专题五 图形的旋转与中心对称

专题五图形的旋转与中心对称◎知识聚焦180 如果它能够与另一个图形重合，在平面内，把一个图形绕着某一点旋转,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点，在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180o如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。

关于中心对称的两个图形有下列性质：1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．2．关于中心对称的两个图形是全等形，中心对称与中心对称图形之间的关系区别：①中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形．②成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体就是中心对称图形．◎例题导航【例1】（2013．郴州）下列图案中，不是中心对称图形是( )点拨：根据中心对称图形的概念求解，解答：B．点评：本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．【例2】 （2012．六盘水）将两块大小一样斜边为4且含o 30角的三角尺按如图所示的方式放置．将△CDE 绕点C 按逆时针方向旋转，当点E 恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了 。

，点拨：此题需根据含 30角的直角三角形的性质进行分析，即可求出答案．解答：,30,4O A D AB DE .2 BC EC 由旋转的性质可知,2 BC C E 又E BC B ,60 是等边三角形．.30.60o E EC E BC 故答案为30.点评：此题考查了含o 30角的直角三角形，等边三角形的判定、旋转的性质．【例3】 （2013．襄阳）如图①，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．(1)连接BE 、CD ，求证：BE=CD;(2)如图②，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到.D B A ①当旋转角为 度边D A 落在AE 上；②在①的条件下，延长D D 交CE 于点P ，连接.、D C D B 当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，D BD 与D CP 全等？并给予证明．点拨：(1)根据等边三角形的性质可得AB ,60,,o CAE BAD AC AE AD 进而得,.DAC BAE 再利用“边角边”证明△BAE 和△DAC 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)①求出,DAE 即可得到旋转角的度数；②当AB AC 2 时，D BD 与D CP 全等．根据旋转的性质可得,D A D D BD AB 然后得到四边形D ABD 是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得,30 D DB D AB 根据菱形的对边平行可得,//BC DP 根据等边三角形的性质可得,60, ACE AF AC 然后根据等腰三角形三线合一的性质求出,30o D AC D PC 从而得到D C D AC D D B D DB D AB ,30 P 然后利用“角边角”证明D BD 与D CP 全等，解答：(1)ABD 和ACE 都是等边三角形，.60,, CAE BAD AC AE AD AB ,DAE CAE DE BAD 即 BAE .DAC 在△BAE 和△DAC 中，,,,AC AE DAC BAE AD AB .).(CD BE SAS DAC BAE DAE CAE BAD o ,60①)2( .60260180o o o 边D A 落在AE 上， 旋转角为.60 DAE②当AB AC 2 时，D CP D BD 与全等．由旋转可知，B A 与AD 重合， DD BD AB .D A 四边形D ABD 是菱形．D AB .//,30602121BC DP ABD D DB o o △ACE 是等边三角形， ACE AE AC , D PC AD AE AB AC o .2,2.60 .30602121o ACE D AC 又//DP D AC D D B D DB D AB BC ,..30D C D B P D C D PC o 在D BD 和D CP中，.,,P D C D D B D BD D C D B D PC D DB ).(ASA D CP 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．【例4】 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作,60 PBQ 且,BP BQ 连接CQ.(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)若,5:4:3:: PC PB PA 连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由， 点拨：对于第(2)题，先利用图形旋转的性质，把三条线段转化到同一个三角形中，然后根据线段长度的比，运用勾股定理的逆定理作出判断．解答：..)1(ABC CQ AP 是等边三角形，.60, ABC CB AB 又,60o PBQ PBQ PBC ABC PBQ ABC .,PBC 即.CBQ ABP 又,BQ BP ..CQ AP CBQ ABP(2)△PQC 是直角三角形，理由： PBQ PBQ BP BQ ,,60 是等边三角形． PQ .PB 又::::,PB PA PC PQ CQ AP CQ .5:4:3 PC 根据勾股定理的逆定理，可得△PQC 是直角三角形．点评：因为旋转不改变图形的形状和大小，所以旋转前后的图形全等，解与旋转相关的问题常用到全等三角形的知识，而利用旋转过程中的不变量、不变性则是解决问题的关键．通过图形的旋转可以把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，有利于解决问题，【例5】 （2012．北京）在△ABC 中，,BC BA , BAC M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2a 得到线段PQ.(1)若o 60 且点P 与点M 重合（如图①），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB 的度数；(2)在图②中，点P 不与点B 、M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB 的大小（用含a 的代数式表示），并加以证明；(3)对于适当大小的a ，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B 、M 重合）时，能使线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且,QD PQ 请直接写出a 的范围．点拨：(1)利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ 是等边三角形，即可得出答案；(2)首先利用已知得出,CPD APD 进而得出,180o PQD PQC PQD PAD 即可求出；(3)由(2)得出,90 CDB 且 PQ QD ，进而得出 CDB PQC PCQ PAD 2,2180 o 得出a 的取值范围即可，解答：(1)补全图形如图③所示，.30 CDB(2)如图④，连接PC 、AD ．M BC AB , 是AC 的中点，,AC BM 即BD 为AC 的垂直平分线．.,CP AP CD AD 在△APD 与△CPD 中，,).(,.PC PA ADB x CPD MPD PD PD CD AD .21.,ADC CDB PCD PAD CDB 又PCQ PQC PC PQ PA PQ ., PQD PQC PQD PAD PAD . .180 在四边形APQD 中， ADC APQ o ADC PQD PAD 180.180)(360),2180(21,2180 CDB APQ 即.90 o CDB,90)3( o CDB 且,QD QP1802CDB PQC PCQ PAD .2 点P 不与点B 、M 重合， PAD BAD .MAD 易求得 , MAD 点P 在线段BM 上运动，PAD 最大为PAD ,2 最小等于a ，.6045.21802点评：此题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出 o ADC APQ 360o PQD PAD 180)( 是解题的关键．◎培优训练能力达标1．（2013．潍坊）下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2．(2013．荆门)在平面直角坐标系中，线段OP 的两个端点坐标分别是O(0，O)、P(4，3)，将线段OP 绕点0逆时针旋转o 90到P O 位置，则点P 的坐标为 ( )A ．(3，4)B ．（-4，3）C ．(-3，4)D ．(4，-3)3．(2013．天津)如图，在△ABC 中，,BC AC 点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转 180得△CFE ，则四边形ADCF 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形4．(2013．南昌)如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若 E CAE ,65 ,70o 且,BC AD 则BAC 的度数为( )60.Ao B 75.85.Co D 90.5．(2013．枣庄)在方格纸中，选择有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 .6．（2013．广州）如图，Rt△ABC 的斜边,16 AB Rt△A BC 绕点O 顺时针旋转后得到,C B A Rt 则C B A Rt 的斜边B A 上的中线D C 的长度为 .7．(2013．毕节)四边形ABCD 是正方形，E 是DC 上一点，F 是CB 延长线上的点，且,BF DE 连接AE 、AF 、EF ．(1)求证：;ABF ADE(2)填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度 得到；(3)若,6,8 DE BC 求△AEF 的面积．8．（2013．娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60角的直角三角尺ABC 与AFE 按如图①所示的位置放置，现将Rt△AEF 绕点A 按逆时针方向旋转角o 0( ),90 如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P.(1)求证：;AN AM(2)当旋转角o 30 时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由，拓展提升9．(2012．泰安)如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，,2(),120 A B o 将菱形OABC 绕原点0顺时针旋转o 105到C B A O 的位置，则点B 的坐标为( ))2,2.( A)2,2.( B)2,2.( C )3,3.( D10.（2013．黄石）把一副三角尺如图甲所示放置，其中 D A DEC ACB o ,45,90 ,30o 斜边,7,6 DC AB 把三角尺DCE 绕着点C 顺时针旋转o 15得到11CE D （如图乙），此时AB 与1CD 交于点0，则线段1AD 的长度为( )23.A5.B4.C31.D11．（2013．鄂州）如图，在△AOB 中，,90o AOB AOB BO AO ,6,3绕顶点0逆时针旋转到B O A 处，此时线段.B A 与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段E B 的长度为 ．12.（2013．达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边 BC 、CD 上,45o EAF 连接F,F ，则 EF ,DF BE 试说明理由．(1)思路梳理,AD AB∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转O 90至.ADG 可使AB 与AD 重合．,90 B ADC,180c FED 点F 、D 、G 共线． 根据 ，易证 AFG ,得.DF BF EF(2)类比引申如图②，在四边形ABCD 中． BAD AD AB ,,90o 点E 、F 分别在边BC 、CD 上，EAF .45o 若D B 、都不是直角，则当B 与D 满足等量关系 时．仍有 EF .DF BE(3)联想拓展如图③，在△ABC 中，,，90AC AB BAC 点D 、E 均在边BC 上，且.45 DAE 猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系，并写出推理过程．13.（2013．益阳）如图①，在△ABC 中，,36o A 、,ABC AC AB 的平分线BE 交AC 于点E ．(1)求证：;BC AE(2)如图②，过点E 作BC EF //交AB 于点F ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转)1440(o o 得到.F E A 连接,、F B E C求证：;F B E C (3)在(2)的旋转过程中是否存在?//AB E C 若存在，求出相应的旋转角a ；若不存在，请说明理由，◎魔法赛场【例】 如图①，已知点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA 、PB 、PC.(1)将△PAB 绕点B 按顺时针方向旋转 90CB P 的位置（如图①）．若,4,2 PB PA ,135 APB 求PC 的长；(2)如图②，若,2222PB PC PA 请说明点P 必在对角线AC 上．点拨：对于(1)，连接,P P 可转化为在直角三角形中求线段PC 的长；对于(2)，可用几何知识证.180 APB BPC解答：(1)如图①，连接,P P 由旋转的性质知 BPA C P B PA C P BP P B ,2,4P PB P PB o o .90,135为等腰直角三角形．.90.45,24C P P P P B P P o .62)24(2222 C P P P PC(2)如图②，将△PAB 绕点B 按顺时针方向旋转o 90到CB P 的位置，由(1)知 C P PB P P ,2.,APB C P B PA 由,2222PB PC PA 得 .90,222 CP P P P PC C P 四边形CPP B 的内角和为 360,360 C P B BPC ,180o CP P BP P 即 C P B BPC .180.180 APB BPC o 点P 在对角线AC 上．点评：当图形中出现正方形或等边三角形时，常用到旋转变换，且旋转角一般为o 90或.60思考题如图，等边三角形A13C 的边长,31225 a P 是△ABC 内的一点，且,222PC PB PA 若 PC 5，求PA 、PB 的长．。