。
2、放缩的注意事项1111)2(1)(1)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦，n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式1()ni i a f n =∑＜时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。
不等式的放缩技巧
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设求证.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n .2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=，，2121)1(+=++<+<k k k k k k )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放2b a ab +≤1)1(+<+k k k 2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
3,2=n例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为bxa x f 211)(⋅+=54)1(=f )(x f ，求证：（02年全国联赛山东预赛题）21.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n例3 已知为正数，且，试证：对每一个，b a ,111=+ba *∈N n .（88年全国联赛题）1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 简析 由得，又，故111=+b a b a ab +=42)11)((≥++=++abb a b a b a ，而，4≥+=b a ab nn nr r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(令，则nnnb a b a n f --+=)()(=，因为，倒序相加得)(n f 1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C in ni n C C -==，)(2n f )()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ 而，则1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r rrn n n b a b a ab b a b a ab b a=)(2n f ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++，所以，即对每一个，⋅-≥)22(n 12+n )(n f ⋅-≥)22(n n 2*∈N n .1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 例4 求证.),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- 简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C 32112222112-++++=-n n =，原结论成立.nn n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> 212-⋅n n 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得)0,0(>>>++>m a b ma mb ab>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn 即⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n .12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法2 利用贝努利不等式的一个)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 特例(此处)得12121)1211(2-⋅+>-+k k 121,2-==k x n =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
利用放缩法证明数列型不等式
1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
放缩法证明数列不等式讲义
利用放缩法证明数列不等式讲义姓名 班级放缩法的注意问题以及解题策略：1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和， 则可考虑使用放缩法证明不等式。
而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩, 把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放大还是缩小。
若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小。
3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。
4.常见的放缩方法有：增加(减少)某些项； 增大(减少)分子(分母)； 增大(减小)被开方数；增大(减小)底数(指数)； 利用不等式的性质或重要不等式； 利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式： （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<，21n n n >+-，111n n +->-，2(1)n n n n +>=（3）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+，11n n n n -<+，212221n n n n +>- （4）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （5）111111123n n n n n n n+++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+== （6）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（7）2)n<≥(9)<<<=（11）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n na a a a a a a a n--≤-+-++-≥(12)1112(21)212n n n n=---(13)1211222211(2)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n n nn---=<==-≥---------⎛⎫=<==<6、常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①形如1niia k=<∑（k为常数）；②形如1()niia f n=<∑；③形如1()niia f n=<∏；④形如1niia k=<∏（k为常数）.途径1.放缩为等差等差⨯1，后用裂项，有些数列不一定从第一项就开始放缩例1：（1）求证：2131211222<++++n（2）求证：2222111171234n++++<途径2：放缩为等比数列，并不一定从第一项起就开始放缩。
不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
数列不等式放缩技巧
数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，简称放缩。
在高考数列不等式中，常常伴随着类似形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。
【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩；技巧积累：(1)；(2)（3）(4)(5)(6)(7)②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。
2、放缩的注意事项①熟练掌握裂项技巧，如：，这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。
③可以只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项）。
【例题讲解】1、通项公式的放缩1、（2013广东理）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求数列的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.2、求证:3、（2012广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.2、递推式的放缩1、已知,求证:当时,2、已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3、加强命题1、数列中，，对任何，都有。
（1）求通项公式；（2）证明：对任何，4、利用不等式或函数放缩1.设,求证解析: 此数列的通项为，，即2、设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.解析:（过程略）.证明（II）：由知，∵，∴.∵当时，，∴.证明（Ⅲ）：由知.∴恰表示阴影部分面积，显然④∴.【课后练习】1、（2014广东文）设各项为正数的数列的前和为,且满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有2、(2014新课标2理)已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.3、已知,,求证:.4、已知数列中，。
解决数列放缩问题的六大技巧
解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和（公众号：凌晨讲数学）这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：（公众号：凌晨讲数学）例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（公众号：凌晨讲数学）（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版
证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：.-T 2⑴添加或舍去一些项，如：a ⑵将分子或分母放大(或缩小)1 1例2. a n (一)"，前n 项和为S n ，求证：Sn —3 2先放缩再求和1) n⑶利用基本不等式，如: ig3 ig5 (lg3 lg5)2 ⑷二项式放缩：2n (1 1)n 2n c ° c n c ； c 0 n 2 c n n 22 2c n , 2n 2 n(n C 0 c1)(n 2)(5)利用常用结论:I . 1的放缩：k 1的放缩⑴ k 2 k 1 k(k 1) k .. 1 k(k 1)(程度大)IV . 右的放缩⑵ 1 k 2 1 (k 1)(k)(程度小)1的放缩(3): k 2 1 k 7 2G 1 )(程度更小)2k 1,n(n 1)山尸ig4 ；2分式放缩还可利用真(假) 分数的性质 ：b —(b a 0,m 0)和b —(a b 0,m 0) a a m a a m记忆口诀“小者小，大者大”。
解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例: f(x) — (x 0),从而实现利用函数单调性质的放缩:1 xf(a b) f(a b)。
先求和再放缩例 1. a n ,前n 项和为S n ，求证: n (n 1)S n 111（一）放缩后裂项相消 例 3•数列{a n } , an ( 1)n n ，其前 n 项和为Sn ，求证:S2n（二）放缩后转化为等比数列。
{b n }满足：3 1，b n 例4. b n 2 (n 2)b n 3 (1) 用数学归纳法证明: 1b nT n(2) bi 3 b 23 b s bn ，求证: T n三、裂项放缩例 5.(1) 2 k 1 4k 2-的值； 1求证：例 6.(1) 1 1 1 7 32 52 (2n 1)2 6 1 1 1 1 16 36 4n 2 2 1 1■,7n 1 1) 1 L L 求证: 求证: 1 4 求证:1 2(2n 1) 丄 4n 丄 £(j 2n 1 1)/n1 (n 2) 例7.求证： (n 1)(2n 1) 6n例 8.已知 a n 4n 2n ，T 2n ,求证：T T Ta i a 2 a n四、分式放缩姐妹不等式：b a 0,m 0)和b a a m a记忆口诀”小者小，大者大” 解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.例9.姐妹不等式：。
利用放缩法证明数列型不等式
利用放缩法证明数列型不等式
处理数列型不等式最重要的方法是放缩法，放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性。
优点是能迅速的化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；缺点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
在具体解题的时候，首先要确定这道题的放缩目标是什么，然后针对相应的放缩目标，来寻找最适合的放缩方法。
一、裂项放缩
在数列求和中，当涉及到一些关于数列与不等式的证明题时，可以用裂项法来去进行求和，而后进行不等式大小的比较。
对于以上数列的裂项放缩公式，仅仅是提供一些参考。
在看的时候，对于常见的、有规律的放缩公式，可以顺便记忆下来，后续在遇到类似的题目时，就可以直接反应过来，并使用。
而对于那些较为复杂并没有规律的公式，可以多看几遍，学习一下具体的放缩步骤和放缩技巧。
这样的话，就可以在以后的做题过程中，见招拆招。
以便找到最合适的放缩方法。
点拔：一般先分析数列的通项公式。
如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列an满足条件an+1—an=f(n)，那么求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和。
二、函数放缩
函数放缩就是通过构造函数的方式，利用函数的单调性来进行求解数列不等式的一种方法。
需要注意的是，在构造函数的过程中，需要证明一下所构造函数的单调性，同时注意定义域的取值范围。
三、分式放缩
四、部分放缩
五、分类放缩
六、迭代放缩
七、借助数列递推关系
八、均值不等式放缩
九、添减项放缩。
数列不等式证明中的一些放缩技巧
数列不等式证明中的一些放缩技巧1. 放缩为裂项求和例1.设数列{}n a 的前n 项的和1*4122,333n n n S a n N +=-⨯+∈. (1) 求首项1a 与通项n a ；(2)设*2,n n n T n N S =∈，证明：132n i i T =<∑.解：（1）*12,42,n n n a a n N ==-∈； (2)1141222(21)(21),3333n n n n n S a ++=-⨯+=-- 所以，1113113()221212ni n i T +==⨯-<--∑. 2.放缩为等比求和例2.已知数列{n a }满足*111,21()n n a a a n N +==+∈ (1) 求数列{n a }的通项公式； (2) 证明：122311(*)232n n a a a n nn N a a a +-<++⋅⋅⋅+<∈ 解：（1）21(*)n n a n N =-∈;(2)先证不等式的右边：1121211,1,2,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=⋅⋅⋅--122312n n a a a na a a +∴++⋅⋅⋅+<. 再证不等式的左边：（先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和）111211111111,1,2,,.2122(21)23222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-⋅=⋅⋅⋅--⋅+- 1222311111111()(1)2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+=-->-. 例3.设数列{n a }满足211,1,2,3,n n n a a n a n +=-⋅+=⋅⋅⋅(1) 当12a =时，求234,,,a a a 并由此猜想出n a 的一个通项公式； (2) 当13a ≥时，证明对所有的1n ≥，有（ⅰ）2n a n ≥+； （ⅱ）121111.1112n a a a ++⋅⋅⋅+≤+++ 证明：（ⅱ）由 (ⅰ)2n a n ≥+,下面考虑对1+n a 进行缩小2112(2)22(1),n n n n n n a a n a a n n a a +∴+=-⋅+≥⋅+-⋅+=+2211112(1)2(1)2(1)2.n n n n n a a a a ++-∴+≥+≥+≥⋅⋅⋅≥+≥111,1,2,3,,12k k k a +∴≤=⋅⋅⋅+ 23123112111111111111222222n n n a a a ++++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=21121212=-. (无穷递缩等比数列，其部分项和11n a S q<-所有项的和S=) 3.奇偶相邻问题捆绑求和放缩例4.已知数列{n a }的前n 项和n S 满足2(1), 1.n n n S a n =+-≥ (1)写出数列{n a }的前3项123,,a a a ； (2)求数列{n a }的通项公式； (3)证明：对任意的整数m>4,有4511178m a a a ++⋅⋅⋅+<. 解：(2)212[2(1)]3n n n a --=+-; (3)由（2）不等式左边=2323111[],221212(1)m m-++⋅⋅⋅+-+--分母-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：2323343411111111,212122212122+>++<+-++-，因此，可将2121-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对m 进行分类讨论： 当3n ≥且n 为奇数时，212121231223111311322322()221212222122n n n n n n n n n n n n a a ----------++++=+=⋅<⋅+-+-- =12311()()222n n --⋅+减项放缩，于是(1)当m>4且m 为偶数时454561342411111111()()131111311137()(1).222222242288m m m m m a a a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++<+++⋅⋅⋅+=+⨯⨯-<+=(2)当m>4且m 为奇数时454511111111()m m m a a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++添项 由（1）知：451111178m m a a a a +++⋅⋅⋅++<. 总之，数列和不等式的证明，关键是把和求出来，若不能直接求和，就要先把通项放缩，再求和，求和后再放缩，证得结果. 练习：1.(2008年高考浙江卷理)已知数列{n a }，221110,0,1(*)n n n n a a a a a n N ++≥=+-=∈,记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，11212111.1(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+ 求证：当*n N ∈时，(1)1;n n a a +< (2)2n S n >-; (3)3n T <.(1)数学归纳法，（2）逐差累加，（3）左边放大为等比数列再求和.后记：放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点，由于其灵活多变，许多学生觉得没有规律，无从着手.本文根据《中学数学》2010第2期黄俊峰、袁方程的文章整理，以期在教学、复习时能有所借鉴.（ 郑碧星 2011-2-20）。
几种常见的放缩法证明不等式的方法
For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s求证：2n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
不等式放缩的万能解法
不等式放缩的万能解法不等式放缩是一种重要的不等式技巧，可以用来化简和证明复杂的不等式问题。
不等式放缩法可以分为取平均数和加均值不等式两种方法。
下面详细介绍这两种方法。
一、取平均数法取平均数法是不等式放缩中常用的一种方法。
它的基本思想是用不等式两边的平均数代替两个数，从而使不等式更易于处理。
下面描述取平均数法的运用步骤：1.将不等式中的变量全部提到一边，令不等式右边为0，即将不等式转化为a(x)≥0（其中a(x)是函数表达式）。
2.对a(x)进行适当的平均化处理，将其表示为两个平方数之差或两个次幂之比。
3.应用柯西不等式或均值不等式等不等式，将不等式继续简化。
4.进一步处理化简后的不等式，尽量将其化为简单明了的形式。
例如，我们要证明：当x>0时，有以下不等式成立：(1+x)ln(1+x) > x1.将不等式转化为：f(x)=(1+x)ln(1+x)−x>0。
2.考虑将f(x)表示成两个平方数之差，可以作如下变换：f(x)=(x+1)(ln(x+1)−x/(x+1))=(x+1)ln[(x+1)/e^(x/(x+1))]3.令y=(x+1)/e^(x/(x+1))，那么f(x)就可以表示成f(x)=ln(y)(y−e^−x)>0。
4.根据$f(x)=ln(y)(y−e^{-x})>0$，则y>e^x，即(y−e^-x)/y<1。
故有：f(x)=ln(y)(y−e^−x)>ln(y)(1−y/e^x)。
应用柯西不等式，有：f(x)=ln(y)(y−e^−x)>ln[y(1−y/e^x)]4.化简上式，执行以下步骤：f(x)>ln[(1+x)/(1+(1/e^x^))]. 因此，$f(x)>ln[(1+x)/(1+(1/e^x^))]−1/e^x$5.由于ln(x)是一个凸函数，使用函数的凸性可以证明上式成立。
因此，原命题得证。
二、加均值不等式法加均值不等式是不等式放缩中常用的一种方法。
数列不等式证明的十种放缩技巧
数列不等式证明的十种放缩技巧
数列不等式的证明是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，虽然现在高考对数列考察的难度有所降低，但该类问题依旧是考察的重点．证明此类不等式最常用的手段是放缩策略，但放缩策略的思维跨度大、构造性强，除要求解题者时刻注意把握好放缩的“尺度”外，还需要具有较强的拆分组合能力，本文结合新课程介绍数列不等式证明中的十种放缩技巧，供师生参考．
用通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾．将不等式加强主要是为了方便使用数学归纳法证明不等式，加强不等式的形式有多种，解答时要注意观察不等式的结构，仔细推敲，大胆猜想，找出简洁合理的加强方式加以证明．。
数列型不等式放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各 级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列 通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种: 利用重要不等式放缩均值不等式法丁 k <；J k(k +1) < ------ =k +—，”•.£ k c Sn vS (k +-)，2 2 y k 2即 n(n +1) S n(n +1)丄n (n +1)2----- <S ^ < -------- 〒—< -------- .2 2 2 2注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 /ab <M^-2若放成 J k (乔H <k +1 则得 s n cZ (k +1)=(n B (n +3)〉(n+1)2，就放过“度”了！nk±22②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里一屮…+丄a 1a n法2利用贝努利不等式 (1+x)n>1+ nx(n 亡N* n >2, x > —1, x 北0)的一个特例1. 2设 S n十"+J n(n +1).求证 n (n 十1)<S n <(.2 2此数列的通项为 a k = J k(k +1),k =1,2，…,n., _____ k +k +1 1 nn1解析aj 屮…+a 2n其中，n = 2,3等的各式及其变式公式均可供选用。
1 41 已知函数f(x)= -------- b -，若f(1)=-，且f (x)在［0，1］上的最小值为 一1+a ”2bx 5 211 - f (1) + f (2)屮"+ f (n) > n —— . (02年全国联赛山东预赛题)2 21 1 ^^(xH0)= f(1)+" + f( n)>(1-宀) 2・2x 2X 21 1 1 1 1求证:简析4x 1 f(x) -^V>1 1 +4x 1 +4x1 1 +(1 -— )十…+(1 -——r) =n -丄(1 屮…+召)=n +吕一丄. 4、2 2n 斗 出 2n J.〉n 2 2(n >1, n ^ N).：=2n -1=1 + 2 + Z 2 屮"+ 2n^例 3 求证 c ： +c 2 +C n 3 十•• 简析 不等式左边 C ： t c ： + c3十…+CnJ>n 2 £ 2n - = n 2 2，故原结论成立.2•利用有用结论例 4 求证(1 +1)(1+一)(1+一)…(1+ ------- ) A J 2n +1.352n-1简析 本题可以利用的有用结论主要有：1利用假分数的一个性质 ->"^m (b >a >"0,m >0)可得a a +m '7 2n +1 1 3 5 2 n —1 丄 一… ---- =一 •- 一… ----- (2n +1) 6…2n 5 2n —1 2 4 6 (-.一 1 3 5 3 5 > —— 2 42n )2 >2 n +1 即(1+1)(1+-)(1 + -)…(1+ ------- )」2 n +1. 2n —1 3 5 2n-1（1 + 丄）2>1 +2 ”丄（此处n =2,x =丄）得2k -1 2k —1 2k -11A J 2^^ fl （1 +^^） =f^2^.2k _1 ¥2k _1 烂 2k _1 担Y 2k _1注：例4是佃85年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法1.上凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n>0$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n>a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
2.下凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n<0$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
3.奇偶性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$的奇偶性与$n$的奇偶性相同，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
4.整除性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$能整除$n$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
5.线性递增法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
6.线性递减法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
7.最值法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为一组有界变量，且$a_n$有最大或最小值，则可通过对最大或最小值进行放缩得到不等式。
8. 平均值大小法：如果数列满足$a_1,a_2,\ldots,a_n$的平均值满足一些条件，则可借助平均值大小的不等式进行放缩。
9.乘积法：如果数列满足相邻项的乘积满足一些条件，则可通过对乘积进行放缩得到不等式。
举个例子来说明这些放缩技巧的应用：问题：证明数列$a_n=\frac{1}{2n-1}$是递减的。
解答：我们可以使用上凸性法进行放缩。
由$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2(n+1)-1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}<0$所以$a_n>a_{n+1}$，即数列$a_n$是递减的。
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[]1,0上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f例3 求证),1(221321N n n n C C C C n nn n n n ∈>⋅>++++- .2．利用有用结论例4 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n（变式）证明.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n例5 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n n a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。
例6 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ （1）用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；（2）对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）例7 已知不等式].[log 2,],[log 211312122n n N n n n >∈>+++* 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n求证.3,][log 222≥+<n n b ba n例8 设nn na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a二 部分放缩例9 设++=a n a 211.2,131≥++a n a a求证：.2<n a例10 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ；21111111)(21≤++++++n a a a ii三 添减项放缩上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。
数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)
2、设 为自然数，求证
3、若 是自然数，求证
证明：
=
=
注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
4、求证：
证明：由 （ 是大于2的自然数）
得
5、若a,b,c,dR+，求证：
证：记m= ∵a,b,c,dR+
∴
∴1 < m < 2即原式成立。
5、逐项放大或缩小
例5、设 求证：
证明：∵
∴
∴ ，∴
本题利用 ，对 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
（二）放缩后转化为等比数列。
例2. 满足：
（1）用数学归纳法证明：（2） ，求ຫໍສະໝຸດ ：解：(1)略(2)又
，
迭乘得：
点评：把握“ ”这一特征对“ ”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！
三、裂项放缩
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易经过裂项得到
再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例7.求证:
解析:一方面:因为 ,所以
另一方面:
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,所以综上有
例8.已知 , ,求证: .
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证明数列不等式的常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n
⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,
2
222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：
Ⅰ.
的放缩 Ⅱ. 21k
的放缩(1) ：
2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k
k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2
1k 的放缩(3)：221
4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m
a m
b a b
记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例：()(0)1x f x x x
=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。
一． 先求和再放缩
例1.)
1(1+⋅=
n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1<n s
例2.n n a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：2
1<n s
二． 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消
例3．数列
{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s
，求证：
22n s <
（二）放缩后转化为等比数列。
例4. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+
（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥
（2）
1231111...3333n n T b b b b =
++++++++，求证：12n T <
三、裂项放缩 例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=n k k .
例6.(1)求证:)2()12(2167)
12(151311222≥+->-++++n n n Λ
(2)求证:n
n 412141361161412-≤++++Λ (3)求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n
n Λ
例7.求证:3
5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ
例8.已知n n n a 24-=,n n n
a a a T +++=Λ212,求证:2
3321<++++n T T T T Λ.
四、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:12)1
211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和
1
21)211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为 12)
12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和121
2642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ
例10.证明:.13)2
311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ
五、均值不等式放缩
例11.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2
+<<+n S n n n
例12.已知函数bx a x f 211)(⋅+=，a>0,b>0,若5
4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最大值为21， 求证：.2121)()2()1(1
-+>++++n n n f f f Λ
六、二项式放缩
n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,
例13.设N n n ∈>,1，求证)
2)(1(8)32(++<n n n .
例14. n n a 32⋅= , 试证明：.121111424n n n a a a +++<+L ≤
七、部分放缩(尾式放缩)
例15.求证:
74123112311311<+⋅+++⨯++-n Λ
例16. 设++=a n a 2
11.2,131≥++a n a a Λ求证：.2<n a
八、函数放缩
例17.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n
∈+-<++++Λ.
例18.求证:)2()
1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ
例19. 求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ
九、借助数列递推关系
例20. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n Λ
例21.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n ΛΛΛ
十、分类放缩 例22.求证:2
12131211n n >-++++Λ。