第10讲 三角恒等式一(数学竞赛)
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第10讲 三角恒等式与三角不等式（一）
【赛点突破】
1． 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
2． 同角函数基本关系：平方关系，倒数关系，商关系。 3．
三角公式：和差倍半，和差化积，积化和差。
【范例解密】
例1若x 是锐角，证明：（1）sin tan x x x <<；（2）
sin tan 2
x x
x +>。 分析与解：（1）如图，在单位圆中，
OAB OAB OBC S S S ∆∆<<扇形，即sin tan x x x <<；
（2）224tan
tan
2tan
sin tan 22
221tan 1tan 1tan 222
x
x x
x x x x x +=+=
+-- 2tan 222
x x
x >>⨯=。
注：（2）的变形值得回味。
例2
2tan x =-，求x 的取值范围。
解：原式左边=
1sin 1sin 2sin cos cos cos x x x
x x x
-+--=，故cos 0x >或者sin 0x =，则 22,22
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈或者,x k k Z π=∈。
注：本题非常容易漏解，考查思维的严谨性。
例3
求15
()()44f x x =
≤≤的最小值。
分析与解：sin()2
()x f x π
π-+=54x =取得最大值，分子当54x =取得最小值，故5
4
x =
原式取得最小值。 注：解决问题的思维值得借鉴。
例4求
1
tan10cos50
+的值。
分析与解：
1cos802cos 40cos80cos402cos60cos 20 sin40sin80sin80sin80
++
+=
=
2cos30cos10
3
sin80
==。
注；tan10cot80
=是一个很好的变形，另外2cos40
cos802cos(12080)
+
=-
cos802sin120sin80
+=是一个更启发思路的方法。
例5()sin2)sin()23,[0,]
42
f x x x a x
ππ
=-+++∈，若
()
cos()
4
f x
x
π
>
-
恒成立，求a的取值范围。
分析与解：设sin cos
x x t
+=∈，则2
sin21
x t=-，原不等式化为
2
4
(2)22
t a t a
t
-+++>，即
2
(2)()0
t t a
t
-+-<，故
2
a t
t
>+恒成立，则3
a>。注：其中的三角换元是常用的重要方法，高次方程的分解因式是稍高的技巧。例6ABC
∆中，求cos cos cos
A B C
++的最大值。
分析与解：原式2
2cos cos cos2sin12sin
2222
A B A B C C
C
+-
=+≤+-=
2
13
2(sin)
222
C
--+，故当
3
A B C
π
===时原式的最大值是
3
2
。
注（1）如果求cos cos cos
A B C
++的值域呢？
（2）3
cos cos cos cos2cos2cos
322
C
A B
A B C
π
π+
+
+++≤+≤
3
3
4cos
42
A B C
π
+++
=是很好的方法，由此如何解决sin sin sin
A B C
++的最值问题，并和其他的方法比较。
例7,a b是正实数，且
sin cos8
55tan
15
cos sin
55
a b
a b
ππ
π
ππ
+
=
-
，求
b
a
的值。
分析与解：设tan,
b
x x
a
=是锐角，则
tan tan8
5tan
15
1tan tan
5
x
x
π
π
π
+
=
-
，即
8
tan()tan
515
x
ππ
+=，
故
8
,
5153
x x
πππ
+==，
b
a
=
注：本解法比较灵巧，还有多种基本的方法，请自己探索。